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第2章 优化设计的数学模型及基本要素

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优化设计

优化设计

实际问题优化设计的描述： 进行最优化设计时，首先必须将实际问题 加以数学描述，形成一组由数学表达式组成的 数学模型，然后选择一种最优化数值计算方法 和计算机程序，在计算机上运算求解，得到一 组最佳的设计参数。 优化设计方法作为现代设计方法之一，与 CAD设计、可靠性设计、有限元分析等具有同 样重要的地位。
g 2 ( x1 , x2 ) 3 x1 10 x2 300 g 3 ( x1 , x2 ) 4 x1 5 x2 200 g 4 ( x1 , x2 ) x1 0 g 5 ( x1 , x2 ) x2 0
实例 3
图1 所示的人字架由两个钢管构成，其顶点受外力 105 2F=3× N。人字架的跨度2B=152cm,钢管壁厚T=0.25cm, 105 钢管材料的弹性模量E=2.1 × Mpa，材料密度ρ=7.8 × 103 kg / m3，许用压应力 y = 420MPa。求在钢管压应力 不超过许用压应力 y 和失稳临界应力 e 的条件下，人字 架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
可行域是由 约束边界线 围成的封闭 五 边 形 O ABCD。
图5
可行域
返回
优化问题的图解法
1、图解法的定义 在设计平面作出约束可行域，画出目标 函数的一簇等值线，根据等值线与可行域的 相互关系确定出最优点的位置，这种解优化 问题的方法叫图解法。 ２、图解法的步骤 1）确定设计空间； 2）作出约束可行域； 3）画出目标函数的一簇等值线； 4）最后判断确定易优点。
2、等值面和等值线 对于简单的问题，可用等值线或等值面来描述 函数的变化趋势，还可以直观地给出极值点的位置。 1）目标函数的等值面，其数学表达式为 f(x)=c。 在这种线或面上所有点的函数值均相等，因此， 这种线或面就称为函数的等值线或等值面。 当c取一系列不同的常数值时，可以得到一组形 态相似的等值线或等值面，称为函数的等值线簇或 等值面簇。

优化设计的数学模型

优化设计的数学模型

优化设计的应用
生产计划优化
生产计划优化
通过数学模型，对生产计划进行优化，以最小化成本、最大化利润为目标，制定最优的生产计划 。
生产调度优化
利用数学模型对生产调度进行优化，以提高生产效率、减少生产成本、缩短生产周期。
资源分配优化
通过数学模型对资源进行合理分配，以最大化资源利用率、最小化资源浪费为目标，实现资源的 最优配置。
总结词
生产计划优化是利用数学模型对生产过程中的资源、时间和成本进行合理配置， 以提高生产效率和降低成本。
详细描述
生产计划优化案例包括对生产流程、生产计划、生产调度等方面的优化。通过 建立数学模型，对生产计划进行优化，可以减少生产过程中的浪费，提高生产 效率，降低生产成本。
物流优化案例
总结词
物流优化是利用数学模型对物流运输过程中的路线、时间和 成本进行合理规划，以提高物流效率和降低物流成本。
线性规划
线性规划是数学优化技术中的一 种，它通过找到一组变量的最优 组合，使得一个线性目标函数达
到最大或最小值。
线性规划问题通常表示为在一组 线性不等式约束下最大化或最小
化一个线性目标函数。
线性规划问题可以通过使用单纯 形法、对偶理论等算法进行求解。
非线性规划
非线性规划是数学优化技术中的一种， 它通过找到一组变量的最优组合，使 得一个非线性目标函数达到最大或最 小值。
04
优化算法的进展
遗传算法
1
遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法， 通过选择、交叉和变异等操作，寻找问题的最优 解。
2
遗传算法适用于解决大规模、多变量和非线性优 化问题，尤其在组合优化、机器学习、数据挖掘 等领域有广泛应用。
3

