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第六章 非线性微分方程 常微分方程课件 高教社ppt 王高雄教材配套课件

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《高等数学》课件第6章 常微分方程

《高等数学》课件第6章 常微分方程
将yerx代入方程ypyqy0得 (r2prq)erx0
由此可见,只要r满足代数方程r2prq0函数yerx 就是微分方程的解
方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 其根称为特征根
p2—4q>0 p2—4q=0 p2—4q<0
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2 i
2、f(x)=eαx[Pl(x)cosβx+Pn(x)sinβx]型 特解可设为
y*xkeαx[Rm(1) (x)cosβxRm(2) (x)sinβx] 其中Rm (1) (x), Rm (2) (x)是m次多项式设Pl(x) 和 Pn(x) 较高次为m 次,根据α±iβ 不是特征方程的根或是 特征方程的根, k 分别取0 ,1.
两边积分
dy g( y)
f
(x)dx
c
得出通解
G(y) F(x) C
1 的某一原函数 f (x)的某一原函数 ( y)
二、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程 y p(x)y q(x)
其中p(x) , q(x)是 x的己知函数.其特点是未知函数 y及 其导数 y' 都是一次的(即线性的).
这是关于变量 y 和未知函数p(y)的一阶微分方程， 设其通解p= φ(x,C1) , 即y' = φ(x,C1) ,分离变量并积分得
dy
( y,C1) x C2
第四节 二阶常系数线性微分方程
一、二阶常系数线性微分方程解的性质
形如y''+ py' + qy = 0的方程(其中p, q为常数) ，称 为二阶常系数齐次线性微分方程.
y c(x)e p(x)dx

常微分方程6.1

常微分方程6.1
1 2 2 2
( t 0)
1 2 2t 2 2t 2 0
其中
2
x0 y 0 0
2 2
1 2 2 0 t
[ x ( t ) y ( t )] ( x 0 e y e ) ( x 0 y ) e
.
由于函数et 随t 的递增而无限地增大. 因此,对于任意
1
，不管 0
( x 0 y 0 ) 2 取得怎样小，
很小时，差
x ( t , t 0 , x 0 ) ( t , t 0 , x1 )
x ( xi ) 2
2 i 1 n 1
的变化是否也很小?
如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间， 那么这是解对初值的连续依赖性,第2章的定理2.7已有结论. 现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间， 那么解对初值不一定有连续依赖性(见下面的例3)， 这就产生了李雅普诺夫意义下的稳定性概念.
假设
x (t , t0 , x1 )
是稳定的，而且存在
x 0满足
1 (0 1 ) ，使得只要
x 0 x1 1
就有
lim ( x ( t , t 0 , x 0 ) ( t , t 0 , x 1 )) 0
t
则称(5.1)的解
x (t , t0 , x1 )
第六章 非线性微分方程和稳定性
§6.1 引言
在19世纪中叶,通过刘维尔的工作,人们已经知道绝大多数 的微分方程不能用初等积分方法求解. 这个结果对于微分 方程理论的发展产生了极大影响, 使微分方程的研究发生了一个转折.既然初等积分法有着 不可克服的局限性, 那么是否可以不求微分方程的解,而是从微分方程本身来 推断其解的性质呢? 定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的. 前者由法国数学家庞加莱(Poincaré,1854-1912)在19世纪 80年代所创立， 后者由俄国数学家李雅普罗夫(Liapunov,1857-1918)在同 年代所创立.

