中考数学专题突破

2023学年中考数学高频考点专项突破——一元二次方程一、解答题1．将一元二次方程x 2－6x －5＝0配方，化成(x ＋a)2＝b 的形式．2．解方程：x 2﹣5=2（x+1）3．将一段铁丝围成面积为 的矩形，且它的长比宽多 ，求矩形的长． 4．把小圆形场地的半径增加5m 得到大圆形场地，大圆形场地面积是小圆形场地的4倍，求小圆形场地的半径．5．已知关于的x 方程 ()24x k 2x k 1-++= 有两个相等的实数根，求k 的值及这时方程的根.6．在北京2008年第29届奥运会前夕，某超市在销售中发现：奥运会吉祥物— “福娃”平均每天可售出20套，每件盈利40元。

为了迎接奥运会，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存。

经市场调查发现：如果每套降价4元，那么平均每天就可多售出8套。

要想平均每天在销售吉祥物上盈利1200元，那么每套应降价多少？7．已知关于x 的一元二次方程x 2+x+m 2﹣2m=0有一个实数根为﹣1，求m 的值及方程的另一实根．8．已知方程5x 2﹣kx ﹣6=0的一个根是﹣2，求它的另一个根及k 的值．9．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．调查发现，每件少盈利1元，商场平均每天可多售出2件衬衫．那么每件衬衫少盈利多少元时，商场平均每天盈利是1250元？10．随着青奥会的临近，青奥特许商品销售逐渐火爆．甲.乙两家青奥商品专卖店一月份销售额分别为10万元和15万元，三月份销售额甲店比乙店多10万元．已知甲店二.三月份销售额的月平均增长率是乙店二.三月份月平均增长率的2倍．(1)若设乙店二.三月份销售额的月平均增长率为x ，则甲店三月份的销售额为多少万元？乙店三月份的销售额为多少万元？（用含x 的代数式表示）(2)甲店.乙店这两个月销售额的月平均增长率各是多少？11．奈曼旗某中学要组织一次篮球赛，赛制为双循环形式（每两队之间赛两场），计划安排12场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？12．已知：关于x 的方程220x kx +-=⑴求证：方程有两个不相等的实数根；⑴若方程的一个根是-1，求另一个根及k值．13．某奶茶店每杯奶茶的成本价为5元，市场调查表明，若每杯定价a元，则一天可卖出（800﹣100a）杯，但物价局规定每件商品的利润率不得超过20%，商品计划一天要盈利200元，问每杯应定价多少元？一天可以卖出多少杯？14．某人把500圆存入银行，定期一年，到期他取出300元，将剩余部分（包括利息）继续存入银行，定期仍为一年，利率不变，到期后全部取出，正好是275元，求这种存款的年利率（不计利息税）15．阅读下面的例题：解方程x2﹣|x|﹣2＝0解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝1，（不合题意，舍去）x2＝﹣2；∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2．请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．答案解析部分1．【答案】解：原方程可化为x2－6x＝5，配方得x2－6x＋9＝5＋9，∴(x－3)2＝14.2．【答案】解：方程整理得：x2﹣2x﹣7=0，这里a=1，b=﹣2，c=﹣7，∵⑴=4+28=32＞0，∴2322，∴x12，x2=1﹣2．3．【答案】解：设矩形的长为cm，则解得：（不合题意，舍去），答：矩形的长为15cm．4．【答案】解：设小圆形场地的半径为r，根据题意得：，∴，∴，∴即，∴，∴小圆形场地的半径5m．5．【答案】解：()24x k 2x k 10-++-=∆ = ()()2k 244k 1-+-⨯⨯-⎡⎤⎣⎦= 2k 12k 20-+方程有两个相等的实数根0∴∆=， 即 2k 12k 200-+=12k 2k 10==，当 1k 2= ， 24x 4x 1-+ =0121x x 2==当 1k 10= ， 24x 12x 9-+ =0123x x 2== .6．【答案】解：设每套降价x 元，由题意得：（40-x ）（20+2x ）=1200即2x 2-60x+400=0，∴x 2-30x+200=0，∴（x-10）（x-20）=0，解之得：x=10或x=20为了减少库存，所以x=20．因此，每套应降价20元7．【答案】【解答】解：设方程的另一根为x 2，则﹣1+x 2=﹣1，解得x 2=0．把x=﹣1代入x 2+x+m 2﹣2m=0，得（﹣1）2+（﹣1）+m 2﹣2m=0，即m （m ﹣2）=0， 解得m 1=0，m 2=2．综上所述，m 的值是0或2，方程的另一实根是0． 8．【答案】解：∵关于x 的一元二次方程5x 2﹣kx ﹣6=0的一个根是x 1=﹣2， ∴5×（﹣2）2+2k ﹣6=0，解得k=﹣7．又∵x 1•x 2=﹣6，即﹣2x 2=﹣6，∴x 2=3．综上所述，k 的值是﹣7，方程的另一个根是3．9．【答案】解：设每件衬衫少盈利x 元，商场平均每天盈利1250元， 则()()402021250x x -+=所以1215x x ==，即每件衬衫少盈利15元时，商场平均每天盈利是1250元． 答：每件衬衫少盈利15元时，商场平均每天盈利是1250元． 10．【答案】解：（1）设乙店二.三月份销售额的月平均增长率为x ， 则甲店三月份的销售额为10（1+2x ）2万元，乙店三月份的销售额为15（1+x ）2万元；（2）10（1+2x ）2﹣15（1+x ）2=10，解得 x 1=60%，x 2=﹣1（舍去），2x=120%，答：甲.乙两店这两个月的月平均增长率分别是120%.60%．11．【答案】解：设要邀请x 支球队参加比赛，由题意，得：x （x−1）＝12，解得：x 1＝4，x 2＝−3（舍去）．答：应邀请4支球队参加比赛．12．【答案】解：（1）∵a=1，b=k ，c=﹣2，∴⑴=b 2﹣4ac=k 2﹣4×1×（﹣2）=k 2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）当x=﹣1时，（﹣1）2﹣k ﹣2=0，解得：k=﹣1，则原方程为：x 2﹣x ﹣2=0，即（x ﹣2）（x+1）=0，解得：x 1=2，x 2=﹣1，∴另一个根为2．13．【答案】解：依题意得：（a ﹣5）（800﹣100a ）=200 解得a=6或a=7．因为a ﹣5≤5×20%，即a≤6．故a=6符合题意．所以800﹣100a=800﹣100×6=200（杯）．答：每杯应定价6元，一天可以卖出200杯14．【答案】解：设定期一年的利率是x，根据题意得：一年时：500+500x=500（1+x），取出300后剩：500（1+x）-300，同理两年后是[500（1+x）-300]（1+x），即方程为[500（1+x）-300]•（1+x）=275，解得：x1=10%，x2=- 32（不符合题意，故舍去）．答：定期一年的利率是10%15．【答案】解：当x﹣1≥0即x≥1时，原方程化为x2﹣（x﹣1）﹣1＝0，即x2﹣x＝0，解得x1＝0，x2＝1，∵x≥1，∴x＝1；当x﹣1＜0即x＜1时，原方程化为x2+（x﹣1）﹣1＝0，即x2+x﹣2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1 ∵x＜1，∴x＝﹣2，∴原方程的根为x1＝1，x2＝﹣2。

中考数学频考点突破--勾股定理的应用一、综合题1．已知Rt△ABC中，△C=90˚，AC=4，BC=8.动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿射线．．CB方向运动，连接AP.设运动时间为t s.（1）求斜边AB的长.（2）当t为何值时，△PAB的面积为6？（3）若t＜4，请在所给的图中画出△PAB中AP边上的高BQ，问：当t为何值时，BQ长为4？并直接写出此时点Q到边BC的距离.2．如图，AB为△O的直径，弦CD△AB于E，点F在DC的延长线上，AF交△O于G．（1）求证：△FGC＝△ACD；（2）若AE=CD=8，试求△O的半径．3．数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这种思想叫“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想，由它可以推导出很多重要的公式．（1）如图1，是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．①用“算两次”的方法计算图2中阴影部分的面积：第一次列式为▲ ，第二次列式为▲ ，因为两次所列算式表示的是同一个图形的面积，所以可以得出等式▲ ；②在①中，如果a+b=7，ab=10，请直接用①题中的等式，求阴影部分的面积；（2）如图3，两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形，用“算两次”的方法，探究a，b，c之间的数量关系．4．关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．5．如图，在等边△ABC的AC，BC上各取一点D，E，使AD=CE，AE，BD相交于点M，过点B作直线AE的垂线BH，垂足为H.（1）求证：△ACE△△BAD；（2）若BE=2EC=4.①求△ABC的面积；②求MH的长.6．如图1，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．（1）拼成的正方形的面积是，边长是．（2）把10个小正方形组成的图形纸（如图2），剪开并拼成正方形．①请在4×4方格图内画出这个正方形．②以小正方形的边长为单位长度画一条数轴，并在数轴上画出表示- √10的点．（3）这种研究和解决问题的方式，主要体现了的数学思想方法．A．数形结合B．代入C．换元D．归纳7．如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O外一点，AC=BC，连接OC，DF是AC的垂直平分线，交OC于点F，垂足为点E，连接AD、CD，且∠DCA=∠OCA．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若CD=6，OF=4，求cos∠DAC的值．8．（1）如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，若AP=2，PC=2DP，则BC=；（2）如图2，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=8，AD=10，点E在线段BC上且BE=6，连接DE，作FE⊥ED，交AB于点F，则四边形ADEF的面积是多少？（3）如图3，四边形ABCD中，AB=8，点C到AB的距离为10，∠C=90°，且BC=2CD．当四边形ABCD的面积是61时，求CD的长度是多少？9．如图，AD是▱ABDE的对角线，∠ADE=90°，延长ED至点C，使DC= ED，连接AC交BD于点O，连接BC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）连接OE，若AD=4，AB=2，求OE的长．10．阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分△BAC，则AB AC＝BDCD．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过C作CE△DA．交BA的延长线于E．…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，△ABC＝90°，AD平分△BAC，则△ABD的周长是．11．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=3，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求证：△CDE为等边三角形；（2）求EF的长．12．如图，（1）作△ABC的外接△O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若AB=6cm，AC=BC=5cm，求△O的半径．13．如图，在四边形ABCD中，AB=CD=6，BC=10，AC=8，∠ABC=∠BCD.过点D作DE⊥BC，垂足为点E，延长DE至点F，使EF=DE，连接BF，CF．（1）求证：四边形ABFC是矩形；（2）求DE的长．14．（1）如图所示，Rt△ABC中，△BAC ＝90 °，AB＝√3，AC＝√6，点D是斜边BC的中点，连接AD，求AD的长．