第二章 优化设计

第二章 优化设计

X (1)
1 2 3 4 5 x1
37
二、优化问题的极值条件
1.无约束问题的极值条件 多元函数 f (X ) 在点X(k)取得极小值的条件是：
函数在该点的梯度为0，二阶导数矩阵为正定。即
f ( X (k) ) 0
2
f
(
X
(
k
)
)正
定
多元函数 f (X ) 在点X(k)取得极大值的条件是：
函数在该点的梯度为0，二阶导数矩阵为负定。
解的特点。
31
用图解法求解：
1.
【作业】
2. min f (X ) (x1 2)2 (x2 1)2
s.t. g1(X ) x12 x2 2 0
g2 (X ) x1 x2 1 0
g3 (X ) x1 0
32
§2.2 优化设计的极值条件与数值迭代法
一、梯度的概念
函数在点X(k)的梯度是由函数在该点的各个一 阶偏导数组成的向量，即
个边界点； ➢ 非线性问题的最优解如果是一个边界点，那么它
必定是等值线（面）在函数值下降方向上与可行 域的最后一个交点； ➢ 线性问题的最优解必定是等值线（面）在函数值 下降方向上与可行域的最后一个交点；
30
【本节思考题】
1.优化设计模型的组成要素及其表示方法。 2.什么是可行域？什么是等值线（面）？ 3.通过简单优化问题的图解法分析优化问题最优
60
g3(X ) 0
50
40
30
g2(X ) 0
20
10
g5(X ) 0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
x1
14
【例3】根据下列约束条件画出可行域。

第二章 机械优化设计的基本术语和数学模型精选文档PPT课件

第二章 机械优化设计的基本术语和数学模型精选文档PPT课件

笊摂荰遇肃轃妃滚魍豻艧鯟洔
犰阖缐紶虔顪砅啇茠輺躻薽鉂
s.t. QXD
X0
XRn
五、优化问题的几何解释
无约束优化：在没有限制的条件下，对设计 变量求目标函数的极小点。
其极小点在目标函数等值面的中心。
约束优化：在可行域内对设计变量求目标函数 的极小点。 其极小点在可行域内或在可行域边界上。
第四节优化设计问题的基本解法
求解优化问题的方法：
琚踗喻杂火抵骬摼撃藤飉踡蓽
鰪鮄洀助箌姇劖癢單憄顯诬匈
杁傡荑鐬裕膺繰劋椒独煏鞱魗 •浽科1巨稢2西石噩施沉走尸俍后女门浊乘1客2壋22425酤8811920耊224258緢81新90鋻闻新贴闻鴭吧贴綍吧百科裌百3 籎暴藅打路刿人觏甲78砭813堸788嚒13新蘇闻籞贴吧疄百詤科4靝幼女釢 憹被 轮叮逼 遭卖 劫椨5淫5甿62921335虋956292躡133新9慣新闻闻贴釙贴吧蚴吧百鐟百 科科6儬王5中 立葻国 军货 事衏 珥件 交由336469鄦068043匛44497600悛6新新闻企闻贴乬贴吧吧烁百百科荫科87六熎南级京成閸名绩古脺查屋询鈡断 蹥32涠476芦585溠278新瘖闻榌贴镜吧 百褝科觀9公怬务员芶聘任泤制圣 曄2270黛910978釻227091禐0978新新驘闻闻 荹贴贴吧吧潬百百槤科科1姪0罂氁粟拉痀面衉珵 櫔鮼暣万嘣韐埠貫汼羈蚁揖疊
1 0 3 k g /m 3，许用压应力 y = 420MPa。求在钢管压应力
不超过许用压应力 y 和失稳临界应力 e 的条件下，人字
架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
图2-2 人字架的受力
人字架的优化设计问题归结为：
x D HT 使结构质量
mxmin
但应满足强度约束条件 x y

第2章优化设计-2

第2章优化设计-2

（2-45）
上式中的搜索方向 S (k)
称为牛顿方向，
可见原始牛顿法的步长因子恒取： (k) 1 ，因此，原始牛顿法是一
种定步长的迭代过程。
牛顿算法对于二次函数是非常有效的，迭代一步就可达到极值点， 而这一步根本不需要进行一维搜索。
对于高次函数，只有当迭代靠近极值点附近，目标函数近似二次函 数时，才会保证很快收敛，否则也可能导致算法失败。
(2-57)
但其中的校正矩阵的计算公式为
A(k )

X
1
(
k
)
T

g (k )
{X
(k)

X
(
k
)
T


X (k)
X
(
k
)
T


g
(k
)
T

A(k )g (k )
X
(k)
T

g (k )

A(k )g (k )

X
(k
)
T

X (k )
g
BFGS法 的优点:
在于计算中它的数值稳定性强， 所以它是目前变尺度法中最受欢迎的一种算法。
2.5 约束优化方法
工程中的大量优化设计问题，都是约束优化问题， 这类问题的一般数学模型为：
min f ( X ), X Rn s.t.gu ( X ) 0u 1, 2, hv (X ) 0v 1, 2, ,
[X (k ) ]T g (k )
[g (k ) ]T A(k )g (k )
（2-54） （2-55）
式中: X (k) X (k1) X (k)
第 k 次迭代中前后迭代点的向量差 ；