《常微分方程》第六章 非线性微分方程

《常微分方程》第六章 非线性微分方程

定理6.1 (稳定性的Liapunov判别法) 设有定义在 D Rn
上的定正(定负)函数 V (x), dV dt
(6.2)
表示 V (x) 沿系统(6.2)的轨线
的全导数
dV (1) 若 dt (6.2)
dV (2) 若 dt (6.2)
在 D 上是常负(常正)的,则 x 0 是稳定的; 在 D 上是定负(定正)的,则 x 0 是渐近稳定的;
称为 x 0 吸引域;如果吸引域是全空间,则称 x 0 是全局渐近
稳定的.
(3) 若 0 0, 0, 都 x0 与 t1 t0 , 使 x0 ,
但 x(t;t0, x0 , 则称 x 0 是不稳定的;
例如, 微分方程 dx ax
dt
满足初值条件 x(t0 ) x0 ,
(a)
(b)
又知,对任意常数,函数x cos(t ), y sin(t ), 也是方程组的解,它的积分曲线是经过(,1, 0)的螺旋
线,但是它们与解x cos t, y sin t有同一条轨线 x2 y2 1.
同是,我们也可以看出, x cos(t ), y sin(t )
(6.1)称为非自治系统, (6.2)称为自治系统,
6.1.1 非自治系统与自治系统的主要区别
自治系统不论是在相空间还是增广相空间,轨线匀不相交. 而非自
治系统在增广相空间积分曲线不相交,但在相空间轨线可能相交.
定义6.1 若存在 x* D 使 f (x*) 0, 则点 x* 称为系统(6.2)
的解为
x x0ea(tt0 ) .
6.3 判定稳定性的Liapunov函数法
定义6.3 设 D x x H Rn,V C(1) (D).

常微分方程 ppt课件

常微分方程 ppt课件

量，x是未知函数，是未知函数对t导数. 现
在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果
考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程
(1.1)可化为
d2x dt 2

g
(1.2)
将上式对t积分两次得
x(mt)xk12xgt2mgc1t c2
(1.3) (1.1)
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11
一般说来，微分方程就是联系自变量、 未知函数以及未知函数的某些导数之间的关 系式. 如果其中的未知函数只是一个自变量 的函数，则称为常微分方程；如果未知函数 是两个或两个以上自变量的函数，并且在方 程中出现偏导数，则称为偏微分方程. 本书 所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分 方程或方程.
这样，从定义1.1可以直接验证：
F(x, y, y) 0
(1.8)
如果在(1.8)中能将 y 解出，则得到方程
y f (x, y)
(1.9)
或
M (x, y)dx N(x, y)dy 0
(1.10)
(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微 分形式的一阶方程.
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n 阶隐式方程的一般形式为
常微分方程
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1
常微分方程课程简介
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、 物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数 学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航 天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都 可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、 万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、 人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗
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2
传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的 浮动、市场均衡价格的变化等，对这些 规律的描述、认识和分析就归结为对相 应的常微分方程描述的数学模型的研究.

§3.4数值解常微分方程课件高教社王高雄教材配套ppt(精)

§3.4数值解常微分方程课件高教社王高雄教材配套ppt(精)
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欧拉方法
dy f ( x, y ), dx y ( x0 ) y0
• 欧拉方法 用差分代替微分
yn1 yn h f ( xn , yn ), xn x0 n h.
称为欧拉(Euler)公式。 • 相当于解用泰勒级数展开取第1项
y( xn1 ) y( xn h) y( xn ) h y '( xn ) O(h2 )
h yi 1 yi (k1 2k2 2k3 k4 ), 6 h h k1 f ( xi , yi ), k2 f ( xi , yi k1 ), 2 2 h h k3 f ( xi , yi k2 ), k4 f ( xi h, yi hk3 ), 2 2
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误差与步长选择
1 1 1 1 , 2 , 3 d 2 2d 2 2d 2
• 而要h3项系数相同的条件更多且无法同时满足. • 因此r=2时龙格－库塔公式最大阶数为p(2)=2.
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二阶龙格－库塔公式 r=2 情形
• 应用双变量泰勒级数展式
k2 f ( xn d 2 h, yn 21k1h) f ( xn , yn ) h d 2 21k1 f ( xn , yn ) y x h d k 2 21 1 ( p 1)! x y
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梯形公式
• 方程解的积分形式
y( x) f ( x, y( x))d x
x0 x
• 用定积分的梯形公式近似代換
yn1 yn

