09-2 玻尔兹曼分布与配分函数的计算

热力学玻尔兹曼分布公式
热力学玻尔兹曼分布公式是一种描述理想气体分子速度分布的数学公式。

该公式由奥地利物理学家鲁道夫·玻尔兹曼在19世纪末提出，被广泛应用于热力学和统计物理学领域。

根据热力学玻尔兹曼分布公式，理想气体分子的速度分布可用以下公式描述：
f(v) = 4π( m / 2πkT )^(3/2) * v^2 * exp( -m*v^2 /
2kT )
其中，f(v)表示速度为v的分子的概率密度，m表示分子的质量，k为玻尔兹曼常数，T为气体的温度。

可以看出，该公式与温度和分子质量有关，速度越高的分子出现的概率越小，速度越低的分子出现的概率越大。

热力学玻尔兹曼分布公式的推导过程比较复杂，需要运用到分布函数、分子动力学等概念和方法。

该公式的应用也十分广泛，例如在热力学中用于计算气体的内能、熵等物理量，在化学中用于描述反应速率、碰撞频率等重要参数。

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玻尔兹曼函数
玻尔兹曼函数（Boltzmann distribution）是描述物理系统中粒子分布的一种概率分布函数。

它以奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann）的名字命名，被广泛应用于统计物理学、热力学和化学等领域。

玻尔兹曼函数描述了处于温度为T的平衡状态下，能量为E的粒子数目所占的比例。

具体而言，对于处于温度为T 的系统中的一种粒子，其能量为E时的粒子数目n(E)可以用以下公式计算：
n(E) = N * exp(-E/(k*T))
其中，N是系统中所有粒子的数目，k是玻尔兹曼常数，exp是自然指数函数。

玻尔兹曼函数的重要性在于它揭示了分子的能量分布与温度之间的关系，为理解热力学和统计物理学中的很多现象提供了基础。

例如，玻尔兹曼函数可以用于解释为什么温度高时气体分子的平均速度更大，以及为什么在热力学平衡下，系统的能量会尽可能地分布到更多的状态中。

玻尔兹曼分布定律在统计力学中是一个非常重要的定律，它描述了系统中粒子的分布情况。

通过对玻尔兹曼分布定律的深度和广度的评估，我们可以更全面地理解这一定律在物理学中的重要性和应用。

让我们从简到繁地来探讨玻尔兹曼分布定律的推导过程。

在统计力学中，我们经常用概率分布函数来描述系统中粒子的状态和分布情况。

而玻尔兹曼分布定律正是描述了系统中粒子的分布概率与粒子能量的关系。

通过对系统的宏观状态和微观状态进行统计分析，我们可以推导出玻尔兹曼分布定律的数学表达式，从而更深入地理解系统的热力学性质和微观粒子的行为。

在玻尔兹曼分布定律的推导过程中，我们需要考虑系统的能级分布、粒子的能量和粒子的状态密度等因素。

通过统计力学的方法，我们可以建立系统的分布函数，并运用统计学的知识推导出玻尔兹曼分布定律的表达式。

这一过程需要深入理解统计力学和概率论的知识，以及对系统的微观结构和宏观性质有深刻的认识。

在文章的深入探讨中，我们还需要从宏观和微观角度来分析玻尔兹曼分布定律的应用和意义。

从宏观角度来看，玻尔兹曼分布定律描述了系统的热平衡状态和热力学性质，对于理解系统的热力学过程和热力学参数具有重要意义。

而从微观角度来看，玻尔兹曼分布定律反映了系统中微观粒子的行为规律，对于研究微观粒子的统计行为和动力学过程具有重要意义。

总结回顾性的内容是文章中不可或缺的部分，通过总结回顾，我们可以更全面、深刻和灵活地理解玻尔兹曼分布定律在统计力学中的重要性和应用。

在总结回顾中，我们可以对玻尔兹曼分布定律的数学表达式、物理意义和应用进行归纳和概括，从而更好地理解和掌握这一定律。

在文章中，我也将共享我的个人观点和理解，通过对玻尔兹曼分布定律的深入研究和思考，我认为这一定律不仅是统计力学中的重要定律，更是揭示了物质微观性质与宏观性质之间的内在联系和规律。

