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简单的线性规划问题公开课

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简单的线性规划问题(公开课)

简单的线性规划问题(公开课)

简单的线性规划问题（公开课）课题：简单的线性规划问题（普通高中课程标准实验教科书数学5（必修·人教A版）第三章3.3.2节）授课教师：蒲志丹（吴川市第一中学）授课班级：高二（19）班授课时间：2006年10月31日星期二上午第三节一、教学目标设计：三、教学过程设计与分析：（一）分析引例（examples），形成概念，规范解答【教学流程】【引例】某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件并耗时1 h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件并耗时2 h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8 h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排获得的利润最大？解：设甲、乙两种产品的日生产分别为,x y 件时，工厂获得的利润为z 万元，则,x y 满足约束条件为28416412,0x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩, 作出约束条件所表示的可行域，如右图所示 目标函数为23z x y =+，可变形为233zy x =-+，如图，作直线0:230l x y +=，当直线0l 平移经过可行域时，在点M 处达到y 轴上截距3z的最大值，即此时z 有最大值.解方程组4280x x y =⎧⎨+-=⎩，得点(4,2)M ，max 2314z x y ∴=+=当每天安排生产4件甲产品，2件乙产品时，工厂获利最大为14万元。

(二)：模仿练习（exercises ），强化方法，拓展题型【教学流程】【练习1】营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪。

1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1 kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，花费21元。

简单的线性规划问题(优质课获奖)(课堂PPT)

简单的线性规划问题(优质课获奖)(课堂PPT)
简单线性规划问题 (一)
1
导入新课
x 4y 3
作出下列不等式组的所表示的平面区域 y
3
x
5
y
25
A: (5, 2)
x 1
B: (1, 1)
5
C
C: (1, 4.4)
x-4y+3=0
A B
O1
5
x
3x+5y-25=0
x=1
问题：z=2x+y 有无最大（小）值？
2
为此，我们先来讨论当点(x,y)在整个坐标平面变 化时，z=2x+y值的变化规律。在同一坐标系上作出下列 直线: 2x+y=-3;2x+y=0;2x+y=1;2x+y=4;2x+y=7
x 1 所表示的区域 .
2.作 直 l0:2x 线 y0
x-4y+3=0 3.作一组与l直 0平线行的 直线l :2x yt,tR
A B
直线L越往右平 移,t随之增大.
O1
x=1
5
x 所以经过点A(5,2)
3x+5y-25=0
的直线所对应的t
值最大;经过点
B(1,1)的直线所对
应的t值最小. 2xy0 Z m 2 a 5 x 2 1 ,Z m 2 2 i n 1 1 5 3
Y
结 论 :形2如 xyt(t0) 的 直2线 xy与 0平.行
o
x
3
把上面问题综合起来:
x 4y 3
设z=2x+y,求满足
3
x
5
y
25
x 1
时,求z的最大值和最小值.
4
解：
y
A: (5, 2) B: (1, 1) C: (1, 4.4)

简单线性规划问题(公开课)

简单线性规划问题(公开课)

归纳小结
1.在线性约束条件下求目标函数的最大值或最小值，是一种数形结合的数学思想，它将目 标函数的最值问题转化为动直线在y轴上的截距的最值问题来解决.
2.对于直线l：z＝Ax＋By，若B＞0，则当直线l在y轴上的截距最大(小)时，z取最大(小) 值；若B＜0，则当直线l在y轴上的截距最大(小)时，z取最小(大)值.
最小截距为过A(5,2) 3
A
x-4y+3=0
的直线 l 2
l1
2
•
注意：此题y的系数为 负，当直线取最大截
1 B•
3x+5y-25=0
距时，代入点C，则z
-1 O 1 2 3 4 5 6 7
x
有最小值
z m in
1
2
22 5

39 5
l0
-1
l2
同理，当直线取最小截距时，代入点A，则z有最大值 zmax 5 2 2 1
原
每配制1杯饮料消耗的原料
料
甲种饮料 x 乙种饮料 y
原 料限 额
奶粉(g)
9
4
咖啡(g)
4
5
糖(g)
3
10
利 润(元)
0.7
1.2
3600 2000 3000
解:设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则
9x 4 y 3600
34xx

