河北省中考数学总复习 第二编 专题突破篇 专题10 解直角三角形或相似的计算与实践(精讲)试题

一、相似三角形判定考察判定定理： 两角相等，三边比例，两边及夹角。

二、位似图形1．位似多边形的定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点A 、A ′的连线(或延长线)都经过同一个点O ，且有OA ′＝kOA(k ≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O 叫做位似中心，这时的相似比k 又称为位似比． 2．位似多边形的性质：(1)位似多边形一定相似，位似多边形具有相似多边形的一切性质；(2)位似多边形上任意一对对应点连线(或延长线)都经过位似中心，并且到位似中心的距离之比等于相似比．归纳结论：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，并且对应边平行(或在同一直线上)，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比．注意：同时满足下面三个条件的两个图形才叫做位似图形．三个条件缺一不可：①两图形相似；②每组对应点所在直线都经过同一点；③对应边互相平行(或在同一直线上)．例1．把右面的四边形缩小到原来的12(相似比是12或位似比是12)．解：(位似中心在图形外，已知)作法略.，四边形A′B′C′D′即为所求．你有其他画法吗？请互相交流．归纳结论：画位似图形的方法：1.确定位似中心；2.找对应点；3.连线；4.下结论．例2．如图，已知四边形ABCD 和点O ，请以O 为位似中心，作出四边形ABCD 的位似图形，把四边形ABCD 放大为原来的2倍．答：连接OA ，OB ，OC ，OD 延长OA 到A′使OA′＝2OA ，延长OB 到B′使OB′＝2OB ，延长OC 到C′使OC′＝2OC ，延长OD 到D′使OD′＝2OD ，顺次连接A′B′C′D′，则四边形A′B′C′D′就是所求作的四边形．三、位似变换中的坐标变化1．在平面直角坐标系中，一个多边形每一个顶点的横、纵坐标都乘同一个数k(k ≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|．2.我们学习过的图形变换包括：平移、轴对称、旋转和位似．其中经过平移、轴对称、旋转变换前后的两个图形一定是全等的；而经过位似变换前后的两个图形是相似的．结论：[在直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘以同一个数(k ≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.]1．如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，将△ABO 扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A 的坐标是(1，2)，则点A′的坐标是( C )A ．(2，4)B ．(－1，－2)C ．(－2，－4)D ．(－2，－1)2．在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A(－6，1)，B(－3，1)，C(－3，3)．若将它们的横纵坐标都乘以－3，得到新三角形△A 1B 1C 1，则△A 1B 1C 1与△ABC 是位似关系，位似中心是坐标原点，位似比等于3．3．如图，已知△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)．(正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度)(1)画出△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1，点C 1的坐标是(2，－2)；(2)以点B 为位似中心，在网格内画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且相似比为2∶1，点C 2的坐标是(1，0)；1、（2017）.若ABC ∆的每条边长增加各自的10%得'''A B C ∆，则'B ∠的度数与其对应角B ∠的度数相比( ) A ．增加了10% B ．减少了10% C ． 增加了(110%)+ D ．没有改变2、（2016）如图6，△ABC 中，∠A =78°，AB=4，AC=6，将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是( C )变相考察相似判定：注意原三角形BC 边长未知，C 不一定平行 3、（2014）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）图6A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对答案：解直角三角形——1、方位2、三角函数应用命题规律：近五年规律基本上是隔一年考一次，2013、15、17年均考了一次，14、16未涉及。

冀教版数学九年级上册相似三角形的应用知识点知识点总结为大家整理了相似三角形的应用知识点的相关内容，希望能陪大家度过一个美好的学期，小编提醒，贪玩不能耽误学习哦!
1.比例线段的有关概念
在比例式中，ba= dc(a:b=c:d)、a,d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项，b、d 叫后项，
d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。

把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C 叫做线段AB的黄金分割点。

2.平行线分线段成比例定理
①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3=
②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那
么这条直线平行于三角形的第三边。

3. 相似三角形的判定
①两角对应相等，两个三角形相似
②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
③三边对应成比例，两三角形相似
④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对
应成比例，那么这两个直角形相似
⑤平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原
三角形相似
⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
4.相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等
②相似三角形的对应边成比例
③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比
④相似三角形周长的比等于相似比
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方。

1 中考数学三角形相似及全等、解直角三角形知识点汇总一．知识点总结知识点1三角形的边、角关系①三角形任何两边之和大于第三边；①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形任何两边之差小于第三边；②三角形任何两边之差小于第三边；°；180°；③三角形三个内角的和等于180°；360°；④三角形三个外角的和等于360°；°；⑤三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；⑤三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

知识点2三角形的主要线段和外心、内心①三角形的角平分线、中线、高；①三角形的角平分线、中线、高；②三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等；点的距离相等；③三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等；距离相等；④连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

于第三边的一半。

知识点3 等腰三角形等腰三角形的识别：等腰三角形的识别：①有两边相等的三角形是等腰三角形；①有两边相等的三角形是等腰三角形；②有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；③三边相等的三角形是等边三角形；③三边相等的三角形是等边三角形；④三个角都相等的三角形是等边三角形；④三个角都相等的三角形是等边三角形；°的等腰三角形是等边三角形。

⑤有一个角是6060°的等腰三角形是等边三角形。

°的等腰三角形是等边三角形。

等腰三角形的性质：等腰三角形的性质：①等边对等角；①等边对等角；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；③等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴；③等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴；°。

第2课时 解三角形和三角形相似1．(2016·北京)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AC ＝AD ，M ，N 分别为AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN.(1)求证：BM ＝MN ；(2)若∠BAD＝60°，AC 平分∠BAD，AC ＝2，求BN 的长．解：(1)证明：在△CAD 中，∵M ，N 分别是AC ，CD 的中点，∴MN ∥AD ，且MN ＝12AD.在Rt △ABC 中，∵M 是AC 的中点，∴BM ＝12AC.又∵AC＝AD ，∴MN ＝BM.(2)∵∠BAD＝60°，且AC 平分∠BAD，∴∠BAC ＝∠DAC＝30°.由(1)知BM ＝12AC ＝AM ＝MC.∴∠BMC ＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60°.∵MN ∥AD ，∴∠NMC ＝∠DAC＝30°.∴∠BMN ＝∠BMC＋∠NMC ＝90°.∴BN 2＝BM 2＋MN 2.由(1)知，MN ＝BM ＝12AC ＝12×2＝1.∴BN ＝ 2.2．(2016·白银)如图，已知EC∥AB, ∠EDA ＝∠ABF.(1)求证：四边形ABCD 为平行四边形；(2)求证：OA 2＝OE·OF.证明：(1)∵EC∥AB，∴∠C ＝∠ABF.又∵∠EDA＝∠ABF，∴∠C ＝∠EDA.∴AD ∥BC.∴四边形ABCD 是平行四边形．(2)∵EC∥AB，∴OA OE ＝OB OD .又∵AD∥BC，∴OF OA ＝OB OD .∴OA OE ＝OF OA，即OA 2＝OE·OF. 3．(2015·南充)如图，矩形纸片ABCD ，将△AMP 和△BPQ 分别沿PM 和PQ 折叠(AP ＞AM)，点A 和点B 都与点E 重合；再将△CQD 沿DQ 折叠，点C 落在线段EQ 上点F 处．(1)判断△AMP，△BPQ ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)(2)如果AM ＝1，sin ∠DMF ＝35，那么AB 的长为6．解：(1)有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD.(2)设AP ＝x ，由折叠关系可得BP ＝AP ＝EP ＝x ，AB ＝DC ＝2x ，AM ＝1.由△AMP∽△BPQ，得AM BP ＝AP BQ，即BQ ＝x 2. 由△AMP∽△CQD，得AP CD ＝AM CQ，即CQ ＝2. AD ＝BC ＝BQ ＋CQ ＝x 2＋2，MD ＝AD －AM ＝x 2＋2－1＝x 2＋1. 又∵在Rt △FDM 中，sin ∠DMF ＝35， DF ＝DC ＝2x ，∴sin∠DMF ＝DF MD ＝2x x 2＋1＝35.解得x ＝3或x ＝13(不合题意，舍去)． ∴AB ＝2x ＝6.4．(2016·唐山路北区模拟)如图，在等腰△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点D 是边AC 的中点，点E 是斜边AB 上的动点，将△AED 沿DE 所在的直线折叠得到△A 1DE.(1)当点A 1落在边BC(含边BC 的端点)上时，折痕DE 的长是多少？(2)连接A 1B ，当点E 在边AB 上移动时，求A 1B 长的最小值．解：(1)∵点D 到边BC 的距离是DC ＝DA ＝1，∴点A 1落在边BC 上时，点A 1与点C 重合，如备用图所示．此时，DE 为AC 的垂直平分线，即DE 为△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ＝1. (2)连接BD.在Rt △BCD 中，BD ＝BC 2＋CD 2＝ 5.由△A 1DE ≌△ADE ，可得A 1D ＝AD ＝1.由A 1B ＋A 1D ≥BD ，得A 1B ≥BD －A 1D ＝5－1.∴A 1B 长的最小值是5－1.5．(2015·资阳)E ，F 分别是正方形ABCD 的边DC ，CB 上的点，且DE ＝CF ，以AE 为边作正方形AEHG ，HE 与BC 交于点Q ，连接DF.(1)求证：△ADE≌△DCF；(2)若E 是CD 的中点，求证：Q 为CF 的中点；(3)连接AQ ，设S △CEQ ＝S 1，S △AED ＝S 2，S △EAQ ＝S 3，在(2)的条件下，判断S 1＋S 2＝S 3是否成立？并说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADE ＝∠DCF＝90°.∵DE ＝CF ，∴△ADE ≌△DCF(SAS )．(2)证明：∵四边形AEHG 是正方形，∴∠AEH ＝90°.∴∠AED ＋∠QEC＝90°.∵∠ADE ＝90°，∴∠AED ＋∠EAD＝90°.∴∠QEC ＝∠EAD .∴△ADE ∽△ECQ.∴CQ DE ＝CE AD. ∵CE AD ＝DE AD ＝12，∴CQ DE ＝CQ CF ＝12. ∴点Q 是CF 中点．(3)S 1＋S 2＝S 3成立．理由：∵△ADE∽△ECQ，∴CQ DE ＝QE AE. 又∵DE＝CE ，∴CQ CE ＝QE AE. ∵∠C ＝∠AEQ＝90°，∴△A EQ∽△ECQ. ∴△AEQ ∽△ECQ ∽△ADE.∴S 1S 3＝(EQ AQ )2，S 2S 3＝(AE AQ)2. ∴S 1S 3＋S 2S 3＝(EQ AQ )2＋(AE AQ )2＝EQ 2＋AE 2AQ 2. 由勾股定理得EQ 2＋AE 2＝AQ 2，∴S 1S 3＋S 2S 3＝1，即S 1＋S 2＝S 3.6．(2015·丽水)如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BE 上的一点，连接C F 并延长交AB 于点M ，MN ⊥CM 交AD 于点N.(1)当F 为BE 中点时，求证：AM ＝CE ；(2)若AB BC ＝EF BF ＝2，求AN ND的值； (3)若AB BC ＝EF BF＝n ，当n 为何值时，MN ∥BE. 解：(1)证明：∵F 为BE 中点，∴BF ＝EF.∵在矩形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠MBF ＝∠CEF ，∠BMF ＝∠ECF.∴△BMF ≌△ECF(AAS )．∴MB ＝CE.∵AB ＝CD ，CE ＝DE ，∴MB ＝AM.∴AM＝C E.(2)设MB ＝a ，∵AB ∥CD ，∴△BMF ∽△ECF.∴EF BF ＝CE MB ＝2.∴CE＝2a.∴AB ＝CD ＝2CE ＝4a ，AM ＝AB －MB ＝3a.∵AB BC ＝2，∴BC ＝AD ＝2a.∵MN ⊥MC ，∠A ＝∠ABC＝90°，∴∠AMN ＋∠BMC＝90°.又∵∠AMN＋∠ANM＝90°，∴∠BMC ＝∠ANM.∴△AMN ∽△BCM.∴AN MB ＝AM BC ，即AN a ＝3a 2a .∴AN ＝32a ，ND ＝AD －AN ＝12a.∴AN ND ＝32a12a＝3.(3)设MB ＝a ，∵EF BF ＝n ，且△MBF∽△CEF，∴CE MB ＝EF BF .∴CE ＝na ，AB ＝CD ＝2na.∵AB BC ＝n ，∴BC＝2a.如图，当MN∥BE 时，CM ⊥BE.∵∠BMC ＋∠BCM＝90°，∠EBC ＋∠BCM＝90°，∴∠BCM ＝∠EBC.∴△MBC ∽△BCE.∴MB BC ＝BC CE ，即a BC ＝BC na .∴BC ＝na.又∵BC＝2a ，∴na ＝2a.解得n ＝4.∴当n ＝4时，MN ∥BE.7．(2016·石家庄模拟)提出问题：(1)如图1，在正方形ABCD 中，点E ，H 分别在BC ，AB 上，若AE⊥DH 于点O ，求证：A E ＝DH ；类比探究：(2)如图2，在正方形ABCD 中，点H ，E ，G ，F 分别在AB ，BC ，CD ，DA 上，若EF⊥HG 于点O ，探究线段EF 与HG 的数量关系，并说明理由；综合运用：(3)在(2)问条件下，HF ∥GE ，如图3所示，已知BE ＝EC ＝2，EO ＝2FO ，求图中阴影部分的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝DA ，∠ABE ＝90°＝∠DAH.∴∠HAO ＋∠O AD ＝90°.∵AE ⊥DH ，∴∠ADO ＋∠OAD＝90°.∴∠HAO ＝∠ADO.∴△ABE ≌△DAH(ASA )．∴AE＝DH.(2)EF ＝GH.理由：将FE 平移到AM 处，则AM∥EF，AM ＝EF.将GH 平移到DN 处，则DN∥GH，DN ＝GH.∵EF ⊥GH ，∴AM ⊥DN.根据(1)的结论得AM ＝DN ，∴EF ＝GH. (3)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD.∴∠AHO ＝∠CGO.∵FH ∥EG ，∴∠FHO ＝∠EGO.∴∠AHF ＝∠CGE.∴△AHF ∽△CGE.∴AF CE ＝FH EG ＝FO OE ＝12.又∵EC＝2，∴AF ＝1.过点F 作FP⊥BC 于点P ，根据勾股定理得EF ＝17.∵FH ∥EG ，∴FO FE ＝HO HG .根据(2)知EF ＝GH ，∴FO ＝HO.∴S △FOH ＝12FO 2＝12×(13EF)2＝1718，S △EOG ＝12EO 2＝12×(23EF)2＝6818.∴阴影部分面积为1718＋6818＝8518.。

节相似三角形1．若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（）A．增加了10% B．减少了10%C．增加了(1＋10%) D．没有改变2．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似．图①乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．图②A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对3．如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）4．(2020·河北中考)在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是（ ）A ．四边形NPMQB ．四边形NPMRC ．四边形NHMQD ．四边形NHMR5.在平面直角坐标系中，已知点A (－4，2)，B (－6，－4)，以原点O 为位似中心，相似比为12 ，把△ABO 缩小，则点B 的对应点B ′的坐标是（ ）A ．(－3，－2)B ．(－12，－8)C ．(－3，－2)或(3，2)D ．(－12，－8)或(12，8)6.如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .已知AB ＝1，BC ＝3，DE ＝1.2，则DF 的长为（ ）A ．3.6B ．4.8C ．5D ．5.27.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE ∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A.ABAE＝AGAD B．DFCF＝DGADC．FGAC＝EGBD D．AEBE＝CFDF8.(2020·邯郸丛台区三模)如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DF＝2，求FC的长度．9．(2020·温州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q.若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（）A.14B．15C．83D．6510．(2020·黔东南中考)如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为CD 的中点，连接AE，BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝．11.如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5).(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC 位似，且相似比为2，并求出△A2B2C2的面积．12．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（）A.△ABC∽△A′B′C′B．点C，O，C′三点在同一直线上C．AO∶AA′＝1∶2D．AB∥A′B′13．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．(1)在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1(点A，B的对应点分别为A1，B1)，画出线段A1B1；(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；(3)以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是个平方单位．节相似三角形1．若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比(D)A．增加了10% B．减少了10%C．增加了(1＋10%) D．没有改变2．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似．图①乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．图②A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对3．如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C )4．(2020·河北中考)在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是(A )A ．四边形NPMQB ．四边形NPMRC ．四边形NHMQD ．四边形NHMR5.在平面直角坐标系中，已知点A (－4，2)，B (－6，－4)，以原点O 为位似中心，相似比为12 ，把△ABO 缩小，则点B 的对应点B ′的坐标是(C )A ．(－3，－2)B ．(－12，－8)C ．(－3，－2)或(3，2)D ．(－12，－8)或(12，8)6.如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .已知AB ＝1，BC ＝3，DE ＝1.2，则DF 的长为(B )A ．3.6B ．4.8C ．5D ．5.27.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE ∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是(D)A.ABAE＝AGAD B．DFCF＝DGADC．FGAC＝EGBD D．AEBE＝CFDF8.(2020·邯郸丛台区三模)如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DF＝2，求FC的长度．【解答】(1)证明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，∴ADAB＝AEAC＝13.又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC；(2)解：∵△ADE∽△ABC，∴DEBC＝ADAB＝13，∠ADE＝∠ABC.∴DE∥BC.∴△DEF∽△CBF.∴DFCF＝DECB，即2CF＝13.∴FC＝6.9．(2020·温州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH 于点P，Q.若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为(A)A.14B．15C．83D．6510．(2020·黔东南中考)如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为CD的中点，连接AE，BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝4 3．11.如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5).(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC 位似，且相似比为2，并求出△A2B2C2的面积．解：(1)如图，△A 1B 1C 1即为所求作的三角形； (2)如图，△A 2B 2C 2即为所求作的三角形．分别过点A 2，C 2作y 轴的平行线，过点B 2作x 轴的平行线．∵A (－1，2)，B (2，1)，C (4，5)，△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且相似比为2，∴A 2(－2，4)，B 2(4，2)，C 2(8，10).∴S △A 2B 2C 2＝（2＋8）×102－12 ×2×6－12 ×4×8＝28., 12．如图，以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△A ′B ′C ′，以下说法中错误的是(C )A.△ABC ∽△A ′B ′C ′B ．点C ，O ，C ′三点在同一直线上C ．AO ∶AA ′＝1∶2D ．AB ∥A ′B ′13．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O ，A ，B 均为网格线的交点．(1)在给定的网格中，以点O 为位似中心，将线段AB 放大为原来的2倍，得到线段A 1B 1(点A ，B 的对应点分别为A 1，B 1)，画出线段A 1B 1；(2)将线段A 1B 1绕点B 1逆时针旋转90°得到线段A 2B 1，画出线段A 2B 1；初中数学精品教学(3)以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是个平方单位．解：(1)如图，线段A1B1即为所求；(2)如图，线段A2B1即为所求；(3)20.[由图可得，四边形AA1B1A2为正方形，∴四边形AA1B1A2的面积是(22＋42)2＝20.]初中数学精品教学11。

第25讲解直角三角形及其应用1.(2021 ，河北)如下图的是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中 AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，那么乘电梯从点 B到点C 上升的高度h是(B)第1题图83mB.4m C.43mD.8mA .3C 作CE ⊥AB 于点E.在Rt△CBE 中，CE ＝BC ·sin301【解析】 如答图，过点°＝8×2＝4(m)．∴h ＝CE ＝4m.1第1题答图2.( 2021，唐山丰南区二模)在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，那么tanB的值为(B)55121 2A.13B.12.13.51【解析】如答图，过点A作AD⊥BC于点D.∵AB＝AC＝13，BC＝24，∴BD＝2BC＝12.在Rt△ABD中，AB＝13，BD＝12，∴AD＝22∴tanAD5. AB－BD＝5.B＝＝BD12第2题答图(2021，保定二模)太阳能光伏发电因其清洁、平安、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点开展的新兴产业．如下图的是太阳能电池板支撑架的截面示意图，其中线段AB，CD，EF表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢AB上且长度均为300cm，A B 的倾斜角为30°，＝＝50cm，支撑角钢，与地面的接触点分别为，，垂BECACDEFDFCD直于地面，FE⊥AB于点E.点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少．(结果保存根号)2第3题图【思路分析】延长BA交FD的延长线于点G，过点A作AH⊥DG于点H.根据题意，得AB300cm，BE＝AC＝50cm，AH＝50cm，∠AGH＝30°.先求得AG＝2AH＝100(cm)，CG＝150cm，1继而由CD＝2CG可得CD的长．由EG＝AB－BE＋AG可得EG的长，根据EF＝EG·tan∠EGF可得EF的长．解：如答图，延长BA交FD的延长线于点G，过点A作AH⊥DG于点H.由题意，知AB＝300cm，BE＝AC＝50cm，AH＝50cm，∠AGH＝30°.在Rt△AGH中，易得AG＝2AH＝100(cm)．∴CG＝AC＋AG＝150(cm)．1∴CD＝2CG＝75(cm)．∵EG＝AB－BE＋AG＝300－50＋100＝350(cm)，∴在Rt△EFG中，EF＝EG·tan∠EGF＝350·tan3033503°＝350×3＝3(cm)．3503∴支撑角钢CD的长为75cm，EF的长为c m.33第3题答图.解直角三角形3例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝7，BC＝4，那么AB的长为(D)478128A.3 B.4C.3 D.3【解析】∵sin＝BC3428，即＝，∴＝.AAB7ABAB3针对训练1如图，在Rt△ABC中，斜边AB＝3，BC＝1，点D在AB上，且BD，那么tan＝AD∠BCD的值是(C)4训练1题图A .1B.1.22D.33 32【解析】如答图，过点作∥交BC于点.∴∠＝∠＝90°，BEBD1＝.DEAC EBEDACBCEAD31.在Rt△中，＝22∵＝3，＝1，∴＝，＝，＝－＝.A BBCBE4CEBDBDEDEBDBE2 2∴tan∠BCD＝DE222＝＝.CE334训练1答图5解直角三角形的实际应用例2(2021，长沙，导学号5892921)为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A，B两地间的公路进行改建．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C 地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．BC＝80km，∠A＝45°，∠B＝30°.开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？(2)开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？(结果精确到km，参考数据：2≈，3≈1.73)例2题图【思路分析】(1)过点作⊥，垂足为.在Rt△中，解直角三角形求出，进CDAB D BCDC D而在Rt△ACD中，求出AC，进而解答即可．(2)在Rt△BCD中，解直角三角形求出BD，在Rt△ACD中，求出AD，进而求出开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米．解：(1)如答图，过点作⊥，垂足为.CDAB D∵在Rt△BCD中，∠B＝30°，BC＝80km，1∴CD＝BC·sin30°＝80×＝40(km)．6CD4 0∴在Rt△ACD中，AC＝sin45°＝2＝402(km)．2∴AC＋BC＝402＋80≈40×＋80＝136.4(km)．答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走km.在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，BC＝80km，∴＝·cos30°＝80×3＝403(km)．BDBC2CD 4 0在Rt△ACD中，∵∠A＝45°，CD＝40km，∴AD＝tan45°＝1＝40(km)．∴AB＝AD＋BD＝40＋403≈40＋40×＝109.2(km)．∴AC＋BC－AB≈－＝27.2(km)．答：开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走km.例2答图针对训练2(2021，天津)如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°.求甲、乙两座建筑物的高度A B 和.(结果取整数，参考数据：tan48°≈，tan58°≈1.60) DC训练2题图7【思路分析】先分析图形，根据题意构造直角三角形．此题涉及两个直角三角形，应用其公共边构造关系式，进而可求出答案．解：如答图，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点 E.易知四边形ABCE是矩形．∴AE＝BC＝78，AB＝CE.在Rt△ACE中，EC＝AE·tan58°≈78×≈125.∴AB＝125.在Rt△AED中，DE＝AE·tan48°.∴CD＝EC－DE＝AE·(tan58°－tan48°)≈78×－1.11)≈38.答：甲建筑物的高度约为125m，乙建筑物的高度约为38m.训练2答图8一、选择题1.(2021 ，宜昌)如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC＝100m，∠PCA＝35°，那么小河宽PA为(C)第1题图A.1 00sin35°mB.100sin55°mC.100tan35°m55°m【解析】∵PA⊥PB，PC＝100m，∠PCA＝35°，∴PA＝PC·tan∠PCA＝100tan35°( m)．2.( 2021，长春)如图，某地修建高速公路，要从地向地修一条隧道(点，在同一水平面上)．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800m到达处，在处观察地的俯角为，那么，两地之间的距离为(D)AB9第2题图A.8 00sin αmB.800tanαm80 080 0C .sin αm D.tanαmAC【解析】在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°，∠ABC＝α，AC＝800m，∴AB＝tanα＝800m.tan α(2021，金华)如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，那么竹竿AB 与AD的长度之比为(B)第3题图A t B.sβ C.sαD cos.an in in.βt ansinαsinβcosα【解析】在Rt△中，AC.在Rt△中，＝AC.∴＝AC ABCABsinαACDADsinβABAD sinαA Csinβsinβ＝sinα.104.(2021，绵阳)一艘在南北航线上的测量船，于点A处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30nmile到达点C时，测得海岛B在点C的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离约是(参考数据：3≈，2≈1.414)(B)A.nmileB.nmileC.nmileD.nmile【解析】由题意，知∠BAC＝30°，∠ACB＝15°.如答图，过点B作BD⊥AC于点D，以点B为顶点，BC 为一边，在△ABC内部作∠CBE＝∠ACB＝15°，那么∠BED＝30°，BE＝CE.设BD＝x，那么AB＝BE＝CE＝2x，AD＝DE＝3x.∴AC＝AD＋DE＋CE＝23x＋2x.∵AC＝30，∴23x＋2x＝30.解得x≈5.49.所以海岛B离此航线的最近距离约是nmile.第4题答图(2021，重庆A)如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直．在教学楼底部点E处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE＝7m，升旗台坡面CD的坡度i＝1∶，坡长CD＝2m．假设旗杆底部到坡面CD的水平距离BC＝1m，那么旗杆AB的高度约为(参考数据：sin58°≈，cos58°≈，tan58°≈1.6)(B)第5题图11A.mB.mC.mD.m【解析】如答图，延长AB交ED的延长线于点M，过点C作CJ⊥DM于点J.易知四边形BMJC是矩形．在Rt△CJD中，CJ14222＝.设CJ＝4k，DJ＝3k.由题意，得9k＋16k＝2.解DJ328646得k＝5.∴BM＝CJ＝5，DJ＝5.∵MJ＝BC＝1，∴EM＝MJ＋DJ＋DE＝5.在Rt△AEM中，tan∠AEMAM8AB5，∴≈46.解得AB≈13.1(m)．EM第5题答图6.(2021 ，苏州)如图，某海监船以 20nmile/h 的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至 A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向．继续向东航行1h到达B 处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2h到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为(D)第6题图A.40nmileB. 60nmileC. 20 3nmileD. 40 3nmile【解析】在△PAB中，∵∠PAB＝90°，∠APB＝30°，∴PB＝2AB.由题意，得BC＝2AB.∴PB12＝BC.∴∠C＝∠CPB.易知∠ABP＝∠C＋∠CPB＝60°，∴∠C＝30°.∴PC＝2PA.∵PA＝AB·tan60°，∴PC＝2×20×3＝403(nmile)．(2021，张家口一模)如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12nmile 的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以10nmile/h 的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以14nmile/h 的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，那么巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间是(B)第7题图A.1hB.2hC.3hD.4h【解析】设巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间为xh．由题意，得∠ABC＝45°＋75°＝120°，AB＝12，BC＝10x，AC＝14x.如答图，过点A作AD⊥CB，交CB的延长线于点.在Rt△中，＝12，∠＝180°－120°＝60°，∴＝·cos60°＝6，ADD ABDA ABDBDAB B·sin60°＝63.∴＝10＋6.在Rt△ACD中，由勾股定理，得(14)2＝(10＋6)2＋AB CDx63)2.解得x＝2.答：巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间为2h.第7题答图8.(2021，重庆B)如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20m到达点，再经过一段坡度(或坡比)为＝1∶，坡长为10mC13的斜坡到达点，然后再沿水平方向向右行走40m到达点(，，，，均在同一平面CD D EABCD内)．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，那么建筑物AB的高度约为(参考数据：sin24°≈，cos24°≈，tan24°≈0.45)(A)第8题图A.mB.mC.mD.m【解析】如答图，过点B作BM⊥ED，交ED的延长线于点M，过点C作CN⊥DM于点N.在Rt△中，∵CN14＝4，＝3.由题意，得(32＝100.解得＝＝，∴设)＋(4CDNDN3CNk DNk2.∴CN＝8，DN＝6.∵四边形BMNC是矩形，∴BM＝CN＝8，MN＝BC＝20.∴EM＝MN＋DN＋DE＝66.在Rt△AEM中，tan24°＝AM8＋AB，∴≈.解得AB≈21.7(m)．EM66第8题答图二、填空题9.(2021 ，广州)如图，旗杆高AB＝8m，某一时刻，旗杆影子长BC＝16m，那么tan C＝1( ).214m.第9题图AB 8 1【解析】∵旗杆高AB＝8m，旗杆影子长B C＝16m，∴tan C ＝＝＝.BC16 210.(2021，枣庄)如图，某商店营业大厅自动扶梯AB 的倾斜角为31°，的长为12m，AB那么大厅两层之间的高度约为m.(结果精确到m，参考数据：sin31°≈，cos31°≈，tan31°≈0.601)第10题图【解析】在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB·sin∠BAC≈12×≈6.2(m)．所以大厅两层之间的高度约为11.(2021，仙桃)我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C 附近捕鱼作业，海岛C位于海岛A的北偏东45°方向上．在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18(1＋3)nmile处，那么海岛，之间的距离为182nmile.(结果保存根号)A15第11题图【解析】如答图，过点A 作⊥于点.由题意知∠＝45°，∠＝30°.设AC ADBC DACD ABD 22＝xnmile.