第十三讲反比例函数详解

第十三讲 反比例函数第一部分 知识梳理一、反比例函数的解析式1．反比例函数的概念一般地，函数xky =（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。

反比例函数的解析式也可以写成1-=kx y 的形式。

自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2．反比例函数解析式的确定 由于在反比例函数xky =中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。

二、反比例函数的图像及性质1．反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。

由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

2．反比例函数的性质3．反比例函数中反比例系数的几何意义(如图)面积为k 。

连接该点和原点，所得三三角形（如图）的面积m 的值D ．21-〖选题意图〗对于反比例函数)0(≠=k xky 。

由于11-=x x ，所以反比例函数也可以写成1-=x y （k 是常数，k ≠0）的形式，有时也以xy=k （k 是常数，k ≠0）的形式出现。

（1）k ＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k ＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．本题需要理解好反比例函数定义中的系数和指数，同时需要掌握反比例函数的性质，这样才能防止漏解或多解。

〖解题思路〗根据反比例函数的定义m 2﹣5=﹣1，又图象在第二、四象限，所以m+1＜0，两式联立方程组求解即可．〖参考答案〗解：∵函数()521-+=m xm y 是反比例函数，且图象在第二、四象限内，∴⎩⎨⎧+-=-01152＜m m ，解得m =±2且m ＜﹣1，∴m =﹣2．故选B ．【课堂训练题】1．已知y=y 1+y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x ﹣2成反比例，且当x =1时，y =﹣1；当x=3时，y=5．求y 与x 的函数关系式． 〖难度分级〗A 类〖参考答案〗解：设y 1=k 1x （k 1≠0），y 2=错误！未找到引用源。

