- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
y1x z
33
zmax 2 3 3 11
四个步骤：
1。画（画可行域） 2。作（作z=Ax+By中令z=0时的直线L:Ax+By=0 。） 3。移（平移直线L 。寻找使纵截距取得最值时的点） 4。答（求出点的坐标，并转化为最优解）
[练习]解下列线性规划问题：
1、求z＝2x＋y的最大值，使x、y满足约束条件：
(2)求z= x2 y2 的最小值（可看成可行域内点 (x, y)到原点的距离的平方）
A1, 22 5
1求z x 32 y2最值
将（3,0）带入x 4 y 3 0的距离公式得
d 3 4 0 3 6 17 半径 12 (4)2 17
zmin
d2
36 17
x4y3 0
Q(3,0)
求线性目标函数,在线性约束下的最值问题, 统称为线性规划问题,
满足线性约束的解(x,y)叫做可行解,
所有可行解组成的集合叫做可行域
x 使目标函数取得最值的可行解叫做这个
问题的最优解
变式：求利润z=x+3y的y最大值.
x2y 8
44
x y
16 12
x
0
y 0
4 N（2，3） 3
0
4
8x
y1 x4
x y 0k 1
B 1,3
A C
与C点的连线是最小值，
将C点带入得 Zmin
1 1 2
1 3
与B点的连线是最大值，
将B点带入得
Zmax
3 1 2
1
x 1
x
x y40
x y 4 0 例1、已知变量x, y满足 x y 0 ， x 1
变式：求z y 的最大值与最小值（取值范围） x
问题：求z=2x+3y的最大y 值.
x2y 8
44
x y
16 12
x
0
y 0
4
3
M（4，2）
4
8x
0
y2x z 33
Zmax 4 2 2 3 14
x2y 8
44
x y
16 12
x
0
y 0
y
4 3
48
0
象这样关于x,y一次不等式组的 约束条件称为线性约束条件
Z=2x+3y称为目标函数,(因这里目标函数 为关于x,y的一次式,又称为线性目标函数
x4y3 0
1,1
x 1
3x 5y 25 0
小结 ： (1) 的几何意义：
的几何意义
表示点(x，y)与(a，b)的距离
(2)
的几何意义：
表示点(x，y)与原点(0,0)的距离
所以，形如
的目标函数的
几何意义：
表示平面区域内的点(x,y)与点(a,b)的距离的平方
• 已知目标函数的最值求参数
x
y
o
x
复习回顾:
(1)画出不等式4x―3y≥12表示的平面区域
y 4x―3y-12=0 x
复习回顾：
y 2、画出不等式组表示的平面区域。
x-y+5≥0
x+y≥0
x≤3
5
-5 o 4
x-y+5=0
x
x+y=0 x=3
问题1：画出下列不等式组所表示的平面
区域. y
x2y 8
44
x y
16 12
y
y k
Ak,
k
在z 2x y移动到Ak, k 点时取到最小值
z 2k k 6 k 2
• 小结
• 解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可 行域的顶点或边界取得
x 1 变式：已知a 0, x, y满足约束条件 x y 3 .若z 2x y的最小值为1，则a （）
2.解：作出平面区域
y
A
B
oC
x
5x＋3 y 15
y
x＋1
x－5 y 3
z＝3x＋5y
作出直线3x＋5y ＝z 的 求得A（1.5，2.5），
图像，可知直线经过A点时，B（－2，－1），则
Z取最大值；直线经过B点 Zmax=17，
时，Z取最小值。
Zmin=－11。
非线性规划问题的最值（值域）
y ax 3
A. 1
x
0
4
3
4
8x
0
y 0
问题2：在上述条件下，求z=2x+3y的最大值.
问题2：求z=2x+3y的最大值. y
把z=2x+3y变形为y=
z 3
,这是斜率为-
2 3
,
在y轴上的截距为 z 的直3 线,
3
4
8x
当点P在可允许的取值范围变0化时,
求截距 z 的最值,即可得z的最值. 3
• 斜率的探究(倾斜角或顺时针判断) 思路一：(0,90)和90，180 分别都符合倾斜角越大，斜率越大 思路二：(0,90)和90，180 分别符合直线顺时针转动，斜率变大
所以形如
的目标函数的几何意义就是：
平面区域内的点(x,y)与点(a,b)连线的斜率
类型二：距离型非线性规划问题的最值（值域）
探究1 对形如 z (x a)2 ( y b)2
目标函数的最值（距离型）
例1、设变量x,y满足x 4 y 3 0 3x 5y 25 0 x 1
1 求z x 3 2 y 2最值 （可看成可行域内点 (x, y)到(3,0)的距离的平方）
y x
x＋y
1
y －1
2、求z＝3x＋5y的最小值，使x、y满足约束条件：
5x＋3 y 15
y
x＋1
x－5 y 3
1.解：作出平面区域
y
A
o
x
B
C
y x
x＋y
1
y －1
z＝2x＋y
作出直线y=－2x＋z的图像，可知 z要求最大值，即直线经过C点时。
求得C点坐标为（2，－1），则 Zmax=2x＋y＝3
思路点播：可以看成平 面区域内的点 x, y与0,0连线的斜率
即z y 0 x0
y
x y 0k 1
B 1,3
A C
x 1
Zmin 1 30
Zmax 1 0 3
x
x y40
小结 (1) 的几何意义：表示点(x，y)与点(a，b)连
：
线的斜率.
(2)
表示(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；
类型一：斜率型非线性规划问题的最值（值域）
探究1 对形如
目标函数的最值（斜率型）
x y 4 0 例1、已知变量x, y满足 x y 0 ， x 1
求z y 的最大值与最小值（取值范围） x2
思路点播：可以看成平面区域内的点x, y与- 2,0连线的斜率
即z
x
y
0
2
y
2,0
x 1
3x 5y 25 0
Q（3,0）与A1，,22 点的距离最大，公式得 5
AQ
3
-12
0
-
22
2
2
146
5
5
zmax
AQ 2
584 25
(2)求z= x2 y2 的最小值
可将Z x2 y2转化成Z x - 02 y 02 通过观察圆的大小可以判断出1,1点距离原点最近。 Zmin 1 02 1 02 2