在Rt△ACD中，AD＝AC·sin∠ACD＝2x，进而可得CD＝2x.在Rt△ABD中，B D＝AD626x＝18(1＋3)．解得x＝182.所以海岛A，C之2x.由题意，得2x＋2tan∠ABD间的距离为182nm ile.第11题答图如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°.甲楼的高度AB是120m，那么乙楼的高度CD是403m.(结果保存根号)16第12题图【解析】由题意，可得∠＝∠＝45°，那么＝120m．在Rt△中，tanBDAABDAD AB ADC∠＝tan30CD3＝403(m)．°＝＝.∴CADAD3CD三、解答题(2021，邢台模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BE∶AB＝3∶5，4CE＝2，cos∠ACD＝5.求：(1)cos∠ABC的值；AC的长．第13题图【思路分析】(1) 根据“同角的余角相等〞，得∠ABC＝∠ACD，进而可得答案．(2)令BC4k，AB＝5k，那么AC＝3k.由BE∶AB＝3∶5，知BE＝3k，那么CE＝k，进而解答即可．解：(1)在Rt△ACD与Rt△ABC中，∵∠ABC＋∠CAD＝90°，∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠ACD.4∴cos∠ABC＝cos∠ACD＝5.17BC4(2)在Rt△ABC中，＝.AB5令BC＝4k，AB＝5k，那么AC＝3k.∵BE∶AB＝3∶5，∴BE＝3k.∴CE＝k.∵CE＝2，k＝2.∴AC＝3 2.(2021，绍兴)如图①，窗框和窗扇用“滑块铰链〞连接，图③是图②中“滑块铰链〞的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一条直线上，延长DE交MN于点F.AC＝DE＝20cm，AE＝CD＝10cm，BD＝40cm.第14题图窗扇完全翻开，张角∠CAB＝85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数；窗扇局部翻开，张角∠CAB＝60°，求此时点A，B之间的距离．(结果精确到cm，参考数据：3≈，6≈2.449)【思路分析】(1) 根据平行四边形的判定和性质可以解答此题．(2)根据锐角三角函数和题意可以求得AB的长．解：(1)∵AC＝DE＝20cm，AE＝CD＝10cm，∴四边形ACDE是平行四边形．∴AC∥DE.∴∠DFB＝∠CAB＝85°.如答图，过点C作CG⊥AB于点G.∵AC＝20，∠CGA＝90°，∠CAB＝60°，∴CG＝AC·sin∠CAB＝10 3，AG＝AC·cos∠CAB＝10.∵BD＝40，CD＝10，∴CB＝30.∴＝302－〔103〕2＝106.BG∴AB＝AG＋BG＝10＋10 6≈10＋10×≈34.5.18所以此时点A，B之间的距离约为cm. 第14题答图15 .(2021，内江，导学号5892921)如下图的是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC的高为11m，灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A＝120°.路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域长为18m，从，两处测得路灯的仰角分别为α，且tan＝6，tan.求DE D灯杆AB的长度．第15题图【思路分析】过点B作BF⊥CE交CE于点F，过点A作AG⊥BF交BF于点G，那么FG＝ACBF 1＝11.设BF＝3x，那么EF＝4x，可得DF＝tanα＝2x.由DE＝18，求得x＝4.据此知BG＝BF－GF＝1，再求得∠BAG＝30°，可得AB＝2BG ＝2.解：如答图，过点作⊥交于点，过点⊥交BF于点，那么＝BFCECE FAGBF GFGAC＝11.3∵tanβ＝4，19∴设＝3，那么＝4. BF xEF31BFx＝2x.在Rt△BDF中，DF ＝tan α＝6∵DE＝18，12x＋4x＝18.x＝4.∴BF＝12.∴BG＝BF－GF＝12－11＝1.∵∠BAC＝120°，∴∠BAG＝∠BAC－∠CAG＝120°－90°＝30°.∴AB＝2BG＝2.答：灯杆AB的长度为2m.第15题答图1.(2021，无锡，导学号5892921)在△ABC中，AB＝10，AC＝27，∠B＝30°，那么△ABC的面积为153或103.(结果保存根号)【解析】此题分两种情况．如答图，过点A作AD⊥BC交BC(或BC的延长线)于点D.(1)如答图①，当AB，AC位于AD异侧时，在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，AB＝10，∴AD＝AB·20sinB＝5，BD＝AB·cos B＝53.在Rt△ACD中，∵AC＝27，∴CD＝22〔22AC－AD＝7〕－5＝3.∴BC＝BD＋CD＝63.113×5＝153.(2)如答图②，当AB，AC ∴S△ABC＝BC·AD＝×622在的同侧时，由(1)知，＝53，＝3，那么＝－＝43，ADBDCDBCBDCD1 1∴S△ABC＝2BC·AD＝2×43×5＝10 3.综上所述，△ABC的面积是15 3或10 3.第1题答图2.(2021，眉山)如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，那么tan∠AOD＝2.第2题图【解析】如答图，连接BE交于点.∵四边形是正方形，∴＝，⊥.CD F BCEKBFCFBECK根据题意，得AC∥BK.∴△ACO∽△BKO.∴KO∶CO＝BK∶AC＝1∶3.∴KO∶KF＝1∶2.11中，tan∠＝BF＝∠，∴tan∠2.∴＝＝.在Rt△＝2.∵∠KOOF2CF2BFOBFBOFOFAODBOFAOD21第2题答图3.(2021，潍坊，导学号5892921)如图，一艘渔船正以60nmile/h的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行h 后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75nmile/h18＋63的速度继续航行()h即可到达．(结5果保存根号)第3题图【解析】如答图，过点P作PQ⊥AB，交AB的延长线于点Q，过点M作MN⊥AB，交AB的延长线于点N.在Rt△AQP中，∠PAQ＝45°，那么AQ＝PQ＝60×＋BQ＝90＋BQ.3BQ＝PQ－90.在Rt△BPQ中，∠BPQ＝30°，那么BQ＝PQ·tan30°＝3PQ.∴PQ－90＝33PQ.∴PQ＝45(3＋3)．∴MN＝PQ＝45(3＋3)．在Rt△BMN中，∠MBN＝30°，∴BM＝2MN22＝90(3＋3)．所以渔船以75nmile/h90〔3＋3〕18＋63的速度继续航行＝(h)即可755到达．第3题答图3(2021，泰安)如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝10，tanC＝4，D是AC边上的动点(不与点重合)，过点⊥，垂足为的中点，连接.设＝，△的面DEBC E BDEFCDxDEF积为S，那么S关于x的函数解析式为(S＝－3x2＋x).25河北省中考数学复习三角形第25讲解直角三角形及其应用试题(含解析)41 / 4141第4 题图334 4【解析】 在Rt△CDE 中，tanC ＝4，CD ＝ x ，∴DE ＝5x ，CE ＝5x .∴BE ＝10－5x .∴S △BED 10－ x· 3＝－62＋3x.∵＝，∴＝ 1△B ED ＝－32＋35x25xDFBFS 2S25x2x.23。