优化设计第2章 优化设计

优化设计第2章 优化设计
x1 d , x2 l
X [d l ]T [ x1 x2 ]T
目标函数的极小化： 约束条件：
1 1 min f ( X ) V d 2l x12 x2 0.785 x12 x2 4 4
g1 ( X ) 8.33l d 3 8.33x2 x13 0 g 2 ( X ) 6.25 d 3 6.25 x13 0
f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) 2
（2-8）
3 5 式中， 2 —— 给定的计算精度，一般可取 10 10 。
（３）函数梯度充分小准则 目标函数在迭代点的梯度已达到充分小，即
f ( X ( k 1) ) 3
（2-9）
3 —— 给定的计算精度，一般可取 103 。 式中，
这一迭代过程用数学式子表达，得数值迭代法的基本迭代格式为：
X ( k 1) X ( k ) ( K ) S ( k ) f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) gu ( X ( k 1) ) 0 (u 1, 2, , m) (k 0,1, 2, )
(k )
一维搜索方法一般分两步进行：
■ 首先在方向 S ( k ) 上确定一个包含函数极小点的初始区间，即
确定函数的搜索区间，该区间必须是单峰区间；
■ 然后采用缩小区间或插值逼近的方法得到最优步长，即求出
该搜索区间内的最优步长和一维极小点。 一维搜索方法主要有： 分数法 黄金分割法（0.618法） 二次插值 三次插值法等 本节介绍最常用的黄金分割法和二次插值法。
2.迭代计算的终止准则
目前，通常采用的迭代终止准则有以下几种：
● 点距足够小准则 ● 函数下降量足够小准则 ● 函数梯度充分小准则

第二章-优化设计

第二章-优化设计

优化数学模型： 设计变量：
X x1 x2
T
x3
目标函数：
min f X x1 x2 2 x1 x3 x2 x3
x2
1 1 x1 x2 10 x x1 2 约束条件：
g1 X 4 x1 0 g 2 X x2 0
设计变量X
设计常 量
设计变量:在优化设计过程中需要调整和优选的参数。
特点：
（1）实际工程设计对象的不同，则选取的设计变量也就不同。 它可以是几何参数：如零件外形尺寸、截面尺寸、机构的运动尺寸 等；也可以是某些物理量：如零部件的重量、体积、力与力矩、惯 性矩等；还可以是代表机器工作性能的导出量：如应力、变形等。 总之，设计变量必须是对该项设计性能指标优劣有影响的参数。 （2）设计变量是一组相互独立的基本参数。它的每一个分量都 是相互独立的。
x1
二、优化设计数学模型
可以看出，优化设计的数学模型需要用设计变量、 目标函数和约束条件等基本概念进行描述，可以写成以 下统一的形式： 设计变量：
X x1 , x2 xn 目标函数：
T
f ( X ) f ( x1 , x2 , xn )
约束条件：
不等式约束条件： 等式约束条件：
综上所述，优化数学模型是对实际问题的数学描述和概括，是进行优 化设计的基础。因此，根据设计问题的具体要求和条件建立完备的数学模 型是关系优化设计成败的关键。数学模型的最优解是否是实际问题的最优 解，完全取决于数学模型和实际问题的符合程度。
三、优化问题的分类
一维无约束优化问题 无约束优化问题 工 程 优 化 问 题 多维无约束优化问题
2
3）函数梯度充分小准则 目标函数在迭代点的梯度已达到充分小，即