5y 2000 10y 3000
X≥1
代入点B得最大为8，
y x=1
5 4A
2x-y=0
代入点A得
最小值为
-
12 .5
3
x-4y+3=0
2
B

简单的线性规划问题(公开课)

简单的线性规划问题(公开课)
时,求z的最大值和最小值.
x y20 例 2、已知 x y 4 0 ， 2 x y 5 0 （1） 求 z x 2 y 的最大和最小值; （2） 求 z 2 x y 的最大和最小值; y （3） 求 z 的取值范围; x 2 2 （4） 求 z x y 的最大和最小值。
5 x 4 y 20 设z=x+y,当x，y满足 x 2 y 4 2 x y 0
时,求z的最大值和最小值.
线性目 标函数
线性约 束条件
5 x 4 y 20 设z=x+y,当x,y满足 x 2 y 4 2 x y 0 最优解
5 x 4 y 20 已知x,y满足不等式组 x 2 y 4 2 x y 0
问题1、作出不等式组所表示的平面区域 问题2、求x的最大（小）值 问题3、求y的最大（小）值 问题4、求x+y的最大（小）值
提出问题
把刚才的问题4和已知条件连起来就得到了下 面的Fra bibliotek题：变式：
时,求z的最大值和最小值. 线性规 划问题
所有的
任何一对满足 不等式组的解 （x,y）
可行解
可行域
有关概念
由x，y 的不等式(或方程)组成的不等式组称为x，y 的 约束条件。关于x，y 的一次不等式或方程组成的不等式 组称为x，y 的线性约束条件。 欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y 的解析式称 为目标函数。关于x，y 的一次目标函数称为线性目标函 数。 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值 问题称为线性规划问题。 满足线性约束条件的解（x，y）称为可行解。所有可 行解组成的集合称为可行域。
使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为 最优解。

简单的线性规划问题 课件

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2．对于函数 z＝2x－y，当直线 2x－y－z＝0 经过 A、B、C 三点时，z 的值分别是多少？
【提示】 直线经过 A(3,8)时，z 的值为－2； 直线经过 B(－3,2)时，z 的值为－8， 直线经过 C(3，－4)时，z 的值为 10. 3．当直线 2x－y－z＝0 经过平面区域时，z 的最大值是多 少？最小值呢？ 【提示】 z 的最大值为 10，最小值为－8.
【自主解答】 由约束条件画出可行域(如图所示)为矩形 ABCD(包括边界)．
点 C 的坐标为(3,1)，z 最大，即平移 y＝－ax 时使直线在 y 轴上的截距最大，
∴－a<kCD，即－a<－1. ∴a>1.
【答案】 a>1
1．本题属逆向思维类型，解答时要画出图形，使用数形结 合的方法．
2．解答此类问题首先要熟练线性规划问题的求解程序和确 定最优解的方法，还要明确线性目标函数的最值一般在可行域 的顶点或边界取得，对边界直线的斜率与目标函数对应的直线 的斜率要认真对照分析．
成本(百元)
30
20
300
劳动力
5
10
110
单位利润(百元)
6
8
试问：怎样确定两种货的供应量，才能使总利润最大，最
大利润是多少？
【思路探究】 提取不等信息→转化为不等式组→作出可 行域→借助线性规划分析→还原实际问题
【自主解答】 设电子琴和洗衣机月供应量分别为 x 架、y 台，总利润为 z 百元，则根据题意，
已知变量 x，y 满足约束条件1－≤2x≤＋xy－≤y4≤，2， 若 目标函数 z＝ax＋y(其中 a>0)仅在点(3,1)处取得最大值，则 a 的 取值范围为________．

