高中数学选择性必修二 5 2 导数的运算(含答案)同步培优专练

人教版高二下学期数学(选择性必修二)《5.2导数的运算综合》同步测试题-带答案一、单项选择题（每小题5分，共30分）1.已知函数f（x）满足f'（2）=3，则limΔx→0f（2+2Δx）−f（2）Δx等于（）A.32B.23C.6D.32.函数f（x）=sin（2x+1）的导数是（）A.f'（x）=cos（2x+1）B.f'（x）=2x sin（2x+1）C.f'（x）=2cos（2x+1）D.f'（x）=2x cos（2x+1）3.函数f（x）=x（x-1）（x-2）（x-3）（x-4），则f'（0）等于（）A.0B.24C.12D.-124.已知f（x）=sin x+f'（0）cos x，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（）A.x-y+1=0B.x+y-1=0C.x-y-1=0D.x+y+1=05.向一容器中匀速注水，容器中水面高度h（单位：cm）与注水时间t（单位：min）的函数关系为h=12t2+t （0≤t≤5）.记t=1min时水面上升的瞬时速度为V1，t=4min时水面上升的瞬时速度为V2，从t=1min到t=4 min水面上升的平均速度为V，则（）A.V1<V2<VB.V1=V2>VC.V=V1+V22D.V>V1+V226.设对于曲线y=f（x）=-e x-x上任一点处的切线l1，总存在曲线y=g（x）=2ax+cos x上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是（）A.[−12，1] B.(−12，1)C.[0，12] D.(0，12)二、多项选择题（每小题6分，共18分）7.已知函数f（x）的图象如图所示，f'（x）是f（x）的导函数，则下列数值的排序正确的是（）A.f'（3）<f'（2）B.f'（3）<f（3）-f（2）C.f'（2）<f（3）-f（2）D.f（3）-f（2）<08.函数y=e x的切线方程有（）A.y=x+1B.y=x-1C.y=e xD.y=1ex9.定义方程f（x）=f'（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新不动点”，有下列函数，其中只有一个“新不动点”的函数有（）A.g（x）=x·2xB.g（x）=-e x-2xC.g（x）=ln xD.g（x）=sin x+2cos x三、填空题（每小题5分，共15分）10.已知函数f（x）的导函数为f'（x），f（x）=2x2-3xf'（2）+ln x，则f'（2）=.11.已知函数f（x）=ax3+bx+1的图象在点（1，f（1））处的切线方程为4x-y-1=0，则ab=.12.若直线y=kx+b是曲线y=lnxx 的切线，也是曲线y=2x的切线，则k=.四、解答题（共37分）13.（12分）求下列函数的导函数：（1）y=x 2sinx；（4分）（2）y=1（1−3x）4；（4分）（3）y=sin2(2x+π3).（4分）14.（12分）已知f（x）=a ln x-1x（1）当a=1时，求f'（x）；（5分）（2）若f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x-y=0平行，求a的值.（7分）15.（13分）已知函数f（x）=ax3+4x2的图象经过点A（1，5）.（1）求曲线y=f（x）在点A处的切线方程；（6分）（2）曲线y=f（x）是否存在过坐标原点的切线？若存在，求切点的坐标；若不存在，请说明理由.（7分）参考答案1.C2.C3.B4.A5.C［由h=12t2+t得h'=t+1因为h'| t=1=2，h'| t=4=5所以V 1=2，V 2=5又V =12×42+4−12×12−14−1=72所以V =V 1+V 22，V 1<V <V 2，C 正确.］ 6.C ［设曲线y =f (x )=-e x -x 上的切点为(x 1，f (x 1))曲线y =g (x )=2ax +cos x 上的切点为(x 2，g (x 2))，切线l 1的斜率为k 1，切线l 2的斜率为k 2.∵f (x )=-e x -x ，∴f'(x )=-e x -1.∵e x >0，∴-e x <0∴f'(x )<-1，∴k 1=f'(x 1)<-1.∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2=-1∴k 2=−1k 1=−1f′(x 1)∈(0，1) 由g (x )=2ax +cos x得g'(x )=2a -sin x.∵-sin x ∈[−1，1]∴2a -sin x ∈[−1+2a ，1+2a]∴要使曲线y =f (x )=-e x -x 上任一点处的切线l 1，总存在曲线y =g (x )=2ax +cos x 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2 则有(0，1)⊆[−1+2a ，1+2a]∴{−1+2a ≤0,1+2a ≥1,解得0≤a ≤12. ∴实数a 的取值范围是[0，12].］ 7.AB ［由函数的图象可知函数f (x )是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在x =2处的切线斜率k 1大于在x =3处的切线斜率k 2，所以f'(2)>f'(3).记A (2，f (2))，B (3，f (3))，作直线AB ，则直线AB 的斜率k =f(3)−f(2)3−2=f (3)-f (2)，由函数图象，可知k 1>k >k 2>0，即f'(2)>f (3)-f (2)>f'(3)>0. ］8.AC ［设切点为P (x 0，e x 0)，y'=e x则切线的斜率k=e x0若k=e x0=1，则x0=0，切点为P(0，1)故切线方程为y=x+1，故A正确，B错误；若k=e x0=e，则x0=1，切点为P(1，e)故切线方程为y-e=e(x-1)即y=e x，故C正确；若k=e x0=1e，则x0=-1切点为P(−1，1e)故切线方程为y-1e =1e(x+1)即y=1e x+2e，故D错误.］9.ABC［∵g'(x)=2x+x·2x·ln2，由x·2x=2x+x·2x·ln2解得x=11−ln2，∴g(x)只有一个“新不动点”，故A正确；g'(x)=-e x-2，由-e x-2=-e x-2x，解得x=1，∴g(x)只有一个“新不动点”，故B正确；g'(x)=1x ，根据y=ln x和y=1x的图象可得ln x=1x只有一个实数根，∴g(x)只有一个“新不动点”，故C正确；g'(x)=cos x-2sin x，由sin x+2cos x=cos x-2sin x，解得3sin x=-cos x，∴tan x=-13，根据y=tan x和y=-13的图象可得方程tan x=-13有无数个解，∴g(x)有无数个“新不动点”，故D错误.］10.178解析f'(x)=4x-3f'(2)+1x所以f'(2)=8-3f'(2)+12解得f'(2)=178.11.1解析f'(x)=3ax2+b由4×1-y-1=0得y=3所以{f′(1)=3a+b=4f(1)=a+b+1=3解得{a =1,b =1,则ab =1. 12.-12e 3解析 由y =lnx x 可得y'=1−lnx x 2，设直线y =kx +b 与曲线y =lnx x 相切于点(m ，n )，则有{n =km +b n =lnm m k =1−lnm m 2 所以切线方程可表示为y -n =1−lnm m 2(x -m ) 即y =1−lnm m 2x -1−2lnm m . 由y =2x 可得y'=-2x 2，设直线y =kx +b 与曲线y =2x 相切于点(s ，t )，则有{t =ks +b,t =2s ,k =−2s 2,所以切线方程可表示为y -t =-2s 2(x -s )即y =-2s 2x +4s .所以{1−lnm m 2=−2s 2,2lnm−1m =4s , 消去s ，整理得4ln 2m -12ln m +9=0，解得ln m =32，所以m =e 32. 所以斜率k =1−ln e 32(e 32)2=-12e 3.13.解 (1)因为y =x 2sinx所以y'=(x 2sinx )'=2xsinx−x 2cosx sin 2x . (2)函数y =1(1−3x)4可看做函数y =μ-4和μ=1-3x 的复合函数由复合函数求导法则可得y'x =y'u u'x =(μ-4)'·(1-3x )'=(-4μ-5)×(-3)=12(1−3x)5. (3)y =sin 2(2x +π3)可化为y =1−cos(4x+2π3)2函数y=1−cos(4x+2π3 )2可看做函数y=1−cost2和t=4x+2π3的复合函数由复合函数求导法则可得y'x=y't t'x=(1−cost2)'·(4x+2π3)'=(sint2)×4=2sin(4x+2π3).14.解(1)当a=1时，f(x)=ln x-1x ，f'(x)=1x+1x2.(2)因为f(x)=a ln x-1x所以f'(x)=ax +1 x2因为f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x-y=0平行所以f'(1)=a+1=2，解得a=1.此时f(1)=-1切线方程为y+1=2(x-1)即y=2x-3满足与直线2x-y=0平行所以a=1.15.解(1)依题意可得f(1)=a+4=5，则a=1∵f'(x)=3x2+8x，∴f'(1)=11∴曲线y=f(x)在点(1，5)处的切线方程为y-5=11(x-1)即y=11x-6.(2)设过原点的切线方程为y=kx则切点为(m，km)则{m3+4m2=km,3m2+8m=k,消去k，整理得m3+2m2=0解得m=0或m=-2∴曲线y=f(x)存在过坐标原点的切线，且切点的坐标为(0，0)或(-2，8).。

2020-2021年高二数学选择性必修二尖子生同步培优题典5.2导数运算 解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．设函数()f x 的导函数是()'f x ，若()()cos sin 2f x f x x π'=⋅-，则()3f π'=（ ）A ．12-B C ．12D ． 【答案】A 【解析】 【分析】 求导后，令2x π=，可求得()2f π'0=，再令3x π=可求得结果.【详解】因为()()cos sin 2f x f x x π'=⋅-，所以()()(sin )cos 2f x f x x π''=--，所以()()(sin)cos2222f f ππππ''=--()2f π'=-，所以()02f π'=，所以()cos f x x '=-，所以1()cos332f ππ'=-=-. 故选：A 【点睛】本题考查了导数的计算，考查了求导函数值，属于基础题.2．原子有稳定和不稳定两种．不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出α、β、γ等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”．这种不稳定的元素就称为放射性同位素．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N （单位：贝克）与时间t （单位：天）满足函数关系24()2t N t N -=，其中N 0为0t =时钍234的含量．已知24t =时，钍234含量的瞬时变化率为8ln2-，则()120N =（ ） A ．12贝克 B ．12 ln2贝克 C ．6贝克 D ．6 ln2贝克【答案】A 【解析】 【分析】由24t =时，钍234含量的瞬时变化率为8ln2-，可求0384N =，从而可求()120N . 【详解】解：240ln 2()224tN t N -'=-⋅⋅，所以00ln 218ln 2,384242N N -=-⋅⋅=， 24240()23842tt N t N --==⋅，12024(120)384212N -=⋅=(贝克)，故选：A. 【点睛】考查导数的几何意义以及求函数的值，基础题.3．函数()f x 的导函数为()f x '，若对于定义域为任意()1212,x x x x ≠，有()()1212122f x f x x x f x x -+⎛⎫'= ⎪-⎝⎭恒成立，则称()f x 为恒均变函数.给出下列函数：①()23f x x =+；②()223x x x f =-+；③()xf x e =；④()cos f x x =其中为恒均变函数的序号是（ ） A ．①③ B ．①②C ．①②③D ．①②④【答案】B 【解析】 【分析】针对每一个函数，分别计算出()()1212f x f x x x --与122x x f +⎛⎫' ⎪⎝⎭，检验两者是否恒相等，即可得解. 【详解】对于①，()()()1212121223232f x f x x x x x x x -+-+==--，1222x x f +⎛⎫'= ⎪⎝⎭，满足()()1212122f x f x x x f x x -+⎛⎫'= ⎪-⎝⎭，故①为恒均变函数；对于②，()()()2211221212122323x x x x f x f x x x x x -+--+-=-- ()()()121212121222x x x x x x xx x x -+--==+--，12121222222x x x x f x x ++⎛⎫⎛⎫'=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足()()1212122f x f x x x f x x -+⎛⎫'= ⎪-⎝⎭，故②为恒均变函数；对于③，当11x =，20x =时，()()121212121x x f x f x e e e x x x x --==---，121122212x x x x f e e e ++⎛⎫'==≠- ⎪⎝⎭即此时()()1212122f x f x x x f x x -+⎛⎫'≠ ⎪-⎝⎭，故③不为恒均变函数；对于④，当12x π=，20x =时，()()12121212cos cos 2f x f x x x x x x x π--==---，12122sin sin 2242x x x x f ππ++⎛⎫⎛⎫'=-=-=≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即此时()()1212122f x f x x x f x x -+⎛⎫'≠ ⎪-⎝⎭，故④不为恒均变函数. 故选：B .【点睛】本题考查了导数的计算，考查了运算能力和对于新概念的理解，属于中档题.4．设()1sin f x x =，()()'21f x f x =，()()'32f x f x =，…，()()'1n n f x f x +=，n N ∈，则()2020f x =（ ） A ．sin x B ．sin x -C ．cos xD ．cos x -【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的导函数和已知定义，依次对其求导，观察得出4()(),n n f x f x n N +=∈，可得解. 【详解】1()sin f x x =，()''1()sin cos f x x x ∴==， '12()()cos f x f x x ==，()23'()(cos )sin f x f x x x '===-，()34'()(sin )cos f x f x x x '==-=-， ()45'()(cos )sin f x f x x x '==-=，由此可知：4()(),n n f x f x n N +=∈，24201()()cos f x f x x ∴==-.故选：D. 【点晴】本题考查三角函数的导数，依次求三角函数的导数找到所具有的周期性是解决此问题的关键，属于中档题. 5．已知函数34(x)sin 1xf x x e =+++，其导函数为'()f x ，则(2020)'(2020)(2020)'(2020)f f f f ++---的值为（ ）A ．4040B ．4C ．2D ．0【答案】B 【解析】 【分析】计算得到()()4f x f x +-=，()()''0f x f x --=，代入数据得到答案. 【详解】函数34(x)sin 1x f x x e =++⇒+()()44411x x x e f x f x e e +-=+=++， ()()224'3cos 1xxe f x x x e=-+++，()()''0f x f x --=，(2020)'(2020)(2020)'(2020)=4f f f f ++---，故答案选B . 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，计算出()()4f x f x +-=是解题的关键.6．函数()()π2sin 04f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的导函数为()f x '，集合()()()000,0,M x f x f x ='⎧=⎨⎩0ππ,42x ⎫⎛⎫∈⎬ ⎪⎝⎭⎭，中有且仅有１个元素，则ω的取值范围是（ ）A ．31115,7,222ω⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．371315,3,7,2222ω⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．371115,3,7,2222ω⎛⎫⎛⎤⎡⎤∈ ⎪ ⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎦⎣⎦D ．371315,3,7,2222ω⎛⎫⎛⎤⎡⎤∈⎪ ⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎦⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】计算得()2cos 4f x x πωω⎛⎫'=-⎪⎝⎭，又由题知，()0f x '=在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上仅有一个零点，所以可得π42x k πωπ-=+，则有()()4422412241244k k k πππππωπωππππωππππω⎧-<+<-⎪⎪⎪++≥-⎨⎪⎪-+≤-⎪⎩，求解不等式组即可得ω的取值范围. 【详解】计算得()2cos 4f x x πωω⎛⎫'=-⎪⎝⎭，又由题知，()0f x '=在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上仅有一个零点， 又0>ω，所以πππππ,44424x ωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，由()0f x '=得π42x k πωπ-=+， 所以()()4422412241244k k k πππππωπωππππωππππω⎧-<+<-⎪⎪⎪++≥-⎨⎪⎪-+≤-⎪⎩，解得：3243272241k k k k ωωω⎧+<<+⎪⎪⎪≤+⎨⎪≥-⎪⎪⎩，所以当0k =时得332ω<<；当1k =时得71122ω<≤； 当2k =时得1572ω≤≤； 故得：371115,3,7,2222ω⎛⎫⎛⎤⎡⎤∈ ⎪ ⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎦⎣⎦.故选：C 【点睛】本题主要考查了导数的运算，三角函数的图象性质，考查了转化与化归的思想，考查了学生的运算求解与逻辑推理能力.二、多选题7．给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记()()()f x f x '''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数.以下四个函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是凸函数的是（ ）A ．() sin cos f x x x =+B ．()ln 2f x x x =-C ．()321f x x x =-+-D ．()xf x xe =【答案】ABC 【解析】 【分析】求出每一个函数的二阶导数，判断是否()0f x ''<在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立,从而得到答案. 【详解】对于A 选项，()sin cos ,()cos sin f x x x f x x x =+'=-， 则()sin cos f x x x ''=--，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，恒有()0f x ''<，是凸函数； 对于B 选项，()1ln 2,()2f x x x f x x=-'=-， 则()21f x x ''=-，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''<，是凸函数；对于C 选项，若()3221,()32f x x x f x x =-+-'=-+，则()60f x x ''=-<在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，是凸函数； 对于D 选项，若(),()(1)xxf x xe f x x e ='=+，则()()2xf x x e ''=+，则()0f x ''>在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，故不是凸函数. 故选：ABC. 【点睛】本题考查导数的计算，考查获得新知识、应用新知识的能力，比较简单.解答时只要准确求出原函数的二阶导数进行分析即可.8．经济学中经常用弹性函数研究函数的相对变化率和相对改变量.一般的，如果函数()f x 存在导函数()f x '，称()()0lim x yEy x yf x x Ex f x x∆→∆'==⋅∆为函数()f x 的弹性函数，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x C =（C 为常数）的弹性函数是0EyEx= B ．函数()cos f x x =的弹性函数是tan Eyx x Ex=- C ．()()()1212()()()()E f x f x E f x E f x Ex Ex Ex+=+D ．()()1122()()()()f xE E f x E f x f x Ex Ex Ex⎛⎫ ⎪⎝⎭=-【答案】ABD 【解析】 【分析】利用题目中的定义和导数的运算逐一判断即可. 【详解】 对于A ，00Ey xEx C=⋅=，即A 正确； 对于B ，()sin tan cos Ey x x x x Ex x=-⋅=-，即B 正确； 对于C ，()()()()121212121212()()()()()()()()()()E f x f x x x xf x f x f x f x Ex f x f x f x f x f x f x +'''=+⋅=⋅+⋅+++而()()()()121212()()()()E f x E f x x xf x f x Ex Ex f x f x ''+=⋅+⋅，二者不相等，即C 错误； 对于D ，[]12111212122222()()()()()()()()()()()()()f x E f x f x f x f x f x f x xf x x f x Ex f x f x f x f x ''⎛⎫ ⎪'⎛⎫-⎝⎭=⋅=⋅ ⎪⎝⎭()()121111222122()()()()()()()()()()()()E f x E f x f x f x f x f x x xf x x f x f x f x f x f x Ex Ex''''-=⋅⋅-⋅=-=即D 正确 故选：ABD 【点睛】本题是一道新定义的题，考查了学生的分析能力和转化能力，较难. 9．已知()(1)(2)(20)f x x x x x =--⋅⋅⋅-，下列结论正确的是（ ） A ．(0)20!f '= B ．(1)19!f '=C ．(19)19!f '=-D ．(20)20!f '=-【答案】AC 【解析】【分析】对函数进行求导，逐个选项验证即可. 【详解】∵()(1)(2)(20)f x x x x x =--⋅⋅⋅-，∴()()()()()()1220220f x x x x x x x '=--⋅⋅⋅-+-⋅⋅⋅-()()()()()1320119x x x x x x x +--⋅⋅⋅-+--，∴()()()()0122020!f '=-⨯-⨯-=，即A 正确；()()()()11121919!f '=⨯-⨯-⨯-=-，即B 错误，C 正确；()202019120!f '=⨯⨯⨯=，故D 错误，故选：AC.【点睛】本题主要考查了导数的运算，熟练掌握导数的乘法运算法则是解题的关键，属于基础题.三、填空题10．已知32()(1)3(1)f x x x f xf ''=++-，则(1)(1)f f ''+-的值为___________.【答案】34-. 【解析】 【分析】求出导函数，分别代入1和-1得到方程组，解得9(1)8f '-=-，3(1)8f '=，再相加可得答案. 【详解】由32()(1)3(1)f x x x f xf ''=++-，得2()32(1)3(1)f x x xf f '''=++-，所以(1)32(1)3(1)f f f '''=++-，①(1)32(1)3(1)f f f '''-=-+-②由①②得9(1)8f '-=-，3(1)8f '=, 则3(1)(1)4f f ''+-=-. 故答案为：34-. 【点睛】本题考查了导数的计算，属于基础题.11．若函数()'f x 是函数()f x 的导函数，且满足(0)1,3()()3f f x f x '==-，则不等式4()()f x f x '>的解集为____________.【答案】1ln 23(,)+∞【解析】 【分析】由题意可设()bxf x ae c =+，由(0)1,3()()3f f x f x '==-，可得3,1,2b c a ==-=，由此求出()f x 的解析式，不等式可解. 【详解】3()()3f x f x '=-，()3()3f x f x '∴=+可设()bxf x ae c =+由(0)1f =，得1a c +=又3()()3f x f x '=-，即333bx bx ae c abe +=-333a abc =⎧∴⎨=-⎩，解得3,1,2b c a ==-= 3()21,x f x e x R ∴=-∈又4()()f x f x '>33846x x e e ∴->即32x e >解得1ln 23x >故答案为：1ln 23(,)+∞【点睛】本题考查了导数中构造函数解决问题的题型，由题眼3()()3f x f x '=-可知，原函数和导函数形式相同，由此可联想构造x e 型函数，属于难题.12．对于三次函数32()f x ax bx cx d =+++（0a ≠）给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()0,x f x 为函数()y f x =的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数32115()33212f x x x x =-+-，请你根据上面探究结果，计算12320202021202120212021f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭______.【答案】2020 【解析】 【分析】由题意“拐点”就是对称中心,求出给定函数32115()33212f x x x x =-+-的对称中心坐标,探究出对称性,计算出结果. 