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人教版2024中考数学第一轮复习练习题—应用题分类复习类型一、一元一次方程的应用1、某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人．（1）调入多少名工人；（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，1个螺柱需要2个螺母，为使每天生产的螺桩和螺母刚好配套，应该安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？2、甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下：超过20千克购苹果数不超过10千克超过10千克但不超过20千克每千克价格10元9元8元甲班分两次共购买苹果30千克（第二次多于第一次），共付出256元；而乙班则一次购买苹果30千克．（1）乙班比甲班少付出多少元？（2）设甲班第一次购买苹果x千克．①则第二次购买的苹果为千克；②甲班第一次、第二次分别购买多少千克？3、有一批核桃要加工成罐头，甲工人每天能加工32公斤，乙工人每天能加工48公斤，且甲单独加工这批核桃要比乙多用10天．(1)这批核桃共多少公斤？(2)为了尽快加工完成，先由甲、乙两工人按原速度合作一段时间后，甲工人停工，而乙工人每天的生产速度提高25%，乙工人单独完成剩余部分，且乙工人的全部工作时间是甲工人工作时间的3倍还多1天，求乙工人共加工多少天？类型二、二元一次方程组的应用1、某商场从厂家购进了A、B两种品牌篮球，第一批购买了这两种品牌篮球各40个，共花费了7200元．全部销售完后，商家打算再购进一批这两种品牌的篮球，最终第二批购进50个A品牌篮球和30个B 品牌篮球共花费了7400元．两次购进A、B两种篮球进价保持不变．(1)求A、B两种品牌篮球进价各为多少元一个；(2)第二批次篮球在销售过程中，A品牌篮球每个原售价为140元，售出40个后出现滞销，商场决定打折出售剩余的A品牌篮球；B品牌篮球每个按进价加价30%销售，很快全部售出．已知第二批次两种品牌篮球全部售出后共获利2440元，求A品牌篮球打几折出售2、“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡、兔关在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿，问笼中各有几只鸡和兔？3、根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）放入一个小球水面升高_____________cm，放入一个大球水面升高_____________cm；（2）如果要使水面上升到50cm，应放入大球、小球各多少个？类型三、分式方程的应用1、某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？2、为了响应“保护环境，低碳生活”的号召，张老师决定将上班的交通方式由开汽车改为骑自行车．张老师家距学校6千米，由于汽车的平均速度是自行车平均速度的4倍，所以张老师每天比原来提前30分钟出发，才能按原来的时间到校，求张老师骑自行车的平均速度是每小是多少千米．3、甲、乙两人去市场采购相同价格的同一种商品,甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件.(1)求这种商品的单价;(2)甲、乙两人第二次再去采购该商品时,单价比上次少了20元/件,甲购买商品的总价与上次相同,乙购买商品的数量与上次相同,则甲两次购买这种商品的平均单价是元/件,乙两次购买这种商品的平均单价是元/件.(3)生活中,无论油价如何变化,有人总按相同金额加油,有人总按相同油量加油,结合(2)的计算结果,建议按相同加油更合算(填“金额”或“油量”).类型四、一元一次不等式（组）的应用1、某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？2、某商店购进A，B两种教学仪器，已知A仪器价格是B仪器价格的1.5倍，用450元购买A仪器的数量比用240元购买B仪器数量多2台．(1)求A，B两种仪器单价分别是多少元？(2)该商店购买两种仪器共100台，且A型仪器数量不少于B型仪器数量的14，那么A型仪器最少需要购买多少台，求A型仪器执行最少购买量时购买两种仪器的总费用．3、某地区为筹备一项庆典，计划搭配A，B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉30盆；搭配一个B种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉60盆，且搭配一个A种造型的花卉成本是270元，搭配一个B种造型的花卉成本是360元．（1）试求甲、乙两种花卉每盆各多少元？（2）若利用现有的2295盆甲种花卉和2190盆乙种花卉进行搭配，则有哪几种搭配方案？（3）在（2）的搭配方案中花卉成本最低的方案是哪一种？最低成本是多少元？类型五、一元二次方程的应用1、如图所示，在一块长为32米，宽为15米的矩形草地上，在中间要设计﹣横二竖的等宽的、供居民散步的小路，要使小路的面积是草地总面积的八分之一，请问小路的宽应是多少米？2、某经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元.该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨.(1)填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是吨；(2)该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？3、周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A 地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．(1)求小明、小红的跑步速度；(2)若从A 地到达B 地后，小明以跑步形式继续前进到C 地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A 地到C 地锻炼共用多少分钟．类型六、一次函数的应用1、在创建全国文明城市过程中，官渡区决定购买A 、B 两种树苗对某路段道路进行绿化改造.已知购买A 种树苗5棵，B 种树苗3棵，需要840元；购买A 种树苗3棵，B 种树苗5棵，需要760元.（1）求购买A 、B 两种树苗每棵各需多少元?（2）现需购进这两种树苗共100棵，考虑到绿化效果和资金周转，购进A 种树苗不能少于30棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过10000元，怎样购买所需资金最少?2、临沂到海口货运路线总长2400千米．交通法规定：货车在这条路线上行驶速度范围是：60≤x ≤100（单位：km/h ，x 表示货车的行驶速度，假设货车保持匀速行驶），该货车每小时耗油（x 32400−x 220+85x ）升，柴油价格是10元/升．（1）求该货车在这条路线上行驶时全程的耗油量Q （升）关于车速x 之间的函数关系式．（2）求车速为何值时，该车全程油费最低，并求出最低油费．（3）刘师傅欲将一车香蕉由海南运往临沂，公司要求在32小时之内（包含32小时）到达．否则刘师傅将支付2000元的超时高额罚款．请计算刘师傅的最佳车速．3、某文具店准备购进A、B两种品牌的文具袋进行销售，若购进A品牌文具袋和B品牌文具袋各5个共花费120元，购进A品牌文具袋3个和B品牌文具袋4个共花费88元.（1）求购进A品牌文具袋和B品牌文具袋的单价；（2）若该文具店购进了A，B两种品牌的文具袋共100个，其中A品牌文具袋售价为12元，B品牌文具袋售价为23元，设购进A品牌文具袋x个，获得总利润为w元.①求w关于x的函数关系式；②要使销售文具袋的利润最大，且所获利润不低于进货价格的45%，请你帮该文具店设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值.类型七、二次函数的应用1、某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月售出500kg，销售价每涨价1元，月销售量就减少5kg．(1)当销售单价定为60元时，计算月销售量和销售利润．(2)商店想让顾客获得更多实惠的情况下，使月销售利润达到9000元，销售单价应定为多少？(3)当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．2、小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，当售价为30元时销量为200件，每涨1元少卖10件，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．(1)设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．(2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？(3)如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？3、某游乐场的圆形喷水池中心O有一喷水管OA，0.5OA 米，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上．已知在与池中心O点水平距离为3米时，水柱达到最高，此时高度为2米．(1)求水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式；(2)身高为1.67m的小颖站在距离喷水管4m的地方，她会被水喷到吗？(3)现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离7m，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点3m处达到最高，则喷水管OA要升高多少？。
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！专题一 规律探索问题类型1 数字规律1．甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2020时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是__337__分．解析：甲报的数中第一个数为1，第2个数为1＋3＝4，第3个数为1＋3×2＝7，第4个数为1＋3×3＝10，…，第n 个数为1＋3(n －1)＝3n －2，3n －2＝2020，则n ＝674，甲报出了674个数，一奇一偶，所以偶数有674÷2＝337个，得337分．2．如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一顶点开始，沿五边形的边顺时针行走，顶点编号是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”，则他所处顶点的编号为__3__．3．(2017·六盘水)计算1＋4＋9＋16＋25＋…的前29项的和是__8555__．解析：12＋22＋32＋42＋52＋…＋292＋…＋n 2＝0×1＋1＋1×2＋2＋2×3＋3＋3×4＋4＋4×5＋5＋…(n －1)n ＋n＝(1＋2＋3＋4＋5＋…＋n)＋[0×1＋1×2＋2×3＋3×4＋…＋(n －1)n]＝n （n ＋1）2＋{13(1×2×3－0×1×2)＋13(2×3×4－1×2×3)＋13(3×4×5－2×3×4)＋…＋13[(n －1)·n·(n ＋1)－(n －2)·(n －1)·n]}＝n （n ＋1）2＋13[(n －1)·n·(n ＋1)]＝n （n ＋1）（2n ＋1）6， ∴当n ＝29时，原式＝29×（29＋1）×（2×29＋1）6＝8555. 类型2 图形规律4．(2017·天水)观察下列的“蜂窝图”则第n 个图案中的“”的个数是__3n ＋1__．(用含有n 的代数式表示)5．(2017·临沂)将一些相同的“○“按如图所示摆放，观察每个图形中的“○“的个数，若第n 个图形中“○“的个数是78，则n 的值是( B )A ．11B ．12C ．13D ．14解：第1个图形有1个小圆；第2个图形有1＋2＝3个小圆；第3个图形有1＋2＋3＝6个小圆；第4个图形有1＋2＋3＋4＝10个小圆；第n 个图形有1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2个小圆；∵第n 个图形中“○“的个数是78，∴78＝n （n ＋1）2，解得：n 1＝12，n 2＝－13(不合题意舍去)．6．(2017·德州)观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图2，图3…)，则图6中挖去三角形的个数为( C )A ．121B ．362C ．364D ．729解：图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的(1＋3)个小三角形，图3挖去中间的(1＋3＋32)个小三角形，…则图6挖去中间的(1＋3＋32＋33＋34＋35)个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形，类型3 坐标变化规律7．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a ，b)，若规定以下三种变换：①△(a ，b)＝(－a ，b)；②○(a ，b)＝(－a ，－b)；③Ω(a ，b)＝(a ，－b)，按照以上变换例如：△(○(1，2))＝(1，－2)，则○(Ω(3，4))等于__(－3，4)__．8．(2017·衢州)如图，正△ABO 的边长为2，O 为坐标原点，A 在x 轴上，B 在第二象限，△ABO 沿x 轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A 1B 1O ，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__(5，3)__，翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为 (134633＋896)π ．解析：如图作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝5，B 3E ＝3，∴B 3(5，3)，观察图象可知三次一个循环，一个循环点M 的运动路径为120·π·3180＋120π·1180＋120π·1180＝(23＋43)π，∵2017÷3＝672…1，∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为672·(23＋43)π＋233π＝(134633＋896)π.9．(2017·菏泽)如图，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线y ＝－33x 上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线y ＝－33x 上，依次进行下去…若点B 的坐标是(0，1)，则点O 12的纵坐标为__(－9－93，9＋33)__．解：观察图象可知，O 12在直线y ＝－33x 时，OO 12＝6·OO 2＝6(1＋3＋2)＝18＋63， ∴O 12的横坐标＝－(18＋63)·cos30°＝－9－93，O 12的纵坐标＝12OO 12＝9＋33，∴O 12(－9－93，9＋33)． 10．定义：直线l 1与l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线l 1、l 2的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q)是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是( C )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：如图，∵到直线l 1的距离是l 的点在与直线l 1平行且与l 1的距离是1的两条平行线a 1、a 2上，到直线l 2的距离为2的点在与直线l 2平行且与l 2的距离是2的两条平行线b 1、b 2上，∴“距离坐标”是(1，2)的点是M 1，M 2，M 3，M 4，一共4个．11．(2017·绍兴模拟)在平面直角坐标系中，对图形F 给出如下定义：如图形F 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度．例如，图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°.现将二次函数y ＝ax 2(1≤a ≤3)的图象在直线y ＝1下方的部分沿直线y ＝1向上翻折，则所得图形的坐标角度α的取值范围是( B )A ．30°≤α≤60°B ．60°≤α≤90°C ．90°≤α≤120°D ．120°≤α≤150°12．(2017·昆山二模)赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x 轴和y 轴，大正方形的顶点B 1，C 1，C 2，C 3，…，C n 在直线y ＝－12x ＋72上，顶点D 1，D 2，D 3，…，D n 在x 轴上，则第n 个阴影小正方形的面积为__(23)2n －2__．解：设第n 个大正方形的边长为a n ，则第n 个阴影小正方形的边长为55a n，当x ＝0时，y ＝－12x ＋72＝72，∴72＝55a 1＋52a 1，∴a 1＝ 5.∵a 1＝a 2＋12a 2，∴a 2＝235，同理可得：a 3＝23a 2，a 4＝23a 3，a 5＝23a 4，…，∴a n ＝(23)n －1a 1＝5(23)n －1，∴第n 个阴影小正方形的面积为(55a n )2＝[(23)n －1]2＝(23)2n －2.。