简单的线性规划问题 课件

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【典型例题】 例 1 已知 1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求 2x－3y 的取值范围．
解 作出二元一次不等式组1－≤1x≤＋xy－≤y5≤，3 所表示的平面 区域(如图)即为可行域．
设 z＝2x－3y，变形得 y＝23x－13z，则得到斜率为23，且随 z 变化的一组平行直线． －13z 是直线在 y 轴上的截距，当直线截距最大时，z 的值最 小，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标 函数 z＝2x－3y 取得最小值．
3．求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的 问题，统称为线性规划问题．满足线性约束条件的解(x，
y)叫做可行解 ，由所有可行解组成的集合叫做可行域 .
分别使目标函数 z＝ax＋by 取得最大值或最小值的可行 解叫做这个问题的最优解．
4．线性目标函数 z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是 _y＝ ___－__ab_x＋__b_z，在 y 轴上的截距是bz，当 z 变化时，方程表
如图所示，直线 MB 的斜率最大， 直线 MC 的斜率最小，
又∵B(0,2)，C(1,0)， ∴zmax＝kMB＝3；zmin＝kMC＝12. ∴z 的最大值为 3，最小值为12. (2)z＝x2＋y2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方， 结合图形知，原点到点 A 的距离最大，原点到直线 BC 的距 离最小．
由图可见，当直线 z＝2x－3y 经过可行域上的点 A 时，截距 最大，即 z 最小． 解方程组xx－＋yy＝＝－5 1 得 A 的坐标为(2,3)， ∴zmin＝2x－3y＝2×2－3×3＝－5.
当直线 z＝2x－3y 经过可行域上的点 B 时，截距最小，即 z 最大． 解方程组xx－ ＋yy＝ ＝31 得 B 的坐标为(2，－1)． ∴zmax＝2x－3y＝2×2－3×(－1)＝7. ∴－5≤2x－3y≤7，即 2x－3y 的取值范围是[－5，－7]． 小结 解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确 地理解 z 的几何意义，求最优解时采用“平移直线法”．

线性规划问题课件公开课(最终版)


︱高中总复习︱一轮·理数
x y 2 0,
练习.不等式组 x y 3 0, 表示的平面区域的面积为( B )
3 x 0
(A) 23 4
(B) 25 4
(C) 27 4
(D) 29 4
解析:不等式组表示的平面区域如图所示.
由
x x
3, y
3
0,
得
A(-3,0);
由
x x
3, y
bb
b
(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直
线系中过原点的那一条直线;
(2)平移——将l平行移动,以确定最优解的对应点的位置;
(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解),代入目标函数,即可求出 最值.
︱高中总复习︱一轮·理数
在通过求直线的截距 z 的最值间接求出 z 的最值时,要注意:当 b>0 时,截距 z 取
y 0,
(B )
(A)3 (B)-3 (C)2 (D)-2
解析:作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分所示),作出直线y=x, 则当目标函数y=x-z过点C(1,4)时,zmin=-3.故选B.
︱高中总复习︱一轮·理数
课堂总结
本节课你学会了什么？
︱高中总复习︱一轮·理数
反思归纳
(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是:“直线定界,特殊点定 域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式(组).若满足不等式(组),则不等式 (组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就对应于特殊点 异侧的平面区域. (2)当不等式中带等号时,边界为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常 取原点.
︱高中总复习︱一轮·理数

高考数学总复习-简单的线性规划问题-新人教B版省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件


y≤1 x≤1 x＋y≥1
，则 z＝x2＋y2 的最小值为________．
解析：作出可行域如图，显然可行域内的点到原点 距离的最小值为原点到直线 x＋y＝1 的距离．
∵原点到直线 x＋y＝1 的距离 d＝ 1 ， 2
∴(x2＋y2)min＝d2＝12. 答案：12
(理)(2011·临沂模拟)若实数 x，y 满足x－y＋1≤0 ， x>0
则x－y 1的取值范围为(
)
A．(－1,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．[1，＋∞)
解析：作出可行域为如图阴影部分，
k＝x－y 1表示可行域内的点 P(x，y)与点 A(1,0)连线的 斜率，kl1＝－1，kl2＝1，∴k>1 或 k<－1.
答案：B
简朴线性规划旳实际应用
解题技巧 1．二元一次不等式表示的平面区域的判定方法 (1)不过原点(也不与坐标轴重合的直线)取原点检验， 将原点坐标代入，若满足不等式，则不等式表示的平面 区域为原点所在的一侧，否则为另一侧；过原点的取 x 轴(或 y 轴)上一点，如(1,0)检验，结论同上．简称直线定 界，特殊点定域．
(2)B 值判断法
A．36 万元
B．31.2 万元
C．30.4 万元 D．24 万元
解析：设对甲项目投资 x 万元，对乙项目投资 y 万
x＋y≤60 元，根据题意得x≥23y
x≥5 y≥5
，所获利润 z＝0.4x＋0.6y.
画出可行域，由目标函数对应直线 0.4x＋0.6y＝z 知
x－2y＋4≤0，
x≥2，
则 x2＋y2 的取值范围为( )
x＋y－8≤0.
A．[13,40]