【详解】 函数32115()33212f x x x x =-+-,则2()3f x x x '=-+,()21''=-f x x , 结合题意令()210''=-=f x x ,解得12x =,而1()12f =,由题意可知函数()f x 关于点1(,1)2对称,则有()(1)2f x f x +-=, 令12320202021202120212021f f f f m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则20212021202120220202019201118f f f f m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相加得220202m ⨯=,所以2020m =,即123202020202021202120212021f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为:2020 【点睛】本题考查了导数得计算和函数得对称性,需要理解题目条件的意思,并能运用已知条件来解题,本题的难点在函数的对称性,能探究出函数对称性可得计算结果,需要掌握解题方法.四、解答题13．求下列函数的导数（1）2sin 3y x x x =++； （2）2(ln sin )y x x x =+；（3） 221xy x =+ ；（4）41(13)y x =-. 【答案】（1）cos 61y x x '=++；（2）y '22ln 2sin cos x x x x x x x =+++；（3）y ' ()()222211x x-=+；（4）()51213y x -'=-.【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式和简单复合函数的导数运算法则进行求解即可. 【详解】（1）因为2sin 3y x x x =++，所以cos 321cos 61y x x x x '=+⨯+=++；（2）因为2(ln sin )y x x x =+，所以()()()22ln sin ln sin y x x x x x x '''=+++，化简可得，()212ln sin cos y x x x x x x ⎛⎫'=+++⎪⎝⎭22ln 2sin cos x x x x x x x =+++； （3）因为221xy x =+，由基本初等函数的导数公式和运算法则可得， ()()()()222221211x x x x y x''+-+'=+()()22221221x x xx+-⋅=+()()222211x x-=+；（4）因为41(13)y x =-，所以()()()()4513134133y x x x --''⎡⎤'=--=--⨯-⎣⎦化简可得，()51213y x -'=-. 【点睛】本题考查基本初等函数的导数公式和简单复合函数的导数运算法则；考查运算求解能力；熟记基本初等函数的导数公式是求解本题的关键；属于中档题.14．已知,,a b c ∈R ，函数()()()()f x x a x b x c =---的导函数为()'f x ．（1）若b c =，求曲线()y f x =在点(,())b f b 处的切线方程；（2）求111()()()f a f b f c '''++的值． 【答案】（1）0y =；（2）0.【解析】 【分析】（1）根据b c =，得到2()()()f x x a x b =--，对其求导，得出切线斜率，进而可求出切线方程；（2）先对函数求导，分别计算()f a '，()f b '，()f c '，将所求式子化简整理，即可得出结果. 【详解】（1）若b c =，则2()()()f x x a x b =--，所以2()()()2()f x x b x a x b '=-+-⋅-，则2()()()2()0f b b b x a b b '=-+-⋅-=，即曲线()y f x =在点(,())b f b 处的切线斜率为0，又2()()()0f b b a b b =--=，所以所求切线方程为：0y =； （2）由()()()()f x x a x b x c =---得[]()()()()()()()()()()()()f x x b x c x a x b x c x b x c x a x c x a x b ''=--+---=--+--+--， 所以()()()f a a b a c '=--，()()()f b b a b c '=--，()()()f c c a c b '=--，因此111111()()()()()()()()()f a f b f c a b a c b a b c c a c b ++=++'''------ 111111()()()()()()b a a b ac b c c a c b a b a c b c a c b c -⎛⎫=⋅-+=⋅+ ⎪----------⎝⎭ 110()()()()a cbc a c b c =-+=----.【点睛】本题主要考查求曲线在某点的切线方程，考查导数的计算，属于常考题型.15．记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x R ∈，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”；（2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值【答案】（1）证明见解析 （2）e2【解析】 【分析】（1）对函数(),()f x g x 分别求导，通过()()f x g x =且()()f x g x ''=，列方程求解即可；（2）对函数(),()f x g x 分别求导，通过00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，列方程，求出a 即可. 【详解】解：（1）函数2(),()22f x x g x x x ==+-，则()1,()22f x g x x ''==+．由()()f x g x =且()()f x g x ''=，得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解， 因此，()f x 与()g x 不存在“S ”点．（2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =， 则12f x ax g x x'='=（），（）． 设0x 为()f x 与()g x 的“S ”点，由00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，得200001ln 12ax x ax x⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎨=⎩，（*） 得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==．当e 2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为()f x 与()g x 的“S ”点．因此，a 的值为e2． 【点睛】本题考查对新概念的理解与应用，考查分析能力与计算能力，难度不大.16．已知函数1()sin,2xf x x R =∈，记()1n f x +为()n f x 的导数，*n N ∈. （1）求()()23f x f x ，；（2）猜想(),*n f x n N ∈的表达式，并证明你的猜想.【答案】（1）()2122x f x cos =，()3142x f x sin =-（2）111()sin 222n n n x f x π--⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由()1n f x +为()n f x 的导数，先求()n f x 的导函数，再求值即可；（2）由（1）猜想111()sin 222n n n x f x π--⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用数学归纳法证明即可. 【详解】解：（1）因为()2xf x sin=，则()2122x f x cos =，()3142x f x sin =-， （2）猜想：111()sin 222n n n x f x π--⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，()12xf x sin=，结论成立；②假设n k =（1k且*N k ∈）时，结论成立，即111()sin 222k k k x f x π--⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 当1n k =+时，11111()()cos 2222k k k k x f x f x π'+--⎛⎫==⨯+ ⎪⎝⎭ 11sin 2222k k x ππ-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ (1)11(1)1sin 222k k x π+-+-⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦. 所以当1n k =+时，结论成立.所以由①②可知对任意的*n N ∈结论成立.【点睛】本题考查了函数的导函数的求法，重点考查了数学归纳法，属中档题.。

人教版高二下学期数学(选择性必修二)《5.2.3简单复合函数的导数》同步测试题-带答案【基础练】1.（多选）下列函数是复合函数的是（）A.y=-x3-1x +1 B.y=cos(x+π4)C.y=1lnxD.y=（2x+3）42.设f（x）=log3（x-1），则f'（2）等于（）A.ln3B.-ln3C.1ln3D.-1ln33.函数y=12（e x+e−x）的导数是（）A.12（e x-e-x） B.12（e x+e-x）C.e x-e-xD.e x+e-x4.函数y=x（1-ax）2（a>0），且y'|x=2=5，则a等于（）A.1B.2C.3D.45.放射性元素由于放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=M0×2−t 30，其中M0为t=0时铯137的含量.已知当t=30时，铯137含量的变化率是-10ln2（单位：太贝克/年），则当t=60时，铯137的含量为（）A.5太贝克B.75ln2太贝克C.150ln2太贝克D.150太贝克6.（多选）下列结论中不正确的是（）A.若y=cos 1x ，则y'=-1xsin 1xB.若y=sin x2，则y'=2x cos x2C.若y=cos5x，则y'=-sin5xD.若y=12x sin2x，则y'=x sin2x7.（5分）质点M按规律s（t）=（2t+1）2做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t=2时的瞬时速度为m/s.8.（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为.9.（10分）求下列函数的导数：（1）y=ln（e x+x2）；（1分）（2）y=102x+3；（1分）（3）y=sin4x+cos4x；（2分）（4）y=√1−x2；（2分）（5）y=sin2x cos3x；（2分）（6）y=x3e cosx .（2分）10.（10分）曲线y=e sin x在点（0，1）处的切线与直线l平行，且与l的距离为√2，求直线l的方程.【综合练】11.曲线y=e-2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）A.13B.12C.23D.112.曲线y=ln（2x-1）上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是（）A.√5B.2√5C.3√5D.013.（多选）已知点P在曲线y=4e x+1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值可以是（）A.π4B.π2C.3π4D.7π814.（5分）设函数f（x）=cos（√3x+φ）（0<φ<π），若f（x）+f'（x）是奇函数，则φ=.15.（2024·新课标全国Ⅰ）（5分）若曲线y=e x+x在点（0，1）处的切线也是曲线y=ln（x+1）+a的切线，则a=.16.（12分）（1）已知函数f （x ）在R 上满足f （x ）=2f （2-x ）-x 2+8x -8，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（6分）（2）已知曲线y =cos (ωx +π3)在点(π2，0)处的切线斜率为k ，若|k |<1，求ω的值.（6分） 参考答案1.BCD2.C3.A4.A5.D ［因为M'(t )=-130ln 2×M 0×2−t 30，所以M'(30)=-130ln 2×M 0×2−3030=-10ln 2，解得M 0=600，所以M (t )=600×2−t 30，所以当t =60时，铯137的含量为600×2−6030=600×14=150(太贝克).］ 6.ACD ［对于A ，y =cos 1x则y'=1x 2sin 1x ，故错误； 对于B ，y =sin x 2，则y'=2x cos x 2，故正确；对于C ，y =cos 5x ，则y'=-5sin 5x ，故错误；对于D ，y =12x sin 2x则y'=12sin 2x +x cos 2x ，故错误.］7.20解析 ∵s (t )=(2t +1)2∴s'(t )=2(2t +1)×2=8t +4则质点在t =2时的瞬时速度为s'(2)=8×2+4=20(m/s).8.2解析 设直线y =x +1切曲线y =ln(x +a )于点(x 0，y 0)则y 0=1+x 0，y 0=ln(x 0+a )又曲线的导数为y'=1x+a ∴y'|x=x 0=1x 0+a =1，即x 0+a =1.又y0=ln(x0+a)，∴y0=0∴x0=-1，∴a=2.9.解(1)令u=e x+x2，则y=ln u.∴y'x=y'u·u'x=1u·(e x+x2)'=1 e x+x2·(e x+2x)=ex+2xe x+x2.(2)令u=2x+3，则y=10u∴y'x=y'u·u'x=10u·ln10·(2x+3)'=2×102x+3ln10.(3)∵y=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2x·cos2x=1-12sin22x=1-14(1-cos4x)=34+14cos4x.∴y'=-sin4x.(4)设y=u−12，u=1-x2则y'x=(u−12)'(1-x2)'=-12u−32·(-2x)=x(1-x2)−32.(5)∵y=sin2x cos3x∴y'=(sin2x)'cos3x+sin2x(cos3x)'=2cos2x cos3x-3sin2x sin3x.（6）y'=（x3）'e cosx +x3（e cosx ）'=3x2e cosx +x3e cosx ·（cos x）'=3x2e cosx -x3e cosx sin x.10.解∵y=e sin x，∴y'=e sin x cos x∴y'|x=0=1.∴曲线y=e sin x在点(0，1)处的切线方程为y-1=x即x-y+1=0.又直线l与x-y+1=0平行故直线l可设为x-y+m=0(m≠1).由√1+(−1)2=√2得m=-1或m=3.∴直线l的方程为x-y-1=0或x-y+3=0.11.A［依题意得y'=e-2x·(-2)=-2e-2xy'|x=0=-2e-2×0=-2.所以曲线y=e-2x+1在点(0，2)处的切线方程是y-2=-2x即y=-2x+2.在平面直角坐标系中作出直线y=-2x+2，y=0与y=x的图象，如图所示.因为直线y=-2x+2与y=x的交点坐标是(23，23)直线y=-2x+2与x轴的交点坐标是(1，0) 所以结合图象可得这三条直线所围成的三角形的面积为1 2×1×23=13.］12.A［设曲线y=ln(2x-1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x-y+3=0平行.∵y'=22x−1∴y'|x=x0=22x0−1=2，解得x0=1∴y0=ln(2-1)=0即切点坐标为(1，0).∴切点(1，0)到直线2x-y+3=0的距离为d=|2−0+3|√4+1=√5即曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是√5.］13.CD［因为y=4e x+1所以y'=−4e x(e x+1)2=−4exe2x+2e x+1=−4e x+1e x+2.因为e x>0，所以e x+1e x≥2(当且仅当x=0时取等号) 所以y'∈［-1，0)所以tanα∈［-1，0).又因为α∈［0，π)，所以α∈[3π4，π).］14.π6解析∵f'(x)=-√3sin(√3x+φ)∴f(x)+f'(x)=cos(√3x+φ)-√3sin(√3x+φ)令g (x )=cos(√3x +φ)-√3sin(√3x +φ)∵其为奇函数，∴g (0)=0即cos φ-√3sin φ=0∴tan φ=√33，又0<φ<π，∴φ=π6.15.ln 2解析 由y =e x +x 得y'=e x +1当x =0时，y'=e 0+1=2故曲线y =e x +x 在点(0，1)处的切线方程为y =2x +1.由y =ln(x +1)+a 得y'=1x+1设切线与曲线y =ln(x +1)+a 相切的切点为(x 0，ln(x 0+1)+a )由两曲线有公切线得y'=1x 0+1=2解得x 0=-12则切点为(−12，a −ln2)切线方程为y =2(x +12)+a -ln 2=2x +1+a -ln 2根据两切线重合所以a -ln 2=0，解得a =ln 2.16.解 (1)方法一 f'(x )=2f'(2-x )·(2-x )'-2x +8=-2f'(2-x )-2x +8，则f'(1)=-2f'(1)-2+8 得f'(1)=2.又f (1)=2f (1)-1+8-8得f (1)=1故曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y -1=2(x -1)即y =2x -1.方法二 ∵f (x )=2f (2-x )-x 2+8x -8① ∴f (2-x )=2f (x )-(2-x )2+8(2-x )-8②把②代入①得f (x )=x 2∴f (1)=1，f'(x )=2x∴曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率k =f'(1)=2 故所求切线方程为y -1=2(x -1)，即y =2x -1.(2)∵曲线y =cos (ωx +π3)过点(π2，0)，∴cos (ω·π2+π3)=0 ∴ω·π2+π3=n π+π2(n ∈Z )∴ω=2n +13(n ∈Z )又y'=-ωsin (ωx +π3)∴k = y′|x=π2=-(2n +13)sin [(2n +13)×π2+π3] =-(2n +13)sin (nπ+π2)=±(2n +13)，n ∈Z .∵|k |<1，∴|2n +13|<1，∴n =0，即ω=13.。

5.2 导数的运算5.2.1 基本初等函数的导数课后训练巩固提升A组1.若函数y=10x,则y'|x=1等于( )A.110B.10 C.10ln 10 D.110ln10解析:∵y'=10x ln10,∴y'|x=1=10ln10.答案:C2.已知函数f(x)=x n(n∈Q,且n≠0),且f'(-1)=-4,则n等于( )A.4B.-4C.5D.-5解析:∵f'(x)=nx n-1,f'(-1)=-4,∴f'(-1)=n(-1)n-1=-4.若(-1)n-1=-1,则n=4,此时满足(-1)n-1=-1;若(-1)n-1=1,则n=-4,此时不满足(-1)n-1=1.∴n=4.答案:A3.已知曲线y=x3在某点处的切线的斜率等于3,则曲线在该点处的切线有( )A.1条B.2条C.3条D.不确定解析:由y'=3x2=3,得x=±1,则切点有两个,故切线有2条.答案:B4.曲线y=e x在点A(0,1)处的切线斜率为( )A.1B.2C.eD.1e解析:由已知得y'=e x.根据导数的几何意义,可得切线斜率k=y'|x=0=e0=1. 答案:A5.曲线y=f(x)=sin x在点(0,f(0))处的切线的倾斜角是( )A.π2B.π3C.π6D.π4解析:∵y'=cosx,∴y'|x=0=cos0=1.设此切线的倾斜角为α,则tanα=1.∵α∈[0,π),∴α=π4.故选D.答案:D6.已知曲线y=1x上一点P,且在点P处的切线的斜率为-4,则点P的坐标为( )A.(12,2) B.(12,2)或(-12,-2)C.(-12,-2) D.(12,-2)解析:由已知得y'=-1x2.令-1x2=-4,得x=±12,则点P的坐标为(1 2,2),(-12,-2).故选B.答案:B7.在曲线y=1x2上求一点P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°,则点P的坐标为.解析:y'=(1x2)'=-2x-3,设点P(x0,y0),则-2x0-3=tan135°=-1,解得x0=213,从而y0=2-2 3.故点P的坐标为(213,2-23).答案:(213,2-23)8.在曲线y=1x(x<0)上求一点P,使得点P到直线x+2y-4=0的距离最小.解:由题意知,平行于直线x+2y-4=0的直线与曲线y=1x(x<0)相切的切点即为所求.设切点P(x0,y0),由y'=-1x2,得y'|x=x=-1x02.∵直线x+2y-4=0的斜率为-12,∴-1x 02=-12,解得x 0=√2或x 0=-√2.∵x<0,∴x 0=-√2,从而y 0=-√2=-√22.∴点P 的坐标为(-√2,-√22). B 组1.若函数f(x)=log a x(a>0,且a≠1)的图象与直线y=13x 相切,则a 的值为( ) A.e e2B.e 3eC.5eeD.e e 4解析:设切点坐标为(x 0,y 0).由f(x)=log a x(a>0,且a≠1),得f'(x)=1xlna.根据题意有{y 0=13x 0,y 0=log a x 0,13=1x 0lna ,解得x 0=e,a=e 3e .故选B. 答案:B2.(多选题)直线y=12x+b 能作为下列函数图象的切线的是( )A.f(x)=1xB.f(x)=x 4C.f(x)=sin xD.f(x)=e x解析:A 中,f(x)=1x,故f'(x)=-1x2,令-1x 2=12,无解,故A 不符合;B 中,f(x)=x 4,故f'(x)=4x 3,令4x 3=12,得x=12,即曲线在点(12,116)处的切线方程为y=12x-316,B 符合;C 中,f(x)=sinx,故f'(x)=cosx,令cosx=12,取x=π3,故曲线在点(π3,√32)处的切线方程为y=12x-π6+√32,C 符合;D 中,f(x)=e x ,故f'(x)=e x ,令e x =12,得x=-ln2,曲线在点(-ln2,12)处的切线方程为y=12x+12ln2+12,D 符合.故选BCD.答案:BCD3.若直线y=12x+b 是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b= .解析:设切点坐标为(x 0,y 0),则y 0=lnx 0. ∵y'=(lnx)'=1x ,∴y'|x=x 0=1x 0.由题意知1x 0=12,∴x 0=2,y 0=ln2.由ln2=12×2+b,得b=ln2-1. 答案:ln 2-14.已知函数f(x)=a 2(a 为常数),g(x)=ln x,若2x[f'(x)+1]-g'(x)=1,则x= .解析:因为f'(x)=0,g'(x)=1x ,所以2x[f'(x)+1]-g'(x)=2x-1x=1,解得x=1或x=-12.又x>0,所以x=1.答案:15.若曲线y=√x在点P(a,√a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2,则实数a的值是.解析:由题意可得y'=2√x,则切线方程为y-√a=2√a(x-a).令x=0,得y=√a2;令y=0,得x=-a.由题意知a>0,12·√a2·a=2,解得a=4.答案:46.已知坐标平面上的抛物线C:y=x2,点(a,a2),抛物线C在点(a,a2)处的切线为直线l,则直线l与y轴的交点Q的坐标为.解析:显然点(a,a2)在抛物线C:y=x2上.∵y'=2x,∴y'|x=a=2a.∴直线l的方程为y-a2=2a(x-a).令x=0,得y=-a2,∴直线l与y轴的交点Q的坐标为(0,-a2).答案:(0,-a2)7.设曲线y=f(x)=x n+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n,令a n=lg x n,则a1+a2+…+a99的值为.解析:∵f(x)=x n+1(n∈N*),∴f'(1)=n+1,∴曲线在点(1,1)处的切线方程为y=(n+1)(x-1)+1. 令y=0,得x n =n n+1,∴a n =lgn-lg(n+1).∴a 1+a 2+…+a 99=lg1-lg100=-2. 答案:-28.设曲线y=e x 在点(0,1)处的切线与曲线y=1x (x>0)在点P 处的切线垂直,求点P 的坐标.解:设y=f(x)=e x ,则f'(x)=e x ,所以f'(0)=1. 因此曲线y=f(x)=e x 在点(0,1)处的切线的斜率为1. 设y=g(x)=1x(x>0),则g'(x)=-1x2.设点P 的坐标为(x P ,y P ),且x P >0. 由题意可得g'(x P )=-1x P 2=-1,解得x P =1,则y P =1x P=1.所以点P 的坐标为(1,1).9.已知直线x-2y-4=0与抛物线y 2=x 相交于A,B 两点,O 为坐标原点.试在曲线段AOB 上求一点P,使△ABP 的面积最大. 解:∵|AB|为定值,∴三角形面积最大,只需点P 到边AB 的距离最大. ∴点P 是平行于边AB 的直线与抛物线相切的切点.设点P(x0,y0),作出抛物线的大致图象,如下图,知点P在抛物线位于x轴上方的图象上,即点P在曲线y=√x上,∴y'=2√x.又直线AB的斜率k AB=12,∴2√x0=12,解得x0=1,∴y0=1.因此点P(1,1).。

5.2 导数的运算(精练)【题组一 基本函数的求导】1(2021·全国)给出下列结论：①若y ＝31x ，则y ′＝－43x ；①若y ，则y ′＝13；①若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3.其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0【答案】B【解析】对于①，y ′＝(x －3)′＝43x -，正确； 对于①，121'331133y x x --==，不正确；对于①，f ′(x )＝3，故f ′(1)＝3，正确． 故选：B2．(2021·全国高二课时练习)下列结论中，不正确的是( )A ．若31y x =，则43y x '=- B ．若y =y 'C ．若21y x=，则32y x -'=- D ．若()3f x x =，则()13f '=【答案】B【解析】对于A ，()3434133y x x x x --'⎛⎫''===-=- ⎪⎝⎭，A 正确；对于B ，112212y x x -'⎛⎫''=== ⎪⎝⎭，B 错误； 对于C ，()23212y x x x --'⎛⎫''===- ⎪⎝⎭，C 正确；对于D ，()3f x '=，()13f '∴=，D 正确. 故选：B.3．(2021·全国高二课时练习)已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5【答案】A【解析】①()1a f x ax -'=，()()1114a f a -'∴-=⨯-=-，解得a ＝4.故选：A.4．(2021·全国高二课时练习)函数f (x )f ′(3)等于( )AB ．0CD 【答案】A【解析】①()f x '=①()3f '==故选：A. 5．(2021·全国高二专题练习)f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ①N ，则f 2 017(x )＝( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos x D ．－cos x【答案】C【解析】因为1()(sin )cos f x x x '==，2()(cos )sin f x x x '==-，3()(sin )cos f x x x '=-=-，4()(cos )sin f x x x '=-= 5()(sin )cos f x x x '==，所以循环周期为4，因此20171()()cos f x f x x ==.故选：C.【题组二 导数的运算法则】1．(2021·全国高二课时练习)求下列函数的导数.(1)y ＝(x 2＋1)(x －1)；(2)y ＝3x＋lg x ；(3)y ＝x 2＋tan x ；(4)y ＝1xe x +.【答案】(1)'2321y x x =-+；(2)'13ln 3ln10x y x =⋅+；(3)'212cos y x x =+；(4)()'21x xe y x =+.【解析】(1)()()'22211321y x x x x x =-++=-+.(2)'13ln 3ln10x y x =⋅+. (3)222'22sin cos sin 1,22cos cos cos x x x y x y x x x x x +=+=+=+. (4)()()()'22111x xxe x e xe y x x +-==++.2．(2021·全国高二课时练习)求下列函数的导数：(1) y (2)y ＝41x ；(3)y ＝22sin (12cos )24x x -⋅-；(4)y ＝log 2x 2－log 2x .【答案】(1)2535x -；(2)54x -；(3)cos x ；(4)1ln 2x .【解析】(1)33215553355y x x x --'⎛⎫'==== ⎪⎝⎭'；(2)()4415451444y x x x x x ----'⎛⎫'==='-=-=- ⎪⎝⎭； (3)222sin 12cos 2sin 2cos 12sin cos sin 242422x x x x x xy x ⎛⎫⎛⎫=--=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()sin cos y x x ''∴==.(4)①2222log log log y x x x =-=，()21log ln 2y x x ''∴==. 3(2021·全国)求下列函数的导函数．(1)y =(2)y =；(3)222log log y x x =-；(4)22sin 12cos 24x x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．【答案】(1)y '=(2)y '=(3)1ln 2y x '=；(4)cos y x '=．【解析】((1)(3312232y x x -'⎛⎫''==== ⎪⎝⎭(2)33215553355x x y x --'⎛⎫===''=⎪⎝⎭=(3)①2222log log log y x x x =-=， ①()21log ln 2y x x ''==． (4)①222sin 12cos 2sin 2cos 12sin cos sin 242422x x x xx x y x ⎛⎫⎛⎫=--=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①()sin cos y x x ''==． 【题组三 复合函数的求导】1．(2021·全国高二课时练习)求下列函数的导数．(1)f (x )＝(－2x ＋1)2；(2)f (x )＝ln (4x －1)；(3)f (x )＝23x ＋2；(4)f (x )(5)f (x )＝sin (3)6x π+；(6)f (x )＝cos 2x .【答案】(1)y ′＝－4(－2x ＋1)＝8x －4；(2)y ′＝441x -；(3)y ′＝3ln 2·23x ＋2；(4)y ′= (5)y ′＝3cos 36x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(6)f ′(x )＝－sin 2x .【解析】((1)设y ＝u 2，u ＝－2x ＋1，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－2)＝－4(－2x ＋1)＝8x －4. (2)设y ＝ln u ，u ＝4x －1，则y ′＝y u ′·u x ′＝1u ·4＝441x -.(3)设y ＝2u ，u ＝3x ＋2，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ln 2·3＝3ln 2·23x ＋2.(4)设y u ＝5x ＋4，则y ′＝y u ′·u x ′·5.(5)设y ＝sin u ，u ＝3x ＋6π，则y ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·3＝3cos 36x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.(6)法一：设y ＝u 2，u ＝cos x ，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－sin x )＝－2cos x ·sin x ＝－sin 2x ； 法二：①f (x )＝cos 2x ＝1cos22x +＝12＋12cos 2x ，所以f ′(x )＝11cos 222x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭′＝0＋12·(－sin 2x )·2＝－sin 2x . 2．(2021·全国高二课时练习)求下列函数的导数．(1)y ＝41(13)x -；(2)y ＝cos x 2；(3)y ＝ sin(2x －3π)；(4)y 【答案】(1)512(13)x -；(2)－2x sin x 2；(3)2cos(2x －3π)； 【解析】((1)令u ＝1－3x ，则y ＝41u ＝4u-，①y ′u ＝－4u －5，u ′x ＝－3.①y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝12u －5＝512(13)x -. (2)令u ＝x 2，则y ＝cos u ，①y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ·2x ＝－2x sin x 2. (3)令u ＝2x －3π，则y ＝sin u ，①y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos(2x －3π)． (4)令u ＝1＋x 2，则y ＝12u ，①y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1122122u x x u --⋅=⋅= 3．(2021·全国高二课时练习)写出下列各函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则，求出函数的导数． (1)y ＝41(34)x -；(2)cos 2008+()8y x ＝；(3)132x y －＝；(4)ln 8()+6y x ＝． 【答案】(1)中间变量：()34u x x ϕ＝＝－ 函数的导数：'516(34)y x -=(2)中间变量：()20088u x x ϕ+＝＝ 函数的导数：'2008sin 2008()8y x =-+(3)中间变量：()13u x x ϕ-＝＝函数的导数：1'33ln22x y ⋅=－－ (4)中间变量：()86u x x ϕ+＝＝ 函数的导数：'443y x =+ 【解析】((1)引入中间变量()34u x x ϕ＝＝－． 则函数41(34)y x =-是由函数441()f u u u-==与()34u x x ϕ＝＝－复合而成的． 查导数公式表可得()5544u u f u '=-－＝－，()4x ϕ'＝－． 根据复合函数求导法则可得()()()5'55'4116(34)(3)64414y f u x u u x x ϕ⎡⎤==''⎢⎥--⎣⎦=-⋅-==．(2)引入中间变量()20088u x x ϕ+＝＝，则函数cos 2008)8(y x ＝＋是由函数()f u cosu ＝与()2008+8u x x ϕ＝＝复合而成的，查导数公式表可得()sin f u u '＝－，()2008x ϕ'＝．根据复合函数求导法则可得()()20088sin 2008[c 2008sin 20os()]()()08sin 20088x f u x u u x ϕ'''-⨯+＋＝＝＝-＝- (3)引入中间变量()13u x x ϕ-＝＝， 则函数132x y －＝是由函数()2uf u ＝与()13u x x ϕ＝＝－复合而成的， 查导数公式表得()2 2uf u ln '＝，()3x ϕ'＝－，根据复合函数求导法则可得()()1313232ln 23()()2ln 232ln2x u u x f u x ϕ'''⨯⨯⨯－－＝＝－＝－＝－．(4)引入中间变量()86u x x ϕ+＝＝，则函数ln 8()6y x +＝是由函数()ln f u u ＝与()86u x x ϕ+＝＝复合而成的. 查导数公式表可得()1f u u'=，()8x ϕ'＝． 根据复合函数求导法则可得()()88486?86[ln()]43x f u x u x x ϕ+'''==++＝＝．4．(2021·全国高二专题练习)求下列函数的导数：(1)y (2)y ＝e 2x ＋1；(3)y ＝ln(3x －1)；(4)y ＝sin (2)3x π+；(5)y ＝e sin(ax ＋b )；(6)y ＝5log 2(2x ＋1).【答案】(2)2e 2x ＋1；(3)331x -；(4)2cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(5)()sin cos()ax b a ax b e ++⋅ ；(6)10(21)ln 2x +.【解析】((1)设y =23u x x =-，则(32)x u x y y u x '''=⋅=-= (2)设,21,u y e u x ==+则2122u x x u x y y u e e '''+=⋅=⋅=.(3)设ln ,31y u u x ==-，则(ln )(31)x u x y y u u x '''''=⋅=⋅-13331u x =⋅=-(4)设sin ,23y u u x π==+，则(sin )23x u x y y u u x π''''⎛⎫=⋅=⋅+ ⎪⎝⎭cos 22cos 23u x π⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭(5)设,sin ,u y e u v v ax b ===+，则()sin cos cos()b v ax u xu x y y u v e v a a ax b e +''''=⋅⋅=⋅⋅=+⋅；(6)设25log ,21y u u x ==+，则()210105log (21)ln 2(21)ln 2y u x u x '''=⋅+==+【题组四 求导数值】1．(2021·全国高二课时练习)已知f (x )＝2x ，g (x )＝ln x ，则方程f (x )＋1＝()'g x 的解为( ) A ．1 B ．12C ．－1或12D ．－1【答案】B【解析】(由g (x )＝ln x ，得x ＞0，且1()g x x '=.故2x ＋1＝1x，即2x 2＋x －1＝0，解得x ＝12或x ＝－1. 又因x ＞0，故x ＝12(x ＝－1舍去)故选：B.2(2021·全国高二课时练习)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e )＋ln x ，则f ′(e )＝( ) A ．e －1 B ．－1 C ．－e －1 D ．－e【答案】C【解析】(①f (x )＝2xf ′(e )＋ln x ，①''1()2()f x f e x =+， ①''1()2()f e f e e =+，解得'1()f e e=-，故选：C.3．(2021·河南高三月考(文))已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()32121f x x x f x '=++-，则()2f '=( ) A ．1 B ．9- C ．6- D ．4【答案】C【解析】(因为()()32121f x x x f x '=++-，所以()()23212f x x xf ''=++，把1x =代入()'f x ，得()()2213121f f ''=⨯++，解得：()15f '=-，所以()23102f x x x '=-+，所以()26f '=-.故选：C.4．(2021·全国高二课前预习)设f (x )＝cos 2x －3x ，则f ′()2π＝( )A ．－5B ．－3C ．－4D ．－32π 【答案】B【解析】(f ′(x )＝－2sin 2x －3，f ′()2π＝－2sin π－3＝－3.故选：B.5．(2021·全国高二课时练习)设函数()()320202019f x x -=，则()1f '=( )A ．6057B ．6057-C ．2019D ．2019-【答案】B 【解析】(()2()3(2019)20202019f x x '=⨯--则()2(1)3(2019)2020201916057f -⨯=-'=⨯-.故选：B6．(2021·全国高二课时练习)已知函数()()221sin 1x xf x x ++=+，其导函数记为()f x '，则()()()()389389389389f f f f ''++---=( )A ．2B ．2-C ．3D ．3-【答案】A【解析】(由已知得()22sin 11x xf x x +=++，则()()()()()2222cos 12sin 21x x x x xxf x ++-+'+=⋅，显然()f x '为偶函数.令()()22sin 11x xg x f x x +=-=+，显然()g x 为奇函数.又()f x '为偶函数，所以()()3893890f f ''--=，()()()()389389389138912f f g g +-=++-+=， 所以()()()()3893893893892f f f f ''++---=. 故选：A.【题组五切线方程】1．(2021·全国高二课时练习)设函数()()2f xg x x =+，曲线()y g x =在点1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为( ) A ．4 B ．14-C ．2D ．12-【答案】A【解析】因为()()2f xg x x =+，所以()()2f x g x x ''=+．又曲线()y g x =在点1,1g 处的切线方程为21y x =+，所以()12g '=，所以()()11214f g ''=+⨯=，即曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为4．故选：A.2．(2021·韩城市西庄中学(理))曲线31233y x x =-+在点41,3⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的倾斜角α为( )A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π4【答案】D【解析】由31233y x x =-+得22y x '=-，于是当1x =时，1y '=-，由导数的几何意义知，曲线31233y x x =-+在点41,3⎛⎫⎪⎝⎭处的切线斜率tan 1k α==-，而切线的倾斜角[)0,απ∈，所以3π4α=.故选：D 3(2021·江苏扬州·高二期中)曲线2x y x e x =⋅+在0x =处的切线方程为( ) A ．1y x =+ B ．2y x =C ．y x =D ．31y x【答案】C【解析】由题意知0x =时，02000y e =⨯+=，所以切点为()0,0，而()12x y x e x '=++，所以切线的斜率为()010201e +⨯+⨯=，则所求的切线方程为y x =， 故选：C.4．(2021·全国高二课时练习)函数()ln 23y x =+的导数为y '=______，其函数图象在点1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的倾斜角为______． 【答案】223x + π4【解析】令23u x =+，则ln y u =，()()12ln 23223y u x u x '''=⋅+=⋅=+．当12x =-时，2131y '==-，所以函数()ln 23y x =+的图象在点1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的斜率为1，所以倾斜角为π4．故答案为：223x + π45．(2021·浙江路桥中学高二开学考试)已知函数()cos f x x x =，则()f x '=________________，曲线()y f x =在点()0,0处的切线的倾斜角是_________． 【答案】cos sin x x x - 45【解析】可得()()cos sin cos sin f x x x x x x x '=+-=-；由导数的几何意义可得曲线()y f x =在点()0,0处的切线斜率为()0cos001f '=-=， 设切线的倾斜角为α，则0180α≤<， 因为tan 1α=，所以45α=， 故答案为：cos sin x x x -；45.6．(2021·全国高二课时练习)与直线2x －y －4＝0平行且与曲线y ＝ln x 相切的直线方程是________． 【答案】2x －y －1－ln2＝0【解析】①直线2x －y －4＝0的斜率为k ＝2， 又①y ′＝(ln x )′＝1x ，①1x＝2，解得x ＝12. ①切点的坐标为1(,ln 2)2-. 故切线方程为y ＋ln 2＝21()2x -.即2x －y －1－ln 2＝0. 故答案为：2x －y －1－ln 2＝07(2021·全国高二课时练习)曲线y ＝1x 在点M 1(3,)3处的切线方程是________.【答案】x ＋9y －6＝0 【解析】①y ′＝－21x ，①在点M 1(3,)3处的斜率k ＝－19，①在点1(3,)3的斜率为－19的切线方程为：y －13＝－19(x －3)，即x ＋9y －6＝0.故答案：x ＋9y －6＝0.8(2021·全国高二课时练习)曲线()ln f x x x =在点()()1,1f 处的切线的方程为________. 【答案】10x y --=【解析】()()()''10,ln 1,11f f x x f ==+=，所以切线方程为110y x x y =-⇒--=. 故答案为：10x y --=9．(2021·东城·北京一七一中高二月考)函数()sin x f x e x =的图象在点()()0,0f 处切线的方程为___________. 【答案】0x y -= 【解析】切点为()0,0，()()()''sin cos ,01x f x x x e f =+⋅=，故切线方程为y x =，即0x y -=. 故答案为：0x y -=10．(2021·全国高二课时练习)已知点M 是曲线3212313y x x x =-++上任意一点，求曲线在点M 处的斜率最小的切线方程．【答案】33110x y +-=．【解析】①()224321y x x x '=-+=--， ①当2x =时，min1y '=-，此时53y =， ①斜率最小的切线过点2,3⎛⎫⎪⎝⎭5，且斜率1k =-，①所求切线方程为33110x y +-=． 【题组六 已知切线方程求参数】1．(2021·曲靖市沾益区第四中学高二月考(理))若存在过点()0,0的直线与曲线2y x x =+和1e x y ax -=+都相切，则a =( ) A ．0 B ．1- C ．1 D ．e【答案】A【解析】设切线方程为y kx =，与2y x x =+联立，得()210x k x +-=，所以()210k ∆=-=，解得1k =，所以切线方程为y x =．设y x =与1e x y ax -=+的图像相切于点()11,x y ，1ex y a -'=+，则111111e 1,e ,x x a ax x --⎧+=⎨+=⎩解得0a =．2．(2021·全国高二课时练习)若曲线y ＝x 3＋ax 在(0，0)处的切线方程为2x －y ＝0，则实数a 的值为__________. 【答案】2【解析】曲线y ＝x 3＋ax 的切线斜率k ＝y ′＝3x 2＋a ， 又曲线在坐标原点处的切线方程为2x －y ＝0， ①3×02＋a ＝2，可得a ＝2. 故答案为：23．(2021·全国高二课时练习)已知函数f (x )＝ln +xk xe (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，则k 的值为__________. 【答案】1【解析】由题设，1l (n )xkx x x x f xe --'=，x ①(0,＋∞). 又y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线与x 轴平行，①f ′(1)＝1k e-=0，可得k ＝1. 故答案为：14(2021·全国高二单元测试)设曲线y ＝ax 3+x 在(1，a )处的切线与直线2x ﹣y ﹣6＝0平行，则实数a 的值为______. 【答案】13【解析】解：根据题意，曲线y ＝ax 3+x ，其导函数y ′＝3ax 2+1，则有y ′|x ＝1＝3a +1，若曲线y ＝ax 3+x 在(1，a )处的切线与直线2x ﹣y ﹣6＝0平行，则有3a +1＝2，解可得：a ＝13； 故答案为：135(2021·全国高二课时练习)已知函数()()2ln 1f x x ax bx =+-+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为322ln 23x y -+-0=，则a b +=______．【答案】2【解析】由题知：()121f x a bx x'=-++． 又因为直线322ln 230x y -+-=的斜率为32，且过点()1,ln 2， ①()()1ln 2312f f ⎧='⎪⎨=⎪⎩，即021b a b a -=⎧⎨-=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，①2a b +=． 故答案为：2.6．(2021·全国高二课时练习)已知曲线C ：()3f x x ax a =-+，若过曲线C 外一点1,0A 引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则实数a 的值为______． 【答案】278【解析】设切点坐标为()3,t t at a -+．由题意，知()23f x x a '=-，切线的斜率为23k t a =-①，所以切线的方程为()()()323y t at a t a x t --+=--①．将点()1,0代入①式，得()()()3231t at a t a t --+=--，解得0t =或32t =．分别将0t =和32t =代入①式，得k a =-和274k a =-．由题意，得274a a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，得278a =． 故答案为：278. 7．(2021·浙江海曙·效实中学高二期中)已知直线21y x =-与曲线ln(3)y x t =+相切，则实数t 的值为__________． 【答案】33ln 22- 【解析】依题意，设切点坐标为00(,ln(3))x x t +，由ln(3)y x t =+求导得：33y x t'=+， 于是得000323ln(3)21x t x t x ⎧=⎪+⎨⎪+=-⎩，即00332321ln 2x t x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：33ln 22t =-， 所以实数t 的值为33ln 22-. 故答案为：33ln 22- 8．(2021·全国高二课时练习)已知函数f (x )＝2ax x b+，且f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切. (1)求函数f (x )的解析式； (2)若P (x 0，y 0)为f (x )图象上的任意一点，直线l 与f (x )的图象切于P 点，求直线l 的斜率k 的取值范围.【答案】(1)()241x f x x =+；(2)1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)()()()()22'22222a x b x axax ab f x x b x b +-⋅-+==++，依题意可知()()'12,10f f ==，所以()()()2101121a ab f b a f b -+⎧==⎪+⎪⎨⎪==+⎩'⎪，解得 4,1a b ==. 所以()241x f x x =+ (2)()()()()()22'2222222418448141111x x f x x x x x -++-+===-++++221118142x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭， 由于(]22111,0,11x x +≥∈+， 221111814,8004242⎛⎫⎛⎫--=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2211118,41422x ⎛⎫⎡⎤--∈- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦， 所以切线l 的斜率的取值范围是1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 9．(2021·全国高二课时练习)已知函数f (x )=ax 2+ln x 的导数为()'f x ，(1)求(1)(1)'+f f ；(2)若曲线y =f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．【答案】(1)3a ＋1；(2)(,0)-∞.【解析】(1)依题意，f (x )=ax 2+ln x 的定义域为(0，+∞)，由f (x )=ax 2+ln x 求导得：1()2f x ax x '=+， 于是得(1)21f a '=+，而(1)f a =，所以(1()1)31f f a '+=+；(2)因曲线y =f (x )存在垂直于y 轴的切线，则此时切线斜率为0，由导数的几何意义知，方程()0f x '=在(0,)+∞内有解， 于是得方程120ax x +=，即212a x=-在(0,)+∞内有解，则0a <， 所以实数a 的取值范围是(,0)-∞.。