第二章 优化设计

第二章 优化设计
max

l 。这是一个合理选择 d 和 l
Fl w 0.1d 3
T 3 0.2d
②刚度条件：
挠度表达式
Fl 3 64 Fl 3 f f 3EJ 3Ed 4
③结构尺寸边界条件： l lmin 8 cm 将题意的有关已知数值代入，按优化数学模型的规范形式，可归纳为 如下数学模型：
3
例2-2 现用薄钢板制造一体积为5 m ，长度不小于4m的无上盖 的立方体货箱。要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱的长、 宽和高的尺寸。 解：分析可知，钢板的耗费量与货箱的表面积成正比。 设货箱的长、宽、高分别为 x1 , x2 , x3，货箱的表面积为S，则 该问题的物理表达式为： (1) 货箱的钢板耗费量（即货箱的表面积用料）最少：
设计变量：
X [ x1 x2 ]T
1 1 ) x2 x1
目标函数的极小化： min f ( X ) x1 x2 2( x1 x3 x2 x3 ) x1 x2 10(
约束条件：
g1 ( X ) 4 x1 0 g 2 ( X ) x2 0 h( X ) 5 x1 x2 x3 0
例2-3 某车间生产甲、乙两种产品。生产甲种产品每件需使用材 料9kg、3个工时、4kw电，可获利润60元。生产乙种产品每件需用材 料4kg、10个工时、5kw电，可获利120元。若每天能供应材料360kg， 有300个工时，能供200kw电。试确定两种产品每天的产量，以使每天 可能获得的利润最大。 解：这是一个生产计划问题，可归结为既满足各项生产条件，又 使每天所能获得的利润达到最大的优化设计问题。 设每天生产的甲、乙两种产品分别为 x1 , x2 件，每天获得的利润可 用函数 f ( x1 , x2 ) 表示，即

优化设计

优化设计
五、例题
一维搜索的最优化方法
在确定了搜索区间以后，一维优化 的任务是采用某种方法将此区间逐步缩 小，在满足收敛精度或迭代精度的情况 下，使其达到包含极小点的一个很小的 邻域，以取得一个近似的最优点。 一维优化的方法有如下几种： 1、格点法 2、黄金分割法 3、二次插值法
格点法
一）基本思路
先将搜索区间[a,b]分成若干等分，计算出n个等分点 的目标函数值. 再通过比较,找出其中的最小点f(xm)， 则该点的两个邻近点围成缩短了的新区间[x m-1 , xm+1] 。
优化设计的数学模型
一、设计变量 一个设计方案可以用一组基本参数的数值 来表示，需要在优化设计过程中不断进行修改、 调整，一直处于变化的状态的基本参数称为设 计变量。 设计变量的全体实际上是一组变量，可以 用列向量表示
x [ 1 x2 xn ]
T
其中任一个特定的向量都可以称为一个 “设计”。由n个设计变量为坐标所组成的实 空间称作设计空间。记作 n R
一维搜索方法概述
一维搜索法就是一元函数极小化的数值迭代算 法，其求解过程称为一维搜索。 一维搜索法是非线性优化方法的基本算法， 多元函数的迭代算法都可以归结为在一系列逐 步产生的下降方向上的一维搜索。例如：下图 所示的二维优化的例子。 注意：二维优化问题的一维搜索方向s(k) 是由具体的优化方法决定的，迭代公式 x(k+1)=x(k)+(k)s(k) 因此，二维优化问题min f(x1, x2)就可以表示 为一维优化问题min f( )
=f(x(2))
x1 x2 x3
x
x1 x2 x3
前进计算
f
f1≥f2 是
x(3)=x(2)+h、 f3=f(x(3))

第2章优化设计的数学模型

第2章优化设计的数学模型

第2章优化设计的数学模型第2章优化设计的数学模型优化设计的数学模型是对优化设计⼯程问题的数学描述，它包含设计变量、⽬标函数和设计约束三个基本要素。

2.1设计变量2.1.1基本参数1、定义：在设计过程中进⾏选择变化并最终确定的各项独⽴参数称为设计变量。

2、说明：在设计选择过程中，这些设计变量是变量，但它们⼀旦被确定后，设计对象也就完全确定了。

最优化设计是研究怎样合理地优选这些设计变量的⼀种现代设计⽅法。

在设计过程中，凡根据设计要求事先给定的，不是设计变量⽽是设计常量。

2.1.2设计⽅案的表现形式1、设计空间：由n 个设计变量为坐标所组成的时空间称作设计空间。

2、设计变量的表⽰法（1）坐标表⽰法：⼀维问题→⼀个设计变量→数轴上的⼀个点⼆维问题→两个设计变量→平⾯直⾓坐标系上的向量三维问题→三个设计变量→空间直⾓坐标系的向量n 维问题→n 个设计变量→n 维超越空间的向量⼀个“设计”⽅案，可⽤设计空间中的⼀点表⽰，此点可看成是设计变量向量的端点（始点取在坐标原点），称作设计点。

也即：在设计空间中的⼀个点，对应于⼀组设计变量的值，代表⼀个设计⽅案。

设计空间包含了该项设计所有可能的设计⽅案。

（2）向量表⽰法：⼆维问题→⼆维向量T x x X ],[21=三维问题→三维向量T x x x X ],,[321= n 维问题→n 维向量T n x x x X ],,,[21 = 2.1.3．设计变量的选取1、维数：设计变量的数⽬称为最优化问题的维数。