常微分方程(王高雄)第三版

常微分方程(王高雄)第三版
这 x0,里 y0,y0 (1 ), ,y0 (n 1 )是给 n 1 个 定.常 的
当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为初值问题. .
注1:n阶微分方程的初始条件有时也可写为
注2y : (求 x 0 ) n阶 y 微 0 ,d 分d (x 方 0 y ) : Fx 程(xy ,0 (1 y),, ddyx,,d (,n d dd1 ) nxn y ny ( )1 x x 0 ) 0, 满y 0 ( 足 n 1 )条件
例1：下列关系式都是微分方程
(1) dy 2x; dx
(2x)d y yd0 x;
(3) dd22txtxddxt3x0;
(4) d4x5d2x3xsitn; d4t d2t
(5) z z z ; x y
(6) 2u2uxyuz0. x2 y2
.
1.常微分方程 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，
如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所 含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的 阶数相同,则称这样的解为该 方程的隐式通解.
.
定义6 在通解中给任意常数以确定的值而得到的解 称为方程的特解.
例如 ysixn,y co x都 s 是 y"方 y0 的 程特 . 可在 y通 c1sixn 解 c2co x中 s 分别 c11,c20,得到 : ysinx, c10,c21,得到 : ycox.s
dx 所规定的方向场.
在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.
方 d程 yf(x ,y)的等 ,f(x 斜 ,y) k,线 其 k 为 为 中 .参 dx
.
方向场画法：适当画出若干条等斜线，再在每条等斜线上适当 选取若干个点画出对应的向量,这样即可画出这个方向场.

42常系数线性微分方程的解法常微分方程课件高教社王高雄教材配套

dt
n
a1 (t )
dt
n1

an1 (t )
dt
an (t ) z f (t )
的复值函数z(t)称为方程(1)的复值解。
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复值函数性质
• 极限
• 导数 • 微分
t t0
lim z (t ) lim (t ) i lim (t )
t t0 t t0
复指数函数性质
• 设、为实数，t为实变量，则K= +i 为复数，复指 数函数定义为 eK t e( i )t et (cos t i sin t ) • 有 1 1 cos t (ei t e i t ), sin t (ei t e i t )
连续 lim z (t ) z (t0 )
t t0
t t0
lim
z (t ) z (t0 ) d z (t0 ) z '(t0 ) t t0 dt
d z (t ) d (t ) d (t ) i dt dt dt
d z1 (t ) d z2 (t ) d [ z1 (t ) cz2 (t )] c dt dt dt
n
e
( 1 2 L n )t
1
M
2
M
n
M
n 1 n

1n1e t
n 1 t 2 e L
n 1 1n1 2 L
1 j i n

(i j ) 0.
即n个解在区间上线性无关，构成的基本解组。 方程有通解 t t t
x c1e 1 c2e
dn x d n1 x dx a ( t ) L a ( t ) an (t ) x u(t ) iv(t ). (**) 1 n1 n n1 dt dt dt