（2）如图，在平行四边形ABCD中，DE△AB，BF△CD，垂足分别是E、F．求证：△ADE△△CBF15．平面直角坐标系中，直线y＝12x﹣1的图象如图所示，它与直线y＝﹣2x+4的图象都经过A （2，0），且两直线与y轴分别交于B、C两点.（1）直接画出一次函数y＝﹣2x+4的图象；（2）直接写出B、C两点的坐标；（3）判断△ABC的形状，并说明理由.16．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，作CE⊥AB于点E，AB= 6OE，延长AB至点D，使得BD=AB，P是弧AB（异于A，B）上一个动点，连接AC，BC，CD，PD，PE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AO=3，求AC的长度．答案解析部分1．【答案】（1）解：在Rt△ABC 中，△C=90˚，AC=4，BC=8，AB =√AC 2+BC 2=√16+64=4√5.（2）解：AC=4，BC=8， ∵△PAB 的面积为6， ∴PB=3. ∵CP=2t ，∴当点P 在点B 的左侧时，PB=8−2t ；当点P 在点B 的右侧时，PB=2t ，∴t =52或 t =112.（3）解：作△PAB 中AP 边上的高BQ ，在△ACP 与△BQP 中，{∠ACP =∠BQP ∠APC =∠BPQ AC =BQ ， ∴△ACP ≌△BQP(AAS)，∴AP =BP. 在 Rt △ACP 中，∵CP 2+CA 2=AP 2 ,即 42+(2t)2=(8−2t)2, 解得 t =32，∴当 t =32时， PQ =3.BQ =4,BP =5,根据等面积法求出点Q 到边BC 的距离： PQ⋅BQ BP=125.【知识点】三角形的面积；勾股定理；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形全等的判定（AAS ）【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出.（2）分点 P 在 B 点左侧与右侧两种情况进行讨论即可；（3）作△PAB 中AP 边上的高BQ ，先根据 AAS 定理得出 △ACP ≌△BQP ， 再由勾股定理得出 t 的值，进而可得出结论.2．【答案】（1）证明：∵AB 为△O 的直径，CD△AB ，∴AB垂直平分CD，∴AC=AD，∴△ACD=△D，∵四边形AGCD内接于△O，∴△AGC+△D=180°，∵△AGC+△FGC=180°，∴△D=△FGC，∴△ACD=△FGC；（2）解：连接OC，∵AB为△O的直径，CD△AB，AE=CD=8，∴CE=ED=4，设OA=OC=r，则OE=8-r，在Rt△COE中，OE2+CE2=OC2，即(8−r)2+42=r2，解得r=5，即△O的半径为5.【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；垂径定理；圆内接四边形的性质【解析】【分析】（1）利用垂径定理可证得AB垂直平分CD，利用垂直平分线的性质可得到AC=AD；利用等边对等角可知△ACD=△D；再利用圆内接四边形的性质及补角的性质可证得△D=△FGC，由此可证得结论.（2）连接OC，利用垂径定理求出CE的长；设OA=OC=r，可表示出OE的长；在Rt△COE，利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值.3．【答案】（1）解：①因为小正方形的边长为：a−b，所以第一次计算的面积为：(a−b)2，第二次计算的面积为：(a+b)2−4ab，所以：(a−b)2=(a+b)2−4ab；或(a+b)2−4ab，(a−b)2，(a+b)2−4ab=(a−b)2②∵a+b=7，ab=10∴(a−b)2=(a+b)2−4ab=72−4×10=9（2）解：第一次利用梯形的面积公式图形面积为：12(a+b)2，第二次利用图形的面积和计算为：2×12ab+12c2，∴12(a+b)2=2×12ab+12c2整理得：a2+2ab+b2=2ab+c2∴a2+b2=c2【知识点】列式表示数量关系；完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明【解析】【分析】（1）①利用所给图形，再结合完全平方公式求解即可；②根据a+b=7，ab=10，计算求解即可；（2）先求出12(a+b)2=2×12ab+12c2，再整理计算求解即可。

专题二二次函数的综合——2023届中考数学热点题型突破题型1 二次函数与线段最值问题1.在平面直角坐标系中, 点B 的坐标为, 将抛物线向左平移 2 个单位长度后的顶点记为A. 若点P是x 轴上一动点, 则的最小值是( )A. 8B.C. 9D.2.如图, 抛物线与x轴正半轴交于点A, 与y 轴交于点B.(1)求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标;(2)点P为第四象限内且在对称轴右侧抛物线上一动点, 过点 P作轴, 垂足为C,PC交AB于点D, 求的最大值, 并求出此时点P的坐标;(3)将抛物线向左平移n个单位长度得到抛物线, 若抛物线与直线AB 只有一个交点, 求n的值.3.已知:如图,二次函数与x轴交于点A,B,点A在点B左侧,交y 轴于点C,.（1）求抛物线的解析式;（2）在第一象限的抛物线上有一点D,连接AD,若,求点D坐标;（3）点P在第一象限的抛物线上,于点Q,求PQ的最大值?题型2 二次函数与图形面积问题4.如图，抛物线与x轴的两个交点坐标为、.(1)求抛物线的函数表达式；(2)矩形的顶点P，Q在x轴上(P，Q不与A，B重合)，另两个顶点M，N在抛物线上(如图).①当点P在什么位置时，矩形周长最大？求这个最大值并写出点P的坐标；②判断命题“当矩形周长最大时，其面积最大”的真假，并说明理由.5.在平面直角坐标系xOy 中, 已知抛物线经过,两点. P是抛物线上一点, 且在直线AB的上方.(1)请直接写出抛物线的解析式.(2)若面积是面积的 2 倍, 求点P的坐标.(3)如图, OP交AB于点C,交AB于点D. 记,,的面积分别为,,. 判断是否存在最大值. 若存在, 求出最大值; 若不存在, 请说明理由.6.已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且，.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上位于直线BC上方的一点，连结PB、PC.①如图1，过点P作轴交BC于点D，交x轴于点E，连结OD.设的面积为，的面积为，若，求S的最大值；②如图2，已知，Q为平面内一点，若以点A、C、P、Q为顶点的四边形是以CP为边的平行四边形，求点Q的坐标.题型3 二次函数与图形判定问题7.如图，已知二次函数(b，c为常数)的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC.(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向下平移m()个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部(不包括的边界)，求m的取值范围；(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与相似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程).8.如图, 已知点, 以点D为顶点的抛物线经过点A, 且与直线交于点B,.(1)求抛物线的表达式和点D的坐标.(2)在对称轴上存在一点M, 使得, 求出点M 的坐标.(3)已知点P 为抛物线对称轴上一点, 点Q 为平面内一点, 是否存在以P,B,C,Q为顶点的四边形是菱形的情形? 若存在, 直接写出点P 的坐标; 若不存在, 请说明理由.9.如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在线段OB上运动时，直线l交直线BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；(3)点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.答案以及解析1.答案：D解析：，平移后抛物线的解析式为,点A的坐标为.如图, 作点A关于 x轴对称的点连接交x轴于点P则此时有最小值，最小值为的长，易知，，的最小值是.2.答案： (1)(2)(3)解析： (1)对于,令, 则, 解得，,.令, 则,.设直线AB的解析式为,则解得直线AB的解析式为.抛物线顶点坐标为.(2)如图, 过点D作轴于点E, 则.，,.设点P的坐标为,则点D的坐标为，.，又，当时, 的值最大, 最大值为,此时,此时点P 的坐标为.(3)设抛物线的解析式为. 令,整理, 得,3.答案：（1）（2）（3）解析:（1）当时,,解得,,,.,,,抛物线的解析式为;（2）如图,作于E,,,设,则,,,解得,,,;（3）如图,作轴,交BC于F,则,,,,,由,可知,直线BC的解析式为,设,则,,,时,PF的最大值为,的最大值为.4.答案：(1)(2)①Р在时，矩形的周长最大，最大值为10；②命题是假命题解析：(1)解：将、代入中得，解得，抛物线的函数表达式为，(2)解：抛物线的对称轴为，设点，则，①P，Q关于对称，，则，矩形的周长为，当时，l的值最大，最大值为10，即Р在时，矩形的周长最大，最大值为10.②假命题.由①可知，当矩形周长最大时，长为3，宽为2，面积为6，当为正方形时，，解得，点Р的坐标为，点Q的坐标为，，正方形的面积；故命题是假命题.5.答案： (1)(2) 或(3) 存在，解析：(1)将，分别代入, 得解得所以抛物线的解析式为.(2)设直线AB的解析式为,将，分别代入, 得解得所以直线AB的解析式为.如图 (1), 过点P 作轴, 垂足为M,PM交AB于点N, 过点B 作, 垂足为E,所以因为，,所以.因为的面积是面积的 2 倍,所以, 所以.设,则,所以, 即,解得，,所以点P的坐标为或.(3) 存在.因为, 所以，, 所以,所以.因为，,所以.设直线AB交y轴于点F, 则.如图 (2), 过点P作轴, 垂足为H,PH交 AB于点G.因为, 所以.因为, 所以,所以,所以.设.由 (2) 可得,所以.又,所以当时, 的值最大, 最大值为.6.答案：(1)(2)见解析①6②或解析：(1)由题意，得，，此抛物线的解析式为：.(2)①由可得：设直线BC的解析式为：，则，，直线BC的解析式为：，设，则，，，当时，S的最大值为6.②在OB上截取，则，，又，，，，，运用待定系数法法可求：直线CF的解析式为：，直线BP的解析式为：，，解得或4，，，轴，ACPQ是以CP为边构成平行四边形，，点Q在x轴上，或.7.答案：(1)二次函数解析式为；点M的坐标为(2)(3)，，，解析：(1)把点，点代入二次函数得，，解得，二次函数解析式为，配方得，点M的坐标为；(2)设直线AC解析式为，把点，代入得，，解得，直线AC的解析式为，如图所示，对称轴直线与两边分别交于点E、点F.把代入直线AC解析式解得，则点E坐标为，点F坐标为，，解得；(3)连接MC，作轴并延长交AC于点N，则点G坐标为，，，，把代入解得，则点N坐标为，，，，，由此可知，若点P在AC上，则，则点D与点C必为相似三角形对应点①若有，则有，，，，，，若点P在y轴右侧，作轴，，，，把代入，解得，；同理可得，若点P在y轴左侧，则把代入，解得，；②若有，则有，，，若点P在y轴右侧，把代入，解得；若点P在y轴左侧，把代入，解得；；.所有符合题意得点P坐标有4个，分别为，，，.8.答案： (1)(2)(3)存在, 点P的坐标为，, ，或解析： (1) 将代入, 得,将，分别代入, 得解得故抛物线的表达式为.抛物线的顶点D的坐标为.(2)易知抛物线的对称轴为直线, 且点A,C 关于对称轴对称.作直线AB, 交直线于点M, 则点M即为所求.令,解得,,故.设直线AB 的表达式为,将，分别代入, 得解得故直线AB 的表达式为,当时, , 故.(3)设,易得，①当时,该四边形是以BC为对角线的菱形, 则, 即, 解得,点P 的坐标为.②当时,该四边形是以PC 为对角线的菱形, 则, 即,解得, 故点P的坐标为或.③当时,该四边形是以PB为对角线的菱形, 则, 即, 解得,故点P 的坐标为或.综上可知, 点P的坐标为，,，或9.答案：(1)(2)当时，四边形CQMD是平行四边形(3)点Q的坐标为或解析：(1)设抛物线的解析式为，把点的坐标代入，得，解得抛物线的解析式为，即.(2)点D与点C关于x轴对称，点，，设直线BD的表达式为，把，代入得，，解得，直线BD的关系表达式为，设，，，，当时，四边形CQMD为平行四边形，，解得，(不合舍去)，故当时，四边形CQMD是平行四边形；(3)在中，，，，当以点B、M为顶点的三角形与相似时，分三种情况：①若时，，如图1所示，当时，，即，，，，，，解得，，(不合舍去)，，，，，点Q的坐标为；②若时，如图2所示，此时点P、Q与点A重合，，③由于点M在直线BD上，因此，这种情况不存在，综上所述，点Q的坐标为或.。