简单线性规划问题公开课PPT资料(正式版)

2.对于直线l：z＝Ax＋By，若B＞0，则
当直线l在y轴上的截距最大(小)时，z取
最大(小)值；若B＜0，则当直线l在y轴 上的截距最大(小)时，z取最小(大)值.
复习回顾（四）
时,求z的最大值和最小值. ，求z的最大值和最小值. 时,求z的最大值和最小值. 如何画出如右不等式组表示的平面区域？ 平移，使之与可行域有交点。 画：画出线性约束条件所表示的可行域； 解：不等式组表示的平 面区域如图所示： 对于直线l：z＝Ax＋By，若B＞0，则当直线l在y轴上的截距最大(小)时，z取最大(小)值； ，求z的最大值和最小值. 变题：上例若改为求z=x-2y的最大值、最小值呢？ ，求z的最大值和最小值. 设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则 分析：令目标函数z为0， 目标函数所表示的几何意义——在y轴上的截距或其相反数。 ，求z的最大值和最小值. 画：画出线性约束条件所表示的可行域； 简单线性规划问题公开课 解线性规划问题的步骤：
实际问题 注意:
列表
寻找约束条件
设立变量
建立目标函数
转 化
线性规划问题
1.约束条件要写全;
2.作图要准确,计算也要准确;
3.解题格式要规范.
理论迁移（四）
设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则
例69.x咖 啡4 y馆 配360制0 两种饮料．甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡4g、
，时求,求糖料饮zz的的最3的料最34大g大xx值,使每值乙和和最用杯1最5种0小小y值限能值y饮.. 额获2料0300为利00每0 奶元杯粉，含乙3奶60种粉0g饮4，g料，咖每咖啡杯啡2能050g获0，g利，糖元糖10，3g0．每00已天g,如知在果每原甲天料种原的
3
x-4y+3=0
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y0
使目标函数取得
o
最大值或最小值的可
行解叫做线性规划问
题的最优解.
y3
M
2
4
6
x4
8x
x2y80
精选课件
10
解线性规划问题的步骤：
1、找 找出线性约束条件、目标函数；
2、画： 画出线性约束条件所表示的可行域； （2）3、移： 在线性目标函数所表示的一组平行线中， 利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线； （3）4、求：通过解方程组求出最优解；
资源
A种配件 B种配件 所需时间
甲产品 (1件)
4 0 1
乙产品 (1件)
0 4 2
资源限额
≤16 ≤12 ≤8
设甲、乙两种产品分别生产x、y件.
精选课件
5
设甲、乙两种产品分别生产x、y件,由己知 条件可得二元一次不等式组：
x 2 y 8,
x,
4 4
x y
16, 12,
x
0,
y 0 .
y为非负整数
特 殊 点 定
直 线 定 界
域，
y
4
y3
2
o
2
4
6
8x
x4
x2y80
精选课件
6
设甲、乙两种产品分别生产x、y件,由己知 条件可得二元一次不等式组：
x 2 y 8,
4 4
x y
16, 12,
y
x
0,
4
y3
y 0 .
2
o
2
4
6
8x
x4
x2y80
精选课件
7
若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品获 利3万元,采用哪种生产安排利润最大?
（2）3、移： 在线性目标函数所表示的一组平行线中，
利用平移的方法找出与可行域有公共点
且纵截距最大或最小的直线；
（3）4、求：通过解方程组求出最优解；
（4）5、答：作出答案。
精选课件
30 30
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精选课件
15 15
课堂练习
A
精选课件
16
复习回顾
B
精选课件
17
解线性规划问题的步骤：
1、找 找出线性约束条件、目标函数；