5.2 导数的运算考点一 初等函数求导【例1】（2020·林芝市第二高级中学高二期末（文））求下列函数的导函数.（1）()3224f x x x =-+（2）()32113f x x x ax =-++（3）()cos ,(0,1)f x x x x =+∈ （4）2()3ln f x x x x =-+-（5）sin y x = （6）11x y x +=-【答案】(1)2()68f x x x =-+ (2)2()2f x x x a '=-+ (3)()sin 1f x x '=-+ (4)1()23f x x x'=--+ (5)cos y x '= (6)22(1)y x '=--【解析】（1）由()3224f x x x =-+，则()'268f x x x =-+；（2）由()32113f x x x ax =-++，则()'22f x x x a =-+；（3）由()cos ,(0,1)f x x x x =+∈ ，则()1sin ,(0,1)f x x x =-∈；（4）由2()3ln f x x x x =-+-，则'1()23f x x x=-+-；（5）由sin y x =，则 'cos y x =；（6）由11x y x +=-，则'''22(1)(1)(1)(1)2(1)(1)x x x x y x x +⨯--+⨯-==---.【一隅三反】1．（2020·西藏高二期末（文））求下列函数的导数.（1）2sin y x x =；（2）n 1l y x x=+；（3）322354y x x x =-+-.【答案】（1）22sin cos y x x x x '=+（2）211y x x'=-（3）2665y x x '=-+【解析】（1）2sin y x x =22sin cos y x x x x '=+（2）n 1l y x x =+211y x x'=-（3）322354y x x x x =-+-2665y x x '=-+2．（2020·通榆县第一中学校高二月考（理））求下列函数的导数：（Ⅰ）22ln cos y x x x =++；（Ⅱ）3e x y x =.【答案】（Ⅰ）14sin x x x+-；（Ⅱ）()233e xx x +.【解析】（Ⅰ）由导数的计算公式，可得()212(ln )(cos )4sin y x x x x x x'=++=+-'''.（Ⅱ）由导数的乘法法则，可得()()()3323e e 3e x xx y x x xx ''=+=+'.3．（2020·山东师范大学附中高二期中）求下列函数在指定点的导数：（1）4ln(31)y x =++ ，1x =； （2）2cos 1sin x y x=+，π2x =．【答案】（1）12x y ='=（2）21ln 2x y π==+'【解析】（1）321231y x x -'=-++，12x y ='=（2）21sin y x+'=，21ln2x y π==+'考点二 复合函数求导【例2】．（2020·凤阳县第二中学高二期末（理））求下列函数的导数：（1）2=e x y ；（2）()313y x =-.【答案】（1）22x e ；（2）29(13)x --或281549y x x '=-+-．【解析】（1）2'22e (2)e 22e x x x y x =⋅=⋅='；（2）()()22'313(13)913y x x x =--=--'．或281549y x x '=-+-． 【一隅三反】1．（2020·陕西碑林·西北工业大学附属中学高二月考（理））求下列函数的导数：(1)()*()2+1ny x n N ∈＝，；(2)(ln y x =+；(3)11x x e y e +=-；(4)2)2(+5y xsin x ＝．【答案】（1）()1'221n y n x -=+；（2）'y =；（3）()221xxe y e-'=-；（4）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++.【解析】(1)()()()11'2121'221n n y n x x n x ⋅－－＝＋＋＝＋；（2）1y ⎛=+= ⎝'（3）∵12111xx xe y e e +==+--∴()()222211xxx xe e y e e'-=-=--；（4）()()2sin 254cos 25y x x x =+'++.2．（2020·横峰中学高二开学考试（文））求下列各函数的导数：（1）ln(32)y x =-；（2）()212x x f x ee e -+=++（3）y【答案】（1）332y x '=-；（2）21()2x x f x e e -+'=-+.（3）y '=【解析】（1）因为ln(32)y x =-令32t x =-，ln y t =所以()()1332ln 332y x t t x '''=-⋅=⋅=-（2）()21221,()2x x x x f x e f x ee e e -+-+∴'=-+++= .（3）令212t x =-，则12y t =，所以112211()(4)22y t t t x -'''==⋅=-=；考点三 求导数值【例3】．（2020·甘肃城关·兰州一中高二期中（理））已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()3(1)ln f x xf x '=+，则(1)f '=A ．12-B ．12C ．1-D ．e【答案】A【解析】()()31ln f x xf x '=+ ，求导得()()131f x f x''=+，则()()1311f f ''=+，解得()112f '=-.故选：A.【一隅三反】1．（2020·广东湛江·高二期末（文））已知函数()cos x f x x =，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭'（ ）A ．2π-B ．2πC ．3πD ．3π-【答案】A【解析】()cos x f x x = ，()2sin cos x x x f x x --'∴=，因此，2sin 22222f πππππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭'-==- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A.2．（2020·四川高二期中（理））若函数()()22co 102s x f x x f x '=++，则6f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．0B ．6πC ．3πD ．π【答案】B【解析】因为()()20sin 1f x x f x ''=-+，所以令0x =，则()01f '=，所以()2sin 1f x x x '=-+，则66f ππ⎛⎫'=⎪⎝⎭，故选： B.3．（2020·广西桂林·高二期末（文））已知函数2()f x x x =+，则()1f '=（ ）A ．3B ．0C ．2D ．1【答案】A【解析】由题得()21(1)3f x x f ''=+∴=，.故选：A 考点四 求切线方程【例4】．（2020·郸城县实验高中高二月考（理））已知曲线31433y x =+（1）求曲线在点(2,4)P 处的切线方程；（2）求曲线过点(2,4)P 的切线方程【答案】（1）440x y --=；（2）20x y -+=或440x y --=．【解析】（1）∵2y x '=，∴在点()2,4P 处的切线的斜率2|4x k y ='==，∴曲线在点()2,4P 处的切线方程为()442y x -=-，即440x y --=．（2）设曲线31433y x =+与过点()2,4P 的切线相切于点30014,33A x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则切线的斜率020|x x k y x =='=，∴切线方程为()320001433y x x x x ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭，即23002433y x x x =⋅-+．∵点()2,4P 在该切线上，∴2300244233x x =-+，即320340x x -+=，∴322000440x x x +-+=，∴()()()2000014110x x x x +-+-=，∴()()200120x x +-=，解得01x =-或02x =．故所求切线方程为440x y --=或20x y -+=．【一隅三反】1．（2020·黑龙江大庆实验中学高三月考（文））曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为A ．21y x =-+B ．32y x =-+C ．23y x =-D ．2y x =-【答案】A【解析】2xy x =-的导数为22'(2)y x =--，可得曲线22y x =-在点()1,1-处的切线斜率为1'|2x k y ===-，所以曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为12(1)y x +=--，即21y x =-+，故选A.2．（2020·河南高三其他（理））曲线()21ln 22y x x =-在某点处的切线的斜率为32-，则该切线的方程为（）A ．3210x y +-=B ．3210x y ++=C ．6450x y +-=D ．12870x y +-=【答案】D【解析】求导得1y x x '=-，根据题意得132y x x '=-=-，解得2x =-（舍去）或12x =，可得切点的坐标为11,28⎛⎫⎪⎝⎭，所以该切线的方程为131822y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，整理得12870x y +-=.故选：D.3．（2020·北京高二期末）过点P （0，2）作曲线y ＝1x 的切线，则切点坐标为（ ）A ．（1，1）B ．（2，12）C ．（3，13）D ．（0，1）【答案】A【解析】设切点001(,)x x ,022001112(0)y x x x x '=-∴-=--Q 01x ∴=,即切点(1,1)故选：A4．（2020·吉林洮北·白城一中高二月考（理））已知函数f(x)＝x 3－4x 2＋5x －4．(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．【答案】（1）x －y －4＝0（2）x －y －4＝0或y ＋2＝0【解析】(1)∵f′(x)＝3x 2－8x ＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0．(2)设切点坐标为(x 0，x 03－4x 02＋5x 0－4)，∵f′(x 0)＝3x 02－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 02－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 03－4x 02＋5x 0－4)，∴x 03－4x 02＋5x 0－2＝(3x 02－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0．考点五 利用切线求参数【例5】．（2020·全国高三其他（理））已知曲线()ln xy e ax x =-在点()1,ae 处的切线方程为y kx =，则k =（）A ．1-B ．0C ．1D ．e【答案】D【解析】令()()ln xy f x eax x ==-，则()()1ln x xf x e ax x e a x'=-+-（，所以()12f ea e ='-，因为曲线()ln xy eax x =-在点()1,ae 处的切线方程为y kx =，所以该切线过原点，所以()12f ea e ae ='-=，解得1a =，即k e =.故选：D.【一隅三反】1．（2020·岳麓·湖南师大附中月考）已知函数()2ln xf x ax x=-，若曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线210x y -+=平行，则a =______.【答案】12-【解析】因为函数()2ln x f x ax x =-，所以()21ln 2xf x ax x-'=-，又因为曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线210x y -+=平行，所以()1122f a '=-=，解得12a =-，故答案为：12-2．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））曲线(1)x y ax e =+在点（0，1）处的切线的斜率为2，则a ＝_____.【答案】1【解析】 (1)x y ax e =+，∴(1)x y ax a e '=++ 012x y a =∴=+='，1a \=.故答案为：1.3．（2020·山东莱州一中高二月考）已知直线y x b =+是曲线3x y e =+的一条切线，则b =________.【答案】4【解析】设()3xf x e =+，切点为()00,+3xx e ，因为()xf x e '=，所以01x e =，解得00x =，所以0034y e =+=，故切点为(0,4)，又切点在切线y x b =+上，故4b =.故答案为：4。

5.2.2导数的四则运算要点 导数的运算法则法则1：函数的和(差)的导数导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u ′(x)±v ′(x)±…±w ′(x)． 法则2：函数的积的导数(1)(特殊化)当g(x)＝c(c 为常数)时，法则2可简化为[cf(x)]′＝c f ′(x)＋c·[f(x)]′＝0＋cf ′(x)＝cf ′(x)，即 [cf(x)]′＝cf ′(x)．(2)由上述结论及法则1可得[af(x)＋bg(x)]′＝af ′(x)＋bg ′(x)，其中a ，b 为常数．(3)函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，即[u(x)v(x)×…×w(x)]′＝u ′(x)v(x)×…×w(x)＋u(x)v ′(x)×…×w(x)＋…＋u(x)v(x)×…×w ′(x)． 法则3：函数的商的导数(1)注意[f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x ).(2)(特殊化)当f(x)＝1，g(x)≠0时，f (x )g (x )＝1g (x ) ，[1g (x )]′＝－g ′(x )[g (x )]2.【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)已知函数y ＝2ln x －2x ，则y ′＝2x－2x ln2.( )(2)已知函数y ＝3sin x ＋cos x ，则y ′＝3cos x ＋sin x ．( ) (3)函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)．( ) (4)若函数f (x )＝e xx 2，则f ′(x )＝e x (x ＋2)x 3.( )【答案】（1）√（2）×（3）√（4）×2．已知函数f (x )＝cos x ＋ln x ，则f ′(1)的值为( ) A ．1－sin 1 B ．1＋sin 1 C ．sin 1－1 D ．－sin 1 【答案】A【解析】因为f ′(x )＝－sin x ＋1x ，所以f ′(1)＝－sin 1＋11＝1－sin 1.故选A.3．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( )A ．y ′＝cos 2 x ＋sin 2 xB ．y ′＝cos 2 x －sin 2 xC ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x 【答案】B【解析】y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x －sin 2x . 4．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.【答案】1【解析】f (x )＝4x 2＋4ax ＋a 2，∵f ′(x )＝8x ＋4a ，∴f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1.题型一 利用运算法则求函数的导数【例1】根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． (1)y ＝x 2－2x －4ln x ； (2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝x ex ；(4)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(5)y ＝x ＋sin x 2cos x2.【解析】(1)y ′＝2x －2－4x .(2)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′ ＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x＝sin x cos x ＋xcos 2x.(3)y ′＝x ′e x －x ·(e x )′(e x )2＝1－xe x(4)∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′ ＝3x 2＋12x ＋11.(5)先使用三角公式进行化简，得y ＝x ＋12sin x∴y ′＝⎝⎛⎭⎫x ＋12sin x ′＝x ′＋⎝⎛⎭⎫12sin x ′＝1＋12cos x . 观察各函数的特点，能化简的先化简，再用求导法则求解．【方法归纳】利用导数的公式及运算法则求导的思路【跟踪训练】(1)已知f (x )＝e xx(x ≠0)，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0的值为________．【答案】(1)12【解析】(1)因为f ′(x )＝(e x )′x －e x ·x ′x 2＝e x (x －1)x 2所以由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得e x 0(x 0－1)x 20＋e x 0x 0＝0，解得x 0＝12.(2)求下列函数的导数．①y ＝x －2＋x 2；②y ＝3x e x －2x ＋e ；③y ＝ln x x 2＋1；④y ＝x 2－sin x 2cos x 2.【解析】(2)①y ′＝2x －2x －3； ②y ′＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2；③y ′＝x 2＋1－2x 2·ln xx (x 2＋1)2；④因为y ＝x 2－sin x 2cos x 2＝x 2－12sin x ，所以y ′＝2x －12cos x .题型二 导数运算法则的综合应用【例2】已知曲线y ＝xx －1在(2,2)处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0平行，求实数a 的值．【解析】因为y ′＝x ′(x －1)－(x －1)′x (x －1)2＝－1(x －1)2所以y ′|x ＝2＝－1即－a2＝－1所以a ＝2.【变式探究1】本例条件不变，求该切线到直线ax ＋2y ＋1＝0的距离． 【解析】由例2知切线方程为x ＋y －4＝0直线方程x ＋y ＋12＝0所以所求距离d ＝12＋42＝924.【变式探究2】本例条件不变，求与直线y ＝－x 平行的过曲线的切线方程． 【解析】由例2知y ′＝－1(x －1)2令－1(x －1)2＝－1得x ＝0或2所以切点为(0,0)和(2,2)， 所以切线方程为x ＋y －4＝0. 【方法归纳】关于求导法则的综合应用(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． 【跟踪训练2】已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数f ′(x )＝2x －8. (1)求a ，b 的值．(2)设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程． 【解析】(1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，所以f ′(x )＝2ax ＋b ， 又知f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8. (2)由(1)可知g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3， 所以g ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＋2x －8， 所以g ′(0)＝e 0sin 0＋e 0cos 0＋2×0－8＝－7， 又知g (0)＝3，所以g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)． 即7x ＋y －3＝0.【易错辨析】混淆曲线下的相切与导数背景下的相切致错．【例3】若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9(a ≠0)都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564 B ．－1C ．－74或－2564D ．－74【答案】A【解析】因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在点(x 0，x 30)处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，所以3x 20－2x 30＝0，解得x 0＝0或x 0＝32. 当x 0＝0时，由直线y ＝0与曲线y ＝ax 2＋154x －9相切可得方程ax 2＋154x －9＝0有两个相等的实数根，此时Δ＝(154)2－4a ×(－9)＝0，解得a ＝－2564；当x 0＝32时，由直线y ＝274x －274与曲线y ＝ax 2＋154x －9相切，联立直线方程和曲线方程并消去y ，得ax 2－3x －94＝0，此时Δ＝9－4×a ×(－94)＝0，解得a ＝－1.综上可得，a ＝－1或a ＝－2564.【易错警示】 出错原因有的同学认为x 0＝0时，此时直线y ＝0与曲线y ＝x 3相交，就把这种情况舍去了，错选了B. 纠错心得正确理解导数背景下的相切．例如直线y ＝0与曲线y ＝x 3在x ＝0处是相切的.一、单选题1．若()e ln2xf x x =，则()f x '等于（ ）A ．e e ln 22xx x x+B ．e ln 2xx x -C ．e e ln 2xxx x+D ．12e x x⋅【答案】C 【分析】直接根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得； 【解析】解：()()()ee ln 2e ln 2e ln 2xxx x f x x x x x'''=⋅+⋅=+.故选：C.2．已知函数()()()21ln f f x x x x =+-'，则()2f '=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 【分析】对函数求导，将1x =代入导函数，即可得到导函数的表达式，再代入2x =即可得到结果. 【解析】因为()()1211f x x f x ⎛⎫''=+- ⎪⎝⎭，所以得到()()()121112f f ''=+⋅-=，因此()222f x x x'=+-，所以()24123f '=+-=． 故选：B.3．已知函数()()42e 21x f x x -+=⋅+，则()0f '=（ ）A ．2eB ．1C ．27eD ．29e -【答案】C 【分析】由基本初等函数的导数公式，结合复合函数的导数运算法则求f x ，进而求()0f '.【解析】()22e ex x -+-+=-'，43(21)8(21)x x '⎡⎤+=+⎣⎦，∴()()422e 21e x x x f x -+-+=-⋅++'()3821x ⋅+，当0x =时，()2220e 8e 7e f '=-+=.故选：C4．下列求导计算正确的是（ ） A ．2ln ln 122x x x x '+⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2[ln(21)]21x x '+=+ C ．()11122ln 2x x ++'=D ．2sin cos cos 22x x x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭ 【答案】B 【分析】利用导数的四则运算和复合函数的导数，即得解 【解析】2ln 1ln 22x x x x '-⎛⎫=⎪⎝⎭，A 错误；2[ln(21)]21x x '+=+，B 正确； ()1122ln 2x x ++'=，C 错误；2sin cos (sin )sin cos 22x x x x x x x x '⎛⎫'==+ ⎪⎝⎭，D 错误．故选：B ．5．已知数列{}n c 为等比数列，其中11c =，20224c =，若函数()()()122022()f x x x c x c x c =--⋅⋅⋅-，()f x '为()f x 的导函数，则(0)f '=（ ） A ．5052 B ．10112 C ．20222 D ．40222【答案】C 【分析】根据等比数列的性质和导数的运算法则即可求出. 【解析】11c =，20224c =，{}n c 为等比数列，12022220214c c c c ∴==⋅⋅⋅=，()()()()()()()1011202212202212202212202242c c c f x x c x c x c x x c x c x c ''⋅⋅⋅===--⋅⋅⋅-+--⋅⋅⋅-⎡⎤⎣⎦，则2022122022(0)2f c c c '=⋅⋅⋅=.故选:C.6．若函数()()()()()2019202020212022f x x x x x =----，则()2021f '=（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1【答案】A 【分析】构造函数()()()()201920202022g x x x x =---，再用积的求导法则求导计算得解. 【解析】令()()()()201920202022g x x x x =---，则()()()2021f x x g x =-⋅， 求导得：()()()()12021f x g x x g x ''=⋅+-⋅， 所以()()()202120212112f g '==⨯⨯-=-. 故选：A7．设()322f x x ax x b =+-+，若()14f '=，则a 的值是（ ）A ．94B ．32C ．1-D ．52-【答案】B【解析】f ′(x )＝3x 2＋2ax －2，故f ′(1)＝3＋2a －2＝4，解得a ＝32. 8．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e )＋ln x ，则f ′(e )＝（ ） A ．e －1 B ．－1 C ．－e －1 D ．－e【答案】C 【分析】对函数求导得''1()2()f x f e x=+，再将x e =代入，解方程即可得到答案；【解析】∴f (x )＝2xf ′(e )＋ln x ，∴''1()2()f x f e x =+，∴''1()2()f e f e e =+，解得'1()f e e=-，故选：C.