巨正则分布的热力学热力学

第九章 系综理论1.教学内容（1） 相空间 刘维尔定理； （2） 微正则分布（3） 微正则分布的热力学公式 （4） 正则分布（5） 正则分布的热力学公式 （6） 实际气体的物态方程 （7） 固体的热容量（8） 液4He 的性质和朗道超流理论 （9） 伊辛模型的平均场理论 （10） 巨正则分布的热力学公式 （11） 巨正则分布的简单应用 2.本章重难点（1） 本章重点是正则分布、正则分布、巨正则分布的热力学公式； （2） 本章难点是实际气体的物态方程及固体的热容量 1. 例题例题 1 证明在正则分布中熵可表为∑-=ss skS ρρln 其中sE s e Zβρ-=1是系统处在s 态的概率 解证: )ln (ln ββ∂∂-=Z Z k S 多粒子配分函数)1(1ss E s E e Z e Z ββρ--=⇒=∑)2(ln ∑∑---=∂∂k E kE k kkee E Zβββ由(1)知[]s s s s s E Z E Z E Z esρβρβρβln ln 1;ln ln +=-+=-⇒=-代至(2)得[]∑∑+=+=∂∂ss ss s s Z Z Z ρρββρρββln 1ln 1ln ln 1ln ;于是∑-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=s s s k Z Z k S ρρββln ln ln 例题2 试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程，内能和熵解证：()222121;iz iy ix Ni s sE p p p mE eZ s++==∑∑=-β 符号∏=i iz iy ixdp dp dpdp符号∏=iiiidzdy dx dq()()2/33)(232332!!!!1222122212222N NNNp p p m N N p p p m NNp p pN m h N V Z dp e h N V dpeh N Vdpdq e hN Z z y x Ni iziy ix Ni iziy ix m⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑=∑=⎰⎰⎰∞+∞-++-∞+∞-++-++-==βπβββ利用式（9.5.3）VNTkV Z Z Z P =∂∂=∂∂=⇒βββ1ln 1类似求S U ,例题3 体积内盛有两种组元的单原子混合理想气体，其摩尔数为1n 和2n ，温度为T 。

量子统计力学中的巨正则系综量子统计力学是研究微观粒子的统计行为的物理学分支，它描述了由大量粒子组成的系统的性质。

在量子统计力学中，我们通常使用系综来描述这些系统。

巨正则系综是量子统计力学中的一种重要的系综，它描述了与外界热库和粒子库交换粒子和能量的系统。

本文将介绍巨正则系综的基本概念和数学表达式，并讨论其在研究物理系统中的应用。

巨正则系综是一种描述粒子数和能量都可以变化的系统的统计系综。

在巨正则系综中，系统与外界热库和粒子库交换粒子和能量，从而使得系统的粒子数和能量可以发生变化。

这种交换使得巨正则系综在描述开放系统中的粒子统计行为时非常有用。

巨正则系综的基本概念可以通过巨正则配分函数来描述。

巨正则配分函数是巨正则系综的核心概念，它描述了系统在给定温度、化学势和体积下的统计行为。

巨正则配分函数可以通过对系统的能量本征态进行求和得到，每个能量本征态的权重由玻尔兹曼因子决定。

巨正则配分函数的数学表达式如下：\[\Xi = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{i} e^{-\beta(E_i-\mu N_i)}\]其中，$\Xi$是巨正则配分函数，$n$是粒子数，$i$是能量本征态的标记，$E_i$是能量本征态的能量，$N_i$是能量本征态的粒子数，$\beta=1/kT$是玻尔兹曼因子，$T$是系统的温度，$\mu$是系统的化学势。

巨正则系综的基本概念和数学表达式为我们研究物理系统提供了一个强大的工具。

通过巨正则系综，我们可以计算系统的各种热力学量，如平均粒子数、平均能量和熵等。

这些热力学量可以通过巨正则配分函数的导数来计算，例如：\[\langle N \rangle = \frac{1}{\beta} \frac{\partial \ln \Xi}{\partial \mu}\]\[\langle E \rangle = -\frac{\partial \ln \Xi}{\partial \beta}\]\[S = k(\ln \Xi - \beta \frac{\partial \ln \Xi}{\partial \beta} - \mu \frac{\partial \ln\Xi}{\partial \mu})\]其中，$\langle N \rangle$是平均粒子数，$\langle E \rangle$是平均能量，$S$是熵，$k$是玻尔兹曼常数。

