系数非线性常微分方程的特解表达式

求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法和特殊技巧1、求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法下面两个公式是求特解的重要公式： A 、 p 为单根时()t f p D -1对应的特解为()dt t f eeX ptpt⎰-=,即 ()()t f eDet f pD ptpt-=-11； （21）B 、p 为s 重根时()t f p D s)(1-对应的特解为()()sptsptsdt t f e eX-⎰⎰⎰=,即()()t f eDet f p D ptspts-=-1)(1。

（22）注：公式（21）也可以作为公式（22）在1=s 时的特例。

由通解公式知，求常系数非齐次线性微分方程的通解问题，就是求其对应齐次方程通解(这主要是求代数方程根的问题)和求原方程的一个特解。

我们下面只讨论如何用（21）和（22）求非齐次方程的特解。

例1：求下列非齐次微分方程的特解： 1)()tt ee x D D226-+=--； 2）()t x Dsin 12=+；3) ()221t x D D+=+； 4) ()teex D D=+-232。

解：设特解为X 1) 解1：()()()tttttteeD e eD eeD D 22222151315161---++-+-=+--()()dteeee dte eeetttttttt⎰⎰----+-+=2222335151tttttttete e te e ee 2222251516151151251101-------=----=取tttee X 25161---= 。

（注意，te 2251--将被合并在方程的通解之中）解2：()()()()()dteeeeD eeD DeeD D tttttttt⎰----++=+-+=+--23322221312161()tt t ttttttttee dt ee eedteeeeD 22222335161512121-------=⎪⎭⎫⎝⎛+-=++=⎰⎰tttee X 25161---= 。

关于非齐次线性常系数微分方程特解的微分算子解法的若干示例一、表示符号把某函数对于自变量x 的导数写成D ，即D=dxd 。

例如，函数y 对x 的一阶导数为y dxdy '=，可以表示成Dy ，同理，y ''可以写成2D y ，三阶、四阶….以此类推D1则代表着求积分，如D1x ，就是⎰xdx ，参看复习指导二、 微分方程的表示如果非齐次方程按降阶写成：)x (f y a y a ya y a n 1n )1n (1)n (0=+'+++-- (1)当然，你也可以写成：)x (f y p y p y p y n 1n )1n (1)n (=+'+++-- ，本质都一样，这种形式相当于（1）方程两边同时除以a 0（0≠）。

这里我们以（1）式为准。

用微分子形式表示方程（1）：)x (f y a Dy a y D a y D a n 1n 1n 1n 0=++++-- 方程左边把公因子y 提出来：f(x))y a D a D a D (a n 1n 1n 1n 0=++++--上式中，把)a D a Da D (a n 1n 1n 1n0++++-- 看作关于D 的一个函数表达式，表示成F （D ）即F （D ）=)a D a Da D (a n 1n 1n 1n 0++++--则方程（1）最终可以写成：F （D ）y=f （x ）三、 相关结论 F （D ）kxe=kxe·F （k ）甲也可以写成：)F(k ee )D (F 1kxkx=，（分母不为零时），若分母为零，参见指导书表格内的公式证明：F （D ）kxe =kxn 1n 1n 1n0)ea D a Da D (a ++++--=)(ea )(ea )(ea )(ea kxn kx1n )1n (kx1)n (kx0+'+++--=kxn kx1n kx1-n 1kxn 0ea kea eka e k a ++++-kxn 1n 1-n 1n0-kx=F （k ）kxe甲注意此处方程左右两端的写法，表达的意义是不一样的，左边F （D ）是求导，具体来说左边是kxn 1n 1n 1n0)ea D a D a D (a ++++-- ，即)(ea )(e a )(ea )(ea kxn kx1n )1n (kx1)n (kx0+'+++-- ，而方程右边则是)(ekx乘于多项式F （k ）其中，左边的带下划线的部分的函数形式与F （D ）一样，因此写成F （k ）形式，只是字母 是常数k ，而不是求导了，意义也就不同了，它只是个关于k 的多项式了。

