4-1 简谐振动的动力学特征

广义地，凡是描述物质运动状态的物理量，在某一固定 值附近作周期性变化，都可称该物理量作振动。
1
2、振动的特征 (在时间上）具有某种重复性。 3、振动中最简单最基本的是简谐振动。 任何一个振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成。
2
二、几个谐振动的实例
１、弹簧振子
1）定义： 构成：轻质弹簧一端固定其另一端
简谐振动的动力学特征
物质的运动具有粒子和波动两种图象。 天体的、宏观的机械运动，及分子的热运动呈粒子性； 微观领域内，无论场和实物都呈波、粒二象性。
一、振动的概念
1、什么是振动： 物体在一固定位置附近作来回的往复运动，称为机械振动。 物体在发生摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。 任何一个具有质量和弹性的系统在其运动状态发生突变时, 都会发生振动。
3
（2） 弹性恢复力的特点：
恢复力与位移正比而反
K
向（线性回复力），即
F= -kx 此处位移特指系统偏离平衡位置的位移。
F 0 xX
（3）惯性的作用
整个系统是在内部线性恢复力和惯性的交互作用下来实现振 动的。
4
3）弹簧振子的运动微分方程 以振子为对象 由牛顿定律：
m
d2x dt 2
kx
令 2 k
其谐振动的微分方程： 运动学特征：
d2x dt2
2x
0
物体振动时，它离开平衡位置的位移是时间的余弦函数
谐振动的运动学方程 x A cos(t 0 )
式中A、 0 是由初始条件所决定的两个积分常数
v
dx dt
A
s in( t
0)
a
dv dt
A 2
c os ( t
0)
2x

vv T t
3 相位 ω t + ϕ
1） ω t + ϕ → ( x, v ) 存在一一对应的关系；
2）相位在 0 ~ 2π 内变化，质点无相同的运动状态；
相差 2 nπ（n为整数）质点运动状态全同→周期性.
3）初相位 ϕ (t = 0) 描述质点初始时刻的运动状态.
( ϕ 取 [ −π → π] 或 [0 → 2π] )
2
x = Acos(ωt + π )
2
x
A
o
−A
vv
x
o
Tt
T 2
4 – 1 简谐振动
第四章 振动与波动
例1 边长为b、密度为ρ的立方体木块部分浮在水
面上。试证明：若将木块再向下压入水中少许（不是
完全没入水中）并放手后，木块将在竖直方向做简谐
振动，并求其振动周期。（设水的密度为ρ0）
解 建立坐标如图所示
dt a = d2 x = − Aω 2 cos(ωt + ϕ )
dt 2
4 – 1 简谐振动
x = Acos(ωt + ϕ )
x
A
T = 2π 取 ϕ = 0 ω
o
−A
v = − Aω sin(ωt + ϕ ) Aω v
o
= Aω cos(ωt + ϕ + π ) − Aω
2
a
a = − Aω 2 cos(ωt + ϕ ) Aω 2
−
ρ0b2 (x
+
x0 )g
将 (1) 式代入得
o
x′
f v P
x0 x
ρb
d2x dt 2
=
−ρ0 gx

• 动力学方程
d2 dt
x
2
2
x
0
9
§4-1 简谐振动的动力学特征
x Acos(t )
T 2π 取 0
x xt图
A
o
T
A
v vt 图
t
v A sin(t ) A
o
Tt
A cos(t π ) A
2
a a t图
a A 2 cos(t ) A 2
o
Tt
A 2 cos(t π ) A 2
两振动位相之差
＝2－ 1
•当=2k ,k=0,±1,±2…,两振动步调相同,称同相
•当=(2k+1) , k=0,±1,±2...
两振动步调相反,称反相
•0<<
2 超前于1 或 1滞后于2
位相差反映了两个振动不同程度的参差错落
•谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
x
A cos( t
A sin(
§4-2 简谐振动的运动学
例题 质点沿x轴作谐振动, 周期T=s, t=0时， xo 2m ,o 2 2m / s,求振动方程。
解： x =Acos( t+ )
2 2
T
A
xo2
o2 2
2
cos 2
2
sin 2
2
3
4
得x 2cos( 2t 3 )m
4 32
dt 2
x Acos(t 0 )
cos(t
0
)
sin(t
0
2
)
令
'
0
2
x Asin(t ' )
简谐振动的运动规律也可用正弦函数表示.

4
2
4
T
t
1 2 2 2 Ek m A sin t 2
1 2 E kA 2
简谐运动能量守恒，振幅不变 简谐运动势能曲线
Ep
C
E
A
O
B
Ek
Ep
x
A
x
能量守恒
推导
1 2 1 2 E mv kx 2 2
d 1 1 2 2 ( mv kx ) 0 dt 2 2 dv dx mv kx 0 dt dt
2
其解为∶
x A cos( t )
──谐振动的运动学方程 (简称振动方程)
x A cos( t )
运动学方程
描述作谐振动物体位置随时间变化的关系
dx v A sin(t ) dt
描述作谐振动物体振动速度随时间变化的关系
dv 2 a A cos(t ) dt
相位差只能在同频率的振动间比较 当 2n
当 （ 2n 1 ） 若 0
n 0, 1, 2
n 0, 1, 2
时
两振动步调相同，称同相
时
两振动步调相反，称反相
2 超前于 1 或 1滞后于 2
相位差反映了两个振动不同程度的参差错落
四、振幅和初相确定
波动篇
内容： 机械振动 机械波
波动光学
前
言
人们习惯于按照物质的运动形态，把经典物理学 分成力（包括声）、热、电、光等子学科。然而，某 些形式的运动是横跨所有这些学科的，其中最典型的 要算振动和波了。在力学中有机械振动和机械波，在 电学中有电磁振荡和电磁波，声是一种机械波，光则 是一种电磁波。在近代物理中更是处处离不开振动和 波，仅从微观理论的基石——量子力学又称波动力学 这一点就可看出，振动和波的概念在近代物理中的重 要性了。