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4.3.1 空间直角坐标系4.3.2 空间两点间的距离公式教学目标1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置(重点).2.掌握空间两点间的距离公式(重点)．知识梳理知识点1 空间直角坐标系1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz ．②相关概念：点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面．(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．2．空间一点的坐标空间一点M 的坐标可以用有序实数组(x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ，y ，z )．其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标．知识点2 空间两点间的距离1．空间两点间的距离公式(1)在空间中，点P (x ，y ，z )到坐标原点O 的距离|OP |＝x 2＋y 2＋z 2．(2)在空间中，P 1(x 1，y 1，z 1)与P 2(x 2，y 2，z 2)的距离|P 1P 2|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（z 1－z 2）2．2．空间中的中点坐标公式在空间直角坐标系中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则线段AB 的中点坐标是⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22． 教学案例题型一 求空间中点的坐标【例1】 如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 在线段BC 1上，且|BM |＝2|MC 1|，N 是线段D 1M 的中点，求点M ，N 的坐标．解 如图，过点M 作MM 1⊥BC 于点M 1，连接DM 1，取DM 1的中点N 1，连接NN 1.由|BM |＝2|MC 1|，知|MM 1|＝23|CC 1|＝23，|M 1C |＝13|BC |＝13. 因为M 1M ∥DD 1，所以M 1M 与z 轴平行，点M 1与点M 的横坐标、纵坐标相同，点M 的竖坐标为23，所以M ⎝⎛⎭⎫13，1，23. 由N 1为DM 1的中点，知N 1⎝⎛⎭⎫16，12，0.因为N 1N 与z 轴平行，且|N 1N |＝|M 1M |＋|DD 1|2＝56， 所以N ⎝⎛⎭⎫16，12，56.规律方法 1.建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上．(2)充分利用几何图形的对称性．2．求某点P 的坐标的方法一般先找到点P 在xOy 平面上的射影M ，过点M 向x 轴作垂线，确定垂足N ，其中|ON |，|NM |，|MP |即为点P 坐标的绝对值，再按O →N →M →P 确定相应坐标的符号(与坐标轴同向为正，反向为负)，即可得到相应的点P 的坐标．【训练1】 四面体P －ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，P A ＝PB ＝2，PC ＝1，E 为AB 的中点．建立适当的空间直角坐标系，并写出点P ，A ，B ，C ，E 的坐标．解 建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0，0，0)，A (2，0，0)，B (0，2，0)，C (0，0，1)，E (1，1，0)．题型二 空间中点的对称问题【例2】 已知点A (－3，1，－4)，分别写出点A 关于原点、x 轴、y 轴、z 轴及点M (1，2，3)的对称点的坐标．解 点A (－3，1，－4)关于原点的对称点为(3，－1，4)；关于x 轴的对称点为(－3，－1，4)；关于y 轴的对称点为(3，1，4)；关于z 轴的对称点为(3，－1，－4)． 设点A 关于点M (1，2，3)的对称点为A ′(x ，y ，z )．由中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝x －32，2＝y ＋12，3＝z －42.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3，z ＝10. ∴点A 关于点M (1，2，3)的对称点的坐标为(5，3，10)．规律方法 空间点关于坐标轴、坐标平面的对称问题，可以参照如下口诀记忆：“关于谁谁不变，其余的相反”．