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课题：简单的线性规划（高三复习课）点明课题：本节课是北师大版全日制普通高级中学数学教科书（试验修订本·必修5）第三章第4节“简单的线性规划”.本节课是高三第一轮复习课，内容包括二元一次不等式表示平面区域、线性规则及线性规划的实际应用.下面我从三方面来说说对这节课的分析和设计.1. 教材地位分析一教学背景分析 2. 学生特征分析3. 教学目标分析1. 教学重点、难点分析二教学展开分析 2. 教学策略和方法指导3. 教学媒体选择4. 教学实施三教学结果分析一、教学背景分析1、教材地位分析（1）“简单的线性规划”是在复习了直线方程的基础上而再度学习的. 因线性规划的应用性广泛，“简单线性规划”不仅是“新大纲”中增加的新内容，也是“新课标”的必修内容；说明了教材重视数学知识的应用.（2）“简单的线性规划”体现了数学应用性的同时，还渗透了化归、数形结合等数学思想和数学建模法.（3）“简单的线性规划”内容从2003年江苏高考卷选择题开始，已成为近年来高考数学命题的一个亮点. 几乎每年必考。
考查的题型有选择题，填空题、解答题，.2、学生特征分析（1）学习任务分析：通过第一轮复习，学生对不等式、直线方程知识有了更系统的理解；这是复习“简单的线性规划”的起点能力.（2）认知能力分析：学生能应用不等式、直线方程知识来解决问题，加之，体会过“简单的线性规划”应用性；这有益于“简单的线性规划”的“同化”和“顺应”.（3）认知结构变量分析：“不等式”、“直线方程”与“简单的线性规划”是“类属关系”，故“简单的线性规划”的复习是“下位学习”，说明认知结构的可利用性和可分辩性. 但是，由于“简单的线性规划”在教材上的编排简约、图解方法的动态且有错误之处（例3的答案），影响到认知结构的稳固性；这要求通过创设问题情境、自主探究等来促进认知结构的稳固性，进行意义建构.3、教学目标分析（1）知识技能：掌握二元一次不等式表示平面区域，进一步了解线性规划的意义，并能应用其解决一些简单的实际问题.（2）过程与方法：通过自主探究，师生会话，体验数学发现和创造的历程；经历线性规划的实际应用，提高数学建模能力.（3）情感态度：通过自主探究，师生会话，养成批判性的思维品质，形成良好的合作交流品质，提高“应用数学”的意识.以上三个目标确定是基于教材地位分析和学生特征分析.二、教学展开分析1、教学重点与难点分析重点：掌握二元一次不等式表示平面区域并灵活运用，以及线性规划最优解的求解.难点：实际问题转化为线性规划问题及其整数最优解、最优近似解的求解.利用例题、变式训练，求线性规划最优解的两种有效的方法——“调整优值法”、“换元取优法”的应用，以及“简单的线性规划解答器”的应用，来突出重点，突破难点.2、教学策略与方法指导（1）教学策略：本节课采用基于建构主义理论的“建构式教学方法”，即由“创设问题情境——自主探究——师生会话——意义建构”四个环节组成. 以学生为主体，并根据教学中的实际情况及时调整教学方案.（2）学法指导：教师平等地参与“师生会话”，间或参与“自主探究”并适时点拨指导；引导学生全员、全过程参与；自主探究的形式可以是小组学习，也可以是“学习共同体”等，引导学生反思评价.3、教学媒体的选择与运用使用多媒体辅助教学，运用“简单的线性规划解答器”.4、教学实施按照“建构式教学法”的思想，围绕突出重点，解决难点，不断设置问题情境，激发学生自主探究，并由师生会话促进意义建构. 我把本节课的教学实施分成三大部分，即（1）概念“同化”,（2）例题研讨,（3）反思评价.Ⅱ例题研讨三、教学结果分析通过本节课的学习，结合教学目标，从知识、能力、情感三个方面预测可能会出现的结果.1、学生能掌握并灵活运用二元一次不等式的平面区域，能够求出最优解；但在数学建模方面，估计有少部分学生会有一定的困惑. 另外，对线性规划和其它知识的交汇题的求解以及实际问题的整数最优解、近似最优解的求解仍会有学生感到陌生，故须督促学生课后加强消化.2、学生基本思想能力得到一定的提高，但良好的数学素养有待进一步提高.3、由于学生层次不同，已有的数学知识、观念不同，体验和认识也不同，对于学习层次较高的学生，应鼓励其严谨、谦虚、锲而不舍的求学态度；而对学习欠佳的同学，应多鼓励，并辅之以师生的帮助促进其进步.附：板书设计【设计说明】1．高三复习课，不仅仅是以前所学知识的重复，而是要在“问题解决”中对知识进行“同化”、“顺应”，进行意义建构. 故应帮助学生建立明晰的知识结构. 所以本节课的设计采取“建构式教学法”即“设置问题情境”、“自主探究”、“师生会话”、“意义建构”四环节教学；利用题型面广的例、变式题的研讨、探究，形成知识的完整性、系统性.2．高三复习既要依据教学大纲、也要依据考试大纲，还要根据近几年高考对本节内容的考查方向. 故此，在例、变式题中渗透“二元一次不等式表示平面区域”、“线性规划最优解”的问题，做到“重点”突出；而“难点”也随着二种有效方法即“调整优值法”、“换元取优法”及“线性规划解答器”的应用而完成了“顺应”.3．课堂上的例1、例2的解决以学生“自主探究”、“师生会话”为主；例3以师生“共同探究”为主；变式题则由学生理清解题思路完成，教师可在关键的地方点拨. 这其中借助多媒体和“线性规划解答器”予以辅助. 体现了信息技术与教学内容的有机整合.4．课后作业注重基础性、交汇性及新颖性.。
第六章 不 等 式第2课时 二元一次不等式(组)与简单的线性规划(对应学生用书(文)、(理)87～88页)1. (必修5P 74练习题1改编)若点P(a ，3)在2x ＋y<3表示的区域内，则实数a 的取值范围是________．答案：a<0解析：点P(a ，3)在2x ＋y<3表示的区域内，则2a ＋3<3，解得a<0.2. (必修5P 77练习题2改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4≥0，x ＋y ≥0，x ≤3所表示的平面区域的面积是________．答案：25解析：直线x －y ＋4＝0与直线x ＋y ＝0的交点为A(－2，2)，直线x －y ＋4＝0与直线x ＝3的交点为B(3，7)，直线x ＋y ＝0与直线x ＝3的交点为C(3，－3)，则不等式组表示的平面区域是一个以点A(－2，2)、B(3，7)、C(3，－3)为顶点的三角形，所以其面积为S △ABC ＝12×5×10＝25. 3. (必修5P 84习题4改编) 已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x －y ≤2，0≤y ≤3，则z ＝2x ＋y 的最小值是________．