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n阶行列式的定义及性质

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第1节 n阶行列式的定义(全)

第1节 n阶行列式的定义(全)

表达式 a11a22 − a12 a21 称为由该 数表所确定的二阶行列式 二阶行列式， 数表所确定的二阶行列式，即
a11 D= a21
a12 = a11a22 − a12 a21 a22
a 其中， 称为元素 元素. 其中， ij ( i = 1, 2; j = 1, 2) 称为元素.
i 为行标，表明元素位于第 行； 行标，表明元素位于第i j 为列标，表明元素位于第 列. 列标，表明元素位于第j
= a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. 注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
例1 计算行列式
3 2 3 D = 2 -3 4 4 -5 2
p 个奇排列均变成偶排列，故 p ≤ q ； 个奇排列均变成偶排列，
同理，对每个偶排列做同一变换， 同理，对每个偶排列做同一变换，则
q 个偶排列均变成奇排列，故 q ≤ p 。 个偶排列均变成奇排列，
从而， 从而，
n! p=q= 2
三、n阶行列式的定义 阶行列式的定义
a11 D = a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 a33 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32
解 按对角线法则，有 按对角线法则，
D = 3 × ( −3) × 2 + 2 × 4 × 4 + 2 × ( −5) × 3
−3 × ( −3) × 4 − 2 × 2 × 2 − 3 × 4 × ( −5)

第一章n阶行列式的定义

第一章n阶行列式的定义

an1bn1 an2bn2 ann
1 a a a b t p1 p2pn 1 p1 2 p2
12n p1 p2 pn
npn
p1 p2 pn
由于 p1 p2 pn 1 2 n, 所以
D2
1 a a a b t p1 p2pn 1 p1 2 p2
12n p1 p2 pn
5、 a1 p1a2 p2 anpn 的符号为 1t .
特殊行列式：
a 11
(1) 主对角行列式：
a 22
a a a
11 22
nn
(2) 副对角行列式：
a nn a 1n
a 2 n1
a n1
n n1
(1) 2 a a
a
1n 2 n1
n1
a11
(3)
下三角行列式：
a21
a22
a11a22 ann
一、概念的引入
三阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
（3）每一项的三个元素，行标标准、列标非标准．
a1 p1a2 p2a3 p3
(其中
p 1
p 2
p 3
是由123组成的所有三级排列
)
（4）每一项的符号由列标的逆序数确定，列标
偶数取正，列标奇数取负。
(1)t a a a 1 p1 2 p2 3 p3
a11 a12 a13

n 阶行列式的定义与性质

n 阶行列式的定义与性质
是标准排列。故
a a
12
1n
a a
n
22
2n
a a ...a a . 11 22
nn
ii
i1
a a a
n1
n2
nn
例 2 计算 n 阶行列式
a a a
11
12
1n
0 a a
22
2
n
.
0 0 a nn
解 分析
展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1,
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
a j1 a j2 a jn
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
a j1 a j2 a jn
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
证明 根据行列式的定义及定理 1.1
左端
(1)
(
a j1 ji j j jn ) 1 j1
an1 an2 ann
设 n 阶行列式 D 的第 i 行与第 k 行相同，于 是将第 i 行与第 k 行互换,行列式不变;但由性 质 4个知，它们又应当反号即有 D=-D ，即 2 个 D=0个，故 D=0.。
性质 6 如果行列式中两行（两列）的对应元 素成比例，那么行列式为 0 ．
证明 a11 a12 a1n
an1 an2 ann
右端
说明
利用行列式的性质可简化行列式的计算，基 本思路是根据性质把行列式化成为上三角形 行列式，它等于变换后的行列式的主对角元 素的乘积。
例5 解
计算行列式
1 9 13 7 2 5 1 3 3 1 5 5 2 8 7 10

n阶行列式的定义及性质

n阶行列式的定义及性质
综上, 我们有
注 在计算行列式 中, 经常需要用初等 变换来“打洞”, 可 以看出“打洞”中 起主要作用的是性 质5.
•命题
(1) A 初 B, 则|A|与|B|要么同时为0, 要么同时不为0.
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
a2n
an1 an2 ann
简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2 pn取和.
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元.
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a.
❖三阶行列式的结构二：
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
(2) ai1 bi1 ai2 bi2 ain bin ai1 ai2 ain bi1 bi2 bin .
an1
an2 ann an1 an2 ann an1 an2 ann
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则Hale Waihona Puke 6AT 23
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
0 9 51 2 41 2 41 2 4
7 1 6,7 1 6,0 9 5,0 9 5
2 1 32 1 32 1 37 1 6
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零. 即