二、多选题9．（多选）下列求导运算正确的是（ ） A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．()sin cos cos sin x x x x +'=-C ．2ln 1ln x xx x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()2cos 2sin x x x x '=-【答案】BC 【解析】A 中(1)x x+′＝1－21x ，A 不正确；D 中，(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，D 不正确；BC 正确. 答案 BC10．下列求导数运算正确的是（ ） A ．（2021x ）′=x 2021x ﹣1B ．（x 2021+log 2x ）′=2021x 202012xln +C ．（cosx sinx ）′222sin x cos x sin x-=D ．（x 23x ）′=2x 3x +x 23x ln3 【答案】BD 【分析】根据题意，依次计算选项中函数的导数，即可得答案. 【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，（2021x ）′=2021x ln 2021，A 错误；对于B ，（x 2021+log 2x ）′=（x 2021）′+（log 2x ）′=2021x 202012xln +，B 正确； 对于C ，（cosx sinx）′221sinx sinx cosx cosx sin x sin x -⋅-⋅==-，C 错误；对于D ，（x 23x ）′=（x 2）′•3x +x 2×（3x ）′=2x 3x +x 23x ln 3，D 正确. 故选：BD.11．设函数()cos f x x =，则下列说法正确的是（ ） A ．π12f=-'⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦B ．()2sin cos f x x x x x x ='⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．()f x 在π,02⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为π02x y +-=D ．[()]cos sin xf x x x x =+' 【答案】BC 【分析】利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，对四个选项一一求导，即可验证. 【解析】对于A ：因为()cos f x x =，所以()cos =022f ππ=，所以π0=02f'='⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故A 错误；对于B ：因为()cos f x x =，所以()cos f x x x x =，所以()2sin cos f x x x x x x ='⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故B 正确； 对于C ：因为()cos f x x =，所以()sin f x x '=-，所以()sin =122f ππ'=--.而()cos =022f ππ=，所以()f x 在π,02⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为π02x y +-=，故C 正确；对于D ：()[()]cos cos sin xf x x x x x x '==-'.故D 错误. 故选：BC第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．函数()321y x =+在0x =处的导数是______． 【答案】6 【分析】将函数解析式展开，再求导，之后代入0x =即可得到结果. 【解析】将函数解析式展开得到：3281261y x x x =+++，求导得224246y x x '=++， 所以06x y ='=． 故答案为：6. 13．函数()1cos sin x f x x -=的图象在点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为___________. 【答案】π102x y -+-= 【分析】先利用基本函数的导数公式和导数的运算法则求导，再利用导数的几何意义进行求解. 【解析】 因为()1cos sin xf x x-=， 所以'''2(1cos )sin (1cos )(sin )()sin x x x x f x x -⋅--⋅=2222sin cos cos 1cos sin sin x x x x x x-+-==，则所求切线的斜率为'2π1cosπ2()1π2sin 2k f -===， 所以所求切线方程为π12y x -=-， 即π102x y -+-=. 故答案为：π102x y -+-=. 14．下列各函数的导数：①1212x -'=；②()ln x x a a x '=；③()sin 2cos 2x x '＝；④(1x x +)′＝21(1)x +.其中正确的有________.【答案】①④【分析】 直接利用导数公式计算即可求解.【解析】112212x x -'⎛⎫'== ⎪⎝⎭，①正确； ()ln x x a a a '＝，②错误；()()sin2cos222cos2x x x x ''＝＝，③错误； (1x x +)′＝2(1)(1)(1)x x x x x ''+-⋅++＝21(1)x x x +-+＝21(1)x +，④正确. 故答案为：①④.四、解答题15．求下列函数的导数；（1）32235y x x =-+（2）241y x x =++ （3）22log x y x =+（4）n x y x e =（5）31sin x y x-=（6）sin sin cos x y x x=+ 【答案】 （1）266y x x '=-（2）()22241y x x --'=--+（3）12ln 2ln 2x y x '=+ （4）1n x n x y nx e x e -'=+（5）()2323sin cos 1sin x x x x y x --'=（6）11sin 2y x '=+ 【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得；（1）解：因为32235y x x =-+，所以266y x x '=-；（2） 解：因为()11242411y x x x x --=+=+++，所以()22241y x x --'=--+； （3）解：因为22log x y x =+，所以12ln 2ln 2x y x '=+； （4）解：因为n x y x e =，所以()()1n x n x n x n x y x e x e nx e x e -'''=+=+；（5） 解：因为31sin x y x -=，所以()()()()()3323221sin sin 13sin cos 1sin sin x x x x x x x x y x x ''-----'== （6） 解：因为sin sin cos x y x x=+，所以()()()()()()()22sin sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin 11sin 2sin cos sin cos x x x x x x x x x x x x y x x x x x ''+-++--'===+++。

5.2 导数的运算【题组一 初等函数求导】1．（2018·全国高二课时练习）求函数()2y f x x x==+在下列各点处的导数． （1）0x x =； （2）1x =； （3）2x =-．【答案】(1) 2021x -+ (2)-1 (3) 12【解析】∵()2f x x x =+，∴()221f x x=-'+． （1）当0x x =时，()02021f x x =-'+． （2）当1x =时，()221111f '=-+=-． （3）当2x =-时，()()2212122f -=-+=-'．2．求下列函数的导数：(1)y =；(2)cos 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；(3)xy =.【答案】（1）1232x ；（2）cos x ；（3）1ln 32x【解析】(1)y′＝(32x )′＝1232x(2)∵y ＝cos ＝sin x ，∴y′＝(sin x)′＝cos x.(3)y′＝[()x]′＝()xln＝()13ln32x.3．（2020·海林市朝鲜族中学高二课时练习）求下列函数的导数：(1)cos y x=； (2)2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 【答案】（1）（2）2332x x-【解析】(1)y′＝′＝′cos x ＋ (cos x)′＝′cos x －sin x ＝－x －cos x －sin x ＝－－sin x ＝－.(2)∵y ＝x ＝x 3＋1＋，∴y′＝3x 2－.4．（2020·海林市朝鲜族中学高二课时练习）求下列函数的导数. (1)()3411632f x x x =-+； (2)f(x)=(5x -4)cos x; (3)()ln xf x x=. 【答案】（1）232x x -；（2）5cos 5sin 4sin x x x x -+；（3）21ln xx- 【解析】(1)∵()3411632f x x x =-+，∴()23'2f x x x =-． (2)∵f(x)=(5x -4)cos x ，∴()()'5x 4cos?x '5cos 5sin 4sin f x x x x x ⎡⎤=-=-+⎣⎦．(3)∵()ln xf x x =，∴()()221ln x lnx lnx x f x x x '--==，． 【题组二 复合函数求导】1．（2020·宁县第二中学高二期中（理））求下列函数的导数：（1）cos3xy = （2）n xy x e =【答案】（1）'1sin33x y =-；（2）()'1x n y e x x n -=+ 【解析】（1）cos 3x y =，∴''1sin sin 3333x x xy ⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭. （2）n x y x e =，∴()'11n x n x x n y nx e x e e x x n --=+=+2．（2020·江苏徐州·高二月考）求下列函数的导数. （1）()ln xf x x=（2）()()239f x x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭（3）()()2ln 51xf x x =+-【答案】（1）()'21ln x fx x -=；（2）()'222736f x x x =++；（3）()'52ln 251xf x x =+- 【解析】（1）()'''22(ln )ln ()1ln x x x x xf x x x⋅-⋅-==；（2）()()''239f x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭()'239x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 2222233272()(9)(1)2639x x x x x x x x =-+++=-++++=222736x x ++； （3）()()''12ln 25151x fx x x =+⨯-=-52ln 251x x +-. 3．（2020·江苏省如东高级中学高二期中）求下列函数的导函数. （1）()521y x =+（2）1log 32ay x =+ 【答案】（1）410(21)y x '=+；（2）3(32)ln y x a'=-+【解析】（1）445(21)210(21)y x x '=+⨯=+；（2）log (32)a y x =-+，133(32)ln (32)ln y x a x a'=-⨯=-++．4．（2020·陕西泾阳·高二期中（理））求下列函数的导数： （Ⅰ）2sin y x x =；（Ⅱ）)22y =.【答案】（Ⅰ）22sin cos y x x x x '=+（Ⅱ）1y'= 【解析】（Ⅰ）()()222sin sin 2sin cos y x x x x x x x x '''=+=+.（Ⅱ）))222221y ''===-. 5．（2020·长春兴华高中高二期末（文））求下列函数的导数：（1）sin xy e x = ；（2）y ＝2311x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭； （3）sincos 22x y x x =-； 【答案】（1）y ′＝e x sinx ＋e x cosx .（2）y ′＝3x 2－32x.（3）y ′＝1－12cosx . 【解析】（1）y ′＝(e x )′sinx ＋e x (sinx )′＝e x sinx ＋e x cosx ..（2）因为y ＝x 3＋21x ＋1，所以y ′＝3x 2－32x. （3）因为y ＝x －12sinx ，所以y ′＝1－12cosx . 6．（2020·江西南昌·高二期末（理））求出下列函数的导数． （1）tan xy e x ＝ （2）()3ln 45y x +＝（3）2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（4）y ＝sin nx x（5）()5221x y e x ++﹣＝【答案】（1）'2tan cos x xe y e x x=+；（2）'1245y x =+；（3）'2332x y x =-； （4）'1cos sin n x x n x y x+-=；（5）()4'29221()x y x x e +=+﹣﹣ 【解析】（1）由tan xy e x =，则()''2'tan tan t cos ()an x x xxe y e x e x e x x+==+， 即'2tan cos xxe y e x x=+（2）由3ln 45y x +=（），则'1245y x =+（3）由2323111y x x x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭﹣，则'2332xy x =-， （4）由sin n x y x =，则'1cos sin n x x n x y x+-=， （5）由()5221x y e x +=+﹣，则()4'29221()x y x x e +=+﹣﹣． 【题组三 求导数值】1．（2020·四川高二期中（理））已知()sin 2f x x =，则()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）A ．cos2xB ．cos2x -C ．2cos2xD ．2cos2x -【答案】C【解析】由()()()()0limcos 222cos 2x f x x f x f x x x x∆→+∆-'==⋅=∆.故选：C.2．（2020·江西高二期末（理））若函数()f x 的导数()f x '满足()()121ln f x f x x '=+，则12f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ）A ．eB ．2C ．1D ．0【答案】D【解析】∵()()121ln f x f x x'=+，∴()()21121f x f x x ''=⨯-，令1x =，可得(1)2(1)1f f ''=-，解得(1)1f '=，因此()221f x x x '=-，14402f ⎛⎫'∴=-= ⎪⎝⎭，故选：D 3．（2020·四川省南充市白塔中学高二开学考试（文））已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式()()232x f x x xf e '=++，则()2f '的值等于（ ）A ．2-B ．222e -C ．22e -D ．222e --【答案】D【解析】依题意()()''232xf x x f e =++，令2x =得()()''22432f f e =++，()2'222e f =--，故选D.4．（2020·四川棠湖中学高二月考（文））若函数f (x )满足f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2－x ，则f ′(1)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．0D ．－1【答案】C 【解析】依题意()()'3'211fx x f x =--，令1x =得()()''11211f f =--，解得()'10f =，故选C.5．（2020·河南商丘·高二期末（理））已知函数()()2ln 31f x x x f x '=-+，则()1f =（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】D【解析】因为()()2ln 31f x x x f x '=-+，则()()1321f x f x x''=-+， 所以()()'1132'1f f =-+，则()12f '=，所以()2ln 32f x x x x =-+，所以()1ln1321f =-+=-.故选：D.6．（2020·江西高二期末（文））已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2322f x x xf '=+，则()2f '=______. 【答案】12-【解析】因为()()2322f x x xf '=+，所以()()622f x x f ''=+，将2x =代入得()()21222f f ''=+，解得()212f '=-，故答案为：12-.7．（2020·四川内江·高二期末（文））已知2()x f x e x =+，则(1)(1)f f '+=________．【答案】23e +【解析】因为2()xf x e x =+，所以()2xf x e x '=+所以(1)1,(1)2f e f e '=+=+所以(1)(1)23f f e '+=+.故答案为：23e +. 【题组四 求切线方程】1．（2020·湖南高二期末）曲线sin x xy e=在点()0,0处的切线方程为______.【答案】0x y -=【解析】因为()cos sin x xxe x xef x e-'=，所以切线斜率()01k f '==，所以曲线()sin xf x e x =在点()0,0处的切线方程为：0x y -=.故答案为：0x y -=2．（2020·江西高二期末（理））已知函数()xxf x e ae -=+为偶函数，则()f x 在其图象上的点()()ln3,ln3f 处的切线的斜率为______．【答案】83【解析】函数()xxf x e ae -=+为偶函数，()()f x f x ∴-=，即x x x x e ae e ae --+=+，解得1a =，则'()x x f x e e -=-，∴()f x 在点()()ln3,ln3f 处的切线的斜率ln3ln318'(ln 3)333kf e e.故答案为：83.3．（2020·陕西西安·高新一中高三期末（文））曲线(sin )e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为________.【答案】2y x =【解析】0(sin cos 1)e ,|2xx y x x x y =''=+++=,所以切线方程为2y x =.故答案为:2y x =.4．（2020·重庆八中高三月考）已知函数()f x 为奇函数，当0x >时，3()ln =- f x x x ，则曲线()y f x =在点(1,(1))-- f 处的切线方程为________.【答案】210x y -+=【解析】∵函数()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-， 当0x >时，3()ln =- f x x x ，不妨设0x <，则0x ->， 故()3()ln () f x xx f x -=---=-，故0x <时，()3()ln f x x x +=-，故'2()31 f x x x=+，故(1)1ln11 f -+=-=-，'(1)312 f -=-=，故切线方程是：2(1)1y x =+-，整理得：210x y -+=，故答案为：210x y -+=．5．（2020·重庆高三期中（文））曲线()2ln 2f x x x =-在点()()1,1f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为____________.【答案】16【解析】()2ln 2f x x x =-，()()'14,0f x x x x∴=->， ()'13f ∴=-，12f ，∴切线方程为：()231y x +=--即31y x =-+，当0x =，时1y =，当0y =，时13x =， ∴三角形面积为：1111236⨯⨯=.故答案为：16. 6．（2020·五华·云南师大附中高三月考（理））曲线()21ln y x x =+在()1,0处的切线方程为______.【答案】220x y --=【解析】2n '12l x x x xy +=+，当1x =时，切线斜率'2k y ==，故切线方程为()21y x =-，即220x y --=.故答案为：220x y --=7．（2020·江西高三月考（理））1()e x f x -=+的图像在1x =处的切线方程为________．【答案】210x y -+=【解析】112()e 2x f x x -=+，则()112x f x e x --'=+，且()12f '=()13,f =∴切线方程为()321y x -=-，即210x y -+=故答案为：210x y -+=8．（2020·五华·云南师大附中高三月考（文））过原点与曲线ln y x =相切的切线方程为______． 【答案】x y e= 【解析】设切点坐标为()00,x y ，切线方程为y kx =，由ln y x =，则1y x'=，则001|x x y x ='=， 则0001y x x =，即000ln 1x x x =，即0ln 1x =，解得0x e =，所以01|x x k y e='==， 所以原点与曲线ln y x =相切的切线方程为x y e=． 故答案为：x y e= 9．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学高二期末（文））已知()2f x x =，则曲线()y f x =过点()1,0P -的切线方程是______．【答案】0y =或440x y ++=【解析】设切点为(,)m n ，2()f x x =的导数为()2f x x '=，可得切线的斜率为2k m =， 又20211n m m m m -==++，解得0m =或2m =-， 当0m =时，0k =；2m =-时，4k =-；曲线()y f x =过点(1,0)P -的切线方程为(1)y k x =+，则切线的方程为0y =或44y x =--．故答案为：0y =或44y x =--．10．（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中（文））过函数()33f x x x =-上的点()2,2M --的切线方程是_________.【答案】2y =-或9160x y -+=【解析】因为()233f x x ='- 设切点为00,x y ，则()20033k f x x '==-， 所以切线方程为：()()()320000333y x x x x x --=--， 因为()2,2M --在切线方程上，所以()()()32000023332x x x x ---=---，解得：01x =或02x =-. 当01x =时，20330k x =-=，此时切线方程为2y =-；当02x =-时，20339k x =-=，此时切线方程为9160x y -+=.所以，切线方程为：2y =-或9160x y -+=.故答案为：2y =-或9160x y -+=.11．（2020·辽宁省本溪满族自治县高级中学高三其他（文））过点(0,1)-作曲线ln f x =（0x >）的切线，则切点坐标为________．【答案】【解析】由ln f x =（0x >），则2()ln ,0f x x x =>，化简得()2ln ,0f x x x =>， 则2()f x x'=，设切点为00(,2ln )x x ，显然(0,1)-不在曲线上， 则0002ln 12x x x +=，得0x =，则切点坐标为.故答案为：.12．（2020·石嘴山市第三中学高二期末（理））过点(1,1)--与曲线x y e x =+相切的直线方程为______________.【答案】21y x =+.【解析】设切点坐标为()000,e x x x +， 由x y e x =+得e 1x y '=+，∴切线方程为()()0000e 1e x x y x x x =+-++， 切线过点()1,1--，∴()()00001e 11e x x x x -=+--++，即00e 0x x =， ∴00x =，即所求切线方程为21y x =+.故答案为：21y x =+.13．（2020·吉林净月高新技术产业开发区·东北师大附中高二月考（理））过点()1,1作曲线3y x =的切线，则切线方程是______.【答案】3410x y -+=和320x y --=【解析】设切点坐标为()3,t t ，对函数3y x =求导得23y x '=，则所求切线的斜率为23t ， 所以，曲线3y x =在点()3,t t 处的切线方程为()323y t t x t -=-，由于该直线过点()1,1，即()32131t t t -=-，整理得()()22110t t +-=，解得12t =-或1t =. 当12t =-时，所求切线的方程为131842y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即3410x y -+=； 当1t =时，所求切线的方程为()131y x -=-，即320x y --=.故答案为：3410x y -+=和320x y --=.【题组五 利用切线求参数】1．（2020·辽宁高二期末）已知函数()21f x ax x =-+，若()()011lim 3x f x f x∆→+∆-=∆，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．1C ．1-D ．2- 【答案】A 【解析】根据题意，函数()21f x ax x =-+，其导数()21f x ax ='-，则()121f a '=-，又由()()011lim 3x f x f x∆→+∆-=∆，即()1213f a '=-=，解可得2a =； 故选：A.2．（2020·湖北省天门中学高二月考）曲线3()2f x x x =+-在0P 处的切线平行于直线41y x =-，则0P 点的坐标为（ ）A ．(1, 0)B ．(2, 8)C ．(1, 0)和(-1, -4)D ．(2, 8)和(-1, -4)【答案】C 【解析】依题意,令2()314f x x '=+=，解得1x =±(1)0,(1)4f f =-=-故0P 点的坐标为(1, 0)和(-1, -4)，故选：C3．（2020·甘肃城关·兰州一中高二期中（文）） 设函数f (x )＝24x －a ln x ，若f ′(2)＝3，则实数a 的值为( ) A ．4B ．－4C ．2D ．－2 【答案】B【解析】f ′(x )＝－，故f ′(2)＝－＝3，因此a ＝－4.4．（2020·唐山市第十一中学高二期末）设()ln f x x x =，若()3f a '=，则a =（ ） A ．eB ．ln 2C ．2eD ．ln 22【答案】C 【解析】对()f x 求导得()ln +1f x x '=将a 带入有()2ln +13f a a a e '==⇒=． 5．（2020·陕西新城·西安中学高二期末（理））如图，()y f x =是可导函数，直线:2l y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令()()g x xf x =，'()g x 是()g x 的导函数，则'(3)g =（ ）．A ．－1B ．0C ．2D ．4【答案】B 【解析】将点()3,1代入直线2y kx =+的方程得321k +=，得13k =-，所以，()133f k '==-， 由于点()3,1在函数()y f x =的图象上，则()31f =，对函数()()g x xf x =求导得()()()g x f x xf x ''=+， ()()()133331303g f f ⎛⎫''∴=+=+⨯-= ⎪⎝⎭，故选B ．。