《热力学?统计物理》复习材料答案一、填空题：1. 热力学中所特有的状态参量为温度，它是实现两系统达到热平衡的充分且必要条件。

2. 整个系统在物理、化学性质上都均匀一致的系统称为均匀系统。

3. 热力学第一定律的数学表达式是为 dU=dQ+dW 。

4．热力学第二定律的数学表达式是。

5. 体系由液体和饱和蒸汽组成，此系统包含二相。

6．当独立变量为S、p时，特性函数是 H 。

7. 一个孤立系统有相和相，若系统已达到热平衡和力学平衡，但相物质迁移到相，则化学势满足关系相化学势大于相化学势（）。

8．一个系统在压强和温度不变的情况下，为了判别此系统是否已达到平衡态，可采用的判据为 G（吉普斯函数）。

9.判断一个孤立系统是否已达到平衡态，可采用的判据为 S（熵）。

10．一个系统在体积和温度不变的情况下，为了判别此系统是否已达到平衡态，可采用的判据为自由能。

11．固相、液相之间的转变为_____一_______级相变。

12．气液在临界点的转变为_____二____级相变。

13．体系由三种气体按任意比例混合而成，该系统的独立强度参量数目为 4 。

14. 根据吉布斯相律，3元二相系的自由度为 3 。

15. 一级相变的克拉珀龙方程的表达式为。

16. 对于费米系统，给定分布对应的微观状态数为。

17. 对于玻色系统，给定分布对应的微观状态数为。

18. 对于玻尔兹曼系统，给定分布对应的微观状态数为。

19. 等概率原理的内容是对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率都是相等的。

20. 两个全同粒子分布在相同能级的三个不同状态a、b和c中，一个粒子处在状态a，一个粒子处在状态b，如果它们是费米粒子，则这一分布出现的概率是 1/3 。

21．两个全同粒子分布在相同能级的三个不同状态a、b和c中，一个粒子处在状态a，一个粒子处在状态b，如果它们是玻耳兹曼粒子（即经典粒子），则这一分布出现的概率是 1/9 。

22. 两个全同粒子分布在相同能级的三个不同状态a、b和c中，一个粒子处在状态a，一个粒子处在状态b，如果它们是玻色子，则这一分布出现的概率是 1/6 。

《热力学与统计物理》教学大纲课程名称：《热力学与统计物理》英文名称：Thermodynamics and statistic p hysics课程性质：学科教育必修课课程编号：E121015所属院部：光电工程学院周学时:3学时总学时:45学时学分:3学分教学对象(本课程适合的专业和年级） :物理学专业(本科）2012级学生预备知识:高等数学、概率统计、普物课程在教学计划中的地位作用：《热力学·统计物理》课是物理专业学生的专业基础课,与理论力学、量子力学、电动力学共同构成物理专业重要的四门必修课，通常称为物理专业的四大力学课。

热力学和统计物理的任务是研究热运动的规律，研究与热运动有关的物性及宏观物质系统的演化.本课程的作用是使学生掌握热力学与统计物理的基本原理和处理具体问题的一些重要方法，并初步具有用这些方法解决较简单问题的能力。

教学方法:以板书手段为主要形式的课堂教学。

在课堂教学中，教师应精心组织教学内容,注重发挥学生在教学活动中的主体作用和教师的主导作用，注重采用多种教学形式提高课程教学质量。

注意在学习中调动学生积极性和创造性，注重各种教学方法的灵活应用。

教学目标与要求：要求学生初步掌握与热现象有关的物质宏观物理性质的唯象理论和统计理论，并对二者的特点与联系有一个较全面的认识同时注重对学生逻辑思维能力的培养，强调学生物理素养的生成和提高.课程教材:汪志诚主编. 热力学统计物理（第四版).北京：高等教育出版社，2010年参考书目：[1] 苏汝铿主编. 统计物理学。

上海:复旦大学出版社，2004年[2] 王竹溪主编。

热力学简程. 北京：高等教育出版社，1964[3] 王竹溪主编。

统计物理学导论. 北京：高等教育出版社，1956考核形式：考核方式为考试。

综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩不超过30%，期末成绩不少于70％。

编写日期：2012年5月制定课程内容及学时分配(含教学重点、难点):本课程内容主要包括：热力学的基本规律麦克斯韦关系及其应用,气体的节流膨胀与绝热膨胀,基本热力学函数，特性函数，平衡辐射热力学，磁介质热力学等。