专题四归纳与猜想专题提升演练1.观察下面的几个算式:1+2+1=4,1+2+3+2+1=9,1+2+3+4+3+2+1=16,1+2+3+4+5+4+3+2+1=25,……,根据你所发现的规律,请直接写出下面式子的结果:1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1的值为( )A.100B.1 000C.10 000D.100 0002.将正整数按如图所示的规律排列下去,若有序实数对(n,m)表示第n排,从左到右第m个数,如(4,2)表示9,则表示58的有序数对是( )A.(11,3)B.(3,11)C.(11,9)D.(9,11)3.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据这种规律,m的值是.4.下图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案,第(1)个图案中有6根小棒,第(2)个图案中有11根小棒……则第(n)个图案中有根小棒.5.【问题情境】如图①,四边形ABCD是正方形,M是BC边上的一点,E是CD边的中点,AE平分∠DAM.【探究展示】(1)证明AM=AD+MC.(2)AM=DE+BM是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.【拓展延伸】(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形,其他条件不变,如图②,探究展示(1)(2)中的结论是否成立?请分别作出判断.证明延长AE,BC并交于点N,如图①(甲),图①(甲)∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC.∴∠DAE=∠ENC.∵AE平分∠DAM,∴∠DAE=∠MAE.∴∠ENC=∠MAE.∴MA=MN.在△ADE和△NCE中,错误！未找到引用源。
∴△ADE≌△NCE(AAS).∴AD=NC.∴MA=MN=NC+MC=AD+MC.(2)AM=DE+BM成立.证明:过点A作AF⊥AE,交CB的延长线于点F,如图①(乙)所示.图①(乙)∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AB=AD,AB∥DC.∵AF⊥AE,∴∠FAE=90°.∴∠FAB=90°-∠BAE=∠DAE.在△ABF和△ADE中,错误！未找到引用源。
2022年春人教版九年级数学中考复习《最值问题—胡不归》专题突破训练（附答案）1．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上一动点，则AD+DC的最小值为（）A．2+6 B．6 C．+3 D．32．如图．在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（0，3），点C坐标为（2，0），点B为线段OA上一个动点，则AB+BC的最小值为（）A．B．5 C．3D．53．如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝10，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是（）A．B．C．D．84．如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于（）A．B．3 C．3D．2+25．已知等边△ABC中AD⊥BC，AD＝12，若点P在线段AD上运动，当AP+BP 的值最小时，AP的长为（）A．4 B．8 C．10 D．126．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，延长BC至D使CD ＝BC，连接AD，若E为线段CD的中点，且AD＝4，点P为线段AC上一动点，连接EP，BP，则EP+AP的最小值为，2BP+AP的最小值为．（注：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．）7．如图，矩形ABCD中，AB＝4，∠ABD＝60°，点M为AB的中点，点P为AD边上一动点，则2PM+PD的最小值为．8．如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接P A，PB，则3P A+PB 的最小值为．9．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD 上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为．10．如图，直角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝1，，BD是∠ABC的平分线，点P是线段BD上的动点，求的最小值．11．如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，AM＝1，点E、点N分别为线段AB、BC上动点，且CN＝2AE，当DE⊥MN时，则AE＝；在运动过程中，2DE+MN的最小值为．12．【问题探究】在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝2．（1）如图1．E为AD的中点，则点E到AB的距离为；（2）如图2，M为AD上一动点．则AM+MC的最小值为；【问题解决】如图3，A，B两地相距600km，AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，中转站M应修在距A地km处．13．如图，ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝1，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于．14．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C 的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则AP+PC的最小值是．15．如图在△ABC中．∠B＝45°．AB＝4．点P为直线BC上一点．当BP+2AP 有最小值时，∠BAP的度数为．16．如图，在长方形ABCD中，对角线BD＝6，∠ABD＝60°．将长方形ABCD 沿对角线BD折叠，得△BED，点M是线段BD上一点．则EM+BM的最小值为．17．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P是直线BD上一动点，连接PC，当PC+的值最小时，线段PD长是．18．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为．19．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝3，D是BC边上一点，动点P从点A出发，沿折线AD﹣DC运动到C点，若动点P在DC上的运动速度是它在AD上运动速度的倍，试确定点D的位置，使动点P走完全程所用的时间最短．20．如图，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求①2AP+BP，②AP+3BP的最小值．21．如图，点A，B在⊙O上，且OA＝OB＝12，OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝10，动点P在⊙O上，求PC+PD的最小值．22．如图，AB为半圆直径，AB＝4，点P为半圆上一动点，过点P作PQ⊥AB，求PQ+3AQ的最大值．23．如图，点A（﹣2，0），B（4，0），C（﹣5，3），D为线段BC上一点（不含端点），连接AD，一动点P从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位的速度运动到D，再沿线段DC以每秒2个单位的速度运动到C后停止，要使点P 在整个运动过程中用时最少，求点D的坐标．参考答案1．解：过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，如图所示：在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，∴DF＝DC，∵AD+DC＝AD+DF，∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，此时，∠B＝∠ADB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD＝AB＝2，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，∴BC＝4，∴DC＝2，∴DF＝DC＝1，∴AF＝AD+DF＝2+1＝3，∴AD+DC的最小值为3，故选：D．2．解：如图，在x轴上取点D（﹣3，0），连接AD，过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，∵tan∠DAO＝＝，∴∠DAO＝30°，∠ADO＝60°，∴EB＝AB，∴AB+BC＝EB+BC≥CF，∵CD＝OD+OC＝3＝5，∴CF＝CD sin60°＝，∴AB+BC的最小值为．故选：A．3．解：如图，以AP为斜边在AC下方作等腰Rt△ADP，过B作BE⊥AD于E，∵∠P AD＝45°，∴sin∠P AD＝＝，∴DP＝AP，∴AP+PB＝DP+PB≥BE，∵∠BAC＝15°，∴∠BAD＝60°，∴BE＝AB sin60°＝5，∴AP+PB的最小值为5．故选：B．4．解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，∵AB∥CD，∴∠EDP＝∠DAB＝60°，∴sin∠EDP＝＝，∴EP＝PD∴PB+PD＝PB+PE∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，∵sin∠A＝＝，∴BE＝3，故选：C．5．解：如图，作BE⊥AC于点E，交AD于点P，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴∠DAC＝30°∴PE＝AP当BP⊥AC时，AP+BP＝PE+BP的值最小，此时，AP＝AD＝8．故选：B．6．解：如图，作PF⊥AB于F，EH⊥AB于H，∵CD＝BC，∠ACB＝90°，∴AD＝AB，∵∠BAC＝30°，∴PF＝AP，∠ABC＝60°，∴EP+AP的最小值为EH，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD＝4，∴BE＝3，∴BH＝BE＝，∴EH＝，∴EP+AP的最小值为，∵2BP+AP＝2（BP+），同理作PM⊥AD于M，BG⊥AD于G，∴BP+的最小值为BG＝2，∴2BP+AP＝2×2＝4，∴2BP+AP的最小值为4，故答案为：，4．7．解：如图，∵点M是AB的中点，∴AM＝，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵∠ABD＝60°，∴AD＝AB•tan60°＝4，∴DM2＝AD2+AM2＝（4）2+22＝52，∴在矩形外部，作∠ADE＝30°，作PH⊥DE于H，连接MD，∴PH＝，∴PM+＝PM+PH＞MH，∴过MG⊥DE于G，交AD于P（P′），则PM+PH的最小值是MG，∵∠DGM＝∠A＝90°，∠DP′G＝∠AP′M，∴∠AMP＝∠ADE＝30°，∴AP′＝AM•tan30°＝，∴DP′＝AD﹣AP′＝4﹣＝，∴DG＝DP′•cos30°＝＝5，∴MG＝＝＝3，∴2PM+PD＝2（PM+PD）＝2×＝6，故答案是6．8．解：如图，在y轴上取点H（0，9），连接BH，∵点A（0，1），点B（2，0），点H（0，9），∴AO＝1，OB＝2，OH＝9，∵，∠AOP＝∠POH，∴△AOP∽△POH，∴，∴HP＝3AP，∴3P A+PB＝PH+PB，∴当点P在BH上时，3P A+PB有最小值为HB的长，∴BH＝＝＝，故答案为：．9．解：如图，在Rt△DEF中，G是EF的中点，∴DG＝，∴点G在以D为圆心，2为半径的圆上运动，在CD上截取DI＝1，连接GI，∴＝＝，∴∠GDI＝∠CDG，∴△GDI∽△CDG，∴＝，∴IG＝，∴BG+＝BG+IG≥BI，∴当B、G、I共线时，BG+CG最小＝BI，在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，∴BI＝5，故答案是：5．10．解：如图，过点P作PE⊥AB于E，∵∠A＝30°，BC＝1，∠ACB＝90°，∴AB＝2BC＝2，∠ABC＝60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∵PE⊥AB，∴PE＝PB，∴CP+PB＝CP+PE，∴当点P，点C，点E三点共线，且CE⊥AB时，CP+PB有最小值为CE，∴CE＝＝＝，故答案为：．11．解：如图，作NF⊥AD于F，可得DF＝CN，FN＝CD＝5，设AE＝x，则DF＝CN＝2x，∴MF＝2﹣2x，∵∠A＝∠MOE＝90°，∴∠FMN＝∠AED，∴△ADE∽△FNM，∴＝，∴＝，∴x＝，∴AE＝，∵2DE+MN＝2+＝+，∴在直角坐标系中，A（2x，0）到（B（0，6）及到C（2，5）的距离之和，如图1，当A、B、C共线时，2DE+MN最小＝＝5，故答案是：，5．12．