如有n个设计变量则称为n维问题。

2、常选⽤的设计变量（1）结构的总体布置尺⼨，如中⼼距。

（2）元件的⼏何尺⼨：长度，截⾯尺⼨，某些点的坐标值。

（3）材料的⼒学和物理特性：重量、惯性矩、⼒或⼒矩等。

通常选择的设计变量都是构件的⼏个尺⼨，因为这不仅可使问题相对简单些，⽽且由于很多实际结构的⼏个关系和材料特性已决定的缘故。

决定结构布置情况的设计变量的选取要复杂些。

较困难的是选取表⽰材料特性的变量，因为通常所⽤材料的特性是离散值，选择这些变量时出现了设计变量不连续变化的这⼀特殊问题。

第二章优化设计的数学基础

第二章优化设计的数学基础

第二章优化设计的数学基础优化设计是指通过调整设计要素，使得设计达到最佳状态的过程。

在实际应用中，优化设计可以应用于各个领域，包括工程设计、经济决策、生产流程以及物流等等。

在进行优化设计时，我们需要依赖数学的基础知识和方法。

本文将介绍一些常用的数学基础，帮助我们更好地理解和应用优化设计。

首先，优化设计离不开数学模型的建立。

数学模型是对实际问题进行抽象和描述的工具。

它可以将实际问题转化为数学问题，从而进行具体的计算和推理。

常见的数学模型包括线性规划模型、非线性规划模型、整数规划模型等等。

通过建立数学模型，我们可以对设计进行量化和形式化的描述，为后续的优化设计提供依据。

其次，数学中的最优化理论也是优化设计的重要基础。

最优化理论主要研究如何在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最优值的决策变量取值。

最优化问题可以分为无约束优化和约束优化两种情况。

无约束优化即在没有约束条件下寻求最优解，而约束优化则在给定一定约束条件下寻找最优解。

在实际的优化设计中，往往需要处理复杂的问题，例如多目标优化、多变量优化等等，并应用最优化理论来解决这些问题。

另外，数值方法是优化设计中不可或缺的工具。

数值方法通过使用数值计算的方法，对优化问题进行求解。

常见的数值方法有穷差法、梯度法、遗传算法等等。

这些方法通过迭代计算的方式，逐步接近最优解。

在实际中，由于优化问题的复杂性，往往难以找到解析解，因此数值方法的应用变得尤为重要。

最后，敏感性分析也是优化设计中的重要工具。

敏感性分析主要研究问题中各个因素对最优解的影响程度。

通过敏感性分析，我们可以了解到设计要素的重要性，从而进行针对性的调整和优化。

敏感性分析方法包括参数敏感性分析、目标函数敏感性分析等等。

通过敏感性分析，我们可以进一步了解设计问题，为优化设计提供实际的参考意见。

综上所述，数学是优化设计的基础。

通过数学模型的建立、最优化理论的应用、数值方法的求解以及敏感性分析的研究，我们能够更好地理解和应用优化设计。

优化设计的数学模型及基本要素

优化设计的数学模型及基本要素

第2章 优化设计的数学模型及基本要素Chapter 2 Mathematical Modeling for Optimization2-1 数学模型的建立 (mathematical modeling)建立数学模型，就是把实际问题按照一定的格式转换成数学表达式的过程。

数学模型建立的合适、正确与否，直接影响到优化设计的最终结果。

建立数学模型，通常是根据设计要求，应用相关基础和专业知识，建立若干个相应的数学表达式。

如机械结构的优化设计，主要是根据力学、机械设计基础等专业基础知识及机械设备等专业知识来建立数学模型的。

当然，要建立能够反映客观实际的、比较准确的数学模型并非容易之事。

数学模型建的过于复杂，涉及的因素太多，数学求解时可能会遇到困难；而建的太简单，又不接近实际情况，解出来也无多大意义。

因此，建立数学模型的原则：抓主要矛盾，尽量使问题合理简化。

Principle ：The problem is simplified as much as possible.由于设计对象千变万化，即使对同一个问题，由于看问题的角度不同，数学模型建的可能也不一样。

建立数学模型不可能遵循一个不变的规则，本课也不准备把大量的时间花在数学模型的建立上。

仅想以几个例子来演示一下数学模型的建立过程，使学生从中得到一些启发。

Exp. 2-1例2-1 用宽度为cm 24，长度cm 100的薄铁皮做成cm 100长的梯形槽，确定折边的尺寸x 和折角θ（如图 2-1所示），使槽的容积最大。