专题八三角形、四边形中的相关证明及计算年份题型考点题号分值难易度2017选择题、填空题、解答题三角形的三边关系、三角形的中位线、三角形全等，三角形的外心、正方形性质、平行四边形性质、矩形的性质9、11、16、17、18、23、253＋2＋2＋3＋3＋9＋11＝33容易题、中等题、较难题2016选择题、填空题、解答题三角形的内心、外心等概念、三角形内外角的关系、三角形全等证明、等边三角形的判定、平行四边形的性质、矩形、菱形、正方形的判定6、9、13、16、19、213＋3＋2＋2＋4＋9＝23容易题、中等题、较难题2015选择题、填空题三角形的中位线、三角形内外角关系、等腰三角形的性质、平行四边形的判15、16、19、20、222＋2＋3＋3＋10＝20容易题、中等题、较难题定、矩形、正方形的性质命题规律此专题是初中几何的重要部分，在历年中考中均有命题，且难易度伸缩性大，既可出容易题，如2017年9，11题，又可出较难题如2016年19题，每年都会在解答题中涉及1～2题，预测2018年选择、填空、解答均会出现.解题策略1．熟练掌握定义、定理，规X推理过程，能够准确运用各种性质、判定定理．2．由已知提供的信息能够快速找到辅助线的做法是突破此类题难点的关键．,重难点突破)三角形的有关计算和证明【例1】(某某中考B卷)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.【解析】(1)要证明AF＝CG，可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到；(2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF＝BG，则只要证明BG＝2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG＝2DE，再证明DG＝BG即可．【答案】证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°.又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(ASA)，∴CF＝BG，AF＝CG；(2)延长CG交AB于点H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H为AB中点．又∵AD⊥AB，∴CH∥AD，∠D＝∠EGC.又∵H为AB中点，∴G为BD中点，∴BG＝DG.∵E为AC中点，∴AE＝EC.又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG(AAS)，∴DE＝EG，∴DG＝2DE，∴BG＝DG＝2DE.由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.1．(2017某某中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE.(1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；(2)求证：BG2－GE2＝EA2.解：(1)BH＝AC.证明：∵∠BDC＝∠BEC＝∠CDA＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BCD＝45°＝∠ABC，∴DB＝DC.又∵∠BHD＝∠CHE，∴∠DBH＝∠DCA.∴△DBH≌△DCA，∴BH＝AC；(2－GE2＝EC2.∵F为BC中点，DB＝DC，∴DF垂直平分BC，∴BG＝GC.∴BG2－GE2＝EC2.∵∠ABE＝∠CBE，∠CEB＝∠AEB，BE＝BE，∴△BCE≌△BAE，∴EC＝EA，∴BG2－GE2＝EA2.【方法指导】熟练应用三角形全等的性质和判定方法，准确判断用哪种方法判定．四边形的有关计算和证明【例2】(某某中考)准备一X矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M 点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．【解析】(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM≌△FBN，从而证出四边形BFDE 是平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE＝∠DBE＝∠DBC＝30°，利用锐角三角函数可求出AE ，BE ，进而求出AD ，DE ，即可求出菱形BFDE 的面积．【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝∠C＝90°，AB ＝CD.由翻折得：BM ＝AB ，DN ＝DC ，∠A ＝∠EMB，∠C ＝∠DNF， ∴BM ＝DN ，∠EMB ＝∠DNF＝90°， ∴BN ＝DM ，∠EMD ＝∠FNB＝90°. ∵AD ∥BC ，∴∠EDM ＝∠FBN， ∴△EDM ≌△FBN(ASA )，∴ED ＝BF ， ∴四边形BFDE 是平行四边形； (2)∵四边形BFDE 是菱形， ∴∠EBD ＝∠FBD.∵∠ABE ＝∠EBD，∠ABC ＝90°， ∴∠ABE ＝13×90°＝30°.在Rt △ABE 中，∵AB ＝2， ∴AE ＝233，BE ＝433，∴ED ＝433，∴AD ＝2 3.∴S 菱形BFDE ＝ED·AB＝433×2＝833.2．(襄阳中考)如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG∥CD 交AF 于点G ，连接DG.(1)求证：四边形EFDG 是菱形；(2)探究线段EG ，GF ，AF 之间的数量关系，并说明理由； (3)若AG ＝6，EG ＝25，求BE 的长．解：(1)由折叠的性质可得，∠AFD ＝∠AFE，FD ＝FE. ∵EG ∥CD ， ∴∠EGF ＝∠AFD， ∴∠EGF ＝∠AFE，∴EG ＝EF ＝FD ，∴EG 綊FD ， ∴四边形EFDG 是平行四边形． 又∵FD＝FE ，∴▱EFDG 是菱形； (2)连接ED 交AF 于点H.∵四边形EFDG 是菱形，∴DE ⊥AF ， FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝D H ＝12DE.∵∠FEH ＝∠FAE＝90°－∠EFA， ∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ，∴EF FH ＝AFEF .即EF 2＝FH·AF， ∴EG 2＝12AF ·GF ；(3)∵AG＝6，EG ＝25，EG 2＝12AF ·GF ，∴(25)2＝12(6＋GF)GF.∵GF>0，∴GF ＝4，∴AF ＝10. ∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45， DE ＝2EH ＝2EG 2－（12GF ）2＝8.∵∠CDE ＋∠DFA＝90°，∠DAF ＋∠DFA＝90°， ∴∠CDE ＝∠DAF，∴Rt △ADF ∽Rt △DCE ， ∴EC DF ＝DE AF ，即EC 25＝810，∴EC ＝855，∴BE ＝BC －EC ＝1255.【方法指导】熟练掌握特殊四边形的性质和判定，注意三种变换在题中穿插考查．。