逆序数n阶行列式的定义

一、逆序数：在一个n级排列中，如果有较大的数排在较小的数前面（<），则称与构成一个逆序，一个n级排列中逆序的总数，称为它的逆序数，记为N(*奇排序：逆序数是奇数；偶排序：逆序数是偶数（一）任意一个排序经过一个对换后奇偶性改变（二）n个数码（n>1）共有n!个排列，其中奇偶排列各占一半二、n阶行列式=（按行顺序取）n级行列式的一般项：（当)为偶数时取正号，奇数取负号）D的一般项：三、转置行列式：将行列式D的行与列互换后得到的行列式，记为或（一）将行列式转置，行列式的值不变，即（二）交换行列式的两行（列），行列式的值变号，即（三）如果行列式中有两行（列）对应的元素相同，此行列式的值为零四、用数k乘行列式的某一行（列），等于以数k乘此行列式，即：（一）如果行列式某行（列）的所有元素有公因子，则公因子可以提到行列式外面（二）如果行列式有两行（列）元素成比例，则行列式的值等于零五、如果将行列式中的某一行（列）的每一个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其他位置的元素与原行列式相同，即：六、将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数k后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变七、余子式：在n阶行列式D=中去掉元素所在的第i行和第j列后，余下的n-1阶行列式被称为D中元素的余子式，记为，即：代数余子式：（一）n阶行列式D=等于它的任意一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积的和，即：或（二）n阶行列式D=的某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积的和等于零，即：或（i≠s；j≠t）八、范德蒙行列式：九、克莱姆法则：线性方程组当其系数行列式D≠0时，有且仅有唯一解其中是将系数行列式中第j列元素对应地换为方程组的常数项后得到的行列式（一）如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则它仅有零解（二）如果齐次线性方程组的系数行列式D=0，则方程组有非零解十、零矩阵：所有元素均为0的矩阵（行数与列数不都相同的两个零矩阵是不同的零矩阵）非负矩阵：所有元素均为非负数的矩阵十一、以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵，称为数k与矩阵A的积，记作k A，如果A=，那么k A=十二、负矩阵：-A=十三、矩阵运算律：（一）（二）（三）（四）（五）（六）（七）（八）十四、矩阵的乘法：如果矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则A与B的乘积C中第i行第j列的元素，等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j对应元素乘积的和，并且矩阵C的行数等于矩阵A的行数，矩阵C的列数等于矩阵B的列数，即：（一）矩阵乘法一般不满足交换律（二）两个非零矩阵相乘，结果可能是零矩阵（三）矩阵乘法不满足消去律（四）矩阵乘法性质：1、2、3、4、十五、矩阵可交换：如果两矩阵A和B相乘，有AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可交换十六、有线性方程组，系数矩阵元未知量矩阵系数矩阵十七、转置矩阵：将m*n矩阵A的行与列互换，得到的m*n矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为或（一）（二）（三）（四）十八、n阶矩阵/n阶方阵：矩阵的m=n十九、方阵的幂：个（一）（二）（三）当AB可交换时，二十、方阵的行列式：由n阶矩阵（方阵）A的所有元素按原来次序构成的n阶行列式称为方阵A的行列式，记作，或（det A）（一）（二）（三）（四）二十一、特殊矩阵（一）对角矩阵：若AB为同阶对角矩阵，则kA,A+B,AB仍为同阶对角矩阵；（二）数量矩阵：数量矩阵左乘或右乘一个矩阵B，其乘积等于以数a乘矩阵B（三）单位矩阵：（四）三角形矩阵（五）对称矩阵：n阶矩阵满足1、2、数乘对称矩阵及同阶对称矩阵之和仍为对称矩阵3、当且仅当A与B可交换时，AB是对称的二十二、分块矩阵（一），（二）二十三、逆矩阵：对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得AB=BA=I，那么矩阵A称为可逆矩阵，简称A可逆，并称B为A的逆矩阵，逆矩阵是唯一的，把唯一的逆矩阵记作（一）n阶矩阵可逆的充分必要条件是A非奇异，且当A可逆时，有（二）证明A可逆或证明B是A的逆矩阵，只要验证AB=I（三）逆矩阵的性质：1、若矩阵A可逆，则也可逆，且2、若矩阵A可逆，数k≠0，则kA也可逆，且3、两个同阶可逆矩阵A,B的乘积是可逆矩阵，且4、若矩阵A可逆，则A的转置矩阵5、若矩阵A可逆，则（四）（五）若AB=C，且A为非奇异，则B= C二十四、非奇异：若n阶矩阵A的行列式，则称A为非奇异的二十五、伴随矩阵：由行列式的元素的代数余子式所构成的矩阵二十六、矩阵的初等变换：（一）1、交换矩阵的两行（列）2、以一个非零的数k乘矩阵的某一行（列）3、把矩阵的某一行（列）的l倍加于另一行（列）上（二）初等矩阵：对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵（三）设，对A的行施以一次某种初等变换得到的矩阵，等于用同种的m 阶初等矩阵左乘A，对A的列施以一次某种初等变换得到的矩阵，等于用同种的n阶初等矩阵右乘A（四）任意一个矩阵经过若干次初等变换后均可以化为下面形式的矩阵：矩阵D称为矩阵A的等价标准形（五）如果矩阵A经过有限次初等变换可化为矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价（六）如果A为n阶可逆矩阵，则（七）n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是它可以表示为一些初等矩阵的乘积二十七、k阶子式：从A中任取k行k列，位于这些行和列的相交处的元素，保持它们原来的相对位置所构成的k阶行列式二十八、矩阵的秩：如果A中不为零的子式的最高阶数为r，即存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式皆为零，则称r为矩阵A的秩，记作r(A)=r（一）满秩矩阵：r(A)=n（二）矩阵经初等变换后，其秩不变（三）二十九、增广矩阵：系数矩阵A和常数项矩阵构成的矩阵线性方程组有解的充分必要条件是齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是→当m<n，齐次线性方程组有非零解三十、向量（一）（二）（三）（四）（五）（六）k(（七）（八）三十一、向量组的线性组合线性方程组可以表示为，即常数列向量与系数列向量的线性关系，被称为方程组的向量表示，其中，于是，线性方程组是否有解，就相当于是否成立（一）如果成立，则称向量是向量组的线性组合，或称向量可以由向量组线性表示（二）向量可由向量组线性表示的充分必要条件是：以为列向量的矩阵与以为列向量的矩阵有相同的秩（三）如果组A：中每一向量都可由组B：线性表示，则称向量组A可由向量组B线性表示1、向量组A可由向量组B线性表示，向量组B又可由向量组C线性表示，则向量组A可由向量组C线性表示2、如果向量组A和向量组B可以相互线性表示，则称向量组A和向量组B等价（四）如果线性相关，而线性无关，则向量可由向量组线性表示且表示法唯一三十二、线性相关性：齐次线性方程组可以写成零向量与系数列向量的如下线性关系式：，被称为齐次线性方程组的向量形式。