6.2 稳定性 奇点 常微分方程课件 高教社ppt 王高雄教材配套课件

§6.2稳定性奇点d (,)((,))d (,)y Y x y X x y 0x X x y =≠d (,)((,))d (,)x X x y Y x y 0y Y x y =≠或d (,)d ()d (,)d x X x y t 18y Y x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩奇点驻定解奇点d d ()d d x ax by t 21y cx dy t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩a b 0c d ≠标准形式11122122k x k y k x k y ξη=+⎧⎨=+⎩,,,010000λλλαβμλλβα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦a b 0c d λλ-=-,(),2p q 0p a d q ad bcλλ++==-+=-情形Ⅰ同号相异实根情形Ⅰ同号相异实根(),()12t t t Ae t Be λλξη==()()()()21t t B e 0t t Aλληκξ-==→→∞当()()()()12t 1t A e 0t t Bλλξκη-==→→∞当d d ,d d 12tt ξηλξλη==情形Ⅰ同号相异实根图结点稳定结点不稳定结点情形Ⅱ异号实根情形Ⅱ异号实根鞍点不稳定(),()12t t t Ae t Beλλξη==d d ,d d 12tt ξηλξλη==情形Ⅱ异号实根图情形Ⅲ重根(1)情形Ⅲ重根•(1) b ≠0或c ≠0 退化结点稳定退化结点不稳定退化结点()(),()t t t At B e t Aeλλξη=+=()()()t A 0t t At B ηξ=→→∞+当d d ()d d x ax by t 21y cx dy t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩d d ,d d tt ξηλξηλη=+=情形Ⅲ重根(1)图情形Ⅲ重根(2)•(2) b =c =0奇结点稳定的不稳定的(),()t t x t Ae y t Be λλ==d d ,,d d x y x y a d t tλλλ====情形Ⅳ非零实部复根•情形Ⅳ非零实部复根,tr Ae t Bαθβ==-+d d ,d d ttξηαξβηβξαη=+=-+d d d d d d ,d d d d d d 2r rrt t t t t tξηηξθξηξη+=-=d d ,d d rr t tθαβ==-情形Ⅳ非零实部复根图情形Ⅴ纯虚根•情形Ⅴ纯虚根中心零解稳定线性奇点定理定理6 •(1) 结点鞍点•(2)退化结点奇结点•(3) 焦点()()dxax by a b dt21022dy cdcx dy dt⎧=+⎪⎪≠⎨⎪=+⎪⎩,(),()2p q 0p a d q ad bc 24λλ++==-+=-奇点类型图p2-4q=0,(),()2p q0p a d q ad bc24λλ++==-+=-例1 讨论二阶线性微分方程的奇点：解d dd d22x x32x0 t t++=ddddxyty2x3yt⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩极限环例例1 即轨线按顺时针方向从圆上走出圆外；,,,,0000r 0t t t t r 1t t t t θθ==-≥==-≥和d ()d d ()d 2222x x y x x y t y x y y x y t⎧=+-+⎪⎪⎨⎪=-+-+⎪⎩d d (),d d 2r r 1r 1t tθ=-=-d d (),d d 1211r R r R 1R 010t t θθθ*===->=-<d d (),d d 2222r R r R 1R 010t t θθθ*===-<=-<极限环稳定不稳定半稳定极限环d(,)d()d(,)dxX x yt18yY x yt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩环域定理定理7定理8证X Yx y∂∂+∂∂:(),(),x x t y y t 0t T Γ==≤≤d d (,)(,)18d d x yX x y Y x y t t==，.（）()()d d d d d d d d d d T TD 00X Y y x x y X y Y x X Y t XY YX t 0x y t t ΓΓ⎛⎫∂∂⎛⎫+=-=-=-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰数学摆和范得波尔(van der Pol)方程例2 解范得波尔(van der Pol)方程李纳(Lienerd)方程0X Y x y m μ∂∂+=-<∂∂d d ,sin ,(0)d d x y g y x y t t l m μμ==-->222d d (1)0d d x x x x t t μ+-+=d d ()()d d 22x x f x g x 0t t ++=d ()()d ,()d x 0x F x f x x y F x t ==+⎰d d (),()d d x y y F x g x t t=-=-李纳(Lienerd)方程定理定理9(1) (2) (3) 稳定的极限环()()d x 0F x f x x =⎰d d ()()d d 22x x f x g x 0t t++=d d (),()d d x y y F x g x t t =-=-范得波尔方程极限环2d d (1),d 3d x x y y x t tμ=--=-222d d (1)0d d x x x x t tμ+-+=Poincare映射k重极限环Poincare映射P后继函数•k重极限环希尔伯特第16问题个数唯一性唯n性平面图貌d (,)d ()d (,)d x X x y t 18y Y x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩两种群模型竞争系统被捕食-捕食系统共生系统d (1)d 36d (1)d x rx ax by t y sy cx dy t⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（）竞争系统Volterra被捕食-捕食模型--=c dx a byx e y e k分界线、同宿、异宿环(轨)分界线同宿环(轨)异宿轨异宿环全局图貌。