“热学”与“热力学统计物理”课程整合探索［摘要］文章分析了“热学”与“热力学统计物理”课程整合的必要性和可能性，并提出了初步的整合方案，以优化配置教学资源。

［关键词］热学热力学统计物理课程整合“热学”与“热力学统计物理”（以下简称“热统”）课程是物理学专业必修的两门主干课程，两者承前启后，存在着密切关系。

在高等教育改革不断推进的今天，怎样整合两门课程，优化设置，以达到高效的教与学的目的，是我们面临和必须考虑的问题。

一、整合的必要性党的十六届六中全会通过的《中共中央关于构建社会主义和谐社会若干重大问题的决定》中强调指出：“保持高等院校招生合理增长，要注重增强学生的实践能力、创造能力和就业能力、创业能力”，这为我国高等教育人才培养提出了明确的目标，也为高等教育改革与发展指明了方向。

为不断深化高等教育教学改革，全面提高高等教育质量，2007年2月17日《教育部关于进一步深化本科教学改革全面提高教学质量的若干意见》又指出：“推进人才培养模式和机制改革，着力培养学生创新精神和创新能力。

要采取各种措施，通过推进学分制、降低必修课比例、加大选修课比例、减少课堂讲授时数等，增加学生自主学习的时间和空间，拓宽学生知识面，增强学生学习兴趣，完善学生的知识结构，促进学生个性发展。

”理论物理学专业主要是培养学生掌握物理学的基本理论、基本知识和实践技能，具备较高科学素养和创新能力，能够胜任物理学或相关科学与技术领域的科研、教学、技术开发等工作，也可以继续攻读本学科或其他相关学科的硕士学位。

可见，在新的社会市场需求和高等教育教学改革形势下的今天，原来的理论物理学专业的课程设置、各内容设计以及教学模式等已凸显出其不合理性。

部分课程的重复性建设比较严重，有些课程内容相近或者基本相同，却分别在同一专业不同的课程中开设；不同院系、专业之间信息不够畅通，统筹规划比较少，各专业按照自己的需要开设课程，造成不同院系、专业之间课程的重复性建设。

《热力学·统计物理》课程教学大纲课程名称：热力学·统计物理课程编码：学时：72 学分：4开课学期：第四学期课程类别：学科平台课程课程性质：必修课适用专业：应用物理学先修课程：力学、热学、原子物理，高等数学一、课程的性质、目的与任务热力学与统计物理是研究物质热现象和热运动规律理论的物理课程。

它是微观理论研究和宏观应用之间的一座桥梁，前者采用宏观的研究方法，后者采用微观的研究方法。

两种方法相辅相成，取长补短。

本门课程的学习内容主要有：热力学的基本规律；均匀物质的热力学性质；单元系的相变；多元系的复相平衡和化学平衡；；近独立粒子的最概然分布；玻耳兹曼统计；玻色统计和费米统计；系综理论；。

通过本门课程的学习，使学生能够掌握这两种研究方法，为今后的进一步学习与研究打下必要的基础。

二、教学内容及基本要求第一章热力学的基本规律教学目的和要求：了解热力学系统的平衡态及其描述、热平衡定律和温度、理想气体的内能和绝热过程、理想气体的卡诺循环、自由能和吉布斯函数理解物态方程、功、热力学第二定律、热容量和焓、热力学温标掌握热力学第一定律、卡诺定律、克劳修斯等式和不等式、熵和热力学基本方程、理想气体的熵、热力学第二定律的普遍表述、熵增加原理的的简单应用教学重点和难点：热力学第一定律和物态方程，克劳修斯等式与不等式，热力学基本方程。

教学方法与手段：传统教学与学生自学相结合第一节热力学系统的平衡状态及其描述第二节热平衡定律和温度第三节物态方程第四节功第五节热力学第一定律第六节热容量和焓第七节理想气体的内能第八节理想气体的绝热过程第九节理想气体的卡诺循环第十节热力学第二定律第十一节卡诺定理第十二节热力学温标第十三节克劳修斯等式与不等式第十四节熵和热力学基本方程第十五节理想气体的熵第十六节热力学第二定律的表述第十七节熵增加原理的简单应用第十八节自由能和吉布斯函数复习与作业要求：完成课后相关习题。