常系数非齐次微分方程的特解怎么设常系数非齐次微分方程的特解怎么设一、引言在微积分学中，微分方程是研究变量之间关系的重要工具。

其中，常系数非齐次微分方程是一类特殊且常见的微分方程，其解法具有一定的规律性。

本文将对常系数非齐次微分方程的特解设定进行探讨，并分析其中的原理和应用。

二、常系数非齐次微分方程的定义和特点常系数非齐次微分方程是指微分方程中的系数都是常数，且方程右端有非零的常数项。

其一般形式可以表示为：```a_n*y^(n) + a_(n-1)*y^(n-1) + ... + a_1*y' + a_0*y = f(x)```其中，n为微分方程的阶数，`a_n, a_(n-1), ..., a_1, a_0`为常数，`y^(n)`表示y的n次导数，f(x)为非零的常数项。

常系数非齐次微分方程的求解主要有两个步骤：先求解对应的齐次线性微分方程，再求解非齐次线性微分方程。

其中，对于齐次线性微分方程，我们可以利用特征方程的方法求解得到其通解。

而对于非齐次线性微分方程，则需要设定特解，并将特解与齐次方程的通解相加。

三、设定特解的方法设定特解的方法主要有待定系数法和常数变易法两种。

1. 待定系数法待定系数法是常用的一种设定特解的方法，其基本思想是通过设定未知函数的形式，将特解代入微分方程，进而确定未知函数的系数。

常见的设定特解的函数形式有多项式、幂函数、指数函数、三角函数等。

以常见的一阶非齐次线性微分方程为例，形式如下：```a_1*y' + a_0*y = f(x)```我们可以设定特解的函数形式为`y_p = C`，其中C为待定常数。

将特解代入方程，得到：```a_1*0 + a_0*C = f(x)```从上式可以解得待定常数C的值，进而求得此时的特解。

对于高阶非齐次线性微分方程，设定特解的方法类似。

不同的是，在设定特解的函数形式时，需要根据方程右端的f(x)的形式选择相应的函数。

黑龙江工业学院学报JOURNAL OF HEILONGJIANG UNIVERSITY OF TECHNOLOGYVol. 20 No. 12Dec. 2020第20卷第12期2020年12月文章编号：2096 - 3874(2020)12 - 0141 -04二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法蔺琳(大连财经学院，辽宁大连116622)摘要：为剖析二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法，拓宽非齐次线性微分方程的应用领域。

分析对比了迭代法、升阶法、降阶法、算子法、积分求法、Laplace 变换法、变量变换法 和化为方程组法等方法的优缺点和适用条件。

关键词:常微分方程;非齐次;特殊解法;分析;利弊中图分类号:0175 文献标识码:A常微分方程是数学分析与微分方程运算中不可或缺的一个组成部分⑴。

例如,在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存 在满足常微分方程关系式的数学模型，需要通过求解微分方程来了解未知函数的性质⑵。

因此, 常微分方程是解决实际问题的重要工具。

其中， 形如y" +py' +qy =/(%)(其中p,g 为常数)的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程⑶。

众所周知，待定系数法和常数变易法是二阶常系数非齐 次线性微分方程的普遍解法，但这两种方法都有不足之处，例如求解过程较为繁琐，计算量较 大“T o 本文综述了积分法、算子法、降阶法、升阶法、拉普拉斯变换法、化为方程组法和迭代法求解 方程的原理与应用。

同时,分析了各个二阶常系数非齐次线性微分方程特殊解法的利弊,为微分 方程在不同的条件下快捷使用相应的求解方法研 究奠定基础。

1二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法1」积分法求解方程设卩(％)是齐次方程y" +py +qy =0的一个解，且卩(0) =0,卩'(0)工0,则 y" +py' +qy =f(x) 的特解为 y* (%) =cp (:x - t) dt 。

