n阶行列式定义(精)

§1.3 n阶行列式定义121.3.1、概念的引入三阶行列式333231232221131211a a a a a a a a a D =322113312312332211a a a a a a a a a ++=332112322311312213a a a a a a a a a −−−说明（1）三阶行列式共有项，即 项．6!3（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．3（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列．例如322113a a a 列标排列的逆序数为(),211312N =+=322311a a a 列标排列的逆序数为(),101132N =+=偶排列奇排列正号+,负号−.)1(321321321)(N 333231232221131211∑−=∴p p p p p p a a a a a a a a a a a a41.3.2、n 阶行列式的定义nnn n nn nj j j j j j a a a a a a a a a D a a a n n n n n L M M M L L L L 21222211121121)(N 2.)1(2121=−∑记作的代数和个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由定义1.3.1).det(ij a 简记作的元素．称为行列式数)det(ij ij a a5为这个排列的逆序数．的一个排列，，，，为自然数其中N 2121n j j j n L L ()()nnj j j n nj j j j j j nnn n nna a a a a a a a a a a a D L L L L L L L L L L L L L 21212121N 2122221112111∑−==6说明1、行列式是一种特定的数值或表达式；2、阶行列式是 项的代数和;n !n 3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;n n 4、 一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;a a =5、 的符号为nnj a j a j a L 2211.)21(N 1n j j j L ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−7例1　计算对角行列式4003002001000分析展开式中项的一般形式是43214321jj j j a a a a 41≠j 若,011=⇒j a 从而这个项为零，所以只能等于 , 1j 4同理可得1,2,3432===j j j 解84003002001000()()432114321N ⋅⋅⋅−=.24=即行列式中不为零的项为.a a a a 41322314例2 计算上三角行列式nnn n a a a a a a L L L L L L L L L L 000222112119分析展开式中项的一般形式是.2121n np p p a a a L ,n p n =,11−=−n p n ,1,2,3123==−=−p p n p n L 所以不为零的项只有.2211nn a a a L nnn n a a a a a a L L L L L L L L L L 00022211211∴()()nnn a a a L L 221112N 1−=.2211nn a a a L =解10例3?8000650012404321==D 443322118000650012404321a a a a D ==.1608541=⋅⋅⋅=11同理可得下三角行列式nnn n n a a a a a a a L L L L L L L L L L L 32122211100000.2211nn a a a L =12nλλλN21()().12121n n n λλλL −−=;21n λλλL =nλλλO21例4 证明对角行列式13nλλλN2111,21211N 1n a n a n a n n L L −−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛()().12121n n n λλλL −−=证明第一式是显然的,下面证第二式.若记,1,+−=i n i i a λ则依行列式定义11,21n n na a a N−=证毕14例5设nnn n nna a a a a a a a a D L L L L L L L L L L 2122221112111=nnn n n n nn nn a b a b a b a a b a ba b a a D L L L L L L L L L L 221122222111112112−−−−−=证明.21D D =证由行列式定义有15()()n npa p a p a n p p p n p p p nna n a n a na a a na a a D L L L L LL L L L L L L L 22112121N 12122221112111∑−==nnn n n n nn nn a b a b a b a a b a ba b a a D L L L L L L L L L L 221122222111112112−−−−−=()()()()n n nn p p p n np p p p p p p p p N ba a a +++−+++∑−=L L L L L 212121212121116由于,2121n p p p n +++=+++L L 所以()().12211212121D a a a D n nn np p p pp p p p p t =−=∑L L L ()()()()n n nn p p p n np p p p pp p p p p p p t ba a a D +++−+++∑−=L L L L L 21212121212121()()nnn np p p pp p p p p t a a a L L L 212121211∑−=故17项，中共有显然在!)1(2121n a a a D n q q q sn ∑−=L 重新排列，序中的元素按行标自然顺对n q q q sn a a a L 2121)1(−nnp p p sa a a L 2121)1(−变为nn np p p sn q q q s a a a a a a L L 21212121)1()1(−=−显然∑−=nq q q sn a a a D L 2121)1(定理定理1.3.11.3.11.3.1 n n n阶行列式也可以定义为阶行列式也可以定义为其中其中s s 是行标排列是行标排列q q 1q 2…q n 的逆序数。

N阶行列式的性质汇总行列式是线性代数中的基本概念之一，广泛应用于各个领域。

1.行列式的定义及表示：行列式是一个数，用于度量矩阵的一些性质。

对于一个n阶方阵A=[aij]，其行列式用det(A)表示，也可以用，A，表示。

n阶行列式的定义为：det(A) = Σ(±a1j1a2j2...anjn)，其中±a1j1a2j2...anjn表示n个元素的排列，并且符号取决于这个排列的逆序数。