课时同步练5.2.3 导数的运算法则与简单复合函数求导公式一、单选题1．下列导数运算正确的是（ ）A ．()122x x x -'=⋅B ．(sin cos 1)cos2x x x +='C ．1(lg )x x '=D ．()12x x --'= 【答案】B 【解析】对于A ，()22ln 2x x '=，A 错误； 对于B ，22(sin cos 1)(sin )cos sin (cos )cos sin cos2x x x x x x x x x +='='+'=-，B 正确； 对于C ，1(lg )ln10x x '=，C 错误； 对于D ，()12x x --'=-，D 错误． 故选B ．2．函数2()(1)f x x =+的导函数为（ ）A ．()1f x x '=+B ．()21f x x '=+C ．()2f x x '=+D ．()22f x x '=+ 【答案】D【解析】22()(1)21f x x x x =+=++()22f x x ∴'=+，故选D .3．函数1y x x=+的导数是（ ） A ．11x - B ．211x - C ．211x + D ．11x+ 【答案】B 【解析】1y x x =+， 211y x '∴=-. 故选B . 4．函数2(ln 1)y x x =+在1x =处的切线方程为（ ）A ．42y x =+B ．24y x =-C ．42y x =-D ．24y x =+ 【答案】C【解析】由已知12(ln 1)22ln 4y x x x x '=++⋅=+， 则1|4x y ='=，又1x =时，2y =，则切线方程为42y x =-.故选C.5．曲线421y x ax =++在点(1, 2)a -+处的切线斜率为8，则实数a 的值为（ ）A ．6-B ．6C ．12D ．12- 【答案】A【解析】由421yx ax =++，得342y x ax '=+， 则曲线421y x ax =++在点(1, 2)a -+处的切线斜率为428a --=，得6a =-.故选A.6．已知函数()()2ln 31f x x x f x '=-+，则()1f =（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．1-【答案】D【解析】因为()()2ln 31f x x x f x '=-+，则()()1321f x f x x''=-+， 所以()()'1132'1f f =-+，则()12f '=，所以()2ln 32f x x x x =-+，所以()1ln1321f =-+=-. 故选D.7．已知()3sin3f x x x =+，则其导函数()'f x =（ ）A ．233cos x x +B ．33cos x x +C ．33cos3x x +D ．233cos3x x + 【答案】D【解析】22()3cos3(3)33cos3f x x x x x x ''=+⋅=+,故选D.8．已知21()sin 42f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则()'f x 为()f x 的导函数，则()'f x 的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】22co 11()si 4s n 42f x x x x x π⎛⎫=++= +⎪⎝⎭， ()1sin 2f x x x '∴=-， ∴函数()f x '为奇函数，排除B 、D. 又1024f ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，排除C. 故选A9．对于函数()22ln x e k f x x x x=+-，若()11f '=，则实数k 等于（ ） A ．2e B ．3e C ．e 2- D ．3e - 【答案】A【解析】()22ln x e k f x x x x=+-，()32212()x e x k f x x x x +'-∴=+， 所以()1121f e k =-++='，解得2e k =， 故选A ．10．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量N （单位：贝克）与时间t （单位：天）满足函数关系()3002tP t P -=，其中0P 为时该放射性同位素的含量.已知15t =时，该放射性同位素的瞬时变化率为210-，则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为（ ）A ．20天B ．30天C ．45天D ．60天【答案】D【解析】由()3002t P t P -=得()30012ln 230tP t P -'=-⋅⋅，因为15t =时，该放射性同位素的瞬时变化率为210-，即()022156010P P '=-=-，解得018P =，则()30182tP t -=⋅，当该放射性同位素含量为4.5贝克时，即() 4.5P t =， 所以30182 4.5t-⋅=，即30124t-=，所以230t-=-，解得60t =.故选D.11．曲线()ax y x a e =+在点()0,a 处的切线与直线230x y ++=垂直，则a =（） A ．1- B ．±1 C ．1 D ．1-或2【答案】B【解析】因为()21'=++ax y ax a e ，所以201x y a ==+'，因为曲线()e =+ax y x a 在点(0,)a 处的切线与直线230x y ++=垂直，所以()21112⎛⎫+⨯-=- ⎪⎝⎭a ，即21a =，解得1a =±. 故选B12．若曲线21sin 242y x x =+在()11,A x y ，()22,B x y 两点处的切线互相垂直，则12x x -的最小值为（ ）A ．3πB ．2πC ．23πD ．π【答案】B【解析】2111cos 21sin 2cos sin 2sin 242422234x y x x x x π+⎛⎫=+=+=++ ⎪⎝⎭， ∴cos 23y x π⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭ ∴曲线的切线斜率在[1,1]-范围内，又曲线在两点处的切线互相垂直，故在()11,A x y ，()22,B x y 两点处的切线斜率必须一个是1，一个是-1.不妨设在A 点处切线的斜率为1， 则有11122()3x k k Z ππ+=∈，22222()3x k k Z πππ+=+∈，则可得()()121222x x k k k k Z ππππ-=--=-∈，所以12min 2x x π-=.故选B.二、填空题13．函数cos2()xx f x e =的导函数()f x '=_________． 【答案】2sin 2cos 2xx x e +- 【解析】由cos2()xx f x e =， 得22sin 2cos 22sin 2cos 22sin 2cos 2()x x x x x e x e x x x x x f x e e e----==-'+=， 故填2sin 2cos 2xx x e +-. 14．已知函数()f x =，则()f x 在2x =处的导数()2f '=________. 【答案】2【解析】()21f x x=+=-，()()221f x x '∴=-，()22f '∴=. 故填2.15．若曲线()()ln 1f x ax x =-+在点()0,0的切线方程是2y x =，则实数a =__________．【答案】3【解析】()ln 1y ax x =-+，1'1y a x ∴=-+， ()ln 1y ax x =-+在()0,0处的切线方程为2y x =，1201a ∴-=+， 解得3a =，故填3.16．设函数()f x 在()0,∞+内可导，其导函数为()f x '，且()ln 2ln =-x f x x ，则()1f '=______.【答案】21e -【解析】因为()ln 2ln =-x f x x ，令ln t x =，则t x e =，所以()2=-t f t e t ， 即()2=-x f x e x ，所以()21x f x e '=-，因此()112=-f e . 故填21e -17．已知()()()212ln 212f f x x x f x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，则()()11f f '+=______. 【答案】3-【解析】()()()212ln 212f f x x x f x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭ ()()()()()111'2ln 2412ln 24122f f f x x x f x x f x x x ⎛⎫''=+-⋅+=+-+ ⎪⎝∴⎭ ()()()()()112412121f f f f f '''⎧=-+⎪∴⎨⎪=⎩，解得()()1112f f ⎧=-⎪⎨=-'⎪⎩， ()()113f f '=-+故填3-.18．定义：设函数()y f x =在(),a b 上的导函数为()f x '，若()f x '在(),a b 上也存在导函数，则称函数()y f x =在(),a b 上存在二阶导函数，简记为()y f x ''=.若在区间(),a b 上()0f x ''<，则称函数()y f x =在区间(),a b 上为“凸函数”.已知()()2ln 1e x f x mx =+-在区间()1,1-上为“凸函数”，则实数m 的取值范围为______. 【答案】18m > 【解析】()()2ln 1e x f x mx =+-()12121e 1ex x x e f x mx mx '∴=-=--++ ()2e 2(1e )xx f x m ''∴=-+()()2ln 1e x f x mx =+-在区间()1,1-上为“凸函数”()2e 20(1e )xx f x m ''∴=-<+在()1,1-上恒成立 2e 2(1e )xx m ∴>+()1,1-上恒成立 设2e ()()1e xx g x =+，()1,1x ∈-， 则2e 11()e 2e 114e 2e 1e2x x x x x x x g x ++=≤+==++ 当且仅当0x =时取得最大值14，124m ∴> 18m ∴> 故填18m >.三、解答题19．求导：（1）()33cos f x x x x =+；（2）()212x x f x e e e -+=++ 【解析】（1）()323cos ,()9cos sin f x x x x f x x x x x =+∴'=+-；（2）()21221,()2x x x x f x e f x e e e e -+-+∴'=-+++=.20．已知函数ln y x x =+.（1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点1x =处的切线方程.【解析】（1）因为ln y x x =+，所以11y x'=+ （2）因为ln y x x =+在1x =处的值为1，11y x '=+在1x =处的值为2 所以切线方程为()121y x -=-，即210x y --=21．已知函数()()()2sin 212xy f x x x ππ==+-+，求：（1）求()f x '及()2f '；（2）求函数图象在点()()1,1P f 处的切线方程及切线与坐标轴围成的三角形的面积.【解析】（1）由()()()2sin 212x y f x x x ππ==+-+，则()()()214221co 1s f x x x x x πππ'=-+++⨯⨯2681cos x x x π=-++，()2262821cos210f π'=⨯-⨯++=.（2）()()sin 1313f ππ=⨯-+=-，()16181cos 2f π'=⨯-++=-，所以在点()()1,1P f 处的切线方程为：()()321y x --=--， 整理可得：210x y ++=.令0y =，解得12x =-，则1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 令0x =，解得1y =-，则()0,1B -， 所以1111224OAB S =⨯⨯=.22．记()f x '、()g x '分别为函数()f x 、()g x 的导函数.把同时满足()()00f x g x =和()()00f x g x ''=的0x 叫做()f x 与()g x 的“Q 点”. （1）求()2f x x =与()224g x x x =-+的“Q 点”；（2）若()212f x ax =+与()lng x x =存在“Q 点”，求实数a 的值. 【解析】（1）因为()()2,22f x g x x ''==-，设0x 为函数()f x 与()g x 的一个“Q ”点.由()()00f x g x =且()()00f x g x ''=得20000224222x x x x ⎧=-+⎨=-⎩， 解得02x =.所以函数()f x 与()g x 的“Q ”点是2.（2）因为()()12,f x ax g x x ''==， 设0x 为函数()f x 与()g x 的一个“Q ”点.由()()00f x g x =且()()00f x g x ''=得200001ln 212ax x ax x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①②， 由②得2012a x =代入①得0ln 1x =，所以0x e =. 所以2201122a x e ==.。

人教版高中数学选择性必修第二册5.2.2导数的四则运算法则同步作业（原卷版）1．函数y＝x·lnx的导数是()A．x B.1xC．lnx＋1D．lnx＋x2．函数y＝cosxx的导数是()A．－sinxx2B．－sinxC．－xsinx＋cosxx2D．－xcosx＋cosxx23．曲线y＝1－2x＋2在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2 4．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是()A.19 3B.16 3C.13 3D.10 35．已知曲线y＝x24－3lnx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()A．3B．2C．1 D.126．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为()A．4B．－14C．2D．－127．(2018·天津)已知函数f(x)＝e x lnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．8．若f(x)＝x2－3x－2lnx，则f′(x)>0的解集为________．9．(2018·课标全国Ⅲ，理)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________．10．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为________．11．已知＝x1＋x ，则f′(x)＝()A.11＋xB ．－11＋x C.1（1＋x ）2D ．－1（1＋x ）212．已知y ＝13x 3－x －1＋1，则其导函数的值域为________．13．曲线y ＝x(x ＋1)(2－x)有两条平行于y ＝x 的切线，则两切线之间的距离为________．14.已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx 图象过点(1，5)，其导函数y ＝f′(x)图象如图所示，求f(x)解析式．15．【多选题】下列曲线与直线y ＝2x 相切的有()A ．曲线y ＝2e x －2B ．曲线y ＝2sinxC ．曲线y ＝3x ＋1xD ．曲线y ＝x 3－x －216．已知函数f(x)＝2x 3＋ax 与g(x)＝bx 2＋c 的图象都过点P(2，0)，且在点P 处有公共切线，求f(x)．g(x)的表达式．1．已知f(x)＝sinx ＋cosx ，则()A.12－32B.12＋32C.32－12D ．02．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f(x)＝x(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f′(0)等于()A ．26B ．29C ．215D ．2123．设f(x)＝xlnx ，若f′(x 0)＝2，则x 0等于()A ．e 2B ．e C.ln22D ．ln24．已知f(x)＝x 2－xf′(0)－1，则f(2015)的值为()A．2012×2014B．2013×2014C．2013×2015D．2014×20165．已知函数y＝f(x)满足f(1)＝2，f′(1)＝－1，则曲线g(x)＝e x f(x)在x＝1处的切线斜率是()A．－e B．eC．2e D．3e6．已知f(x)＝1xcosx，则f(π)＋()A．－2πB.3πC．－1πD．－3π7．【多选题】已知lnx1－x1－y1＋2＝0，x2＋2y2－4－2ln2＝0，记M＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2，则()A．M的最小值为25B．当M最小时，x2＝125C．M的最小值为45D．当M最小时，x2＝658．设直线y＝12x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为________．9．设f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f＝12，则a＝________，b＝________．10．求下列函数的导数：(1)y＝x3·e x；(2)y＝x2＋log3x；(3)y＝e x＋1 e x－1.11．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l1，l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．12．已知f′(x)＝3x2－6x，且f(0)＝4，解不等式f(x)>0.13．若直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相切，求k的值．人教版高中数学选择性必修第二册5.2.2导数的四则运算法则同步作业（解析版）1．函数y ＝x·lnx 的导数是()A ．x B.1xC ．lnx ＋1D ．lnx ＋x答案C解析y′＝x′·lnx ＋x·(lnx)′＝lnx ＋x·1x＝lnx ＋1.2．函数y ＝cosxx 的导数是()A ．－sinx x 2B ．－sinxC ．－xsinx ＋cosx x 2D ．－xcosx ＋cosxx 2答案C解析y′′＝（cosx ）′x －cosx·（x ）′x 2＝－xsinx －cosx x 2.3．曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为()A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2答案A解析因为y ＝x ＋2－2x ＋2＝x x ＋2，所以y′＝x ＋2－x （x ＋2）2＝2（x ＋2）2，所以y′|x ＝－1＝2，所以切线方程为y －(－1)＝2[x －(－1)]，即y ＝2x ＋1.4．已知f(x)＝ax 3＋3x 2＋2，若f′(－1)＝4，则a 的值是()A.193B.163C.133D.103答案D解析f′(x)＝3ax 2＋6x ，f ′(－1)＝3a －6＝4，a ＝103.5．已知曲线y ＝x 24－3lnx 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()A ．3B ．2C ．1 D.12答案A解析y′＝12x －3x ，由12x －3x ＝12，得x ＝3或x ＝－2.由于x>0，所以x ＝3.6．设函数f(x)＝g(x)＋x 2，曲线y ＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为()A ．4B ．－14C ．2D ．－12答案A解析依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x ，f ′(1)＝g′(1)＋2＝4，选A.7．(2018·天津)已知函数f(x)＝e x lnx ，f ′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．答案e解析函数f(x)＝e x lnx ，则f′(x)＝e x lnx ＋1x·e x .∴f ′(1)＝e·ln1＋1·e ＝e.8．若f(x)＝x 2－3x －2lnx ，则f′(x)>0的解集为________．答案(2，＋∞)解析f′(x)＝2x －3－2x ＝2x 2－3x －2x ＝（2x ＋1）（x －2）x(x>0)，令(2x ＋1)(x －2)>0，得－12舍去9．(2018·课标全国Ⅲ，理)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________．答案－3解析y′＝a·e x ＋(ax ＋1)·e x ＝e x ·(ax ＋a ＋1)，据题意e 0·(a·0＋a ＋1)＝－2，∴a ＝－3.10．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为________．答案3x －y －11＝0解析y′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3≥3，当且仅当x ＝－1时取等号，当x ＝－1时，y ＝－14.∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)，即3x －y －11＝0.11．已知f 1x ＝x1＋x ，则f′(x)＝()A.11＋xB ．－11＋x C.1（1＋x ）2D ．－1（1＋x ）2答案D解析∵f 1x ＝x 1＋x ＝11x＋1，∴f(x)＝1x ＋1.∴f ′(x)＝－1（1＋x ）2.12．已知y ＝13x 3－x －1＋1，则其导函数的值域为________．答案[2，＋∞)解析y′＝x 2＋1x 2≥2，当且仅当x 2＝1x2即x ＝±1时，“＝”成立．13．曲线y ＝x(x ＋1)(2－x)有两条平行于y ＝x 的切线，则两切线之间的距离为________．答案16227解析y ＝x(x ＋1)(2－x)＝－x 3＋x 2＋2x ，y ′＝－3x 2＋2x ＋2，令－3x 2＋2x ＋2＝1，得x 1＝1或x 2＝－13.∴两个切点分别为(1，2)和－13，－1427.切线方程为x －y ＋1＝0和x －y －527＝0.∴d ＝|1＋527|2＝16227.14.已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx 图象过点(1，5)，其导函数y ＝f′(x)图象如图所示，求f(x)解析式．解析由题意得a＋b＋c＝5，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∴3ax2＋2bx＋c＝0的两根为1和2，即f′(1)＝0，f′(2)＝0.＋4b＋c＝0，＋2b＋c＝0，又a＋b＋c＝5，∴a＝2，b＝－9，c＝12.f(x)＝2x3－9x2＋12x.15．【多选题】下列曲线与直线y＝2x相切的有()A．曲线y＝2e x－2B．曲线y＝2sinxC．曲线y＝3x＋1xD．曲线y＝x3－x－2答案ABD解析本题考查导数的几何意义．直线y＝2x的斜率为2，对于A，若f(x)＝2e x－2，则由f′(x)＝2e x＝2，得x＝0，点(0，0)在直线y＝2x上，则直线y＝2x与曲线y＝2e x－2相切，故A 正确；对于B，若f(x)＝2sinx，则由f′(x)＝2cosx＝2，得x＝2kπ(k∈Z)，f(2kπ)＝0，当k＝0时，切点为(0，0)，点(0，0)在直线y＝2x上，故直线y＝2x与曲线y＝2sinx相切，故B正确；对于C，若f(x)＝3x＋1x，则由f′(x)＝3－1x2＝2，得x＝±1，点(1，4)，(－1，－4)都不在直线y＝2x上，所以直线y＝2x与曲线y＝3x＋1x不相切，故C错误；对于D，若f(x)＝x3－x－2，则由f′(x)＝3x2－1＝2，得x＝±1，其中(－1，－2)在直线y＝2x上，所以直线y ＝2x与曲线y＝x3－x－2相切，故D正确．故选ABD.16．已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象都过点P(2，0)，且在点P处有公共切线，求f(x)．g(x)的表达式．解析∵f(x)＝2x3＋ax的图象过点P(2，0)，∴a＝－8.∴f(x)＝2x3－8x.∴f′(x)＝6x2－8.对于g(x)＝bx2＋c的图象过点P(2，0)，则4b＋c＝0.又g′(x)＝2bx，∴g′(2)＝4b＝f′(2)＝16.∴b＝4.∴c＝－16.∴g(x)＝4x2－16.综上可知，f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16.1．已知f(x)＝sinx＋cosx，则()A.12－32B.12＋32C.32－12D ．0答案A解析f′(x)＝cosx －sinx ，f cos π3－sin π3＝12－32.故选A.2．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f(x)＝x(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f′(0)等于()A ．26B ．29C ．215D ．212答案D解析因为a 1＝2，a 8＝4，又f′(x)＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′，所以f′(0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝84＝212.故选D.3．设f(x)＝xlnx ，若f′(x 0)＝2，则x 0等于()A ．e 2B ．e C.ln22D ．ln2答案B解析f′(x)＝lnx ＋x·1x＝lnx ＋1，由f′(x 0)＝2，得lnx 0＝1，x 0＝e.故选B.4．已知f(x)＝x 2－xf′(0)－1，则f(2015)的值为()A ．