关于行列式的一般定义及计算方法

关于行列式的一般定义及计算方法

关于行列式的一般定义和计算方法n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211=∑-nn n j j j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ2 N 阶行列式是N ! 项的代数和;3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积;特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列;三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列.§行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值一样。

即nnn n nn a a a a a a a a a212222111211=nnn n n n a a a a a a a a a 212221212111；行列式对行满足的性质对列也同样满足。

性质2 互换行列式的两行〔列〕，行列式的值变号.322311332112312213a a a a a a a a a ---322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==〔1如: D=dc b a =ad-bc , b a dc =bc-ad= -D以r i 表第i 行，C j 表第j 列。

交换 i ,j 两行记为r j i r ↔,交换i,j 两列记作C i ↔C j 。

性质3：如果一个行列式的两行〔或两列〕完全一样，那么这个行列式的值等于零。

性质4：把一个行列式的某一行〔或某一列〕的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。

〔第i 行乘以k ，记作r i k ⨯〕推论1：一个行列式的某一行〔或某一列〕的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。

关于行列式的一般定义和计算方法

关于行列式的一般定义和计算方法

关于行列式的一般定义和计算方法n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211=∑-nn n j j j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ2 N 阶行列式是N ! 项的代数和;3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积;特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列;三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列.§行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。

即nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211=nnn n n n a a a a a a a a a 212221212111；行列式对行满足的性质对列也同样满足。

性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.如: D=dc b a =ad-bc , b a dc =bc-ad= -D以r i 表第i 行，C j 表第j 列。

交换 i ,j 两行记为r j i r ↔,交换i,j 两列记作C i ↔C j 。

性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值322311332112312213a a a a a a a a a ---322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==（1等于零。

性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。

（第i 行乘以k ，记作r i k ⨯）推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。

n阶行列式的定义全


02 行列式的性质
代数余子式
01
代数余子式
在n阶行列式中，去掉元素所在的行和列后，剩下的元素按照原来的排
列顺序构成的n-1阶行列式称为该元素的代数余子式。
02
代数余子式的计算
代数余子式等于(-1)^(i+j) * (n-1)阶行列式，其中i和j分别为元素所在
的行号和列号。
03
代数余子式的性质
代数余子式与元素所在的行和列的顺序无关，但与元素的位置有关。
n阶行列式的定义全
目录
• 行列式的定义 • 行列式的性质 • 行列式的展开 • 行列式的计算方法 • 行列式的应用
01 行列式的定义二阶行Fra bibliotek式总结词
二阶行列式是2x2矩阵的行列式值 ，由其主对角线上的元素相乘减 去副对角线上的元素相乘得到。
详细描述
对于2x2矩阵[a, b; c, d]，其行列 式值为ad-bc，即主对角线元素a 和d相乘减去副对角线元素b和c相 乘。
n阶行列式
总结词
n阶行列式是nxn矩阵的行列式值，由其主对角线上的元素相乘减去副对角线上 的元素相乘得到。
详细描述
对于nxn矩阵，其行列式值的计算方法可以归纳为Laplace展开，即从n阶行列式 中任取k行和k列，形成一个k阶行列式，然后乘以相应的代数余子式，并求和。 最终得到的值即为n阶行列式的值。
线性方程组的求解
行列式可以用来求解线性方程组，通过对方程组的系数矩阵进行行 列式变换，可以求解方程组的解。
向量空间
行列式可以用来定义向量空间的一组基，以及基之间的变换关系。
在微积分中的应用
微分学
行列式在微分学中用于计算多元函数的偏导数和 全微分。