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝2，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，∵AD⊥BC，∴∠BAD＝30°，BD＝1，∴AD＝，过E作EM⊥AB，垂足为M，∵E为AD的中点，∴AE＝，∴EM＝AE＝，故答案为：；（2）如图，作CN⊥AB，垂足为N，此时AM+MC最小，最小值等于CN，∵在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝2，CN⊥AB，∴∠ACN＝∠BCN＝30°，∴AN＝AC＝1，由勾股定理得，CN＝＝＝，由（1）知，MN＝AM，∴MN+CM＝AM+MC＝CN＝，即AM+MC的最小值为，故答案为：；【问题解决】如图，作BD⊥AC，垂足为点D，在AC异于点B的一侧作∠CAN ＝30°，作BF⊥AN，垂足为点F，交AC于M，则点M即为所求，在Rt△ABD中，AB＝600km，BD＝360km，∴AD＝＝480，易知∠MBD＝∠MAF＝30°，在Rt△MBD中，∠MBD＝30°，BD＝360km，则MB＝2MD，由勾股定理得MD＝120km，∴AM＝AD﹣MD＝（480﹣120）km．故答案为（480﹣120）．13．解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，∵AB∥CD，∴∠EDP＝∠DAB＝60°，∴sin∠EDP＝＝，∴EP＝PD，∴PB+PD＝PB+PE，∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，∵sin A＝＝，∴BE＝3，故答案为：3．14．解：作∠BCO外角的角平分线CE，过A作AG⊥CE于G，交BC于P，交y轴于F，∵∠OCB＝60°，OE平分∠BCF，∴∠FCG＝∠PCG＝60°，∴PG＝PC，∴当A、P、G共线时，AG＝AP+PC，此时AG的值最小，∵∠FCG＝∠PCG＝60°，AG⊥CE，∴∠CPG＝∠CFG＝30°，∵OA＝3，∴AF＝2OA＝6，OF＝OA＝3．∴CF＝3﹣3，FG＝CF＝﹣，∴AG＝AF﹣FG＝＝．即AP+PC＝．故答案为：．15．解；如图，以BC为边，作∠CBF＝30°，过点P作PH⊥BF于H，∴PH＝BP，∴BP+2AP＝2（BP+AP）＝（PH+AP），∴当A、P、H三点共线时，PH+AP最小，过点A作AG⊥BF于G，交BC于P'，在Rt△ABG中，∠ABG＝30°+45°＝75°，∴∠BAG＝15°，∴当BP+2AP有最小值时，∠BAP的度数为15°，故答案为：15°．16．解：如图，作MH⊥BC于H，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵∠ABD＝60°，∴∠DBC＝30°，∴MH＝BM，CD＝BD＝3，BC＝3，∴EM+BM＝EM+MH，即E、M、H三点共线时，EM+MH最小值为EH，∵将长方形ABCD沿对角线BD折叠，得△BED，∴∠EBC＝2∠DBC＝60°，EB＝BC＝3，∴BH＝BE＝，∴EH＝＝，∴EM+BM的最小值为，故答案为：．17．解：如图，过P作PE⊥BC于E，连接AP，由菱形ABCD，可得AB＝CB，∠ABP＝∠CBP＝∠ADP＝30°，∴△ABP≌△CBP，BP＝2PE，∴AP＝CP，∴PC+＝AP+PE，∵当点A，P，E在同一直线上时，AP+PE最短，∴此时，PC+的值最小，AP⊥AD，∵Rt△ABE中，AB＝2，∴BE＝1，AE＝，∴Rt△BEP中，PE＝，∴AP＝，∵∠ADP＝30°，∴Rt△ADP中，PD＝2AP＝，故答案为：．18．解：如图，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，∴AC＝＝2，在BC的下方作∠BCL＝30°，作AF⊥CL于F，作DE⊥CL于E，∴DE＝CD•sin 30°＝CD，AF＝AC•sin∠ACL＝2＝3，∴AD+＝AD+DE≥AE≥AF，∴当D点在D′时，（AD+）＝AF＝3，最小＝2×3＝6，∴2AD+CD＝[2（AD+CD）]最小故答案是6．19．解：如图，作∠BCM＝45°，过点A作AT⊥CM于点T，AT交BC于点J，过点D作DK⊥CM于K．设点P在AD上的运动速度a单位长度/s，则在CD 上运动速度的a长度单位/s．∵∠CTJ＝∠B＝90°，∠TCJ＝45°，∴∠CJT＝∠AJB＝45°，∴AB＝BJ＝1，∵点P走完全程所用的时间＝+＝（AD+CD），∵DK＝CD，∴点P走完全程所用的时间＝（AD+DK），∵AD+DK≤AT，∴当A，D，K共线，且AT⊥CM时，动点P走完全程所用的时间最短，此时D与J重合，BD＝1．∴当BD＝1时，动点P走完全程所用的时间最短．20．解：①如图1，在CB上截取CI＝2，连接AI，在Rt△ACI中，CI＝1，AC＝6，∴AI＝＝，∵＝，又∠PCI＝∠BCP，∴△PCI∽△BCP，∴＝＝，∴PI＝PB，∵AP+PI≥AI＝，∴AP+PB的最小值＝，∴2AP+BP＝2（AP+PB）的最小值是2；②如图2，在CA上截取CD＝，连接BD，在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝，∴＝，∵，又∠ACP是公共角，∴△PCD∽△ACP，∴＝＝，∴DP＝，∴BP+＝BP+DP≥BD＝，∴BP+的最小值＝，∵AP+3BP＝3（BP+），∴AP+3BP的最小值＝221．解：如图，延长OC至E，使OE＝24，连接DE，OP，在R△DOE中，OD＝10，OE＝24，∴DE＝＝26，∵＝，又∵∠POC＝∠POE，∴△POC∽△EOP，∴＝＝，∴PE＝2PC，∴PD+2PC＝PD+PE≥DE＝26，∴当D、P、E共线时，PD+PE最小值＝DE＝26，即PD+2PC的最小值＝26，∵PC+PD＝（PD+2PC），∴PC+的最小值＝13．22．解：如图，以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设P（x，y），则Q（x，0），∴PQ+3AQ＝y+3x，令y+3x＝m，则y＝﹣3x+m，m为该直线与y轴交点的数值，当直线与半圆相切时，m最大，连接OP，过点P作OP⊥PC交x轴于点C，交y轴于点D，则点D（0．m），C（，0），∴tan∠OCD＝3，∴tan∠OCD＝＝3，∴PC＝，由勾股定理得OC＝，∴AC＝2+，∴AD＝3AC＝6+2．23．解：如图，作CH⊥x轴于H，CJ⊥y轴于J，DT⊥CJ于T．∵A（﹣2，0），B（4，0），C（﹣5，3），∴P A＝2，OB＝5，OH＝5，CH＝3，BH＝9，在Rt△CHB中，tan∠CBH＝＝＝，∴∠CBH＝30°，∵CJ∥BH，∴∠JCD＝∠CBH＝30°，∵∠DTC＝90°，∴DT＝CD，∵点P在整个运动过程中的时间＝AD+CD＝AD+DT，∴根据垂线段最短可知，当A，D，T共线，AD⊥CT时，时间最小，此时AD ＝AB•tan30°＝6×＝2，∴此时D（﹣2，2）．。
2022年春人教版九年级数学中考复习《与圆有关的最值问题》专题突破训练（附答案）1．如图，AB是⊙O的弦，AB＝10，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是BC、AB的中点，则MN长的最大值是（）A．10B．5C．10D．202．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，P A⊥PB，且P A、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3B．4C．6D．83．如图，点P（3，4），⊙P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是（）A．1.4B．C．D．2.64．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（）A．B．2﹣2C．2﹣2D．45．如图，在平面直角坐标系中，C（0，4），A（3，0），⊙A半径为2，P为⊙A上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是（）A．1B．C．2D．6．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝2，AD＝10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（）A．5B．6C．7D．87．如图，⊙O的半径为1，点A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）填空：①PC、PB、P A之间的数量关系是；②四边形APBC的最大面积为．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为．9．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为．10．如图，已知△ABC，外心为O，BC＝10，∠BAC＝60°，分别以AB，AC为腰向形外作等腰直角三角形△ABD与△ACE，连接BE，CD交于点P，则OP的最小值是．11．等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为．12．如图，在半径为4，圆心角为90°的扇形OAB的上有一动点P，过P作PH⊥OA于H．设△OPH的内心为I，当点P在上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为．13．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一个动点，点F是CD边上一个动点，且AE＝CF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG，则AG长的最小值是．14．如图，已知等腰三角形ABC，∠ACB＝120°且AC＝BC＝4，在平面内任作∠APB＝60°，BP最大值为．15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D是半径为2的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是．16．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，点D是边BC上的一动点，连接AD，作CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值为．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为．19．如图，扇形AOB，且OB＝4，∠AOB＝90°，C为弧AB上任意一点，过C点作CD⊥OB于点D，设△ODC的内心为E，连接OE、CE．当点C从点B运动到点A时，内心E所经过的路径长为．20．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为BC，AD上的点，过点E，F的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分，过点A作AG⊥EF于点G，连接DG，则线段DG的最小值为．参考答案1．解：∵点M，N分别是AB，BC的中点，∴MN＝AC，∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC是直径时，最大，如图，∵∠ACB＝∠D＝45°，AB＝10，∴AD＝20，∴MN＝AD＝10，故选：A．2．解：∵P A⊥PB，∴∠APB＝90°，∵AO＝BO，∴AB＝2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ＝3、MQ＝4，∴OM＝5，又∵MP′＝2，∴OP′＝3，∴AB＝2OP′＝6，故选：C．3．解：如图，连接OP交⊙P于M′，连接OM，由勾股定理得：OP＝＝5，∵OA＝AB，CM＝CB，∴AC＝OM，∴当OM最小时，AC最小，∴当M运动到M′时，OM最小，此时AC的最小值＝OM′＝（OP﹣PM′）＝＝，故选：B．4．解：如图∵AE⊥BE，∴点E在以AB为直径的半⊙O上，连接CO交⊙O于点E′，∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，∵AB＝4，∴OA＝OB＝OE′＝2，∵BC＝6，∴OC＝＝＝2，则CE′＝OC﹣OE′＝2﹣2，故选：B．5．解：如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH．∵CE＝EP，CH＝AH，∴EH＝P A＝1，∴点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆，∵C（0，4），A（3，0），∴H（1.5，2），∴OH＝＝2.5，∴OE的最小值＝OH﹣EH＝2.5﹣1＝1.5，故选：B．6．解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．∵DH⊥AC，∴∠AHD＝90°，∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，∴当M、H、B共线时，BH的值最小，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝12，BM＝＝＝13，∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．故选：D．7．（1）在⊙O中，∠BAC与∠CPB是所对圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；故答案为：等边三角形；（2）①如图1，在PC上截取PD＝AP，又∵∠APC＝60°，∴△APD是等边三角形，∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°．又∵∠APB＝∠APC+∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB，在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP＝CD，又∵PD＝AP，∴CP＝BP+AP，故答案为：CP＝BP+AP；②当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．∵S△APB＝AB•PE，S△ABC＝AB•CF，∴S四边形APBC＝AB•（PE+CF），当点P为的中点时，PE+CF＝PC，PC为⊙O的直径∴此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB＝，∴S四边形APBC＝×2×＝．，故答案为：．8．解：如图，∵AE⊥BE，∴点E在以AB为直径的半⊙O上，连接CO交⊙O于点E′，∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，∵AB＝4，∴OA＝OB＝OE′＝2，∵BC＝6，∴OC＝＝＝2，则CE′＝OC﹣OE′＝2﹣2，故答案为：2﹣2．9．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，∵∠P AB＝∠ACP，∴∠P AC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴点P的运动轨迹是，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：此时P A＝PC，OB⊥AC，则AD＝CD＝AC＝1，∠P AC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴PD＝AD•tan30°＝AD＝，BD＝AD＝，∴PB＝BD﹣PD＝﹣＝．故答案为：．10．解：如图，∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠DAC＝∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴∠ADC＝∠ABE，∴∠PDB+∠PBD＝90°，∴∠DPB＝90°，∴点P在以BC为直径的圆上，∵外心为O，∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，又BC＝10，∴OH＝，所以OP的最小值是5﹣．11．解：∵∠CHB＝90°，BC是定值，∴H点是在以BC为直径的半圆上运动（不包括B点和C点），连接HO，则HO＝BC＝3．