反比例函数知识讲解具体来说，当x≠0时，反比例函数的定义域为R\{0}，值域为R。

当x=0时，函数的值将无法定义，因为在分母为零的情况下，函数没有意义。

1.当x趋近于正无穷大或负无穷大时，y趋近于零。

2.当x趋近于零时，y趋近于正无穷大或负无穷大。

3.函数图像不会与坐标轴相交。

1.比例定律：在一定条件下，两个量之间的比值始终保持不变。

如果该比值为常数k，我们可以写成y=k/x的形式，其中自变量x和因变量y之间呈现出反比例关系。

2.电阻和电流关系：根据欧姆定律，电阻R与电流I之间的关系为R=k/I，其中k为电阻常数。

根据这个关系，可以推导出电压和电流之间的关系为V=kI，其中V为电阻上的电压。

3. 速度和时间关系：根据路程与时间的关系式 S = vt，可以得到时间和速度之间呈现出反比例的关系。

要求提高反比例函数的知识理解，可以进一步研究以下几个方面：1.反比例函数的图像特点：观察不同常数k值的情况下函数图像的变化情况。

通过画出函数图像来理解反比例函数的性质。

2.反比例函数的性质：研究反比例函数的性质，例如定义域、值域、单调性等。

了解函数图像的变化对应的函数性质的变化。

3.反比例函数的应用：研究反比例函数在实际问题中的应用，例如物理学、经济学、生物学等领域中的应用。

需要注意的是，在应用反比例函数的过程中，需要将模型与实际问题相结合，并针对具体问题来确定函数中的常数。

总之，反比例函数是一类重要的函数形式，具有特殊的数学特征和实际应用背景。

通过进一步的研究和探索，可以提高对反比例函数的理解和应用能力。

反比例函数最全知识点反比例函数是一种特殊的函数形式，它表示了一种两个变量之间的相互依赖关系。

在反比例函数中，当一个变量增大时，另一个变量会相应地减小，反之亦然。

本文将介绍反比例函数的定义、图像特征、性质、图像变换、实际应用以及解决反比例函数问题的方法等知识点。

一、反比例函数的定义反比例函数可以表示为：y=k/x（k≠0），其中y表示因变量（通常是函数的输出值），x表示自变量（通常是函数的输入值），k表示常数。

该定义中的k称为反比例函数的常数项，它决定了反比例函数的性质，也决定了函数图像的形状。

二、反比例函数的图像特征1.零点：当x=0时，由于分母为0，函数无定义。

因此，反比例函数没有定义在x=0的点，这个点称为函数的零点。

2.渐近线：反比例函数有两条渐近线，分别是x轴和y轴。

当x趋近于无穷大或无穷小时，y趋近于0；当y趋近于无穷大或无穷小时，x趋近于0。

3.反比例函数的图像是一个双曲线，由于分母不能为0，因此函数的图像始终存在。

当x取值较小时，y的取值较大；当x取值较大时，y的取值较小。

图像的形状与常数项k相关，k越大，图像越接近于x轴和y 轴。

三、反比例函数的性质1.定义域：反比例函数的定义域为除去零点以外的实数集合。

2.值域：反比例函数的值域为除去0以外的实数集合。

3.奇偶性：反比例函数是个奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。

4.单调性：反比例函数在定义域上是单调递减的。

5.对称轴：反比例函数的对称轴为y=x，即函数图像关于对称轴对称。

四、反比例函数的图像变换对反比例函数进行图像变换可以通过调整常数项k的值来实现。

具体变换如下：1.平移：当k保持不变时，反比例函数的图像向上平移或向下平移。

若向上平移b个单位，则为y=k/(x+b)；若向下平移b个单位，则为y=k/(x-b)。

2.拉伸：当k保持不变时，反比例函数的图像可以进行纵向拉伸或纵向压缩。

若纵向拉伸为a倍，则为y=(k/a)/x；若纵向压缩为a倍，则为y=(a*k)/x。

第十三讲：反比例函数知识梳理知识点l. 反比例函数的概念 重点：掌握反比例函数的概念 难点：理解反比例函数的概念一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成xk y =或y=kx-1（k 为常数，0k ≠）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。

反比例函数的概念需注意以下几点： （1）k 是常数，且k 不为零； （2）xk 中分母x 的指数为1，如，22y x =就不是反比例函数。

（3）自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数. （4）自变量y 的取值范围是0y ≠的一切实数。

例1、如果函数22(1)m y m x -=-为反比例函数，则m 的值是（ ）A 、1-B 、0C 、21 D 、1解题思路：由反比例函数的定义可知22m-=-1，解得m=±1,但须考虑(1)m -≠0，则m=-1解答：A练习当n 取什么值时，y ＝（n2+2n ）x是反比例函数?答案：当n ＝-1时，知识点2. 反比例函数的图象及性质 重点：掌握反比例函数的图象及性质 难点：反比例函数的图象及性质的运用反比例函数xk y =的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限。

它们关于原点对称、反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。

画反比例函数的图象时要注意的问题： （1）画反比例函数图象的方法是描点法；（2）画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是0x ≠，因此不能把两个分支连接起来。

（3）由于在反比例函数中，x 和y 的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x 轴和y 轴的变化趋势。

反比例函数的性质xky =)0k (≠的变形形式为k xy =（常数）所以： （1）其图象的位置是：当0k >时，x 、y 同号，图象在第一、三象限；当0k <时，x 、y 异号，图象在第二、四象限。

第十三讲 反比例函数考点综述：反比例函数也是中考重点考查的内容之一，它要求考生能结合具体情境体会反比例函数的意义，根据已知条件确定反比例函数的关系式；会画反比例函数的图象，并能根据图象和关系式探索其性质；能用反比例函数解决实际问题。

中考课标要求考点精析考点1 反比例函数（1）反比例函数的概念：一般地，形如xk y =（k 为常数，0≠k ）的函数叫做反比例函数，其中x 是自变量，y 是x 的函数，k 是比例系数。

注意：反比例函数也可以写成1-=kx y 和k xy =的形式。

（2）反比例函数的特征①自变量x 位于分母上，且其次数是1； ②常量0≠k ；③自变量x 的取值范围是0≠x 的一切实数； ④函数值y 的取值范围是非0实数。

考点2 反比例函数的图像与性质 （1）反比例函数的图像：反比例函数xk y =（k 为常数，0≠k ）的图像由两个分支组成，叫做双曲线；它的两个分支分别在第一、三或第二、四象限，这两个分支关于坐标原点成中心对称。

（2）反比例函数的性质①当0>k 时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小； ②当0<k 时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内，y 随x 的增大而增大。

注意：①由于双曲线在0=x 处是断开的，因此其性质强调在每一个象限内y 随x 的变化而变化的情况，整个图像没有这样的性质，使用时，必须分别在每一个象限内来研究函数值y 随x 的变化情况；②根据图像说出性质、根据性质大致画出图像及求解析式是一个难点，要逐步理解和掌握。

考点3 反比例函数解析式的确定：因为反比例函数的解析式xk y =中，只有一个待定系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数，因而一般只需要给出一组x 、y 的对应值或图像上一点的坐标，代入xk y =中即可求出k 的值，从而确定反比例函数的解析式。

考点4 反比例函数的应用在实际生活中，如何应用反比例函数只是解题，关键是建立反比例函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后再根据反比例函数的性质，综合方程、不等式、几何知识和图像求解。