3-1 n阶行列式的概念

第三章 n阶行列式 阶行列式
行列式理论是研究线性方程组的解法而产生的. 行列式理论是研究线性方程组的解法而产生的. 近代,被广泛应用于数学, 近代,被广泛应用于数学,物理以及工程技术等 许多领域. 许多领域. 在线性代数中,更是一个不可缺少的重要工具. 在线性代数中,更是一个不可缺少的重要工具. 主要介绍定义,性质,计算及克莱姆法则. 主要介绍定义,性质,计算及克莱姆法则. 定义
(a , b)
证明: 证明 (1)相邻对换
AabB → AbaB
A,B中的每一个数的逆序数都没有发生改变, 所以只需考虑a ,b的逆序数 若 a > b a的逆序数不变, b 的逆序数减少1 若
a < b a 的逆序数增加1,b 的逆序数不变, 所以, AabB, AbaB 的奇偶性不同
7
(2)一般对换
Aak1k2 kmbB → Abk1k2 kmaB
情况太复杂,改变思考角度 不是通过一次性得到结果,而是作如下过程:
(a , b)
Aak1k2 kmbB
m+1 +1次相邻对换 作m+1次相邻对换 作m次相邻对换 次相邻对换
→
由(1)知, 改变了2m+1(奇数) 次奇偶性 奇偶性当然改变.
8
→
Ak1k2 kmbaB Abk1k2 kmaB
1
第一节 n阶行列式的概念 阶行列式的概念
2
一,排列及其逆数 由n个自然数组成的一个有序数组, 定义3.1.1 定义3.1.1 称为由这n个自然数的一个全排列 全排列,简称排列 全排列 排列 记作: i1i2 in 例
自然数 1,2 1,2,3 1,2,3,4 123 1234 132 12 213 231 …… …… 312 4321 n(n-1) 321 ( -1)…321

n阶行列式及行列式性质

这里仅仅是规定，你也可以给出其他的规定， 总之在规定之下与规定不同的序列就有了一个汉 字来描述它…... 定义 在n个不同元素的任一个排列中 ，如果 其中两个元素的先后次序与标准次序不同，那么 就称这两个元素构成了一个逆序．
例如 排列32514 中， 逆序
32514
逆序 逆序
上页 下页 返回
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数. 例如 排列32514 中，
a11 a12 a1n
kai1 kai 2 kain k ai1 ai 2 ain


an1 an2 ann
an1 an2 ann 上页 下页 返回
证 左边＝
(1) (ｊ1 ,ｊ2 ,L ,ｊn ) a1ｊ1 L（ｋaｉｊｉ）L anｊn
第二节 n阶行列式
一、全排列及其逆序 二、n阶行列式的定义 三、小结
上页 下页 返回
一 、全排列及其逆序
1. 概念的引入 引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不 同的排法？
上页 下页 返回
2. 定义
把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n
故 x3 的系数为 1.
上页 下页 返回
三、小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法.
4 行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要 而定义的.
5 n 阶行列式共有 n!项，每项都是位于不同行、 不同列的 个元n 素的乘积,正负号由下标排列的
的逆序数，这n个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数.