2、画： 画出线性约束条件所表示的可行域； （2）3、移： 在线性目标函数所表示的一组平行线中， 利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线； （3）4、求：通过解方程组求出最优解；
所以又称为线性约束条件.
z2x3y
函数 z2x称为3y目标函 数,又因这里的 z2x是3y 关于变量 x、的y 一次解析式, 所以又称为线性目标函数.
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小
值问题,统称为线性规划问题.
精选课件
9
满足线性约束条
件的解 ( x , 叫y )做
可行解.
y
4
由所有可行解组
设生产甲产品 x 件，乙产品 y 件时，工厂获得
的利润为 z ，则 z2x3y.
y
4 B 2x3y0 2
N M
y3
o
2
4A 6
8x
x4
x2y80
精选课件
8
x 2 y 8,
4 4
x y
16, 12,
x
0,
y 0 .
不等组（1）是一组对变量
x、的y 约束条件，这组约束条 件都是关于 x、的y 一次不等式，
走进高考，了解动态
新知探讨，初步入门
变式训练，夯实基础
归纳总结，百战百胜
精选课件
1
近几年浙江理科高考趋势初探
近年来，简单的线性规划问题在高考中多以选择、填空的 形式出现。其中2009,2013年出现在填空题第13题。 2010，2011年出现在选择题第7题和第5题。题目难度 相对基础，考察大家的基本作图能力和分析能力。
0,
y 0 .
（2）能否设计一个目标函数，使其取得最优解的情况 有无穷多个？
y
4
BN
x2y0
2
M
y3
o
2
4A 6
8x
x2y80
x 4精选课件
13
变式三
B
精选课件
14
解线性规划问题的步骤：
1、找 找出线性约束条件、目标函数；
2、画： 画出线性约束条件所表示的可行域； （2）3、移： 在线性目标函数所表示的一组平行线中， 利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线； （3）4、求：通过解方程组求出最优解；
精选课件
18 18
－9
精选课件
19
思考题
精选课件
20
变式：带参数求值问题
精选课件
21
精选课件
22
思考题
学 案 P69典 型 例 题 例 1 已 知 x,y满 足 现 行 约 束 条 件
x-2y 7 0
4
x
3
y
12
0
x 2 y 3 0
求 （ 1） u=4x-3y的 最 大 值 与 最 小 值 。
（ 2 ） z = ( x + 3 )2 + ( y + 1 )2的 最 大 值 和 最 小 值 。
（ 3） t= y 1的 最 值 。
x3
精选课件
23
X-2y+7=0
P(-3,-1)
4x-3y-12=0
x+2y-3=0
精选课件
24
X-2y+7=0
4x-3y-12=0
P(-3,-1)
x+2y-3=0
精选课件
25
tmax kPA
t y 1 x3
X-2y+7=0 Q(x,y)
4x-3y-12=0
tmin kPB
P(-3,-1)
精选课件
x+2y-3=0
26
思考题
精选课件
27
变式三：带参数求值问题
精选课件
28
精选课件
29
解线性规划问题的步骤：
1、找 找出线性约束条件、目标函数；
2、画： 画出线性约束条件所表示的可行域；
精选课件
11 11
x 2 y 8,
在线性约束条件
4 4
x y
16,
1下2 ，,
x
0,
y 0 .
求（1）目标函数 zx的y最大值和最小值.
y
x y0
4
BN
2
M
y3
o
2
4A 6
8x
x2y80
x 4精选课件
12
在线性约束条件
x 2 y 8,
4 4 x
x y
16,
下1 ，2 ,
精选课件
2
高考链接
精选课件
3
精选课件
4
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生 产一件甲产品使用4个A配件耗时1h, 每生产一件乙 产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂 获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算, 该厂所有可能的日生产安排是什么?
把有关数据列表表示如下: