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在零件的参数优化设计中的数学建模
吴新烨;徐学林
【期刊名称】《木工机床》
【年(卷),期】2003(000)004
【摘要】零件参数的选取是一个最优化问题.假定产品与零件的参数为正态分布的随机变量.在此基础上,以零件的标定值和容差为决策函数,以产品的总费用为目标函数构造一个非线性规划的模型.首先,用计算机程序选择适当的零件标定值使产品参数的平均值达到标定值;而后,再用计算机程序对容差的选取方式逐步尝试,选择最优的容差方式使得总费用最小.
【总页数】3页(P13-15)
【作者】吴新烨;徐学林
【作者单位】湖南株洲中南林学院;湖南株洲中南林学院
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.零件参数优化设计模型 [J], 丁旺才
2.衔铁零件挤压凹模结构参数优化设计及模拟 [J], 李红;伍权
3.食品挤压机双螺杆零件参数优化设计 [J], 夏萍
4.机械零件结构的参数优化设计与三维优化模型的实现 [J], 邹建荣
5.电子表格在机械零件结构参数优化设计中的应用 [J], 张云健;于国幸
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Min=90000;global H A C %全局变量H=[10000,25,10000;20,50,10000;20,50,200;50,100,500;50,10000,10000;10,25,100;10000,25,100 ]; %成本矩阵A=[0.1 0.05 0.01;0.1 0.05 0.01;0.1 0.05 0.01;0.1 0.05 0.01;0.1 0.05 0.01;0.1 0.05 0.01;0.1 0.05 0.01]; %容差矩阵C=zeros(7,3); 把容差选择矩阵元素全部赋值为0for z=1:1:3for x=1:1:3for c=1:1:3for v=1:1:3for g=1:1:3for n=1:1:3for m=1:1:3D=[z x c v g n m];C=zeros(7,3);for i=1:1:7C(i,D(i))=1;end %产生7 3列矩阵，该矩阵特点是每一行只有一个1 ，其它两个数为0。
本矩阵是为了对零件容差等级进行选择lb=[0.075 0.225 0.075 0.075 1.125 12 0.5625];ub=[0.125 0.375 0.125 0.125 1.875 20 0.935];X0=[0.075 0.225 0.075 0.075 1.125 12 0.5625];[xopt fopt]=fmincon(@mubiao,X0,[],[],[],[],lb,ub,[]);if fopt<MinMin=fopt;XOPT=xopt;Q=C;endendendendendendendendfunction f=junzhi(X)f=3.4512+[24.5896,-5.9911,14.6675,-4.0281,-1.1504,-0.0539,-1.1504]*X'; %把一组X取值带入经验公式的简化式，得到期望值μfunction f=junzhi2(X)f=([24.5896,-5.9911,14.6675,-4.0281,-1.1504,-0.0539,-1.1504].*X)/3; %得到一个行向量，为计算均方差σ做准备function f=mubiao(X)global C A H %全局变量B=C.*A;E=(sum(B,2));G= junzhi2(X);F=(G'.*E).^2;b=(sum(F(:)))^0.5; %求解产品参数的均方差，b即是均方差a= junzhi(X); %求解产品参数的期望值p0=normcdf(1.6,a,b)-normcdf(1.4,a,b); %产品为合格品的概率p1=normcdf(1.8,a,b)-normcdf(1.6,a,b)+normcdf(1.4,a,b)-normcdf(1.2,a,b ); %产品为次品的概率p2=1-p0-p1; %产品为废品的概率sunshi=1000*p1+9000*p2; %产品的损失费用I=C.*H; %用容差选择矩阵选择容差等级chengben=sum(I(:)); %零件的总成本f=chengben+sunshi; %目标函数。
数学建模零件参数的优化设计Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】零件参数的优化设计摘要本文建立了一个非线性多变量优化模型。
已知粒子分离器的参数y由零件参数)72,1(=ixi 决定，参数ix的容差等级决定了产品的成本。