微分方程的特解形式大全微分方程是数学中一类重要的方程，其解决了许多实际问题。

对于一个微分方程，一般情况下存在通解和特解两种解。

通解是该微分方程的所有解的集合，而特解是满足特定条件或给定初值条件的解。

下面将介绍一些常见微分方程的特解形式。

1. 一阶线性常微分方程:一阶线性常微分方程的一般形式为dy/dx + P(x)y = Q(x)。

其特解形式可以通过常数变易法得到。

假设通解为y = c(x)y_1(x)，其中c(x)为未知函数，y_1(x)为已知解。

将这个形式代入方程中可以得到c(x)的微分方程，通过求解这个微分方程可以得到特解。

2. 二阶常系数齐次线性微分方程:二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为d^2y/dx^2 + a(dy/dx) + by = 0。

其特解形式可以通过假设y = e^(rx)的形式，然后代入方程得到关于r的代数方程。

通过求解代数方程可以获得特解的形式。

3. 二阶非齐次线性微分方程:二阶非齐次线性微分方程的一般形式为d^2y/dx^2 + a(dy/dx) + by = f(x)。

其中f(x)为已知函数。

特解的形式可以通过常数变易法或待定系数法得到。

常数变易法假设特解为y = u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)为未知函数。

待定系数法假设特解为已知函数的线性组合，通过代入方程得到待定系数。

4. 高阶常系数齐次线性微分方程:高阶常系数齐次线性微分方程的形式为d^n y/dx^n + a_1 d^(n-1) y/dx^(n-1) + ... + a_n y = 0。

其特解形式可以通过假设y = e^(rx)的形式，然后代入方程得到关于r的代数方程。

通过求解代数方程可以获得特解的形式。

5. 高阶非齐次线性微分方程:高阶非齐次线性微分方程的形式为d^n y/dx^n + a_1 d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_n y = f(x)。

其中f(x)为已知函数。

【常系数非齐次微分方程的特解怎么设】一、引言在数学的学习中，微分方程是一个重要的分支，在工程、物理等领域有着广泛的应用。

其中，常系数非齐次微分方程的特解是一个颇具挑战性的问题。

本文将围绕这一主题展开讨论，深入探究如何设定常系数非齐次微分方程的特解，以帮助读者更全面地理解这一内容。

二、常系数非齐次微分方程的基本形式我们需要了解常系数非齐次线性微分方程的基本形式。

一般地，常系数非齐次线性微分方程可以表示为：\[ a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = F(x) \]其中，\[ y^{(n)} \] 表示 y 的 n 阶导数，\[ a_n, a_{n-1}, \cdots, a_1, a_0 \] 为常数，\[ F(x) \] 为非齐次项。

三、常系数非齐次微分方程特解的设定接下来，我们将探讨如何设定常系数非齐次微分方程的特解。

一种常用的方法是根据非齐次项的形式来设定特解的形式。

具体来说，如果非齐次项为多项式形式，我们可以设定特解为与非齐次项形式相同的多项式；如果非齐次项为指数形式，我们可以设定特解为与非齐次项形式相同的指数函数；如果非齐次项为三角函数形式，我们可以设定特解为与非齐次项形式相同的三角函数等等。

四、具体案例分析为了更好地理解常系数非齐次微分方程特解的设定方法，我们以具体的案例来进行分析。

考虑如下的微分方程：\[ y'' - 3y' + 2y = 4e^x \]我们可以根据非齐次项的形式来设定特解的形式，因为非齐次项为指数形式，所以我们设定特解为与非齐次项形式相同的指数函数，即\( y_p = Ae^x \)。

将 \( y_p \) 代入原方程，得到：\[ (Ae^x)'' - 3(Ae^x)' + 2Ae^x = 4e^x \]整理化简后，得到 \( A = 2 \)，因此特解为 \( y_p = 2e^x \)。