n阶行列式的计算方法总结及例题n阶行列式的计算方法总结及例题一、引言行列式是线性代数中的重要概念，它是一个数学对象，用来表示一个n阶方阵的一种性质。

在实际应用中，我们经常需要计算n阶行列式来解决各种数学和工程问题。

本文将对n阶行列式的计算方法进行总结，并且通过例题来加深理解。

二、行列式的基本定义在n阶行列式中，其中一个基本概念是排列。

一个排列是指1, 2, ..., n 的一种次序。

当n=3时，有6个排列{1,2,3}、{1,3,2}、{2,1,3}、{2,3,1}、{3,1,2}和{3,2,1}。

在行列式中，每个排列的正负号是由该排列的逆序数来决定的。

逆序数是指在一个排列中，逆序对的个数。

若逆序数为奇数，则该排列为负排列；若逆序数为偶数，则该排列为正排列。

三、n阶行列式的计算方法1. 代数余子式法代数余子式法是一种递归的方法，可以用来计算n阶行列式。

我们选择矩阵的某一行（或某一列），然后对该行（或列）中的每个元素，每个元素对应一个代数余子式。

根据代数余子式的定义和符号来计算每个元素的代数余子式。

将这些代数余子式与对应的元素相乘，并相加起来，即得到行列式的值。

2. 公式法当n=2时，行列式的计算方法非常简单，即ad-bc。

当n>2时，可以利用展开定理，将n阶行列式展开为n-1阶行列式的和。

通过递归的方法，最终可以将n阶行列式转化为2阶行列式的组合。

3. 三角形法三角形法是一种几何方法，通过对矩阵进行初等行变换，将矩阵化为上（下）三角矩阵。

根据上（下）三角矩阵的特殊性，可以直接求出行列式的值。

四、例题我们通过以下例题来加深对n阶行列式计算方法的理解：例题1：计算3阶行列式给定矩阵 A =\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix} \]我们可以使用代数余子式法，按照第一行展开，得到\[ |A| = 1*|M11| - 2*|M12| + 3*|M13| \]其中，M11、M12、M13分别为A的三个元素对应的代数余子式，根据代数余子式的定义和符号，可以计算得到|A|的值。

主讲人：同济大学靳全勤一、知识要点2、设为一个阶排列，若，则称构成排列的一个“逆序对”，一个排列中所有“逆序对”的个数称为排列的逆序数.n ()k l i i k l ><(,)k l i i 1k l n i i i i 1、把正整数按一定次序排成一列，称为一个阶排列，由于一个排列中的元素不重不漏，阶排列共有个.1,2,,n n n !n 3、逆序数的计算：记为排列中为位于第个位置元素后面，但比小的元素的个数，则排列的逆序数()k i τ1k n i i i k k i k i 112()()()()k n n i i i i i i ττττ=+++5、将排列中第位置元素对调，得到一个新的排列，称为排列的一个对换. 对换改变排列的奇偶性.,k l 1l k n i i i i ,k l i i 1k l n i i i i 4、若一个排列的逆序数为偶（奇）数，则称该排列为偶（奇）排列；在个阶排列中，奇、偶排列各占一半.n !n 6、行列式定义：由个元素排成的正方形数表所确定的数，称为阶行列式，规则如下：111212122212n n n n nna a a a a a a a a n 2n 111212122212n n n n nna a a a a a a a a1212121112121222()1212(1)n nn nn n i i i i i ni i i i P n n nna a a a a a a a a a a a τ∈-=∑注1: 对所有阶排列求和，展开式共有项；n !n 注2: 每一项都是取自不同行不同列的个元素之积；n 注3: 当行指标排成自然顺序时，项的符号由列指标排列的逆序数确定；12n 1212ni ini a a a ((1)i ii τ-12()n ii i τ二、教学要求1、理解排列的定义，会计算排列的逆序数，掌握对换的性质；2、利用行列式定义，正确确定行列式展开式中特定的项；3、利用行列式定义，计算某些特殊行列式；三、例题精讲当时，排列的逆序数为，此时为偶排列；4,5k l ==243156(243156)1+2+1=4τ=4,5k l ==解：是一个阶排列，因为排列中的元素不重不漏，所以必有或.2316k l 65,4k l ==,k l 例1、若阶排列为奇排列，求的值.2316k l 6当时，排列的逆序数为，此时为奇排列；5,4k l ==253146(253146)1+3+1=5τ==5,=4k l 所以，若阶排列为奇排列，则.2316k l 6当求得时，排列为偶排列时，就可断言是奇排列！4,5k l ==243156253146注：理由是是由经一次对换得到！