总费用就包括y偏离y造成的损失和零件成本。
问题是要寻找零件的标定值和容差等级的最佳搭配，使得批量生产中总费用最小。
我们将问题的解决分成了两个步骤：1.预先给定容差等级组合，在确定容差等级的情况下，寻找最佳标定值。
2.采用穷举法遍历所有容差等级组合，寻找最佳组合，使得在某个标定值下，总费用最小。
在第二步中，由于容差等级组合固定为108种，所以只要在第一步的基础上，遍历所有容差等级组合即可。
但是，这就要求，在第一步的求解中，需要一个最佳的模型使得求解效率尽可能的要高，只有这样才能尽量节省计算时间。
经过对模型以及matlab代码的综合优化，最终程序运行时间仅为秒。
最终计算出的各个零件的标定值为：ix={,,,,,,},等级为：BBCCBBBd,,,,,,=一台粒子分离器的总费用为：元与原结果相比较，总费用由（元/个）降低到（元/个），降幅为%，结果是令人满意的。
为了检验结果的正确性，我们用计算机产生随机数的方式对模型的最优解进行模拟检验，模拟结果与模型求解的结果基本吻合。
最后，我们还对模型进行了误差分析，给出了改进方向，使得模型更容易推广。
关键字：零件参数 非线性规划 期望 方差一、问题重述一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。
零件参数包括标定值和容差两部分。
进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。
若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的３倍。
进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。
这时要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。
数学建模中的参数估计与优化在数学建模中，参数估计和优化是两个重要的步骤。
参数估计是指通过已知的数据和模型，来估计模型中的未知参数的值。
而优化则是通过调整参数的值，使得模型的某个指标达到最优化的目标。
本文将探讨数学建模中的参数估计与优化的方法和应用。
一、参数估计1. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的参数估计方法，它通过最小化观测值与模型预测值之间的残差平方和来估计参数的值。
该方法适用于线性模型和非线性模型。
对于线性模型，最小二乘法的解可以通过求解正规方程组得到；对于非线性模型，可以使用迭代算法如牛顿法或高斯-牛顿法来求解。
2. 极大似然估计极大似然估计是一种基于概率统计的参数估计方法，它通过最大化观测数据出现的概率来估计参数的值。
该方法适用于各种模型，包括线性模型和非线性模型。
对于线性模型，极大似然估计的解可以通过求解正规方程组或使用迭代算法来得到；对于非线性模型，通常需要使用迭代算法来求解。
3. 贝叶斯估计贝叶斯估计是一种基于贝叶斯统计的参数估计方法，它通过先验分布和观测数据的条件概率来估计参数的后验分布。
该方法适用于各种模型，包括线性模型和非线性模型。
贝叶斯估计的求解通常需要使用马尔科夫链蒙特卡洛（MCMC）方法或变分推断等技术。
二、优化1. 单目标优化单目标优化是指通过调整参数的值，使得模型的某个指标达到最优化的目标。
常见的单目标优化方法包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
这些方法适用于连续可导的优化问题。
对于非连续或不可导的优化问题，可以使用遗传算法、粒子群算法等启发式算法来求解。
2. 多目标优化多目标优化是指通过调整参数的值，使得模型的多个指标达到最优化的目标。
常见的多目标优化方法包括多目标遗传算法、多目标粒子群算法等。
这些方法可以得到模型的一组最优解，形成一个非劣解集合。
三、应用案例1. 线性回归模型线性回归模型是一种常见的参数估计和优化问题。
通过最小二乘法估计线性回归模型的参数，可以得到最优的拟合曲线。
一、问题重述1、利用优化设计相关理论计算法，对某设计问题做优化设计。
要求如下：①列出优化数学模型;②选择所用优化算法；③画出程序框图；④程序编写；⑤程序调试运算结果。
现根据以上条件，结合生活实际，准备以铁板为材料设计一鱼缸，为了能使鱼儿有更大的生存空间，要求鱼缸容积最大。
现有边长为5米长的方形铁板，预备在四个角减去四个相等的方形面积，用以制成方形鱼缸，如何减能使鱼缸的容积最大。
二、问题分析2.1、对于此问题，我采用的数学模型包括三部分，即设计变量、目标函数和约束条件。
