初中数学——中考数学专题突破篇

北京中考数学压轴题解题方法突破第9版全文共3篇示例，供读者参考考试技巧1、做题时间规划考试写不完，大部分时间花在难题上，建议1到18题25分钟做完，中考第12题或16题若卡住了，思考时间不要多于5分钟，因为做题前5分钟效率是最高的，5到10分钟左右焦虑情绪明显上升，10分钟以后已经不再想题了，而在思考做不出的严重后果，遇到难题该跳则跳。

2、避免审题丢分考试中存在很多由于审题不仔细(多看条件、少看条件、看错条件)丢分案例。

为什么会这样呢?因为我们平时做题太多，遇到类似题，审题就会思维定势，先入为主，主观臆断，不假思索认为是以前做过的题，如在抛物线对称轴上找点很可能看成在抛物线上找点或者在y轴上找点;运动方向大部分题是由下往上，从左往右，习惯性以为都这样已知的;点在直线或线段上等等。

一旦审错题浪费时间更多，所以审题不要着急，一个字一个字读，耐得住这份心，才能审好题。

3、学会检查检查要专注，考查一个人的定力，有没有耐心复查已经做过的题。

当然还要检查答题卡客观题有没有誊错、格式有没有按照规定(分式方程检验、带单位、要写解和证明，分类讨论要写综上所述等等)。

最后检查计算，检查的时候要注意摆正心态。

4、遇到中档题卡住怎么办?保持冷静，影响你的不是题目本身，而是心中杂念，这个时候跳出思维的漩涡，不应该怀疑自己的能力，更应该怀疑的是审题错了，果断重新审题，或者尝试常规解题方法。

5、争取多拿意外的分阅卷老师一般是先找答案，答案正确再看步骤，步骤不严谨扣1-2分，找不到答案或答案错误再重头看有没有能给分的，所以书写要规范、整洁。

中考数学压轴题解题方法1、学会运用数形结合思想数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想。

纵观近几年全国各地的中考压轴题，绝大部分都是与平面直角坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。

专题06 全等三角形中的截长补短模型【模型展示】如图，在△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围。

解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值【证明】延长AD至E，使DE=AD，连接BE,如图所示，△AD是BC边上的中线，△BD=CD在△BDE和△CDA中，BD=CD△BDE=△ADCDE=AE△△BDE△△CDA(SAS)△BE=AC=8在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB-BE＜AE＜AB+BE△12-8＜AE＜12+8△2＜AD＜10【模型证明】如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE△DF于点D，DE交AB于点E,DF 交AC于点F,连接EF，求证：BE+CF＞EF.【证明】延长FD至点M,使DM=DF,连接BM,EM,如图所示，同上例得△BMD△△CFD(SAS)△BM=CF△DE△DF,DM=DF△EM=EF在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD,∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB,AD于E,F两点连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系，并加以证明.【证明】延长AB至点N,使BN=DF,连接CN,如图所示∠∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°∠∠NBC=∠D在∠NBC和∠FDC中BN=DF∠NBC=∠DBC=DC∠∠NBC∠∠FDC（SAS）∠CN=CF,∠NCB=∠FCD∠∠BCD=140°，∠ECF=70°一、解答题1．阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，2B C ∠=∠．求证：AB BD AC +=．李老师给出了如下简要分析：“要证AB BD AC +=就是要证线段的和差问题，所以有两个方法，方法一：‘截长法’如图2，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，只要证BD =__________即可，这就将证明线段和差问题为证明线段相等问题，只要证出__________≌△__________，得出B AED ∠=∠及BD =_________，再证出∠__________=∠___________，进而得出ED EC =，则结论成立．此种证法的基础是‘已知AD 平分BAC ∠，将ABD △沿直线AD 对折，使点B 落在AC 边上的点E 处’成为可能．方法二：“补短法”如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =．只要证AF AC =即可．此时先证∠__________C =∠，再证出_________≌△_________，则结论成立．”“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．【答案】方法一：CE ；转化；ABD ；AED ；DE ；EDC ；C ；方法二：F ；AFD ；ACD【分析】方法一：在AC 上截取AE AB =，由SAS 可证ABD AED ∆≅∆可得B AED ∠=∠，BD=DE ，根据等角对等边得到CE=DE ，即可求证；方法二：延长AB 至点F ，使BF BD =，由AAS 可证AFD ACD ∆≅∆，可得AC=AF ，即可证明．【详解】方法一：在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图2∠AD 平分BAC ∠，∠BAD DAC ∠=∠，在ABD ∆和AED ∆中AE AB BAD DAC AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠ABD AED ∆≅∆，∠B AED ∠=∠，BD=DE ，∠2B C ∠=∠，∠2AED C ∠=∠而2AED C EDC C ∠=∠+∠=∠，∠EDC C ∠=∠，∠DE=CE ，∠AB+BD=AE+CE=AC ，故答案为：CE ；转化；ABD ；AED ；DE ；EDC ；C ；方法二：如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，∠F BDF ∠=∠∠2ABD F BDF F ∠=∠+∠=∠∠2ABD C ∠=∠∠F C ∠=∠在AFD ∆和ACD ∆中FAD CAD F CAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠AFD ACD ∆≅∆，∠AC=AF ，∠AC=AB+BF=AB+BD ，故答案为：F ；AFD ；ACD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线，核心思想为数学中的转化思想，此类题的关键是要找到最长边和最短边，然后确定截取辅助线的方式．2．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．（1）如图1，ABC 是等边三角形，点D 是边BC 下方一点，120BDC ∠=︒，探索线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系．解题思路：延长DC 到点E ，使CE BD =，连接AE ，根据180BAC BDC ∠+∠=︒，可证ABD ACE ∠=∠，易证得ABD ∠ACE ，得出ADE 是等边三角形，所以AD DE =，从而探寻线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系．根据上述解题思路，请写出DA 、DB 、DC 之间的数量关系是______，并写出证明过程；【拓展延伸】（2）如图2，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，若点D 是边BC 下方一点，90BDC ∠=︒，探索线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为2cm 的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ 的平方为多少？【答案】（1）DA =DC +BD ，见解析；（2）()222AD DC BD =+；见解析；（3）2【分析】（1）由等边三角形知AB =AC ，∠BAC =60°，结合∠BDC =120°知∠ABD +∠ACD =180°，由∠ACE +∠ACD =180°知∠ABD =∠ACE ，证∠ABD ∠∠ACE 得AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，再证∠ADE 是等边三角形得DA =DE =DC +CE =DC +DB ．（2）延长DC 到点E ，使CE =BD ，连接AE ，先证∠ABD ∠∠ACE 得AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，据此可得∠DAE =∠BAC =90°，由勾股定理知DA 2+AE 2=DE 2，继而可得2AD 2=（DC +BD ）2；（3）由直角三角形的性质知QN =12MN =1，MQ 2）中的结论知()222PQ QN MQ =+，据此可得答案．【详解】解：（1）DA =DC +BD ，理由如下：∠∠ABC 是等边三角形，∠AB =AC ，∠BAC =60°，∠∠BDC =120°，∠∠ABD +∠ACD =360°-∠BAC -∠BDC =180°，又∠∠ACE +∠ACD =180°，∠∠ABD =∠ACE ，在∠ABD 和∠ACE 中，AB AC ABD ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD ∠∠ACE （SAS ），∠AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，∠∠ABC =60°，即∠BAD +∠DAC =60°，∠∠DAC +∠CAE =60°，即∠DAE =60°，∠∠ADE 是等边三角形，∠DA =DE =DC +CE =DC +DB ，即DA =DC +DB ，故答案为：DA =DC +BD ；（2）()222AD DC BD =+，如图2，延长DC 到点E ，使CE =BD ，连接AE ，∠∠BAC =90°，∠BDC =90°，∠∠ABD +∠ACD =360°-∠BAC -∠BDC =180°，∠∠ACE +∠ACD =180°，∠∠ABD =∠ACE ，∠AB =AC ，CE =BD ，在∠ABD 和∠ACE 中，AB AC ABD ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD ∠∠ACE （SAS ），∠AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，∠∠DAE =∠BAC =90°，∠DA 2+AE 2=DE 2，∠()222AD DC BD =+；（3）如图3，连接PQ ，∠MN =2，∠QMN =30°，∠MQN =90°，∠QN =12MN =1，∠MQ =由（2）知()222PQ QN MQ =+．∠()(2221=222QN MQ PQ ++==【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3．如图，在等边∠ABC 中，点P 是BC 边上一点，∠BAP ＝α（30°＜α＜60°），作点B 关于直线AP 的对称点D ，连接DC 并延长交直线AP 于点E ，连接BE ．（1）依题意补全图形，并直接写出∠AEB 的度数；（2）用等式表示线段AE ，BE ，CE 之间的数量关系，并证明．分析：∠涉及的知识要素：图形轴对称的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质……∠通过截长补短，利用60°角构造等边三角形，进而构造出全等三角形，从而达到转移边的目的．请根据上述分析过程，完成解答过程．【答案】（1）图见解析，∠AEB ＝60°；（2）AE ＝BE ＋CE ，证明见解析【分析】（1）依题意补全图形，如图所示：然后连接AD ，先求出60CAP α∠=︒-，然后根据轴对称的性质得到==PAD BAP α∠∠，AD =AB =AC ，∠AEC =∠AEB ，求出=260CAD α-︒∠，即可求出()1==180=1202ACD ADC CAD α︒-︒-∠∠∠，再由==120EAC AEC ACD α+︒-∠∠∠进行求解即可；（2）如图，在AE 上截取EG ＝BE ，连接BG ．先证明∠BGE 是等边三角形，得到BG ＝BE ＝EG ，∠GBE ＝60°． 再证明∠ABG ＝∠CBE ，即可证明∠ABG ∠∠CBE 得到AG ＝CE ，则AE ＝EG ＋AG ＝BE ＋CE ．【详解】解：（1）依题意补全图形，如图所示：连接AD ，∠∠ABC 是等边三角形，∠∠BAC =60°，AB =AC ，∠BAP α∠=，∠60CAP α∠=︒-，∠B 、D 关于AP 对称，∠==PAD BAP α∠∠，AD =AB =AC ，∠AEC =∠AEB ，∠()==60=260CAD PAD CAP ααα--︒--︒∠∠∠， ∠()1==180=1202ACD ADC CAD α︒-︒-∠∠∠， ∠==120EAC AEC ACD α+︒-∠∠∠，∠60AEC ∠=︒∠∠AEB ＝60°．（2）AE ＝BE ＋CE ．证明：如图，在AE 上截取EG ＝BE ，连接BG ．∠∠AEB ＝60°，∠∠BGE 是等边三角形，∠BG ＝BE ＝EG ，∠GBE ＝60°．∠∠ABC 是等边三角形，∠AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，∠∠ABG ＋∠GBC ＝∠GBC ＋∠CBE ＝60°，∠∠ABG ＝∠CBE ．在∠ABG 和∠CBE 中，AB CB ABG CBE BG BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝，＝，＝， ∠∠ABG ∠∠CBE （SAS ），∠AG ＝CE ，∠AE ＝EG ＋AG ＝BE ＋CE ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，熟知相关知识是解题的关键4．阅读材料：“截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系．截长，即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段．依据上述材料，解答下列问题：如图，在等边ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为边作等边DEF，连接CF．(1)如图，若点D在边BC上，试说明CE CF CD=，+=；（提示：在线段CD上截取CG CE连接EG．）(2)如图，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)FC＝CD+CE【分析】（1）在CD上截取CG＝CE，易证∠CEG是等边三角形，得出EG＝EC＝CG，证明∠DEG∠∠FEC（SAS），得出DG＝CF，即可得出结论；（2）过D作DG AB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出∠GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明∠EGD∠∠FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．（1）证明：在CD上截取CG＝CE，如图1所示：∠∠ABC 是等边三角形，∠∠ECG ＝60°，∠∠CEG 是等边三角形，∠EG ＝EC ＝CG ，∠CEG ＝60°，∠∠DEF 是等边三角形，∠DE ＝FE ，∠DEF ＝60°，∠∠DEG +∠GEF ＝∠FEC +∠GEF ＝60°，∠∠DEG ＝∠FEC ，在∠DEG 和∠FEC 中，DE FE DEG FEC EG EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠∠DEG ∠∠FEC （SAS ），∠DG ＝CF ，∠CD ＝CG +DG ＝CE +CF ，∠CE +CF ＝CD ；（2）解：线段CE ，CF 与CD 之间的等量关系是FC ＝CD +CE ；理由如下：∠∠ABC 是等边三角形，∠∠A ＝∠B ＝60°，过D 作DG AB ，交AC 的延长线于点G ，如图2所示：∠GD AB ，∠∠GDC ＝∠B ＝60°，∠DGC ＝∠A ＝60°，∠∠GDC ＝∠DGC ＝60°，∠∠GCD 为等边三角形，∠DG ＝CD ＝CG ，∠GDC ＝60°，∠∠EDF 为等边三角形，∠ED ＝DF ，∠EDF ＝∠GDC ＝60°，∠∠EDG ＝∠FDC ，在∠EGD 和∠FCD 中，ED DF EDG FDC DG CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠∠EGD ∠∠FCD （SAS ），∠EG ＝FC ，∠FC ＝EG ＝CG +CE ＝CD +CE ．【点睛】此题考查了平行线的性质，三角形全等及其性质，三角形全等的判定，等边三角形的性质等知识，作辅助线构建等边三角形是解题的关键．5．在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法．截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等．这两种方法统称截长补短法．请用这两种方法分别解决下列问题：已知，如图，在∠ABC 中，AB ＞AC ，∠1 = ∠2，P 为AD 上任一点，求证：AB －AC ＞PB －PC【答案】见解析【分析】截长法：在AB 上截取AN =AC ，连结PN ，可证得∠APN ∠∠APC ，可得到PC =PN ，∠BPN 中，利用三角形的三边关系，即可求证；补短法：延长AC 至M ，使AM =AB ，连结PM ，证明∠ABP ∠∠AMP ，可得PB =PM ，在∠PCM 中，利用三角形的三边关系，即可求证．【详解】解：截长法：在AB 上截取AN =AC ，连结PN ，在∠APN和∠APC中∠AN=AC，∠1=∠2，AP=AP，∠∠APN∠∠APC，∠PC=PN，∠∠BPN中有PB－PN＜BN，即PB－PC＜AB－AC；补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM，在∠ABP和∠AMP中，∠AB=AM，∠1=∠2，AP=AP，∠∠ABP∠∠AMP，∠PB=PM，又∠在∠PCM中有CM＞PM－PC，即AB－AC＞PB－PC．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，理解截长补短法是解题的关键．6．例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，∠ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC=120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：将∠ABD绕点A逆时针旋转60°得到∠ACE，可得AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根据∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，则∠ACE+∠ACD=180°，易知∠ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．根据上述解题思路，三条线段DA 、DB 、DC 之间的等量关系是___________；（2）如图2，Rt ∠ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ．点D 是边BC 下方一点，∠BDC =90°，探索三条线段DA 、DB 、DC 之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】(1)DA=DB+DC;(2) 证明见解析.【分析】(1)由旋转60°可得AE =AD ， CE =BD ，∠ABD =∠ACE ，∠DAE =60°，根据∠BAC +∠BDC =180°，可知∠ABD +∠ACD =180°，则 ∠ACE +∠ACD =180°，易知∠ADE 是等边三角形，所以AD =DE ，从而解决问题．(2) 延长DC 到点E,使CE=BD ，连接AE,由已知可得180ABD ACD ︒∠+∠=,根据180ACE ACD ︒∠+∠=,可得ABD ∠=ACE ∠,可证ABD ACE ≅,进而可得AD=AE,BAD CAE ∠=∠,可得90DAE BAC ︒∠=∠=,由勾股定理可得：222DA AE DE +=,进行等量代换可得结论.【详解】(1)结论：DA=DB+DC.理由：∠∠ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到∠ACE ，∠AE=AD ， CE=BD ，∠ABD=∠ACE ，∠DAE=60°，∠∠BAC+∠BDC=180°，∠∠ABD+∠ACD=180°，∠∠ACE+∠ACD=180°，∠D,C,E 三点共线，∠AE=AD ，∠DAE=60°，∠∠ADE 是等边三角形，∠AD=DE ，∠AD=DC+CE=DB+DC;(2)证明如下：如图所示，延长DC 到点E,使CE=BD ，连接AE,∠90BAC ︒∠=,90BDC ︒∠=,∠180ABD ACD ︒∠+∠=,∠180ACE ACD ︒∠+∠=,∠ABD ∠=ACE ∠,∠AB=AC,CE=BD,∠ABD ACE ≅(SAS),∠AD=AE, BAD CAE ∠=∠,∠90DAE BAC ︒∠=∠=,∠222DA AE DE +=,∠()222DA DB DC =+,【点睛】本题主要考查了截长补短的方法，通过全等三角形得到线段间的等量关系，正确作出辅助线找到全等三角形是解题的关键.7．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD ，若AC=2cm ，求四边形ABCD 的面积． 解：延长线段CB 到E ，使得BE=CD ，连接AE ，我们可以证明∠BAE∠∠DAC ，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD ，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S 四边形ABCD =S ∠ABC +S ∠ADC =S ∠ABC +S ∠ABE =S ∠AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为 cm 2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN 的面积．【答案】（1）2；（2）4【分析】（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC 的面积即可；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，由（1）易证FGH FNK ≌，则有FK=FH ，因为HM=GH+MN 易证FMK FMH ≌，故可求解．【详解】（1）由题意知21=22ABC ADC ABC ABE AEC ABCD AC S SS S S S =+=+==四边形， 故答案为2；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，如图所示：FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，∴∠FNK=∠FGH=90°，∴FGH FNK ≌， ∴FH=FK ，又FM=FM ，HM=KM=MN+GH=MN+NK ，∴FMK FMH ≌，∴MK=FN=2cm ，∴12=242FGH HFM MFN FMK FGHMN S S S S S MK FN =++=⨯⋅=五边形． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用．8．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．（1）如图∠，∠ABC 是等边三角形，点D 是边BC 下方一点，连结DA DB DC 、、，且120BDC ∠=︒，探索线段DA DB DC 、、之间的数量关系．解题思路：延长DC 到点E ，使CE BD =，连接AE ，根据180BAC BDC ∠+=︒，则180ABD ACD ∠+∠=︒，因为180ACD ACE ∠+∠=︒可证ABD ACE ∠=∠，易证得∠ABD ∠∠ACE ，得出∠ADE 是等边三角形，所以AD DE =，从而探寻线段DA DB DC 、、之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出DA DB DC 、、之间的数量关系是 ；【拓展延伸】（2）如图∠，在Rt∠ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =．若点D 是边BC 下方一点，90BDC ∠=︒，探索线段DA DB DC 、、之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】（3）如图∠，两块斜边长都为2cm 的三角板，把斜边重叠摆放在一起，已知30所对直角边等于斜边一半，则PQ 的长为_____________cm ．（结果无需化简）【答案】（1）DA DB DC =+；（2DC DB =+ 证明见解析；（3． 【分析】（1）由等边三角形知AB =AC ，∠BAC =60°，结合∠BDC =120°知∠ABD +∠ACD =180°，由∠ACE +∠ACD =180°知∠ABD =∠ACE ，证∠ABD ∠∠ACE 得AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，再证∠ADE 是等边三角形得DA =DE =DC +CE =DC +DB ．（2）延长DC 到点E ，使CE =BD ，连接AE ，先证∠ABD ∠∠ACE 得AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，据此可得∠DAE =∠BAC =90°，由勾股定理知DA 2+AE 2=DE 2，继而可得2DA 2=（DB +DC ）2；（3）由直角三角形的性质知QN =12MN =1，MQ 2）中的结论知=QN +QM 【详解】解：（1）DA =DC +DB ，理由：∠∠ABC 是等边三角形，∠AB =AC ，∠BAC =60°，∠∠BDC =120°，∠∠ABD +∠ACD =180°，又∠∠ACE +∠ACD =180°，∠∠ABD =∠ACE ，在∠ABD 和∠ACE 中，AB AC ABD ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD ∠∠ACE （SAS ），∠AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，∠∠ABC =60°，即∠BAD +∠DAC =60°，∠∠DAC +∠CAE =60°，即∠DAE =60°，∠∠ADE 是等边三角形，∠DA =DE =DC +CE =DC +DB ，即DA =DC +DB ，故答案为：DA =DC +DB ；（2DA =DB +DC 如图2，延长DC 到点E ，使CE =BD ，连接AE ，∠∠BAC =90°，∠BDC =90°∠∠ABD +∠ACD =180°，∠∠ACE +∠ACD =180°，∠∠ABD =∠ACE ，∠AB =AC ，CE =BD ，在∠ABD 和∠ACE 中，AB AC ABD ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD ∠∠ACE （SAS ），∠AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，∠∠DAE =∠BAC =90°，∠DA 2+AE 2=DE 2，∠2DA 2=（DB +DC ）2，=DB +DC ；（3）如图3，连接PQ ，∠MN=2，∠QMN=30°，MN=1，∠QN=12∠MQ由（2=QN+QM∠PQ，．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．9．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．(1)如图1，∠ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD ＝∠ACE易证得∠ABD∠∠ACE，得出∠ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是______；【拓展延伸】(2)如图2，在Rt∠ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】(3)如图3，两块斜边长都为4cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的长为______cm．【答案】(1)DA=DB+DCDA=DB+DC；理由见解析=(3)PQ cm【分析】（1）延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°，知∠ABD+∠ACD=180°，则∠ABD=∠ACE，证得∠ABD∠∠ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证明∠ADE是等边三角形，等量代换可得结论；（2）同理可证∠ABD∠∠ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，由勾股定理得222+=，DA AE DE等量代换即得结论；（3）由直角三角形的性质可得QN的长，由勾股定理可得MQ的长，由（2）知=+，由此可求得PQ长．QN QM（1）（1）延长DC到点E，使CE＝B D，连接AE，∠∠ABC是等边三角形，∠AB=AC，∠BAC=60°，∠∠BDC=120°，∠∠BAC+∠BDC=180°，∠∠ABD+∠ACD=180°，又∠∠ACE+∠ACD=180°，∠∠ABD=∠ACE，∠∠ABD∠∠ACE(SAS)，∠AD=AE，∠BAD=∠CAE，∠∠BAC=60°，∠∠BAD+∠DAC=60°，∠∠DAE=∠DAC+∠CAE=60°，∠∠ADE是等边三角形，∠DA=DE=DC+CE=DC+DB，（2）=DB+DC，理由如下：延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，∠∠BAC =90°，∠BDC =90°，∠∠ABD +∠AC D=180°又∠∠ACE +∠ACD =180°，∠∠ABD =∠ACE ，∠AB=AC ，CE=BD ，∠∠ABD ∠∠ACE (SAS )，∠AD=AE ，∠BAD=∠CAE ，∠∠DAE=∠BA C =90°，∠222DA AE DE +=，∠()222DA DB DC =+，DB DC =+，（3）如图所示：连接PQ ，∠4MN cm =，∠QMN =30°， ∠122QN MN cm ==，根据勾股定理得QM ，由（2QN QM =+，∠PQ cm ==，【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形和等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．10．现阅读下面的材料，然后解答问题：截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段．请用截长法解决问题（1）（1）已知：如图1等腰直角三角形ABC 中，90B ∠=︒，AD 是角平分线，交BC 边于点D ．求证：AC AB BD =+．请用补短法解决问题（2）（2）如图2，已知，如图2，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，AD 是ABC ∆的角平分线．求证：AC AB BD =+．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据截长法，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，通过题目条件可证()ADB ADE SAS ∆≅∆，进而证得DEC ∆是等腰直角三角形，等量代换即可得；（2）根据补短法，延长AB 到F ，使AF AC =，连接DF ，根据已知条件可证()FAD CAD SAS ∆≅∆，进而可证BD BF =，等量代换即可得证．【详解】（1）证明：如图1，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，∠AD 是角平分线，∠BAD EAD ∠=∠在ADB ∆和ADE ∆中AB AE BAD EAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()ADB ADE SAS ∆≅∆∠90AED B ∠=∠=，DE DB =又∠ABC ∆是等腰直角三角形，∠45C ∠=，∠DEC ∆是等腰直角三角形，∠DE EC =，∠AC AE EC AB BD =+=+．（2）如图2，延长AB 到F ，使AF AC =，连接DF ，∠AD 是ABC ∆的角平分线，∠FAD CAD ∠=∠在FAD ∆和CAD ∆中AF AC FAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()FAD CAD SAS ∆≅∆，∠C F ∠=∠∠2ABC C ∠=∠，ABC F BDF ∠=∠+∠，∠F BDF ∠=∠，∠BD BF =，∠AC AF AB BD ==+．【点睛】本题考查了截长法和补短法两种方法证明线段和的问题，三角形全等的判定和性质的应用，角平分线的性质应用，等量代换的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．11．数学课上，小白遇到这样一个问题：如图1，在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD AE =，求证ABE ACD ∠=∠； 在此问题的基础上，老师补充：过点A 作AF BE ⊥于点G 交BC 于点F ，过F 作FP CD ⊥交BE 于点P ，交CD 于点H ，试探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，AFB ∠与HFC ∠有某种数量关系；小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：（1）求证ABE ACD ∠=∠；（2）猜想AFB ∠与HFC ∠的数量关系，并证明；（3）探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）HFC BFA ∠=∠，证明见解析；（3）BP AF PF =+，证明见解析【分析】（1）利用SAS 证明ABE ACD ≅可得结论；（2）设ABE ACD x ∠=∠=，推出=45BFA x ∠︒+，=45HFC x ∠︒+，即可证明HFC BFA ∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，证明∠ABE∠∠CAM ，得出BE AM =和M BEA ∠=∠，从而证明∠NFC∠∠MFC ，得到FM FN =和M FNC ∠=∠，可得PN=PE ，从而得出BP=AF+PF.【详解】解：（1）∠在∠ABE 和∠ACD 中，==AB AC A A AE AD ⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩，ABE ACD ∴∆≅∆（SAS ），ABE ACD ∴∠=∠；（2）设ABE ACD x ∠=∠=， AF BE ⊥，90BAF x ∴∠=︒-，()=9045=45BFA x x ∴∠︒-︒-︒+，ACD x ∠=，45HCF x ∴∠=︒-，FP CD ⊥，()9045=45HFC x x ∴∠=︒-︒-︒+，HFC BFA ∴∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，90BAF FAC ∠+∠=︒，90BAF ABG ∠+∠=︒，FAC ABG ∴∠=∠，在∠ABE 和∠CAM 中，===BAE ACM AB AC ABE CAM ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩， ABE CAM ∴∆≅∆（ASA ），BE AM ∴=，M BEA ∠=∠，BFA MFC NFC ∠=∠=∠，FC FC =，45ACB BCM ∠=∠=︒，NFC MFC ∴∆≅∆（ASA ），FM FN ∴=，M FNC ∠=∠，FNC BEA ∴∠=∠，PN PE ∴=，∠BP BE PE AM PE AF FM PE =-=-=+-AF FN PN AF PF =+-=+.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及等角对等边等知识点，解题的关键是根据截长补短法添加适当的辅助线，构造全等三角形证明结论，有一定难度.12．【初步探索】截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，∠ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系；【灵活运用】（2）如图2，∠ABC为等边三角形，直线a∠AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD＋CE＝CA；【延伸拓展】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE＋FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．【答案】（1）DA=DC+DB，证明见详解；（2）见详解；（3）∠EAF=11802DAB︒-∠，证明见详解.【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证∠ABD∠∠ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证∠ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB；（2）首先在AC上截取CM=CD，由∠ABC为等边三角形，易得∠CDM是等边三角形，继而可证得∠ADM∠∠EDC，即可得AM=EC，则可证得CD+CE=CA；（3）在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先判定∠ADG∠∠ABE，再判定∠AEF∠∠AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，进而推导得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出结论．【详解】（1）如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，∠∠ABC是等边三角形，∠AB=AC，∠BAC=60°，∠∠BDC=120°，∠∠ABD+∠ACD=180°，又∠∠ACE+∠ACD=180°，∠∠ABD=∠ACE，∠∠ABD∠∠ACE（SAS），∠AD=AE，∠BAD=∠CAE，∠∠BAC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，∠∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°，∠∠ADE是等边三角形，∠DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB；（2）证明：在AC上截取CM=CD，∠∠ABC是等边三角形，∠∠ACB=60°，∠∠CDM是等边三角形，∠MD=CD=CM，∠CMD=∠CDM=60°，∠∠AMD=120°，∠∠ADE=60°，∠∠ADE=∠MDC ，∠∠ADM=∠EDC ，∠直线a∠AB ，∠∠ACE=∠BAC=60°，∠∠DCE=120°=∠AMD ，在∠ADM 和∠EDC 中，ADM EDC MD CDAMD ECD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠∠ADM∠∠EDC(ASA)，∠AM=EC ，∠CA=CM+AM=CD+CE ；即CD+CE=CA.（3）∠EAF=11802DAB ︒-∠； 证明：如图3，在DC 延长线上取一点G ，使得DG=BE ，连接AG ，∠∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∠∠ADC=∠ABE ，又∠AB=AD ，∠∠ADG∠∠ABE （SAS ），∠AG=AE ，∠DAG=∠BAE ，∠EF=BE+FD=DG+FD=GF ，AF=AF ，∠∠AEF∠∠AGF （SSS ），∠∠FAE=∠FAG ，∠∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，∠2∠FAE+（∠GAB+∠BAE ）=360°，∠2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°，即2∠FAE+∠DAB=360°，∠∠EAF=11802DAB︒-∠.【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．13．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，∠ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE，易证∠ABD∠∠ACE，得出∠ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而解决问题．根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是；（直接写出结果）（2）如图2，Rt∠ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】（1）DA＝DB＋DC；（2＝DB＋DC（或写成2DA2＝(DB＋DC)2），证明详见解析.【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证∠ABD∠∠ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证∠ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB．（2）延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，先证∠ABD∠∠ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，据此可得∠DAE=∠BAC=90°，由勾股定理知DA2+AE2=DE2，继而可得2DA2=（DB+DC）2.【详解】解：（1）如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，∠∠ABC是等边三角形，∠AB=AC，∠BAC=60°，∠∠BDC=120°，∠∠ABD+∠ACD=180°，又∠∠ACE+∠ACD=180°，∠∠ABD=∠ACE，∠∠ABD∠∠ACE（SAS），∠AD=AE，∠BAD=∠CAE，∠∠ABC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，∠∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°，∠∠ADE是等边三角形，∠DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB，故答案为DA=DC+DB；（2DA＝DB＋DC（或写成2DA2＝(DB＋DC)2）．延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE．∠∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∠∠ABD＋∠ACD＝180°．∠∠ACE＋∠ACD＝180°，∠∠ABD＝∠ACE．又∠AB＝AC，CE＝BD，∠∠ABD∠∠ACE．∠AD ＝AE ，∠BAD＝∠CAE ．∠∠DAE＝∠BAC＝90°．∠DA 2＋AE2＝DE 2．∠2DA 2＝(DB ＋DC )2．＝DB ＋DC ．【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．14．【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系．截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等．【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，90CAD CBD ∠=∠=︒，组成一个四边形ACBD ，以D 为顶点作MDN ∠，交边AC BC 、于M 、N ．(1)若30ACD ∠=︒，60MDN ∠=︒，证明：AM BN MN +=；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长CB 到点E ，使BE AM =，连接DE ，先证明DAM DBE ≌，再证明MDN EDN △≌△，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程；(2)当90ACD MDN ∠+∠=︒时，AM MN BN 、、三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明）(3)如图∠，在（2）的条件下，若将M 、N 改在CA BC 、的延长线上，完成图∠，其余条件不变，则AM MN BN 、、之间有何数量关系？证明你的结论．【答案】(1)证明见解析(2)AM BN MN +=(3)BN AM MN -=，证明见解析【分析】（1）根据题意得AD =BD ，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ，利用全等三角形的判定得出()SAS DAM DBE △≌△，()SAS MDN EDN △≌△，再根据全等三角形的性质结合图形即可证明；（2）证明方法与（1）一致，证明即可；（3）在CB 截取BE AM =，连接DE ，利用全等三角形的判定得出()SAS DAM DBE △≌△，()SAS MDN EDN △≌△再根据全等三角形的性质结合图形即可得出结果．（1）证明：根据题意得：AD =BD ，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE∠90A CBD ∠=∠=︒，∠90A EBD ∠=∠=︒，在DAM △和DBE 中AM BE A DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()SAS DAM DBE △≌△，∠∠=∠BDE MDA ，DM DE =，∠60MDN ADC ∠=∠=︒，∠ADM NDC ∠=∠，∠BDE NDC ∠=∠，∠60NDC NDB ∠+∠=︒∠60BDE NDB NDE ∠+∠=∠=︒∠MDN NDE ∠=∠，在MDN △和EDN △中DM DE MDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()SAS MDN EDN △≌△，∠MN NE =，。