《线性代数》1-3n阶行列式的定义


05 矩阵与行列式关系探讨
矩阵概念回顾
矩阵定义
由数字组成的矩形阵列， 通常用大写字母表示，如 A、B、C等。
矩阵维度
矩阵的行数和列数，决定 了矩阵的规模。
矩阵元素
矩阵中的每个数字，用带 下标的字母表示，如 $a_{ij}$表示第i行第j列的 元素。
矩阵与行列式之间联系与区别
联系
行列式可以看作是一种特殊的矩阵，即方阵。对于n阶方阵，其行列式值可以通 过矩阵元素计算得出。
二阶行列式常用于解决二 元一次方程组等问题。
三阶行列式（3x3）计算步骤
选择第一行的元素，分别与 其对应的代数余子式相乘后
相加；
确定三阶行列式的形式，即 一个3x3的矩阵；
01
按照“+ - +”的符号规律依
次计算各项；
02
03
得到的结果即为三阶行列式 的值；
04
05
三阶行列式在计算向量混合 积、判断矩阵可逆性等方面
拉普拉斯定理
在n阶行列式中，任意取定k行（列），由这k行（列）的元素所构成的一切k阶 子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D的值
说明
拉普拉斯定理是按行展开定理的推广，它将n阶行列式的计算转化为k阶子式的 计算，降低了计算复杂度
拉普拉斯定理证明过程
构造法证明
通过构造一个特殊的矩阵，利用矩阵 的乘法和行列式的性质来证明拉普拉 斯定理
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列式 求解线性方程组的方法；
对于n元线性方程组，如果系数 行列式D不等于0，则方程组有唯
一解；
唯一解可以通过各未知数对应 的系数行列式的代数余子式与D 的比值求得；
克拉默法则在计算量较大时可 能不太适用，但其具有理论意 义和实用价值。
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推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零
证 把这两行互换，有 D D , 故D 0
推论1 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子 可以提到行列式符号的外面
推论2 若行列式中有两行(列)成比例，则此行列 式等于零.
推论3 若行列式中某一行(列)的元素全为零，则 此行列式等于零.
证 设行列式
a11 D1 kai1 an1
a12 kai 2 an 2
a1n kain ann
是由行列式 D det(aij ) 的第i行中所有的元素都乘以同一数 k得到的. 由行列式的定义知 ( p1 p2 pn ) ( 1) a1 p1 D1
p1 p2 pn
ai 1 pi1 (kaipi )ai 1 pi1
因此 当
n 4k
或者 n
4k 1
时，该排列是偶排列；
当n
4k 2
或者
n 4k 3 时，该排列是奇排列。
6
定义 在一个排列中，把某两个数的位置互换，而保持其余的 数不动，这种对一个排列作出的变动叫做对换. 将相邻两个数 对换，叫做相邻对换.
例 五级偶排列21354经过2，3对换变成排列31254，容易计算
(21354)=2，所以21354是偶排列.
(2) 在六级排列135246中，共有逆序32，52，54，即
(135246)=3，所以135246是奇排列.
二、排列的逆序数
2. 逆序数计算法：
(q1q2 qn ) ( qi前边的比它
i 1
n
大的数字的个数 )
.例如
(64823517 ) 0 1 0 3 3 2 6 1 16
anpn
k
p1 p2

(1) ( p1 p2
pn
pn )
a1 p1
ai 1 pi1 aipi ai 1 pi1
anpn
kD
2 1 0 3 1 2
1 1 1
2
2 1 1 2 1 1 0 1 1 8 0 1 1 8 2 16 24 16 8 3 2 1
a ain ain i1 ann
an1 an 2
性质1.5 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然 后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变.
a11
a1i
a1 j
a1n
a 21 a 2 i a 2 j a 2 n k a n1 a ni
(321) 3
7
定理1.1
对换改变排列的奇偶性，即经过一次对换，奇排列 变成偶排列，偶排列变成奇排列.
定理 1.2
在全部n级排列中(n≥2)，奇偶排列各占一半.
定理1.3
任意一个
n 级排列可经过一系列对换变成自然排列，
并且所作对换次数的奇偶性与这个排列的奇偶性相同.
三、ｎ阶行列式定义
引：三阶行列式的定义的另一种表示：
2、把该项的元素按行 标自然顺序排列，然 后求列标的逆序数
(1)
2
d1d 2 d n
14
用定义计算
a11 D 0 0 0
0 a22 a32 0
0 a23 0 a43
0 0 a34 a44
15
a11a22a34a43 a11a23a32a44
用定义计算
a11
a12
a13 a23 0 0 0
a11 a 21 a31
a12 a 22 a32
a13 a 23 a33
(p p3 ) a a a a11 a22 a33 a 1p 2a 12 a 23 31 13 21 32
p1 p 13 2 p3 22 31
1 a a a a
1 2 3 a a a a a 12 21 33 11 23 32
a1 p a2 p a3 p
• 左边是一个三行三列的“数表”， • 每项均为不同行不同列的三个元素的乘积； • 右边共含6项，包含了所有由不同行不同列的三个元素的组合；
问题：右边各项之前所带的正负号有什么规律 ？？
9
三、ｎ阶行列式定义
a11 a21 an1 a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
a11a22
三、ｎ阶行列式定义
当行列式中的零元素相当多时，可以用定义计算其值
•特别对于象对角行列式、三角行列式；
例
d1 0 0
0 0 dn
0 0