如关于x 轴对称的点横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy 坐标平面对称的点横、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．特别注意关于原点对称时三个坐标均变为原来的相反数．【训练2】 在空间直角坐标系中，点P (－2，1，4)．(1)求点P 关于x 轴的对称点的坐标；(2)求点P 关于xOy 平面的对称点的坐标；(3)求点P 关于点M (2，－1，－4)的对称点的坐标．解 (1)由于点P 关于x 轴对称后，它在x 轴的分量不变，在y 轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P 1(－2，－1，－4)．(2)由于点P 关于xOy 平面对称后，它在x 轴、y 轴的分量不变，在z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P 2(－2，1，－4)．(3)设对称点为P 3(x ，y ，z )，则点M 为线段PP 3的中点，由中点坐标公式，可得x ＝2×2－(－2)＝6，y ＝2×(－1)－1＝－3，z ＝2×(－4)－4＝－12，所以P 3(6，－3，－12)． 题型三 空间中两点间的距离问题【例3】 已知△ABC 的三个顶点A (1，5，2)，B (2，3，4)，C (3，1，5)．(1)求△ABC 中最短边的边长；(2)求AC 边上中线的长度．解 (1)由空间两点间距离公式得：|AB |＝（1－2）2＋（5－3）2＋（2－4）2＝3，|BC |＝（2－3）2＋（3－1）2＋（4－5）2＝6，|AC |＝（1－3）2＋（5－1）2＋（2－5）2＝29.∴△ABC 中最短边是BC ，其长度为 6.(2)由中点坐标公式得AC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫2，3，72， ∴AC 边上中线的长度为（2－2）2＋（3－3）2＋⎝⎛⎭⎫4－722＝12. 方向2 空间两点间距离公式的应用规律方法 求空间两点间的距离的方法求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立合适的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定．一般来说，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定.【训练3】 (1)已知点A (1－t ，1－t ，t )，B (2，t ，t )，则A ，B 两点的距离的最小值为________；(2)已知点A (0，1，0)，B (－1，0，－1)，C (2，1，1)，若点P (x ，0，z )满足P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，试求点P 的坐标．(1)【解析】由空间中两点间的距离公式，得|AB |＝[2－（1－t ）]2＋[t －（1－t ）]2＋（t －t ）2 ＝5t 2－2t ＋2＝5⎝⎛⎭⎫t －152＋95. 当t ＝15时，|AB |取最小值，最小值为355. 【答案】355(2)解 ∵P A ⊥AB ，∴△P AB 为直角三角形，∴|PB |2＝|P A |2＋|AB |2，即(x ＋1)2＋(z ＋1)2＝x 2＋1＋z 2＋1＋1＋1，即x ＋z ＝1.①又∵P A ⊥AC ，∴△P AC 为直角三角形，∴|PC |2＝|P A |2＋|AC |2，即(x －2)2＋1＋(z －1)2＝x 2＋1＋z 2＋4＋0＋1，即2x ＋z ＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，z ＝2，∴点P 的坐标为(－1，0，2)． 课堂达标1．已知A (－1，2，7)，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为 ( )A ．(－1，－2，－7)B ．(－1，－2，7)C ．(1，－2，－7)D ．(1，2，－7)【解析】点A 关于x 轴对称的点，横坐标不变，纵、竖坐标变为原来的相反数，故选A.【答案】A2．已知点A (x ，1，2)和点B (2，3，4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( )A ．－3或4B ．6或2C ．3或－4D ．6或－2 【解析】由题意得（x －2）2＋（1－3）2＋（2－4）2＝26，解得x ＝－2或x ＝6.【答案】D3．设点P 在x 轴上，它到点P 1(0，2，3)的距离为到点P 2(0，1，－1)的距离的两倍，则点P 的坐标为 ( )A ．(1，0，0)B ．(－1，0，0)C ．(1，0，0)或(0，－1，0)D ．(1，0，0)或(－1，0，0)【解析】因为点P 在x 轴上，所以设点P 的坐标为(x ，0，0)．