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圆与方程复习课
一、知识点回顾
1．圆的两种方程 (1)圆的标准方程： ( x a)2 ( y b)2 r 2
圆心C(a，b)，半径为r
(2)圆的一般方程： x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
它表示以 ①当D2＋E2－4F>0时，
2 2
(
D E 4F 为半径的圆; r 以 2 D E 2 2 ( , ) ②当D ＋E －4F＝0时，方程表示一个点
2.数学方法: 圆的方程的求解，主要利用待定系数法，要适当 选取圆的方程的形式，与圆心及半径有关的一般设圆的标准方程， 已知圆上的三点求圆的方程通常设圆的一般形式．
题型四、圆与圆的位置关系
解(1)
圆C1 : ( x 1)2 ( y -3)2 36,
圆心为(1,3), 半径r1 6
圆C2 : ( x - 2)2 ( y 1)2 1,
圆心为(2, 1), 半径r2 1
两圆心间的距离d 5,
r1 r2 5, d r1 r2
当y x m过点(2,0)时，m 2;
当y x m过点(2,0)时，m 2;
综上： 2 m 2或m 2 2
题型三、切线问题
解：
22 42 4,点M (2, 4)在圆外，
当切线斜率存在时，设切线方程是
y 4 k ( x 2)即kx y 4 2k 0,
2 2
D E , ) 2 2
为圆心,
③当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解，不表示任何图形．
2 2 2 2、点 M ( x0 , y0 ) 与 ( x a) ( y b) r 的关系的判断方法
(1) ( x0 a)2 ( y0 b)2 r 2 , 点在 圆外；
由(2)(3)得(a+ 3b)(3a- b) = 0,
a = -3b 或 b = 3a,
由(1)(2)得 a + (5 - b) = (
2 2
a- 2 b 5
)2
或( x 5)2 ( y 15)2 125
化简得4a 2 + b2 -50b+ 4ab+125 = 0
小结 求圆的方程的方法： 1、待定系数法： 如果由已知条件容易求圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或 半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法 求出a，b，r.如果已知条件和圆心或半径都无直接关系， 一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出参数D，E，F. 2、直接法: 利用圆的性质，圆心在弦的垂直平分线上
b2 2b 5 0
16 0 无解
当b 3a时，
a 2 6a 5 0
a 1, a 5, b 3, 或 b 15, r 2 5 r 2 125
所求圆的方程为( x 1)2 ( y 3)2 5
y 1 k ( x 3)即kx y 1 3k 0,
直线与圆相切
1 2k k 2 1
2,
解得k
3 4
切线方程是3x 4 y 13 0
当切线斜率不存在时，
直线x 3与圆相切满足题意
综上：所求切线方程为3x 4 y 13 0或x 3
两圆相切
解（2）将两圆化为标准方程得 ( x m)2 y 2 4,
圆心A(m,0), 半径r1 2,
( x 1)2 ( y 2m)2 9,
圆心B(1, 2m), 半径r2 3
当两圆相内切时， (m 1)
2
(2m) 1,
2
12 解得 m 2 或 , 当两圆相外切时， (m 1) (2m) 5, 5
d< r d= r d> r
△<0 △=0 △>0
直线与圆相离
直线与圆相切
直线与圆相交
4
2016/12/224、Leabharlann 与圆的位置关系两圆的位 置关系
外离
图形
d与R， 公切线 r的关系 的条数
d>R+r
4
外切
相交 内切
d=R+r
|R-r|<d<R+r
3
2 1
d=|R-r|
0≤d<|R-r|
内含
0
二、例题精讲 题型一、求圆的方程
(2) ( x0 a)2 ( y0 b)2 =r 2 , 点在
圆上；
(3) ( x0 a)2 ( y0 b)2 r 2 , 点在 圆内。
3、直线与圆的位置关系的判定方法：
（1）、几何法 直线l：Ax+By+C=0 圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)设圆心到直 线的距离为d 直线和圆相交 直线和圆相切 直线和圆相离 （2）、 代数法 利用直线与圆的公共点的个数进行判断：
2 2
2 解得m 0或- , 5
2 12 综上：所求实数m的取值集合为{0,- , 2, - }. 5 5
三、当堂检测
四、课堂小结
1.数学思想：数形结合是解决有关圆的位置关系的重要思想 方法，借助图形可以将问题生动直观地加以解决，避免了一些代 数上的繁琐的运算．同时等价转化和函数的思想也是常用的思想， 如联立直线和圆的方程组，用判别式或韦达定理加以解决；
为d
2 3 3 1
3 2,
直线与圆相交
弦长=2 22 ( 3) 2 2
解(2) 曲线y 4 x2即x2 y 2 4( y 0)
表示以原点为圆心，半径r 2的半圆
当y x m与半圆相切时，由 m 2 2
得m 2 2或m 2 2(舍);
直线与圆相切
4 2k k 2 1
2,
3 解得k 4
切线方程是3x 4 y 10 0
当切线斜率不存在时，
直线x 2与圆相切满足题意
综上：所求切线方程为3x 4 y 10 0或x 2
解
(3 1)2 12 4,点M (3,1)在圆外，
当切线斜率存在时，设切线方程是
题型二 直线与圆的位置关系的判定，交点和弦长
解(1)
y
.
x
o
l2 l l1
（2）解 法一
圆C : x2 y 2 2x 4 y 0可化为
法二
设直线l与圆C交于A, B两点
3 x- y- 6 = 0 由 2 2 x + y - 2 x- 4 y = 0
( x 1)2 ( y 2)2 5
解法一、待定系数法 解法二、直接求出圆心坐标和半径
(2 1)2 42 25 20
点(2, 4)在圆外
(2 1)2 42 25 20
点(2, 4)在圆外
解：设圆的标准方程为(x- a)2 + (y- b)2 = r 2
当a = -3b 时，
由题意可得
a 2 + (5 - b) 2 = r 2 , (1) a- 2 b = r, (2) 5 2 a+ b = r, (3) 5
其圆心坐标为(1, 2), 半径为 5.
点(1, 2)到直线l的距离为
10 d 5 2 2 2 3 (1) 3 1 2 6
得交点A(2,0), B(3,3)
直线与圆相交
直线与圆相交
10 截得的弦长为2 5- = 10 4
所以弦 AB的长为 AB = 10
解(1) 圆心(0,0)到直线 3x y 2 3 0距离