常系数线性微分方程的解法常微分方程课件高教社王高雄教材配套

收敛速度：数值解法的误差随着计算步长的减小而减小的速度，决定了数值解法的精度和计算 效率
汇报人：
特征值和特征向量
特征值：线性变 换的特征值是线 性变换矩阵的特 征多项式的根
特征向量：线性 变换的特征向量 是线性变换矩阵 的特征多项式的 解
特征值和特征向 量的关系：特征 值和特征向量是 线性变换矩阵的 特征多项式的解 和根
特征值和特征向量 的应用：特征值和 特征向量在常系数 线性微分方程的解 法中有广泛的应用， 如求解线性微分方 程的解、求解线性 微分方程组的解等
积分因子法
积分因子法的定义：通过求解积分因子，将微分方程转化为积分方程，从而求解微分方程的方法。 积分因子法的步骤：首先，求解积分因子；然后，将微分方程转化为积分方程；最后，求解积分方程。
积分因子法的应用：适用于求解常系数线性微分方程，如二阶常系数线性微分方程。
积分因子法的优缺点：优点是简单易行，缺点是适用范围有限，仅适用于常系数线性微分方程。
,
汇报人：
目录
定义和形式
常系数线性微分方程：含有未知函数及其导数的方程，其系数为常数
一阶常系数线性微分方程：形如y' + py = q(t)的方程，其中p和q(t)为常数
二阶常系数线性微分方程：形如y'' + py' + qy = r(t)的方程，其中p、q和r(t)为 常数
高阶常系数线性微分方程：形如y(n) + p(n-1)y(n-1) + ... + qy = r(t)的方程，其中p(n-1)、q和r(t)为常 数
描述物体运动：如自由落体、弹簧 振子等
在物理中的应用
描述热传导：如热传导方程、热扩 散方程等

6.2 稳定性 奇点 常微分方程课件 高教社ppt 王高雄教材.