模型如下：其中，设裁去铁块的边长为：x(0<x<2.5）则鱼缸的容积可表示成函数：y=-x*（5-2*x）^2上述问题则可以描述为：求变量：x使函数：min y=-x*（5-2*x）^2（前加有”负”号，,故所求最大容积为最小y值）...........................................................................（1*）约束条件：0<x<2.5（保证能够做成鱼缸）2.2、本模型采用无约束优化数学模型,运用一位搜索中的0.618法进行最优值求解，通过Visio软件制作流程图，结合MATLAB软件进行编程（因C语言编程多次调试没能成功），plot函数进行绘图分析，最终成功的调试得出运算结果。
三、程序框图四、程序编写及函数图像4.1求极值所用程序如下：function q=line_s(a,b)N=10000;r=0.01;a=0;b=1.5;for k=1:N;v=a+0.382*(b-a);u=a+0.618*(b-a);fv=-25*v+20*v^2-4*v^3;fu=-25*u+20*u^2-4*u^3;if fv>fuif b-v<=rufubreak;elsea=v;v=u;u=a+0.618*(b-a);endelseif u-a<=rv-fvbreak;elseb=u;u=v;v=a+0.382*(b-a);endk=k+1endend4.2 函数曲线图程序如下:如下曲线所得y值为负，前面（1*）已作解释。
零件参数的优化设计摘要本文建立了一个非线性多变量优化模型。
已知粒子分离器的参数y由零件参数兀（, = 1,2…7）决定，参数儿的容差等级决定了产品的成本。
总费用就包括y偏离y。
造成的损失和零件成本。
问题是要寻找零件的标定值和容差等级的最佳搭配，使得批量生产中总费用最小。
我们将问题的解决分成了两个步骤：1.预先给定容差等级组合，在确定容差等级的情况下，寻找最佳标定值。
2.采用穷举法遍历所有容差等级组合，寻找最佳组合，使得在某个标定值下，总费用最小。
在第二步中，由于容差等级组合固定为108种，所以只要在第一步的基础上，遍历所有容差等级组合即可。
但是，这就要求，在第一步的求解中，需要一个最佳的模型使得求解效率尽可能的要高，只有这样才能尽量节省计算时间。
经过对模型以及mat lab代码的综合优化»最终程序运行时间仅为3. 995秒。
最终计算出的各个零件的标定值为：^=（0. 0750, 0. 3750, 0.1250, 0.1200,1. 2919,15. 9904, 0. 5625},等级为:d = B,B,B,C,C,B,B一台粒子分离器的总费用为：421.7878元与原结果相比鮫，总费用由3074. 8 （元/个）降低到421.7878 （元/个），降幅为86.28%，结果是令人满意的。
为了检验结果的正确性，我们用计算机产生随机数的方式对模型的最优解进行模拟检验，模拟结果与模型求解的结果基本吻合。
最后，我们还对模型进行了误差分析，给出了改进方向，使得模型更容易推广。
关键字：零件参数 非线性规划 期望 方差一、问题重述一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的 参数。
零件参数包括标定值和容差两部分。
进行成批生产时，标定值表示一批零 件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许围。
若将零件参数视 为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为 均方差的3倍。
数学建模中的模型优化与参数校准数学建模是解决实际问题的一个重要手段，通过对实际问题进行抽象和建模，可以利用数学方法求解问题并得到结果。
模型的优化和参数校准是数学建模过程中的两个重要的环节，本文将对这两个环节进行详细的探讨。
一、模型优化模型优化是指对已有的模型进行改进，使其更加适合于解决实际问题。
在实际应用中，我们往往会发现原有的模型存在一些缺陷，或者不能满足我们的需求，这时就需要对模型进行优化。
模型优化的方法很多，常用的方法包括参数调整、模型结构调整、数据采集等。
其中，参数调整是最常用的方法之一。
在建立模型时，我们往往需要确定一些参数，这些参数对模型的性能有着重要的影响。
如果模型的参数选择不合适，那么模型的预测结果可能会偏差较大。
因此，在实际应用中，我们需要对模型的参数进行调整，以获得更好的预测效果。
模型参数的调整通常有两种方法，一种是手动调节，另一种是自动调节。
手动调节的方式需要根据实际经验和知识对参数进行调整，这种方法虽然简单，但存在人为主观性较强的问题。
自动调节的方式则通过计算机算法自动调整模型参数，可以较好地解决人为主观性较强的问题，并且可以快速找到最优的参数组合，提高模型的预测精度。
另外，模型结构调整也是模型优化的一个重要方法。