答案：1解析：如图所示作出可行域，可知当z ＝2x ＋y 过点A(－1，3)时z 最小，此时z ＝1.4. (必修5P 80练习题2改编)设变量x 、y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋2y ≤2，x ≥－2，则z ＝x －3y 的最小值为________．答案：－8解析：画出可行域与目标函数线，如图可知，目标函数在点(－2，2)处取最小值－8.5. 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k ＝________．答案：73解析：不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A(1，1)，B(0，4)，所以AB 中点M ⎝⎛⎭⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73.1. 二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1) 二元一次不等式表示的平面区域一般地，直线y＝kx＋b把平面分成两个区域，y>kx＋b表示直线y＝kx＋b上方的平面区域，y<kx＋b表示直线y＝kx＋b下方的平面区域．(2) 选点法确定二元一次不等式表示的平面区域①任选一个不在直线上的点；②检验它的坐标是否满足所给的不等式；③若适合，则该点所在的一侧区域即为不等式所表示的平面区域，否则，直线的另一侧区域为不等式所表示的平面区域．(3) 二元一次不等式组表示的平面区域不等式组中各个不等式表示平面区域的公共区域．2. 线性规划中的基本概念[备课札记]题型1 二元一次不等式表示的平面区域例1 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域．解：不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及右下方的点的集合，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如下图所示．备选变式（教师专享）在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y>0，x －y ＋4≥0，x ≤a (a 为常数)，表示的平面区域的面积为9，那么实数a 的值为________．答案：1解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y>0，x －y ＋4≥0，x ≤a 表示的平面区域如图阴影部分．S ＝12|BC|×(a ＋2)＝12(2a ＋4)×(a ＋2)＝9.又a>－2，∴ a ＝1.题型2 线性规划问题例2 设z ＝2x ＋y ，式中变量满足下列条件： ⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z 的最大值和最小值． 解：变量x 、y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．(如图)作一组与l 0：2x ＋y ＝0平行的直线l ：2x ＋y ＝t.t ∈R 可知：当l 在l 0的右上方时，直线l 上的点(x ，y)满足2x ＋y ＞0，即t ＞0，而且直线l 往右平移时，t 随之增大，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点A(5，2)的直线l 2所对应的t 最大，以经过点B(1，1)的直线l 1所对应的t 最小．所以z max ＝2×5＋2＝12，z min ＝2×1＋1＝3.变式训练已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围为__________．答案：[－1，1]解析：作出可行域如图中阴影部分所示，则z 在点A 处取得最大值，在点C 处取得最小值．又k BC ＝－1，k AB ＝1，∴ －1≤－a ≤1，即－1≤a ≤1.题型3 线性规划的实际应用 例3 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1 kg 、B 原料2 kg ；生产乙产品1桶需耗A 原料2 kg ，B 原料1 kg.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12 kg.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？解：设公司每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，公司共可获得利润为z 元/天，则由已知，得z ＝300x ＋400y ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，画可行域如图所示，目标函数z ＝300x ＋400y 可变形为y ＝－34x ＋z400，这是随z 变化的一簇平行直线，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝12，x ＋2y ＝12，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即A(4，4)，∴ z max ＝1 200＋1 600＝2 800(元)．故公司每天生产甲产品4桶、生产乙产品4桶时，可获得最大利润为2 800元． 备选变式（教师专享）某公司计划2013年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90000，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝3000x ＋2000y.二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．作直线l ：3000x ＋2000y ＝0，即3x ＋2y ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900，解得x ＝100，y ＝200.记点M 的坐标为(100，200)．平移直线l ，易知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值． ∴z max ＝3000x ＋2000y ＝700000(元)． 答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．