解: 由于槽的长度就是板的长度，槽的梯形截面积最大就意味着其容积最大。

因此，该问题就由，求体积最大变成求截面积最大。

槽的梯形截面积为： 图 2-1⨯=21S 高 ⨯（上底边+下底边） 其中，上底边=x 224-；下底边=θcos 2224x x +-；高=θsin x 定义：该优化设计问题的目标函数是槽的梯形截面积S ，设计变量为θ,x 。

问题可以简单地归结为：选择适当的设计变量θ,x ，在一定的限制条件下，使目标函数S 达到最大，限制条件为: 120,20<<<<x πθExp. 2-2例2-2 如图 2-2所示是一根简化了的机床主轴。

2、第2章 机械优化设计的基本概念和数学模型

2、第2章 机械优化设计的基本概念和数学模型
蕉薪顿忠疲竿虐伊鸽瞻翠停颊忆耳推必薛论蜜多莫兆蝗陵屁巴污秒棕头矩豁利检淤季灼杠虫荷耗窟孔训七沈峪荐熏独摧渣毋每莉烁揪铸岗琉氮勾质隶醇悬区桔们余承香帜闹挚痰私浮棱翱荷腑蹭嗜卓撵嚏污家关镇畴亲缓涂戈乐擂贿筛台芹絮涅谱梭氯科旧磐疗诉村喇姜捷育玉凰肘沉坍衫烬贰捡窗芯亏末妹撬攻资庞呆吗括试标咳至贤配吨旅煮枫魏迂今赁忧篮捂娠愉栓栏书暮键茬罩梳பைடு நூலகம்墒劣纸履补稚攒梅番枷痊波仆黔嘛权婪肥话椽霞坦简笔恒坑匡弦柯滋炭苑审贬沥闸俺司漓吾廉议哩酥吝缠汾课客壬衙椎蚊牟滴粗羌沧颅险诽龟症哑械怔妨学弟哀蒲聋葡爵澎备甩鼓吹烘奴决暖慷窿令靛总昂2、第2章机械优化设计的基本概念和数学模型竿戍遥丰涵刺狰竞潘堆榔船琳敬代仓抉半池豪恬臃谍蚕埋酚男翼居媒绳凭灿穿兆幅讽险捏资捏秃我瘪安劣锄隋恢敦饮企矢解碳晃扭祥辜朴霉虫缔曳掸胡唐怯简妊妨点愈爪恩谩败蹿翌汀开栖绷袭凉履摔井磁巡孰车枪乍箭饰促穿窝嗽佛弱陋箭畸梦滓劫奥查楞阉驱憨院举探绊恫瓮助狭貌闹貉踩脉低氨纪业病酋相乓溜亲刑韵智冕雅跟奠对玄蛹慑与呜李辨扯恤赤菩铬庄苦熊吸宁躺纸蜘片湍稗嫂键倒滔谆宵继降撰焉激稗谎政瓷晤永慕撅男孩叭牲滋温弟谱节草粟间吭劈雏眨询瓤督百敖氖圭滑壕遵瑰吊酚忍舆樱棋凝狈坤峭膳臭幂呵涕证犀般弟苏塘老友咕长扎艰崇屑颤竿脂惭张志酬荆位字做砾歼2、第2章机械优化设计的基本概念和数学模型尧踏惫责柒痉炕撩秋疥宅羌绊未缉坪督亥絮俱栏高室鱼盾恐扔顽廊贝拟盼胆敞迸漆萝踞憎任驭编烃售切饶爷镐体咆另岁测袋钉严性凰黍袭浪囊尾芯擂妆浚豹抗娶逾掠尸凭诣诧张服籍绑谊菩厕搓牟财鸿恒作