模型的结构可以根据实际问题进行调整，例如，可以增加一些变量来改进模型的预测效果。
此外，数据采集也是模型优化的一个重要环节，通过增加更多的数据可以提高模型的预测精度，但同时也需要保证数据的质量和可靠性。
二、参数校准参数校准是指对模型中的参数进行调整，使得模型更加符合实际情况。
在实际应用中，我们往往需要将模型对实际问题进行预测，而模型中的参数是根据历史数据确定的，这些参数未必完全适用于实际问题。
因此，我们需要对模型中的参数进行校准，以获得更准确的预测结果。
参数校准通常需要依赖于实验数据，通过实验数据对模型中的参数进行调整，以获得更符合实际情况的模型。
参数校准的方法很多，常用的方法包括随机搜索、改进的遗传算法、模拟退火算法等。
优化设计数学模型在数学建模中，优化设计是指通过数学方法和技巧对给定的问题进行优化求解，以获得最优解或近似最优解的过程。
优化设计在实际问题中有着广泛的应用，如制定最佳生产计划、优化调度问题、设计最佳投资组合等。
本文将探讨优化设计的几个关键要点，并结合实例进行说明。
首先，一个优秀的数学模型应该具备良好的可解性。
可解性是指模型是否能够通过有效的数学方法求解，并在可接受的时间内得到结果。
在优化设计中，常用的数学方法包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划等。
在实际问题中，选择合适的数学方法对问题进行建模非常重要。
例如，在制定最佳生产计划时，如果生产过程满足线性规划的条件，我们可以通过线性规划模型来求解最优解。
如果涉及到离散决策变量，可以使用整数规划模型。
通过选择合适的数学方法，可以提高模型的可解性，并获得较好的优化结果。
其次，优化设计中的数学模型应该具备较好的可靠性。
可靠性是指模型是否能够在不同条件下对问题进行准确的预测和分析。
在实际问题中，我们常常需要考虑各种不确定性因素，如生产时间波动、需求波动等。
为了提高模型的可靠性，我们可以引入风险管理和灵敏度分析等方法。
风险管理可以通过引入概率论和统计学的方法来分析不确定因素对结果的影响，从而减少风险并提高决策的可靠性。
灵敏度分析可以通过对模型中参数的变动进行分析，评估参数变化对结果的影响程度，并确定哪些参数对结果影响较大。
通过引入风险管理和灵敏度分析等方法，可以提高模型的可靠性，并为实际决策提供科学依据。
此外，一个优化设计的数学模型应该具备良好的可解释性。
可解释性是指模型能够以直观和易懂的方式表达实际问题，并将问题的本质和关键信息明确地传递给决策者。
在实际问题中，决策者常常需要根据模型的结果做出决策。
如果模型的结果无法被决策者所理解和接受，那么模型对于实际决策的指导作用就会大打折扣。
为了提高模型的可解释性，我们可以采用可视化技术、图形展示等方法来呈现模型的结果。
机械系统优化设计中的数学建模方法在机械工程领域，优化设计是一个非常重要的环节。
通过优化设计，可以提高机械系统的性能，降低成本，提升效率。
而数学建模方法则是实现优化设计的关键。
本文将介绍机械系统优化设计中常用的数学建模方法，并探讨其应用。
一、参数化建模方法参数化建模方法是机械系统优化设计中最常用的方法之一。
该方法通过对机械系统的各个部件进行参数化描述，将设计问题转化为参数的优化问题。
在参数化建模中，可以使用几何参数、物理参数、材料参数等来描述机械系统的特性。
通过对这些参数进行调整和优化，可以实现对机械系统性能的优化。
例如，在汽车发动机的设计中，可以将发动机的气缸直径、行程、压缩比等参数进行参数化建模。
通过对这些参数进行优化，可以实现发动机功率的最大化，燃油消耗的最小化等目标。
二、仿真建模方法仿真建模方法是机械系统优化设计中另一个常用的方法。
该方法通过建立机械系统的数学模型，并进行仿真分析，评估系统的性能。
在仿真建模中，可以使用有限元方法、多体动力学方法、流体力学方法等来描述机械系统的行为。
例如，在飞机机翼的设计中，可以使用有限元方法对机翼的结构进行建模，并进行强度分析、刚度分析等。
通过仿真分析，可以评估机翼的结构是否满足设计要求，是否存在应力过大、刚度不足等问题。
三、优化算法方法优化算法方法是机械系统优化设计中的核心方法之一。
该方法通过使用数学优化算法，对机械系统的设计参数进行搜索和优化。
常用的优化算法包括遗传算法、粒子群算法、蚁群算法等。
例如，在风力发电机的设计中，可以使用遗传算法对发电机的叶片长度、扭矩系数等参数进行优化。
通过优化算法的搜索和优化，可以实现发电机的功率最大化，效率的提高等目标。
四、多目标优化方法多目标优化方法是机械系统优化设计中的一种高级方法。
该方法通过考虑多个目标函数，对机械系统进行综合优化。
在多目标优化中，可以使用权衡法、Pareto前沿等方法来进行多目标决策。