2012×2014B ．2013×2014C ．2013×2015D ．2014×2016答案D解析因为f′(x)＝2x －f′(0)，所以f′(0)＝2×0－f′(0)，所以f′(0)＝0，所以f(x)＝x 2－1，所以f(2015)＝20152－1＝(2015－1)(2015＋1)＝2014×2016.故选D.5．已知函数y ＝f(x)满足f(1)＝2，f ′(1)＝－1，则曲线g(x)＝e x f(x)在x ＝1处的切线斜率是()A ．－eB ．eC ．2eD ．3e答案B解析g′(x)＝e x f(x)＋e x f ′(x)，g ′(1)＝ef(1)＋ef′(1)＝e.故选B.6．已知f(x)＝1x cosx ，则f(π)＋()A ．－2πB.3πC ．－1πD ．－3π答案D解析因为f′(x)＝－1x 2cosx －1x sinx ，所以f(π)＋f ＝1πcos π－1cos π2－2πsin π2＝－1π－2π＝－3π.故选D.7．【多选题】已知lnx 1－x 1－y 1＋2＝0，x 2＋2y 2－4－2ln2＝0，记M ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，则()A ．M 的最小值为25B ．当M 最小时，x 2＝125C ．M 的最小值为45D ．当M 最小时，x 2＝65答案BC解析本题考查两点间距离的最小值的相关问题，导数的应用．由lnx 1－x 1－y 1＋2＝0得y 1＝lnx 1－x 1＋2，(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值可转化为函数y ＝lnx －x ＋2图象上的点到直线x ＋2y －4－2ln2＝0上的点的距离的最小值的平方．由y ＝lnx －x ＋2得y′＝1x －1，与直线x ＋2y －4－2ln2＝0平行的直线的斜率为－12，则令1x －1＝－12，解得x ＝2，∴切点坐标为(2，ln2)，∴点(2，ln2)到直线x ＋2y －4－2ln2＝0的距离d ＝|2＋2ln2－4－2ln2|1＋4＝255，即函数y ＝lnx －x ＋2的图象上的点到直线x ＋2y －4－2ln2＝0上的点的距离的最小值为255，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为d 2＝45.过点(2，ln2)与直线x ＋2y －4－2ln2＝0垂直的直线为y －ln2＝2(x －2)，即2x －y －4＋ln2＝0.＋2y －4－2ln2＝0，－y －4＋ln2＝0，解得x ＝125，即当M 最小时，x 2＝125.故选BC.8．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b 的值为________．答案ln2－19．设f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f ＝12，则a＝________，b＝________．答案0－1解析f′(x)＝2ax－bcosx，∴f′(0)＝－b＝1.f2a·π3－b·cosπ3＝12，得a＝0，b＝－1.10．求下列函数的导数：(1)y＝x3·e x；(2)y＝x2＋log3x；(3)y＝e x＋1e x－1.解析(1)y′＝(x3)′e x＋x3(e x)′＝3x2e x＋x3e x＝x2(3＋x)e x.(2)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋1xln3.(3)y′＝（e x＋1）′（e x－1）－（e x＋1）（e x－1）′（e x－1）2＝e x（e x－1）－（e x＋1）e x（e x－1）2＝－2e x（e x－1）2.11．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l1，l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．解析(1)因为y′＝2x＋1，则直线l1的斜率k1＝2×1＋1＝3，则直线l1的方程为y＝3x－3，设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，则l2的方程为y＝(2b＋1)x－b2－2.因为l1⊥l2，则有2b＋1＝－13，b＝－23.所以直线l2的方程为y＝－13x－229.(2)＝3x－3，＝－13x－229，＝16，＝－52.所以直线l1和l2l1，l2与x 轴交点的坐标分别为(1，0)－223，所以所求三角形的面积S＝12×253×|－52|＝12512.12．已知f′(x)＝3x2－6x，且f(0)＝4，解不等式f(x)>0.解析∵f′(x)＝3x 2－6x ，∴可设f(x)＝x 3－3x 2＋c.又f(0)＝4，∴c ＝4.不等式f(x)>0即为x 3－3x 2＋4>0，即(x ＋1)(x －2)2>0，∴x>－1且x ≠2.∴原不等式解集为{x|x>－1且x ≠2}．13．若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，求k 的值．解析设切点坐标为(x 0，y 0)，y ′|x ＝x 0＝3x 02－6x 0＋2＝k.若x 0＝0，则k ＝2.若x 0≠0，由y 0＝kx 0，得k ＝y 0x 0.∴3x 02－6x 0＋2＝y 0x 0，即3x 02－6x 0＋2＝x 03－3x 02＋2x 0x 0.解之，得x 0＝32.∴k ＝3－6×32＋2＝－14.综上，k ＝2或k ＝－14.。

5.2.3简单复合函数的导数要点一 复合函数的定义一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f(g(x)) 要点二 复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积，即若y ＝f (g (x ))，则y ′＝[f (g (x ))]′＝f ′(g (x ))·g ′(x ) 【重点小结】(1)复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．(2)中学阶段不涉及较复杂的复合函数的求导问题，只研究y ＝f(ax ＋b)型复合函数的求导，不难得到y ′＝(ax ＋b) ′·f ′(ax ＋b)＝af ′(ax ＋b)． 【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数y ＝log 3(x ＋1)是由y ＝log 3t 及t ＝x ＋1两个函数复合而成的．( ) (2)函数f (x )＝e －x 的导数是f ′(x )＝e －x .( ) (3)函数f (x )＝ln (1－x )的导数是f ′(x )＝11－x .( )(4)函数f (x )＝sin 2x 的导数是f ′(x )＝2 cos 2x .( ) 【答案】（1）√（2）×（3）×（4）√ 2．(多选题)下列所给函数为复合函数的是( ) A ．y ＝ln (x －2) B ．y ＝ln x ＋x －2 C ．y ＝(x －2)ln x D ．y ＝ln 2x 【答案】AD【解析】函数y ＝ln(x －2)是由函数y ＝ln u 和u ＝g (x )＝x －2复合而成的，A 符合；函数y ＝ln 2x 是由函数y ＝ln u 和u ＝2x 复合而成的，D 符合，B 与C 不符合复合函数的定义．故选AD. 3．若函数f (x )＝3cos(2x ＋π3)，则f ′(π2)等于( )A ．－3 3B ．33C ．－6 3D ．63 【答案】B【解析】f ′(x )＝－6sin(2x ＋π3)∴f ′(π2)＝－6sin ⎝⎛⎭⎫2×π2＋π3＝6sin π3＝6×32＝3 3.故选B.4．曲线y ＝e －x 在点(0,1)的切线方程为________．【答案】x ＋y －1＝0 【解析】∵y ＝e －x ∴y ′＝－e －x ∴y ′|x ＝0＝－1∴切线方程为y －1＝－x 即x ＋y －1＝0题型一 求复合函数的导数【例1】写出下列各函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则，求出函数的导数． (1)y ＝1(3－4x )4；(2)y ＝cos(2 008x ＋8)； (3)y ＝21－3x；(4)y ＝ln(8x ＋6)．【解析】(1)引入中间变量u ＝φ(x )＝3－4x .则函数y ＝1(3－4x )4是由函数f (u )＝1u 4＝u －4 与u ＝φ(x )＝3－4x 复合而成的．查导数公式表可得f ′(u )＝－4u －5＝－4u 5，φ′(x )＝－4.根据复合函数求导法则可得⎣⎡⎦⎤1(3－4x )4′＝f ′(u )φ′(x )＝－4u 5·(－4)＝16u 5＝16(3－4x )5.(2)引入中间变量u ＝φ(x )＝2 008x ＋8，则函数y ＝cos(2 008x ＋8)是由函数f (u )＝cos u 与u ＝φ(x )＝2 008x ＋8复合而成的，查导数公式表可得 f ′(u )＝－sin u ，φ′(x )＝2 008. 根据复合函数求导法则可得[cos(2 008x ＋8)]′＝f ′(u )φ′(x )＝(－sin u )·2 008 ＝－2 008sin u ＝－2 008sin(2 008x ＋8)． (3)引入中间变量u ＝φ(x )＝1－3x ， 则函数y ＝21－3x是由函数f (u )＝2u 与u ＝φ(x )＝1－3x 复合而成的，查导数公式表得f ′(u )＝2u ln 2，φ′(x )＝－3， 根据复合函数求导法则可得 (21－3x)′＝f ′(u )φ′(x )＝2u ln 2·(－3)＝－3×2u ln 2＝－3×21－3xln 2.(4)引入中间变量u ＝φ(x )＝8x ＋6，则函数y ＝ln(8x ＋6)是由函数f (u )＝ln u 与u ＝φ(x )＝8x ＋6复合而成的，查导数公式表可得f ′(u )＝1u ，φ′(x )＝8.根据复合函数求导法则可得[ln(8x ＋6)]′＝f ′(u )·φ′(x )＝8u ＝88x ＋6＝44x ＋3.选取中间变量，确定原函数复合方式，写出内层，外层函数表达式，利用复合函数求导法则求解 【方法归纳】复合函数求导的步骤【跟踪训练】求下列函数的导数． (1)y ＝e 2x ＋1. (2)y ＝1(2x －1)3.(3)y ＝5log 2(1－x )． (4)y ＝sin 3x ＋sin 3x .【解析】(1)函数y ＝e 2x ＋1可看作函数y ＝e u 和u ＝2x ＋1的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(e u )′(2x ＋1)′＝2e u ＝2e 2x ＋1.(2)函数y ＝1(2x －1)3可看作函数y ＝u －3和u ＝2x －1的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －3)′(2x －1)′＝－6u －4＝－6(2x －1)－4＝－6(2x －1)4.(3)函数y ＝5log 2(1－x )可看作函数y ＝5log 2u 和u ＝1－x 的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(5log 2u )′·(1－x )′＝－5u ln 2＝5(x －1)ln 2.(4)函数y ＝sin 3 x 可看作函数y ＝u 3和u ＝sin x 的复合函数，函数y ＝sin 3x 可看作函数y ＝sin v 和v ＝3x 的复合函数．所以y ′x ＝(u 3)′·(sin x )′＋(sin v )′·(3x )′＝3u 2·cos x ＋3cos v ＝3 sin 2 x cos x ＋3cos 3x . 题型二 复合函数求导法则的综合应用 【例2】(1)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．【答案】(1)2x －y ＝0【解析】(1)设x >0，则－x <0，因为x ≤0时，f (x )＝e－x －1－x ，所以f (－x )＝e x －1＋x ，又因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝e x －1＋x ，f ′(x )＝e x －1＋1，f ′(1)＝e 1－1＋1＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即：2x －y ＝0. (2)已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(2－x )(a ∈R )，设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为l ，若直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，则实数a 的值为__________．【解析】(2)因为f (1)＝a ，f ′(x )＝2ax ＋2x －2(x <2)，所以f ′(1)＝2a －2，所以切线l 的方程为2(a －1)x －y ＋2－a ＝0.因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线l 的距离等于半径，即d ＝|2－a |4(a －1)2＋1＝12，解得a ＝118【方法归纳】准确利用复合函数求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． 【跟踪训练2】(1)设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 【答案】(1)2 【解析】(1)令y ＝f (x )则曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(x )＝(e ax )′＝a e ax . 所以f ′(0)＝a e 0＝a 故a ＝2.(2)已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(2－x )设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为l ，则切线l 的方程为________；若直线l 与圆 C ：x 2＋y 2＝14相交，则实数u 的取值范围为________．【答案】(2)2(a －1)x －y ＋2－a ＝0 (118，＋∞)【解析】(2)f ′(x )＝2ax ＋2x －2(x <2)∴f ′(1)＝2a －2 又f (1)＝a∴切线l 的方程为：y －a ＝(2a －2)(x －1) 即2(a －1)x －y ＋2－a ＝0.若直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交则圆心到直线l 的距离d ＝|2－a |4(a －1)2＋1<12.解得a >118，即实数a 的取值范围为(118，＋∞)．【易错辨析】对复合函数求导不完全致错 例3 函数y ＝x e 1－2x的导数y ′＝________. 【答案】(1－2x )e 1－2x【解析】y ′＝e 1－2x＋x (e 1－2x)′＝e 1－2x ＋x e 1－2x ·(1－2x )′ ＝e 1－2x＋x e 1－2x(－2)＝(1－2x )e 1－2x.【易错警示】 出错原因 对e 1－2x的求导没有按照复合函数的求导法则进行，导致求导不完全致错纠错心得复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数，分步计算时，每一步都要明确是对哪个变量求导一、单选题1．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N （单位：贝克）与时间t （单位：天）满足函数关系()242tN t N -=，其中0N 为0=t 时钍234的含量.已知24t =时，钍234含量的瞬时变化率为8ln2-，则()96N =（ ）A ．12B ．12ln2C ．24D ．24ln2【答案】C 【分析】对()N t 求导得()24012ln 224t N t N -⎛⎫'=⨯⨯- ⎪⎝⎭，根据已知有()248ln 2N '=-即可求0N ，进而求()96N .【解析】 由()242tN t N -=，得()24012ln 224t N t N -⎛⎫'=⨯⨯- ⎪⎝⎭，∵当24t =时，()242401242ln 28ln 224N N -⎛⎫'=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，解得02824384N =⨯⨯=，∵()243842t N t -=⨯，∵当96t =时，()96424963842384224N --=⨯=⨯=.故选：C.2．已知()f x '是函数()f x 的导数，且对任意的实数x 都有()()()e 22xf x x f x -'=--，()08f =则不等式()0f x <的解集是（ ）A ．()2,4-B ．()(),02,-∞+∞C ．()(),42,-∞-+∞D ．()(),24,-∞-+∞【答案】D 【分析】构造新函数()()x g x e f x =，求出()'g x 后由导函数确定()g x ，注意可得(0)8g =，从而得出()f x 的解析式，然后解不等式即可．设()()x g x e f x =，000)e )8((f g ==，因为()()()e 22xf x x f x -'=--，所以()()e (22)x f x f x x -'+=-，所以()e ()e ()e (()())22x x x g x f x f x f x f x x '''=+=+=-． 因此2()2g x x x c =-+，(0)8g c ==，所以2()28g x x x =-++， 228()e xx x f x -++=， 不等式()0f x <即为2280exx x -++< ，2280x x -->，解得2x <-或4x >． 故选：D ．3．已知0a b >>，函数axy e =在0x =处的切线与直线20x by -=平行，则22a b a b+-的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C 【分析】结合复合函数求导求出函数的导函数，进而求出切线的斜率，然后根据两直线平行斜率相等得到2ab =，进而结合均值不等式即可求出结果. 【解析】因为ax y e =，则ax y ae '=，因为切点为()0,1，则切线的斜率为k a =，又因为切线与直线20x by -=平行，所以2a b=，即2ab =， 所以()()222244a b ab a b a b a b a b a b-++==-+≥---， 当且仅当24ab a b a b =⎧⎪⎨-=⎪-⎩，即11a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩时，等号成立，则22a b a b +-的最小值是4， 故选：C.4．已知函数()f x 在R 上可导，函数()()()2244F x f x f x =-+-，则()2F '等于（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B 【分析】利用复合函数求导法则运算即可.∵()()()2244F x f x f x =-+-，∵()()()222424F x xf x xf x '''=---，∵()()()240400F f f '''=-=. 故选：B.5．已知()2ln 2f x x x =，若()00f x x '=，则0x 等于（ ）A ．12 B ．1e 2C ．ln 2D ．1【答案】A 【解析】因为()2ln 2f x x x =，所以()2ln2f x x x x '=+，又()00f x x '=，所以002ln 20x x =，因为00x >，所以0ln 20x =，所以012x =. 故选：A.6．下列关于函数()21ny x =-的复合过程与导数运算正确的是（ ）A ．()1n y u =-，2u x =，()21ny nx u '=- B ．n y t =，()21nt x =-，()121n y nx t -'=-C ．n y u =，21u x =-，()1221n y nx x -'=-D ．n y u =，21u x =-，()121n y n x -'=-【答案】C 【分析】直接根据函数()21ny x =-的结构，找到内层函数和外层函数，即可得解.【解析】由复合函数求导法则，知函数()21ny x =-由基本初等函数n y u =，21u x =-复合而成，所以()112221n n u x y y u nux nx x --'''=⋅=⋅=-.故选：C.7．函数2sin y x =的导数是（ ） A ．2sin x B ．22sin xC ．2cos xD ．sin 2x【答案】D 【分析】利用复合函数进行求导，即可得到答案； 【解析】2sin y x =，令sin u x =，则2y u =，从而cos 2cos 2sin cos x u y y x u x x x ''=⨯== sin 2x =.故选：D.8．函数e sin 2x y x =的导数为（ ） A ．2e cos2x y x '=B ．()e sin22cos2xy x x '=+C ．()2e sin22cos2xy x x '=+D ．()e 2sin2cos2xy x x '=+【答案】B 【分析】结合导数的运算法则即可求出结果. 【解析】由题意结合导数的运算法则可得()()()e sin 2e sin 2e sin 22cos2x x x y x x x x '''=⋅+⋅=+. 故选：B.二、多选题9．以下函数求导正确的是( ) A ．若()2211x f x x -=+，则()()2241x f x x '=+ B ．若()2e x f x =则()2e xf x '=C ．若()f x ()f x '=D ．设()f x 的导函数为()f x '，且()()232ln f x x xf x '=++，则()924f '=-【答案】ACD 【分析】利用求导法则逐项检验即可求解. 【解析】对于A ，()()()()()2222222112411x x x xxf x xx+--⋅'==++，故A 正确；对于B ，()22e 22e x xf x =⋅='，故B 错误；对于C ，()()()()111222121212212f x x x x --'⎡⎤'=-=⋅-⋅=-⎢⎥⎣⎦C 正确； 对于D ，()()1232f x x f x''=++，所以()924f '=-，故D 正确．故选：ACD.10．（多选）函数()x f x x =（0x >），我们可以作变形：()ln ln e e xx x x x f x x ===，所以()xf x x =可看作是由函数()e t p t =和()ln g x x x =复合而成的，即()x f x x =（0x >）为初等函数．对于初等函数()1x h x x =（0x >）的说法正确的是（ ） A ．无极小值 B ．有极小值1 C ．无极大值 D ．有极大值1e e【答案】AD 【分析】根据材料，把函数改写为复合函数的形式()111ln ln e exx x xxh x x ===，求导，分析导函数正负，研究极值，即得解【解析】根据材料知()111ln ln e exx x xxh x x ===，所以()ln ln 111ee ln x x xx x h x x '⎛⎫'=⋅=⋅ ⎪⎝⎭()1ln 222ln ln 111e 1x x x x x x x ⎛⎫-+=⋅- ⎪⎝⎭． 令()0h x '=，得e x =，当0e x <<时，()0h x '>，此时函数()h x 单调递增， 当e x >时，()0h x '<，此时函数()h x 单调递减， 所以()h x 有极大值()1e e e h =，无极小值 故选：AD ．11．函数()y g x =在区间[a ，]b 上连续，对[a ，]b 上任意二点1x 与2x ，有1212()()()22x x g x g x g ++<时，我们称函数()g x 在[a ，]b 上严格上凹，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数（二阶导函数）在给定区间内恒为正，即()0g x ''>.下列所列函数在所给定义域中“严格上凹”的有（ ） A ．2()log (0)f x x x => B ．()2x f x e x -=+C ．3()2(0)f x x x x =-+<D ．2()sin (0)f x x x x π=-<<【答案】BC 【分析】根据题目中定义，逐个判断各函数是否满足条件二阶导函数大于零，即可解出． 【解析】由题意可知，若函数在所给定义域中“严格上凹”，则满足()0f x ''>在定义域内恒成立． 对于A ，2()log (0)f x x x =>，则2111()()0ln 2ln 2f x x x '''==-⋅<在0x >时恒成立， 不符合题意，故选项A 错误；对于B ，()2x f x e x -=+，则()(21)20x x f x e e --'''=-+=>恒成立， 符合题意，故选项B 正确；对于C ，3()2(0)f x x x x =-+<，则2()(32)60f x x x '''=-+=->在0x <时恒成立， 符合题意，故选项C 正确；对于D ，2()sin (0)f x x x x π=-<<，则()(cos 2)sin 20f x x x x ''=-'=--<在0πx <<时恒成立，不符合题意，故选项D 错误. 故选：BC.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．若定义在R 上的函数()f x 满足()()30f x f x '->，13f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()3xf x e >的解集为________________． 【答案】1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭【分析】 构造()3()xf x F e x =，由已知结合导数判断函数的单调性，利用函数的单调性解不等式. 【解析】构造()3()x f x F e x =，则()3363()3()()3()x x x x e f x e f x F f x f x e x e''-=-='， 函数()f x 满足()()30f x f x '->，则()0F x '>，故()F x 在R 上单调递增．又∵13f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则113F ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则不等式3()x f x e >∵3()1x f x e >，即1()3F x F ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 根据()F x 在R 上单调递增，可知1,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭． 故答案为：1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭13．已知函数())()cos0f x θθπ=+<<，若()()f x f x '+是奇函数，则θ=______． 【答案】6π【分析】首先利用复合函数求导法则求出()f x '，然后利用辅助角公式化简()()f x f x '+，根据奇函数性质可得到()6k k Z πθπ-=∈，最后结合θ的范围即可求解.