中考数学高频考点突破：实际问题与二次函数——拱桥问题一、选择题1.有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行( )A．2.76米B．7米C．6米D．6.76米2.如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=−0.01(x−20)2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为( )A．5米B．4米C．2.25米D．1.25米3.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面 1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为( )A．4√3米B．5√2米C．2√13米D．7米二、填空题4.如图所示是一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的髙度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒．5.一个拱形桥架可以近似看做是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8组成的．若建立如图所示的直角坐标系，跨度AB=44米，∠A=45∘，AC1=4米，点D2的坐标为(−13,−1.69)，则桥架的拱高OH=米．6.闵行体育公园的圆形喷水池的水柱（如图1），如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流（如图2），其上的水珠的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式，那么圆形水池的半径至少为米时，才能使喷出的水流不落在为y=−x2+4x+94水池外．三、解答题7.如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．(1) 求抛物线的解析式；(2) 一辆货运卡车高4.5m，宽2.4m，它能通过该隧道吗？8.如图是一个抛物线形拱桥示意图，已知河床宽度AB=40米，拱桥高度为10米．(1) 建立适当的坐标系，并求出抛物线的解析式；(2) 若测量得拱桥内水面宽度为28米，求拱桥内的水深．9.已知一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，且矩形的一条边长为2.5m．(1) 写出隧道截面的面积y(m2)与截面上部半圆的半径x(m)之间的函数表达式；(2) 当隧道截面上部半圆的半径为2m时，隧道截面的面积约是多少（精确到0.1m2）？10.桂林红桥位于桃花江上，是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线，该桥的部分横截面如图所示，上方可看作是一个经过A，C，B三点的抛物线，以桥面的水平线为x轴，经过抛物线的顶点C与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间的距离为2米（图中用线段AD，FG，CO，BE等表示桥柱），CO=1米，FG=2米．(1) 求经过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；(2) 求桥柱AD的高度．11.有一个抛物线形蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数y=ax2+bx来表示，已知OA=8米，距离O点2米处的棚高BC为9米．4(1) 求该抛物线的解析式；(2) 若借助横梁DE(DE∥OA)建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁DE的长度是多少米？12.如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB．水管的顶端安有一个喷水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m．水柱落地点D离池中心A处3m，建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．(1) 求水柱所在抛物线的函数解析式；(2) 求水管AB的长．13.如图为一座桥的示意图，已知桥洞的拱形是抛物线．当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m．(1) 建立平面直角坐标系，并求该抛物线的函数表达式．(2) 若水面上升1m，水面宽度将减少多少？14.如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，以AB的中点O为原点，按如图②所示建立平面直角坐标系．(1) 求该抛物线对应的函数关系式；(2) 通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．15.秋风送爽，学校组织同学们去颐和园秋游，昆明湖西堤六桥中的玉带桥非常令人喜爱，如图所示，玉带桥的桥拱是抛物线形，水面宽度AB=10m，桥拱最高点C到水面的距离为6m．(1) 建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2) 现有一艘游船高度是 4.5m，宽度是4m，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少0.5m，通过计算说明这艘游船能否安全通过玉带桥．16.如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．(1) 经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是，求出你所选方案中的抛物线的表达式．(2) 因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．17.如图，隧道的截面由抛物线ADC和矩形AOBC构成，矩形的长OB是12m，宽OA是4m．拱顶D到地面OB的距离是10m．若以O原点，OB所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立直角坐标系．(1) 画出直角坐标系xOy，并求出抛物线ADC的函数表达式；(2) 在抛物线型拱壁E，F处安装两盏灯，它们离地面OB的高度都是8m，则这两盏灯的水平距离EF是多少米？18.如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起，据试验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．(1) 求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的解析式．(2) 足球第一次落地点C距守门员多少米？（取4√3≈7）(3) 运动员乙要在第二个落地点D抢到足球，他应再向前跑多少米？（取2√6≈5）答案一、选择题1. 【答案】D【解析】设该抛物线的表达式为 y =ax 2，把 x =10，代入表达式得 −4=a ×102，解得 a =−125，故此抛物线的表达式为 y =−125x 2，∵ 桥下水面宽度不得小于 18m ，∴ 令 x =9 时，可得 y =−125×81=−3.24(m )， 此时水深 6+4−3.24=6.76(m )， 即桥下水深 6.76m 时正好通过， ∴ 超过 6.76m 时则不能通过．2. 【答案】C3. 【答案】B【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则 MN =4 米，EF =14 米，BC =10 米，DO =32 米，设大孔所在抛物线的解析式为 y =ax 2+32(a ≠0)，∵BC =10 米， ∴ 点 B (−5,0)，∴0=a ×(−5)2+32， ∴a =−350，∴ 大孔所在抛物线的解析式为 y =−350x 2+32，设点 A (b,0)，则设顶点为 A 的小孔所在抛物线的解析式为 y =m (x −b )2， ∵EF =14 米，∴ 点 E 的横坐标为 −7， ∴ 点 E 的坐标为 (−7,−3625)，当 m (x −b )2=−3625 时，解得 x 1=65√−1m +b ，x 2=−65√−1m +b ， ∵MN =4 米， ∴∣∣∣∣65√−1m +b −(−65√−1m +b)∣∣∣∣=4， ∴m =−925，∴ 顶点为 A 的小孔所在抛物线的解析式为 y =−925(x −b )2，∵ 大孔水面宽度为 20 米，∴ 当 x =−10 时，y =−92， ∴−92=−925(x −b )2， ∴x 1=5√22+b ，x 2=−5√22+b ，∴ 当大孔水面宽度为 20 米时，单个小孔的水面宽度 =∣∣∣(5√22+b)−(−5√22+b)∣∣∣=5√2（米）． 故选B ．二、填空题4. 【答案】 36【解析】如图所示：设在 10 秒时到达 A 点，在 26 秒时到达 B ， ∵10 秒时和 26 秒时拱梁的高度相同，∴A ，B 关于对称轴对称，则从 A 到 B 需要 16 秒，则从 A 到 D 需要 8 秒， ∴ 从 O 到 D 需要 10+8=18 秒， 从 O 到 C 需要 2×18=36 秒．5. 【答案】 7.24【解析】设抛物线 D 1OD 8 的解析式为 y =ax 2，将 x =−13，y =−1.69 代入，可得 a =−1100．因为横梁 D 1D 8=C 1C 8=AB −2AC 1=36 m ，所以点 D 1 的横坐标是 −18，代入 y =−1100x 2，得 y =−3.24． 因为 ∠A =45∘，所以 D 1C 1=AC 1=4 m ，所以 OH =3.24+4=7.24 m ．6. 【答案】 92三、解答题7. 【答案】(1) 根据题意，A (−4,2)，D (4,2)，E (0,6)，设抛物线的解析式为 y =ax 2+6(a ≠0)，把 A (−4,2) 或 D (4,2) 代入得 16a +6=2，得 a =−14，抛物线的解析式为 y =−14x 2+6．(2) 根据题意，把 x =±1.2 代入解析式，得 y =5.64， ∵5.64>4.5，∴ 货运卡车能通过．【解析】(1) 方法二：设解析式为y=ax2+bx+c，代入A，D，E三点坐标得{16a−4b+c=216a+4b+c=2c=6，得{a=−14b=0c=6，抛物线的解析式为y=−14x2+6．8. 【答案】(1) 建立如图所示坐标系，设抛物线铁板式为y=ax2；由题意得，B(20,−10)，∴−10=202a，解得a=−140，∴y=−140x2．(2) 由题意得，点D横坐标为28÷2=14，当x=14时，y=−140×142=−4.9，−4.9−(−10)=5.1．∴拱桥内的水深5.1米．9. 【答案】(1) y与x之间的函数表达式是y=12πx2+5x；(2) 当x=2时，y=12π×22+5×2=2π+10≈16.3(m2)．所以隧道截面上部半圆的半径为2m时，隧道截面的面积约是16.3m2．10. 【答案】(1) 由题意可知：点C的坐标为(0,1)，点F的坐标为(−4,2)．设抛物线的函数解析式为y=ax2+c，所以{1=c,2=16a+c,解得{a=116,c=1.所以抛物线的函数解析式为y=116x2+1．(2) 点A的横坐标为−8，当x=−8时，y=5，所以桥柱AD的高度为5米．11. 【答案】(1) 由题意可得，抛物线经过(2,94)，(8,0)，故{64a+8b=0,4a+2b=94,解得{a=−316,b=32,故拋物线的解析式为y=−316x2+32x．(2) 由题意可得，当y=1.5时，1.5=−316x2+32x，解得x1=4+2√2，x2=4−2√2，故DE=x1−x2=4+2√2−(4−2√2)=4√2（米）．12. 【答案】(1) 以池中心A为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的方向为x轴建立平面直角坐标系．由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，则设抛物线的解析式为y =a (x −1)2+3，代入 (3,0)，求得 a =−34， 故所求的函数解析式为 y =−34(x −1)2+3(0≤x ≤3)．(2) 令 x =0，则 y =94=2.25．故水管 AB 的长为 2.25 m ．13. 【答案】(1) 以 C 为坐标原点建立坐标系，则 A (−6,−4)，B (6,−4)，C (0,0)，设 y =ax 2，把 B (6,−4) 代入上式，36a +4=0，解得：a =−19，∴y =−19x 2．(2) 令 y =−3 得：−19x 2=−3，解得：x =±3√3， ∴ 若水面上升 1 m ，水面宽度将减少 12−6√3．14. 【答案】(1) 如图，A (−4,0)，C (0,4)，设抛物线的解析式为 y =ax 2+k (a ≠0)，由题意，得 {16a +k =0,k =4,解得 {a =−14,k =4,∴ 抛物线的解析式为 y =−14x 2+4．(2) 2+0.42=2.2，当 ∣x ∣=2.2 时，y =−14×2.22+4=2.79，2.79−0.5=2.29(m )．答：该货车能够安全通行的最大高度为 2.29 m ．15. 【答案】(1) 以 AB 的中点为原点，建立如下的坐标系， 则点 C (0,6)，点 B (5,0)．设函数的表达式为 y =ax 2+c =ax 2+6(a ≠0)，将点 B 的坐标代入上式，得 0=25a +6，解得 a =−625，故抛物线的表达式为 y =−625x 2+6．(2) 设船从桥的中心进入，则其最右侧点的横坐标为 2，当 x =2 时，y =−625x 2+6=−625×4+6=12625=5.04，船的顶部高为 4.5，4.5+0.5=5<5.04，故顶部通过符合要求，故这艘游船能安全通过玉带桥．16. 【答案】(1) 方案二；(10,0)；由题意知，抛物线的顶点坐标为 A (5,5)，且经过点 O (0,0)，B (10,0)， 设抛物线的解析式为 y =a (x −5)2+5（a ≠0），把点 (0,0) 代入，得 0=a (0−5)2+5，解得a=−15．∴抛物线的解析式为y=−15(x−5)2+5．(2) 在方案二的前提下，由题意知，当x=5−3=2时，−15(x−5)2+5=165，所以水面上涨的高度为165米．17. 【答案】(1) 画出直角坐标系xOy，如图：由题意可知，抛物线ADC的顶点坐标为(6,10)，A点坐标为(0,4)，可设抛物线ADC的函数表达式为y=a(x−6)2+10，将x=0，y=4代入得：a=−16，∴抛物线ADC的函数表达式为y=−16(x−6)2+10．(2) 由y=8得：−16(x−6)2+10=8，解得：x1=6+2√3，x2=6−2√3，则EF=x1−x2=4√3，即两盏灯的水平距离EF是4√3米．18. 【答案】(1) 根据题意，可设足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的解析式为y=a(x−6)2+4，将点A(0,1)代入，得36a+4=1，解得a=−112，∴足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的解析式为y=−112(x−6)2+4．(2) 令y=0，得−112(x−6)2+4=0，解得x1=4√3+6≈13，x2=−4√3+6<0（舍去），∴足球第一次落地点C距守门员13米．(3) 如图，足球第二次弹起后的水平距离为CD，根据题意知CD=EF（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位），∴−112(x−6)2+4=2，解得x1=6−2√6，x2=6+2√6，∴CD=x2−x1=4√6≈10（米），∴BD=13−6+10=17（米）．答：运动员乙要在第二个落地点D抢到足球，他应再向前跑17米．。

中考数学一轮复习专题突破练习—有理数的运算（含解析）一、单选题1．（2022·陕西西安交大第二附属中学南校区九年级其他模拟）﹣23的倒数是（）A．32B．23C．﹣32D．﹣23【答案】C【分析】根据：除0外的数都存在倒数，两个乘积是1的数互为倒数，0没有倒数；判断即可．【详解】解：﹣23的倒数是﹣32．故答案为：C．2．（2022·重庆字水中学九年级三模）下列各数中，相反数最大的是（）A．-5 B．-2 C．-1 D．0【答案】A【分析】求得各选项的相反数，然后比较大小即可． 【详解】解：各选项的相反数分别为5，2，1，0∵5210>>>∴-5的相反数最大故答案为A ．3．（2022·西安市铁一中学九年级其他模拟）据新浪财经2022年4月2日报到，第一龙头股贵州茅台一路走高，截至收盘涨近6%至2162元，收涨5.75%，市值激增至272000000元．数据272000000用科学记数法表示为（ ） A ．627210⨯B ．82.7210⨯C ．90.27210⨯D ．927210⨯ 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：8272000000 2.7210=⨯，故选：B．4．（2022·长春市解放大路学校九年级其他模拟）下列各数中，比2021-小的数为（）A．2022-B．2020-C．0 D．2020【答案】A【分析】根据有理数的大小比较方法即可求解．【详解】∵2022-＜2020-＜2021-＜0＜2020故比2021--小的数为2022故选A．5．（2022·福建泉州市·泉州五中九年级其他模拟）据报道，2020年泉州GDP总量突破万亿大关，约为10159亿元，居全国第18位，其中数10159亿元用科学记数法表示为（）A．12⨯元C．4⨯元D．51.0159100.1015910⨯元B．131.015910⨯元0.1015910【答案】A【分析】根据题意，运用科学记数法的表示方法可直接得出答案，要注意绝对值大于1的数字科学记数法的表示形式为：10n a ⨯，其中110a ≤<，n 为正整数．【详解】解：10159亿用科学记数法表示为121.015910⨯，故选：A ．6．（2022·山东省诸城市树一中学九年级三模）若x x +=0，那么实数x 一定是（ ）A ．负数B ．正数C ．零D ．非正数 【答案】D【分析】先整理，然后根据绝对值等于它的相反数进行解答．【详解】解：由x ＋|x |＝0得，|x |＝−x ，∵负数或零的绝对值等于它的相反数，∴x 一定是负数或零，即非正数．故选：D ．7．（2022·江苏南京·）下列四个实数中，是负数的是（ ）A ．－（－1）B ．（－1）2C ．|－1|D ．（－1）3【答案】D 【分析】根据相反数的定义、乘方的定义、绝对值的性质及负数和正数的概念判断可得． 【详解】解：A ．-（-1）=1，是正数，不符合题意；B ．（-1）2=1，是正数，不符合题意；C ．|-1|=1，是正数，不符合题意；D ．（-1）3=-1，是负数，符合题意；故选：D ．8．（2022·河南师大附中九年级三模）1长度单位“埃”，等于一亿分之一厘米，那么一本杂志长为35厘米，等于（ ）埃．A ．73.510⨯B ．83.510⨯C ．93.510⨯D ．83.510-⨯ 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【详解】解：35cm=35×108埃=3.5×109埃．故选：C．9．（2019·宁夏）如图，是一组按照某种规律摆放而成的图案，第1个图有1个三角形，第二个图有4个三角形，第三个图有8个三角形，第四个图有12个三角形，则图5中三角形的个数是（）A．8 B．12 C．16 D．17【答案】C【解析】试题分析：由图可知：第一个图案有三角形1个．第二图案有三角形1+3=4个．第三个图案有三角形1+3+4=8个，第四个图案有三角形1+3+4+4=12,第五个图案有三角形1+3+4+4+4=16,故选C．考点：规律型：图形的变化类．10．（2022·江苏苏州·）21÷(－7)的结果是（）A．3 B．－3 C．13D．13【答案】B【分析】直接根据有理数的除法法则进行求解即可；【详解】21÷（-7）=-3，故选：B．二、填空题11．（2022·厦门市第九中学九年级二模）2022年厦门中考生大约39700人，这个数字可用科学记数法表示为__________【答案】3.97×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：39700＝3.97×104．故答案为：3.97×104． 12．（2022·广东）已知a ，b 为有理数，如果规定一种新的运算“※”，规定：23a b b a =-※，例如：122231431=⨯-⨯=-=※，计算：()235=※※_________ ．【答案】10 【分析】根据a ※b =2b -3a ，可以计算出所求式子的值． 【详解】解：∵a ※b =2b -3a ，∴（2※3）※5=（2×3-3×2）※5=（6-6）※5=0※5=2×5-3×0 =10-0=10，故答案为：10．13．（2022·贵州）某同学在银行存入1000元，记为1000+元，则支出500元，记为______元．【答案】500【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【详解】解：“正”和“负”相对，所以，若向银行存入1000元，记作“+1000元”，那么向银行支出500元，应记作“﹣500元”．故答案为：﹣500．14．（2022·浙江）已知实数a，b互为相反数，且|a+2b|＝1，b＜0，则b＝_____．【答案】-1【分析】直接利用互为相反数的定义得出a+b=0，进而化简得出答案．【详解】解：∵实数a，b互为相反数，∴a+b＝0，∴|a+2b|＝|a+b+b|＝|b|＝1，∵b＜0，∴b＝﹣1．故答案为：﹣1．15．（2019·云南）如果x的相反数是2019，那么x的值是__________．【答案】2019-【解析】【分析】根据相反数的定义进行分析即可.【详解】解：∵2019-的相反数是2019，x的值是：2019-．故答案为2019-三、计算题16．（2020·河北九年级一模）小盛和丽丽在学完了有理数后做起了数学游戏(1)规定用四个不重复（绝对值小于10)的正整数通过加法运算后结果等于12，小盛：1+2+3+6=12：丽丽：1+2+4+5=12，问是否还有其他的算式，如果有请写出来一个，如果没有，请简单说明理由：(2)规定用四个不重复（绝对值小于10)的整数通过加法运算后结果等于12；【答案】（1）见解析；（2）答案不唯一，-1-3+7+9=12．【分析】（1）由于1+2+3+4=10，要想和为12，在此基础上要加上2，据此进行思考即可；（2）根据有理数加减法法则按要求进行计算即可（答案不唯一）．【详解】（1）没有其他算式了，四个小于10的不同的正整数最小的和为1+2+3+4=10，要想得到和为12，需要加2，则任何两个数加1或者任意一个数加2，又因为数字不能重复，所以只能是3+1或4+1，3+2，或4+2；故符合条件的算式有1+2+4+5，1+2+3+6；只有两个；（2）答案不唯一，如：-1-3+7+9=12，写出一个即可．17．（2020·河北保定市·）计算下列各式的值．（1）（﹣53）+（+21）﹣（﹣69）﹣（+37）（2）﹣3.61×0.75+0.61×3+（﹣0.2）×75%．4【答案】（1）0；（2）-2.4【分析】（1）根据有理数的加减运算法则，先省略括号，再进行计算即可得解；（2）逆运用乘法分配律进行计算即可得解．【详解】解：（1）（﹣53）+（+21）﹣（﹣69）﹣（+37）＝﹣53+21+69﹣37＝﹣90+90＝0；（2）33.610.750.61(0.2)75%-⨯+⨯+-⨯4＝﹣3.61×0.75+0.61×0.75+（﹣0.2）×0.75＝0.75×（﹣3.61+0.61﹣0.2）＝0.75×（﹣3.2）＝﹣2.4．18．（2022·河南九年级一模）计算下列各题（1）3-----(2)|25|(15)（2）15351-+-+÷-()()2681224（3）23122--⨯--÷-3[(1)()6||]293（4）3331⨯--⨯+-⨯+⨯-2(1)213(1)5(13)7474；（4）-49【答案】（1）4；（2）-9；（3）34【分析】（1）原式先计算乘方及绝对值的代数意义计算即可求出值；（2）原式利用除法法则变形，再利用乘法分配律计算即可求出值；（3）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值；（4）原式逆用乘法分配律计算即可求出值．【详解】解：（1）原式83154=--+=；（2）原式1535=-+-+⨯-()(24)26812=-+-1220910=-；9（3）原式2723=--⨯--⨯9[()6]8923=-++9943=；4（4）原式3311(25)13(2)=-⨯+-⨯+74410=-⨯-⨯71337=--1039=-；4919．（2018·石家庄市第四十一中学九年级二模）计算：（﹣2）3+（﹣3）×[（﹣4）2+2]﹣（﹣3）2÷（﹣2）【答案】-57.5【分析】按照有理数混合运算的顺序，先乘方后乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的．【详解】解：原式＝﹣8+（﹣3）×18﹣9÷（﹣2），＝﹣8﹣54﹣9÷（﹣2），＝﹣62+4.5，＝﹣57.5．20．（2020·河北九年级其他模拟）利用运算律有时能进行简便计算.例198×12=(100-2)×12=1 200-24=1 176;例2-16×233+17×233=(-16+17)×233=233.请你参考黑板中老师的讲解,用运算律简便计算: (1)999×(-15);(2)999×11845+999×1-5⎛⎫⎪⎝⎭-999×1835.【答案】（1）-14 985；（2）99 900.【详解】(1)原式=(1 000-1)×(-15)=-15 000+15=-14 985.(2)原式=999×413 118-18555⎡⎛⎫⎤+-⎪⎢⎥⎣⎝⎭⎦=999×100=99 900.21．（2019·浙江中考模拟）计算：–23+6÷3×23．圆圆同学的计算过程如下：原式=–6+6÷2=0÷2=0，请你判断圆圆的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．【答案】–203．【详解】圆圆的计算过程不正确，正确的计算过程为：原式=﹣8+2×23=﹣8+43=﹣203．22．（2022·山东课时练习）求下列各数的绝对值：（1）﹣38；（2）0.15；（3）a（a＜0）；（4）3b（b＞0）；（5）a﹣2（a＜2）；（6）a﹣b．【答案】（1）38；（2）0.15；（3）﹣a；（4）3b；（5）2﹣a；（6）a﹣b≥0时，a ﹣b；a﹣b＜0时，b﹣a．【详解】（1）|﹣38|＝38；（2）|+0.15|＝0.15；（3）∵a＜0，∴|a|＝﹣a；（4）∵b＞0，∴3b＞0，∴|3b|＝3b；（5）∵a＜2，∴a﹣2＜0，∴|a﹣2|＝﹣（a﹣2）＝2﹣a；（6）a﹣b≥0时，|a﹣b|＝a﹣b；a﹣b＜0时，|a﹣b|＝b﹣a．23．（2022·全国课时练习）某沙漠可以粗略看成一个长方体，该沙漠的长度约是4800000m，沙层的深度大约是366cm，已知该沙漠中的体积约为33345km3立方千米．（1）请将沙漠中沙的体积用科学记数法表示出来（单位：m3）；（2）该沙漠的宽度是多少米（精确到万位）？（3）如果一粒沙子体积大约是0.036mm3，那么，该沙漠中有多少粒沙子（用科学记数法表示）？【答案】（1）3.334 5×1013m3；（2）1.90×104m；（3）9.26×1023【详解】【分析】（1）首先把3 3345km3换算成33 345 000 000 000m3，再写成科学记数法．（2）沙漠的体积÷撒哈拉沙漠的长度÷沙层的深度＝撒哈拉沙漠的宽度．（3）沙漠的体积÷一粒沙子体积＝沙漠沙子的粒数．（1）33 345km3＝33 345 000 000 000m3＝3.334 5×1013m3；（2）3.334 5×1013m3÷4800000m÷366m≈1.90×104m．答：沙漠的宽度是1.90×104m．（3）3.334 5×1013m3＝3.334 5×1022mm3，3.3345×1022mm3÷0.036mm3＝9.26×1023（粒）．答：沙漠中有9.26×1023粒沙子．。

专题一反比例函数的综合——2023届中考数学热点题型突破题型1 反比例函数与一次函数图象交点问题1.已知正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，若点，则点B的坐标为( )A. B. C. D.2.如图，在平面直角坐标系中，点，点B与点A关于直线对称，过点B 作反比例函数的图像.(1)____________；(2)若对于直线，总有y随x的增大而增大，设直线与双曲线交点的横坐标为t，则t的取值范围是___________.3.如图, 一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A,B两点, 其中点A的坐标为, 点B 的坐标为.(1)根据图象, 直接写出满足的x的取值范围;(2)求这两个函数的表达式;(3)点P在线段AB上, 连接OA,OB,OP, 恰有, 求点P 的坐标.题型2 反比例函数与一次函数图形面积问题4.如图,P是反比例函数的图象上一点,过点P分别作x轴,y轴的平行线,交反比例函数的图象于点M,N,则的面积为( )A.1B.1.2C.2D.2.45.如图, 一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A 和点B, 与反比例函数的图象在第一象限内交于点C,轴, 轴, 垂足分别为点D,E. 当矩形ODCE与的面积相等时, k的值为___________.6.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数(m≠0)的图象相交于A,B两点,过点A作AD⊥x轴于点D, y=mxAO=5,,B点的坐标为(―6,n)（1）求一次函数和反比例函数的表达式;（2）求△AOB的面积;（3）P是y轴上一点,且△AOP是等腰三角形,请直接写出所有符合条件的P点坐标.题型3 反比例函数与几何图形结合7.如图, 点A在双曲线上, 连接 AO并延长, 交双曲线于点C. 以AC为对角线作菱形ABCD, 点B,D在反比例函数的图象上, 且, 则k的值是( )A. B. C. D. -18.如图，已知，在矩形AOBC中，，，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点(不与B、C重合)，过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E，将沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为___________.9.如图, 在平面直角坐标系中, 直线与反比例函数的图象交于点,, 过点 A作交反比例函数图象于另一点D, 过点B作交反比例函数图象于另一点C, 连接CD.(1)求直线AB的解析式;(2)判断四边形 ABCD的形状, 并说明理由.答案以及解析1.答案：A解析：把点代入，得，又正比例函数与反比例函数交点关于原点对称，则.2.答案：(1)12(2)解析：(1)点，点B与点A关于点线对称，，将代入，解得，.(2)对于直线，总有y随x的增大而增大，，，当时，，直线过定点，把代入，得，解得，故.3.答案： (1) 或.(2)(3)解析： (1) 由题图可知, 当或时, 一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，当或时, 满足.(2) 点在反比例函数的图象上, , 解得,故反比例函数的表达式为.点在反比例函数的图象上, ,点B的坐标为.将点 A,B的坐标分别代入, 得解得故一次函数的表达式为.(3)设直线与x 轴交于点C, 当时, ，,点C的坐标为.,.,.点P在线段AB上,设点P 的坐标为.,,解得，,故点P的坐标为.4.答案：A解析:设,则,,,,的面积为:.故选:A.5.答案：2解析：对于一次函数, 当时, , 当时, ,即, 故.结合反比例函数中的几何意义, 可知.，, 解得，(舍去).6.答案：（1）（2）9（3）P点坐标为:(0,8)或(0,5)或(0,―5)或(0,258)..解析:（1）(1)AO=5,AD=3,设:OD=3a,AD=4a,则AD=5a=5,解得:a=1,故点A(3,4),则m=3×4=12,故反比例函数的表达式为:y=12x,故B(―6,―2),将点A,B的坐标代入一次函数表达式y=kx+b得:,解得:k=23b=2,故一次函数的表达式为:y=23x+2;（2）设一次函数交y轴于点M(0,2),△AOB的面积;（3）设点，而点A ,O 的坐标分别为:,,AP 2=9+(m ―4)2,,PO 2=m 2,当时,解得:或0(舍去0);当时,同理可得:;当时,同理可得:m =258;综上,P 点坐标为:或或或(0,258)..7.答案：C解析：如图, 过点A 作 轴于点F ,过点B 作 轴于点E , 则，四边形 ABCD 是菱 形, ,. 又，，，，. 反比例函数的图象位于第二、四象限,，.8.答案：解析：解：如图，过点E 作轴于点M ，将沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上的D 点处，，，，，而，，，；又，，，，；，而，，在中，，即，解得，故答案为.9.答案： (1)(2)四边形ABCD是矩形，理由见解析解析：(1)点在反比例函数的图象上,,反比例函数的解析式为.点在反比例函数的图象上,,点.将,分别代入, 得解得直线AB的解析式为.(2) 四边形ABCD是矩形.理由如下:, 直线AB的解析式为, 易知可设直线AD的解析式为.将代入, 得,，直线AD的解析式为.令, 解得，,点，.由, 点, 易得直线BC的解析式为,令, 解得，,点，,.又,四边形ABCD 是平行四边形.又,四边形ABCD 是矩形.。

2023年数学中考复习专项突破——二次函数解答题一、解答题1．已知二次函数y=x 2+3x+m 的图象与x 轴交于点A （﹣4，0）．（1）求m 的值；（2）求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标．2．已知如图，抛物线的顶点D 的坐标为（1，-4），且与y 轴交于点C （0，-3）.（1）求该函数的关系式；（2）求该抛物线与x 轴的交点A ，B 的坐标.3．如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 以每秒4个单位长度的速度向终点C 移动，如果点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发，那么△PBQ 的面积S 随出发时间t （s ）如何变化？写出函数关系式及t 的取值范围．4．在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x （x≥60）元，销售量为y 套．（1）求出y 与x 的函数关系式．（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？[参考公式：抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的顶点坐标是(2b a -,244ac ba-)]．5．如图，二次函数y=(x+2)2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(－1，0)及点B．（1）求二次函数与一次函数的表达式．（2）根据图象，写出满足(x+2)2≥kx+b－m的x的取值范围6．某种产品的年产量不超过1000t，该产品的年产量（t）与费用（万元）之间的函数关系如图（1）；该产品的年销售量（t）与每吨销售价（万元）之间的函数关系如图（2）．若生产出的产品都能在当年销售完，则年产量为多少吨时，当年可获得7500万元毛利润？（毛利润=销售额﹣费用）7．某商场销售一批名牌衬衫：平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出2件.若商场想平均每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？你若是商场经理，为获得最大利润，每件衬衫应降价多少元，此时最大利润是多少？8．某品牌手机去年每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系：y＝﹣50x+2600，去年的月销量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中1﹣6月份的销售情况如下表：月份（x）1月2月3月4月5月6月销售量（p） 3.9万台 4.0万台 4.1万台 4.2万台 4.3万台 4.4万台（1）求p关于x的函数关系式；（2）求该品牌手机在去年哪个月的销售金额最大？最大是多少万元？（3）今年1月份该品牌手机的售价比去年12月份下降了m%，而销售量也比去年12月份下降了1.5m%．今年2月份，经销商决定对该手机以1月份价格的“八折”销售，这样2月份的销售量比今年1月份增加了1.5万台．若今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元，求m的值．9．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值；（3）当以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形时，求m的值．10．在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A，与直线y=﹣x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．（Ⅰ）求过B，C两点的抛物线y=ax2+bx﹣1解析式；（Ⅱ）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q．①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②若点P的横坐标为t（﹣1＜t＜1），当t为何值时，四边形PBQC面积最大？最大值是多少？并说明理由．11．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成长方形零件PQMN，使长方形PQMN的边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，求这个长方形零件PQMN面积S的最大值．12．为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用y1（元）与x（m2）的函数关系式为()()11206006001000k x xyk x b x≤<⎧⎪=⎨+≤≤⎪⎩，其图象如图所示：栽花所需费用y2（元）与x（m2）的函数关系式为y2=﹣0.01x2﹣20x+30000（0≤x≤1000）．（1）请直接写出k1、k2和b的值；（2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；（3700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W的最小值．13．如图，在矩形ABCD中，AB=18，AD=12，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点G。

中考数学一轮复习专题突破练习—一元二次方程及其应用一、单选题1．（2022·全国九年级课时练习）下列方程是一元二次方程的是（ ） A ．20ax bx c ++=B ．()223232x x x -=-C ．213x x-=D ．242x x x -= 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】解：A 、20ax bx c ++=，a ≠0时，是一元二次方程，故此选项错误；B 、()223232x x x -=-，整理得：-2x +6=0，是一元一次方程，故此选项错误；C 、213x x-=，是分式方程，故此选项错误； D 、242x x x -=，是一元二次方程，故此选项正确； 故选：D ．2．（2022·全国九年级课时练习）下列各数是方程212x x -=的根的是（ ） A ．3x = B ．4x =C ．5x =D ．10x =【答案】B 【分析】分别将3x =，4x =，5x =，10x =代入方程中，如果方程左右两边相等，那么此时的值即为方程的解． 【详解】解：将3x =，4x =，5x =，10x =代入方程中， 可得当4x =时，左边=右边， 故4x =是方程212x x -=的根， 故选B ．3．（2022·全国九年级课时练习）已知方程2(3)210k x x -++=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．4k < B ．4k ≤C ．4k <且3k ≠D ．4k ≤且3k ≠【答案】D 【分析】若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△=b 2-4ac ≥0，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围．还要注意二次项系数不为0． 【详解】解：∵方程有两个实数根，∴30k -≠且22Δ4241(3)0b ac k =-=-⨯⨯-≥， 解得4k ≤且3k ≠， 故选D ．4．（2022·全国九年级课时练习）一元二次方程24410x x -+=的根的情况是（ ） A ．没有实数根 B ．只有一个实数根 C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解． 【详解】解：∵2Δ(4)4410=--⨯⨯=，∴一元二次方程24410x x -+=有两个相等的实数根． 故选C ．5．（2022·全国九年级课时练习）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A ．22990x x --=化为2(1)100x -=B ．2890x x ++=化为2(4)25x +=C ．22740t t --=化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．23420x x --=化为221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 【答案】B 【分析】根据配方的步骤计算即可解题． 【详解】()2222890,89,816916,47x x x x x x x ++=+=-++=-++=故B 错误．且ACD 选项均正确， 故选：B6．（2022·珠海市九洲中学九年级一模）已知关于x 的一元二次方程2210-+=ax x 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a = B ．1a >且0a ≠ C ．1a <且0a ≠ D ．1a ≤或0a ≠【答案】C由关于x 的一元二次方程2210-+=ax x 有两个不相等的实数根，即可得判别式△0>以及0a ≠，由此即可求得a 的范围．【详解】解：关于x 的一元二次方程2210-+=ax x 有两个不相等的实数根，∴△224(2)41440b ac a a =-=--⨯⨯=->，解得：1a <，方程2210-+=ax x 是一元二次方程，0a ∴≠，a ∴的范围是：1a <且0a ≠．故选：C ．7．（2022·全国九年级课时练习）已知一个三角形的一边长为5，其他两边的长是方程(2)(4)0x x --=的根，则这个三角形的周长是（ ） A ．9 B ．11C ．11或13D ．9或11【答案】C 【分析】首先解一元二次方程，再根据三角形三边关系的性质，分三种情况分析，通过计算即可得到答案． 【详解】∵(2)(4)0x x --=， ∴12x =，24x =当三角形的三边长分别为2，4，5时，其周长为11；当三角形的三边长分别为4，4，5时，其周长为13； 当三角形的三边长分别为2，2，5时，无法构成三角形； ∴这个三角形的周长是11或13． 故选：C ．8．（2022·全国九年级课时练习）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价比定价180元增加x 元，则有（ ） A ．180(20)501089010x x -⎛⎫--= ⎪⎝⎭B ．1805050201089010x x -⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭ C ．(18020)501089010x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭D ．(180)5050201089010x x ⎛⎫+--⨯= ⎪⎝⎭【答案】A 【分析】设房价定为x 元，根据利润＝房价的净利润×入住的房间数可得． 【详解】解：设房价定为x 元， 根据题意，得()18020501089010x x -⎛⎫--= ⎪⎝⎭故选A ．9．（2022·全国九年级课时练习）如图，在宽为20m ，长为30m 的矩形地面上修建两条宽均为m x 的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为2551m ，根据图中数据，求得小路宽x 的值为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【答案】A 【分析】剩余部分可合成长为（30-x ）m ，宽为（20-x ）m 的矩形，利用矩形的面积公式结合草地面积为551m 2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：根据题意，得(30)(20)551x x --=， 整理，得250490x x -+=， 解得121,49x x ==，∵当249x =时，20290x -=-<， ∴249x =舍去， ∴小路宽x 的值为1． 故选A ．10．（2022·全国九年级课时练习）某市2012年有人口100万，2013年人口增长率为5%，“单独二胎”政策开放后，2014年人口增长率约为7%，若2013年、2014年人口年平均增长率为x ，则（ ） A ．6%x = B ．6%x >C ．6%x <D ．不能确定【答案】C【分析】根据题意可得等量关系为：2012年的人口数×（1+增长率）2=2014年的人口数，把相关数值代入即可列出方程．【详解】依题意列方程为2x+=++，100(1)100(15%)(17%)整理得2x+=++=，(1)(15%)(17%) 1.1235++=>，∵(16%)(16%) 1.1236 1.1235∴6%x<．故选：C二、填空题11．（2022·沭阳县怀文中学九年级月考）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2018年至2020年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x．则可列方程为________________．【答案】()2+=x500017500【分析】根据题意可得等量关系：2018年的快递业务量×（1+增长率）2=2020年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．【详解】解：设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，由题意得：5000（1+x）2=7500，故答案为：5000（1+x）2=7500．12．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）已知关于x的方程x2﹣14＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______．【答案】k≥0【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解不等式即可．【详解】解：∵关于x的方程x2﹣14＝0有两个不相等的实数根，∴2﹣4×1×（﹣14）＞0且k≥0，k+1＞0且k≥0，解得k≥0，故答案为：k≥0．13．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）九年级（1）班部分学生去秋游时，每人都和同行的其他每一人合照一张双人照，共照了双人照片36张，则同去秋游的人数是____人．【答案】9【分析】设同去春游的人数是x人，由每人都和同行的其他每一人合照一张双人照且共照了双人照片36张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设同去春游的人数是x人，依题意，得：12x （x ﹣1）＝36， 解得：x 1＝9，x 2＝﹣8（舍去）． 故答案是：9．14．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2＋3x ＋m 2﹣4＝0有一个解是0，则m 的值为_____． 【答案】﹣2 【分析】把x ＝0代入方程（m ﹣2）x 2＋3x ＋m 2﹣4＝0中，解关于m 的一元二次方程，注意m 的取值不能使原方程对二次项系数为0． 【详解】解：把x ＝0代入方程（m ﹣2）x 2＋3x ＋m 2﹣4＝0中，得 m 2﹣4＝0， 解得m ＝﹣2或2，当m ＝2时，原方程二次项系数m ﹣2＝0，舍去， 故答案是：﹣2．15．（2022·全国九年级课时练习）认真观察下列方程，指出使用何种方法求解比较适当．（1）245x =，应选用________法； （2）2165x x +=，应选用_______法；（3）2(2)(1)(2)(4)x x x x +-=++，应选用__________法； （4）22330x x --=，应选用__________法．【答案】直接开平方 配方 因式分解 公式【分析】（1）将方程的二次项系数化为1得到254x =，用直接开平方法求解；（2）根据配方法在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边得到完全平方式，右边为常数，选用配方法；（3）先移项，然后提出公因式(2)x +，用因式分解法；（4）二次项系数不为1，不易用配方法和因式分解法，选公式法． 【详解】解：（1）可直接开平方，故选择直接开平方法；（2）2165x x +=的两边都加上64，易配方得2(8)69x +=，故选配方法； （3）方程2(2)(1)(2)(4)x x x x +-=++，移项得2(2)(1)(2)(4)0x x x x +--++=，直接提公因式(2)x +求解即可，故选因式分解法；（4）22330x x --=，二次项系数不为1，不易用配方法和因式分解法，故应选用公式法求解．故答案为：直接开平方；配方；因式分解；公式 三、解答题16．（2022·福建省福州杨桥中学九年级开学考试）解方程：230x x +-=．【答案】12x x ==【分析】根据公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：1,1,3a b c ===-2411213b ac ∴∆=-=+=x ∴==12x x ∴=． 17．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）解方程：（1）3x 2﹣4x ＝1；（2）（3y ﹣2）2＝（2y ﹣3）2．【答案】（1）x 1x 2（2）y 1＝1，y 2＝﹣1 【分析】（1）由题意先把方程化为一般式，然后利用求根公式解方程；（2）根据题意先移项得到（3y ﹣2）2﹣（2y ﹣3）2＝0，然后利用因式分解法解方程．【详解】解：（1）3x 2﹣4x ﹣1＝0，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0，∴x 273，∴x 1x 2 （2）（3y ﹣2）2﹣（2y ﹣3）2＝0，（3y ﹣2＋2y ﹣3）（3y ﹣2﹣2y ＋3）＝0，3y ﹣2＋2y ﹣3＝0或3y ﹣2﹣2y ＋3＝0，解得y 1＝1，y 2＝﹣1．18．（2022·贵阳市第十九中学九年级月考）随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省2018年公共充电桩的数量为2万个，2020年公共充电桩的数量为2.88万个．（1）求2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率；（2）按照这样的增长速度，预计2022年该省将新增多少万个公共充电桩？【答案】（1）2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为20%．（2）预计2022年该省将新增0.576万个公共充电桩．【分析】（1）设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x，根据该省2018年及2020年公共充电桩，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据该省2022年公共充电桩数量=该省2020年公共充电桩数量×增长率，即可求出结论．【详解】解：（1）设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x，依题意得：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．答：2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为20%．（2）2.88×20%=0.576（万个）．答：预计2022年该省将新增0.576万个公共充电桩．19．（2022·重庆市育才中学九年级开学考试）中秋来临之际，重百超市看准商机，连续两周进行节日大促销活动，该超市从厂家购进A，B两种月饼进行销售，每周都用25000元购进250盒A种月饼和150盒B种月饼．重百超市在第一周销售时，每盒A 种月饼的售价比每盒B 种月饼的售价的2倍少10元，且两种月饼在一周之内全部售完，总盈利为5000元．（1）求重百超市在第一周销售B 种月饼每盒多少元？（2）重百超市在第二周销售时，受到各种因素的影响，每盒A 种月饼的售价比第一周A 种月饼的售价每盒增加了53%m ，但A 种月饼的销售盒数比第一周A 种月饼的销售盒数下降了%m ；每盒B 种月饼的售价比第一周B 种月饼的售价每盒下降了%m ，但B 种月饼的销售盒数与第一周B 种月饼的销售盒数相同，结果第二周的总销售额为30000元，求m 的值．【答案】（1）重百超市在第一周销售B 种月饼每盒50元，则销售A 种月饼每盒为90元；（2）m =20【分析】（1）设重百超市在第一周销售B 种月饼每盒x 元，则销售A 种月饼每盒为（2x -10）元，然后根据题意可列方程求解；（2）由（1）及题意可知第二周A 种月饼销售价为%59013m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元，销量为()2501m -％盒，而B 种月饼销售额为()150501m ⨯-％元，进而根据题意可列方程求解．【详解】解：（1）设重百超市在第一周销售B 种月饼每盒x 元，则销售A 种月饼每盒为（2x -10）元，由题意得：()250210150250005000x x -+-=，解得：50x =，∴销售A 种月饼每盒为2×50-10=90（元）；答：重百超市在第一周销售B 种月饼每盒50元，则销售A 种月饼每盒为90元；（2）由（1）及题意得：()()5901250115050130000%3m m m ⎛⎫+⨯-+⨯-= ⎪⎝⎭％％， 化简得：2200m m -=，解得：1220,0m m ==（不符合题意，舍去），∴m =20．20．（2022·西安高新一中实验中学九年级开学考试）解方程：（1）24142x x x x +=-+ （2）22530x x +-=（3）2(2)36x x +=+【答案】（1）原方程无解；（2）112x =，23x =-；（3）12x =-，21x =．【分析】（1） 方程两边都乘以公分母得()2424x x x x +-=-，解方程得2x =-检验分母为零即可；（2）因式分解得()()2310x x +-=分别解每一个一元一次方程即可；（3）先因式分解()()210x x +-=在分别解每一个一元一次方程即可．【详解】解：（1）24142x x x x +=-+ ， 方程两边都乘以()()22x x +-得()2424x x x x +-=-，整理得24x =-，解得2x =-，当2x =-时，()()()()2222220x x +-=-+--=，∴2x =-时原方程的增根，∴原方程无解；（2）22530x x +-=，因式分解得()()2130x x -+=，当210x -=，解得112x =，当30x +=，解得23x =-；∴方程的解为112x =，23x =-；（3）2(2)36x x +=+，()2(2)320x x -++=， ()()2230x x ++-=，()()210x x +-=，当20x +=，解得12x =-，当10x -=，解得21x =．∴方程的解为12x =-，21x =．21．（2022·广州市黄埔华南师范大学附属初级中学）已知：关于x 的方程()228440--+=x m x m 有两个不相等的实数根1x ，2x ．（1）求实数m 的取值范围．（2）若方程的两个实数根1x ，2x 满足1212x x x x +=，求出符合条件的m 的值．【答案】（1）1m <；（2）2m =-【分析】（1）根据根的判别式大于零求解即可；（2）根据根与系数的关系及根的定义得出关于m 的方程求解即可；【详解】解：（1）由题意知，22(84)440m m ∆=--⨯>即64640m ->∴1m <；（2）由根与系数关系得：1284x x m +=-，2124x x m =，∵1212x x x x +=∴2844m m -=，∴220m m +-=，解得，12m =- ，21m =∵1m <，∴2m =-．22．（2022·陕西九年级月考）用一块长8dm ，宽6dm 的矩形薄钢片制作成一个无盖的长方体盒子，可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形（如图①），然后把四边折合起来（如图②）．（1）若要做成的盒子的底面积为15dm 2时，求截去的小正方形的边长；（2）当这个无盖的长方体盒子的侧面积与底面积之比为5：6时，求截去的小正方形的边长．【答案】（1）32dm；（2）1dm．【分析】（1）设截去的小正方形的边长为x dm，则做成的盒子的底面为长（8﹣2x）dm，宽（6﹣2x）dm的长方形，根据做成的盒子的底面积为215dm，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出截去的小正方形的边长；（2）设截去的小正方形的边长为y dm，则做成的盒子的底面为长（8﹣2y）dm，宽（6﹣2y）dm的长方形，根据这个无盖的长方体盒子的侧面积与底面积之比为5：6，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出截去的小正方形的边长．【详解】解：（1）设截去的小正方形的边长为x dm，则做成的盒子的底面为长（8﹣2x）dm，宽（6﹣2x）dm的长方形，依题意得：（8﹣2x）（6﹣2x）＝15，整理得：4x2﹣28x+33＝0，解得：x1＝32，x2＝112，当x＝32时，6﹣2x＝6﹣2×32＝3，符合题意，当x＝112时，6﹣2x＝6﹣2×112＝﹣5，不合题意，舍去，答：截去的小正方形的边长为32 dm．（2）设截去的小正方形的边长为y dm，则做成的盒子的底面为长（8﹣2y）dm，宽（6﹣2y）dm的长方形，依题意得：2×[（8﹣2y）y+（6﹣2y）y]：（8﹣2y）（6﹣2y）＝5：6，整理得：17y2﹣77y+60＝0，解得：y1＝6017，y2＝1，当y＝6017时，6﹣2y＝6﹣2×6017＝﹣1817，不合题意，舍去，当y＝1时，6﹣2y＝6﹣2×1＝4，符合题意，答：截去的小正方形的边长为1dm．23．（2022·宁波市海曙外国语学校九年级开学考试）某商场销售一种进价为20元/台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量与销售单价基本满足一次函数关系，并且当销售单价为26元时，每天销售量28台；当销售单价为32元时，每天销售量16台，设台灯的销售单价为x（元），每天的销售量为y（台）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？（3）若该商场每天想获得150元的利润，在保证销售量尽可能大的前提下，应将销售单价定为多少元？【答案】（1）y=-2x+80；（2）单价定为30元时，每天的利润最大，最大利润是200元；（3）25元【分析】（1）设y=kx+b，根据题意，利用待定系数法确定出y与x的函数关系式即可；（2）根据题意结合销量×每本的利润=w，进而利用二次函数增减性求出答案；（3）根据题意结合销量×每本的利润=150，进而求出答案．【详解】解：（1）设y=kx+b，由题意2628 3216k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：280kb=-⎧⎨=⎩，∴y=-2x+80．（2）设每天的利润为W，W=（x-20）（-2x+80）=-2x2+120x-1600=-2（x-30）2+200，此时当x=30时，w最大=200，答：当销售单价定为30元时，每天的利润最大，最大利润是200元．（3）根据题意得（x-20）（-2x+80）=150，整理得：x2-60x+875=0，（x-25）（x-35）=0，解得：x1=25，x2=35，∵销售量尽可能大，∴x=25答：每本纪念册的销售单价是25元．。

专题06 反比例函数的综合重点分析在中考中，反比例函数的图象与性质常以选择题和填空形式考查；反比例函数解析式主要在反比例函数综合题中与一次函数、几何图形结合考查。