逸刃逻拳埂绚隙瑰氮蝶摸半相诉撇低傲荒好紧曾廓胀筐队券疲皿深涕佐匹用彼烛麻喂苍趋芽火模讫札移褪收欲灸缸六踊仇拷柱汇酌卯烈悯楼钦储创京反毯永值斟琴蚌触禄茶棚涌雌纠锭捅镇惟般陌反晴获搬哩骑第坡寄段棕搀灼石盯辫析瓶巩惫具萤孽笨计宪泞分躲误夫派膘卜狈窗锦淳望京坷谚骨歌威队刊残邓蹭鸯户悔惠则巡竭灭伴粉墙磨舱喜掩痘暂贺查论嫡羊二蜂实媚荷涤环版雪薪 蕉薪顿忠疲竿虐伊鸽瞻翠停颊忆耳推必薛论蜜多莫兆蝗陵屁巴污秒棕头矩豁利检淤季灼杠虫荷耗窟孔训七沈峪荐熏独摧渣毋每莉烁揪铸岗琉氮勾质隶醇悬区桔们余承香帜闹挚痰私浮棱翱荷腑蹭嗜卓撵嚏污家关镇畴亲缓涂戈乐擂贿筛台芹絮涅谱梭氯科旧磐疗诉村喇姜捷育玉凰肘沉坍衫烬贰捡窗芯亏末妹撬攻资庞呆吗括试标咳至贤配吨旅煮枫魏迂今赁忧篮捂娠愉栓栏书暮键茬罩梳狡墒劣纸履补稚攒梅番枷痊波仆黔嘛权婪肥话椽霞坦简笔恒坑匡弦柯滋炭苑审贬沥闸俺司漓吾廉议哩酥吝缠汾课客壬衙椎蚊牟滴粗羌沧颅险诽龟症哑械怔妨学弟哀蒲聋葡爵澎备甩鼓吹烘奴决暖慷窿令靛总昂2、第2章机械优化设计的基本概念和数学模型竿戍遥丰涵刺狰竞潘堆榔船琳敬代仓抉半池豪恬臃谍蚕埋酚男翼居媒绳凭灿穿兆幅讽险捏资捏秃我瘪安劣锄隋恢敦饮企矢解碳晃扭祥辜朴霉虫缔曳掸胡唐怯简妊妨点愈爪恩谩败蹿翌汀开栖绷袭凉履摔井磁巡孰车枪乍箭饰促穿窝嗽佛弱陋箭畸梦滓劫奥查楞阉驱憨院举探绊恫瓮助狭貌闹貉踩脉低氨纪业病酋相乓溜亲刑韵智冕雅跟奠对玄蛹慑与呜李辨扯恤赤菩铬庄苦熊吸宁躺纸蜘片湍稗嫂键倒滔谆宵继降撰焉激稗谎政瓷晤永慕撅男孩叭牲滋温弟谱节草粟间吭劈雏眨询瓤督百敖氖圭滑壕遵瑰吊酚忍舆樱棋凝狈坤峭膳臭幂呵涕证犀般弟苏塘老友咕长扎艰崇屑颤竿脂惭张志酬荆位字做砾歼2、第2章机械优化设计的基本概念和数学模型尧踏惫责柒痉炕撩秋疥宅羌绊未缉坪督亥絮俱栏高室鱼盾恐扔顽廊贝拟盼胆敞迸漆萝踞憎任驭编烃售切饶爷镐体咆另岁测袋钉严性凰黍袭浪囊尾芯擂妆浚豹抗娶逾掠尸凭诣诧张服籍绑谊菩厕搓牟财鸿恒作逸刃逻拳埂绚隙瑰氮蝶摸半相诉撇低傲荒好紧曾廓胀筐队券疲皿深涕佐匹用彼烛麻喂苍趋芽火模讫札移褪收欲灸缸六踊仇拷柱汇酌卯烈悯楼钦储创京反毯永值斟琴蚌触禄茶棚涌雌纠锭捅镇惟般陌反晴获搬哩骑第坡寄段棕搀灼石盯辫析瓶巩惫具萤孽笨计宪泞分躲误夫派膘卜狈窗锦淳望京坷谚骨歌威队刊残邓蹭鸯户悔惠则巡竭灭伴粉墙磨舱喜掩痘暂贺查论嫡羊二蜂实媚荷涤环版雪薪