2.行列式的性质：(1) 行列式与矩阵的转置：一个矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式，即det(A) = det(A^T)。

(2) 行列式与矩阵的相等：如果矩阵B可以通过对矩阵A的一些行或列进行初等行变换得到，则det(B) = det(A)。

(3) 行列式与纯量因子：如果矩阵A的其中一行或列中所有元素都乘以同一个数k，那么行列式的值也会乘以k，即det(kA) = k^n * det(A)。

(4) 行列式与矩阵的乘积：对于两个n阶矩阵A和B，其行列式的乘积等于行列式的乘积，即det(AB) = det(A) * det(B)。

(5) 行列式与逆矩阵：如果矩阵A可逆，则其逆矩阵A^(-1)的行列式等于矩阵A的行列式的倒数，即det(A^(-1)) = 1 / det(A)。

(6) 行列式与可交换性：对于任意两个n阶矩阵A和B，有det(A*B) = det(B*A)。

(7)行列式与初等变换：对于矩阵A，如果应用了一次初等行变换，其行列式的值也会发生相应的变化，具体变化规律取决于初等行变换的类型。

3.行列式的计算方法：(1)按行（列）展开法：利用行列式的定义，通过对其中一行（列）展开计算，将n阶行列式转化为n-1阶行列式的计算。

(2)初等变换法：通过一系列初等行变换，将矩阵转化为上（下）三角矩阵，此时行列式的值就是对角线上元素的乘积。

(3)行列式性质法：利用行列式的性质，对矩阵进行化简计算，如将矩阵转化为对角矩阵，或利用矩阵的行列变换得到行列式的乘积或分解。

§1·2 n 阶行列式的定义1、二、三阶行列式定义对二元线性方程组:11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩11221122221222112122122212a a x a a xb a a a x a a x b a +=⎧⇒⎨+=⎩122221121122211)(a b a b x a a a a −=−⇒112212210a a a a −≠若:11112212112222,a x a b a a b +=⎧⎨+=⎩对122212111221221211121211221221b a b a x a a a a b a b a x a a a a −⎧=⎪−⎪⎨−⎪=⎪−⎩则：112212210a a a a −≠若211222111222211a a a a a b a b x −−=22211211a a a a =222121a b a b 令：211222112111122,a a a a a b a b x −−22211211a a a a =221111b a b adc ba 二阶行列式＋－bc ad −=3213−如11=1112112111112212211221221121212122222212,,a ab a a b a a a a ba a b a b ba a a b a a b =−=−=−例1, 求方程组的解。

12122233x x x x +=⎧⎨+=⎩解: 因为0121313211≠=×−×=所以方程组有唯一解：121333311123x ===212231111123x −===−⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111ba x a x ab a x a x a b x a x a a 同理，对三元线性方程组：111213212223313233a a a a a a a a a 三阶行列式112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++−−−仿照二阶行列式，引入三阶行列式：112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++−−−＋－333231232221131211a a a a a a a a a ＋＋－－aa aD 111111=问：（1）当a 为何值时，D ≠0（2）当a 为何值时，D =0【例1】设：解:aa aD 111111=311a a a a=++−−−显然：当a ≠1且a ≠-2时，D ≠0当a =1或a =-2时，D =0332a a =−+2(1)(2)a a =−+⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a bx a x a x a b x a x a x a 对三元线性方程组：0333231232221131211≠a a a a a a a a a 若：则方程组有唯一解，且唯一解为：333231232221131211332312222111211333323123222113121133331232211311123332312322211312113332323222131211,,a a a a a a a a a b a a b a a b a a x a a a a a a a a a a b a a b a a b a x a a a a a a a a a a a b a a b a a b x ===2、n 阶行列式nnn n n n a a a a a a a a a """""""212222111211称为n 阶行列式.a ij ———位于行列式中第i 行第j 列的元素.例如, a 32 ——位于行列式中第3行第2列的元素.定义：由n 2个数a ij (i , j =1、2、3…n )组成的符号二阶行列式其中{}{}211221=j j 为两项的代数和，每一项是行列式中不同行不同列的两个元素的乘积1112112212212122a a a a a a a a =−121212()12(1)j j j jj j a a τ=−∑121212()1122211212(1)j j j j j j a a a a a a τ=−=−∑112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++−−−111213212223313233a a a a a a a a a {}{123123,231,312,321,213,132j j j =三阶行列式六项的代数和，每一项是行列式中不同行不同列的三个元素的乘积123123123()123(1)j j j j j j j j j a a a τ=−∑123123123()123(1)j j j j j j j j j a a a τ=−∑{}123123123111213()212223123313233(1)j j j j j j j j j a a a a a a a a a a a a τ=−∑=不同行不同列的两个元素的乘积=不同行不同列的三个元素的乘积2！3！11122122a a a a {}121212()12(1)j j j j j j a a τ=−∑()()121212111212122212121n nnn j j j nj j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=−∑""""""""""nj j j "21n 级排列(由1、2…n 组成，共n!个))(21n j j j "τn 级排列的逆序数n j j j "21nnj j j a a a "2121行列式中n 个不同行不同列的元素的乘积=n!项的代数和，每一项是行列式中不同行不同列的n 个元素的乘积nn nj j j j j j a a a ""212121)()1(τ−行列式的一般项：一般我们称()()nn nnj j j j j j j j j a a a """212121211τ∑−nnn n nna a a a a a a a a """""""212222111211为n 阶行列式的展开式。