§6.2 稳定性 奇点d (,)((,))d (,)y Y x y X x y 0x X x y =≠d (,)((,))d (,)x X x y Y x y 0y Y x y =≠或d (,)d ()d (,)d x X x y t 18y Y x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩奇 点驻定解奇点 d d ()d d x ax by t 21y cx dy t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩a b 0c d ≠标准形式11122122k x k y k x k y ξη=+⎧⎨=+⎩,,,010000λλλαβμλλβα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦a b 0c d λλ-=-,(),2p q 0p a d q ad bc λλ++==-+=-情形Ⅰ同号相异实根情形Ⅰ 同号相异实根 (),()12t t t Ae t Be λλξη==()()()()21t t B e 0t t A λληκξ-==→→∞当()()()()12t 1t A e 0t t B λλξκη-==→→∞当d d ,d d 12tt ξηλξλη==情形Ⅰ同号相异实根图结点稳定结点不稳定结点情形Ⅱ异号实根情形Ⅱ 异号实根 鞍点不稳定(),()12t t t Ae t Beλλξη==d d ,d d 12tt ξηλξλη==情形Ⅱ异号实根图情形Ⅲ重根(1)情形Ⅲ 重根•(1) b ≠0或c ≠0 退化结点稳定退化结点 不稳定退化结点()(),()t t t At B e t Aeλλξη=+=()()()t A 0t t At B ηξ=→→∞+当d d ()d d x ax by t 21y cx dy t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩d d ,d d tt ξηλξηλη=+=情形Ⅲ重根(1)图情形Ⅲ重根(2)•(2) b =c =0奇结点稳定的不稳定的(),()t t x t Ae y t Be λλ==d d ,,d d x y x y a d t tλλλ====情形Ⅳ非零实部复根•情形Ⅳ 非零实部复根 ,t r Ae t Bαθβ==-+d d ,d d ttξηαξβηβξαη=+=-+d d d d d d ,d d d d d d 2r r r t t t t t t ξηηξθξηξη+=-=d d ,d d r r t t θαβ==-情形Ⅳ非零实部复根图情形Ⅴ纯虚根•情形Ⅴ纯虚根中心零解稳定线性奇点定理定理6 •(1) 结点鞍点•(2)退化结点奇结点•(3) 焦点()()dxax by a b dt21022dy cdcx dy dt⎧=+⎪⎪≠⎨⎪=+⎪⎩,(),()2p q 0p a d q ad bc 24λλ++==-+=-奇点类型图p2-4q=0,(),()2p q0p a d q ad bc24λλ++==-+=-例1 讨论二阶线性微分方程的奇点：解d dd d22x x32x0 t t++=ddddxyty2x3yt⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩极限环例例1 即轨线按顺时针方向从圆上走出圆外；,,,,0000r 0t t t t r 1t t t t θθ==-≥==-≥和d ()d d ()d 2222x x y x x y t y x y y x y t⎧=+-+⎪⎪⎨⎪=-+-+⎪⎩d d (),d d 2r r 1r 1t tθ=-=-d d (),d d 1211r R r R 1R 010tt θθθ*===->=-<d d (),d d 2222r R r R 1R 010t t θθθ*===-<=-<极限环稳定不稳定半稳定极限环d(,)d()d(,)dxX x yt18yY x yt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩环域定理定理7 定理8 证 X Yx y∂∂+∂∂:(),(),x x t y y t 0t TΓ==≤≤d d (,)(,)18d d x yX x y Y x y t t==，.（）()()d d d d d d d d d d T TD 00X Y y x x y X y Y x X Y t XY YX t 0x y t t ΓΓ⎛⎫∂∂⎛⎫+=-=-=-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰数学摆和范得波尔(van der Pol)方程 例2 解范得波尔(van der Pol)方程 李纳(Lienerd)方程 0X Y x y m μ∂∂+=-<∂∂d d ,sin ,(0)d d x y g y x y t t l m μμ==-->222d d (1)0d d x x x x t t μ+-+=d d ()()d d 22x x f x g x 0t t ++=d ()()d ,()d x 0x F x f x x y F x t ==+⎰d d (),()d d x y y F x g x t t =-=-李纳(Lienerd)方程定理 定理9 (1) (2) (3) 稳定的极限环()()d x 0F x f x x=⎰d d ()()d d 22x x f x g x 0t t++=d d (),()d d x y y F x g x t t =-=-范得波尔方程极限环2d d (1),d 3d x x y y x t t μ=--=-222d d (1)0d d x x x x t t μ+-+=Poincare映射k重极限环Poincare映射P后继函数•k重极限环希尔伯特第16问题个数唯一性唯n性平面图貌 d (,)d ()d (,)d x X x y t 18y Y x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩两种群模型竞争系统被捕食-捕食系统共生系统d (1)d 36d (1)d x rx ax by t y sy cx dy t⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（）竞争系统Volterra被捕食-捕食模型--=c dx a byx e y e k分界线、同宿、异宿环(轨)分界线同宿环(轨)异宿轨异宿环全局图貌。