理解和掌握玻尔兹曼分布定律对于深入理解物质的统计性质和热力学性质具有重要意义，对于开展物理学和工程学的研究和应用具有重要价值。

玻尔兹曼分布推导玻尔兹曼分布描述多粒子系统中各粒子的状态（也就是能量和位置）在给定宏观条件下的分布规律，其推导过程如下：1. 固定项与归一化。

设微观系统内可能的某个状态对应的微观能量为$E_i$，则该状态的出现概率为$\exp(-E_i/k_BT)$。

为了使该出现概率满足归一化条件，需将所有可能状态下的出现概率相加。

即：$$\sum_i P_i = \sum_i \exp (-E_i/k_BT) = 1$$这里约定粒子不可分辨，即只有一个能级有多个粒子时才考虑宏观分配情况。

2. 计算受约束系统中的粒子数。

设粒子数为$N$，系统总能量为$U$，以及每个粒子平均能量为$\varepsilon$（局限于热力学极限情况），有：$$N = \frac{U}{\varepsilon}$$3. 计算配分函数。

定义配分函数$Z$，其定义为所有可能状态出现概率的总和：$$Z = \sum_i \exp(-E_i/k_BT)$$4. 计算概率密度（各状态的占比）。

假设某一个微观状态$i$ 内有$g_i$ 个粒子，宏观状态下，$N$ 个粒子的概率可写成以下形式：$$P(N) = \frac{1}{N!} \cdot \frac{N^{g_0}N^{g_1}\cdot...\cdot N^{g_s}}{Z^N}$$其中，$g_0$ 表示能量为$E_0$ 的状态$i$ 中的粒子数，$g_1$ 表示能量为$E_1$ 的状态$i$ 中的粒子数，$s$ 表示所有存在的能级总数。

5. 在无约束条件下求最可能出现的状态（即熵最大的状态）。

用"ln" 表示"以 e 为底的自然对数"，则上述概率密度$P(N)$ 可以写成字符串长度为$s$ 的以下形式：$$P(N) = \frac{1}{N!} \cdot e^{Ng_0lnN-Ng_0+Ng_1\ln N-Ng_1+...+Ng_s\ln N - Ng_s -\ln Z \cdot N}$$要想使$\ln P(N)$ 最大，需要对$N$ 求极值。

2014届本科毕业论文配分函数的分析与计算姓名：张坤系别：物理与电气信息学院专业：物理学学号：100314025指导教师：王保玉2014年4月12日目录摘要 (I)0 引言 (1)1 配分函数的分析 (1)1.1 配分函数体现的粒子在各个能级上的分配性质 (1)1.2 配分函数表示的是所有的可能量子态相对的概率之和 (1)1.3 配分函数表示粒子离开基态的程度大小的量度 (2)1.4 配分函数是状态函数 (3)1.5 配分函数属于特性函数 (3)2 配分函数的计算 (4)2.1 统计系综的几率分布与配分函数 (5)2.2 近独立系统的配分函数 (6)2.2.1 近独立系统的经典统计 (6)2.2.2 近独立系统的量子统计 (6)结束语 (9)参考文献 (10)致谢 (10)配分函数的分析与计算摘要配分函数在统计物理中占有非常重要的地位,它是一个非常重要并且也比较难理解的物理量，本文将从配分函数的定义出发，阐述其物理意义，阐释其在统计物理中的重要作用，全面分析配分函数，进而研究了常见的各种系综的配分函数的相关计算，并讨论其应用。