∵OA＝＝＝3，当A、H、O三点共线时，AH最短，此时AH＝AO﹣HO＝3﹣3．故答案为3﹣3．12．解：如图，连接IP、IO、IA，∵I是△OPH的内心，∴∠IOP＝∠IOA，∠IPO＝∠IPH，∴∠PIO＝180°﹣∠IPO﹣∠IOP，∵PH⊥OA，即∠PHO＝90°，∴∠PIO＝180°﹣（∠HOP+∠OPH）＝180°﹣（180°﹣90°）＝135°，∵在△POI和△AOI中，，∴△POI≌△AOI（SAS），∴∠AIO＝∠PIO＝135°，所以点I在以OA为弦，且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过点A、I、O三点作圆O′，如上图，连接O′O，O′A，在优弧OA取点P'，连接P'A、P'O，∵∠AIO＝135°，∴∠AP'O＝180°﹣135°＝45°，∵OA＝4，∴O′O＝OA＝2，∴的长为：＝π．，所以内心I所经过的路径长为π．故答案为π．13．解：设正方形的中心为O，可证EF经过O点．连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，过点M作MH⊥AB于H．则MH＝BH＝1，AH＝3，由勾股定理可得MA＝，MG＝OB＝，∵AG≥AM﹣MG＝﹣，当A，M，G三点共线时，AG最小＝﹣，故答案为：﹣．14．解：∵∠ACB＝120°，∠APB＝60°，∴A、P、B、C四点共圆，∴当PB是圆的直径时最长，∴∠ABP＝30°．过点C作AB的垂线交PB于点O，则点O即为圆心，∵∠ACB＝120°且AC＝BC＝4，∴∠BCO＝60°，∠ACB＝30°，∴∠OBC＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴OC＝BC＝4，∴PB＝2OC＝8．故答案为：8．15．解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN．∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝5，∵AN＝NC，∴BN＝AC＝，∵AN＝NC，DM＝MC，∴MN＝AD＝1，∴BM≤BN+NM，∴BM≤1+，∴BM≤，∴BM的最大值为．16．解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠P AB＝∠PBC∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，∴OC＝＝5，∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．∴PC最小值为2．故答案为2．17．解：∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴点E在以AC为直径的圆上，取AC的中点O，以AC为直径作⊙O，当O、E、B共线时，BE的长最小，Rt△OCB中，OC＝OE＝6，BC＝5，∴OB＝＝，∴BE＝OB﹣OE＝﹣6，则BE的最小值为：﹣6，故答案为：﹣6．18．解：连接CE，取BC的中点F，作直径为BC的⊙F，连接EF，AF，∵BC＝4，∴CF＝2，∵∠ACB＝90°，AC＝10，∴AF＝，∵CD是⊙O的直径，∴∠CED＝∠CEB＝90°，∴E点在⊙F上，∵在D的运动过程中，AE≥AF﹣EF，且A、E、F三点共线时等号成立，∴当A、E、F三点共线时，AE取最小值为AF﹣EF＝2﹣2．故答案为：2﹣2．19．解：如图，连接BE，∵点E是△ODC的内心，∴∠EOC＝∠COD，∠ECO＝∠OCD，∴∠EOC+∠ECO＝（∠COD+∠DCO），∵DC⊥OB，∴∠CDO＝90°，∴∠COD+∠DCO＝90°，∴∠EOC+∠ECO＝（∠COD+∠DCO）＝45°，∴∠OEC＝180°﹣45°＝135°，∵OE平分∠COD，∴∠COE＝∠BOE，∵OB＝OC，OE＝OE，∴△COE≌△BOE（SAS），∴∠CEO＝∠OEB＝135°，∴当点C从点B运动到点A时，内心E所经过的路径长为图中的长度，设△BOE的外接圆为⊙M，在优弧BNO上任取一点N，连接BN，ON，则∠N＝45°，∴∠M＝90°，∴BM＝OM＝OB＝2∴的长＝＝π，故答案为：π．20．解：连接AC，BD交于O，∵过点E、F的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分，∴EF过点O，∵AG⊥EF，∴∠AGO＝90°，∴点G在以AO为直径的半圆弧上，设AO的中点为M，连接DM交半圆弧于G，则此时，DG最小，∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，∴AC＝8，AC⊥BD，∴AO＝OD＝AC＝4，∴AM＝OM＝AO＝2，∴DM＝＝2，∴DG＝2﹣2．故答案为：2﹣2．。
人教版2021年中考数数学阶段复习巩固与提升微专题《中考数学与图形折叠问题突破与提升策略》专练一．选择题.1. 如图，在四边形ABCD 中()AB CD >，90ABC BCD ∠=∠=︒，3AB =，BC =，把Rt ABC ∆沿着AC 翻折得到Rt AEC ∆，若tan AED ∠=，则线段DE 的长度为（ ）D. 52. 如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点.O 若5AE =，3BF =，则AO 的长为（ ）C. D. 3. 如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF ，GH 折叠（点E 、H 在AD 边上，点F ，G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A'、D 点的对称点为D'，若∠FPG ＝90°，S △A ′EP ＝8，S △D ′PH ＝2，则矩形ABCD 的长为（ ）A ．6+10B ．6+5C ．3+10D ．3+54. 如图，将矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的A '处．若24DBC ∠=︒，则A EB '∠等于( )A ．66︒B ．60︒C ．57︒D ．48︒5. 如图，在矩形纸片ABCD 中，3AB =，点E 在边BC 上，将ABE ∆沿直线AE 折叠，点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处，若EAC ECA ∠=∠，则AC 的长是( )A ．．4 C ．5 D ．66.如图，在矩形ABCD 中，点E 在DC 上，将矩形沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上 的点F 处．若AB ＝3，BC ＝5，则tan ∠DAE 的值为（ ）A ．12B ．920C ．25D ．137.如图,在已知的△ABC 中,按以下步骤作图:①分别以B,C 为圆心,以大于12BC 的长为半径作弧,两弧相交于两点M,N;②作直线MN 交AB 于点D,连接CD.若CD=AC,∠A=50°,则∠ACB 的度数为 ( )A.90°B.95°C.100°D.105°8. 如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平后 再次折叠，使点A 落在EF 上的点A '处，得到折痕BM ，BM 与EF 相交于点N ．若 直线BA '交直线CD 于点O ，5BC =，1EN =，则OD 的长为( )AB C D 9. 如图，四边形ABCD 是一张平行四边形纸片，其高AG ＝2cm ，底边BC ＝6cm ， ∠B ＝45°，沿虚线EF 将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF ＝30°，则AF 的长 为（ ）A ．lcmB ．√63cmC ．（2√3−3）cmD ．（2−√3）cm二．填空题.10. 如图，三角形纸片ABC ，点D 是BC 边上一点，连接AD ，把ABD △沿着AD翻折，得到AED ，DE 与AC 交于点G ，连接BE 交AD 于点F.若DG GE =，3AF =，2BF =，ADG 的面积为2，则点F 到BC 的距离为 .11. 矩形纸片ABCD ，长8cm AD =，宽4cm AB =，折叠纸片，使折痕经过点B ，交AD 边于点E ，点A 落在点'A 处，展平后得到折痕BE ，同时得到线段'BA ，'EA ，不再添加其它线段，当图中存在30角时，AE 的长为 厘米.12. 如图，对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合得到折痕EF ，将纸片展平，再 一次折叠，使点D 落到EF 上点G 处，并使折痕经过点A ，已知BC ＝2，则线段EG的长度为 ．13. 如图，在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝7，∠B ＝60°，点D 在边BC 上，CD ＝3，联结AD ．如果将△ACD 沿直线AD 翻折后，点C 的对应点为点E ，那么点E 到直线 BD 的距离为 ．14. 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点E 在AC 边上．将A ∠沿直线BE 翻折，点A 落在点A '处，连接AB '，交AC 于点F ．若A E AE '⊥，4cos 5A =，则A F BF '= 13 ．15. 如图,点P 是∠AOB 外一点,点M,N 分别是∠AOB 两边上的点,点P 关于OA 的对称点Q 恰好落在线段MN 上,点P 关于OB 的对称点R 落在线段MN 的延长线上.若PM=2.5 cm,PN=3 cm,MN=4 cm,则线段QR 的长为 .16.如图，对折矩形纸片ABCD 使AD 与BC 重合，得到折痕MN ，再把纸片展平．E 是AD 上一点，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 的对应点A ′落在MN 上．若CD ＝5，则BE 的长是 ．17. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝8，如果将该矩形沿对角线BD 折叠，那么图中阴影部分的面积是________．18. 如图，矩形ABCD 中，点E 在BC 上，BE ＝2CE ，将矩形沿DE 折叠，点C 恰 好落在对角线BD 上的点F 处，若AB ＝3，则BF 的长为________．三．解答题.19. 在矩形ABCD 中，E 为DC 上的一点，把ADE ∆沿AE 翻折，使点D 恰好落在BC 边上的点F ．（1）求证：ABF FCE ∆∆（2）若4AB AD ==，求EC 的长；（3）若2AE DE EC -=，记,BAF FAE αβ∠=∠=，求tan tan αβ+的值．17. 在58⨯的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC 的顶点坐标分别为(0,0)O ，(3,4)A ，(8,4)B ，(5,0)C ．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：（1）将线段CB 绕点C 逆时针旋转90︒，画出对应线段CD ；（2）在线段AB 上画点E ，使45BCE ︒∠=（保留画图过程的痕迹）；（3）连接AC ，画点E 关于直线AC 的对称点F ，并简要说明画法．18. 综合与实践在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．（1）折痕BM （填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答：；进一步计算出∠MNE＝°；（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝°；拓展延伸：（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT．求证：四边形SATA'是菱形．解决问题：（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC 边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值．。
2022-2023学年人教版中考数学复习《圆综合压轴题》解答题专题突破训练（附答案）1．如图，AB是⊙O的直径，且AB＝10，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一点，连接AD，AG，GD，BC．（1）若G是弧AC上任意一动点，请找出图中和∠G相等的角（不在原图中添加线段或字母），并说明理由．（2）当点C是弧BG的中点时，①若∠G＝60°，求弦DG的长，②连接BG，交CD于点F，若BE＝2，求线段CF的长．2．如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，连结OC，过点B作AC的垂线，交⊙O于点D，交OC于点M，交AC于点E，连结AD．（1）若∠D＝α，请用含α的代数式表示∠OCA；（2）求证：CE2＝EM•EB；（3）连接CD，若BM＝4，DM＝3，求tan∠BAC的值及四边形ABCD的面积与△BMC 面积的比值．3．已知：AB为⊙O的直径，＝，D为弦AC上一动点（不与A、C重合）．（1）如图1，若BD平分∠CBA，连接OC交BD于点E．①求证：CE＝CD；②若OE＝2，求AD的长．（2）如图2，若BD绕点D顺时针旋转90°得DF，连接AF．求证：AF为⊙O的切线．4．如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若OB＝BF，EF＝4．求⊙O的半径；（3）在（2）条件下，求BE、DE、弧围成的阴影部分的面积．5．如图1，⊙O的弦BC＝6，A为BC所对优弧上一动点且sin∠BAC＝，△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E．（1）求证：点P为的中点；（2）如图2，求⊙O的半径和PC的长；（3）若△ABC不是锐角三角形，求P A•AE的最大值．6．如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和⊙P于E、F两点，连接AC、FC，AC与BD相交于点G．（1）求证：∠ACF＝∠ADB；（2）求证：CF＝DF；（3）∠DBC＝°；（4）若OB＝3，OA＝6，则△GDC的面积为．7．如图，⊙O是直角三角形ABC的外接圆，直径AC＝4，过C点作⊙O的切线，与AB延长线交于点D，M为CD的中点，连接BM，OM，且BC与OM相交于点N．（1）求证：BM与⊙O相切；（2）当∠BAC＝60°时，求弦AB和弧AB所夹图形的面积；（3）在（2）的条件下，在弧AB上取一点F，使∠ABF＝15°，连接OF交弦AB于点H，求FH的长度是多少？8．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，P为AB延长线上一点，∠BCP＝∠BAC．∠ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点E，（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：△PEC是等腰三角形；（3）若AC+BC＝2时，求CD的长．9．圆内接四边形ABCD，AB为⊙O的直径．（1）如图1，若D为弧AB中点，AB＝4．①求∠DCB的度数；②求四边形ABCD面积的最大值．（2）如图2，对角线AC，BD交于点E，连结OE并延长交CD于点F，若OE＝3EF＝3，求AB的长．10．已知：∠MBN＝90°，点A在射线BM上，点C在射线BN上，D在线段BA上，⊙O 是△ACD的外接圆；（1）若⊙O与BN的另一个交点为E，如图1，当，BD＝1，AD＝2时，求CE的长；（2）如图2，当∠BCA＝∠BDC时，判断BN与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）如图3，在BN上作出C点，使得∠ACD最大，并求当AD＝2，时，⊙O 的半径．11．如图1，C、D为半圆O上的两点，且点D是弧BC的中点．