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稳定性定理推广
d x f (x), f (0) 0, x Rn (14) dt
• 进一步的推广有
定理5 如果对微分方程组（14）存在定正函数V(x)，其 通过方程组(14)的全导数dV(x)/dt为常负，但使 dV(x)/dt=0的x的集中除零解x=0外不包含方程(14)的整 条正半轨线，则方程组（14）的零解是渐近稳定的。
1
a1, 2
a1 a3
a0 a2
, 3
a1 a3 a5
a0 a2 a4
其中ai=0(对一切i>n)。
0 a1 , a3
a1 , n a3
a2n1
a1 a2
a2n2
0 0
ann1
an
定理3 方程(8)的一切根均具负实部充分必要条件为成立不等
式
a1 0, 2 0, 3 0, , n1 0, an 0
x0
D时，满足初值条件x(t0)=
x0的解x(t)均有
lim
t
x(t)
0
则域D0称为(渐近)稳定域或吸引域。
• 若稳定域为全空间，即 0 =+∞，则称零解x=0是全局渐近
稳定的或简称为全局稳定的。
• 当零解x=0不是稳定时，称它是不稳定的，
• 即：如果对某给定的 ，不管怎样小，总有x0满足||x0||≤ ， 使方程组(5)的由初值条件x(t0)= x0确定的解x(t) ，至少存在 某有t1>t0，有||x(t1)||= 。
其中a>0,b>0,c>0. 考虑其根均具负实部时参数c的变化范围. 解 对应方程,有
a0 1, a1 a b 1, 2 (a b 1)(b(a c) 2ab(c 1), a3 2ab(c 1)
• 由定理3,方程的根均具负实部的充要条件是c>1及 2>0, •即
a b 1, 1 c
定理2 若特征方程(10)没有零根或零实部特征根(特征值)，
则非线性方程组(11)的零解的稳定性态与其线性近似方程(8) 零解的稳定性态一致：当特征方程(11)的根均具负实部根 (包括负根)时，方程组(8)的零解是渐近稳定的；当特征方 程(10)具正实部根(包括正根)时,方程组(11)的零解不稳定。
• 平面一阶微分方程组 的相空间为平面。 相平面上V(x)=c为 闭曲线族。轨线的 走向如图(6.3)所示。
17 第六章 非线性微分方程§6.1
例4
例4 讨论平面一阶微分方程组 d x y ax3, d y x ay3
dt
dt
• 零解的稳定性态。
解 其线性近似方程组x’=-y,y’=x的特征方程λ2+1=0的根为
• 注 定理4是李雅普诺夫稳定性的基本定理。对含时间t的驻 定微分方程及含时间t的函数V(t,x)也有相应的定理，V(t,x) 定理条件及函数V(t,x)的有关定义要作一些改变，如V(t,x定 正的含义应改为存在定正函数W(x)，使得V(t,x) ≥ W(x) 。
18 第六章 非线性微分方程§6.1
定正；
• V (x, y) sin(x y)2 •
在域x2+y2< 上定正， 在全平面变号；
• V (x, y) ax2 bxy cy2 当a>0,4ac-b2>0时定正， 当a<0,4ac-b2>0时定负；
15 第六章 非线性微分方程§6.1
李雅普诺夫定理 d x f (x), f (0) 0, xRn (14) dt
• 若特征方程有零根或零实部特征根时方程组(11)属临界情 形，其零解的稳定性态不能由其线性近似方程组(8)的零解 的稳定性态决定，需考虑高次项的影响。
10
第六章 非线性微分方程§6.1
霍维茨判别法
• n次常系数代数方程 a0n a1n1 an1 an 0, a0 0 的霍维茨行列式定义为
定理4 如果对微分方程组（14）存在定正函数V(x)，其通过 方程组(14)的全导数为常负函数或恒为零，则方程组（14） 的零解是稳定的。
• 如果存在定正函数V(x)通过方程组(14)的全导数为定负时， 则方程组（14）的零解是渐近稳定的。
• 如果存在函数V(x)和某非负常数 ，其通过方程组(14)的 全导数可表为 dV V W (x)
其特征方程为 det(A E) 0 (10)
由第五章(5.52)式知线性微分 方程组的任一解均可表为形如
li cimt meit , 1 i n
m0
• 的线性组合。其中λi 为特征方程(10)的根，li≥0为由根λi的 重数确定的整数。