【解析】因为())f x θ'=+，所以()()))cos 2sin 6f x f x πθθθ⎫'+=++=-+-⎪⎭， 若()()f x f x '+为奇函数，则()()000f f '+=，即2sin 06πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以()6k k Z πθπ-=∈，又因为()0,θπ∈，所以6πθ=． 故答案为：6π.14．设()f x =()2f '=______． 【答案】2##0.45【分析】利用复合函数求导求出'()f x 即可求解.【解析】令ln y u =，12u t ==，21t x =+， 从而'1yu =，1'212u t -=='2t x =， 故'21()21x f x x u x ==+， 所以()225f '=． 故答案为：25.四、解答题 15．求下列函数的导数．（1）()991y x =+（2）y =（3）()()23sin 25y x x =-+；（4）cos(32)2x y x-= （5）()()231ln 3y x x =+（6）33x x y e -=．【答案】（1）9899(1)y x '=+（2）()122121x x y x -+'=+（3）()()()2sin 2c 6os 5425y x x x +'=+-+（4）()()26sin 322cos 324x x x y x ----'=（5）()()()236311ln 3x x x x y ++=+（6）333ln 333x x x x y e e --'=-⋅【分析】直接利用导数的运算法则、基本初等函数的导数公式以及简单复合函数的导数计算法则求解． （1）解：99(1)y x =+，989899(1)(1)99(1)y x x x ∴'=++'=+；（2）解：因为y =()()1222121x x x x y x -''⋅-+'==+（3）解：因为()()23sin 25y x x =-+，所以()()()()()()()23sin 2523sin 2552sin 2546cos 2x y x x x x x x '''+=-=⎤-+++⎡⎣+-+⎦（4） 解：因为cos(32)2x y x -=，所以[]()()()()()22cos(32)22cos 326sin 322cos 3242x x x x x x x y x x ''-------'== （5）解：因为()()231ln 3y x x =+，所以()()()()()()()222ln ln 31313313631ln 3x x x x y x x x x '+'⎡⎤+=⎣+=+++⎡⎤⎣⎦⎦ （6）解：因为33x x y e -=，所以()()3333333ln 333x x x x x x x x y e e e e ----'''=+=-⋅16．求下列函数的导数.（1）()sin 23y x =+；（2）21e x y -+=；（3）()22log 21y x =-. 【答案】（1）()2cos 23x +（2）212e x -+-（3）()2421ln 2x x -⋅【分析】（1）函数()sin 23y x =+可以看作函数sin y u =和23u x =+的复合函数，由复合函数的求导法则即可求出结果；（2）函数21e x y -+=可以看作函数u y e =和21u x =-+的复合函数，由复合函数的求导法则即可求出结果；（3）函数()22log 21y x =-可以看作函数2log y u =和221u x =-的复合函数，由复合函数的求导法则即可求出结果.（1）函数()sin 23y x =+可以看作函数sin y u =和23u x =+的复合函数，由复合函数的求导法则可得()()()sin 23cos 22cos 2cos 23x u x y y u u x u u x ''⋅'''=⋅=+=⋅==+. （2）函数21e x y -+=可以看作函数u y e =和21u x =-+的复合函数，由复合函数的求导法则可得()()()21e 21e 22eu u x x u x y y u x -+''''=⋅=⋅-+=⋅-=-'. （3）函数()22log 21y x =-可以看作函数2log y u =和221u x =-的复合函数，由复合函数的求导法则可得()2144ln 221ln 2x u x x y y u x u x '''=⋅=⋅=-⋅.。

5.2.1基本初等函数的导数要点一 几个常用函数的导数要点二【重点小结】(1)几个基本初等函数导数公式的特点①正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”． ②指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数． ③对数函数的导数等于x 与底数的自然对数乘积的倒数． (2)函数与其导函数奇偶性的关系 ①常数的导数是0.②奇函数的导函数为偶函数． ③偶函数的导函数为奇函数．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x 2.( ) (2)(log 3x )′＝13ln x.( )(3)⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ′＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x .( ) (4)若y ＝e 3，则y ′＝e 3.( ) 【答案】（1）×（2）×（3）×（4）×2．(多选题)下列导数运算正确的是( )A ．(ln x )′＝xB ．(a x )′＝xa x －1C ．(sin x )′＝cos xD ．(x －5)′＝－5x －6 【答案】CD【解析】由导数公式得C 、D 正确．3．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x －y －2＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x ＋y －2＝0 【答案】C【解析】y ′|x ＝0＝e x |x ＝0＝1，即切线斜率为1，又切点为A (0,1)，故切线方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0. 4．函数f (x )＝sin x ，则f ′(6π)＝________. 【答案】1【解析】f ′(x )＝cos x ，所以f ′(6π)＝1.题型一 利用导数公式求函数的导数 【例1】求下列函数的导数：(1)y ＝x －3； (2)y ＝3x ；(3)y ＝ x x x ； (4)y ＝log 5x ；(5)y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ；(6)y ＝sin π6；(7)y ＝ln x ； (8)y ＝e x .【解析】(1)y ′＝－3x －4；(2)y ′＝3x ln 3；(3)y ＝x ·x ·x 12＝xx 32＝x ·x 34＝x 78，∴y ′＝78x1-8；(4)y ′＝1x ln 5；(5)y ＝sin x ，y ′＝cos x ；(6)y ′＝0；(7)y ′＝1x；(8)y ′＝e x .不能用基本初等函数公式直接求导的，应先化为基本初等函数再求导． 【方法归纳】求简单函数的导数有两种基本方法(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． 【跟踪训练1】求下列函数的导数：(1)y ＝lg x ； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫12x； (3)y ＝x x ；(4)y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x22－1. 【解析】(1)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10. (2)y ′＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2. (3)y ′＝(x x )′＝(x32)′＝32x12＝32x ； (4)∵y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x22－1 ＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x 2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .题型二 利用导数公式求曲线的切线方程【例2】已知曲线y ＝ln x ，点P (e,1)是曲线上一点，求曲线在点P 处的切线方程． 【解析】∵y ＝ln x ，∴y ′＝1x ，∴y ′|x ＝e ＝1e ，即切线斜率为1e .∴切线方程为y －1＝1e(x －e)，即x －e y ＝0.【变式探究】本例中的曲线不变，求过点(0,0)的切线方程． 【解析】因为点(0,0)不在曲线上，所以设切点Q (a ，b )．则切线斜率k ＝y ′|x ＝a ＝1a，又k ＝b －0a －0＝b a，且b ＝ln a∴a ＝e ，b ＝1，∴切线方程为x －e y ＝0. 【方法归纳】(1)求过点P 的切线方程时应注意，P 点在曲线上还是在曲线外，两种情况的解法是不同的；(2)解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是曲线在此切点处的导数值．【跟踪训练2】已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 垂直的曲线y ＝x 2的切线方程．【解析】∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′|0x x ＝＝2x 0，又∵直线PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线垂直于直线PQ ，∴2x 0＝－1，即x 0＝－12，所以切点为M ⎝⎛⎭⎫－12，14.∴所求的切线方程为y －14＝－⎝⎛⎭⎫x ＋12， 即4x ＋4y ＋1＝0.易错辨析 混淆幂函数与指数函数求导公式致错【例3】曲线f (x )＝2x 在点(0,1)处的切线方程为________． 【答案】y ＝x ln 2＋1【解析】∵f (x )＝2x ，∴f ′(x )＝2x ln 2，∴f ′(0)＝ln 2 故所求切线方程为y －1＝(x －0)ln 2 即y ＝x ln 2＋1. 【易错警示】 1.出错原因记错导数公式(a x )′＝a x ln a ，与幂函数y ＝x α的求导公式混淆. 2.纠错心得利用导数公式求导时，应先弄清是指数函数，还是幂函数.一、单选题1．若函数5()(2cos )sin 2f x a x x x =-+（其中a 为参数）在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B 【分析】先求解函数的导数，再根据函数的单调性建立不等式，将问题转化为不等式恒成立问题，进而求解参数的值. 【解析】根据题意，()22259cos 2sin 2cos cos 4cos 22f x a x x x a x x '=+-+=-+()f x 在R 上单调递增 ()0f x ∴'≥ 在R 上恒成立令cos x t =，[]1,1t ∈-，则 ()f x '可写为 ()[]294,1,12g t at t t =-+∈-根据题意()g t 在[]1,1-上的最小值非负()()1010g g ⎧-≥⎪∴⎨≥⎪⎩解得 1122a -≤≤，所以选项B 正确故选：B.2．已知函数()tan f x x =，则4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭等于（ ）A ．12 BC ．1D ．2【答案】D 【分析】先对函数求导，然后求出4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭即可【解析】由()sin tan cos x f x x x ==，得2222cos sin 1()cos cos x x f x x x+=='，所以2124cos4f ππ⎛⎫=='= ⎪⎝⎭， 故选：D3．已知函数()()2e e ln ex f x f x '=⋅⋅-（e是自然对数的底数），则()e f 等于（ ） A ．e 1- B ．21e-C ．1D ．11e-【答案】C 【分析】利用导数的运算可得出关于()e f '的方程，求出()e f '的值，可得出函数()f x 的解析式，进而可求得()e f 的值. 【解析】因为()()2e e ln e xf x f x '=⋅⋅-，则()()2e e 1e f f x x ''=-， 所以，()()1e 2e e f f ''=-，所以，()1e e f '=，故()2ln exf x x =-，因此，()e 2lne 11f =-=. 故选：C.4．函数()ln 25y x x =+的导数为（ ）A ．()2ln 25y x x '=+B ．25xy x '=+ C ．()ln 2525xy x x '=+++ D ．()2ln 2525xy x x '=+++ 【答案】D 【分析】利用复合函数的求导法则，乘法公式的求导法则及基本初等函数的导数公式对函数()ln 25y x x =+求导即可. 【解析】因为()ln 25y x x =+，所以()()()ln 25ln 25ln 25y x x x x x x ''⎡''=+=⎤⎡+++⎤⎣⎦⎣⎦()()()12ln 2525ln 252525xx x x x x x =++⋅⋅+=++++'. 故选：D.5．若()e ln2xf x x =，则()f x '等于（ ）A ．e e ln 22xx x x+B ．e ln 2xx x -C ．e e ln 2xxx x+D ．12e x x⋅【答案】C 【分析】直接根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得； 【解析】解：()()()ee ln 2e ln 2e ln 2xxx x f x x x x x'''=⋅+⋅=+.故选：C. 6．函数()1f x x=在2x =和3x =处的导数的大小关系是（ ） A ．()()23f f ''< B ．()()23f f ''> C ．()()23f f ''= D ．不能确定【答案】A 【分析】求出函数导数即可比较. 【解析】 ()1f x x =，()21f x x '∴=-，所以()()112,349f f ''=-=-，即()()23f f ''<.故选：A.7．给出下列命题：①ln 2y =，则12y ；②21y x=，则3227x y ==-'；③2x y =，则2ln 2x y '=；④2log y x =，则1ln 2y x '=.其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【分析】利用求导公式和法则逐个分析判断即可 【解析】①中ln 2y =为常数函数，故0y '=，故①错误； 对于②，∵32y x '=-，∵3227x y ==-'，故②正确； 显然③④正确. 故选：C.8．下列导数运算正确的是（ ） A ．()121x x-'=B ．11ln 222x x'⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦C ．()cos sin x x '=D ．()1ln 1x x x'+=+【答案】D 【分析】利用求导公式和法则逐个分析判断即可 【解析】因为()121x x -'=-，11ln 222x x'⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()cos sin x x '=-，()1ln 1x x x '+=+，所以选项A ，B ，C 均不正确，选项D 正确， 故选：D.二、多选题9．（多选）以下运算正确的是（ ）A ．211x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()sin cos x x '=C ．()22ln 2x x '=D ．()1lg ln10x x =-' 【答案】BC 【分析】利用基本初等函数的导数公式，依次计算判断即可 【解析】对于A ，因为1211()x x x -'⎛⎫'==- ⎪⎝⎭，所以A 不正确； 对于B ，因为()sin cos x x '=，所以B 正确； 对于C ，因为()22ln 2x x '=，所以C 正确； 对于D ，因为()1lg ln10x x '=，所以D 不正确. 故选：BC.10．下列求导运算不正确的是（ ） A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫=⎪⎝⎭C ．()555log x x x '=D ．()2cos 2sin x x x x '=-【答案】ACD 【分析】利用基本初等函数的导数公式和运算法则求解. 【解析】2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故A 错误； 2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确； ()55ln 5xx'=，故C 错误；()22cos 2cos sin xx x x x x '=-，故D 错误．故选：ACD11．下列各式正确的是（ ） A ．sin cos 33ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()cos sin x x '=C ．()sin cos x x '=D ．'⎛ ⎝【答案】CD 【分析】直接根据导数的运算公式计算即可. 【解析】对于A ，sin 03π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，故错误；对于B ，()cos sin x x '=-，故错误； 对于C ，()sin cos x x '=，故正确； 对于D ，'⎛=⎝ 故选：CD.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。

5.2.2导数的四则运算法则[A 级 基础巩固]1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0 解析：选B ∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx 为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.2．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( ) A.x 2＋6x (x ＋3)2B.x 2＋6x x ＋3C.－2x (x ＋3)2D.3x 2＋6x (x ＋3)2 解析：选A y ′＝⎝⎛⎭⎫x 2x ＋3′＝(x 2)′(x ＋3)－x 2(x ＋3)′(x ＋3)2＝2x (x ＋3)－x 2(x ＋3)2＝x 2＋6x (x ＋3)2. 3．曲线f (x )＝x ln x 在点x ＝1处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋2B ．y ＝2x －2C ．y ＝x －1D ．y ＝x ＋1解析：选C ∵f ′(x )＝ln x ＋1，∴f ′(1)＝1，又∵f (1)＝0，∴在点x ＝1处曲线f (x )的切线方程为y ＝x －1.4．设曲线y ＝ax －ln (x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：选D y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′|x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3. 5．已知直线y ＝3x ＋1与曲线y ＝ax 3＋3相切，则a 的值为( )A ．1B ．±1C ．－1D ．－2解析：选A 设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝3x 0＋1，且y 0＝ax 30＋3，所以3x 0＋1＝ax 30＋3①.对y ＝ax 3＋3求导得y ′＝3ax 2，则3ax 20＝3，ax 20＝1②，由①②可得x 0＝1，所以a ＝1.6．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________．解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′|x ＝1＝3×12－1＝2.∴切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝07．已知曲线y 1＝2－1x 与y 2＝x 3－x 2＋2x 在x ＝x 0处切线的斜率的乘积为3，则x 0＝________.解析：由题知y ′1＝1x 2，y ′2＝3x 2－2x ＋2，所以两曲线在x ＝x 0处切线的斜率分别为1x 20，3x 20－2x 0＋2，所以3x 20－2x 0＋2x 20＝3，所以x 0＝1. 答案：18．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22， 得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1.∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x .∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1.答案：19．求下列函数的导数：(1)y＝x－ln x；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y＝x2sin x；(4)y＝x＋3x2＋3.解：(1)y′＝(x－ln x)′＝(x)′－(ln x)′＝12x －1 x.(2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′＝3x2－2x＋1.(3)y′＝(x2)′·sin x－x2·(sin x)′sin2x＝2x sin x－x2cos xsin2x.(4)y′＝1·(x2＋3)－(x＋3)·2x(x2＋3)2＝－x2－6x＋3 (x2＋3)2.10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．解：∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.∵f ′(1)＝4a ＋2c，∴4a ＋2c ＝1.∴a ＝52，c ＝－92. ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1. [B 级 综合运用]11．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( )A ．e －1B ．－1C ．－e －1D ．－e 解析：选C ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x， ∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，解得f ′(e)＝－1e，故选C. 12．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0) 解析：选C ∵f (x )＝x 2－2x －4ln x ，∴f ′(x )＝2x －2－4x ＞0，整理得(x ＋1)(x －2)x ＞0，解得－1＜x ＜0或x ＞2， 又∵f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴x ＞2.13．曲线y ＝x 2x －1在点(1,1)处的切线为l ，则l 上的点到圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0上的点的最近距离是________． 解析：y ′＝－1(2x －1)2，则y ′| x ＝1＝－1，∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d ＝22，圆的半径r ＝1，∴所求最近距离为22－1.答案：22－114．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋b 在点P (2，－6)处的切线方程是13x －y －32＝0.(1)求a ，b 的值；(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线l ：y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程． 解：(1)∵f (x )＝x 3＋ax ＋b 的导数f ′(x )＝3x 2＋a ，由题意可得f ′(2)＝12＋a ＝13，f (2)＝8＋2a ＋b ＝－6，解得a ＝1，b ＝－16.(2)∵切线与直线y ＝－14x ＋3垂直， ∴切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1.由f (x )＝x 3＋x －16，可得y 0＝1＋1－16＝－14，或y 0＝－1－1－16＝－18.则切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18.即4x －y －18＝0或4x －y －14＝0.[C 级 拓展探究]15．设f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n －1，x ≥0，n ∈N ，n ≥2.(1)求f n ′(2)；(2)证明：f n (x )在⎝⎛⎭⎫0， 23内有且仅有一个零点(记为a n )，且0＜a n －12＜2n3n ＋1.解：(1)由题设f n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1. 所以f n ′(2)＝1＋2×2＋…＋(n －1)2n －2＋n ·2n －1，① 则2f n ′(2)＝2＋2×22＋…＋(n －1)2n －1＋n ·2n ，② ①－②得，－f n ′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝1－2n1－2－n ·2n ＝(1－n )·2n －1， 所以f n ′(2)＝(n －1)·2n ＋1.(2)证明：因为f (0)＝－1＜0，x ≥0，n ≥2.f n ⎝⎛⎭⎫23＝23⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n 1－23－1＝1－2×⎝⎛⎭⎫23n ≥1－2×⎝⎛⎭⎫232＞0， 所以f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n －1为增函数，所以f n (x )在⎝⎛⎭⎫0， 23内单调递增， 因此f n (x )在⎝⎛⎭⎫0， 23内有且仅有一个零点a n . 由于f n (x )＝x －x n ＋11－x－1， 所以0＝f n (a n )＝a n －a n ＋1n 1－a n －1， 由此可得a n ＝12＋12a n ＋1n ＞12，故12＜a n ＜23. 所以0＜a n －12＝12a n ＋1n ＜12×⎝⎛⎭⎫23n ＋1＝2n3n ＋1.。