连结AC并延长，与BD 的延长线相交于点E．（1）求证：CD＝ED；（2）连结AD与OC、BC分别交于点F、H．①若CF＝CH，如图2，求证：CH＝CE；②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．12．如图，线段AB＝6，以AB为直径作⊙O，C为⊙O上一点，过点B作⊙O的切线交AC 的延长线于点D，连接BC．（1）求证：△BCD∽△ABD；（2）若∠D＝50°，求的长．（3）点P在线段AC上运动，直接写出△PBD的外心运动的路径长．13．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，3），点B在x轴正半轴上，且∠ABO＝30°，C为线段OB上一点，作射线AC交△AOB的外接圆于点D，连接OD，∠COD＝∠OAD．（1）求∠BAD的度数；（2）在射线AD上是否存在点P，使得直线BP与△AOB的外接圆相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，直径AE交BC于点H，点D 在弧AC上，过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF的长；（3）在（2）的条件下，直接写出CD的长．15．如图，AB是⊙O的直径，P A是⊙O的切线，连接OP交⊙O于点E，点C在⊙O上，四边形OBCE为菱形，连接PC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）连接BP交⊙O于点F，交CE于点G．①连接OG，求证：OG⊥CG；②若OB＝3，求BF的长．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线m：y＝x+与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在直线m上，以点O为圆心，OP为半径的⊙O交x轴于点C、D（点C 在点D的左侧），与y轴负半轴交于点E，连接PE，交x轴于点F，且AF＝AP．（1）判断直线m与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求∠PEB的度数；（3）若点Q是直线m上位于第一象限内的一个动点，连接EQ交x轴于点G，交⊙O于点H，判断EG•EH是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．17．如图，线段AB是⊙O的直径，过点B作一条射线BC与AB垂直，点P是射线BC上的一个动点，连接PO交⊙O于点F，连接AF并延长交线段BP于点E，设⊙O的半径为r，PB的长为t（t＞0）．（1）当r＝3时，①若∠F AO＝∠EPF，求的长，②若t＝4，求PE的长；（2）设PE＝n2t，其中n为常数，且0＜n＜1，若t﹣r为定值，求n的值及∠EAB的度数．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径作⊙O，⊙O 与BC相切于点E，连结AE，过点C作CG⊥AB于点G，交AE于点F，过点E作EP⊥AB于点P．（1）求证：∠BED＝∠EAD；（2）求证：CE＝EP；（3）连接PF，若CG＝8，PG＝6，求四边形CFPE的面积．19．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，AB＝AC．（1）求证：DE⊥AC；（2）延长CA交⊙O于点F，点G在上，．①连接BG，求证：AF＝BG；②经过BG的中点M和点D的直线交CF于点N，连接DF交AB于点H，若AH：BH＝3：8，AN＝7，试求出DE的长．20．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AD⊥BC，垂足为D，直径AE平分∠BAD，交BC 于点F，连结BE．（1）求证：∠AEB＝∠AFD．（2）若AB＝10，BF＝5，求AD的长．（3）若点G为AB中点，连结DG，若点O在DG上，求BF：FC的值．参考答案1．解：（1）∠AGD＝∠B，理由如下：连接AC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠BCD+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵∠AGD＝∠ACD，∴∠AGD＝∠B；（2）连接OC，OG，OD，OC交CD于M，∵∠AGD＝∠B＝60°，OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，∵点C是的中点，∴∠COG＝∠COB＝∠BOD＝60°，∴CD是⊙O的直径，∴CD＝AB＝10；（3）连接BG，交CD于F，连接AC，∵＝＝，∴∠BCD＝∠GBC，∴CF＝BF，∵∠ACD＝∠ABC，∠AEC＝∠BEC，∴△ACE∽△CBE，∴CE2＝AE×BE＝8×2＝16，∵CE＞0，∴CE＝4，设BF＝CF＝x，则EF＝4﹣x，∴（4﹣x）2+22＝x2，解得x＝，∴CF＝．2．（1）解：如图，连接OA，OB，在△AOB与△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SSS），∴∠OAB＝∠OAC＝，∵，∴∠ACB＝∠D＝α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝α，∴∠BAC＝180°﹣2α，∴∠OAC＝90°﹣α，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝90°﹣α；（2）证明：∵BD⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠CBE＝90°﹣∠ACB＝90°﹣α，∴∠OCA＝∠CBE，∵∠CEM＝∠CEB，∴△CEM∽△BEC，∴，∴CE2＝EM•EB；（3）解：如图，连接AO并延长交BD于点N，连接CN，CD，∵AB＝AC，∠OAB＝∠OAC，∴AO垂直平分BC，∴BN＝CN，∵∠OCA＝∠DAC，∴OC∥AD，∴∠DMC＝∠ABD＝∠ACB，∵，∴∠BAC＝∠CDM，∴∠DCM＝∠ABC，∴∠DCM＝∠DMC，∴CD＝DM＝3，∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEN，∵∠OAC＝∠DAC，AE＝AE，∴△AEN≌△AED（ASA），∴EN＝ED，∴AC垂直平分DN，∴CN＝CD＝3，∴BN＝CN＝3，∴MN＝BM﹣BN＝4﹣3＝1，由EN＝DE得：MN+EM＝DM﹣EM，∴1+EM＝3﹣EM，∴EM＝1，∴EB＝BM+EM＝4+1＝5，DE＝DM﹣EM＝3﹣1＝2，由（2）知，CE2＝EM•EB＝1×5＝5，∴CE＝（负值已舍），∵∠BAC＝∠BDC，∠DEC＝∠AEB，∴△DEC∽△AEB，∴，∴AE＝，在Rt△ABE中，tan∠BAC＝，由（2）知，∠OCA＝∠CBE＝∠CAD，∴AD∥OC，∴＝，∴CE＝，∴S四边形ABCD＝AC×BD＝＝，S△BMC＝＝＝2，∴四边形ABCD的面积与△BMC面积的比值为．3．（1）①证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∵＝，∴∠CBA＝∠BAC＝45°，∠BOC＝90°，∴∠BCO＝45°，∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA＝22.5°，∵∠CED＝∠CBD+∠BCE＝67.5°，∠CDE＝∠ABD+∠BAC＝67.5°，∴∠CED＝∠CDE，∴CE＝CD；②解：如图1，取BD中点G，连接OG，∵O为AB的中点，∴OG∥AD，AD＝2OG，∴∠OGE＝∠CDE，∵∠OEG＝∠CED，∠CED＝∠CDE，∴∠OGE＝∠OEG，∴OG＝OE＝2，∴AD＝2OG＝4；（2）证明：如图2，在BC上截取BP＝AD，连接DP，∵＝，∴BC＝AC，∴CP＝CD，∵∠ACB＝90°∴∠CPD＝45°，∴∠BPD＝135°，由旋转性质得，∠BDF＝90°，BD＝FD，∴∠BDC+∠FDA＝90°，∵∠BDC+∠CBD＝90°，∴∠CBD＝∠ADF，∴△DF A≌△BDP（SAS），∴∠F AD＝∠BPD＝135°，∴∠F AB＝∠F AD﹣∠BAC＝135°﹣45°＝90°，∴OA⊥AF，又∵OA为半径，∴AF为⊙O的切线．4．解：（1）连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，在Rt△BCD中，BE＝EC，∴DE＝EC＝BE，∴∠EBD＝∠EDB，∵BC是⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBD+∠DBO＝90°，∴∠EDB+∠DBO＝90°，∵OD＝OB，∴∠DBO＝∠BDO，∴∠EDB+∠BDO＝90°，即∠ODF＝90°，∴DF⊥OD，∵OD为⊙O的半径，∴DF为⊙O的切线；（2）∵OB＝BF，∴OF＝2OB＝2OD，∴sin F＝＝，∴∠F＝30°，∴OB＝BF＝EF•cos F＝4×cos30°＝2，即⊙O的半径为2；（3）由（2）知，OD＝2，∠BOD＝90°﹣∠F＝60°，∴DF＝OD•tan∠BOD＝2×＝6，∵EF＝4，∠F＝30°，∴BE＝EF•sin30°＝2，∵阴影部分的面积＝三角形ODF的面积﹣三角形FEB的面积﹣扇形BOD的面积，∴S阴＝S△ODF﹣S△FEB﹣S扇形BOD＝OD•DF﹣BF•BE﹣π•OD2＝＝4﹣2π，∴阴影部分的面积为4﹣2π．5．（1）证明：①如图1，连接OC，AB，∵AP平分∠BAF，∴∠BAP＝∠P AF，∵∠P AF+∠P AC＝180°，∠P AC+∠PBC＝180°，∴∠P AF＝∠PBC，又∠BAP＝∠PCB，∴∠PBC＝∠PCB，∴PB＝PC，∴＝，∴点P为的中点；（2）解：连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，∴OM垂直平分BC，∴BM＝CM＝BC＝3，∠BOM＝∠BOC＝∠BAC，∵sin∠BAC＝，∴sin∠BOM＝＝，∴OB＝5，∴⊙O的半径是5，在Rt△OMC中，OM＝＝4，在Rt△PMC中，PM＝OM+OP＝9，∴PC＝＝3；（3）∵∠ACE+∠BCA＝∠BPE+∠BCA＝180°，∴∠ACE＝∠BPE，同理，∠CAE＝∠PBC＝∠P AB，∴△ACE∽△APB，∴＝，∴P A•AE＝AC•AB，如图4，过C作CQ⊥AB于Q，∵sin∠BAC＝，∴CQ＝AC•sin∠BAC，∴S△ABC＝AB•CQ＝AB•AC，∴P A•AE＝S△ABC，∵△ABC非锐角三角形，且BC＝6，∴当A运动到使∠ACB＝90°时，△ABC面积最大，在Rt△ABC中，BC＝6，AB＝10，∴AC＝＝8，∴S△ABC＝BC•AC＝24，∴此时，P A•AE＝80，即P A•AE的最大值为80．6．（1）证明：连接AB，∵OP⊥BC，∴BO＝CO，∴AB＝AC，又∵AC＝AD，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，又∵∠ABD＝∠ACF，∴∠ACF＝∠ADB；（2）证明：∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∵∠ACF＝∠ADF，∵∠ACD﹣∠ACF＝∠ADC﹣∠ADF，即∠FCD＝∠FDC，∴CF＝DF；（3）解：连接AF，由（2）知CF＝DF，则点F在CD的垂直平分线上，∵AC＝AD，∴点A在CD的垂直平分线上，∴AF是CD的垂直平分线，∴AF平分∠CAD，∴∠CAF＝45°，∴∠CBD＝45°，故答案为：45；（4）解：作CH⊥BD于H，∵OB＝OC＝3，∠DBC＝45°，∴CH＝BH＝3，∵OA＝6，OC＝3，∴AC＝3，∴CD＝AC＝3，∴DH＝，∴DB＝BH+DH＝9，∵∠ACD＝∠DBC，∠CDG＝∠BDC，∴△DCG∽△DBC，∴DC2＝DG•DB，∴（3）2＝DG•9，∴DG＝5，∴△GDC的面积为＝15，故答案为：15．7．（1）证明：如图，连接OB，∵⊙O是直角三角形ABC的外接圆，∴∠ABC＝∠DBC＝90°．在Rt△DBC中，M为CD的中点，∴BM＝MC，∴∠MBC＝∠MCB．又∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC．∵CD为⊙O的切线，∴∠ACD＝90°．∴∠MCB+∠OCB＝∠MBC+∠OBC＝90°，即OB⊥BM．又∵OB为⊙O的半径，∴BM与⊙O相切；（2）解：∵∠BAC＝60°，OA＝OB，∴△ABO为等边三角形，∴∠AOB＝60°．∵AC＝4，∴OA＝2，∴弦AB和弧AB所夹图形的面积＝S扇形AOB﹣S△AOB＝．（3）解：连接OB，∠ABF＝15°时，∠AOF＝30°，∴等边△ABO中，OF平分∠AOB，∴OF⊥AB．在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，∴AH＝1，∴OH＝，∴FH＝．8．（1）证明：连接OC，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，∠BCP＝∠BAC，∴∠BCP＝∠ACO，∴∠BCP+∠OCB＝90°，∴OC⊥PC，∵OC为半径，∴PC是⊙O的切线；（2）证明：∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD＝∠BCD，∵∠PCE＝∠PCB+∠BCD，∠PEC＝∠BAC+∠ACD，∴∠PEC＝∠PCE，∴△PEC是等腰三角形；（3）解：作DM⊥AC于M，DN⊥CB交CB的延长线于N，∵CD平分∠ACB，DM⊥∠AC，DN⊥CB，∴DM＝DN，，∵∠AMD＝∠BND＝90°，∴Rt△AMD≌Rt△BND（HL），∴AM＝BN，∵∠DMC＝∠MCN＝∠CND＝90°，∴四边形CMDN为矩形，∵DM＝DN，∴矩形CMDN为正方形，∴CN＝，∵AC+BC＝CM+AB+CB＝2CN，∴AC+BC＝CD，∵AC+BC＝2，∴CD＝．9．解：（1）①∵AB为直径，D为的中点，∴∠DCB＝180°﹣∠A＝180°﹣45°＝135°，②连接BD，AC交于点E，当四边形ABCD面积最大时，即△BCD面积最大，当OC⊥BD时，CE最大，∵AB＝4，∴BD＝AD＝2，∴OE＝，∴S，∴S四边形ABCD的最大值为：S；（2）直线OF交⊙O于点M，N，过F作PQ∥AB交直线BD，AC于点P，Q，∵∠Q＝∠A＝∠CDE，∴△PFD∽△CFQ，∴PF•FQ＝FD•FC，∵∠N＝∠MDF，∠MFD＝∠CFN，∴△MFD∽△CFN，∴MF•FN＝FD•FC，∴PF•FQ＝MF•FN，∴，∴FP＝FQ＝，设半径为r，∴（r﹣4）（r+4）＝，∵r＞0，∴r＝3，∴AB＝6．10．解：（1）连接AE，∵∠AEC+∠ADC＝180°，∠BDC+∠ADC＝180°，∴∠BDC＝∠AEC，∵∠CBD＝∠ABE，∴△ABE∽△CBD，∴，∵BC＝，AD＝2，BD＝1，∴AB＝AD+BD＝2+1＝3，∴，∴BE＝2，∴CE＝BE﹣BC＝；（2）BN是⊙O的切线，理由如下：连接CO并延长交⊙O于点F，连接DF，则∠CDF＝90°，∴∠CFD+∠FCD＝90°，∵∠BCA＝∠BDC，∠B＝∠B，∴∠BAC＝∠BCD，∵∠CAD＝∠CFD，∴∠CFD＝∠BCD，∴∠FCB＝∠FCD+∠BCD＝∠FCD+∠CFD＝90°，∴BC⊥OC，∵OC是半径，∴BC是⊙O的切线，即BN是⊙O的切线；（3）过点A，C，D三点作⊙O，当BC是⊙O的切线时，∠ACD最大，连接CO并延长交⊙O于点G，连接AG，DG，则∠CDG＝90°，∠CAG＝90°，∴∠CGD+∠DCG＝90°，∵BC是⊙O的切线，∴BC⊥OC，∴∠BCO＝90°，∴∠BCD+∠DCG＝90°，∴∠BCD＝∠CGD，∵∠CGD＝∠CAD，∴∠BCD＝∠BAC，∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴，∴BC2＝BD•BA，∵AD＝2，∴BA＝BD+AD＝BD+2，∴BC2＝BD（BD+2）＝BD2+2BD，∵BC2+BA2＝AC2，AC＝2BD，∴BC2＝AC2﹣BA2＝（2BD）2﹣（BD+2）2＝11BD2﹣4BD﹣4，∴11BD2﹣4BD﹣4＝BD2+2BD，∴5BD2﹣3BD﹣2＝0，∴BD＝﹣（舍去）或BD＝1，∴BD＝1，∴BA＝BD+AD＝1+2＝3，AC＝2BD＝2，∵∠B＝90°，∴AB⊥BC，∵CG⊥BC，∴CG∥AB，∴∠BAC＝∠ACG，∵∠B＝∠CAG＝90°，∴△BAC∽△ACG，∴，∴，∴CG＝4，∴OC＝2，即⊙O的半径为2．