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学习二阶三阶行列式及n阶行列式的概念

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2-1-3行列式定义-性质

2-1-3行列式定义-性质
第二章 行列式
第一节
二阶、三阶行列式
一、二阶行列式的引入 二、三阶行列式 三、小节、思考题
一、二阶行列式的引入 定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的矩阵：
a11 a12 a21 a22 ( 4)
称表达式 a11a22 − a12 a21为矩阵（4）所确定的二阶 行列式，并记作
即
a11 a21
第三节
行列式的性质
一、行列式的性质
二、应用举例
一、行列式的性质
性质1 说明
AT = A 行列式与它的转置行列式相等即，
行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 交换两行（列），行列式变号
性质2
推论
两行（列）相同，此行列式为零
性质3
a11 a12 L a1n LLLLLLL kai 1 kai 2 L kain = k LLLLLLL a n1 an 2 L ann
A23 = (− 1)
2+ 3
M 23 = − M 23 , 叫做元素 a23的代数余子式 .
注意：一个元素的代数余子式 只与该元素所处位置 相关；而与该元素等于 多少无关！
比如上例中，即便把 a 23的值换成 a 33，它的 代数余子式仍然不变！ 亦即仍有
A23 = − M 23
a11 a21 D= a31 a41
k =1 k =1 n
n
(i = 1,2,L, n )
3. 在按行、按列展开时， 建议挑选含零最多
的行、列！
思考题
设n阶行列式
1 2 3 L n 1 2 0 L 0 Dn = 1 0 3 L 0 M M M O M 1 0 0 L n

第一节 二阶与三阶行列式

第一节 二阶与三阶行列式

a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
n 阶行列式定义
将n2个数排成n行n列的数表，按下列规
则计算出的数，即
D ( 1) a1 p1 a 2 p2 a np n n! a n1 a nn
2 D1 ( 1) ( 1) 1 x1 , 2 D ( 1) ( 2) 2
( 1) D2 x2 2 ( 1) ( 2) D
2
1 , 2
2 2 ( 1) ( 1) D3 x3 2 D ( 1) ( 2)
ci 2 ai 1b12 ai 2b22 ainbn 2 , (i 1,2,, n)
D
a11 a 21 a n1 1
a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn 1 1
再证唯一性.假设
x j c j , j 1,2,, n 也是(1)的解.
在(2)两端同时乘以cj
a11 a1 j c j a1n cjD an1 anj c j ann
a11 (a11c1 a1 j c j a1n cn ) a1n an1 (an1c1 anj c j anncn ) ann
例6.2 问λ在什么条件下,方程组
ì λx1 + x2 = 0, ï ï í ï ï î x1 + λx2 = 0
有非零解？
解 由定理6.5知，若方程组有非零解，则其系数行列
式必为零.
D

1
1

0 2 1 0,

线性代数第一章行列式第一节二阶与三阶行列式

线性代数第一章行列式第一节二阶与三阶行列式

x1 x2
,
子 aa也1a1由111可aa1b22二2写22阶成aba行111二a22aa2列阶21211式行. 的列定式义，，（即２）
式中 x1，x2 的分
若记
b1a22
a12b2
b1 b2
a12 , a22
a11b2
b1a21
a11 a21
b1 . b2
a11 a 21
x1 x1
a12 aD22
x1
x2
b1a22
a11a22 a11b2
a11a22
a12b2
a12a21 b1a21
a12a21
, .
（２）
为了记忆该公式，引入记号
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
并称之为二阶行列式．其中 aij 称为行列式的元 素， aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位 置，第一个下标称为行标，表示该元素所在的行， 第二个下标称为列标，表示该元素所在的列，常 称 aij 为行列式的(i , j )元素或元．
解 方程左端的三阶行列式
D 3x2 4x 18 9x 2x2 12
x2 5x 6, 由 x2 5x 6 0 解得 x = 2 或 x = 3.
可以证明,当三元线性方程组的系数行列式不 等于零时方程组有唯一解,且有类似于二元线性方 程组的求解公式,即
xj = Dj /D , （ j = 1, 2, 3 ）. 现在的问题是,对于 n 元线性方程组,是否也 有类似的求解公式.但要讨论 n 元线性方程组,首 先就要把二阶和三阶行列式加以推广,引入 n 阶 行列式的概念.
第一章 行 列 式
在初等数学中,我们用代入消元法或加减消元 法求解二元和三元线性方程组，可以看出，线性 方程组的解完全由未知量的系数与常数项所确定． 为了更清楚地表达线性方程组的解与未知量的系 数和常数项的关系，我们在本章先引入二阶和三 阶行列式的概念，并在二阶和三阶行列式的基础 上，给出 n 阶行列式的定义并讨论其性质，进而 把 n 阶行列式应用于解 n 元线性方程组．