由题意，知|PP 1|＝2|PP 2|， 所以（x －0）2＋（0－2）2＋（0－3）2＝2（x －0）2＋（0－1）2＋（0＋1）2.解得x ＝±1.所以所求点为(1，0，0)或(－1，0，0)．【答案】D4．在空间直角坐标系Oxyz 中，A (1，2，3)，B (4，5，6)，则|AB |＝________．【解析】|AB |＝（4－1）2＋（5－2）2＋（6－3）2＝3 3.【答案】335．已知正四面体A －BCD 的棱长为1，建立适当的空间直角坐标系，写出顶点A ，B ，C ，D 的坐标．解 设底面正三角形BCD 的中心为点O ，连接AO ，DO ，延长DO 交BC 于点M ，则AO ⊥平面BCD ，M 是BC 的中点，且DM ⊥BC ，过点O 作ON ∥BC ，交CD 于点N ，则ON ⊥DM ，故以O 为坐标原点，OM ，ON ，OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．因为正四面体A －BCD 的棱长为1，O 为底面△BCD 的中心，所以OD ＝23·DM ＝231－14＝33，OM ＝13DM ＝36，OA ＝AD 2－DO 2＝1－39＝63， 所以A ⎝⎛⎭⎫0，0，63，B ⎝⎛⎭⎫36，－12，0，C ⎝⎛⎭⎫36，12，0，D ⎝⎛⎭⎫－33，0，0.课堂小结1．结合长方体的长、宽、高理解点的坐标(x ，y ，z )，培养立体思维，增强空间想象力． 2．学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系．3．在导出空间两点间的距离公式中体会转化与化归思想的应用，突出了化空间为平面的解题思想．。
4．3．2空间两点间的距离公式一、教学目标：1、熟悉空间两点间的距离公式的推导过程；2、会根据具体题目建立适当的直角坐标系.二、教学过程：距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如建筑设计中常常需要计算空间两点的距离.你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗？自学教材136页内容，回答问题（空间两点间的距离公式）<1>类比平面两点间距离公式的推导，您能猜想一下空间两点),,(1111z y x P ，),,(2222z y x P 间的距离公式吗？<2>如果||OP 是定长，那么2222r z y x =++表示什么图形？ 结论：<1>先看简单的情形.设空间直角坐标系中点),,z y x P （,求点P 到原点O 的距离.如图所示，设点P 在xoy 平面上的射影是B ，则点B 的坐标是（x,y,0).在xoy 平面上，我们可以得到结论有|OB|=22y x +.在直角三角形OBP 中，根据勾股定理|OP|=22||||BP OB +,因为|BP|=|z|,所以|OP|=222z y x ++.这说明，在空间直角坐标系Oxyz 中，任意一点P(x,y,z)与原点之间的距离是|OP|=22||||BP OB +下面再看一般的情况，设点),,(1111z y x P ，),,(2222z y x P 是空间任意两点，且两点在xoy 平面上的射影分别为M,N ，那么M,N的坐标为)0,,(11y x M ，)0,,(22y x N .在xoy 平面上，221221)()(||y y x x MN -+-=.过点1P 做N P 2的垂线，垂足为H ，则|||||,|||2211z NP z MP ==，所以||||212z z HP -=.在直角三角形21HP P 中，==||||1MN H P 221221)()(y y x x -+-，根据勾股定理，得到结论如下所示：222121||||||HP H P P P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-=.因此空间中点),,(1111z y x P ，),,(2222z y x P 间的距离公式为可以表示成下面形式：||21P P 221221221)()()(z z y y x x -+-+-=.<2>表示一个球面.三、例题解析：证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角形△ABC 是一等腰三角形.解：由两点间距离公式得：由于，所以△ABC是一等腰三角形四、巩固练习：练习一：完成教材138页练习1、2、3、4；练习二：习题4.3A组第3题.五、作业布置：1、必做题：习题4.2B组第1、2题；2、选做题：习题4.2B组第3题.六、课堂小结：这节课主要学习了两点间的距离公式，要求学生能理解公式的推导过程，能熟记空间两点间的距离公式并能熟练简单的应用.七、课后反思：这节课主要是培养学生的空间想象能力，空间两点间的距离公式的推导过程实际上就是一个解决问题、分析问题的能力，教师要注意引导.。