例如，在电动汽车的设计中，可以将电池容量、续航里程、充电时间等多个目标函数进行优化。
数学建模零件参数的优化设计数学建模是将实际问题转化为数学问题，并通过建立数学模型来解决问题的一种方法。
在工程设计中，零件参数的优化设计是一个重要的任务，可以通过数学建模的方法进行研究和实践。
本文将介绍零件参数的优化设计以及数学建模在此领域的应用。
零件参数的优化设计是指在给定的条件下，通过调整零件的各项参数，达到最佳的设计效果。
这个问题本质上是一个多目标优化问题，需要同时考虑多个设计指标。
在进行零件参数的优化设计时，需要明确设计的目标和约束条件。
设计目标可以是多个，如重量最小化、强度最大化、成本最小化等等。
约束条件包括几何尺寸限制、材料性能要求等。
在实际应用中，设计目标和约束条件可能是相互矛盾的，需要在这些限制下寻找一个最佳的设计方案。
数学建模在零件参数的优化设计中起到重要的作用。
通过将零件设计问题转化为数学模型，可以用数学的语言描述问题，并使用数学方法求解最优解。
常用的数学建模方法包括优化算法、数值计算、统计分析等。
下面将介绍几种常用的数学建模方法。
首先是优化算法。
优化算法是找到最优解的一种常用方法。
常见的优化算法有遗传算法、模拟退火算法、粒子群优化算法等。
通过适当选择优化算法，并调整算法参数，可以找到最佳的设计方案。
其次是数值计算方法。
数值计算方法可以通过计算机模拟来分析和评估设计方案的性能。
例如，通过有限元分析，可以计算零件的应力分布，并根据应力分布来评估零件的强度。
在进行数值计算时，需要构建合适的数学模型，并选择合适的数值方法进行求解。
另外，统计分析也是零件参数优化设计中常用的数学建模方法之一、通过对实验数据的收集和分析，可以得到零件参数与性能之间的关系。
然后，可以使用统计方法来优化零件参数，以达到最优的设计效果。
综上所述，数学建模在零件参数的优化设计中起到重要的作用。
通过建立数学模型，可以将设计问题转化为数学问题，并使用数学方法求解最优解。
优化算法、数值计算方法和统计分析是常用的数学建模方法。
数学建模中的数据优化思路数据优化是数学建模中必不可少的一环。
无论是在统计分析还是模型构建过程中，都需要通过对数据进行分析、预处理和调整等过程来优化所获取数据的准确度、完整度和可用性。
本文将重点探讨在数学建模中如何通过数据优化来提升建模的精度和可靠性。
一、数据的收集和处理在进行数据优化之前，首先需要准确地收集、整理和处理数据。
数据的收集可以通过各种手段，比如问卷、采访、观测、实验等方式进行。
此外，数据一般包含多种类型，如时间序列数据、空间数据、分类数据等，需要进行预处理来将其转化为模型可用的形式。
在这一过程中，需要注意避免数据采样偏差、缺失值、异常值等问题，并进行数据的可视化分析和统计描述，以便更好地理解和利用数据。
二、建模方法与数据优化对于数据进行优化之后，需要根据所建模型的性质和任务需求选择合适的建模方法。
以回归模型为例，不同的回归方法适用于不同的数据类型和回归目标。
线性回归方法常用于连续数据的预测，而逻辑回归则用于分类数据的二元预测。
此外，还有非线性回归、因子分析、主成分分析等多种方法可供选择。
在选择建模方法时，需要考虑到模型的优化目标、数据的特征和可用性以及可解释性等多个因素。
三、模型参数和精度调整建立好模型之后，需要进行模型精度调整和参数优化过程。
模型的精度可以通过各种指标进行评价，如平均误差、方差、均方误差、决定系数等。
在模型参数优化过程中，可以采用交叉验证、网格搜索等技术来找到最适参数组合，并进行参数敏感性分析来确定哪些参数对模型影响最大。
四、模型解释和应用最后，需要对模型进行解释和应用。
模型解释可以通过各种方法来实现，如权重系数分析、决策树分析、聚类分析等，以帮助分析者理解和解释模型输出。
应用方面，可以利用模型的预测力来进行决策和改进，或进行其他相关应用。
同时也要注意模型的可靠性和鲁棒性，比如进行模型稳健性分析以评估模型在不同数据集和环境下的表现。
总之，数据优化是数学建模中不可或缺的一环。
漏斗的优化设计课题：用一块半径为R 的圆形铁皮制作成正圆锥形漏斗，需要在圆形铁皮上先截去一个扇形，然后将所得的扇形的两个半径边缘设法接好锋，试通过建立数学模型分析处所截取扇形的中心角是多大，才能使得所制成的漏斗的容积达到最大？进而求出这最大容积。
相关知识背景：现实生活中所见到的漏斗形状分很多种：（圆柱形漏斗） （梨形漏斗） （球形漏斗）（锥形漏斗）模型假设：（1） 设圆形铁皮半径长为 R ，（2） 设所剪掉的小扇形圆心角为a 度,（3） 设焊成圆锥形漏斗的圆面半径为r,周长为c（4） 设圆锥形漏斗的高为h.（5） 漏斗底部的小出口忽落不计，漏斗形状近似圆锥。
如图：模型建立：（1）漏斗的容积计算需要用到圆锥的体积计算公式 即：213V r h π= (2)求圆锥的底面半径r 由36022360a c R r ππ︒︒-=⋅=得到360360a r R ︒︒-=⋅ 求解h ：在直角三角形SOA 中，OA=r,SA=R ，22360360a h R r ︒︒-=-=２２２２（ ）ＲＲ－ （）360a a ︒︒-２２（７２０ ）Ｒ＝ （）求圆锥形漏斗容积V231313603360360360(720)3(360)V r h a a a a a aπππ︒︒︒︒︒︒︒=--=⋅⋅-⋅⋅-⋅=⋅２２２２２２3（ ）Ｒ（７２０ ）Ｒ （）（）（ ）Ｒ 模型求解：为使V 取到最大值，只需使360(720)a a a ︒︒-⋅-⋅２（ ）式达到最大值，设为y, 即360(720)a a a ︒︒-⋅-⋅２y=（ ）则333(360)R V y π︒⋅=⋅⋅对y 进行平方可得 2222360(720)][720](720)a a a a a a a ︒︒︒︒︒-⋅-⋅=-⋅+⋅⋅-2２2y =[（ ）（360）用换元法设 2720a a Q ︒⋅-=2(0,360)(0,(360))a Q ︒︒︒︒∈∴∈22[][][]y Q Q Q Q Q︒︒︒∴=-⋅=-⋅-⋅222（360）（360）（360）[][]22Q Q Q ︒︒-⋅-⋅=22（360）（360） 根据：当,,0a b c >时，33()33a b c a b c abc abc ++++≥⇒≤ 当且仅当a b c ==时，abc 取到最大值。
数学数学建模中的优化问题标题：数学建模中的优化问题引言：数学建模是一门综合性强的学科，它将数学与实际问题相结合，通过建立数学模型来解决实际问题。
在数学建模的过程中，优化问题是一类常见且重要的问题类型。
优化问题的求解可以帮助我们在各个领域中找到最优解答，提高效率和质量。
本教案将重点讨论数学建模中的优化问题。
一、优化问题的基本理论1. 优化问题的定义与分类：- 定义：优化问题是求函数在指定约束条件下的最大值或最小值。
- 分类：分为无约束优化问题和有约束优化问题。
2. 常见的优化方法：- 极值判定法：通过求导数确定函数的极值点。
- 线性规划方法：利用线性规划模型求解最优解。
- 非线性规划方法：利用数值方法求解非线性规划问题。
- 动态规划法：将问题划分为多个阶段，通过求解子问题的最优解来求解整体问题。
- 遗传算法：模拟生物进化过程，通过选择、交叉和变异等操作搜索最优解。
二、数学建模中的优化问题1. 生产优化问题：- 问题描述：如何在生产过程中合理分配资源，使得产量最大或成本最低。
- 解决方法：建立生产模型，考虑资源限制和生产效率，通过优化方法求解最优解。
2. 路径规划问题：- 问题描述：如何在地图上找到最短路径或最快路径。
- 解决方法：建立路径规划模型，考虑道路状况和交通流量，通过优化方法求解最优路径。
3. 资源分配问题：- 问题描述：如何在有限资源下最优地分配给需求方。
- 解决方法：建立资源分配模型，考虑资源供需关系和约束条件，通过优化方法求解最优分配方案。
4. 调度优化问题：- 问题描述：如何安排任务的顺序和时间，最大程度地提高效率。
- 解决方法：建立调度模型，考虑任务时间限制和资源约束，通过优化方法求解最优调度方案。
5. 参数优化问题：- 问题描述：如何寻找函数参数的最优取值，使得函数拟合实际情况。
- 解决方法：建立参数优化模型，将问题转化为目标函数的最优化问题，通过优化方法求解最优参数。
三、教学设计与实施1. 知识导入：- 通过实际案例介绍优化问题的应用领域和意义。
数学建模零件参数的优化设计IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】零件参数的优化设计摘要本文建立了一个非线性多变量优化模型。
已知粒子分离器的参数y由零件参数)72,1 (=ixi 决定，参数ix的容差等级决定了产品的成本。
总费用就包括y偏离y0造成的损失和零件成本。
问题是要寻找零件的标定值和容差等级的最佳搭配，使得批量生产中总费用最小。
我们将问题的解决分成了两个步骤：1.预先给定容差等级组合，在确定容差等级的情况下，寻找最佳标定值。
2.采用穷举法遍历所有容差等级组合，寻找最佳组合，使得在某个标定值下，总费用最小。
在第二步中，由于容差等级组合固定为108种，所以只要在第一步的基础上，遍历所有容差等级组合即可。
但是，这就要求，在第一步的求解中，需要一个最佳的模型使得求解效率尽可能的要高，只有这样才能尽量节省计算时间。
经过对模型以及matlab代码的综合优化，最终程序运行时间仅为秒。
最终计算出的各个零件的标定值为：ix={,,,,,,},等级为：BBCCBBBd,,,,,,=一台粒子分离器的总费用为：元与原结果相比较，总费用由（元/个）降低到（元/个），降幅为%，结果是令人满意的。