题型四几何综合、探究题某某市中考创新试题对几何的考查涉及平行线与相交线、三角形、四边形、圆、图形变化、视图与投影几部分，考题多以填空题、选择题、解答题、实践操作题、拓展探究题等形式出现．这部分内容的考题大多为容易题或中难题，但有的与其他知识点综合在一起出现高难度题．高难度题目在填空、选择、解答题中都有，主要综合了三角形、四边形、圆、图形变化等知识．题目涉及图形的面积、动态几何、比例线段、比例性质、圆的相关定理．考查学生的知识面、逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．【例1】如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，OP交⊙O于点C，连结BO并延长交⊙O于点D，交PA的延长线于点E，连结AD，BC.下列结论：①AD∥PO；②△ADE∽△PCB；③tan∠EAD＝EDEA；④BD2＝2AD·OP.其中一定正确的是(A)A．①③④B．②④C．①②③D．①②③④【解析】连结OA，如图，根据切线的性质得∠APO＝∠BPO，OA⊥PA，OB⊥PB，根据等角的余角相等得∠2＝∠4，再利用三角形外角性质可得∠3＝∠4，于是可判断OP∥AD，则可对①进行判断；根据平行线的性质，由OP∥AD，得到∠ADE＝∠POE，再利用邻补角定义得∠POE＋∠COB＝180°，∠PCB＋∠OCB＝180°，由于∠COB≠∠OCB，则∠PCB≠∠ADE，所以不能判断△ADE∽△PCB，则可对②进行判断；根据平行线分线段成比例定理，由OP∥AD 得EA AP ＝ED DO ，且∠EAD＝∠EPO，则ED EA ＝DO AP ，再在Rt △AOP 中，利用正切定理得到tan ∠APO ＝OAAP ＝OD AP ，所以tan ∠EAD ＝ED EA ，则可对③进行判断；连结AB ，证明Rt △ABD ∽△BPO 得到AO OB ＝BD OP ，由OB ＝12BD 即可得到BD 2＝2AD·OP，则可对④进行判断．【答案】A【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连结圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了相似三角形的判定与性质．【例2】如图为一个半径为4 m 的圆形广场，其中放有六个宽为1 m 的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在广场边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为________m .【解析】设圆心是O ，连结OA ，OB ，作OC⊥BC 于C.设长方形的摊位长是2x m ，在直角△OAD 和直角△OBC 中，利用勾股定理和三角函数表示出OC 和OD 的长，根据OC －OD ＝1即可列方程求得．【答案】－3＋372【点评】本题考查了正多边形的计算，解正多边形的问题最常用的方法是转化为直角三角形的计算问题，解方程是本题的关键．【例3】(2015某某中考模拟)在图①至图③中，点B 是线段AC 的中点，点D 是CE 的中点，△BCF 和△CDG 都是等边三角形，点M 为AE 的中点，连结FG.(1)如图①，若点E 在AC 的延长线上，点M 与点C 重合，则△FMG________(选填“是”或“不是”)等边三角形；(2)将图①中的CE 缩短，得到图②.求证：△FMG 为等边三角形；(3)将图②中的CE 绕点E 顺时针旋转一个锐角，得到图③.求证：△FMG 为等边三角形．【解析】(1)如图①，易证FM ＝BM ＝MD ＝MG ，∠FMG ＝60°，即可得到△FMG 是等边三角形；(2)如图②，易证BD ＝BC ＋CD ＝AM ，从而可得MD ＝AB.由△BCF 和△CDG 都是等边三角形，可得BF ＝BC ，CD ＝GD ，∠FBC ＝60°，∠GDC ＝60°，从而可证到MD ＝BF ，BM ＝GD ，进而可得到△FBM≌△MDG，则有MF ＝GM ，∠BFM ＝∠D MG ，从而可证到∠FMG＝60°，即可得到△FMG 为等边三角形；(3)如图③，连结BM ，DM ，根据三角形中位线定理可得BM∥CE，BM ＝12CE ＝CD ，DM ∥AC ，DM ＝12AC ＝BC.再根据△BCF 和△CDG 都是等边三角形，可得BF ＝BC ，CD ＝GD ，∠FBC ＝60°，∠GDC ＝60°，从而得到BF ＝BC ＝DM ，BM ＝CD ＝GD ，∠FBC ＝∠GDC.由BM∥CE，DM ∥AC ，可得四边形BCDM 是平行四边形，从而得到∠BMD＝∠DCB＝120°，∠CDM ＝∠MBC＝60°，即可得到∠FBM ＝∠GDM＝120°，即可得到△FBM≌△MDG，则有MF ＝GM ，∠FMB ＝∠MGD，从而可得∠FMG＝∠BMD－∠FMB－∠GMD＝∠BMD－∠MGD－∠GMD ＝60°，即可得到△FMG 为等边三角形．【答案】解：(1)是；(2)如图②，∵点B 是线段AC 的中点，点D 是CE 的中点，点M 为AE 的中点， ∴AB ＝BC ＝12AC ，CD ＝DE ＝12CE ，AM ＝ME ＝12AE ，∴BD ＝BC ＋CD ＝12AC ＋12CE ＝12AE ＝AM ，即BM ＋MD ＝BM ＋AB ，∴MD ＝AB. ∵△BCF 和△CDG 都是等边三角形，∴BF ＝BC ，CD ＝GD ，∠FBC ＝60°，∠GDC ＝60°， ∴MD ＝AB ＝BC ＝BF ，BM ＝BC －MC ＝MD －MC ＝CD ＝GD.在△FBM 和△MDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝DM ，∠FBM ＝∠MDG，BM ＝DG ，∴△FBM ≌△MDG ， ∴MF ＝GM ，∠BFM ＝∠DMG. ∵∠BFM ＋∠FMB＋∠FBM ＝180°， ∠DMG ＋∠FMB＋∠FMG＝180°， ∴∠FMG ＝∠FBM＝60°， ∴△FMG 为等边三角形； (3)如图，连结BM ，DM.∵点B 是线段AC 的中点，点D 是CE 的中点， 点M 为AE 的中点，∴BM ∥CE ，BM ＝12CE ＝CD ，DM ∥AC ，DM ＝12AC ＝BC.∵△BCF 和△CDG 都是等边三角形，∴BF ＝BC ，CD ＝GD ，∠FBC ＝60°，∠GDC ＝60°， ∴BF ＝BC ＝DM ，BM ＝CD ＝GD ，∠FBC ＝∠GDC. ∵BM ∥CE ，DM ∥AC ，∴四边形BCDM 是平行四边形，∴∠BMD ＝∠DCB＝120°，∠CDM ＝∠MBC＝60°， ∴∠FBM ＝∠GDM＝120°.在△FBM 和△MDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝DM ，∠FBM ＝MDG ，BM ＝DG ，∴△FBM ≌△MDG ， ∴MF ＝GM ，∠FMB ＝∠MGD，∴∠FMG ＝∠BMD－∠FMB－∠GMD＝∠BMD－∠MGD－∠GMD＝120°－(180°－120°)＝60°，∴△FMG为等边三角形．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质等知识，借鉴解决第(2)小题的经验(通过证明△FBM≌△MDG来解决问题)，是解决第(3)小题的关键．【针对练习】1．如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是(B)A．12πB．24πC．6πD．36π,(第1题图)) ,(第2题图)) 2．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝6，将其折叠，使点D与点B重合，tan∠BFE的值是(D)A.12B．1 C．2 D．33．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BO C＝(A)A．130°B．100°C．50°D．65°,(第3题图)) ,(第4题图)) 4．如图，BC是半径为1的⊙O的直径，点P在BC的延长线上，PA是⊙O的切线，A为切点，AD⊥BC于点D，且点D是OC中点，则PB· PC＝ __3__．5．(2014某某创新考试)如图，一组平行线l1，l2，l3分别与∠O的两边相交于点A1，A2，A3和点B1，B2，B3，且梯形A1B1B2A2，A2B2B3A3的面积相等．设线段OA1＝1，OA2＝2，则线段A2A3＝__7－2__．,(第5题图)) ,(第6题图))6．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点F ，若BF ＝AC ，则∠ABC＝__45__°. 7．(2015某某拔尖考试)如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ACB ＝90°，E 为BC 上一点，连结AE 与OC 交于点D ，∠CAE ＝∠CBA.(1)求证：AE⊥OC；(2)若⊙O 的半径为5，AE 的长为6，求AD 的长． 解： (1)∵∠ACB＝90°， ∴∠CBA ＋∠CAB＝90°. ∵∠CAE ＝∠CBA， ∴∠CAE ＋∠CAB＝90°. ∵OA ＝OC ， ∴∠CAO ＝∠ACO， ∴∠CAE ＋∠ACO＝90°， ∴∠ADC ＝90°， ∴AE ⊥OC ；(2)∵∠CAE＝∠CBA，∠ACB ＝∠ACE， ∴△ACE ∽△BCA ， ∴CE AC ＝AE AB ＝610＝35， ∴设AC ＝5x ，CE ＝3x ，∴AE ＝（5x ）2＋（3x ）2＝34x ＝6， ∴x ＝33417，∴AC ＝153417，∵∠CAE ＝∠CAD，∠ACE ＝∠ADC，∴△ACD∽△AEC，∴ACAE＝ADAC，∴AD＝AC2AE＝7517.8．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，tan∠ADC＝2.(1)求证：DC＝BC；(2)E是梯形内一点，连结DE，CE，将△DCE绕点C顺时针旋转90°，得△BCF，，并证明你的结论；(3)在(2)的条件下，当CE＝2BE，∠BEC＝135°时，求cos∠BFE的值．解：(1)作AP⊥DC于点P.∵AB∥CD，∠ABC＝90°，∴四边形APCB是矩形，∴PC＝AB＝2，AP＝BC＝4.在Rt△ADP中，tan∠ADC＝APDP＝2，∴DP＝2，∴DC＝DP＋PC＝4＝BC；(2)EF＝2CE.证明如下：由△DCE绕点C顺时针旋转90°得△BCF，∴CF＝CE，∠ECF＝90°，∴EF＝CF2＋CE2＝2CE2＝2CE；(3)由(2)得∠CEF＝45°.∵∠BEC＝135°，∴∠BEF＝90°.设BE＝a，则CE＝2a，∴EF ＝2CE 2＝22a.在Rt △BEF 中，由勾股定理得：BF ＝3a ， ∴cos ∠BFE ＝EF BF ＝223.9．半径为2.5的⊙O 中，直径AB 的不同侧有定点C 和动点P.已知BC∶CA＝4∶3，点P 在AB ︵上运动，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q.(1)当点P 与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长； (2)当点P 运动到AB ︵的中点时，求CQ 的长；(3)当点P 运动到什么位置时，CQ 取到最大值？求此时CQ 的长． 解：(1)当点P 与点C 关于AB 对称时，CP ⊥AB ，设垂足为D. ∵AB 为O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，AB ＝5. 又∵BC∶CA＝4∶3， ∴BC ＝4，AC ＝3. 又∵AC·BC＝AB·CD， ∴CD ＝125，∴PC ＝245.在Rt △ACB 和Rt △PCQ 中，∠ACB ＝∠PCQ＝90°，∠CAB ＝∠CPQ， ∴Rt △ACB ∽Rt △PCQ ， ∴AC BC ＝PC CQ， ∴CQ ＝BC ·PC AC ＝43PC ＝325；(2)当点P 运动到AB ︵的中点时，过点B 作BE⊥PC 于点E ，如答图．∵P 为AB ︵的中点， ∴∠PCB ＝45°， CE ＝BE ＝22BC ＝2 2. 又∠CPB＝∠CAB，∴tan ∠CPB ＝tan ∠CAB ＝43，∴PE ＝BE tan ∠CPB ＝322，∴PC ＝PE ＋EC ＝722，∴CQ ＝tan ∠CPB ·PC ＝1423；(3)点P 在弧AB 上运动时，恒有 CQ ＝BC ·PC AC ＝43PC ；故PC 最大时，CQ 取到最大值．当PC 过圆心O ，即PC 取最大值5时，CQ 最大值为203.10．在矩形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，点M 为BC 边上一动点(点M 与点B ，C 不重合)，连结AM ，过点M 作MN⊥AM，垂足为M ，MN 交CD 或CD 的延长线于点N.(1)求证：△CMN∽△BAM；(2)设BM ＝x ，＝y ，求y 关于x 的函数表达式．当x 取何值时，y 有最大值？并求出y 的最大值；(3)当点M 在BC 上运动时，求使得下列两个条件都成立的b 的取值X 围：①点N 始终在线段CD 上，②点M 在某一位置时，点N 恰好与点D 重合．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝∠C＝90°， ∴∠BAM ＋∠AMB＝90°. ∵MN ⊥AM, 即∠AMN＝90°， ∴∠CMN ＋∠AMB＝90°， ∴∠BAM ＝∠CMN， ∴△CMN ∽△BAM ； (2)∵△CMN∽△BAM， ∴CMBA ＝BM. ∵BM ＝x ，＝y ，AB ＝a ，BC ＝AD ＝b ， ∴b －x a ＝yx， ∴y ＝1a (bx －x 2)＝－1a(x 2－bx)＝－1a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 22－b 24＝－1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 22＋b 24a∵－1a<0，∴当x ＝b 2时，y 取最大值，最大值为b24a ；(3)由题可知：当0<x<b 时，y 的最大值为a ，即b24a ＝a ，解得b ＝2a.∴要同时满足两个条件，b 的值为2a.11．如图，⊙O 的半径为1，直线CD 经过圆心O ，交 ⊙O 于C ，D 两点，直径AB⊥CD，点M 是直线CD 上异于点C，O，D的一个动点，AM所在的直线交⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM＝PN.(1)当点M在⊙O内部，如图①，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；(2)当点M在⊙O外部，如图②，其他条件不变时，(1)的结论是否还成立？请说明理由；(3)当点M在⊙O外部，如图③，∠AMO＝15°，求图中阴影部分的面积．解：(1)PN与⊙O相切．如图①，连结ON，则∠ONA＝∠OAN，∵PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN.∵∠AMO＝∠PMN，∴∠PNM＝∠AMO，∴∠PNO＝∠PNM＋∠ONA＝∠AMO＋∠OAN＝90°，即PN与⊙O相切；(2)成立．如图②，连结ON，则∠ONA＝∠OAN.∵PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN.在Rt△AOM中，∵∠OMA＋∠OAM＝90°，∴∠PNM＋∠ONA＝90°，∴∠PNO＝180°－90°＝90°，即PN与⊙O相切；(3) 如图③，连结ON，由(2)可知∠ONP＝90°.∵∠AMO＝15°，PM＝PN，∴∠PNM＝15°，∠OPN＝30°，∴∠PON＝60°，∠AON＝30°. 作NE⊥OD，垂足为点E，则NE＝ON·sin60°＝1×32＝32，∴S阴影＝S△AOC＋S扇形AON－S△CON＝12OC·OA＋30360×π×12－12CO·NE＝12＋112π－34.。