11．（1）证明：如图1中，连接BC．∵点D是弧BC的中点．∴＝，∴∠DCB＝∠DBC，∵AB是直径，∴∠ACB＝∠BCE＝90°，∴∠E+∠DBC＝90°，∠ECD+∠DCB＝90°，∴∠E＝∠DCE，∴CD＝ED；（2）①证明：如图2中，∵CF＝CH，∴∠CFH＝∠CHF，∵∠CFH＝∠CAF+∠ACF，∠CHA＝∠BAH+∠ABH，∵∠CAD＝∠BAH，∴∠ACO＝∠OBC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝45°，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∴AC＝BC，∵∠ACH＝∠BCE＝90°，∠CAH＝∠CBE，∴△ACH≌△BCE（ASA），∴CH＝CE；②解：如图3中，连接OD交BC于G．设OG＝x，则DG＝2﹣x．∵＝，∴∠COD＝∠BOD，∵OC＝OB，∴OD⊥BC，CG＝BG，在Rt△OCG和Rt△BGD中，则有22﹣x2＝12﹣（2﹣x）2，∴x＝，即OG＝，∵OA＝OB，∴OG是△ABC的中位线，∴OG＝AC，∴AC＝．12．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠DCB＝90°，∵BD切⊙O于点B，∴∠ABD＝90°，∴∠DCB＝∠ABD，∵∠D＝∠D，∴△BCD∽△ABD；（2）解：连接OC，∵∠D＝50°，∠ABD＝90°，∴∠A＝40°，∴∠COB＝2∠A＝80°，∵直径AB＝6，∴半径r＝3，∴的长为＝；（3）解：取BD的中点E，AD的中点F，连接EF，当点P在点C处时，△PBD为直角三角形，E为△PBD的外心，当点P在点A处时，△ABD为直角三角形，F为△PBD的外心，∵AB＝6，EF为△ABD的中位线，∴EF＝AB＝3，∴△PBD的外心运动的路径长为3．13．解：（1）∵∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，∴∠OAB＝90°﹣∠ABO＝60°，∵＝，∴∠COD＝∠BAD，∵∠COD＝∠OAD，∴∠BAD＝∠OAD＝，即∠BAD的度数为30°；（2）如图，存在点P，使得直线BP与△AOB的外接圆相切，∵∠AOB＝90°，∴AB是△AOB外接圆的直径，∴AB⊥PB，∴∠ABP＝90°，∴∠PBC＝90°﹣∠ABO＝90°﹣30°＝60°，由（1）得，∠OAC＝30°，∴∠ACO＝90°﹣∠OAC＝60°，∴∠PCB＝∠ACO＝60°，∴△PBC是等边三角形，∵A（0，3），∴OA＝3，∴OC＝OA•tan∠OAC＝3×＝，在Rt△AOB中，OA＝3，∠OAB＝60°，∴OB＝OA•tan60°＝3，∴BC＝OB﹣OC＝3﹣＝2，作PQ⊥BC于Q，∴PQ＝CQ•tan∠PCB＝×＝3，∴OQ＝OC+CQ＝2，∴P（3，﹣2）．即：存在点P，使得直线BP与△AOB的外接圆相切，此时点P（3，﹣2）．14．（1）证明：∵AB＝AC，∴，∵AE是直径，∴，∴∠BAE＝∠CAE，又∵AB＝AC，∴AE⊥BC，又∵EF∥BC，∴EF⊥AE，∵OE是半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：连接OC，设⊙O的半径为r，∵AE⊥BC，∴HG＝HC+CG＝4，∴AG＝＝＝5，在Rt△OHC中，OH2+CH2＝OC2，∴（3﹣r）2+1＝r2，解得：r＝，∴AE＝，∵EF∥BC，∴△AEF∽△AHG，∴，∴，∴EF＝；（3）解：∵AH＝3，BH＝1，∴AB＝＝＝，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠ADC＝180°，∵∠ADC+∠CDG＝180°，∴∠B＝∠CDG，又∵∠DGC＝∠AGB，∴△DCG∽△BAG，∴，∴，∴CD＝．15．（1）证明：连接OC，∵四边形OBCE为菱形，∴OB＝BC，OB∥CE，∴OB＝OC＝BC，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC＝∠COE＝60°，∴∠AOP＝∠COP＝60°，∵OA＝OC，OP＝OP，∴△APO≌△CPO（SAS），∴∠PCO＝∠BAP，∵AB是⊙O的直径，P A是⊙O的切线，∴∠P AO＝90°，∴∠PCO＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；（2）①证明：由（1）知，∠AOP＝60°，∠P AO＝90°，∴∠APO＝30°，∵OA＝OP，∴OE＝PE，∴PE＝BC，∵PO∥BC，∴∠PEG＝∠BCG，∠EPG＝∠CBG，∴△PEG≌△BCG（ASA），∴EG＝CG，∴OG⊥CG；②解：∵OB＝3，∴OA＝OB＝3，∴OP＝2OA＝6，∴AP＝＝3，∴PB＝＝＝3，连接AF，∵AB是⊙O的直径，∴AF⊥PB，∵S△APB＝AP•AB＝PB•AF，∴AF＝＝＝，∴BF＝＝＝．16．解：（1）直线m与⊙O相切，理由：连接PO，∵AP＝AF，∴∠APF＝∠AFP，∵∠AFP＝∠EFO，∴∠APF＝∠EFO，∵OP＝OE，∴∠OPF＝∠OEF，∵∠FOE＝90°，∴∠OFE+∠OEF＝∠OPF+∠APF＝90°，∴∠APO＝90°，∴PO⊥直线AB，∵OP是⊙O的半径，∴直线m与⊙O相切；（2）∵y＝x+与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴令y＝0，得x＝﹣2，令x＝0，得y＝，∴A（﹣2，0），B（0，），∴OA＝2，OB＝，∴tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝30°，∴∠AOP＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠BOP＝30°，∵OP＝OE，∴∠OPE＝∠EOP，∵∠BOP＝∠OPE+∠OEP＝2∠PEB＝30°，∴；（3）连接CE、CH，∵CD⊥BE，∴∠COE＝∠DOE＝90°，∴∠CHE＝∠ECG＝90°＝45°，∵∠CEG＝∠HEC，∴△CEG∽△HEC，∴．∴EG•EG＝CE•EC＝2．17．解：（1）①∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OF A，∴∠POB＝∠OAF+∠OF A＝2∠OAF，∴∠POB＝2∠EPF，∵BC⊥AB，∴∠OBP＝90°，∴∠POB+∠EPF＝90°，∴2∠EPF+∠EPF＝90°，∴∠EPF＝30°，∴∠POB＝60°，∴n＝60，∵r＝OB＝3，∴的长为；②延长FO交⊙O于点G，连接BF，BG，∵FG是⊙O的直径，∴∠FBG＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠AFB+∠GBF＝180°，∴AF∥BG，∴，∵OP＝＝5，∴PF＝OP﹣OF＝2，∵PB＝4，∴，∴PE＝1；（2）∵t﹣r的值为定值，∴t﹣r＝0，∴t＝r，∴OB＝BP，∴∠POB＝＝45°，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OF A，∴∠POB＝∠OAF+∠OF A＝2∠OAF，∴∠EAB＝∠OAF＝＝22.5°，由②同理得AF∥BG，∴，∵OP＝＝＝r，∴PF＝OP﹣OF＝（﹣1）r，PG＝OP+OG＝（+1）r，∴，∴n，∵0＜n＜1，∴n＝﹣1，∴∠EAB＝22.5°．18．（1）证明：连结OE，∵BC与⊙O相切于点E，∴OE⊥BC，∴∠BED+∠OED＝90°，∵AD是直径，∴∠AED＝90°，∴∠EAD+∠ADE＝90°，∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ADE，∴∠BED＝∠EAD；（2）证明：∵AC⊥BC，OE⊥BC，∴AC∥OE，∴∠CAE＝∠AEO，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，∴∠CAE＝∠EAO，又∵EP⊥AB，EC⊥AC，∴CE＝EP；（3）解：连结PF，∵∠ACB＝90°，CG⊥AB，∴∠CAE+∠AEC＝∠AFG+∠EAP＝90°，∵∠CAE＝∠EAP，∴∠AEC＝∠AFG＝∠CFE，∴CF＝CE，∵CE＝EP，∴CF＝PE，∵CG⊥AB，EP⊥AB，∴CF∥EP，∴四边形CFPE是平行四边形，又∵CE＝EP，∴平行四边形CFPE是菱形，∴CF＝PF，设CF＝x，则PF＝x，FG＝8﹣x，在Rt△PFG中，由勾股定理可得：x2＝（8﹣x）2+62，解得：x＝，∴四边形CFPE的面积＝CF•PG＝．19．（1）证明：如图1，连接OD，∵DE为⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠C＝∠ODB，∴OD∥AC，∴∠DEC＝∠ODE＝90°，∴DE⊥AC；（2）①证明：如图2，连接BF，AG，∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝∠BGA＝90°，∵．∴∠ABD＝∠DBG，∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝∠DBG，∴CF∥BG，∴∠FNG+∠BF A＝180°，∴∠FBG＝90°，∵∠FBG＝∠AFB＝∠BGA＝90°，∴四边形AFBG为矩形，∴AF＝BG；②解：如图3，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA＝90°，∵AB＝AC，∴BD＝DC，∵CF∥BG，∴∠NCD＝∠MBD，在△BDM和△CDN中，，∴△BDM≌△CDN（ASA），∴BM＝CN，过点C作CP∥DH交BA的延长线于点P，∴＝，∴BH＝HP，∵AH：BH＝3：8，∴AH：AP＝3：5，∵FH∥CP，∴＝＝，∵AB＝AC，∴＝，设AB＝5k，则AC＝5k，F A＝BG＝3k，连接FB，∵∠BF A＝90°，∴BF＝＝4k，∵M为BG中点，∴BM＝BG＝k，∴CN＝k，∴AN＝AC﹣CN＝5k﹣k＝k＝7，则k＝2，∵∠DEC＝∠BFC＝90°，∴DE∥BF，∴＝，∴EF＝EC，∴DE＝BF＝2k，∴DE＝4．20．（1）证明：∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADF＝90°，∴∠AFD+∠F AD＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠AFD，∴∠AEB＝∠AFD；（2）解：如图1，过点B作BM⊥AE于点M．∵∠AFD＝∠BFE，∠AFD＝∠AEB，∴∠BFE＝∠AEB，∴BF＝BE＝5，∵AB＝10，∠ABE＝90°，∴AE＝＝＝5，∵，∴BM＝＝2，∴EM＝FM＝＝＝，∴AF＝AE﹣EF＝5﹣2＝3，∵∠BMF＝∠ADF＝90°，∠AFD＝∠BFM，∴△BFM∽△AFD，∴，∴，∴AD＝6；（3）解：∵∠ADB＝90°，G为AB的中点，∴AG＝DG＝BG，∵O为AE的中点，G为AB的中点，∴OG∥BE，∵∠ABE＝90°，∴∠AGD＝90°，∴△ADG为等腰直角三角形，∴∠GAD＝45°，∴∠ABD＝45°，过点F作FH⊥AB于点H，如图2，∵AF平分∠BAD，∴FD＝FH，∵∠ABD＝45°，∴BF＝FH＝FD，∵∠AFD＝∠AEB，∠AEB＝∠C，∴∠AFD＝∠C，∴AF＝AC，又∵AD⊥BC，∴FD＝DC，设FD＝DC＝x，则BF＝x，∴．。
第四部分 中考专题突破 专题一 整体思想1.(2011年江苏盐城)已知a －b ＝1，则代数式2a －2b －3的值是( A ) A ．－1 B ．1 C ．－5 D ．52．(2011年浙江杭州)当x ＝－7时，代数式(2x ＋5)(x ＋1)－(x －3)(x ＋1)的值为－6. 3．(2011年山东威海)分解因式：16－8(x －y )＋(x －y )2＝(x －y －4)2.4．(2010年湖北鄂州)已知α、β是方程x 2－4x －3＝0的两个实数根，则(α－3)(β－3)＝－6. 5．(2011年山东潍坊)分解因式：a 3＋a 2－a －1＝(a ＋1)2(a －1)．6．(2010年江苏镇江)分解因式：a 2－3a ＝a (a －3)；化简：(x ＋1)2－x 2＝2x ＋1.7．若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支共需10元，若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一共需5元．解析：设铅笔每支x 元， 日记本y 元，圆珠笔z 元，有：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋2z ＝10 ①9x ＋7y ＋5z ＝25 ②， ②－①得：5x ＋4y ＋3z ＝15 ③， ③－①得：x ＋y ＋z ＝5.8．如图X －1－2，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点O ，其直径CD 、EF 均和x 轴垂直，以点O 为顶点的两条抛物线分别经过点C 、E 和点D 、F ，则图中阴影部分的面积是π2.图X －1－29．(2010年重庆)含有同种果蔬汁但浓度不同的A 、B 两种饮料，A 种饮料重40千克，B 种饮料重60千克．现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合，如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是24千克．解析：设A 果蔬的浓度为x ，B 果蔬的浓度为y ，且倒出部分的重量为a ，有： (40－a )x ＋ay 40＝(60－a )y ＋ax60，3(40－a )x ＋3ay ＝2(60－a )y ＋2ax ， 120x －3ax ＋3ay ＝120y －2ay ＋2ax ， 120x －120y ＝5ax －5ay ， 120(x －y )＝5a (x －y )， 解得：a ＝24.10．(2011年江苏宿迁)已知实数a 、b 满足ab ＝1，a ＋b ＝2，求代数式a 2b ＋ab 2的值． 解：原式＝ab (a ＋b )＝1×2＝2.11．(2010年福建南安)已知y ＋2x ＝1，求代数式(y ＋1)2－(y 2－4x )的值． 解：原式＝y 2＋2y ＋1－y 2＋4x ＝2y ＋4x ＋1 ＝2(y ＋2x )＋1 ＝2×1＋1＝3.12．(2010年江苏苏州)解方程：(x －1)2x 2－x －1x －2＝0.解：方法一：去分母，得(x －1)2－x (x －1)－2x 2＝0.化简，得2x 2＋x －1＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝12.经检验，x 1＝－1，x 2＝12是原方程的解．方法二：令x －1x ＝t ，则原方程可化为t 2－t －2＝0，解得t 1＝2，t 2＝－1.当t ＝2时，x －1x ＝2，解得x ＝－1.当t ＝－1时，x －1x ＝－1，解得x ＝12.经检验，x ＝－1，x ＝12是原方程的解．13．(2011年四川南充)关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋k ＋1＝0的实数解是x 1和x 2. (1)求k 的取值范围；(2)如果x 1＋x 2－x 1x 2＜－1且k 为整数，求k 的值． 解：(1)∵方程有实数根， ∴Δ＝22－4(k ＋1)≥0， 解得：k ≤0，∴k 的取值范围是k ≤0.(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝k ＋1， x 1＋x 2－x 1x 2＝－2－(k ＋1)，由已知，－2－(k ＋1)＜－1，解得k ＞－2，又由(1)知k≤0，∴－2＜k≤0，又∵k为整数，∴k的值为－1和0.14．