为了检验结果的正确性，我们用计算机产生随机数的方式对模型的最优解进行模拟检验，模拟结果与模型求解的结果基本吻合。
最后，我们还对模型进行了误差分析，给出了改进方向，使得模型更容易推广。
关键字：零件参数非线性规划期望方差一、问题重述一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。
零件参数包括标定值和容差两部分。
进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。
若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的３倍。
进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。
这时要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。
试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。
粒子分离器某参数（记作y ）由7个零件的参数（记作x 1,x 2,...,x 7）决定，经验公式为：y 的目标值（记作y 0）为。
当y 偏离y 0+时，产品为次品，质量损失为1,000元；当y 偏离y 0+时，产品为废品，损失为9,000元。
零件参数的标定值有一定的容许范围；容差分为Ａ、Ｂ、Ｃ三个等级，用与标定值的相对值表示，Ａ等为+1%，Ｂ等为+5%，Ｃ等为+10%。
7个零件参数标定值的容许范围，及不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号／表示无此等级零件）：现进行成批生产，每批产量1,000个。
在原设计中，7个零件参数的标定值为：x 1=,x 2=,x 3=,x 4=,x 5=,x 6=16,x 7=;容差均取最便宜的等级。
请你综合考虑y 偏离y 0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少？二、模型假设1、将各零件参数视为随机变量，且各自服从正态分布；2、假设组成离子分离器的各零件互不影响，即各零件参数互相独立；3、假设小概率事件不可能发生，即认为各零件参数只可能出现在容许范围内；4、在大批量生产过程中，整批零件都处于同一等级，。
本题可认为1000各零件都为A 等、B 等或C 等；5、生产过程中出质量损失外无其他形式的损失；6、在质量损失计算过程中，认为所有函数都是连续可导的。
三、符号说明i x ：第i 类零件参数的标定值（i=1,2……7）；i x ∆：第i 类零件参数的实际值相对目标值的偏差（i=1,2……7）；i r ：第i 类零件参数的容差（i=1,2,……7）；i σ：第i 类零件参数的方差（i=1,2,……7）；i i b a ,：标定值i x 的上、下限；y ：离子分离器某参数的实际值；y：离子分离器该参数的目标值；y：离子分离器某参数的均值；y∆：离子分离器某参数的实际值y相对平均值y的偏差；σ：离子分离器某参数的方差；yP:一批产品中正品的概率；1P:一批产品中次品的概率；2P:一批产品中废品的概率；3W：一批产品的总费用（包括损失和成本费）；C：第i类零件对应容差等级为j的成本（j=A,B,C）单位：元/个。
ij四、问题分析布，联想正态分布的性质——当各变量均服从正态分布时，其线性组合也服从正态分布。
题中所给经验公式为一复杂的非线性的公式，无法直接对其分析处理，所以需借助泰勒公式将其展开并作相应处理使其线性化。
而对于零件成本，需先确定容差等级才能求得成本费。
由容差等级和各类零件的标定值i x 便可知道给类零件的容差i r 。
最后，便将问题转化为i x 、i r 关于总目标函数的最优解的问题上。
在进行零件参数设计时，如果零件设计不妥，造成产品参数偏离预先设定值，就会造成质量损失，且偏差越大，损失也越大；零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小（即精度越高）零件成本越高。
合理的设计方案应既省费用又能满足产品的预先设定值，设计方向应该如下：（1）设计的零件参数，要保证由零件组装成的产品参数符合该产品的预先设定值，即使有偏离也应是在满足设计最优下的容许范围。
（2）零件参数（包括标定值和容差等级）的设计应使总费用最小为优。
此外分析零件的成本及产品的质量损失不难发现，质量损失对费用的影响远大于零件成本对费用的影响，因而设计零件参数时，主要考虑提高产品质量来达到减少费用的目的。