考核知识点：熵增加原理的应用，理想气体的熵。

热力学名词解释（2）热力学名词解释普朗特数Pr：由流体物性参数组成的一个无因次数（即无量纲参数）群，表明温度边界层和流动边界层的关系，反映流体物理性质对对流传热过程的影响，它的表达式为：Pr=ν/α雷诺数Re：一种可用来表征流体流动情况的无量纲数，以Re表示，Re=ρvr/η，其中v、ρ、η分别为流体的流速、密度与黏性系数，r为一特征线度。

例如流体流过圆形管道，则r为管道半径。

热力学名词解释2017-04-09 12:44 | #2楼系统：我们所研究的宏观物体成为系统。

外界：与系统相互作用着的周围环境成为外界。

开系：系统与外界既可以有能量交换，又可以有物质交换。

封闭系：系统与外界可以有能量交换，但没有物质交换。

孤立系：系统与外界无任何相互作用。

平衡态是指这样一种状态:在没有外界影响的条件下，物体的各部分在长时间内宏观性质不发生任何变化。

李学忠的平衡态只是单纯合外力为零的问题，在热力学中的平衡态不但如此，而且要所有能观察到的宏观性质都不随时间变。

物体处于平衡态时，其中的微观粒子仍处于杂乱无章的运动之中，故也称为热动平衡。

当没有外界影响时，一个物体在足够长的时间内必将趋于平衡态。

平衡态四类变数：几何变数、力学变数、电磁变数、化学变数。

温度是热力学中特有的物理量。

广延量：将处于平衡态的系统（均匀系）按质量分为相等的两部分，如果一个热力学量对其中一部分的数值等于对整个系统数值的一半，则这个量叫广延量。

强度量：将处于平衡态的系统（均匀系）按质量分为相等的两部分，如果一个热力学量对其中一部分的数值与整个系统的数值相等，则这个量叫强度量。

热力学第一定律：系统在终态和初态的内能之差等于过程中外界对系统所做的功，加上系统从外界吸收的热量。

热力学第二定律：（克劳修斯）不可能把热从低温物体传到高温物体而不引起其他变化；（开尔文）不可能从单一热源吸热使之完全变为有用的功而不引起其他变化。

卡诺循环1，由A绝热膨胀到B；2，由B等温压缩到C；3，由C绝热压缩到D；4由D等温膨胀到A。

宝鸡文理学院试题课程名称中学物理教育理论适用时间2011年7月与实践研究试卷类别 A 适用专业、年级、班专升本一. 填空题（本题共7 题，每空3 分，总共21 分）1. 假设一物质的体涨系数和等温压缩系数经过实验测得为：，则该物质的物态方程为：。

2. 1 mol 理想气体，保持在室温下（K）等温压缩，其压强从1 准静态变为10 ，则气体在该过程所放出的热量为：焦耳。

3. 计算机的最底层结构是由一些数字逻辑门构成的，比如说逻辑与门，有两个输入，一个输出，请从统计物理的角度估算，这样的一个逻辑与门，室温下（K）在完成一次计算后，产生的热量是：焦耳。

4. 已知巨热力学势的定义为，这里是系统的自由能，是系统的粒子数，是一个粒子的化学势，则巨热力学势的全微分为：。

5. 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为，其中是常数，则粒子的平均能量为：。

6. 温度时，粒子热运动的热波长可以估算为：。

7. 正则分布给出了具有确定的粒子数、体积、温度的系统的分布函数。

假设系统的配分函数为，微观状态的能量为，则处在微观状态上的概率为：。

二. 简答题(本题共 3 题，总共30 分)1. 请从微观和统计物理的角度解释：热平衡辐射的吉布斯函数为零的原因。

(10分)2. 请说说你对玻耳兹曼分布的理解。

(10分)3. 等概率原理以及在统计物理学中的地位。

(10分)三. 计算题(本题共 4 题，总共49 分)1. 一均匀杆的长度为L，单位长度的定压热容量为，在初态时左端温度为T1，右端温度为T2，T1 < T2，从左到右端温度成比例逐渐升高，考虑杆为封闭系统，请计算杆达到均匀温度分布后杆的熵增。

（你可能要用到的积分公式为）(10分)2. 设一物质的物态方程具有以下形式：，试证明其内能和体积无关。

(10分)3. 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作是二维气体。

请用经典统计理论计算：（1）二维气体分子的速度分布和速率分布。