第一章行列式§1 n阶行列式的定义§2 行列式的性质§3 行列式按行(列)展开§4 克拉默法则§1n阶行列式的定义●二阶与三阶行列式●排列与逆序●n阶行列式的定义一、二阶与三阶行列式二元线性方程组11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩由消元法，得211211221122211)(a b b a x a a a a -=-212221*********)(b a a b x a a a a -=-当时，该方程组有唯一解021122211≠-a a a a 211222112122211a a a a b a a b x --=211222112112112a a a a a b b a x --=1.二阶行列式求解公式为11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩122122111221221112121211221221b a a b x a a a a a b b a x a a a a -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩二元线性方程组请观察，此公式有何特点？ 分母相同，由方程组的四个系数确定. 分子、分母都是四个数分成两对相乘再相减而得.其求解公式为11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩122122111221221112121211221221b a a b x a a a a a b b a x a a a a -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩二元线性方程组我们引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减”.1112112212212122a a D a a a a a a ==-11122122a a a a 记号11122122a a a a 数表表达式称为由该数表所确定的二阶行列式，即11221221a a a a -其中，称为元素.(1,2;1,2)ij a i j ==i 为行标，表明元素位于第i 行；j 为列标，表明元素位于第j 列.二元线性方程组11112212112222a x a x b a x a x b +=⎧⎨+=⎩若令11122122a a D a a =1211222b b a D a =1221121b a D a b =(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为1122122*********D D b a a b x a a a a =-=-1121212211221221a b b a D x a a a a D-==-2.三阶行列式定义对于有9个元素排成3行3列的式子记称为三阶行列式.111213212223313233a a a a a a a a a =112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---111213212223313233a a a a a a a a a 主对角线副对角线ij a三阶行列式的计算——对角线法则111213212223313233a a a D a a a a a a =132132a a a +112233a a a =122331a a a +132231a a a -122133a a a -112332a a a -注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号.3232-344-52D =例1计算行列式解按对角线法则，有=D 3(3)2⨯-⨯3(3)4-⨯-⨯183********=--+++-72=244+⨯⨯2(5)3+⨯-⨯222-⨯⨯34(5)-⨯⨯-方程左端解由得2111120.64x x=例2求解方程22264124D x x x x=++---228,x x =+-2280x x +-=2 4.x x ==-或二、排列与逆序定义1,2,,n 由正整数组成的一个没有重复数字的n 元有序数组，称为一个n 级排列，简称排列，记为。

n阶行列式的三种等价定义
1、行列式有很多等价定义。

等价定义就是你可以拿其中一个作为定义，而另外的就是他的充分必要条件。

我可以举出三个。

2、第一个应该是大部分国内教材用的。

用a{i，j}表示行列式第i行j列元素，p=（p1，p2…pn）表示1到n的排列，tp代表排列p的逆序数。

n阶行列式的值等于对全部的排列p，（-1）
^tp*a{1，p1}*a{2，p2}*。

*a{n，pn}的和。

3、第二个是递归定义，一阶行列式｜a｜=a，高阶行列式按第一行展开，即行列式等于a｛1，k｝*A｛1，k｝对全部k=1，2，。

，n求和。

其中A｛1，k｝为a｛1，k｝的代数余子式。

可以证明这种定义可以推广成按任意行或列展开且展开的值相等。