《线性代数》1-3n阶行列式的定义

《线性代数》1-3n阶行列式的定义

05 矩阵与行列式关系探讨
矩阵概念回顾
矩阵定义
由数字组成的矩形阵列， 通常用大写字母表示，如 A、B、C等。
矩阵维度
矩阵的行数和列数，决定 了矩阵的规模。
矩阵元素
矩阵中的每个数字，用带 下标的字母表示，如 $a_{ij}$表示第i行第j列的 元素。
矩阵与行列式之间联系与区别
联系
行列式可以看作是一种特殊的矩阵，即方阵。对于n阶方阵，其行列式值可以通 过矩阵元素计算得出。
二阶行列式常用于解决二 元一次方程组等问题。
三阶行列式（3x3）计算步骤
选择第一行的元素，分别与 其对应的代数余子式相乘后
相加；
确定三阶行列式的形式，即 一个3x3的矩阵；
01
按照“+ - +”的符号规律依
次计算各项；
02
03
得到的结果即为三阶行列式 的值；
04
05
三阶行列式在计算向量混合 积、判断矩阵可逆性等方面
拉普拉斯定理
在n阶行列式中，任意取定k行（列），由这k行（列）的元素所构成的一切k阶 子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D的值
说明
拉普拉斯定理是按行展开定理的推广，它将n阶行列式的计算转化为k阶子式的 计算，降低了计算复杂度
拉普拉斯定理证明过程
构造法证明
通过构造一个特殊的矩阵，利用矩阵 的乘法和行列式的性质来证明拉普拉 斯定理
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列式 求解线性方程组的方法；
对于n元线性方程组，如果系数 行列式D不等于0，则方程组有唯
一解；
唯一解可以通过各未知数对应 的系数行列式的代数余子式与D 的比值求得；
克拉默法则在计算量较大时可 能不太适用，但其具有理论意 义和实用价值。

行列式定义性质与计算

行列式定义性质与计算

行列式与逆序数的计算
总结词
行列式的逆序数与计算顺序有关。
详细描述
对于任何给定的方阵A，其逆序数与计算行列式的顺序有关。换句话说，如果你 改变计算行列式的顺序，那么逆序数也会相应地改变。这是因为行列式的定义涉 及对行和列的操作，而行和列的顺序会影响到这些操作的顺序和结果。
03
行列式的计算方法
二阶行列式的计算方法
矩阵逆运算中行列式的应用
总结词
行列式在矩阵逆运算中扮演关键角色。
详细描述
在求解矩阵的逆时，行列式是一个关键因素 。只有方阵才可能有逆矩阵，而判断一个方 阵是否可逆的方法之一就是查看其行列式值 。如果行列式值等于零，那么这个方阵就是 不可逆的；反之，如果行列式值不等于零， 那么这个方阵就是可逆的。因此，行列式在
用代数余子式展开，然后进行简单的 代数运算。
03
例子
对于三阶行列式
三阶行列式的计算方法
```
|abc| |def|
三阶行列式的计算方法
01
|ghi|
```
02
03
其值为 a*e*i + b*f*g + c*d*h c*e*g - b*d*i - a*f*h。
n阶行列式的计算方法-展开法
定义
n阶行列式是所有位于对角线上 的元素和它们不相邻的元素的总 和，共有n!项，每个项都是不同 行不同列的n个元素的乘积。
行列式定义性质与计算
2023-11-06
目录
• 行列式的定义 • 行列式的性质 • 行列式的计算方法 • 行列式在解线性方程组中的应用 • 行列式在矩阵运算中的应用
01
行列式的定义
二阶行列式定义
01
二阶行列式是由2行2列组成的矩阵，其值由其元素的代数余子 式决定。

第二章行列式

第二章行列式
π (12⋯n )
n
显然，只能是 j1=1, j2=2, … , jn=n
a11a22 ⋯ ann = a11a22 ⋯ ann
即下三角形行列式等于其主对角线上元素的乘积.
同理，上三角形行列式也等于其主对角线上元素的乘积. 例3 计算
2 −1 0 8 0 D= 0 0 1 0 0 9 4 = 2 ×1× 3 × 5 = 30 3 7 0 5
在一个排列里，如果某一个较大的数码排在某一个较 小的数码前面，就说这两个数码构成一个逆序(反序)． 例如，排列132有一个反序， 321有三个反序．在一 个排列里出现的反序总数叫做反序数, 记为π(j1j2 … jn )． 反序数为奇数的排列称为奇排列,反序数为偶数的排列 称为偶排列 . π (132)=1 π (321)=3
例1 计算三阶行列式
3 −1 −2 D= 3 4 1 1 6 2
解： D = 3× 4× 2 + (−1) ×1×1+ (−2) ×3×6
−(−2) × 4×1− (−1) ×3×2 −3×1×6 = −17
二阶和三阶行列式是最简单的行列式.下面介绍n阶 行列式. 首先需要弄清楚二阶和三阶行列式的结构规律， 分析它们的共性, 然后加以推广, 给出n阶行列式的定义 . 为此,需要一些预备知识 .
其中，s=π(i1i2…in), t=π( j1j2…jn) 推论 项
ai11ai2 2 ⋯ ainn 在行列式中的符号为(−1)π (i1i2 ⋯in )
性质1
行列式的性质 行列式与它的转置行列式相等，即
§2.2
D=D
例如
T
3 2 −1 D= 1 0 5 2 −3 4
3 1 2 则 D′ = DT = 2 0 −3 −1 5 4