中考数学专题复习第十三讲反比例函数【基础知识回顾】一、反比例函数的概念：一般地：互数y （k是常数，k≠0）叫做反比例函数【名师提醒：1、在反比例函数关系式中：k≠0、x≠0、y≠02、反比例函数的另一种表达式为y= （k是常数，k≠0）3、反比例函数解析式可写成xy= k（k≠0）它表明反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于】二、反比例函数的同象和性质：1、反比例函数y=kx（k≠0）的同象是它有两个分支，关于对称2、反比例函数y=kx（k≠0）当k>0时它的同象位于象限，在每一个象限内y随x的增大而当k<0时，它的同象位于象限，在每一个象限内，y随x的增大而【名师提醒：1、在反比例函数y=kx中，因为x≠0，y≠0所以双曲线与坐标轴无限接近，但永不与x轴y轴2、在反比例函数y随x的变化情况中一定注明在每一个象限内】3、反比例函数中比例系数k的几何意义：反曲线y=kx（k≠0）上任意一点向两坐标轴作垂线→两线与坐标轴围成的形面积，即如图：AOBP=S△AOP=【名师提醒：k的几何意义往常与前边提示中所谈到的xy=k联系起来理解和应用】三、反比例函数解析式的确定因为反比例函数y=kx（k≠0）中只有一个被定系数所以求反比例函数关系式只需知道一组对应的x、y值或一个点的坐标即可，步骤同一次函数解析式的求法一、反比例函数的应用二、解反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用同象找出解决问题的方案，这里要特别注意自变量的【重点考点例析】考点一：反比例函数的同象和性质例1 （2012•张家界）当a≠0时，函数y=ax+1与函数ayx=在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．思路分析：分a＞0和a＜0两种情况讨论，分析出两函数图象所在象限，再在四个选项中找到正确图象．解：当a＞0时，y=ax+1过一、二、三象限，y=ayx=过一、三象限；当a＜0时，y=ax+1过一、二、四象限，y=ayx=过二、四象限；故选C．点评：本题考查了一次函数与二次函数的图象和性质，解题的关键是明确在同一a值的前提下图象能共存．例2 （2012•佳木斯）在平面直角坐标系中，反比例函数22a ayx-+ =图象的两个分支分别在（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限思路分析：把a2-a+2配方并根据非负数的性质判断出是恒大于0的代数式，再根据反比例函数的性质解答．解：a2-a+2，=a2-a+14-14+2，=（a-12）2+7 4 ，∵（a-12）2≥0，∴（a-12）2+7 4 ＞0， ∴反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限． 故选A ．点评：本题考查了反比例函数图象的性质，先判断出a 2-a+2的正负情况是解题的关键，对于反比例函数ky x=（k ≠0）：（1）k ＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k ＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．例3 （2012•台州）点（-1，y 1），（2，y 2），（3，y 3）均在函数6y x=的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 3＜y 2＜y 1B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 1＜y 3＜y 2 思路分析：先根据反比例函数的解析式判断出此函数图象所在的象限，再根据各点的坐标判断出各点所在的象限，根据函数图象在各象限内点的坐标特点解答． 解：∵函数6y x=中k=6＞0， ∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小， ∵-1＜0，∴点（-1，y 1）在第三象限， ∴y 1＜0， ∵0＜2＜3， ∴（2，y 2），（3，y 3）在第一象限， ∴y 2＞y 3＞0， ∴y 2＞y 3＞y 1． 故选D ． 点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出函数图象所在象限是解答此题的关键．对应训练1．（2012•毕节地区）一次函数y=x+m （m ≠0）与反比例函数my x=的图象在同一平面直角坐标系中是（ ）A ．B ．C ．D ．1．C2．（2012•内江）函数1y x=的图象在（ ） A ．第一象限 B ．第一、三象限 C ．第二象限 D ．第二、四象限 2．A2x≥0，1x中x≠0，故x＞0，此时y＞0，则函数在第一象限．故选A．3．（2012•佛山）若A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函数2yx=的图象上，且0＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系是y1 y2．3．＞考点二：反比例函数解析式的确定例4 （2012•哈尔滨）如果反比例函数1kyx-=的图象经过点（-1，-2），则k的值是（）A．2 B．-2 C．-3 D．3思路分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征，将（-1，-2）代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值．解答：解：根据题意，得-2=11k--，即2=k-1，解得k=3．故选D．点评：此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点．对应训练4．（2012•广元）已知关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2有唯一的实数解，且反比例函数1b yx+ =的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（）A．3yx=-B．1yx=C．2yx=D．2yx=-4．D4．