阅读材料，解答问题．为了解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0.我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则原方程可化为y2－5y＋4＝0①.解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x2－1＝1，x2＝2，x＝±2；当y＝4时，x2－1＝4，x2＝5，∴x＝±5.∴x1＝2，x2＝－2，x3＝5，x4＝－ 5.解答问题：(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了整体思想的数学思想；(2)用上述方法解方程：x4－x2－6＝0.解：(2)设x2＝y，则原方程化为：y2－y－6＝0.解得：y1＝3，y2＝－2.当y＝3时，x2＝3，解得x＝±3；当y＝－2时，x2＝－2，无解．∴x1＝3，x2＝－ 3.专题二 分类讨论思想1.已知⊙O 1与⊙O 2相切，⊙O 1的半径为9 cm ，⊙O 2的半径为2 cm ，则O 1O 2的长是( C ) A ．11 cm B ．7 cm C ．11 cm 或7 cm D ．5 cm 或7 cm2．已知一个等腰三角形腰上的高与腰长之比为1∶2，则这个等腰三角形顶角的度数为( D ) A ．30° B ．150° C ．60°或120° D ．30°或150° 3．(2011年贵州贵阳)如图X －2－1，反比例函数y 1＝k 1x 和正比例函数y 2＝k 2x 的图象交于A (－1，－3)，B (1,3)两点，若k 1x＞k 2x ，则x 的取值范围是( C )图X －2－1A ．－1＜x ＜0B ．－1＜x ＜1C ．x ＜－1或0＜x ＜1D ．－1＜x ＜0或x ＞1 4．(2011年甘肃兰州)如图X －2－2，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数y ＝k 2＋2k ＋1x 的图象上．若点A 的坐标为(－2，－2)，则k 的值为( D )图X －2－2A ．1B ．－3C ．4D ．1或－35．(2011年山东枣庄)如图X －2－3，函数y 1＝|x |和y 2＝13x ＋43的图象相交于(－1,1)，(2,2)两点．当y 1>y 2时，x 的取值范围是( D )图X －2－3A ．x ＜－1B ．－1＜x ＜2C ．x ＞2D ．x ＜－1或x ＞26．(2011年山东济宁)如果一个等腰三角形的两边长分别是5 cm 和6 cm ，那么此三角形的周长是( D )A ．15 cmB ．16 cmC ．17 cmD ．16 cm 或17 cm7．(2011年四川南充)过反比例函数y ＝kx (k ≠0)图象上一点A ，分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为B 、C ，如果△ABC 的面积为3.则k 的值为6或－6.8．(2010年贵州毕节)三角形的每条边的长都是方程x 2－6x ＋8＝0的根，则三角形的周长是6或10或12.9．(2011年浙江杭州)在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，过点C 作直线l ∥AB ，F 是l 上的一点，且AB ＝AF ，则点F 到直线BC 的距离为3＋12或3－12. 10．一次函数y ＝kx ＋k 过点(1,4)，且分别与x 轴、y 轴交于A 、B 点，点P (a,0)在x 轴正半轴上运动，点Q (0，b )在y 轴正半轴上运动，且PQ ⊥AB .(1)求k 的值，并在直角坐标系中(图X －2－4)画出一次函数的图象； (2)求a 、b 满足的等量关系式；(3)若△APQ 是等腰三角形，求△APQ 的面积．图X －2－4解：(1)∵ 一次函数y ＝kx ＋k 的图象经过点(1,4)， ∴ 4＝k ×1＋k ，即k ＝2.∴ y ＝2x ＋2. 当x ＝0时，y ＝2；当y ＝0时，x ＝－1. 即A (－1,0)，B (0,2)．如图D56，直线AB 是一次函数y ＝2x ＋2的图象.图D56(2)∵ PQ ⊥AB ，∴ ∠QPO ＝90°－∠BAO . 又∵∠ABO ＝90°－∠BAO ，∴ ∠ABO ＝∠QPO .∴Rt △ABO ∽Rt △QPO .∴AO QO ＝OB OP ，即1b ＝2a. ∴a ＝2b .(3)由(2)知a ＝2b .∴AP ＝AO ＋OP ＝1＋a ＝1＋2b ， AQ 2＝OA 2＋OQ 2＝1＋b 2，PQ 2＝OP 2＋OQ 2＝a 2＋b 2＝(2b )2＋b 2＝5b 2.若AP ＝AQ ，即AP 2＝AQ 2，则(1＋2b )2＝1＋b 2， 即b ＝0或－43，这与b >0矛盾，故舍去；若AQ ＝PQ ，即AQ 2＝PQ 2，则1＋b 2＝5b 2， 即b ＝12或－12(舍去)，此时，AP ＝2，OQ ＝12，S △A PQ ＝12×AP ×OQ ＝12×2×12＝12.若AP ＝PQ ，则1＋2b ＝5b ，即b ＝2＋ 5.此时AP ＝1＋2b ＝5＋2 5，OQ ＝2＋ 5. S △APQ ＝12×AP ×OQ ＝12×(5＋2 5)×(2＋5)＝10＋925.∴ △APQ 的面积为12或10＋925.11．(2011年浙江绍兴)在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如，图X －2－5中过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB 的周长与面积相等，则点P 是和谐点．(1)判断点M (1,2)，N (4,4)是否为和谐点，并说明理由；(2)若和谐点P (a,3)在直线y ＝－x ＋b (b 为常数)上，求点a 、b 的值．图X －2－5解：(1)∵1×2≠2×(1＋2)，4×4＝2×(4＋4)， ∴点M 不是和谐点，点N 是和谐点． (2)由题意得，当a >0时，(a ＋3)×2＝3a ，∴a ＝6，点P (a,3)在直线y ＝－x ＋b 上，代入得b ＝9； 当a <0时，(－a ＋3)×2＝－3a ，∴a ＝－6，点P (a,3)在直线y ＝－x ＋b 上， 代入得b ＝－3.∴a ＝6，b ＝9或a ＝－6，b ＝－3.12．(2011年湖北襄阳)为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客．门票定价为50元/人，非节假日打a 折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即m 人以下(含m 人)的团队按原价售票；超过m 人的团队，其中m 人仍按原价售票，超过m 人部分的游客打b 折售票．设某旅游团人数为x 人，非节假日购票款为y 1(元)，节假日购票款为y 2(元)．y 1、y 2与x 之间的函数图象如图X －2－6所示．(1)观察图象可知：a ＝6；b ＝8；m ＝10； (2)直接写出y 1、y 2与x 之间的函数关系式；(3)某旅行社导游王娜于5月1日带A 团，5月20日(非节假日)带B 团都到该景区旅游，共付门票款1 900元，A 、B 两个团合计50人，求A 、B 两个团队各有多少人？图X －2－6解：(2)y 1＝30x ；y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧50x (0≤x ≤10)40x ＋100(x >10).(3)设A 团有n 人，则B 团有(50－n )人． 当0≤n ≤10时，50n ＋30(50－n )＝1 900， 解之，得n ＝20，这与n ≤10矛盾．当n ＞10时，40n ＋100＋30(50－n )＝1 900， 解之，得n ＝30， ∴50－30＝20.答：A 团有30人，B 团有20人．专题三数形结合思想1.(2011年安徽)如图X－3－1，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x 的函数图象的大致形状是( C )图X－3－12．(2011年山东威海)如图X－3－2，在正方形ABCD中，AB＝3 cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1 cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3 cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y(cm2)，运动时间为x(秒)，则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是( B )图X－3－23．(2011年甘肃兰州)如图X －3－3，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH ，设小正方形EFGH 的面积为S ，AE 为x ，则S 关于x 的函数图象大致是( B )图X －3－34．(2010年福建德化)已知：如图X －3－4，点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上的一个动点(A 、C 除外)，作PE ⊥AB 于点E ，作PF ⊥BC 于点F ，设正方形ABCD 的边长为x ，矩形PEBF 的周长为y ，在下列图象中，大致表示y 与x 之间的函数关系的是( A )图X －3－45．如图X －3－5，直线l 1∥l 2，⊙O 与l 1和l 2分别相切于点A 和点B .点M 和点N 分别是l 1和l 2上的动点，MN 沿l 1和l 2平移．⊙O 的半径为1，∠1＝60°.下列结论错误的是( B )图X －3－5A ．MN ＝4 33B ．若MN 与⊙O 相切，则AM ＝32C ．若∠MON ＝90°，则MN 与⊙O 相切D ．l 1和l 2的距离为26．如图X －3－6，四边形OABC 为正方形，边长为6，点A 、C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，点D 在OA 上，且D 点的坐标为(2,0)，P 是OB 上的一个动点，试求PD ＋P A 和的最小值是( A )图X －3－6A ．210 B.10 C ．4 D ．67．如图X －3－7，在圆心角为90°的扇形MNK 中，动点P 从点M 出发，沿MN →NK →KM 运动，最后回到点M 的位置．设点P 运动的路程为x ，P 与M 两点之间的距离为y ，其图象可能是( B )图X －3－78．(2011年江苏扬州)如图X －3－8，已知函数y ＝－3x 与y ＝ax 2＋bx (a >0，b >0)的图象交于点P ，点P 的纵坐标为1，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋3x＝0的解为－3.图X －3－89．(2011年山东菏泽)如图X －3－9，抛物线y ＝12x 2＋bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A (－1,0)．图X －3－9(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； (2)判断△ABC 的形状，证明你的结论；(3)点M (m,0)是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时，求m 的值． 解：(1)把点A (－1,0)的坐标代入抛物线的解析式y ＝12x 2＋bx －2，整理后解得b ＝－32，所以抛物线的解析式为y ＝12x 2－32x －2.顶点D ⎝⎛⎭⎫32，－258. (2)∵AB ＝5，AC 2＝OA 2＋OC 2＝5，BC 2＝OC 2＋OB 2＝20，∴AC 2＋BC 2＝AB 2.∴△ABC 是直角三角形． (3)作出点C 关于x 轴的对称点C ′， 则C ′ (0,2)，OC ′＝2. 连接C ′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC ＋MD 的值最小． 设抛物线的对称轴交x 轴于点E . △C ′OM ∽△DEM .∴OM EM ＝OC ′ED .∴m 32－m ＝2258.∴m ＝2441. 10．(2011年湖南邵阳)如图X －3－10，在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A ⎝⎛⎭⎫－94，0，点C (0,3)，点B 是x 轴上的点(位于点A 右侧)，以AB 为直径的圆恰好经过点C .图X －3－10(1)求∠ACB 的度数；(2)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A 、B 两点，求抛物线的解析式；(3)线段BC 上是否存在点D ，使△BOD 为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解：如图D57，(1)90°图D57(2)∵△AOC ∽△COB ， ∴AO CO ＝CO OB， 又∵A (－94，0)，点C (0,3)，∴ AO ＝94，OC ＝3，∴所以解得：OB ＝4，∴B (4,0)，把 A 、B 两点坐标代入解得： y ＝－13x 2＋712x ＋3.(3)存在．直线BC 的方程为3x ＋4y ＝12，设点D (x ，y )．①若BD ＝OD ，则点D 在OB 的中垂线上，点D 横坐标为2，纵坐标为32，即D 1(2，32)为所求．②若OB ＝BD ＝4，则y CO ＝BD BC ，x BO ＝CD BC ，得y ＝125，x ＝45，点D 2(45，125)为所求．11．(2011年广东汕头)如图X －3－11，抛物线y ＝－54x 2＋174x ＋1与y 轴交于点A ，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C (3,0)．图X －3－11(1)求直线AB 的函数关系式；(2)动点P 在线段OC 上，从原点O 出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作垂直于x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N .设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；(3)设(2)的条件下(不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况)，连接CM 、BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 的值，平行四边形BCMN 是否为菱形？说明理由．解：(1)把x ＝0代入y ＝－54x 2＋174x ＋1，得y ＝1，把x ＝3代入y ＝－54x 2＋174x ＋1，得y ＝52，∴A 、B 两点的坐标分别(0,1)，⎝⎛⎭⎫3，52， 设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入A 、B 的坐标，得： ⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝13k ＋b ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1k ＝12， ∴y ＝12x ＋1.(2)把x ＝t 分别代入到y ＝12x ＋1和y ＝－54x 2＋174x ＋1，分别得到点M 、N 的纵坐标为12t ＋1和－54t 2＋174t ＋1，∴MN ＝－54t 2＋174t ＋1－(12t ＋1)＝－54t 2＋154t ，即s ＝－54t 2＋154t ，∵点P 在线段OC 上移动，∴0≤t ≤3.