关键词：配分函数；物理意义；作用；系统；系综Analysis and calculation of partition functionAbstractPartition function plays an important role in statistical physics, It is a very important and also difficult to understand the physical quantity. This article will begin with the definition of partition function, expatiate it’s physical meaning and illustrate the important role in statistical physics, then give a comprehensive analysis of the partition function. and then study Calculation of partition function in various common ensemble:Classical statistical and Quantum statistics in Near independent system, finally make a comprehensive study of the partition function.Key word: Partition function The physical significance System Ensemble0 引言热力学的宏观理论和微观理论统称为热现象的基本理论，即热力学和统计物理学。

玻尔兹曼分布公式：dP*A=ρ＊A＊dr。

玻尔兹曼分布律是一种覆盖系统各
用不可忽略时，处于热平衡态下的气体分子按能量的分布规律。

试验中某一个结果发生的可能性大小。

若要全面了解试验，则必须知道试验的全部可能结果及各种可能结果发生的概率，即随机试验的概率分布。

如果试验结果用变量X的取值来表示，则随机试验的概率分布就是随机变量的概率分布，即随机变量的可能取值及取得对应值的概率。

根据随机变量所属类型的不同，概率分布取不同的表现形式。

第七章 玻耳兹曼统计教学内容：1、玻尔兹曼统计中粒子配分函数的量子和经典表达式、热力学量的统计表达式；2、由玻尔兹曼统计求理想气体的物态方程；3、由玻尔兹曼分布推求麦克斯韦速度、速率分布律，碰壁数；4、爱因斯坦固体热容量理论的假设和结论。

教学目的：1、理解玻耳兹曼分布是近独立粒子孤立系统在统计平衡态下处于热力学几率最大的宏观分布时粒子数按能量分布的规律。

粒子的配分函数是由和外参量等决定的状态函数。

理解玻耳兹曼关系式。

理解经典的能量均分定理应用于固体和双原子分子理想气体系统求热容量严重偏离实验结果的原因，并由能量的量子化定性解释实验结果。

2、简单应用：由玻耳兹曼分布律求其它分布律，由配分函数求理想气体（单原子分子）系统的热力学函数。

3、综合运用：应用压强的微观实质思想计算分子的碰壁数，用量子玻耳兹曼分布律求理想固体（爱因斯坦模型）的热容量。

玻耳兹曼统计：假设系统由大量定域的全同近独立粒子组成，具有确定的粒子数N ，能量E ，体积V 。

N 个粒子的在各能级的分布可以描述如下： 能 级 12,,,,l εεε … 简 并 度 12,,,,l ωωω … 粒 子 数 12,,,,l a a a … 约束条件：l la N =∑，l l la E ε=∑定域系统和满足经典极限条件的玻色和费米系统都遵从玻耳兹曼分布：l l l a e αβεω--=。

其中系数α与β由l la N =∑与l l la E ε=∑确定。

总能量是系统在某平衡态下的全部能量，包括系统作整体运动时的宏观动 能，在重力场中的势能，以及与系统整体运动和重力场存在无关的内能，是系统内部分子无规则热运动的全部能量。