定理1 若特征方程(10)的根均具负实部根(包括负根)，则方程 组(8)的零解是渐近稳定的；若特征方程(10)具正实部根(包括 正根)，则方程组(8)的零解是不稳定的；若特征方程(10)没有 正实部根(包括正根)的根，但有零根或零实部的根，则方程 组(8)的零解可能是稳定的也可能是不稳定的，这要看零根或 零实部的根的重数是否等于1而定。
9 第六章 非线性微分方程§6.1
按线性近似的稳定性 dx Ax (8) dt
现考虑非线性驻定微分方程组 d x Ax R(x), R(0) 0 (11)
右端函数满足条件
dt R(x)
lim
0
x 0 x
显然，方程组有零解x=0。 可以按(11)的线性近似方程组
(8)零解的稳定性态决定非线性驻定微分方程组(11)的稳定性 态。即
dt
• 即y的方程组的特解y= φ(t)变为x的方程组的零解。
3
第六章 非线性微分方程§6.1
例 d y Ay By2 (4) dt
例 对方程(4)的特解y2(t)= A/B ，可通过变换 x=y-A/B
• 化为方程
d x Ax Bx2 (7) dt
• 这样，讨论方程(4)的特解y2(t)= A/B的稳定性态 便可化为讨论上方程的零解x=0的稳定性态。
•
霍维茨行列式为
4 a0 1, a1 4, 2 3
1 5 17, a3 3
• 根据定理3, 特征方程的根均具负实部。
• 由定理2知非线性微分方程组的零解x=y=z=0是渐近稳 定的。
12 第六章 非线性微分方程§6.1
例2
例2 对三次代数方程
3 (a b 1)2 b(a c) 2ab(c 1) 0
• 定理的证明见高等代数课本。
11 第六章 非线性微分方程§6.1
例1
例1 考虑一阶非线性微分方程组
dx dt
2x
y
z
x2ex
dy dt
x
y
x3 y
z2
零解的稳定性。
d z d t
x
y
z
ex
(y2
z2)
2 1
1
1 1 0 0
解 这里对应的线性近似方程组的特征方程为 1 1 1
即 3 42 5 3 0
和当A<0,B<0时的特解y2(t)
为不稳定的。
• 对方程组
d y g(t, y) dt
• 的某特解 y= φ(t), 可以通过变换 x=y-φ(t)化为方程组
d x f (t, x), f (t, 0) 0
dt
的零解。
其中
f (t, x) g(t, y) d(t) g(t, x (t)) g(t,(t))
λ=±i，属于临界情形。
• 如取定正函数 V 1 (x2 y2)
• 根据定理4有
2
则 dV a(x4 y4) dt
（1） 如a<0，则dV/dt定负，方程组的零解为渐近稳定；
（2） 如a>0 ，则dV/dt定正，方程组的零解为不稳定；
（3） 如a=0 ，则dV/dt = 0，方程组的零解稳定。
• 可将方程组(14)的解代入再对求导得
dV
dt
n V i1 xi
d xi dt
n V i1 xi
fi
V x
f
• 此导数称为通过方程组(14)的全导数。
14
第六章 非线性微分方程§6.1
例1 函数 • V (x, y) (x y)2
V 函数例
常正；
• V (x, y) (x y)2 y2
dt
且当 =0时W为定正函数，当 ≠0时W为常负函数或恒为 零，又在x=0的任意小邻域内至少存在某个x使得V(x)>0， 则方程组（14）的零解是不稳定的。 • 证明方法见后面几何解释，详细证明略。
16 第六章 非线性微分方程§6.1
稳定性几何解释
• 在由未知函数x组成的n维相空间(x)中，方程组（14）的解 在相空间中的轨迹为轨线。V(x)=c当c足够小时在相空间中 是围绕原点的n-1维闭曲面。方程组（14）的零解x=0稳定 时，其原点附近的由||x0||≤ 为初值出发的轨线x(t)均停留 在某闭曲面V(x)=c内。零解x=0渐近稳定时，轨线将沿闭 曲面一层层趋于原点。
或
a b 1, 1 c c0,
其中 c0
a(a b 3) a b 1
13 第六章 非线性微分方程§6.1
V 函数方法
d x f (x), f (0) 0, x Rn (14) dt
• 考虑n维一阶非线性驻定微分方程组(14) ，其中f(x)在某域 G:|||x||≤ A内有连续的偏导数，从而方程组的在域G内满足初 值条件x(t0)=x0的解在原点的某邻域内存在且唯一。
• 微分方程（4）右端不含自变量，其右端为零得到的代数 方程Ay-By2=0的解y1(t)= 0 ,y2(t)= A/B是微分方程（4）的 常数解，称为平衡解。
• 微分方程（7）右端不含自变量时为驻定微分方程。
• 驻定微分方程右端为零得到的代数方程的解
是微分方程的常数解，也是特解，称为驻定解或平衡解。