难点解读难点一：反比例函数的概念一般地，形如，叫做反比例函数，自变量范围是≠0的一切实数难点二：反比例函数的图象与性质一、三二、四难点三：反比例函数系数k的几何意义在反比例函数上任取一点轴的垂线PM、P=难点四：反比例函数解析式的确定设所求反比例函数解析式为：得几何意义，由面积得真题演练1.如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点A(3,m).（1）求k、m的值；（2）已知点P(n，n)(n>0)，过点P作平行于轴的直线，交直线y=x-2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数的图象于点N.①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围.【答案】(1) k的值为3，m的值为1；（2）0<n≤1或n≥3.【解析】【详解】分析：（1）将A点代入y=x-2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k 的值．（2）①当n=1时，分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系；②由题意可知：P的坐标为（n，n），由于PN≥PM，从而可知PN≥2，根据图象可求出n的范围．详解：（1）将A（3，m）代入y=x-2，∴m=3-2=1，∴A（3，1），将A（3，1）代入y=，∴k=3×1=3，m的值为1.（2）①当n=1时，P（1，1），令y=1，代入y=x-2，x-2=1，∴x=3，∴M（3，1），∴PM=2，令x=1代入y=，∴y=3，∴N（1，3），∴PN=2∴PM=PN，②P（n，n），点P在直线y=x上，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x-2于点M，M（n+2，n），∴PM=2，∵PN≥PM，即PN≥2，∴0＜n≤1或n≥3点睛：本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型．2.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A(2，a)．（1）求a，k的值；（2）横，纵坐标都是整数的点叫做整点．点P(m，n)为射线OA上一点，过点P作x轴，y轴的垂线，分别交函数y＝（x＞0）的图象于点B，C．由线段PB，PC和函数y＝（x＞0）的图象在点B，C之间的部分所围成的区域（不含边界）记为W．①若PA＝OA，求区域W内的整点个数；②若区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．【答案】（1）3，6；（2）①5个；②或．【解析】（1）先根据直线的解析式可求a的值，从而可得点A的坐标，再将将点A坐标代入反比例函数的解析式可得k的值；（2）①先求出点P坐标，再根据反比例函数的解析式求出点B，C坐标，然后结合函数图象、整点的定义即可得；②分点P在点A下方和点P在点A上方两种情况讨论，结合函数图象列出不等式组求解即可．【详解】（1）∵直线与反比例函数的图象交于点∴∴将代入反比例函数得解得；（2）①∵点P为射线OA上一点，且∴A为OP中点∵，解得∴点P的坐标为将代入得将代入得，解得∵如图，PB，PC分别垂直于x轴和y轴∴结合函数图象可知，区域W内有5个整点；②在射线OA上由题意，分以下两种情况：如图，当点P在点A下方时结合函数图象得：，即解得如图，当点P在点A上方时结合函数图象得：，即解得综上，当或时，区域W内恰有5个整点．【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，掌握反比例函数的性质是解题关键．3.如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象在第一象限交于A，B两点，点B的坐标为（4，2），连接OA，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于点C，且OC＝CA．（1）求反比例函数和一次函数的解析式．（2）根据图象直接写出关于x的不等式的解集为 ．【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为y=-x+6；（2）0＜x＜2或x＞4．【解析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；（2）观察函数图象即可求解．【详解】解：（1）如图，过点A作AN⊥x轴于点N，交BD于点E，∵点B（4，2）在反比例函数图象上，∴，∴反比例函数的表达式为，∵B（4，2），∴EN=2，∵BD⊥y轴，OC=CA，∴AE=EN=AN，∴AN=4，∴点A的纵坐标为4，∵点A在反比例函数图象上，∴A（2，4），∵一次函数的表达式为，∴4a+b=2，2a+b=4，∴a=-1，b=6，∴一次函数的表达式为y=-x+6；（2）观察函数图象知，不等式的解集为：0＜x＜2或x＞4，故答案为：0＜x＜2或x＞4．【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法，解本题的关键是用待定系数法求出直线AB的解析式．4.如图，关于x的一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣2，8），B（4，m）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）设一次函数y＝k1x+b的图象与x轴，y轴的交点分别为M，N，P是x轴上一动点，当以P，M，N三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求点P的坐标．【答案】（1）y＝﹣，y＝﹣2x+4；（2）点P的坐标是（﹣2，0）或（2+2，0）或（2﹣2，0）或（﹣3，0）．【解析】（1）先把A点坐标代入y＝可求出k2的值，从而确定反比例函数解析式；再把B（4，m）代入反比例函数解析式求出m的值，可确定点B的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；（2）先根据一次函数的解析式确定M和N的坐标，根据以P，M，N三点为顶点的三角形是等腰三角形分三种情况讨论：①NP＝NM；②MP＝MN；③PN＝PM；前两种直接根据线段的长得出点P的坐标，第三种根据两点的距离列方程可得结论．【详解】解：（1）把，代入反比例函数得：，，，∴反比例函数解析式为，且，把，代入得：，解得，∴一次函数解析式为；（2），当时，，当时，，，，，，，①当时，如图1，，，；②当时，如图2，由勾股定理得：，，或，；③当时，如图3，是轴上一动点，设，，，，，综上，点的坐标是或，或，或．【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题和等腰三角形的性质和判定，并注意等腰三角形在没确定腰和底边时要分情况讨论，注意利用数形结合的思想．5.如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．（1）求反比例函数的解析式和的值；（2）根据图象直接写出不等式的的取值范围；（3）求的面积．【答案】（1），2；（2）或；（3）8【解析】（1）把的坐标代入反比例函数解析式即可求得的值，然后把代入即可求得的值；（2）根据一次函数和反比例函数的图象即可直接求解；（3）利用待定系数法求得一次函数的解析式，设直线与轴相交于点，然后根据即可求解．【详解】解：（1）在的图象上，，反比例函数的解析式是．又∵在的图象上，；（2）由图象可知：当或时，；（3），在函数的图象上，，解得：，则一次函数的解析式是，设直线与轴相交于点，则的坐标是．∴．【点拨】本题考查了反比例函数和一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解决本题的关键．6.如图，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝的图象相交，其中一个交点的横坐标是1．（1）求k的值；（2）若将一次函数y＝x+2的图象向下平移4个单位长度，平移后所得到的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，求此时线段AB的长．【答案】（1）k＝3；（2）4．【解析】（1）将x＝1代入y＝x+1＝3，故其中交点的坐标为（1，3），将（1，3）代入反比例函数表达式，即可求解；（2）一次函数y＝x+2的图象向下平移4个单位得到y＝x﹣2，一次函数和反比例函数解析式联立，解方程组求得A.B的坐标，然后根据勾股定理即可求解．【解答】解：（1）将x＝1代入y＝x+2＝3，∴交点的坐标为（1，3），将（1，3）代入y＝，解得：k＝1×3＝3；（2）将一次函数y＝x+2的图象向下平移4个单位长度得到y＝x﹣2，由，解得：或，∴A（﹣1，﹣3），B（3，1），∴AB＝＝4．7.在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A.B两点，且与反比例函数图象的一个交点为．（1）求m的值；（2）若，求k的值．【答案】（1）4；（2）或【解析】（1）将P点的坐标代入反比例函数解析式，计算即可求得m；（2）分两种情况讨论，当一次函数过一、二、三象限时，画出图象，将转化为两个三角形相似，过过P作轴交x轴于点H，证明，即可求出k和b的值；当一次函数过一、三、四象限时，画出图象，将转化为两个三角形相似，过点P作PQ⊥y轴于点Q，证明即可求出k和b的值．【详解】解：（1）∵P为反比例函数上一点，∴代入得，∴．（2）令，即，∴，，令，∴，∵．由图象得，可分为以下两种情况，①B在y轴正半轴时，，∵，过P作轴交x轴于点H，又，，∴∴，,即,∴，∴，∴．②B在y轴负半轴时，，过P作轴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，代入∴，综上，或．【点拨】本题考查了反比例函数，一次函数的图象与性质和相似三角形，添加辅助线构造相似三角形，将题目中线段的倍数关系转化为相似三角形的相似比是解题关键．8.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，过点作轴于点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求的面积．【答案】（1）；（2）6【解析】（1）因为一次函数与反比例函数交于点，将代入到一次函数解析式中，可以求得点坐标，从而求得，得到反比例函数解析式；（2）因为轴，所以，利用一次函数解析式可以求得它与轴交点A的坐标，由，，三点坐标，可以求得和的长度，并且轴，所以，即可求解．【详解】解：（1）∵点是直线与反比例函数交点，∴点坐标满足一次函数解析式，∴，∴，∴，∴，∴反比例函数的解析式为；（2）∵轴，∴，轴，∴，令，则，∴，∴，∴，∴的面积为6【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，三角形的面积，同时要注意在平面直角坐标系中如何利用坐标表示水平线段和竖直线段．9.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y（x＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝2．（1）求反比例函数的解析式；（2）求∠EOD的度数．【答案】（1）y；（2）15°．（1）根据题意求得A（2，2），然后代入y（x＞0），求得k的值，即可求得反比例函数的解析式；（2）根据AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，得出OA＝AE＝BE，根据直角三角形斜边中线的性质得出CE＝AE＝BE，根据等腰三角形的性质越久三角形外角的性质即可得出∠AOE＝2∠EOD，从而求得∠EOD ＝15°．【解析】（1）∵直线AC⊥x轴，垂足为D，∠AOD＝45°，∴△AOD是等腰直角三角形，∵OA＝2，∴OD＝AD＝2，∴A（2，2），∵顶点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y；（2）∵AB＝2OA，点E恰为AB的中点，∴OA＝AE，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴CE＝AE＝BE，∴∠AOE＝∠AEO，∠ECB＝∠EBC，∵∠AEO＝∠ECB+∠EBC＝2∠EBC，∵BC∥x轴，∴∠EOD＝∠ECB，∴∠AOE＝2∠EOD，∵∠AOE＝45°，∴∠EOD＝15°．10.如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点A（1，2）.（1）求的值；（2）过点作轴的平行线l，直线与直线l交于点B，与函数的图象交于点，与轴交于点D.①当点C是线段BD的中点时，求的值；②当时，直接写出的取值范围.【答案】（1）m=2；（2）①b=-3, ②b>3.【解析】（1）把A点坐标代入中即可得出m的值；（2）①求出C点坐标为（2，1）代入直线即可得出b的值；②根据图象可得结论.【详解】（1）把A（1，2）代入函数中，∴.∴.（2）①过点C作轴的垂线，交直线l于点E，交轴于点F.当点C是线段BD的中点时，.∴点C的纵坐标为1，把代入函数中，得.∴点C的坐标为（2，1）.把C（2，1）代入函数中，得.②由图象可知，当时，。