(3)在四边形BCMN 中，∵BC ∥MN ，∴当BC ＝MN 时，四边形BCMN 即为平行四边形， 由－54t 2＋154t ＝52，得t 1＝1，t 2＝2，即当t ＝1或2时，四边形BCMN 为平行四边形 当t ＝1时，PC ＝2，PM ＝32，由勾股定理求得CM ＝52，此时BC ＝CM ＝MN ＝BN ，平行四边形BCMN 为菱形； 当t ＝2时，PC ＝1，PM ＝2，由勾股定理求得CM ＝5， 此时BC ≠CM ，平行四边形BCMN 不是菱形． ∴当t ＝1时，平行四边形BCMN 为菱形．专题四 归纳与猜想1.(2011年浙江)如图X －4－1，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A 2比图A 1多出2个“树枝”，图A 3比图A 2多出4个“树枝”，图A 4比图A 3多出8个“树枝”……，照此规律，图A 6比图A 2多出“树枝”的个数为( C )图X －4－1A ．28B ．56C ．60D ．1242．(2010年山东日照)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过如图X －4－2(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称如图X －4－2(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( D )图X －4－2A ．15B ．25C ．55D ．1 2253．(2011年内蒙古乌兰察布)将一些半径相同的小圆按如图X －4－3所示的规律摆放，请仔细观察，第n 个图形有n (n ＋1)＋4或n 2＋n ＋4个小圆(用含n 的代数式表示)．图X －4－34．(2011年湖南常德)先找规律，再填数：11＋12－1＝12，13＋14－12＝112，15＋16－13＝130，17＋18－14＝156， …… 则12 011＋12 012－11 006＝12 011×2 012. 5．(2010年辽宁丹东)如图X －4－4，已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是(2)n .图X －4－46．(2010年浙江嵊州)如图X －4－5，平面内有公共端点的六条射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1,2,3,4,5,6,7，…，则“17”在射线OE 上；“2 007”在射线OC 上．图X －4－57．(2011年四川绵阳)观察图X －4－6的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第15个图形共有120个．图X －4－68．(2011年广东湛江)已知：A 23＝3×2＝6，A 35＝5×4×3＝60，A 45＝5×4×3×2＝120，A 46＝6×5×4×3＝360…，观察前面的计算过程，寻找计算规律计算A 37＝210(直接写出计算结果)，并比较A 310<A 410(填“>”或“<”或“＝”)．9．(2011年山东济宁)观察下面的变形规律： 11×2＝1－12；12×3＝12－13；13×4＝13－14；……解答下面的问题： (1)若n 为正整数，请你猜想1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；(2)证明你猜想的结论； (3)求和：11×2＋12×3＋13×4＋…＋12 009×2 010. 解：(2)证明：1n －1n ＋1＝n ＋1n (n ＋1)－n n (n ＋1)＝n ＋1－n n (n ＋1)＝1n (n ＋1).(3)原式＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋12 009－12 010＝1－12010＝2 0092 010.10．(2011年四川凉山州)我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图X －4－7，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a ＋b )n (n 为正整数)的展开式(按a 的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1,2,1，恰好对应(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2展开式中的系数；第四行的四个数1,3,3,1，恰好对应着(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 2展开式中的系数等等．图X －4－7(1)根据上面的规律，写出(a ＋b )5的展开式；(2)利用上面的规律计算：25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1. 解：(1)()a ＋b 5＝a 5＋5a 4b ＋10a 3b 2＋10a 2b 3＋5ab 4＋b 5.(2)原式＝25＋5×24×()－1＋10×23×()－12＋10×22×()－13＋5×2×()－14＋()－15 ＝(2－1)5 ＝1.11．(2010年浙江宁波)18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V )、面数(F )、棱数(E )之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型如图X －4－8，解答下列问题：图X －4－8(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：多面体 顶点数(V )面数(F ) 棱数(E )四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体201230你发现顶点数(V )、面数(F )、棱数(E )之间存在的关系式是______________；(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是__________；(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．设该多面体外表面三角形的个数为x 个，八边形的个数为y 个，求x ＋y 的值．解：(1)四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；关系式为：V ＋F －E ＝2； (2)由题意得：F －8＋F －30＝2，解得F ＝20；(3)∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线； ∴共有24×3÷2＝36条棱，那么24＋F －36＝2，解得F ＝14， ∴x ＋y ＝14.专题五 方案与设计1.现有球迷150人，欲同时租用A 、B 、C 三种型号客车去观看世界杯足球赛，其中A 、B 、C 三种型号客车载客量分别为50人、30人、10人，要求每辆车必须满载，其中A 型客车最多租两辆，则球迷们一次性到达赛场的租车方案有( B )A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种2．某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车共10辆．经了解，甲每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李．请问可行的租车方案有( C )A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种3．今年4月份，李大叔收获洋葱30吨，黄瓜13吨．现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这两种蔬菜全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装洋葱4吨和黄瓜1吨，一辆乙种货车可装洋葱和黄瓜各2吨．李大叔安排甲、乙两种货车时方案有( B )A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种4．(2011年四川广安)广安市某楼盘准备以每平方米6 000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4 860元的均价开盘销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？解：(1)设平均每次下调的百分率为x ，则 6 000(1－x )2＝4 860，得：x 1＝0.1，x 2＝1.9(舍去)． ∴平均每次下调的百分率10%.(2)方案①可优惠：4 860×100×(1－0.98)＝9 720元； 方案②可优惠：100×80＝8 000元． ∴方案①更优惠．5．(2011年山东枣庄)某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决心打造“书香校园”，计划用不超过1 900本科技类书籍和1 620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．(1)符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；(2)若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明(1)中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？解：(1)设组建中型图书角x 个，则组建小型图书角为(30－x )个．由题意，得：⎩⎪⎨⎪⎧80x ＋30(30－x )≤1 90050x ＋60(30－x )≤1 620， 解这个不等式组，得18≤x ≤20.由于x 只能取整数，∴x 的取值是18,19,20. 当x ＝18时，30－x ＝12； 当x ＝19时，30－x ＝11； 当x ＝20时，30－x ＝10.故有三种组建方案：方案一，中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，中型图书角20个，小型图书角10个．(2)方案一的费用是：860×18＋570×12＝22 320(元)； 方案二的费用是：860×19＋570×11＝22 610(元)； 方案三的费用是：860×20＋570×10＝22 900(元)． 故方案一费用最低，最低费用是22 320元．6．(2011年贵州安顺)某班到毕业时共结余班费1 800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件T 恤或一本影集作为纪念品．已知每件T 恤比每本影集贵9元，用200元恰好可以买到2件T 恤和5本影集．(1)求每件T 恤和每本影集的价格分别为多少元？ (2)有几种购买T 恤和影集的方案？解：(1)设T 恤和影集的价格分别为x 元和y 元．则⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝92x ＋5y ＝200，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35y ＝26. 答：T 恤和影集的价格分别为35元和26元． (2)设购买T 恤t 件，则购买影集(50－t )本，则 1 500≤35t ＋26(50－t )≤1 530，解得2009≤t ≤2309，∵为正整数，∴t ＝23,24,25，即有三种方案．第一种方案：购T 恤23件，影集27本； 第二种方案：购T 恤24件，影集26本； 第三种方案：购T 恤25件，影集25本．7．(2011年湖北鄂州)2011年我省干旱灾情严重，甲地急需要抗旱用水15万吨，乙地13万吨．现有A 、B 两水库各调出14万吨水支援甲、乙两地抗旱．从A 地到甲地50千米，到乙地30千米；从B 地到甲地60千米，到乙地45千米．(1)设从A 水库调往甲地的水量为x 万吨，完成下表：调入地水量/万吨调出地甲 乙 总计A x 14B 14 总计151328(2)请设计一个调运方案，使水的调运量尽可能小(调运量＝调运水的重量×调运的距离，单位：万吨·千米)．解：(1)(从左至右，从上至下)14－x 15－x x －1 (2)y ＝50x ＋30(14－x )＋60(15－x )＋45(x －1) ＝5x ＋1 275，由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥014－x ≥015－x ≥0x －1≥0解得：1≤x ≤14.对y ＝5x ＋1 275中，∵5>0，∴y 随x 增大而增大． ∴y 要最小时x 应最小为1.∴调运方案为A 往甲调1吨，往乙调13吨；B 往甲调14吨，不往乙调． 故调运量＝1×50＋30×13＋14×60＝1 280(万吨·千米)．8．(2011年湖北黄石)2011年，号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱，为提高学生环保意识，节约用水，某校数学教师编制了一道应用题：为了保护水资源，某市制定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定：月用水量(吨) 单价(元/吨)不大于10吨部分 1.5 大于10吨且不大于m 吨部分(20≤m ≤50)2 大于m 吨部分3(1)若某用户6月份用水量为18吨，求其应缴纳的水费；(2)记该户6月份用水量为x 吨，缴纳水费y 元，试列出y 关于x 的函数式；(3)若该用户6月份用水量为40吨，缴纳水费y 元的取值范围为70≤y ≤90，试求m 的取值范围．解：(1)应缴纳消费：10×1.5＋(18－10)×2＝31(元)． (2)当0≤x ≤10时，y ＝1.5x ；当10<x ≤m 时，y ＝10×1.5＋2(x －10)＝2x －5； 当x >m 时，y ＝15＋2(m －10)＋3(x －m )＝3x －m －5.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1.5x (0≤x ≤10)2x －5 (10<x ≤m )3x －m －5 (x >m ).(3)当40≤m ≤50时，y ＝2×40－5＝75(元)满足． 当20≤m <40时，y ＝3×40－m －5＝115－m ， 则70≤115－m ≤90，∴25≤m ≤90. 综上得，25≤m ≤40.9．(2011年重庆潼南)潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A 、B 两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜的面积与总收入如下表：种植户 种植A 类蔬菜 面积(单位：亩)种植B 类蔬菜 面积(单位：亩)总收入 (单位：元) 甲 3 1 12 500 乙2316 500说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等． (1)求A 、B 两类蔬菜每亩平均收入各是多少元？(2)某种植户准备租20亩地用来种植A 、B 两类蔬菜，为了使总收入不低于63 000元，且种植A 类蔬菜的面积多于种植B 类蔬菜的面积(两类蔬菜的种植面积均为整数)，求该种植户所有租地方案．解：(1)设A 、B 两类蔬菜每亩平均收入分别是x 元、y 元．由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝12 5002x ＋3y ＝16 500，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3 000y ＝3 500.答：A 、B 两类蔬菜每亩平均收入分别是3 000元，3 500元．(2)设用来种植A 类蔬菜的面积为a 亩，则用来种植B 类蔬菜的面积为(20－a )亩．由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧3 000a ＋3 500(20－a )≥63 000a ＞20－a ，解得：10＜a ≤14.∵a 取整数为：11,12,13,14. ∴租地方案为：类别 种植面积 单位：(亩) A 11 12 13 14 B9876。