分析：关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2有唯一的实数解，则判别式等于0，据此即可求得b的值，然后根据反比例函数1byx+=的图象在每个象限内y随x的增大而增大，则比例系数1+b＜0，则b的值可以确定，从而确定函数的解析式．解：关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2化成一般形式是：2x2+（2-2b）x+（b2-1）=0，△=（2-2b）2-8（b2-1）=-4（b+3）（b-1）=0，解得：b=-3或1．∵反比例函数1byx+=的图象在每个象限内y随x的增大而增大，∴1+b＜0 ∴b＜-1，∴b=-3．则反比例函数的解析式是：y=13y x -=，即2y x=-． 故选D ．考点三：反比例函数k 的几何意义例5 （2012•铁岭）如图，点A 在双曲线4y x=上， 点B 在双曲线ky x=（k ≠0）上，AB ∥x 轴， 分别过点A 、B 向x 轴作垂线，垂足分别为D 、C ，若矩形ABCD 的面积是8，则k 的值为（ ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．6思路分析：先根据反比例函数的图象在第一象限判断出k 的符号，再延长线段BA ，交y 轴于点E ，由于AB ∥x 轴，所以AE ⊥y 轴，故四边形AEOD 是矩形，由于点A 在双曲线4y x=上，所以S 矩形AEOD=4，同理可得S矩形OCBE=k ，由S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD即可得出k的值．解：∵双曲线ky x=（k ≠0）上在第一象限， ∴k ＞0，延长线段BA ，交y 轴于点E ， ∵AB ∥x 轴， ∴AE ⊥y 轴，∴四边形AEOD 是矩形， ∵点A 在双曲线4y x=上， ∴S 矩形AEOD =4， 同理S 矩形OCBE =k ，∵S 矩形ABCD =S 矩形OCBE -S 矩形AEOD =k-4=8， ∴k=12． 故选A ．点评：本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，即反比例函数ky x=图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．对应训练5．（2012•株洲）如图，直线x=t（t＞0）与反比例函数21,y yx x-==的图象分别交于B、C两点，A为y轴上的任意一点，则△ABC的面积为（）A．3 B．3 2 tC．32D．不能确定5．C5．解：把x=t分别代入21,y yx x-==，得21,y yt t==-，所以B（t，2t）、C（t，1t-），所以BC=2t-（1t-）=3t．∵A为y轴上的任意一点，∴点A到直线BC的距离为t，∴△ABC的面积=133 22tt⨯⨯=．故选C．考点四：反比例函数与一次函数的综合运用例6 （2012•岳阳）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数22yx=的图象交于A、B 两点，过点作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AO、BO，下列说法正确的是（）A．点A和点B关于原点对称B．当x＜1时，y1＞y2C．S△AOC=S△BODD．当x＞0时，y1、y2都随x的增大而增大思路分析：求出两函数式组成的方程组的解，即可得出A、B的坐标，即可判断A；根据图象的特点即可判断B；根据A、B的坐标和三角形的面积公式求出另三角形的面积，即可判断C；根据图形的特点即可判断D．解：A、12y xyx=+⎧⎪⎨=⎪⎩①②，∵把①代入②得：x+1=2x，解得：x1=-2，x2=1，代入①得：y1=-1，y2=2，∴B（-2，-1），A（1，2），∴A、B不关于原点对称，故本选项错误；B、当-2＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，故本选项错误；C、∵S△AOC=12×1×2=1，S△BOD=12×|-2|×|-1|=1，∴S△BOD=S△AOC，故本选项正确；D、当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本选项错误；故选C．点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生观察图象的能力，能把图象的特点和语言有机结合起来是解此题的关键，题目比较典型，是一道具有一定代表性的题目．对应训练6．（2012•达州）一次函数y1=kx+b（k≠0）与反比例函数y2=mx(m≠0)，在同一直角坐标系中的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．-2＜x＜0或x＞1 B．x＜-2或0＜x＜1C．x＞1 D．-2＜x＜16．A6．解：由函数图象可知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=mx(m≠0)的交点坐标为（1，4），（-2，-2），由函数图象可知，当-2＜x＜0或x＞1时，y1在y2的上方，∴当y1＞y2时x的取值范围是-2＜x＜0或x＞1．故选A．【聚焦山东中考】1．（2012•青岛）点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都是反比例函数3yx-=的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y31．A1．解：∵反比例函数y=-3 x 中，k=-3＜0，∴此函数图象在二四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，∵x1＜x2＜0＜x3，∴y3＜0，y3＜0＜y1＜y2，∴y3＜y1＜y2．故选A．2．（2012•菏泽）反比例函数2yx=的两个点（x1，y1）、（x2，y2），且x1＞x2，则下式关系成立的是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．不能确定2．D3．（2012•滨州）下列函数：①y=2x-1；②y=5x-；③y=x2+8x-2；④y=22x；⑤y=12x；⑥y=ax中，y是x的反比例函数的有（填序号）。