初中数学函数专题--一次函数第3节两直线特殊位置关系--平行、垂直内容导航方法点拨知识点1 两直线平行如图，直线b∥a，那么kb =ka，若已知ka及C的坐标即可求出直线b的解析式。

知识点2 两直线垂直如图，直线c⊥a，那么kc *ka=-1，若已知ka及C或B的坐标即可求出直线c的解析式。

（针对这一性质，初中不要求掌握，一般用全等、相似的方法求解）例题演练例1．1．如图所示，直线l1：y＝﹣x+b，过点A（﹣3，0），交y轴于点B，将直线l1向上平移6个单位得到直线l2与y轴交于点C，已知直线l3：y＝x+c与直线l1交于点D，且过点C，连接AC．（1）求直线l3的解析式和点D的坐标；（2）求△ACD的面积．【解答】解：（1）∵直线l1：y＝﹣x+b，过点A（﹣3，0），∴0＝4+b，∴b＝﹣4，∴直线l1为y＝﹣x﹣4，将直线l1向上平移6个单位长度，得直线l2：y＝﹣x+2，令x＝0，则y＝2，∴C（0，2），∵点C在直线l3：y＝x+c上，∴c＝2，∴直线l3的解析式为y＝x+2；解得，∴D（﹣，﹣2）；（2）∵直线l1：y＝﹣x﹣4，交y轴于点B，∴B（0，﹣4），∴BC＝6，∴S△ACD＝S△ABC﹣S△BCD＝3﹣×＝．练1.1．如图，直线l1：y＝x+m与y轴交于点B，与x轴相交于点F．直线l2：y＝kx﹣9与x轴交于点A，与y轴交于点C，两条直线相交于点D，连接AB，且OA：OC：AB＝1：3：．（1）求直线l1、l2的解析式；（2）过点C作l3∥l1交x轴于点E，连接BE、DE．求△BDE的面积．【解答】解：（1）∵直线l2：y＝kx﹣9与y轴交于点C，∴C（0，﹣9），OC＝9，∵OA：OC：AB＝1：3：，∴OA＝3，AB＝3，∴A（3，0），OB＝＝6，∴B（0，6），将点A坐标代入直线l2：y＝kx﹣9得，0＝3k﹣9，解得：k＝3，，∴直线l2的解析式为y＝3x﹣9，将点B坐标代入直线l1：y＝x+m得，m＝6，∴直线l1的解析式为y＝x+6；（2）∵直线l1的解析式为y＝x+6；l3∥l1且过点C，C（0，﹣9），∴直线l3：y＝x﹣9，∴点E（18，0），点F（﹣12，0），∴EF＝30，∵直线l1、l2相交于点D，∴，解得：，∴点D（6，9），∴S△BDE＝S△DEF﹣S△BEF＝×30×9﹣×30×6＝45．练1.2．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线CD与x轴、y轴分别交于分别交于点C、点D，直线AB的解析式为y＝﹣x+5，直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0），两直线交于点E（m，），且OB：OC＝5：4．（1）求直线CD的解析式；（2）将直线CD向下平移一定的距离，使得平移后的直线经过A点，且与y轴交于点F，求四边形AEDF的面积．【解答】解：（1）将点E（m，）代入直线AB的解析式y＝﹣x+5，解得m＝，∴点E的坐标为（，），OB：OC＝5：4，OB＝5，∴OC＝4，∴点C坐标为（﹣4，0），将点E（，），点C（﹣4，0），代入直线CD的解析式y＝kx+b中，解得所以直线CD解析式为y＝x+2．（2）当y＝0时，﹣x+5＝0，解得x＝8，所以A点坐标为（8，0），∵直线CD向下平移一定的距离，平移后的直线经过A点，且与y轴交于点F，∴设直线AF的解析式为y＝x+d，把A（8，0）代入得d＝﹣4，所以直线AF的解析式为y＝x﹣4．所以点F的坐标为（0，﹣4）．如图，作EG⊥x轴于点G，所以四边形AEDF的面积为：S梯形ODEG+S△AEG+S△AOF＝（2+）×+××（8﹣）+4×8＝32．答：四边形AEDF的面积为32．练1.3．如图，直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝kx+b交于点E（m，4），直线l1与坐标轴交于点A、B，l2与x轴和y轴分别交于点C、D，且OC＝2OB，将直线l1向下平移7个单位得到直线l3，交l2于点F，交y轴于点G，连接GE．（1）求直线CD的解析式；（2）求△EFG的面积．【解答】解：（1）∵直线l1：y＝x+3经过点E（m，4），∴4＝+3，解得m＝2，∴E（2，4），∵直线l1与坐标轴交于点A、B，∴A（﹣6，0），B（0，3），∵OC＝2OB，∴OC＝6，∴C（6，0），把C（6，0），E（2，4）代入直线l2：y＝kx+b得，解得，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+6；（2）将直线l1向下平移7个单位得到直线l3：y＝x﹣4，令x＝0，则y＝﹣4，∴G（0，﹣4），由，解得，∴F的坐标为（，﹣），∴S△EFG＝S△DFG﹣S△DEG＝﹣＝．练1.4．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+b与直线l2：y＝kx+7交于点A（2，4），直线l1与x轴交于点C，与y轴交于点B，将直线l1向下平移7个单位得到直线l3，l3与y轴交于点D，与l2交于点E，连接AD．（1）求l3的解析式；（2）求交点E的坐标；（3）求△ADE的面积．【解答】解：（1）∵直线l1：y＝x+b与直线l2：y＝kx+7交于点A（2，4），∴4＝×2+b，4＝2k+7，∴b＝3，k＝﹣，∴直线l1的解析式为y＝x+3，直线l2的解析式为y＝﹣x+7，∵将直线l1向下平移7个单位得到直线l3，∴直线l3的解析式为y＝x﹣4．（2）由，解得，∴交点E的坐标为（，﹣）；（3）∵l1∥l3，∴S△ADE＝S△BDE＝×7×＝．例2．1．直线l1：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，C是l1上一点，且横坐标为3，将l1绕C点顺时针旋转90°到l2，l2与x轴、y轴分别交D、E两点．（1）求直线l2的解析式；（2）如图1，在线段AC上，有一动点P，过P点作PQ∥y轴，交l2于点Q，连接AQ，当△APQ面积与△ADQ面积之比为1：3时，求P点的坐标；【解答】解：（1）如图1，在直线l1上，令y＝0，．解得x＝6，∴点A的坐标为（6，0），B（0，）．∴∠OAB＝30°．∵点C在直线l1上，且x＝3，∴C（3，），过点C作CH⊥x轴于点H，∵直线l1⊥l2，∴∠CDA＝60°．在Rt△CDH中，CH＝，DH＝1，∴OD＝2，则D（2，0）．设直线l2的表达式为y2＝kx+b，将点C（3，），D（2，0）代入得，解得：．∴直线l2的表达式为．（2）如图2，设点P（a，），∴点Q（a，），且a＞3，点Q在点P的上．延长QP交x轴于点G，∵PQ∥y轴，∴QG⊥x轴．∴AD＝4，QG＝，AG＝6﹣a，∴＝．＝＝．＝＝．∵S△ADQ＝3S△APQ，∴．化简得：a2﹣8a+16＝0，解得a＝4．∴点P（4，）．练2.1．如图所示：直线l1：y＝x﹣2与x轴，y轴分别交于A，B两点，C为l1上一点，且横坐标为1，过点C作直线l2⊥l1，l2与x轴，y轴分别交于D，E两点．（1）如图1：在线段CE有一动点F，过F点作FH∥x轴，交l1于点H，连接AF，当S＝时，求点F的坐标；△AFH【解答】解：（1）∵直线l1：y＝与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴A（2，0），B（0，2），∴AB＝＝4，∵C为l1上一点，且横坐标为1，∴C（1，﹣），∴AC＝＝2，∴AC＝OA，又∵∠OAB＝∠CAD，∠AOB＝∠ACD＝90°，∴△ACD≌△AOB（ASA），∴AD＝AB＝4，∴D（﹣2，0），设直线CD的解析式为y＝kx+b，代入C点、D点的坐标，得，解得，∴直线CD的解析式即l2的解析式为：y＝﹣x﹣，∵点F于点H纵坐标相同，∴设F（﹣a﹣2，a），H（a+2，a），∴FH＝a+2﹣（﹣a﹣2）＝a+4，∵S△AFH＝，∴（a+4）×（﹣a）＝，整理得：12a2+12a+5＝0，解得a1＝﹣，a2＝﹣，∵F在线段CE上，∴a＝﹣，∴F点的坐标为（﹣，﹣）；。

解题方法及提分突破训练:面积法专题用面积法解几何问题是一种重要的数学方法,在初中数学中有着广泛的应用，这种方法有时显得特别简捷，有出奇制胜、事半功倍之效.一．真题链接1。

（2012 济南模拟)圆柱的底面周长为2π，高为1，则圆柱的侧面展开图的面积为2。

（2012•东营）如图,在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上,OC 在y 轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 面积的41 ,那么点B′的坐标是（ ）A. (—2，3） B 。

（2，—3） C 。

（3，-2）或（—2，3) D.(-2,3）或（2，-3） 3．（2012 呼和浩特）如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm),则该几何体的侧面积为 cm ．4。

(2012•潍坊）如图，三角形ABC 的两个顶点B 、C 在圆上，顶点A 在圆外，AB 、AC 分别交圆于E 、D 两点，连接EC 、BD ． (1）求证：△ABD ∽△ACE ；(2)若△BEC 与△BDC 的面积相等,试判定三角形ABC 的形状5.（2012•宜宾）如图，在四边形ABCD 中,DC ∥AB,CB ⊥AB,AB=AD ，CD=21，AB ，点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为( ) A 。

71 B 。

61 C 。

51 D 。

41二名词释义平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积,而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。

运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。

用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。

面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。

所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线,即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。