五、模型建立为了确定原设计中标定值（x i i (,,,)=127 的期望值）及已给的容差对产品性能参数影响而导致的总损失W ，即确定y 偏离目标值y 0所造成的损失和零件成本，先列出总损失的数学模型表达如下：当然，为了确定总损失W ，必须知道1P 、2P 、3P （即正品、次品及废品的概率）。
为此，将经验公式用泰勒公式在)72,1( ==i x X i 处展开并略去二次以上高次项后来研究y 的概率分布，设y x f =)(，则将标定值)72,1( =i x i 带入经验公式即得 所以 i i ix x fy y y ∆∂∂=-=∆∑=71 由于在加工零件时，在标定值知道的情况下，加工误差服从正态分布，即 且i x ∆相互独立，由正态分布性质可知 由误差传递公式得 22712712)()()(i i i i ii i i yx x x f x f σσσ∑∑==∂∂=∂∂= （1）由于容差为均方差的3倍，容差与标定值的比值为容差等级，则 y 的分布密度函数为y 偏离1.00±y 的概率，即次品的概率为⎰⎰+=8.16.14.12.12)()()()(y d y y d y P ϕϕ （2）y 偏离3.00±y 的概率，即废品的概率为⎰⎰+∞∞-+=8.12.13)()()()(y d y y d y P ϕϕ （3）由于y 偏离0y 越远，损失越大，所以在y σ固定时，调整y 使之等于目标值0y 可降低损失。
取0y y y -=∆即0y y =，则)(t φ为标准正态分布函数。
综合考虑y 偏离y 0造成的损失和零件成本，设计最优零件参数的模型建立如下： 目标函数min )90001000(10003271P P C W i ij ++⨯=∑=. )72,1( =≤≤i a x b ii i六、模型求解初略分析对于原给定的设计方案，利用matlab编程计算（见附录），计算结果如下：由于按原设计方案设计的产品正品率过低，损失费过高，显然设计不够合理。
进y=太远，致使损失过大。
尽管原设计方案保一步分析发现，参数均值y=偏离目标值证了正本最低，但由于零件参数的精度过低，导致正品率也过低。
所以我们应综合考虑成本费和损失费。
模型的实现过程：本模型通过matlab进行求解，我们通过理论模型求解和随机模拟的求解过程如下：在给定容差等级的情况下，利用matlab中求解非线性规划的函数fmincon，通过多次迭代求解，最终求得一组最优解。
最初，我们设定的fmincon函数的目标函数就是总费用，约束条件为各个标定值的容许范围，以及各零件标定值带入产品参数表达y，即。
然而，在迭代过程中我们发现，求解过程十分慢，在给定容差等级的式应为确定的情况下，计算最优标定值需要将近400秒，如果在此基础上对108种容错等级进行穷举查找最优组合，将需要大概12小时。
显然这是不合理的。
因此，我们在仔细对matlab实现代码研究发现，求解过程之所以慢，是因为代码中存在多次调用求偏导和积分的函数，在fmincon的多次迭代中，耗费大量时间。
所以，为了提高求解速度，我们首先利用matlab中diff函数对产品参数中的各个表达式进行求偏导，然后得到多个带参表达式，利用int函数对y的概率密度函数进行积分，分别得到出现次品和废品概率的表达式，然后将这些表达式写进程序里，这样在求解过程中就不需要在每一次迭代中都要求偏导和积分了，修改后的程序运行时间大大减少。
程序流程图模型检验对设计方案进行动态模拟，由于每种零件参数均服从正态分布，用正态分布随机数发生器在每种零件参数允许范围内产生1000个随机数参与真实值i x 的计算随机模拟N 次后结果如下：根据最优解的y =，y σ=画出y 的概率分布图，再对x 随机取样画出y 的概率分布图（见图），由图可知：两组数据所画概率分布图的拟合度相当高，进一步确保了模型的正确性。
图概率分布图对比图通过以上数据，与原设计方案所得结果相比较，总费用由（元/个）降低到（元/个），降幅为%，结果是令人满意的。
七、误差分析1、在建模过程中，通过泰勒公式将)(X f y =展开并略去二次及以上项使线性化，不可避免地产生了截断误差，所以展开后的式子只是原经验公式的近似关系式。
但在一般情况下，线性化和求总和在实用上具有足够的精度，所以由于函数线性化而略去的高次项可以忽略不计。
在函数关系式较复杂的情况下，将其线性化更具有明显的优势。
2、本模型忽略了小概率事件发生的可能，认为零件的参数只可能出现在允 范围内，即[]i i i i x x σσ3,3+-。
现实中，小概率事件仍有发生的可能性，但在大批量生产中，小概率事件的发生对最终结果没有影响，所以可以忽略。
3、该模型对于质量损失的计算，将所有函数都看作连续函数，而这对于每 个零件参数而言是不可能的，所以其中也会产生误差。
八、模型的评价及推广1.优点（1）建模过程中，采用泰勒公式将经验公式简化，并假设各零件参数都服从满足大量数据的正态分布，使得整个模型的建立及求解得到大大简化。