因此在这里我们所说的总能量E 即总的内能U 。

§7.1 热力学量的统计表达式在§6.8说过，定域系统以及满足经典极限条件的玻色系统和费米系统都遵从玻耳兹曼分布。

本章根据玻耳兹曼分布讨论这两类系统的热力学性质。

本节首先推导热力学量的统计表达式。

玻尔兹曼分布形成了分子运动论的基础，它解释了许多基本的气体性质，包括压强和扩散。

玻尔兹曼分布通常指气体中分子的速率的分布，但它还可以指分子的速度、动量，以及动量的大小的分布，每一个都有不同的概率分布函数，而它们都是联系在一起的。

玻尔兹曼分布可以用统计力学来推导。

它对应于由大量不相互作用的粒子所组成、以碰撞为主的系统中最有可能的速率分布，其中量子效应可以忽略。

由于气体中分子的相互作用一般都是相当小的，因此玻尔兹曼分布提供了气体状态的非常好的近似。

在许多情况下（例如非弹性碰撞），这些条件不适用。

例如，在电离层和空间等离子体的物理学中，特别对电子而言，重组和碰撞激发（也就是辐射过程）是重要的。

如果在这个情况下应用玻尔兹曼分布，就会得到错误的结果。

另外一个不适用玻尔兹曼分布的情况，就是当气体的量子热波长与粒子之间的距离相比不够小时，由于有显著的量子效应也不能使用玻尔兹曼分布。

另外，由于它是基于非相对论的假设，因此玻尔兹曼分布不能做出分子的速度大于光速的概率为零的预言。

玻尔兹曼分布律 - 推导麦克斯韦速度分布律是讨论理想气体在平衡状态中在没有外力场作用下分子按速度分布的情况。

这时分子在空间分布是均匀的，气体分子在空间各处的密度是一样的。

如果气体分子处于外力场(如重力场、电场或磁场)中，分子按空间位置的分布又将遵守什么规律呢？能有关。

实际上，麦克斯韦已导出了理想气体分子按速度的分布，即在速度区间dvxdvydvz的分子数与该区间内分子的平动动能εk有关，而且与e－εk/kT成正比。

据(9.29)式可得玻耳兹曼把麦克斯韦速度分布律推广到气体分子在任意力场中运动的情形。

在这种情况下，应考虑到分子的总能量ε＝εk＋εp，这里εk是分子的动能，εp是分子在力场中的势能。

同时，由于一般说来势能随位置而定，分子在空间的分布是不均匀的，需要指明分子按空间位置的分布，即要指出位置坐标分别在x到x＋dx，y到y＋dy，z到z＋dz区间内的分子数或百分比，这里dxdydz叫位置区间，而dvxdvydvz叫速度区间。

Question:总结分别满足三种分布的系统的平动自由度（非相对论情形）的配分函数的计算。

Summary By LiHao一、玻耳兹曼统计系统对于定域系统和满足经典极限条件（非简并条件）的近独立粒子服从玻尔兹曼分布。

3223322()122()1V h e N mkTN mkT n V h αππλ== 或人们把满足上述条件的气体称为非简并气体，不论系统是由玻色子还是费米子构成，都可以用玻耳兹曼分布处理。

对于服从玻尔兹曼分布的气体粒子可以分为单原子分子理想气体和双原子分子理想气体进行讨论。

对于单原子分子的理想气体，单个分子能量为 2221()2x y z p p p mε=++ ① 在宏观大小的容器内，动量和能量可以认为是准连续的，在x y z x y z p p p d d d d d d 范围内，分子可能的微观状态数为3x y zx y z p p p d d d d d d h ②将①、② 代入粒子配分函数 1ll leβξω-Z =∑ 可得222222()21322233221 (1)2()x y z x y zx y z x y zp p p mx y z p p p p p p m m m x y z p p p e d d d d d d hd d de d e d e d hm V h ββββπβ-++∞∞∞----∞-∞-∞Z ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ③其中V dxdydz =⎰⎰⎰ 是气体的体积。

对于双原子分子的气体系统，其能量由平动，振动，转动三部分构成，即t v r ξξξξ=++，其总的配分函数为：()1111t vr l trvt v r l llt r v t v r llle e eeeβξβξξξβξβξβξωωωωωωω--++---Z ==⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=Z Z Z∑∑∑∑∑如果仅仅考虑平动自由度的话，其结果与单原子分子平动配分函数③一样二、玻色系统和费米系统统计在玻尔兹曼分布里面已经提到简并条件，对于不满足简并条件的气体，需要用玻色分布和费米分布来进行处理。

配分函数的定义配分函数是统计物理学中的一个重要概念，它描述了一个系统在不同能量状态下的概率分布。

在热力学中，配分函数是计算热力学性质的基础，如热容、自由能等。

本文将从配分函数的定义、性质和应用三个方面进行介绍。

配分函数是描述一个系统在不同能量状态下的概率分布的函数。

它的定义如下：Z = Σe^(-Ei/kT)其中，Z表示配分函数，Ei表示系统在第i个能量状态下的能量，k 是玻尔兹曼常数，T是系统的温度。

配分函数的物理意义是，它描述了系统在不同能量状态下的概率分布，即系统处于某个能量状态的概率与该状态的能量有关。

配分函数越大，表示系统处于高能量状态的概率越大。

二、配分函数的性质1. 对于一个系统，配分函数是一个常数，与系统的具体状态无关。

2. 配分函数与系统的能级数有关，能级数越多，配分函数越大。

3. 配分函数与系统的温度有关，温度越高，配分函数越大。

4. 配分函数可以用来计算系统的各种热力学性质，如内能、熵、自由能等。

三、配分函数的应用1. 计算内能系统的内能可以用配分函数来计算，公式如下：U = ΣEiP(Ei) = ΣEie^(-Ei/kT)/Z其中，P(Ei)表示系统处于第i个能量状态的概率。

2. 计算熵系统的熵可以用配分函数来计算，公式如下：S = klnZ + kT(∂lnZ/∂T)其中，k是玻尔兹曼常数。

3. 计算自由能系统的自由能可以用配分函数来计算，公式如下：F = -kTlnZ其中，F表示系统的自由能。

4. 计算热容系统的热容可以用配分函数来计算，公式如下：Cv = (∂U/∂T) = (1/kT^2)(ΣEi^2e^(-Ei/kT)/Z - (ΣEie^(-Ei/kT)/Z)^2)其中，Cv表示系统的热容。

配分函数是热力学中一个非常重要的概念，它描述了系统在不同能量状态下的概率分布，可以用来计算系统的各种热力学性质。

在实际应用中，我们可以通过计算配分函数来研究各种物理系统的性质，如固体、液体、气体等。

各配分函数的计算配分函数（partition function）是统计物理学中一个重要的概念，用于描述系统在不同能级上分布的概率。

根据系统的不同性质，配分函数可以分为经典配分函数和量子配分函数两种。

1.经典配分函数：经典配分函数描述的是经典力学体系中，粒子在不同能级上的分布情况。

对于一个具有N个粒子的经典体系，经典配分函数的表达式为：Z = Σexp(-βEi)其中，Z表示配分函数，β为热力学倒数，Ei为体系的不同能级。

Σ表示对所有能级求和。

经典配分函数的计算需要知道体系的能级和相应的能量。

对于简单的模型，如经典气体或固体的振动模型，能级和能量可以推算出来。

对于更复杂的体系，如相互作用粒子的分子力学模拟，需要借助计算方法，如动力学模拟、分子动力学方法等，获得能级和能量。

通过计算经典配分函数，可以得到系统的热力学性质，如内能、自由能、压强等，从而研究体系的宏观行为。

2.量子配分函数：量子配分函数描述的是量子力学体系中，粒子在不同能级上的分布情况。

由于量子力学的存在，不同能级之间存在着零点振动和波粒二象性效应。

量子配分函数的计算与经典配分函数略有不同。

一个具有N个粒子的量子体系的配分函数可记作：Z = Tr(exp(-βH))其中，Z为配分函数，β为热力学倒数，H为系统的哈密顿算符。

Tr表示对系统的所有态进行求和或求迹。

量子配分函数的计算在大多数情况下是非常困难的。

需要借助矩阵对角化或者数值方法，如矩阵迭代法、变分法等。

对于一些简单的系统，如理想玻色气体或费米气体，可以根据粒子的自旋来推导出精确的配分函数。

通过计算量子配分函数，可以得到量子体系的热力学性质，如内能、自由能、压强等。

通过对量子配分函数的研究，可以揭示出量子效应对系统性质的影响，如玻色-爱因斯坦凝聚、费米-狄拉克凝聚等。

总之，配分函数是描述统计物理体系中粒子分布情况的重要工具。

通过计算配分函数，可以得到体系的热力学性质，并进一步了解体系的宏观行为。