1. (2013·南通模拟)已知0＜a ＜1，log a (2x －y ＋1)＞log a (3y －x ＋2)，且λ＜x ＋y ，则λ的最大值为________．答案：－2解析：2x －y ＋1<3y －x ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y －1<0，2x －y ＋1>0，作出可行域，则z ＝x ＋y 经过点(－1，－1)时最小，故x ＋y>－2，所以λ的最大值为－2.2. 若直线y ＝2x 上存在点(x ，y)满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为________．答案：1解析：可行域如下：所以，若直线y ＝2x 上存在点(x ，y)满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则3－m ≥2m ，即m ≤1.3. 设变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值是________．答案：55解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20，y ＝15得A(5，15)，且A 为最大解，∴ z max ＝2×5＋3×15＝55.4. 某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：为使一年的种植的总利润最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积分别为________． 答案：30亩、20亩解析：设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x 、y ，则总利润z ＝(4×0.55－1.2)x ＋(6×0.3－0.9)y ＝x ＋0.9y ，此时x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0，画出可行域知，最优解为(30，20)．5. 直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有________个．答案：1解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的可行域，如图阴影部分所示(含边界)．因为直线2x ＋y －10＝0过点A(5，0)，且其斜率为－2，小于直线4x ＋3y ＝20的斜率－43，故只有一个公共点(5，0)．1. 设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0 表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x 的图象存在区域D 上的点，则a 的取值范围是________．答案：1<a ≤3解析：先画出如图所示的可行域，当函数a x 的图象过点A(2，9)时，有a 2＝9，∴a ＝3.又a ＞1，∴1＜a ≤3.2. 设z ＝2y －2x ＋4，其中x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，求z 的最大值和最小值．解：作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1的可行域，如图所示作直线l ：2y －2x ＝t.当l 过点A(0，2)时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8，当l 过点B(1，1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.3. 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25x ≥1，试求解下列问题．(1) z ＝x 2＋y 2的最大值和最小值；(2) z ＝yx ＋2的最大值和最小值；(3) z ＝|3x ＋4y ＋3|的最大值和最小值．解：(1) z ＝x 2＋y 2表示的几何意义是区域中的点(x ，y)到原点(0，0)的距离，则z max ＝5，z min ＝12.(2) z ＝y x ＋2表示区域中的点(x ，y)与点(－2，0)连线的斜率，则z max ＝1，z min ＝14.(3) z ＝|3x ＋4y ＋3|＝5·|3x ＋4y ＋3|5，而|3x ＋4y ＋3|5表示区域中的点(x ，y)到直线3x ＋4y＋3＝0的距离，则z max ＝14，z min ＝5.4. 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物、42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解： 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z元，则依题意得z ＝2.5x ＋4y ，且x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.作出线性约束条件所表示的可行域，如图中阴影部分的整数点．让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移，由此可知z ＝2.5x ＋4y 在B(4，3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．1. 确定不等式Ax ＋By ＋C>0(<0，≥0，≤0)表示直线Ax ＋By ＋C ＝0的哪一侧区域，常用两种方法：一是在直线的某一侧取一特殊点；二是将不等式化为y>kx ＋b(<，≥，≤)．2. 在线性约束条件下，当b>0时，求目标函数z ＝ax ＋by ＋c 的最值的求解步骤① 作出可行域；② 作出直线l 0：ax ＋by ＝0；③ 平移直线l 0：ax ＋by ＝0，依可行域判断取得最值的最优解的点；④ 解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最值．3. 常见的非线性目标函数的几何意义：① x 2＋y 2表示点(x ，y)与原点(0，0)的距离；②（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y)与点(a ，b)的距离；③ yx 表示点(x ，y)与原点(0，0)连线的斜率值；④y －bx －a表示点(x ，y)与点(a ，b)连线的斜率值． 请使用课时训练（B ）第2课时（见活页）.。