4315253146而对换改变排列的奇偶性.(2)13(21)(2)(22) 2.n n n --例2、求下列排列的逆序数：(1)13(21)24(2);n n -解：(1)(13(21)24(2))n n τ-0123(1)n =++++-(2)(13(21)(2)(22)2)n n n τ--0123(1)+(1)21+0n n +++++--++(1)(1)(1)22n n n n n n --=+=-(1)=2n n -(1357(21)2468(22)(2))n n n τ=--(135(21)(2)(22)642)n n n τ=--ij a 例3、设为阶方阵，指出下面哪个项出现在的展开式中，并指明带什么符号.ij a 511233145522541335412(1);(2).a a a a a a a a a 1解：中的项不出现，因为该项有两个元素，均取自第列；(1)11a 31a 中的项出现，因为该项五个元素都取自不同行、不同列.(2)知，该项带“”号.25413354121225334154a a a a a a a a a a =(25314)5τ=-利用乘法的交换律，目的是把该项元素的乘积顺序按行指标排成自然顺序例4、求行列式展开式中与的系数.212111321111x x x x x-4x 3x 解：因为行列式中的元素或者是常数，或者是.x 含的项只能是，故的系数为.3x 312213344a a a a x =-3x 1-第一行元素只能取，112a x =若要出现，第四行元素必须取，4x 44a x =第三行元素必须取，33a x =第二行元素必须取,22a x =所以行列式展开式中含的项为，的系数为.4112233442a a a a x =4x 4x 2若要出现，第四行元素必须取，3x 44a x =而第四列元素也只能取常数，这样四个乘积因子中有两个取常数，不可能出现）3x 同理，第三行元素必须取，第二行元素必须取，第一行元素取，33a x =12a x =211a =212111321111x x x x x-（否则，第四行元素只能取常数，例5、根据定义，计算上三角形行列式.1112111222121110000n n n nn n n n nna a a a a a a D a a a -----在第行中，只有才可能不是零，因中的因子取自第列，只有取时，才可能不是零.n 11n i n -=-1n -121121n i i n i nn a a a a --111,n n n n a a ---nn a 121211i in n nn a a a a --根据行列式的定义，.121212()12(1)n n ni i i i i ni i i i D a a a τ=-∑依此类推，可知在行列式的展开式中，只有主对角线上的个元素之积才可能不为零，于是.n 1122nn D a a a =第行元素除外，其余元素都为零，所以只有当时，展开式中的项才可能不是零；n n i n =nn a 121121n i i n i nn a a a a --例6、根据定义，计算下三角形行列式.11212212000n n nna a a D a a a =在第行中，只有才可能不是零，因中的因子取自第列，只有取时，才可能不是零.122i =22112n ini a a a 2122,a a 11a 1122n ni a a a 解：上三角形行列式的特点是：对角线上方的元素都是零.根据行列式的定义，. 第行元素除外，其余元素都为零，所以只有当时，展开式中的项才可能不是零；111i =11a 121212()12(1)n n ni i i i i ni i i i D a a a τ=-∑2112n ini a a a 依此类推，可得在行列式的展开式中，只有主对角线上的个元素之积才可能不为零，于是.n 1122nn D a a a =注：上（下）三角形行列式的值等于对角线上元素之积.例7、根据定义，计算形行列式1234512345121212000000000a a a a ab b b b b Dc cd de e 行列式的第三、四、五行元素中，只有第一、二列的元素可能不等于零，解：根据行列式的定义，12512345125()12345(1)i i i i i i i i i i i D a a a a a τ=-∑所以行列式.12345125123450i i i i i i i i D aa a a a ==∑在每一项的因子中，至少有一个不取自第一、二列，亦即中至少有一个为零，于是.1234512345=0i i i i i a a a a a 345345,,i i i a a a 345345,,i i i a a a 1234512345i i i i i a a a a a。