题型二方程与不等式“方程与不等式”包括方程与方程组、不等式与不等式组两个方面的内容．“方程与不等式”均存在标准形式，其解法有程序式化的特点，是一种重要的数学基本技能．此外，“方程与不等式”也是刻画现实世界的一个有效的数学模型，在现实生活中存在大量的“方程与不等式”问题．“方程与不等式”是初中数学的核心内容之一．就解法与自身的应用来说，“方程与不等式”是初中数学最重要的基础知识之一，同时也是学习函数等知识的基础；就所蕴含的“方程思想和转化思想”而言，它更是培养考生分析问题和解决问题思想方面的重要源泉和场所．通过归纳主要有以下几种类型：(1)方程、不等式与函数综合型，一般是求待定字母的值，求待定字母的取值X围．在解这类问题时，需要我们借助图形来给出解答．要充分利用图形反馈的信息，或将文字信息反馈到图形上，做到“有数思形”“有形思数”顺利解决问题．(2)与几何知识结合型，特别是有未知数的几何问题，就需要用方程(组)与不等式(组)的知识来解决，在解决问题时，把某个未知量设为未知数，根据有关的几何性质、定理或公式，建立未知数和已知数间的等量关系或不等关系，列出方程(组)与不等式(组)来解决，这对解决和计算有关几何的数学问题，特别是几何综合题，是非常重要的．(3)对用方程(组)与不等式(组)解决实际问题型，实际问题中往往蕴含着方程与不等式，分析问题中的等量关系和不等关系，建立方程(组)模型和不等式(组)模型，从而把实际问题转化为数学模型，然后用数学知识来解决．考查考生构建数学模型的能力．题目常是考查解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题，为了防止漏解和便于比较，我们常常用到分类讨论思想对方案的优劣进行探讨．【例1】关于x的方程x2－x＋1－m＝0的两个实数根x1，x2，满足|x1 |＋|x2 |≤5，则m的取值X围是________．【解析】首先由一元二次方程x2－x＋1－m＝0有两个实根，得到其判别式是非负数，然后利用根与系数关系和|x1|＋|x2|≤5得到关于m的不等式，联立判别式即可求出实数m的取值X围．【答案】1<m≤7或34≤m ≤1 【点评】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，同时也利用分类讨论的思想和绝对值的定义，有一定的综合性，要求考生熟练掌握相关知识才能很好解决这类问题．【例2】已知关于x 的一元二次方程x 2－ax ＋(m －1)(m ＋2)＝0，对于任意实数a 都有实数根，则实数m 的取值X 围是________．【解析】一元二次方程有实数根，根的判别式Δ＝b 2－4ac≥0，b 2是非负数，如果－4ac 为非负数，无论b 取什么数，方程一定有实数根，由此探讨得出答案即可．【答案】－2≤m≤1【点评】此题主要考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b 2－4ac ：当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实根；当Δ<0时，方程没有实根．【例3】 如果关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧7x －m≥0，6x －n≤0的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对(m ，n)共有(B )A ．49对B ．42对C ．36对D ．13对【解析】先用不等式组中待定字母表示出不等式组的解集，根据不等式组的整数解确定待定字母m ，n 即可．【答案】B【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，不等式组的解集与解的概念．由不等式组的整数解确定待定字母的取值X 围是解答本题的关键．【针对练习】1．(2014某某创新)设x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0的两个不相等的实数根，且满足1x 1＋1x 2＝－1，则m 的值是(A ) A ．3B ．－3或－1C ．－1D ．－3或12．(2012某某创新)已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＝2－3k ，3x －y ＝k ＋4的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b 且|k|＜3，那么a －b 的取值X 围是(A ) A ．－1＜a －b ＜5 B ．－3＜a －b ＜3C ．－3＜a －b ＜5D ．－1＜a －b ＜33．若关于x 的方程x 2－bx ax －c ＝m －1m ＋1有绝对值相同，符号相反的两个根，则m 的值应为(D ) A ．c B .1c C .a －b a ＋b D .a ＋b a －b4．设一元二次方程x 2－3x ＋2－m ＝0(m>0)的两实根分别为x 1，x 2，且x 1<x 2，则x 1，x 2应满足(D )A ．1<x 1<x 2<2B ．1<x 1<2<x 2C ．x 1<1<x 2<2D ．x 1<1且x 2>25．方程组3|x|＋2x ＋4|y|－3y ＝4|x|－3x ＋2|y|＋y ＝7(C )A ．没有解B ．有1组解C ．有2组解D ．有4组解6．已知三个关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，bx 2＋cx ＋a ＝0，cx 2＋ax ＋b ＝0恰有一个公共实数根，求a 2bc ＋b 2ac ＋c 2ab 的值为(D ) A ．0B ．1C ．2D ．37．如果方程(x －1)(x 2－2x ＋m)＝0的三个根可以作为一个三角形的三条边长，那么实数m 的取值X 围是(B ) A ．0≤m ≤1B .34<m ≤1C .34≤m ≤1D ．m ≤348．(2013某某创新)二果问价源于我国古代《四元玉鉴》：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”则甜果、苦果的个数分别是(C ) A ．648，352B ．650，350C ．657，343D ．666，3349．α，β是关于x 的方程x 2＋kx －1＝0的两个实根，若(|α|－β)(|β|－α)≥1，则实数k 的取值X 围是(A )A ．k ≥5－2 B ．k ≤5－2 C ．k ≥5－2或k≤－5－2D ．k ≥5－2 10．(2014某某创新)若实数a ，b 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋a ＋b ＝6，3a ＋3b ＝14－ab ，则a 2b ＋ab 2＝__8__． 11．已知x ＝2是不等式(x －5)(ax －3a ＋2)≤0的解，且x ＝1不是这个不等式的解，则实数a 的取值X 围是__1<a≤2__．12．已知a 为整数，关于a 的方程x 2x 2＋1－4||x x 2＋1＋2－a ＝0有实数根，则a 的值可能是__0或1或2__．13．关于x 的不等式(2a －b)x>a －2b 的解集是x<52，求关于x 的不等式ax ＋b<0的解集为__x<－8__． 14．已知关于x 的方程(m 2－1)x 2－3(3m －1)x ＋18＝0有两个正整数根(m 是整数)．△ABC 的三边a ，b ，c 满足c ＝23，m 2＋a 2m －8a ＝0，m 2＋b 2m －8b ＝0.求：(1)m 的值；(2)△ABC 的面积．解：(1)方程有两个实数根，则m 2－1≠0，解方程得x 1＝6m ＋1，x 2＝3m －1. 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＝1，2，3，6，m －1＝1，3，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，1，2，5，m ＝2，4， ∴m ＝2；(2)把m ＝2代入两等式，化简得a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0，当a ＝b 时，a ＝b ＝2± 2.当a≠b 时，a ，b 是方程x 2－4x ＋2＝0的两根，而Δ>0，由韦达定理，得a ＋b ＝4>0，ab ＝2>0，则a>0，b>0.①a ≠b ，c ＝23时，由于a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝16－4＝12＝c 2故△ABC 为直角三角形，且∠C ＝90°，S △ABC ＝12ab ＝1. ②a ＝b ＝2－2，c ＝23时，∵2(2－2)<23，∴不能构成三角形，不合题意，舍去．③a ＝b ＝2＋2，c ＝23时，∵2(2＋2)>23，∴能构成三角形．∴S △ABC ＝12×23×（2＋2）2－（3）2 ＝9＋12 2. 综上所述，△ABC 的面积为1或9＋12 2.教后反思：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________。

【全国通用】初中几何正方形解答题专题突破练习（3）1．如图，已知四边形ABCD 是正方形，E 是对角线BD 上的一点，连接,AE CE ．()1求证：AE CE =；()2如图，点P 是边CD 上的一点，且PE BD ⊥于,E 连接,BP O 为BP 的中点，连接EO ．若30PBC ∠=︒，求POE ∠的度数；()3在()2的条件下，若OE =CE 的长．2．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点F 是CD 的中点，E 是边BC 上的一点，连接AE ，EF ，若AEF EAD ∠=∠，求AB 与BE 的比值．3．如图，正方形ABCD 的边长为1，点E 是AD 边上的动点，从点A 沿AD 向点D 运动，以BE 为边，在BE 的上方作正方形BEFG ，连接CG ． （1）求证：AEB CGB △≌△；（2）若设AE=x ，DH=y ，当x 取何值时，y 有最大值？并求出这个最大值； （3）连接BH ，当点E 运动到AD 的何位置时有BEH BAE ∽？4．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交CD于点F，交AE于点O，且BF AE⊥．（1）求证：BF AE=；（2）连接OD，猜想OD与AB的数量关系，并证明．5．如图1，已知点A(-1，0)，B(0，-2)，C为双曲线kyx=上一点，连结AC与y轴交于点E，且E为AC的中点，其坐标为(0，2)．（1）求k的值；（2）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图2），点T是AF边上一动点，M是HT的中点，MN丄HT 交AB于N，当T在AF上运动时，∠TNH的大小是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．6．同学们：八年级下册第9章我们学习了一种新的图形变换旋转，图形旋转过程中蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决各类几何问题的常用方法．（1）（问题提出）如图∠，在正方形ABCD中，∠MAN=45°，点M、N分别在边BC、CD上．求证：MN＝BM＋DN．证明思路如下：△绕点A按顺时针方向旋转90°得到∠ABE，再证明E、B、M三点在一条直线上．第一步：如图∠，将ADN△≌△．第二步：证明AEM ANM请你按照证明思路写出完整．．的证明过程.（2）（初步思考）△和BCE．如图∠，四边形ABCD和CEFG为正方形，连接DG、BE，得到DCG下列关于这两个三角形的结论：∠周长相等；∠面积相等；∠∠CBE=∠CDG．其中所有正确结论的序号是．（3）（深入研究）如图∠，分别以□ABCD的四条边为边向外作正方形，连接EF，GH，IJ，KL．若□ABCD的面积为8，则图中阴影部分（四个三角形）的面积之和为．7．已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF．（1）求证：DE ∠BF（2）若四边形DEBF 的面积为8，AE，则正方形边长为 ．8．如图，在正方形ABCD 中，点G 在边BC 上（不与点B 、C 重合）．连结AG ，作DE∠AG 于点E ，BF∠AG 于点F ，BGAD＝K ． ∠求证：Rt∠BFG∠Rt∠DEA ；∠连结BE 、DF ，设∠EDF ＝α，∠EBF ＝β，求证：tan α＝Ktan β．∠设正方形ABCD 的边长为1，线段AG 与对角线BD 交于点H ，∠AHD 和四边形CDHG 的面积为S 1和S 2，求21S S 的最大值．9．如图 ，在边长为1的正方形ABCD 中，点E 是边AD 上的一动点（与点,A D 不重合），CE 交BD 于点F ，连结AF .（1）求证：DAF DCF ≅；（2）当AE 的长度是多少时，AEF 是等腰三角形？（3）当点E 运动到AD 的中点时,连BE 结交AF 于点M ，连结CM ， 求证：∠BE AF ⊥；∠CB CM =．10．如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，以DE 为边向外作正方形DEFG ，将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转，连接AG ．（1）如图1，若AD ＝DE ＝2，当150ADG ∠︒＝时，求AG 的长；（2）如图2，正方形DEFG 绕点D 旋转的过程中，取AG 的中点M ，连接DM 、CE ，猜想：DM 和CE 之间有何等量关系？并利用图2加以证明．11．如图，P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，,PE DC PF BC ⊥⊥，点,E F 分别是垂足. （1）求证：AP PC =；（2）若60,BAP PD ∠=︒=，求PC 的长.12．如图1，点C 在线段AB 上，分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同侧作正方形ACDE 和正方形BCMN ， 连结AM 、BD ．（1）AM 与BD 的关系是：________．（2）如果将正方形BCMN 绕点C 顺时针旋转锐角α(如图2)．(1) 中所得的结论是否仍然成立？请说明理由．（3）在(2)的条件下，连接AB 、DM ，若AC=4，BC=2，求AB 2+DM 2的值． 13．已知如图1,四边形ABCD 是正方形，45EAF ︒∠= ．()1如图1,若点,E F 分别在边BC CD 、上,延长线段CB 至G ,使得BG DF =,若3,2BE BG ==，求EF 的长；()2如图2，若点,E F 分别在边CB DC 、延长线上时，求证： .EF DF BE =-()3如图3,如果四边形ABCD 不是正方形，但满足,90,45,AB AD BAD BCD EAF ︒︒=∠=∠=∠=且7, 13,5BC DC CF ===，请你直接写出BE 的长．14．点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和BCFG，连接AF、BD．（1）如图∠，AF与BD的数量关系和位置关系分别为；（2）将正方形BCFG绕着点C顺时针旋转α角(0°＜α＜360°)，∠如图∠，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由．∠若AC=4，BC=22，当正方形BCFG绕着点C顺时针旋转到点A、B、F三点共线时，求DB的长度．15．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF∠DE，交线段BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝，CE＝2，求CG的长；16．以Rt ABC ∆的两边AB 、AC 为边，向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接EG ，过点A 作AM BC ⊥于M ，延长MA 交EG 于点N ．（1）如图1，若90BAC ∠=︒，AB AC =，易证：EN GN =；（2）如图2，90BAC ∠=︒；如图3，90BAC ∠≠︒，（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由． 17．已知正方形ABCD ，点E 在射线BD 上．（1）如图1，若点E 在线段BD 上，F 在线段AD 上，且AE BF ⊥，垂足为H ，连接CE ． ∠求证：HF AFAH AB=； ∠求证：tan DEECD BE∠=； （2）如图2，点E 在BD 的延长线上，以AE 为斜边，作Rt AFE ，90AFE ∠=︒，AF EF =，若4=AD ，直接写出DF 的最小值．18．如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且CE=CF ． （1）求证：BE=DF ；（2）若点G 在AD 上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD 成立吗？为什么？19．如图，正方形ABCD 中，点E 是边BC 上一点，EF ∠AC 于点F ，点P 是AE 的中点．（1）求证：BP∠FP；（2）连接DF，求证：AE＝DF．20．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF与DE相交于点M，且∠BAF＝∠ADE．（1）如图1，求证：AF∠DE；（2）如图2，AC与BD相交于点O，AC交DE于点G，BD交AF于点H，连接GH，试探究直线GH与AB的位置关系，并说明理由；（3）在（1）（2）的基础上，若AF平分∠BAC，且BDE的面积为，求正方形ABCD的面积．AC BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点21．如图，正方形ABCD的边长为,A作AM BE⊥于点M，交BD于点F．=；（1）求证：AF BE（2）求点E到BC边的距离．22．在正方形ABCD中，连接AC，点E在线段AD上，连接BE交AC于M，过点M作FM∠BE交CD于F．（1）如图∠，求证：∠ABE+∠CMF＝∠ACD；（2）如图∠，求证：BM＝MF；（3）如图∠，连接BF，若点E为AD的中点，AB＝6，求BF的长．23．如图，正方形ABCD的边长为6．E，F分别是射线AB，AD上的点（不与点A重合），且EC CF⊥，M为EF的中点．P为线段AD上一点，1AP=，连结PM．=；（1）求证：CE CF△为直角三角形时，求AE的长；（2）当PMF△的面积为________．（在横线上直接写（3）记BC边的中点为N，连结MN，若MN=PMF出答案）=，24．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE CF 连接AE、DF，AE的延长线交DF于点M．（1）求证：AE DF=；⊥．（2）求证：AM DF25．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形．（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是 ．（2）如图1，在3×3方格纸中，A ，B ，C 在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使AC ，BD 是对角线，点D 在格点上．（3）如图2，在正方形ABCD 中，点E ，F ，G 分别在AD ，AB ，BC 上，AE ＝AF ＝CG 且∠DGC ＝∠DEG ，求证：四边形DEFG 是垂等四边形．（4）如图3，已知Rt∠ABC ，∠B ＝90°，∠C ＝30°，AB ＝2，以AC 为边在AC 的右上方作等腰三角形，使四边形ABCD 是垂等四边形，请直接写出四边形ABCD 的面积．26．如图1所示，边长为4的正方形ABCD 与边长为()14a a <<的正方形CFEG 的顶点C 重合，点E 在对角线AC 上．（问题发现）如图1所示，AE 与BF 的数量关系为________；（类比探究）如图2所示，将正方形CFEG 绕点C 旋转，旋转角为()030αα<<︒，请问此时上述结论是否还成立？如成立写出推理过程，如不成立，说明理由；（拓展延伸）若点F 为BC 的中点，且在正方形CFEG 的旋转过程中，有点A 、F 、G 在一条直线上，直接写出此时线段AG 的长度为________27．如图，P 为正方形ABCD 的边BC 上的一动点（P 不与B ，C 重合），连接AP ，过点B 作BQ AP ⊥交CD 于点Q ，将BCQ ∆沿着BQ 所在直线翻折得到∆BQE ，延长QE 交AB 的延长线于点M ．（1）探求AP 与BQ 的数量关系（2）若3AB =，2BP PC =，求QM 的长28．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 BC 的中点，点 P 在射线 AD 上，过点 P 作 PF∠AE ，垂足为 F ．（1）求证：PFA ABE ∽△△；（2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA=x ，是否存在实数 x ，使以 P ，F ，E 为顶点的三角形也与ABE △相似？若存在，求出 x 的值；若不存在，说明理由．29．如图，在正方形ABCD 中，E 是边DC 上的一点（与，C 不重合）连接AE ，将ADE 沿AE 所在的直线折叠得到AFE △，延长EF 交BC 于G ，作GH AG ⊥，与AE 的延长线交于点H ，连接CH ． （1）求证：AG GH =（2）求证：CH 平分DCM ∠．30．如图，在边长为a 的正方形ABCD 中，作∠ACD 的平分线交AD 于F ，过F 作直线AC 的垂线交AC 于P ，交CD 的延长线于Q ，又过P 作AD 的平行线与直线CF 交于点E ，连接DE ，AE ，PD ，PB ．。

难题突破专题一规律归纳探索问题近年来有关规律探索性题目在浙江省初中数学考试题中频繁出现，这类题目要求学生能根据给出的一组具有某种特定关系的数、式、图形或与图形有关的操作、变化过程，通过观察、分析、推理，探究其中所蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．有利于促进学生对数学知识和数学方法的巩固和掌握，也有利于学生思维能力的提高和自主探索、创新精神的培养．规律探究题一般分为数字规律题、数式规律题、图形规律题等．类型1 数字规律1 2019·淮安将从1开始的连续自然数按以下规律排列：图Z1－1则2019在第________行．例题分层分析(1)观察发现，前5行中最大的数分别为________，________，________，________，________；(2)可知第n行中最大的数是_______，n＝44时，最大数为_______；n＝45时，_____．因此2019在第_______行解题方法点析解决数字规律问题的突破口在于寻找隐含在图形或式子中的规律，数的规律主要有倍数关系、等差关系、等比关系等．类型2 数式规律2 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图Z1－2，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a＋b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应(a＋b)3展开式中的系数等．(1)根据上面的规律，写出(a＋b)5的展开式；(2)利用上面的规律计算：25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1.图Z1－2例题分层分析(1)你能写出(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4的展开式吗？(2)25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1和(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4，(a＋b)5中哪个的展开式比较类似？此时a等于什么？b等于什么？解题方法点析数式规律要关注中学阶段所学的一些重要公式，此类问题主要考查学生的观察、分析、逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律是快速解题的关键．类型3 图形规律3 [2019·衢州] 如图Z1－3，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__________，翻滚2019次后AB中点M经过的路径长为__________．图Z1－3例题分层分析(1)首先求出B点坐标________，(2)根据图形变换规律，每三次翻滚一周，翻滚前后对应点横坐标加________，纵坐标________，故B点变换后对应点坐标为________；(3)追踪M点的变化在每个周期中，点M分别沿着三个圆心角为120°的扇形运动，如图Z1－4，三个扇形半径分别为3、1、1，又2019÷3＝672……1，故其运动路径长为________．图Z1－44[ 2019·酒泉] 下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如果第1个图形的周长为5，那么第2个图形的周长为________，第2019个图形的周长为________．图Z1－5例题分层分析(1)根据图形变化规律可知：图形个数是奇数个梯形时，构成的图形是________形；当图形的个数是偶数个时，正好构成____________；(2)第2个图形为平行四边形，它水平边长是________，斜边长是________，所以周长是8.(3)第2019个图形构成的图形是________，这个梯形的上底是________，下底是________，腰长是________，故周长是________．专题训练1．[2019·自贡] 填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值为( )图Z1－6A．180 B．182C．184 D．1862．[2019·重庆A] 下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为( )图Z1－7A．73 B．81C．91 D．1093．[2019·温州] 我们把1，1，2，3，5，8，13，21…这组数称为斐波那契数列．为了进一步研究，依次以这列数为半径做90°圆弧P1P2，P2P3，P3P4，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4…得到螺旋折线(如图Z1－8)，已知点P1(0，1)，P2(－1，0)，P3(0，－1)，则该折线上点P9的坐标为( )图Z1－8A．(－6，24) B．(－6，25)C．(－5，24) D．(－5，25)4．[2019·宁波] 用同样大小的黑色棋子按如图Z1－9所示的规律摆放：图Z1－9则第⑦个图案有________个黑色棋子．5．[2019·郴州] 已知a1＝－32，a2＝55，a3＝－710，a4＝917，a5＝－1126，…，则a8＝________．6．[2019·潍坊] 如图Z1－10，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；……按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为________个．图Z1－107．[2019·菏泽] 如图Z1－11，AB⊥y轴，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y＝－33x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝－33x上，依次进行下去，若点B的坐标是(0，1)，则O12的纵坐标为________．图Z1－118．[2019·衡阳] 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2按如图Z1－12的方式放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点B2019的纵坐标是________．图Z1－129．[2019·天门] 如图Z1－13，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(－1，1)，B(0，－2)，C(1，0)．点P(0，2)绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，……则点P2019的坐标为________．图Z1－1310．[2019·内江] 观察下列等式：第一个等式：a1＝21＋3×2＋2×22＝12＋1－122＋1；第二个等式：a2＝221＋3×22＋2×（22）2＝122＋1－123＋1；第三个等式：a3＝231＋3×23＋2×（23）2＝123＋1－124＋1；第四个等式：a4＝241＋3×24＋2×（24）2＝124＋1－125＋1.按上述规律，回答下列问题：(1)请写出第六个等式：a6＝________＝________；(2)用含n的代数式表示第n个等式：a n＝________＝________；(3)a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝________(得出最简结果)；(4)计算：a1＋a2＋…＋a n.参考答案类型1 数字规律例1 【例题分层分析】(1)1 4 9 16 25(2)n21936 最大数为2025 45[答案] 45类型2 数式规律例2 【例题分层分析】(1)(a＋b)1＝a＋b；(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.(2)(a＋b)5，a＝2，b＝－1.解：(1)(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5.(2)原式＝25＋5×24×(－1)＋10×23×(－1)2＋10×22×(－1)3＋5×2×(－1)4＋(－1)5＝(2－1)5＝1.类型3 图形规律例3 【例题分层分析】(1)(－1，3) (2)6 不变(5，3) (3)(1346 33＋896)π[答案] (5，3) (1346 33＋896)π例4 【例题分层分析】梯平行四边形 3 1 梯形3025 3026 1 6053[答案] 8 6053专题训练1．C [解析] 观察所给四个正方形可知，1＋14＝3×5，3＋32＝5×7，5＋58＝7×9，故11＋m＝(11＋2)×(11＋4)，解得m＝184.2．C [解析] 整个图形可以看作是由两部分组成的，各自的变化规律我们可以用一个表格来呈现：由此推断出这组图形中菱形个数的变化规律为：n2＋n＋1.当n＝9时，n2＋n＋1＝92＋9＋1＝91，∴第⑨个图形中菱形的个数为91.3．B4．19 [解析] 第①个图形中共有1个黑色棋子；第2个图形中共有(1＋3)个黑色棋子；第3个图形中共有(1＋2×3)个黑色棋子；第4个图形中共有(1＋3×3)个黑色棋子……按此规律可知，第n个图形共有[3(n－1)＋1]＝(3n－2)个黑色棋子，所以第⑦个图形中黑色棋子的个数为3×7－2＝19.故填19.5.17 656．9n＋3 [解析] 由图形及数字规律可知，第n个图中正方形的个数为5n＋1，等边三角形的个数为4n＋2，所以其和为5n＋1＋4n＋2＝9n＋3.7．(－9 3－9，9＋3 3) [解析] 过点O2作O2C⊥x轴于点C，∵AB⊥y轴，点B的坐标是(0，1)，且点A在直线y＝－33x上，∴点A的坐标为(－3，1)，即OB＝1，AB＝3，∴OA＝2.由题意知，AB1＝AB＝3，AO1＝OA＝2，O2B1＝OB＝1，∴OO2＝3＋3，∵tan∠O2OC＝33，∴∠O2OC＝30°，∴OC＝O2Ocos∠O2OC＝(3＋3)×32＝3 3＋32，O2C＝O2Osin∠O2OC＝(3＋3)×12＝3＋32，∴O2(－3 3＋32，3＋32)，O4(－2×（3 3＋3）2，2×（3＋3）2)，O6(－3×（3 3＋3）2，3×（3＋3）2)，…，O12(－6×（3 3＋3）2，6×（3＋3）2)，即O12(－9 3－9，9＋3 3)．8．22019[解析] 由图知，点B1的坐标为(1，1)；点A2的坐标为(1，2)；点B2的坐标为(3，2)；点A3的坐标为(3，4)；点B3的坐标为(7，4)；点A4的坐标为(7，8)，……寻找规律知B2019的纵坐标为22019.9．(－2，0) [解析] 根据旋转可得P1(－2，0)，P2(2，－4)，P3(0，4)，P4(－2，－2)，P5(2，－2)，P6(0，2)，故6个循环一次，2019÷6＝336…1，故P2019(－2，0)．10．解：(1)a6＝261＋3×26＋2×（26）2＝126＋1－127＋1.(2)a n＝2n1＋3×2n＋2×（2n）2＝12n＋1－12n＋1＋1.(3)a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝12＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋…＋126＋1－127＋1＝12＋1－127＋1＝1443.(4)a1＋a2＋…＋a n＝12＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋…＋12n＋1－12n＋1＋1＝12＋1－12n＋1＋1＝2（2n－1）3（2n＋1＋1）.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在△ABC 中，点D 为AB 上一点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，过点E 作AB 的平行线交BC 于点F ，连接CD ，交EF 于点K ，则下列说法正确的是( )A ．DE ADBC EF = B ．FK BFKE FC = C ．DE AEFC EC= D ．BD BFAD FC= 2．小明把一副45,30的直角三角板如图摆放，其中090,45,30C F A D ∠=∠=∠=∠=，则αβ∠+∠等于 （ ）A ．0180B ．0210C ．0360D ．02703．小刚家2017年和2018年的家庭支出情况如图所示，则小刚家2018年教育方面支出的金额比2017年增加了（ ）A ．0.216万元B ．0.108万元C ．0.09万元D ．0.36万元4．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，连接BD ．若BD 平分∠ABC ，则下列结论错误的是（ ）A ．BC=2BEB ．∠A=∠EDAC ．BC=2AD D ．BD ⊥AC5．已知反比例函数(为常数，)的图象经过点，则当-3<x<-2时，函数值的取值范围是( )A.B.C.D.6．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =，则sin B 的值为（ ）A ．23B ．35C ．34D ．457．据统计，2018年中国粮食总产量达到657900 000吨，数657900 000用科学记数法表示为( ) A ．6.579×107B ．6.579×108C ．6.579×109D ．6.579×10108．下列计算正确的是（ ） A ．222()a b a b +=+ B ．()22424a a -=-C ．532a a a ÷=D ．4711a a a +=9．给出下列算式：①(a 3)2＝a 3×2＝a 6；②a m a n ＝a m+n (m ，n 为正整数)；③[(－x)4]5＝－x 20．其中正确的算式有( )． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且点C 、D 在AB 的异侧，连接AD 、BD 、OD 、OC ，若∠ABD ＝15°，且AD ∥OC ，则∠BOC 的度数为( )A.120°B.105°C.100°D.110°11．甲、乙两人从A 地出发到B 地旅游,甲骑自行车,乙骑摩托车。

2022-2023学年云南省曲靖市中考数学专项突破仿真模拟试题（3月）一、选一选（本大题共10小题，共30.0分）1.2-的相反数是（）A.2- B.2C.12D.12-2.人类的遗传物质是DNA ，DNA 是一个很长的链，最短的22号染色体也长达30000000个核苷酸．30000000用科学记数法表示为（）A.3×107B.30×106C.0.3×107D.0.3×1083.在社会实践中，某中学对甲、乙、丙、丁四个超市三月份的苹果价格进行，它们的价格的平均值均为3.50元，方差分别为20.3S =甲，20.4S =乙，20.1S =丙，20.25S =丁．三月份苹果价格最稳定的超市是()A.甲B.乙C.丙D.丁4.如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体的个数为()A.4个B.5个C.6个D.7个5.没有等式组{32x 5x 21-<-≤的解集在数轴上表示为()A.B.C.D.6.如图，Rt AOC 的直角边OC 在x 轴上，ACO 90∠= ，反比例函数ky (x 0)x=>的图象与另一条直角边AC 相交于点D ，AD 1DC 2=，AOC S 3= ，则k (=)A.1B.2C.3D.47.一个没有透明的盒子里装有120个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，那么估计盒子中红球的个数为（）A.36B.48C.70D.848.如图，在平行四边形ABCD 中，AB =4，∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC 交于点F ，且点F 为边DC 的中点，DG ⊥AE ，垂足为G ，若DG =1，则AE 的边长为()A.23B.3C.4D.89.如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°后得到正方形AB 1C 1D 1，边B 1C 1与CD 交于点O ，则图中阴影部分的面积是（）A.224π- B.224π-+ C.142π+ D.142π-10.如图，四边形ABCD 为正方形，若AB 4=，E 是AD 边上一点(点E 与点A 、D 没有重合)，BE 的中垂线交AB 于M ，交DC 于N ，设AE x =，则图中阴影部分的面积S 与x 的大致图象是()A.B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.10125()(2)2--+-=______．12.若关于x 的一元二次方程()2k 2x 7x 10-+-=有两个没有相等的实数根，则k 的取值范围是______．13.如图，在△ABC 中，∠ACB=75°，∠ABC=45°，分别以点B 、C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 、N.作直线MN 交BC 于点E ，交AB 于点D ，若BC=2，则AC 的长为_____．14.如图，在ABC 中，若BC 4=，ABC 的面积为8，四边形DEFG 是ABC 的内接正方形，则正方形DEFC的边长是______．15.如图，矩形ABCD中，AD4=，AB7=，点E为DC上一动点，ADE沿AE折叠，点D落在矩形ABCD内一点D'处，若BCD' 为等腰三角形，则DE的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）16.先化简代数式22321124-+⎛⎫-÷⎪+-⎝⎭a aa a，再从22a-≤≤中选一个恰当的整数作为a的值代入求值．四、解答题（本大题共7小题，共67.0分）17.为了进一步贯彻落实关于弘扬中华传统文化的指示，央视推出了一系列爱过益智竞赛节目，如《中国谜语大会》、《中国成语大会》、《中国汉字听写大会》、《中国诗词大会》，节目受到了广大观众的普遍欢迎，我市某校拟举行语文学科节，校语文组打算模拟其中一个节目开展竞赛，在全校范围内随机抽取了部分学生就“在这四个节目中，你最喜欢的节目是哪一个？”的问题进行了，要求只能从“A：《中国谜语大赛》，B：《中国成语大会》，C：《中国汉字听写大会》，D：《中国诗词大会》”中选择一个选项，他们根据结果，绘制成了如下两幅没有完整的统计图：请你根据图中信息，解答下列问题：()1扇形统计图中，m =______，D 选项所对应的圆心角度数为______ ；()2请你补全条形统计图；()3若该校共有2000名学生，请你估计其中选择D 选项的学生有多少名？()4若九年级一班准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选择2名同学代表班级参加学校的比赛，请用表格或树状图分析甲和乙同学同时被选中的概率．18.如图，在OAB 中，OA OB =，以点O 为圆心的O AB 的中点C ，连接OC ，直线AO 与O 相交于点E ，D ，OB 交O 于点F ，P 是DF的中点，连接CE ，CF ，BP ．()1求证：AB 是O 的切线；()2若OA 4=，则①当AC =______时，四边形OECF 是菱形；②当AC =______时，四边形OCBP 是正方形19.小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ，并测得B 、C 两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC 与地面在同一水平面上，其长度为100m ，求热气球离地面的高度_________．（结果保留整数）（参考数据：sin 350.57︒=，cos350.82︒=，tan 350.70︒=）20.如图，函数y=kx+b 与反比例函数y=的图象相较于A （2，3），B （﹣3，n ）两点．（1）求函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出没有等式kx+b ＞的解集；（3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，求S △ABC ．21.某社区为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民借用．该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销：A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）；B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y A（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y B（元）．请解答下列问题：（1）分别写出y A、y B与x之间的关系式；（2）若该只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更？（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该设计出最的购买．22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC mAC n，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．23.如图，直线AB 交x 轴于点()B 4,0，交y 轴与点()A 0,4，直线DM x ⊥轴正半轴于点M ，交线段AB 于点C ，DM 6=，连接DA ，DAC 90∠= ．()1求点D 的坐标及过O 、D 、B 三点的抛物线的解析式；()2若点P 是线段MB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线，交AB 于点F ，交上问中的抛物线于点E ．①连接CE.请求出满足四边形DCEF 为平行四边形的点P 的坐标；②连接CE ，是否存在点P ，使BPF 与FCE 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若没有存在，请说明理由．2022-2023学年云南省曲靖市中考数学专项突破仿真模拟试题（3月）一、选一选（本大题共10小题，共30.0分）1.2-的相反数是（）A.2- B.2C.12D.12-【正确答案】B【分析】根据相反数的定义可得结果．【详解】因为-2+2=0，所以-2的相反数是2，故选：B ．本题考查求相反数，熟记相反数的概念是解题的关键．2.人类的遗传物质是DNA ，DNA 是一个很长的链，最短的22号染色体也长达30000000个核苷酸．30000000用科学记数法表示为（）A.3×107B.30×106C.0.3×107D.0.3×108【正确答案】A【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的值与小数点移动的位数相同．当原数值＞1时，n 是正数；当原数的值＜1时，n 是负数．【详解】解：30000000=3×107，故选：A ．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3.在社会实践中，某中学对甲、乙、丙、丁四个超市三月份的苹果价格进行，它们的价格的平均值均为3.50元，方差分别为20.3S =甲，20.4S =乙，20.1S =丙，20.25S =丁．三月份苹果价格最稳定的超市是()A.甲B.乙C.丙D.丁【正确答案】C【详解】解：∵它们的价格的平均值均为3.50元，且2222S S S S <<<丁甲乙丙，∴三月份苹果价格最稳定的超市是丙．故选C ．本题考查方差的意义：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据波动越小．4.如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体的个数为()A.4个B.5个C.6个D.7个【正确答案】B【详解】试题分析：由俯视图可得层几何体的个数，由主视图和左视图可得几何体第二层正方体的个数，相加即可．试题解析：俯视图中有4个正方形，那么层有4个正方体，由主视图可得第二层至多有2个正方体，有左视图可得第二层只有1个正方体，所以共有4+1=5个正方体．故选B ．考点：由三视图判断几何体．5.没有等式组{32x 5x 21-<-≤的解集在数轴上表示为()A. B.C.D.【正确答案】B【详解】解：32521x x -<⎧⎨-≤⎩，解没有等式325x -<得：x ＞﹣1，解没有等式21x -≤得：x ≤3，故没有等式组的解集为﹣1＜x ≤3.故选B.用数轴表示没有等式解集的方法：（1）定边界点，若含有边界点，解集为实心点，若没有含边界，解集为空心圆圈；（2）定方向，大于向右，小于向左.6.如图，Rt AOC 的直角边OC 在x 轴上，ACO 90∠= ，反比例函数ky (x 0)x=>的图象与另一条直角边AC 相交于点D ，AD 1DC 2=，AOC S 3= ，则k (=)A.1B.2C.3D.4【正确答案】D【详解】解：由题意得，∵12AD DC =，3AOC S = ，∴223COD AOC S S == ，又∵2COD k S = ，∴k =4.故选D ．本题考查反比例函数系数k 的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积都是2k ．7.一个没有透明的盒子里装有120个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，那么估计盒子中红球的个数为（）A.36B.48C.70D.84【正确答案】D【详解】又题意得，盒子中黄球的个数约为120×0.3=36个，则盒子中红球的个数为120﹣36=84个.故选D.本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，发生的频率在某个固置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个的概率.8.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为()A.23B.3C.4D.8【正确答案】B【分析】由AE为角平分线，得到∠DAE=∠BAE，由ABCD为平行四边形，得到DC∥AB，推出AD=DF，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由△ADF≌△ECF（AAS），得出AF=EF，即可求出AE的长．【详解】解：∵AE为∠DAB的平分线，∴∠DAE=∠BAE，∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴∠BAE=∠DFA，∴∠DAE=∠DFA，∴∠DAE=∠DFA，∴AD=FD，又F为DC的中点，∴DF=CF，∴AD=DF=12DC=12AB=2，在Rt△ADG中，DG=1，∴AG∵DG ⊥AE ，∴AF =2AG，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAF =∠E ，∠ADF =∠ECF ，在△ADF 和△ECF 中，DAF E ADF ECF DF CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△ECF （AAS ），∴AF =EF ，则AE =2AF故选B ．9.如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°后得到正方形AB 1C 1D 1，边B 1C 1与CD 交于点O ，则图中阴影部分的面积是（）A.24π--B.24π-+C.142π+D.142π-【正确答案】B【分析】先根据正方形的边长，求得CB 1=OB 1=AC-AB 1-1，进而得到2111)2OB C S =- ，再根据S △AB1C1=12，以及扇形的面积公式即可得出图中阴影部分的面积．【详解】连结DC 1，∵∠CAC 1＝∠DCA ＝∠COB 1＝∠DOC 1＝45°，∴∠AC 1B 1＝45°，∵∠ADC ＝90°，∴A ，D ，C 1在一条直线上，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ＝2，∠OCB 1＝45°，∴CB 1＝OB 1∵AB 1＝1，∴CB 1＝OB 1＝AC ﹣AB 1＝2﹣1，∴211111(21)22OB C S OB CB ∆=⋅⋅=-，∵1111111111222AB C S AB B C =⋅=⨯⨯= ，∴图中阴影部分的面积＝2245(2)11(21)22360224ππ⨯⨯---=-+．故选B ．本题考查了旋转的性质，正方形性质、勾股定理以及扇形面积的计算等知识点的综合应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力．解题时注意：旋转前、后的图形全等．10.如图，四边形ABCD 为正方形，若AB 4=，E 是AD 边上一点(点E 与点A 、D 没有重合)，BE 的中垂线交AB 于M ，交DC 于N ，设AE x =，则图中阴影部分的面积S 与x 的大致图象是()A. B. C. D.【正确答案】C【详解】解：如图，过N 点作NF ⊥AB 于点F ，则AB =BC =NF ，∵∠MNF +∠FMN =90°，∠FMN +∠ABE =90°，∴∠ABE =∠MNF ，∴△MNF ≌△EBA （ASA ），∴BE =MN ，在△ABE 中，BE =，211822MBNE S BE MN x ∴=⋅=+四边形，∴阴影部分的面积2211168822S x x ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭．根据二次函数的图形和性质，这个函数的图形是开口向下，对称轴是y 轴，顶点是()0,8，自变量的取值范围是04x <<故选C ．二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.101()(2)2--+-=______．【正确答案】4【详解】解：原式5214=-+=.故答案为4.本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．12.若关于x 的一元二次方程()2k 2x 7x 10-+-=有两个没有相等的实数根，则k 的取值范围是______．【正确答案】41k 4>-且k 2≠【详解】解： 关于x 的一元二次方程()22710k x x -+-=有两个没有相等的实数根，∴()()22074210k k -≠⎧⎨=--->⎩，解得：414k >-且2k ≠．故答案为414k >-且2k ≠．本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零根的判别式240b ac =-> ，列出关于k 的一元没有等式组是解题的关键．13.如图，在△ABC 中，∠ACB=75°，∠ABC=45°，分别以点B 、C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 、N.作直线MN 交BC 于点E ，交AB 于点D ，若BC=2，则AC 的长为_____．【正确答案】3【详解】解：如图，连接CD ，由作图可知，DE 垂直平分线段BC ，DB DC ∴=，45B DCB ∴∠=∠= ，90BDC ADC ∴∠=∠= ，30ACD ∠=o ，CD DB ∴==，在Rt ACD △中，cos303AC CD =÷= ，故答案为3．14.如图，在ABC 中，若BC 4=，ABC 的面积为8，四边形DEFG 是ABC 的内接正方形，则正方形DEFC 的边长是______．【正确答案】2【分析】如图，作辅助线，证明(DE DG MN ==设为)x ，得到AM AN x =-；证明ADG ∽ABC ，列出比例式444x x -=，求出x 的值即可．【详解】如图，过点A 作AN BC ⊥，交DG 于点M ，交BC 于点N ，四边形DEFG 是正方形，(DE DG MN ∴==设为)x ，4BC = ，ABC 的面积为8，1482AN ∴⨯⨯=，4AN ∴=，4AM x =-；//DG BC ，ADG ∴ ∽ABC ，DG AM BC AN∴=，444x x -∴=，解得：2x =．故答案为2．该题以正方形为载体，主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质等来分析、判断、推理或解答15.如图，矩形ABCD 中，AD 4=，AB 7=，点E 为DC 上一动点，ADE 沿AE 折叠，点D 落在矩形ABCD 内一点D'处，若BCD' 为等腰三角形，则DE 的长为______．或324157-【分析】连接'DD ，利用折叠得出'AD AD =，利用矩形的性质，以及'BCD 为等腰三角形，需要分类讨论；进一步求得结论即可．【详解】①当''CD BD =时，如图连接'DD，由折叠性质，得'AD AD =，'DAE D AE ∠=∠，四边形ABCD 是矩形，AB CD ∴=，90ABC DCB ∠=∠= ，'BCD 为等腰三角形，''D B D C ∴=，''D BC D CB ∠=∠，''DCD ABD ∴∠=∠，在'DD C 和'AD B 中，''''DC AB DCD ABD CD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，'DD C ∴ ≌'AD B ，''DD AD ∴=，''DD AD AD ∴==，'ADD ∴ 是等边三角形，'60DAD ∴∠= ，30DAE ∴∠= ，12DE AE ∴=，设DE x =，则2AE x =，222(2)4x x -=，解得：x =，即DE =；②当'CD CB =时，如图连接AC ，又题意可知'4AD =，'4CD =，而44AC ==>+；故这种情况没有存在；③当'BD BC =时，如图过'D 作AB 的垂线，垂足为F ，延长'D F 交CD 于G，∵AD'BD'=，'D F AB ⊥，∴AF BF =，从而由勾股定理求得15' 2D ==，又易证 '~'AD F D EG ，设DE x =， 'D E x =，∴D'E D'G AD'AF =，即1542742x -=；解得327x -=；或324157-．此题考查翻折变换，矩形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握折叠的性质，证得三角形全等是解决问题的关键．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）16.先化简代数式22321124-+⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭a a a a ，再从22a -≤≤中选一个恰当的整数作为a 的值代入求值．【正确答案】21a a --，当0a =时，原式2=【分析】根据分式的运算法则即可化简，再代入使分式有意义的值即可求解．【详解】22321124-+⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭a a a a 22232124a a a a a +--+=÷+-21(2)(2)2(1)a a a a a -+-=⋅+-21a a -=-，由-2≤a ≤2，得到整数a =-2，-1，0，1，2，当a =-2，2，1时，分式没有意义，舍去；当0a =时，原式02201-==-．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式的运算法则．四、解答题（本大题共7小题，共67.0分）17.为了进一步贯彻落实关于弘扬中华传统文化的指示，央视推出了一系列爱过益智竞赛节目，如《中国谜语大会》、《中国成语大会》、《中国汉字听写大会》、《中国诗词大会》，节目受到了广大观众的普遍欢迎，我市某校拟举行语文学科节，校语文组打算模拟其中一个节目开展竞赛，在全校范围内随机抽取了部分学生就“在这四个节目中，你最喜欢的节目是哪一个？”的问题进行了，要求只能从“A ：《中国谜语大赛》，B ：《中国成语大会》，C ：《中国汉字听写大会》，D ：《中国诗词大会》”中选择一个选项，他们根据结果，绘制成了如下两幅没有完整的统计图：请你根据图中信息，解答下列问题：()1扇形统计图中，m=______，D选项所对应的圆心角度数为______ ；()2请你补全条形统计图；()3若该校共有2000名学生，请你估计其中选择D选项的学生有多少名？()4若九年级一班准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选择2名同学代表班级参加学校的比赛，请用表格或树状图分析甲和乙同学同时被选中的概率．【正确答案】（1）12，129.6（2）见解析（3）720（4）1 6【分析】（1）求出D类所占的百分比即可求出m的值；由D类的人数即可求出D选项所对应的圆心角度数；（2）求出C选项的人数即可补全条形统计图；（3）由样本中D选项所占的百分比即可求出该校共有2000名学生，选择D选项的学生数；（4）利用树状图法，然后利用概率的计算公式即可求解．【详解】解：（1）总人数=44÷22%=200人，所以D选项的百分比=72200×=36%，所以m=1-36%-22%-30%=12%；，D选项所对应的圆心角度数=72200×360°=129.6°故12，129.6；（2）补全图形如图所示：34422=200,÷（）％（人）722000720(.200⨯=人）因此，全校选择D选项的学生共有720人.（4）画树形图得：由表知，共有12种等可能的结果，而甲、乙同时被选中的结果有2种，所以，甲和乙同学同时被选中的概率为P =21=.12618.如图，在OAB 中，OA OB =，以点O 为圆心的O AB 的中点C ，连接OC ，直线AO 与O 相交于点E ，D ，OB 交O 于点F ，P 是DF 的中点，连接CE ，CF ，BP ．()1求证：AB 是O 的切线；()2若OA 4=，则①当AC =______时，四边形OECF 是菱形；②当AC =______时，四边形OCBP 是正方形【正确答案】（1）证明见解析（2）①当AC =时，四边形OECF 是菱形②当AC =时，四边形OCBP 是正方形【分析】（1）利用等腰三角形的性质得OC AB ⊥，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）①根据菱形的判定方法，当OE CE CF OF ===时，四边形OECF 为菱形，则可判断OCE 为等边三角形，所以60COE ∠= ，然后根据含30°的直角三角形三边的关系可计算出此时AC 的长；②利用正方形的判定方法，当//OP BC ，PB AB ⊥时，四边形OCBP 为正方形，则根据正方形的性质计算出此时BC 的长，从而得到AC 的长．【详解】（1）证明：OA OB = ，点C 为AB 的中点，OC AB ∴⊥，AB ∴是O 的切线；（2）①当OE CE CF OF ===时，四边形OECF 为菱形，此时OCE 为等边三角形，60COE ∴∠= ，sin 60AC OA ∴=︒=，即当AC =OECF 是菱形；②当//OP BC ，PB AB ⊥时，四边形OCBP 为正方形，此时22BC OC OB ===即当AC =时，四边形OCBP 是正方形．故答案为19.小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ，并测得B 、C 两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC 与地面在同一水平面上，其长度为100m ，求热气球离地面的高度_________．（结果保留整数）（参考数据：sin 350.57︒=，cos350.82︒=，tan 350.70︒=）【正确答案】233m【分析】作AD ⊥BC 交CB 的延长线于D ，设AD 为x ，表示出DB 和DC ，根据正切的概念求出x 的值即可．【详解】解：作AD ⊥BC 交CB 的延长线于D ，设AD 为x ，由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=35°，在Rt △ADB 中，∠ABD=45°，∴DB=x ，在Rt △ADC 中，∠ACD=35°，tan AD ACD CD∴∠=，710010x x ∴=+，解得，x ≈233．所以，热气球离地面的高度约为233米．故233．本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，解答时，注意正确作出辅助线构造直角三角形．20.如图，函数y=kx+b 与反比例函数y=的图象相较于A （2，3），B （﹣3，n ）两点．（1）求函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出没有等式kx+b ＞的解集；（3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，求S △ABC ．【正确答案】（1）反比例函数的解析式为：y=，函数的解析式为：y=x+1；（2）﹣3＜x ＜0或x ＞2；（3）5．【分析】（1）根据点A 位于反比例函数的图象上，利用待定系数法求出反比例函数解析式，将点B 坐标代入反比例函数解析式，求出n 的值，进而求出函数解析式（2）根据点A 和点B 的坐标及图象特点，即可求出反比例函数值大于函数值时x 的取值范围（3）由点A 和点B 的坐标求得三角形以BC 为底的高是10，从而求得三角形ABC 的面积【详解】解：（1）∵点A （2，3）在y=的图象上，∴m=6，∴反比例函数的解析式为：y=，∴n==﹣2，∵A （2，3），B （﹣3，﹣2）两点在y=kx+b 上，∴，解得：，∴函数的解析式为：y=x+1；（2）由图象可知﹣3＜x＜0或x＞2；（3）以BC为底，则BC边上的高为3+2=5，∴S△ABC=×2×5=5．21.某社区为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民借用．该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销：A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）；B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y A（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y B（元）．请解答下列问题：（1）分别写出y A、y B与x之间的关系式；（2）若该只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更？（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该设计出最的购买．【正确答案】解：（1）y A=27x+270，y B=30x+240；（2）当2≤x＜10时，到B超市购买，当x=10时，两家超市一样，当x＞10时在A超市购买；（3）先选择B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买130个羽毛球．【分析】（1）根据购买费用=单价×数量建立关系就可以表示出y A、y B的解析式；（2）分三种情况进行讨论，当y A=y B时，当y A＞y B时，当y A＜y B时，分别求出购买的；（3）分两种情况进行讨论计算求出需要的费用，再进行比较就可以求出结论．【详解】解:（1）由题意，得y A=（10×30+3×10x）×0.9=27x+270；y B=10×30+3（10x﹣20）=30x+240；（2）当y A=y B时，27x+270=30x+240，得x=10；当y A＞y B时，27x+270＞30x+240，得x＜10；当y A＜y B时，27x+270＜30x+240，得x＞10∴当2≤x＜10时，到B超市购买，当x=10时，两家超市一样，当x＞10时在A超市购买．（3）由题意知x=15，15＞10，∴选择A超市，y A=27×15+270=675（元），先选择B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，然后在A超市购买剩下的羽毛球：（10×15﹣20）×3×0.9=351（元），共需要费用10×30+351=651（元）．∵651元＜675元，∴是先选择B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买130个羽毛球．本题考查函数的应用，根据题意确列出函数关系式是本题的解题关键.22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC mAC n，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．【正确答案】（1）1；n m ；（2）①n m ；②n m ；（3）CE =5CE =．【详解】分析：(1)先用等量代换判断出ADE CDF ∠=∠，A DCB ∠=∠，得到ADE ∽CDF ，再判断出ADC ∽CDB 即可；(2)方法和()1一样，先用等量代换判断出ADE CDF ∠=∠，A DCB ∠=∠，得到ADE ∽CDF ，再判断出ADC ∽CDB 即可；(3)由()2的结论得出ADE ∽CDF ，判断出2CF AE =，求出DE ，再利用勾股定理，计算出即可．详解：()1当m n =时，即：BC AC =，90ACB ∠= ，90A ABC ∴∠+∠=，CD AB ⊥ ，90DCB ABC ∴∠+∠= ，A DCB ∴∠=∠，90FDE ADC ∠=∠= ，FDE CDE ADC CDE ∴∠-∠=∠-∠，即ADE CDF ∠=∠，ADE ∴ ∽CDF ，DE AD DF DC∴=，A DCB ∠=∠ ，90ADC BDC ∠=∠= ，ADC ∴∽CDB ，1AD AC DC BC ∴==，1DE DF∴=()290ACB ∠= ①，90A ABC ∴∠+∠=，CD AB ⊥ ，90DCB ABC ∴∠+∠= ，A DCB ∴∠=∠，90FDE ADC ∠=∠= ，FDE CDE ADC CDE ∴∠-∠=∠-∠，即ADE CDF ∠=∠，ADE ∴ ∽CDF ，DE AD DF DC∴=，A DCB ∠=∠ ，90ADC BDC ∠=∠= ，ADC ∴∽CDB ，AD AC n DC BC m ∴==，DE n DF m∴=②成立.如图，90ACB ∠= ，90A ABC ∴∠+∠=，又CD AB ⊥ ，90DCB ABC ∴∠+∠= ，A DCB ∴∠=∠，90FDE ADC ∠=∠= ，FDE CDE ADC CDE ∴∠+∠=∠+∠，即ADE CDF ∠=∠，ADE ∴ ∽CDF ，DE AD DF DC∴=，A DCB ∠=∠ ，90ADC BDC ∠=∠= ，ADC ∴∽CDB ，AD AC n DC BC m ∴==，DE n DF m∴=．()3由()2有，ADE ∽CDF ，12DE BC DF AC == ，12AD AE DE CD CF DF ∴===，2CF AE ∴=，在Rt DEF 中，DE =，DF =，EF ∴=，①当E 在线段AC 上时，在Rt CEF 中，())222CF AE AC CE CE ==-=，EF =，根据勾股定理得，222CE CF EF +=，)22[2]40CE CE ∴+=CE ∴=，或25(5CE =-舍)②当E 在直线AC 上时，在Rt CEF 中，())222CF AE AC CE CE ==+=，EF =根据勾股定理得，222CE CF EF +=，)22[2]40CE CE ∴+=，5CE ∴=，或CE =-舍)，即：CE =或5CE =．点睛：此题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解本题的关键，求CE 是本题的难点．23.如图，直线AB 交x 轴于点()B 4,0，交y 轴与点()A 0,4，直线DM x ⊥轴正半轴于点M ，交线段AB 于点C ，DM 6=，连接DA ，DAC 90∠= ．()1求点D 的坐标及过O 、D 、B 三点的抛物线的解析式；()2若点P 是线段MB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线，交AB 于点F ，交上问中的抛物线于点E ．①连接CE.请求出满足四边形DCEF 为平行四边形的点P 的坐标；②连接CE ，是否存在点P ，使BPF 与FCE 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若没有存在，请说明理由．【正确答案】()()2381y x 6x 2P ,023⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；①；②存在10P ,03⎛⎫ ⎪⎝⎭或6,03⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.【分析】（1）先求出点D 的坐标，再把()0,0O 、()2,6D 、()4,0B ，代入2y ax bx c =++，即可求出过O 、D 、B 三点的抛物线的解析式；（2）①先求出AB 所在的直线解析式，利用EF CD =列出方程求解即可；②存在；设(),0P x ，由于对顶角45CFE BFP ∠=∠= ，故当BPF 与FCE 相似时，分为：90ECF BPF ∠=∠= ，90CEF BPF ∠=∠= 两种情况，根据等腰直角三角形的性质求P 点坐标即可．【详解】()()14,0B ，4OB ∴=，122OM OB ∴==，6DM = ，()2,6D ∴，设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，把()0,0O 、()2,6D 、()4,0B ，代入得04261640c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得3260a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，∴过O 、D 、B 三点的抛物线的解析式为2362y x x =-+；（2）①()4,0B ，()0,4A ，AB ∴所在的直线解析式为4y x =-+，∵C 点横坐标为2，∴C 点坐标为(2，2)，624CD ∴=-=，则当4EF =时，满足四边形DCEF 为平行四边形，设点(),0P a ，F ∴的纵坐标为4a -+，E 的纵坐标为2362a a -+，()236442EF a a a ∴=-+--+=，解得2(a =舍去)或83a =，8,03P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭；②存在；过O 、D 、B 三点的抛物线的解析式为2362y x x =-+，由①得()2,2C ，设(),0P x ，2MP x ∴=-，4PB x =-，1.当90ECF BPF ∠=∠= 时(如图1)，BPF 与FCE 相似，过C 点作CH EF ⊥，∵OA =OB ，∴∠OBA =45°，∴CHE 、CHF 、PBF 为等腰直角三角形，则()2422PE PF FH EH PB MP x x x =++=+=-+-=，将(),E x x 代入抛物线()342y x x =--中，得()342x x x =--，解得0x =或103，故P 点坐标为10,03⎛⎫⎪⎝⎭；2.当90CEF BPF ∠=∠= 时(如图2)，此时，CEF ，BPF 为等腰直角三角形，则2PE MC ==，将(),2E x 代入抛物线()342y x x =--中，得()3242x x =--，解得626(3x -=舍去)或6263+，故P 点坐标为626,03⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为10,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或626,03⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭．2022-2023学年云南省曲靖市中考数学专项突破仿真模拟试题（4月）一、选一选1.sin30°的值为（）A.12B.32C.22D.332.如图所示的几何体的主视图为()A. B. C. D.3.反比例函数y=-3x的图象上有(-2,y1),(-3,y2)两点,则y1与y2的大小关系是()A.y1>y2B.y1=y2C.y1<y2D.没有确定4.如图，在△ABC中，DE∥BC，13ADAB ，BC=12，则DE的长是（）A.3B.4C.5D.65.如图，是由若干个大小相同的正方体搭成的几何体的三视图，该几何体所用的正方体的个数是（）A.6B.4C.3D.26.已知∠A为锐角，且cosA=0.6，那么（）A.0°＜∠A＜30°B.30°＜∠A＜45°C.45°＜∠A＜60°D.60°＜∠A＜90°7.如图,已知AB 是☉O 的直径,弦AD、BC 相交于P 点,那么DCAB的值为()A.sin ∠APCB.cos ∠APCC.tan ∠APCD.1tan APC8.如图，两条宽度均为40m 的国际公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（）．A.1600sinαm 2B.1600cosαm 2C.1600sinα（m 2）D.1600cosα（m 2）9.如图,反比例函数y=1k x与函数y=k 2x-k 2+2在同一直角坐标系中的图象相交于A,B 两点,其中A(-1,3),直线y=k 2x-k 2+2与坐标轴分别交于C,D 两点,下列说法:①k 1,k 2<0;②点B 的坐标为(3,-1);③当x<-1时,1k x <k 2x-k 2+2;④tan ∠OCD=-21k ,其中正确的是()A.①③B.①②④C.①③④D.①②③④10.如图,AB 是☉O 的直径,弦CD⊥AB 于点G,点F 是CD 上一点,且满足CF FD =13,连接AF 并延长交☉O 于点E,连接AD、DE,若CF=2,AF=3.给出下列结论:①△ADF∽△AED ;②FG=3;③tan ∠E=52;④S △ADF其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4二、填空题11.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=20,sin A=0.6,则BC=____.12.如图,反比例函数y=-6x图象上有一点P,PA⊥x轴于A,点B在y轴的负半轴上,那么△PAB的面积是____.13.小芳的房间有一面积为3m2的玻璃窗，她站在室内离窗子4m的地方向外看，她能看到窗前面一幢楼房的面积有____m2(楼之间的距离为20m).14.（2016江苏省盐城市）如图是由6个棱长均为1的正方体组成的几何体，它的主视图的面积为______．15.如图,已知直线y=x-2与y轴交于点C,与x轴交于点B,与反比例函数y=kx的图象在象限交于点A,连接OA,若S△AOB∶S△BOC=1∶2,则k的值为____.。

2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练：几何压轴—圆的综合（四）1．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线l⊥AB，分别交弦BC，于D，E两点，过点C的切线交射线l于点F．（1）求证：FC＝FD．（2）当E是的中点时，①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；②若＝，且AB＝30，则OP＝．2．如图⊙O的半径OA⊥弦BC于点D，E为优弧上一点，弦EA与BC交于点G，F为EA 延长线上一点，连结BF，∠FBC＝2∠BEA．（1）求证：BF为⊙O的切线．（2）若OA＝25，DG＝6，GC＝18．①请探究∠EBF与∠EGB的数量关系；②求BF的长．3．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．（1）求证：△ADF≌△BDG；（2）填空：①若AB＝4，且点E是的中点，求DF的长为；②取的中点H，当∠EAB的度数为30°时，求证：四边形OBEH为菱形．4．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）利用尺规作图，过点A作AD⊥CP于点D（保留作图痕迹，不写作法）；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若tan∠ABC＝，BE＝7，求线段PC的长．5．如图，线段AB＝10，P是线段AB上的动点，以AP为腰在线段AB的上方作等腰△PAC，且PA＝PC，cos∠CAP＝，以P为圆心，PB长为半径作⊙P交腰PC于点D（不与点P，C 重合）．（1）若D是PC的中点，求AC的长；（2）当⊙P与AC相切时，求⊙P的半径；（3）设BD＝x，AC＝y．①求y关于x的函数表达式；②连结AD，当△ADB的外接圆的圆心O在⊙P上时，求AC的长．6．如图1，AB是⊙O的直径，C，D为⊙C上不同于A，B的两点，连接AC，CD，BD，且∠ABD ＝2∠D，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于点F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若BF＝5，．①求直径AB的长；②如图2所示，连接OC，OD，BC，直接写出△ABC的面积与四边形OCBD的面积比值．7．如图，DE为半圆O的直径，A是DE延长线上一点，AB切半圆O于点C，连结OB，连结CD交OB于点F，∠B＝∠D．（1）求证：F为CD的中点．（2）若BC＝2AC，OF＝2，求AD的长．8．如图．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，DE是△ABC的中位线，连结BD，点F是边BC上的一个动点，连结AF交BD于H，交DE于G．（1）当点F是BC的中点时，求的值及GH的长；（2）当四边形DCFH与四边形BEGH的面积相等时，求CF的长；（3）如图2．以CF为直径作⊙O．①当⊙O正好经过点H时，求证：BD是⊙O的切线；②当的值满足什么条件时，⊙O与线段DE有且只有一个交点．9．如图，在正方形ABCD中，点E，F是分别是边AD和BC上的动点，且EF始终与以AB为直径的⊙O相切于点M，连结OE，OF．（1）求证：OE⊥OF；（2）对于结论“当点O，M，D共线时，tan∠OFE＝”，你认为正确吗？请说明理由．10．如图，矩形ABCD中，AB＝13，AD＝6．点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O与AB 交于点F，过点F作FG⊥BE于点G．（1）当E是CD的中点时：tan∠EAB的值为；（2）在（1）的条件下，证明：FG是⊙O的切线；（3）试探究：BE能否与⊙O相切？若能，求出此时BE的长；若不能，请说明理由．参考答案1．证明：（1）连接OC，（1）证明：连接OC∵CF是⊙O的切线，∴OC⊥CF，∴∠OCF＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵PD⊥AB，∴∠BPD＝90°，∴∠OBC+∠BDP＝90°，∴∠BDP＝∠DCF，∵∠BDP＝∠CDF，∴∠DCF＝∠CDF，∴FC＝FD；（2）如图2，连接OC，OE，BE，CE，①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵点E是的中点，∵OB＝OE＝OC，∴△BOE，△OCE均为等边三角形，∴OB＝BE＝CE＝OC∴四边形BOCE是菱形；②∵，∴设AC＝3k，BC＝4k（k＞0），由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即（3k）2+（4k）2＝302，解得k＝6，∴AC＝18，BC＝24，∵点E是的中点，∴OE⊥BC，BH＝CH＝12，＝OE×BH＝OB×PE，即15×12＝15PE，解得：PE＝12，∴S△OBE由勾股定理得OP＝＝＝9．故答案为：9．2．解：（1）证明：如图1，连接BO，∵OA⊥BC，∴∠ODB＝90°，∴∠OBD+∠BOD＝90°，∵∠BOD＝2∠BEA，∠FBC＝2∠BEA，∴∠BOD＝∠FBC，∴∠OBD+∠FBC＝90°，即∠OBF＝90°，∴BF⊥OB，∴BF为⊙O的切线；（2）①∠EBF＝∠EGB，理由如下：如图2，连接BO，AB，OE，过点B作BH⊥AG于点H，∵OA⊥BC，∴BD＝CD＝DG+CG＝6+18＝24，在Rt△OBD中，OB＝OA＝25，BD＝24，∴OD＝＝7，∴AD＝OA﹣OD＝25﹣7＝18．在Rt△BDA中，由勾股定理可得，AB＝＝30，∵BG＝BD+DG＝30，∴AB＝BG，∴∠BAG＝∠BGA，∵BH⊥AG，∴∠BGA+∠GBH＝90°，∴∠BAG+∠GBH＝90°，∵∠BOE+2∠EBO＝180°，∠BOE＝2∠BAG，∴2（∠BAG+∠EBO）＝180°，∴∠BAG+∠EBO＝90°，∴∠EBO＝∠GBH，∴∠EBO+∠OBF＝∠GBH+∠BHG，即∠EBF＝∠EGB．②如图2，在Rt△DAG中，由勾股定理得，AG＝＝6，∵OA⊥BC，∴＝，∴∠BEA＝∠GBA，∵∠BAE＝∠GAB，∴△ABE∽△AGB，∴，∴＝，∴AE＝BE＝15，∴EG＝AE﹣AG＝9，∵∠EBF＝∠EGB，∠BEF＝∠GEB，∴△EBF∽△EGB，∴，∴，∴BF＝50．3．解：（1）证明：如图1，∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝45°∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，∴∠ADF＝∠BDG＝90°∴∠DAF+∠BGD＝∠DBG+∠BGD＝90°∴∠DAF＝∠DBG∵∠ABD+∠BAC＝90°∴∠ABD＝∠BAC＝45°∴AD＝BD∴△ADF≌△BDG（ASA）；（2）①如图2，过F作FH⊥AB于H，∵点E是的中点，∴∠BAE＝∠DAE∵FD⊥AD，FH⊥AB∴FH＝DF，∵sin∠ABD＝＝sin45°＝，∴，即BF＝FD，∵AB＝4，∴BD＝4cos45°＝2，即BF+FD＝2，∴，∴＝4﹣2．故答案为：4﹣2．②证明：如图3，连接OH，EH，OE，∵∠AEB＝90°，∠EAB＝30°，∴∠ABE＝60°，∵点H是的中点，∴∠AOH＝∠HOE＝60°，∵OH＝OE＝OB，∴△OEH和△OBE都是等边三角形，∴OB＝OH＝HE＝BE，∴四边形OBEH为菱形．4．（1）解：如图，（2）证明：∵AD⊥PD，∴∠DAC+∠ACD＝90°．又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∴∠PCB+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠PCB．又∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD，∴OC∥AD，∴∠ACO＝∠DAC．∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAO，∴∠CAO＝∠PCB．∵CE平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF，∴∠CAO+∠ACF＝∠PCB+∠BCF，∴∠PFC＝∠PCF，∴PC＝PF，即△PCF是等腰三角形；（3）解：连接AE，∵CE平分∠ACB，∴＝，∴AE＝BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵BE＝7，∴AB＝BE＝14，∵∠PAC＝∠PCB，∠CPB＝∠APC，∴△PAC∽△PCB，∴．又∵tan∠ABC＝，∴，∴，设PC＝4k，PB＝3k，则在Rt△POC中，PO＝3k+7，OC＝7，∵PC2+OC2＝OP2，∴（4k）2+72＝（3k+7）2，∴k＝6 （k＝0不合题意，舍去）．∴PC＝4k＝4×6＝24．5．解：（1）如图1，作PE⊥AC于点E，∵D是AC的中点，∴PC＝2PD，∵PA＝PC，PD＝PB，∴PA＝2PB，AE＝CE，∵AB＝10，cos∠CAP＝，∴AP＝，∴AC＝2AP•cos∠CAP＝2×＝8，（2）设⊙P的半径为r，则AP＝10﹣r，作PE⊥AC于点E，则E点为所求的切点，在Rt△PEA中，sin∠CAP＝，∴EP＝（10﹣r），当⊙P与AC相切时，有EP＝r，∴（10﹣r）＝r，解得，r＝，∴当⊙P与AC相切时，⊙P的半径为．（3）①如图2，作PF⊥BD于点F，则BF＝DF，∴∠PBD＝∠PDB，∠CAP＝∠C，∴∠BPF＝∠BPD＝（∠CAP+∠C）＝∠CAP，∵DB＝x，AC＝y，∴PB＝FB＝x，AP＝AE＝y，∵PB+PA＝10，∴y＝10，∴y关于x的函数表达式为y＝12﹣x．②如图3，由题意得，延长FP与⊙P的交点O即为△ADB的外接圆的圆心，作OH⊥AB于点H，连接OB，OA，∵OA＝OB，∴AH＝BH＝5，∵∠BPF＝∠CAP，∴cos∠BPF＝cos∠OPH＝cos∠CAP＝，设PF＝3k，PB＝5k，则BF＝DF＝4k，PO＝PB＝5k，PH＝3k，∴k＝，∴x＝BD＝8k＝5，∴AC＝y＝12﹣x＝12﹣×5＝．6．（1）证明：连接OC．∵OA＝OC，∴∠1＝∠2．又∵∠3＝∠1+∠2，∴∠3＝2∠1．又∵∠ABD＝2∠CDB，∴∠4＝2∠1，∴∠4＝∠3，∴OC∥DB．∵CE⊥DB，∴OC⊥CF．又∵OC为⊙O的半径，∴CF为⊙O的切线；（2）①解：如图1，连结AD．∵∠ACD＝∠ABD，∠ABD＝∠EBF，∴∠ACD＝∠EBF，∴cos∠ACD＝cos∠EBF＝在Rt△BEF中，∵∠BEF＝90°，BF＝5，．∴BE＝BF•cos∠EBF＝3．∵OC∥BE，∴△FBE∽△FOC，∴．设⊙O的半径为r，∴，∴r＝．∵AB为⊙O直径，∴AB＝15．②解：如图2，过点D作DM⊥AB于点M，过点C作CN⊥AB于点N，连接AD．∵AB 是⊙O 直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°，∵OC ＝OB ＝，BF ＝5，∴OF ＝OB +BF ＝+5＝， ∵∠OCF ＝90°，∴CF ＝＝＝10，∵S △OCF ＝OF •CN ，∴CN ＝＝6，∵cos ∠ABD ＝cos ∠ACD ＝，AB ＝15，∴BD ＝AB ×＝15×＝9，∴AD ＝＝＝12，∵S △ABD ＝AD •BD ，∴DM ＝＝＝．∴S △ABC ＝AB ×CN ＝×15×6＝45，∵S 四边形OCBD ＝S △OBC +S △OBD ，∴S 四边形OCBD ＝OB ×DM ＝×OB ×（CN +DM ）＝＝， ∴＝．故答案为：．7．解：（1）连接OC，∵AB切半圆O于点C，∴OC⊥AB，∴∠BCO＝90°，∴∠B+∠BOC＝90°，∵OC＝OD，∴∠D＝∠DCO，∵∠B＝∠D，∴∠B＝∠DCO，∴∠DCO+∠BOC＝90°，∴∠CFO＝90°，∴OF⊥CD，∴F为CD的中点；（2）连接CE，∵OD＝OE，DF＝CF，∴CE＝2OF＝4，CE∥OF，∴△ACE∽△ABO，∴，∵BC＝2AC，∴AB＝3AC，∴＝，∴OB＝12，∵∠BCO＝∠CFO＝90°，∴∠OCF+∠COF＝∠COF+∠B＝90°，∴∠OCF＝∠B，∴△OCF∽△OBC，∴，∴，∴OC＝2，∴OE＝OC＝2，DE＝2OC＝4，∵CE∥OB，∴＝＝，∴AE＝OE＝，∴AD＝AE+DE＝5．8．解：（1）∵D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，∴BD，AF的交点H是△ABC的重心，∴DH：BH＝1：2，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴GF＝AF，∵D是AC的中点，∴G是AF的中点，∴AG＝GF，∴HF＝AF，∴GH＝AF，∵在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10，∴BC＝＝＝8，∴AF＝＝＝2，∴GH＝；（2）∵四边形DCFH与四边形BEGH的面积相等，∴四边形DCFG与△DEB的面积相等．∵△DEB的面积＝4×3÷2＝6，设DG＝a，CF＝2a，则（a+2a）×3÷2＝6，∴a＝，∴CF＝；（3）①如图2，连结CH，OH，∵CF为⊙O的直径，∴∠FHC＝∠AHC＝90°．∵D为AC的中点，∴AD＝CD＝DH，∴∠DCH＝∠DHC．∵OC＝OH，∴∠OCH＝∠OHC，∴∠DHO＝∠ACO＝90°，∴BD是⊙O的切线．②⊙O与线段DE有且只有一个交点时：（ⅰ）⊙O与DE相切，则⊙O的半径r＝3，则BF＝BC﹣CF＝8﹣6＝2，DG＝3，∴，（ⅱ）当⊙O经过点E时，设⊙O的半径为r，如图，连接OE，作OM⊥DE于点M，则ME＝4﹣r，OM＝3，OE＝r，∴ME2+OM2＝OE2，∴（4﹣r）2+32＝r2，解得：r＝，∴BF＝8﹣2r＝，DG＝，∴，综上，当或时，⊙O与线段DE有且只有一个交点．9．（1）证明：连接OM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴AD，BC是⊙O的切线，∵EF始终与以AB为直径的⊙O相切于点M，∴AE＝EM，∴∠MOE＝AOM，同理，∠MOF＝BOM，∴∠EOF＝，∴OE⊥OF；（2）解：不正确，理由如下：由题意，延长OM必经过点D，设OA＝x，则AD＝2x，∴tan∠ADO＝，设AE＝y，则EM＝y，∴DM＝＝2y，在Rt△DME中，DE＝y，∵EA+ED＝AD，∴y+y＝2x，∴＝，在Rt△OME中，tan∠EOM＝＝，∵∠EOM+∠OEM＝∠OFE+∠OEM＝90°，∴∠EOM＝∠OFE．∴tan∠OFE＝．10．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，CD∥AB，CD＝AB＝13，∴∠EAB＝∠DEA，∵E是CD的中点，∴DE＝CD＝，∴tan∠DEA＝＝＝．故答案为：．（2）证明：连接OF，在矩形ABCD中，AD＝BC，∠ADE＝∠BCE＝90°，又CE＝DE，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA．∵OF＝OA，∴∠OAF＝∠OFA，∴∠OFA＝∠EBA．∴OF∥EB．∵FG⊥BE，∴FG⊥OF，∴FG是⊙O的切线．（3）解：若BE能与⊙O相切，由AE是⊙O的直径，则AE⊥BE，∠AEB＝90°．设DE＝x，则EC＝13﹣x．由勾股定理得：AE2+EB2＝AB2，即（36+x2）+[（13﹣x）2+36]＝132，整理得x2﹣13x+36＝0，解得：x1＝4，x2＝9，∴DE＝4或9，当DE＝4时，CE＝9，BE＝＝＝3，当DE＝9时，CE＝4，BE＝＝＝2，∴BE能与⊙O相切，此时BE＝2或3．31/ 31。

专题01 二次函数基础上的数学建模类【方法综述】此类问题以实际问题为背景，一般解答方法是先按照题目要求利用各种数学知识，构造二次函数的数学模型，再通过将临界点带入讨论或者通过考察二次函数最值讨论解决实际问题。

【典例示范】类型一临界点讨论例1：（2019河北石家庄毕业班教学质量检测）跳绳是大家喜闻乐见的一项体育运动,集体跳绳时,需要两人同频甩动绳子,当绳子甩到最高处时,其形状可近似看作抛物线,下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图,两人拿绳子的手之间的距离为4m,离地面的高度为1m,以小明的手所在位置为原点建立平面直角坐标系.(1)当身高为15m的小红站在绳子的正下方,且距小明拿绳子手的右侧1m处时,绳子刚好通过小红的头顶,求绳子所对应的抛物线的表达式;(2)若身高为1.65m的小丽也站在绳子的正下方.①当小丽在距小亮拿绳子手的左侧1.5m处时,绳子能碰到小丽的头吗?请说明理由；②设小丽与小亮拿绳子手之间的水平距离为dm,为保证绳子不碰到小丽的头顶,求d的取值范围.(参考数据: √10取3.16)【答案】（1）y=−16x2+23x；（2）①绳子能碰到小丽的头，理由见解析；②1.684⩽d⩽2.316.【思路引导】（1）因为抛物线过原点，可设抛物线的解析式为：y=ax2+bx（a≠0），把小亮拿绳子的手的坐标（4，0），以及小红头顶坐标（1，1.5-1）代入，得到二元一次方程组，解方程组便可；（2）①由自变量的值求出函数值，再比较便可；①由y=0.65时求出其自变量的值，便可确定d的取值范围．【解析】（1）根据题意,设绳子所对应的抛物线的表达式为y=ax2+bx(a≠0)∵1.5-1=0.5，∴抛物线经过点(4,0)和点(1,0.5) ∴{16a +4b =0a +b =0.5 ，解得{a =−16b =23∴绳子对应的抛物线表达式为y =−16x 2+23x （2）①绳子能碰到小丽的头 理由如下：∵小丽在距小亮拿绳子手的左侧1.5m 处， ∴小丽所在位置与原点距离为4-1.5=2.5(m )，∴当x =2.5时，y =−16x 2+23x =−16×2.52+23×2.5=0.625∵1+0.625=1.625<1.65 ∴绳子能碰到小丽的头.②∵1.65-1=0.65，∴当y =0.65时，0.65=−16x 2+23x即10x 2−40x +39=0，解得：x =20±√1010∵√10取3.16 ∴x 1=20+3.1610=2.316，x 2=20−3.1610=1.684，∴4−2.316=1.684，4−1.684=2.316， ∴1.684≤d ≤2.316. 【方法总结】本题是二次函数的应用，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，应用二次函数的解析式由自变量求函数值，由函数值确定自变量等知识判定实际问题，关键是确定抛物线上点的坐标，和应用二次函数解析式解决实际问题．针对训练1．（2017内蒙古鄂尔多斯市东胜区）如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y =a(x −6)2+ℎ，已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为3m ，球场的边界距O 点的水平距离为14m. （1）当h=4时，求y 与x 的关系式（不要求写出自变量x 的取值范围） （2）当h=4时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围.【答案】(1) y =−118(x −6)2+4 ;(2)见解析;(3) h≥327.【解析】分析：（1）运用待定系数法求二次函数解析式；（2）由（1）可得函数解析式，当x =9时y=3.5,由此可判定球能越过网，令y =0时，求得x =6+6√2,所以球会出界;(3)把两临界值求出来即可. 详解：（1）当h=4时，y =a(x −6)2+4 ∵它过（0,2）， ∴2=a(0−6)2+4 ∵a =−118∴y =−118(x −6)2+4；（2）答：球能越过球网且球会出界 理由如下：由（1）可知， y =−118(x −6)2+4令x=9得y=3.5， ∵3.5＞3 ∴球能越过球网; 令y=0得x=6+6√2， ∵6+6√2＞14 ∴球会出界 （3）当球过球网时y =a(x −6)2+ℎ过（0，2）和（9,3） {36a +ℎ=29a +ℎ=3 解得：{a =−127ℎ=103 ∴-h≥103 当球到界时，y =a(x −6)2+ℎ过（0，2）和（14,0）{36a +ℎ=264a +ℎ=0 解得：{a =−114ℎ=327 ∴-h≥327 ∴h≥327时球一定能越过球网，又不出边界.2．（2018•河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB 距x 轴（水平）18米，与y 轴交于点B ，与滑道y=kx （x≥1）交于点A ，且AB=1米．运动员（看成点）在BA 方向获得速度v 米/秒后，从A 处向右下飞向滑道，点M 是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M ，A 的竖直距离h （米）与飞出时间t （秒）的平方成正比，且t=1时h=5，M ，A 的水平距离是vt 米． （1）求k ，并用t 表示h ；（2）设v=5．用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ，并求y 与x 的关系式（不写x 的取值范围），及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离；（3）若运动员甲、乙同时从A 处飞出，速度分别是5米/秒、v 乙米/秒．当甲距x 轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t 的值及v 乙的范围．【答案】（1）k=18，h=5t 2；（2）x=5t+1，y=﹣5t 2+18，y=−15x 2+25x +895，当y=13时，运动员在与正下方滑道的竖直距离是10米；（3）t=1.8，v 乙＞7.5 解：（1）由题意，点A （1，18）代入y=kx ，得：18=k1，∴k=18，设h=at 2，把t=1，h=5代入， ∴a=5， ∴h=5t 2；（2）∵v=5，AB=1， ∴x=5t+1， ∵h=5t 2，OB=18，∴y=﹣5t 2+18， 由x=5t+1， 则t=15（x -1），∴y=﹣15（x -1）2+18=−15x 2+25x +895，当y=13时，13=﹣15（x -1）2+18， 解得x=6或﹣4， ∵x≥1， ∴x=6，把x=6代入y=18x ， y=3，∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是13﹣3=10（米）； （3）把y=1.8代入y=﹣5t 2+18 得t 2=8125，解得t=1.8或﹣1.8（负值舍去） ∴x=10∴甲坐标为（10，1.8）恰号落在滑道y=18x 上，此时，乙的坐标为（1+1.8v 乙，1.8）， 由题意：1+1.8v 乙﹣（1+5×1.8）＞4.5， ∴v 乙＞7.5.3．（2019盘锦双台子区）一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮筐。

初中数学函数专题--一次函数第4节 一次函数背景的最值--将军饮马内容导航方法点拨一、求线段之和的最小值1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。

2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。

PmABmABmABPmABA'（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.mnmnmnnnm B例题演练题组1：AP+PB型例1．1．一次函数y＝kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．（1）求该函数的解析式；（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时直线PC与直线AB的交点坐标．【解答】解：（1）∵y＝kx+b过A（2，0），B（0，4），∴将点A、B的坐标代入y＝kx+b计算得，k＝﹣2，b＝4，∴该函数的解析式为：y＝﹣2x+4；（2）存在一点P，使PC+PD最小．∵O（0，0），A（2，0），且C为AO的中点，∴点C的坐标为（1，0），则C关于y轴的对称点为C′（﹣1，0），又∵B（0，4），A（2，0）且D为AB的中点，∴点D的坐标为（1，2），连接C′D，设C′D的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴y＝x+1是DC′的解析式，当x＝0时，y＝1，∴P（0，1）．∵PC+PD的最小值＝C′D，∴由勾股定理得C′D＝2，∴PC+PD的最小值为2；练1.1．已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+3分别交x轴、y轴于点A、B两点，直线l2：y＝﹣3x过原点且与直线l1相交于C，点P为y轴上一动点．（1）求点C的坐标；（2）求出△BCO的面积；（3）当P A+PC的值最小时，求此时点P的坐标．【解答】解：（1）∵直线l1：y＝x+3①与直线l2：y＝﹣3x②相交于C，∴联立①②解得，x＝﹣，y＝，∴C（﹣，）；（2）把x＝0代入y＝x+3得y＝3，∴B（0，3）∴OB＝3∵C（﹣，）∴△BCO的面积＝OB×|﹣|＝×3×＝；（3）在y＝x+3中，当y＝0时，x＝﹣3∴A（﹣3，0）作点A（﹣3，0）关于y轴的对称点A′（3，0），连接CA′交y轴于点P，此时PC+P A最小，如图：设直线CA′的解析式为y＝kx+b把C（﹣，），A′（3，0）代入上式得：，解得：∴直线CA′的解析式为y＝﹣x+令x＝0时y＝∴点P（0，）．练1.2．如图1，一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴y轴分别交于点A、点B，与正比例函数y＝x 的图象交于点C，将点C向右平移1个单位，再向下平移6个单位得到点D．（1）求△OAB的周长和点D的坐标；（2）如图2，点P是y轴上一动点，当CP+PD最小时，求点P的坐标；【解答】解：（1）在y＝﹣x+4 中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，﹣x+4＝0，解得：x＝8，∴AA（8，0）、B（0，4），∴在Rt△AOB中，AB＝，△OAB的周长为OA+OB+AB＝12+4，联立，解得，∴C点坐标为（2，3），又∵将点C向右平移1个单位，再向下平移6个单位得到点D，∴D点坐标为（3，﹣3）；（2）作点D关于y轴的对称点，连接CD′交y轴于点P′，连接P′D，此时CP+PD最小，设直线CD′的解析式为y＝kx+b，把点C（2，3），D′（﹣3，﹣3）代入得：，解得：，∴直线CD′的解析式为y＝，当x＝0时，y＝，∴P′的坐标为（0，），即当CP+PD最小时，点P的坐标为（0，）；练1.3．如图1，已知直线AC：y＝﹣x+b1和直线AB：y＝kx+b2交于x轴上一点A，且分别交y 轴于点C、点B，且OB＝2OC＝4．（1）求k的值；（2）如图1，点D是直线AB上一点，且在x轴上方，当S△ACD＝9时，在线段AC上取一点F，使得CF＝F A，点M，N分别为x轴、y轴上的动点，连接NF，将△CNF沿NF翻折至△C′NF，求MD+MC′的最小值；【解答】解：（1）OB＝2OC＝4，则点B、C的坐标分别为：（0，﹣4）、（0，2），将点C的坐标代入AC：y＝﹣x+b1并解得：AC的表达式为：y＝﹣x+2，令y＝0，则x＝6，故点A（6，0），将点B、A的坐标代入y＝kx+b2得：，解得：，故直线AB的表达式为：y＝x﹣4，即k＝；（2）由点B、C的坐标得，BC＝6，S△ACD＝S△BCD﹣S△BCA＝×BC×（x D﹣x A）＝×6（x D﹣6）＝9，解得：x D＝9，当x＝9时，y＝x﹣4＝2，故点D（9，2）；CF ＝F A，即CF ＝AC ＝＝，过点F作FH⊥y轴于点H，由直线AC的表达式知，∠OCA＝60°，则HF＝CF sin60°＝＝，CH ＝，故点F （，），作点D关于x轴的对称点D′（9，﹣2），连接C′D′，当D′、C′、F三点共线时，MD+MC′最小，MD+MC′最小值为D′F﹣F′C′＝D′F﹣CF ＝﹣＝﹣；题组2：AM+MN+NB最小型例2．1．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与y轴交于点A，过B（6，1）的直线l2与直线l1交于点C（m，﹣5）．（1）求直线l2的解析式；（2）若点D是第一象限位于直线l2上的一动点，过点D作DH∥y轴交l1于点H．当DH＝8时，试在x轴上找一点E，在直线l1上找一点F，使得△DEF的周长最小，求出周长的最小值；【解答】解：（1）将点C的坐标代入直线l1的表达式得：﹣5＝m+1，解得m＝﹣6，故点C（﹣6，﹣5），设直线l2的表达式为y＝kx+b，则，解得，故直线l2的表达式为y＝x﹣2；（2）设点D的坐标为（t，t﹣2），则点H（t，t+1），则DH＝t+1﹣（t﹣2）＝8，解得t＝10，故点D、H的坐标分别为（10，3）、（10，11）；过点D作直线l1的对称点D′，由直线l1的表达式知，该直线和x坐标轴的夹角为45°，连接D′H，则△D′DH为等腰直角三角形，故D′H＝DH＝8，故点D′（2，11），过点D作x轴的对称点D″，则点D″（10，﹣3），连接D″D′交直线l1于点F，交x轴于点E，则点E、F为所求点，此时，△DEF的周长最小，理由：由图形的对称性知，DF＝D′F，DE＝D″E，则△DEF的周长＝DE+DF+EF＝D″E+D′F+EF＝D″D′为最小，则D″D′＝＝2；练2.1．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+6分别与x轴、y轴交于A、B两点，其中AB＝3，点C在x轴的正半轴上，且OC＝OB．（1）求直线AB的解析式；（2）将直线AB向下平移个单位长度得到直线l1，直线l1与y轴交于点E，与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线l2，若点P为y轴上一个动点，Q为直线l2上一个动点，求△PQD的周长的最小值；【解答】解：（1）直线AB：y＝kx+6分别与x轴，y轴交于A、B两点，∴B点坐标为（0，6），A点坐标为（﹣，0），则OB＝6，OA＝||＝＞0，在Rt△AOB中，AB＝3，OA＝，OB＝6，∴（）2+62＝（3）2解得k＝2．（直线k＞0，负值舍去）．∴直线AB解析式为y＝2x+6，（2）将直线AB：y＝2x+6向下平移个单位长度得到直线l1：y＝2x﹣，与y轴交于点E，与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线l2，∴E点坐标（0，﹣），直线l2：y＝﹣，∵OC＝OB＝6，∴C点坐标（6，0），设直线BC的解析式为y＝k1x+b1，∴，解得，∴直线BC解析式为y＝﹣x+6，联立，解得，∴D点坐标为（，），如图所示，作D点关于直线l2对称点D'，关于y轴对称点D''，连接QD'，PD''，D'D''，，∴D'点坐标（，﹣），D''点坐标（﹣，），由对称性可知，QD'＝QD，PD''＝PD，△PQD周长＝PD+PQ+QD＝PD''+PQ+QD'≥D'D''，当点D''，P，D'，Q四点共线时，△PQD周长取得最小值D'D''，∵D'D''＝＝，∴△PQD周长取得最小值，练2.2．如图1．直线l1：y＝与x轴、y轴分别交于C、D两点，直线l2与x轴、y轴分别交于A（3，0），B两点，与直线l1交于点Q（6，a），点P为线段DQ上一动点．（1）求直线l2的解析式；（2）已知在y轴上有一动点E，直线l2上有一动点F，连接PE，PF，EF，当△PBD面积为6时，求△PEF周长的最小值；【解答】解：（1）将Q（6，a）代入y＝得：a＝﹣×6+3＝，∴Q（6，），设直线l2的解析式为y＝kx+b，将A（3，0），Q（6，）代入得：，解得，∴直线l2的解析式为y＝x﹣；（2）作P关于BQ的对称点P'，关于y轴的对称点P''，连接P'P''交y轴于E，交直线l2于F，如图：在y＝x﹣中，令x＝0得y＝﹣，∴B（0，﹣），在y＝中令x＝0得y＝3，∴D（0，3），∴BD＝4，∵△PBD面积为6，∴BD•x P＝6，即×4•x P＝6，解得x P＝3，在y＝中令x＝3得y＝2，∴P（3，2），由P关于BQ的对称点P'，关于y轴的对称点P''可知：PE＝P''E，PF＝P'F，△PEF周长为PE+EF+PF ＝P''E+EF+P'F，而P''、E、F、P'共线，∴此时△PEF周长最小，最小值为P'P''的长，∵P（3，2），∴P''（﹣3，2），由B（0，﹣），D（0，3），Q（6，），P（3，2）可得BD＝BQ＝DQ＝4，P 为DQ中点，∴△DBQ是等边三角形，∴∠DBP＝∠PBQ＝30°，∵P、P'关于直线BQ对称，∴∠QBP'＝∠PBQ＝30°，BP'＝BP＝6，∴∠DBP'＝90°，∴P'（6，﹣），∴P'P''＝6，∴△PEF周长的最小值为6；练2.3．如图1，已知直线AC的解析式为y＝﹣x+b，直线BC的解析式为y＝kx﹣2（k≠0），且△BOC的面积为6．（1）求k和b的值；（2）如图1，将直线AC绕A点逆时针旋转90°得到直线AD，点D在y轴上，若点M为x轴上的一个动点，点N为直线AD上的一个动点，当DM+MN+NB的值最小时，求此时点M的坐标及DM+MN+NB的最小值；【解答】解：（1）直线BC的解析式为y＝kx﹣2，则点C（0，﹣2），将点C的坐标代入y＝﹣x+b得：﹣2＝b，解得：b＝﹣2，故直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣2；△BOC的面积＝OB•CO＝2×OB＝6，解得：OB＝6，故点B（6，0），将点B的坐标代入y＝kx﹣2得：0＝6k﹣2，解得：k＝；故k＝，b＝﹣2；（2）将直线AC绕A点逆时针旋转90°得到直线AD，则点D（0，2），由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝x+2；过点B作点B关于直线AD的对称点B′，连接B′C交AD于点N，交x轴于点M，则点M、N为所求点，点C是点D关于x轴的对称点，则MC＝MD，而NB＝NB′，故DM+MN+NB＝MC+MN+NB′＝B′C为最小，直线AD的倾斜角为45°，BB′⊥AD，则AB＝AB′＝8，直线AB′与AD的夹角也为45°，故直线AB′⊥AB，故点B′（﹣2，8），由点B′、C的坐标得，直线B′C的表达式为：y＝﹣5x﹣2，令y＝0，即﹣5x﹣2＝0，解得：x＝﹣，故点M（﹣，0），DM+MN+NB最小值为B′C＝＝2；。

1.点P（x,y）在x轴上，y=0如图①中，点点出发沿运动到点的运动路程为，的面积为，与的函数图像如图②所示，则AB的长为（A. 10B. 12C. 14D. 16【答案】A【解析】由函数图像可知:当时，，面积最大时，可以求出，最后由勾股定理求出AB的值.【详解】当时，，面积最大时，∴，∴，解得或，∴，故选A.【点拨】本题考查函数图像与几何动点问题，需要分析清楚函数图像各个拐点的意义是解题关键.2.如图①，在矩形ABCD中，AB＞AD，对角线A C.B D相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动，设点P的运动路径为x，△AOP的面积为y，图②是y关于x的函数关系图象，则AB边的长为( )A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】根据图形，分情况分析：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3，推出AB•BC＝12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，可推出A B.【详解】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．∴AB•BC＝3，即AB•BC＝12．当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，∴AB+BC＝7．则BC＝7﹣AB，代入AB•BC＝12，得AB2﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3，因为AB＞BC，所以AB＝4．故选B．【点拨】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值.3.如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1 cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（ ）A. 2B.C.D.【答案】B【解析】通过分析图象，点F从点A到D用a s，此时，△FBC的面积为a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，B D=，应用两次勾股定理分别求B E和a．【详解】过点D作D E⊥B C于点E由图象可知，点F由点A到点D用时为a s，△F BC的面积为a cm2．∴A D=a∴D E•A D＝a∴D E=2当点F从D到B时，用s∴BD=Rt△D BE中，B E=∵A BCD是菱形∴E C=a-1，D C=aRt△D EC中，a2=22+（a-1）2解得a=故选B.【点拨】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．4.如图甲所示，A，B是半径为2的⊙O上两点，且OA⊥OB，点P从点A出发，在⊙O以每秒一个单位长度度速度匀速运动，回到点A运动结束，设P点的运动时间为x（单位：s），弦BP的长为y，那么在图乙中可能表示y与x函数关系的是（ ）A. ①B. ②C. ②或④D. ①或③【答案】D【解析】分两种情形讨论当点顺时针旋转时，图象是③，当点逆时针旋转时，图象是①，由此即可解决问题．【详解】解：当点顺时针旋转，到达⊙O顶点时，运动过程中BP逐渐增大，从增大到4，据此可以判断，y与x函数图象是③，当点逆时针旋转，到达B点时，运动过程中BP逐渐减小，从减小到0，据此可以判断，y与x函数图象是①，故①③正确，故选：D．【点拨】本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．5. 如图1，四边形是轴对称图形，对角线，所在直线都是其对称轴，且，相交于点E．动点P从四边形的某个顶点出发，沿图1中的线段匀速运动．设点P运动的时间为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则点P的运动路径可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根据图像，以及点的运动变化情况，前两段是y关于x的一次函数图像，判断y随x的增减变化趋势，第一段的最高值与第二段的最高值不相等，即可排除A,B,C选项．【详解】根据图像，前端段是y关于x的一次函数图像，∴应在A C,B D两段活动,故A，B错误，第一段y随x的增大而减小,第二段y随x增大而增大，第一段的最高值与第二段的最高值不相等，∵A E=E C∴C错误故选:D【点拨】本题考查函数的图像，比较抽象，解题的关键是根据图像判断函数值随自变量的值的增减变化情况，以及理解分段函数的最值是解题的关键．6.如图，菱形ABCD的边长为5 cm，s in A＝，点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿折线AB﹣BC﹣CD运动，到达点D停止；点Q同时从点A出发，以1 cm/s的速度沿AD运动，到达点D停止设点P运动x（s）时，△APQ的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象是（ ）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据题意可以分别得到各段y与x的函数解析式，从而可以解答本题．【详解】解：∵菱形ABCD的边长为5 cm，P，Q的速度都是1 cm/s，当时，，点都在运动，, 故选项A、\D错误，当时，点停止，点运动，高不变，，当时，点停止，点运动，，故选项B错误，选项C正确，故选:C．【点拨】本题考察了三角函数，菱形性质等知识点，讨论动点在不同边的情况，求出对应函数关系式，再去判断是解题关键．7.李叔叔开车上班，最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了几分钟，为了按时到单位，李叔叔在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶，则汽车行驶的路程y（千米）与行驶的时间t（小时）的函数关系的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据“路程速度时间”可得与之间的函数关系式，再根据加完油后，加快了速度可得后面的一次函数的一次项系数更大，图象更陡，由此即可得．【详解】解：设最初的速度为千米/小时，加快了速度后的速度为千米/小时，则，由题意得：最初以某一速度匀速行驶时，，加油几分钟时，保持不变，加完油后，，，函数的图象比函数的图象更陡，观察四个选项可知，只有选项B符合，故选：B．【点拨】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象的特征是解题关键．8..如图，在中，，，点从点沿边，匀速运动到点，过点作交于点，线段，，，则能够反映与之间函数关系的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分两种情况：①当P点在OA上时，即0≤x≤2时；②当P点在A B上时，即2＜x≤4时，求出这两种情况下的P C长，则y=P C•OC的函数式可用x表示出来，对照选项即可判断．【详解】解：∵△AOB是等腰直角三角形，A B=，∴O B=4．①当P点在OA上时，即0≤x≤2时，P C=O C=x，S△P OC=y=PC•OC=x2，是开口向上的抛物线，当x=2时，y=2；O C=x，则B C=4-x，P C=B C=4-x，S△P OC=y=PC•OC=x（4-x）=-x2+2x，是开口向下的抛物线，当x=4时，y=0．综上所述，D答案符合运动过程中y与x的函数关系式．故选：D．【点拨】本题主要考查了动点问题的函数图象，解决这类问题要先进行全面分析，根据图形变化特征或动点运动的背景变化进行分类讨论，然后动中找静，写出对应的函数式．。