0 0 d1d 2 d n
1、所有n!项中，只 有1项不等于零！
d2
dn
0 d2 0
d1 0 (1) [ n( n1)21] d d d 1 2 n n( n 1) 0
a11 ci kc j
a nj
a nn
a1n ann
25
(a1i ka1 j ) a1 j
a 21 (a2 i ka2 j ) a2 j a2 n an1 (a ni kanj ) anj
a11a23a34a42
a12a23a34a41
(1342 ) 2 , (2341 )3

11
例 证明n阶行列式
a11 0 0 0 a12 a 22 0 0 a13 a 23 a 33 0 a1n a 2n a 3n a11 a 22 a 33 a nn a nn
故只需考虑 已取
乘积中因子不出现零的项. 对于上三角行列式，第n行中当
pn 1 n 1 或 pn 1 n这两种情形. 但是 pn n，并且 pn 1 pn，因此只有 pn 1 n 1
ann可能不为零，而 (12 n) 0
结论得证
依次类推，可知在n阶行列式的展开式中只有唯一的一项

p1 p2 pn
( p1 p2 pn ) ( 1 ) a1 p1 a2 p2 anpn

p1 p2 pn
( p1 p2 pn ) ( 1 ) a p11a p2 2 a pnn
说明
• 等式右端的求和是对所有的n级排列求和，
• 右端的展开式中共含 n! 项，各项均为左端 的不同行不同列的元素乘积； • 上述n阶行列式可简记为 det(aij ) • 一个数也可看为一阶行列式
又如
(135(2n 1)246(2n))
(n 1) (n 2) 2 1 0 n(n 1) 2
练一练： (135264 )
(462531 )
＝4 ＝11
5
思考： 解：
n(n 1)(n 2)...21 是奇排列还是偶排列？？
n(n 1) (n(n 1)( n 2)...21) 1 2 (n 1) 2
(31254）=3，所以31254是奇排列
.例如，自然数1，2，3的排列共有六个： 1 2 3， 3 1 2， 2 3 1， 1 3 2， 2 1 3， 3 2 1.
偶排列: 逆序数为偶 数的排列
奇排列：
逆序数为偶 数的排列
(312) 2,
n! 结论：一个ｎ级排列中奇偶排列各占一半，即 2
,n
DT
b11 b21
b12 b22
b1n b2 n bnn


bn1 bn 2
p1 p2

(1) ( p1 p2
( p1 p2
pn )
pn
b1 p1 b2 p2
bnpn
a pn n
D
p1 p2

(1)
pn
pn )
a p11a p2 2
性质1.2 互换行列式的两行(列)，行列式变号.
.例如
2 1 0 3 1 2
1 1 1
2
1
1 1 2
2
0 1 3 1
2
注意：第i行(列)与第j行(列)交换记为:
ri rj (ci c j )
推论 ： 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.
20
性质1.3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同 一数k，等于用数k乘此行列式.
DT ，
a11 a12 a1n
a21 a22 a2 n
an1 an 2 ann
T
T D 即 D 是这样得到的：把D中第i行作为 的第i列，这就是说
D T 的第i行第j列处的元素为D的第j行第i列处的元素. 称D
为行列式D的转置行列式.
性质1.1 行列式与它的转置行列式相等. ， ) bij a ji , i , j 1, 2, 证 记 D det(aij 则由行列式的定义式(1.8)与(1.9)可得
a a
a11 a 21 a31 a12 a 22 a32
11
21
a a
12 22
a11a22 a12 a21
a13a21a32
a13 a 23 a33
a11a22 a33 a12 a23a31
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
1
第一章 行列式
这种主对角线(从左上角到右下角的对角线)以下(上
)的元素都是0的行列式，称为上(下)三角行列式.
pn n
证 由于n阶行列式的展开式中每一项的一般形式是(Βιβλιοθήκη ) ( p1 p2pn )
a1 p1 a2 p2
anpn
其中只要有一个元素等于零，乘积就是零，所以只需计算
pn n 时， anpn 0，故只需考虑 pn n 的项即可. 又因 为在第 n 1行中，当 pn 1 n 1, n 时，an1, pn1 0