§n阶行列式为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n阶行列式的概念。

为此，先介绍排列的有关知识。

㈠排列与逆序：(课本P4)１、排列的定义：由数码1，2，…，n，组成一个有序数组i i i，称为一个n级排列。

12n【例1】1234是一个4级排列，3412也是一个4级排列，而52341是一个5级排列。

(课本P4中例)【例2】由数码1，2，3 组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3! = 6个。

【例3】数字由小到大的n级排列1234…n称为自然序排列。

２、逆序的定义：在一个n 级排列12n i i i 中，如果有较大的数t i 排在s i 的前面，则称t i 与s i 构成一个逆序。

(课本P4)【例4】在4 级排列3412中， 31，32，41，42，各构成一个逆序，在5 级排列34152中， 31，32，41，42，52，共构成5个逆序。

3、逆序数的定义：一个n 级排列12n i i i 中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为12()n N i i i 。

(课本P4)【例5】排列3412的逆序数为N (3412) = 4，排列52341的逆序数为N (52341) = 7，自然序排列的逆序数为0。

4、奇、偶排列的定义：如果排列12n i i i 的逆序数12()n N i i i 是奇数，则将12n i i i 称为奇排列；如果排列12n i i i 的逆序数12()n N i i i 是偶数，则将12n i i i 称为偶排列。

(课本P4)【例6】由于N (3412) = 4，知排列3412是偶排列，由于N (52341) =7，知排列52341是奇排列， 由于N (123…n ) = 0，知自然排列123…n 是偶排列。

【例7】由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3! = 6个，其中，奇排列有132，213，321三个，偶排列有123，312，231三个。