第一讲 二阶、三阶、N阶行列式

第一讲Ⅰ 授课题目（章节）：§1.1 二阶、三阶行列式；§1.2 n 阶行列式 Ⅱ 教学目的与要求：理解排列的概念，以及逆序数的计算方法；了解行列式的定义和性质，会用行列式的定义及性质计算一些较简单的行列式； 掌握二、三阶行列式的计算法；Ⅲ 教学重点与难点：重点：n 阶行列式的定义 难点：n 阶行列式的定义 Ⅳ 讲授内容： §1.1 二阶、三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式二元一次方程组的代入消元解法：⎩⎨⎧=+=+)2.....()1.....(2222111211b y a x a b y a x a 1211a a 、不可能同时为0，不妨设011≠a ，则： )()1(1121a a -⨯得：)3.........(1121111211221a ab y a a a x a -=-- )3()2(+得（消去x ）：112111121121122211a ab a b y a a a a a -=-即：)4( (21)122211211211a a a a a b b a y --=将(4)代入(1)得：21122211212221a a a a b a a b x --=可见，方程组的解完全可由方程组中的未知数系数22211211,,,a a a a 以及常数项21,b b 表示出来⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=2112221121121121122211212221a a a a a b b a y a a a a b a a b x ，如果规定记号2112221122211211a a a a a a a a -=，则有：222121212221a b a b b a a b =-，221111211211b a b a a b b a =-因此二元一次方程组的解可以表示为：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==2221121122111122211211222121a a a a b a b a y a a a a a b a b x定义1. 1 记号22211211a a a a 表示代数和21122211a a a a -，称为二阶行列式。

同济大学《线性代数》 PPT课件


称为三阶行列式.
二阶行列式的对角线法则 并不适用！
三阶行列式的计算 ——对角线法则
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32

a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示.
思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第j 列划后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作 M ij .
验证 1 7 5 6 6 2 196
175 3 5 8 196
358
662
175 175 于是 6 6 2 3 5 8
358 662
推论1 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.
证明 互换相同的两行，有 D D，所以
. D0
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个
结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列 式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.
二、行列式按行（列）展开法则
定理1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和，即
D

ai1
Ai1

ai 2
Ai
2

L

线性代数第2讲


D = ∑ (− 1) a p1 1 a p2 2 ⋯a pnn
t
的逆序数. 其中 t 为行标排列 p1 p2 ⋯ pn的逆序数. 证明 按行列式定义有 t D = ∑ (− 1) a1 p1 a2 p2 ⋯anpn 记
D1 = ∑ (− 1) a p1 1a p2 2 ⋯a pnn
t
对于D中任意一项 对于 中任意一项
三阶行列式
a11 D = a 21 a 31ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
说明
a12 a 22 a 32
a13 a 23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a 33 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项． ） （2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 ） 乘积． 乘积． （3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 ） 的三个元素的下标排列． 的三个元素的下标排列．
注意
红线上三元素的乘积冠以正号， 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三
元素的乘积冠以负号． 元素的乘积冠以负号． 说明1 说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
3!项 每一项都是位于不同行, 2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, . 三阶行列式包括3! 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负.
证 由行列式定义有
a11 a12 ⋯ a1n D1 = a21 a22 ⋯ a2n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ an1 an2 ⋯ ann =
(− 1)t ( p p ⋯p )a1 p a2 p ⋯anp ∑

n阶行列式的定义汇总

§2.3
n阶行列式的定义
问题：如何定义n阶行列式？ 一、二阶与三阶行列式的构造
a11 a12 a21 a22 a11a22 a12 a21 1
j1 j2
j1 j2
a1 j1 a2 j2
特点： （1）二阶行列式是一个含有 2! 项的代数和； （2）每一项都是两个元素的乘积，这两个元 素既位于不同的行，又位于不同的列， 并且展开式恰好是由所有这些可能的乘 积组成； （3）任意项中每个元素都带有两个下标，第 一个下标表示元素所在行的位置，第二 个下标表示该元素所在列的位置。当把
1 1 s s t t n n
s s
s s
1 1
t t
s s
n n
( j1
故 与
(i1
is
(i1
(i1
js it
it
jt
in ) 与 (i1
jn ) 与 ( j1
it
jt
is
js
in ) js
jn )
的奇偶性互化，
is
is
in )
it
+ ( j1
in ) + ( j1
jt
jt
Байду номын сангаасjn )—(3)
js
jn ) 有相同的奇偶性
2、逐次交换（1）中的元素的次序，可以把（1）化为
第二章 行列式
—（4） 而（4）的行下标与列下标所成排列和 12 n k1k2 kn k1k2 kn 的奇偶性与（3）相同，于是 i1 is it in j1 js jt jn k1k2 1 1
1 2 n
1 2
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