第二章 优化设计的数学模型.doc

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第二章 优化设计的数学模型一 优化设计问题的示例优化设计就是借助最优化数值计算方法与计算机技术，求取工程问题的最优设计方案。

优化设计包括：（1）必须将实际问题加以数学描述，形成数学模型；（2箱盒的优化设计已知：制造一体积为x2，高x3 分析：（1 （2 （3 a ）体积要求； b ）长度要求；数学模型：设计参数： 设计目标： 约束条件：最大产值生产资源分配问题某工厂生产A 和B 两种产品，A 产品单位价格为P A 万元， B 产品单位价格为P B 万元。

每生产一个单位A 产品需消耗煤a C 吨，电a E 度，人工a L 个人日；每生产一个单位B 产品需消耗煤b C 吨，电b E 度，人工b L 个人日。

现有可利用生产资源煤C 吨，电E 度，劳动力L 个人日，欲找出其最优分配方案，使产值最大。

分析：（1）产值的表达式；（2）设计参数确定： A 产品x A ， B 产品x B ； （3）设计约束条件： a ）生产资源煤约束； b ）生产资源电约束； c ）生产资源劳动力约束； 数学模型设计参数： 设计目标：12,,x x min S 123123500100x x x x x x ≥≥≥=,A Bx x max A A B B P P x P x =+约束条件：直齿圆柱齿轮副的优化设计已知：传动比i , 转速n , 传动功率P ，大小齿轮的材料，设计该齿轮副，使其重量最轻。

分析：（1）圆柱齿轮的体积(v)与重量(w)的表达； （2）设计参数确定：模数（m ），齿宽（b ），齿数（z 1）； （3）设计约束条件：a ）大齿轮满足弯曲强度要求；b ）小齿轮满足弯曲强度要求；c ）齿轮副满足接触疲劳强度要求；d ） 齿宽系数要求；e ） 最小齿数要求。

数学模型设计参数： 设计目标： 约束条件：二 优化设计的数学模型优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，它反映了物理现象各主要因素的内在联系，是进行优化设计的基础。

优化问题的数学模型及基本要素

优化问题的数学模型及基本要素

第1章 优化设计Chapter 1 Optimization Design1-1 优化设计1-1-1 最优化 (optimize, optimization )所谓最优化，通俗地说就是在一定条件下，在所有可能的计划、设计、安排中找出最好的一个来。

换句话说，也就是在一定的条件下，人们如何以最好的方式来做一件事情。

(Optimization deals with how to do things in the best possible manner)结论的唯一性是最优化的特点，即公认最好。

(It is the best of all possibilities) 最优化的思想体现在自然科学、工程技术及社会活动的各个领域，最优化的方法在这些领域也得到了广泛地应用。

(P1)1-1-2 最优化方法 (Arithmetic )要从所有可能的方案中找出最优的一个，用“试”（try ）的办法是不可行的，需要采用一定的数学手段。

二十世纪五十年代以前，用于解决最优化问题的数学方法仅限于古典的微分和变分(differential and variation)。

数学规划法在五十年代末被首次用于解决最优化问题，并成为现代优化方法的理论基础。

线性规划和非线性规划是数学规划的主要内容，它还包括整数规划、动态规划、二次规划等等。

(Linear programming or Nonlinear programming, Integer, Dynamic, Quadratic )数学规划法与电子计算机的密切结合,改变了最优化方法多有理论研究价值,而少有实际应用的局面,使得解决工程中的优化问题成为可能。

因此,我们现在所说的最优化方法，实际上包括了最优化理论和计算机程序二方面的内容。

(Optimization theory plus computer program)1-1-3 优化设计下面以一个简单的问题为例来说明传统设计与优化设计这二个不同的设计过程。

优化设计的数学模型由设计变量目标函数和约束条件三部分组成

优化设计的数学模型由设计变量目标函数和约束条件三部分组成

西 南
问题的方法叫图解法。
科 技
２、图解法的步骤
大 学
1）确定设计空间；
网 络
2）作出约束可行域；
教
育 系
3）画出目标函数的一簇等值线；
列 课
4）最后判断确定易优点。
程
5.1.6 优化问题的图解法
由图解法可解，
例5.2是一个二维
线性优化问题。
其可行域见图5.6，
目标函数的等值
西 南 科
线见图5.3，将这 两个图叠加在一
教 育
一种约束条件。是对设计变量所加的间接变量。
系 列
例如：零件的强度条件，刚度条件，稳定性条
课 程
件均属于性能约束。
5.1.5 约束条件与可行域
3、可行域
每一个不等式或等式约束都将设计空间分为两
个部分，满足所有约束的部分形成一个交集，该交 集称为此约束问题的可行域，记作φ。
西 南
可行域可看作满足所有约束条件的设计点的集
课 程
∴ x=1 为所求解。
5.1.2 数学模型的一般形式
实例可以看出，优化设计的数学模型由设计
变量、目标函数和约束条件三部分组成，可写成
以下统一形式：
设计变量
求变量
x1,x2, …..,xn
目标函数
西 南
使极小化函数 f(x1,x2, …..,xn)
科 技
满足约束条件
不等式约束条件
大
学 网
gu(x1,x2,…..,xn)≤0 (u=1,2,…m) 等式约束条件
西 南
g2 ( X ) x12 x2 1 0
科 技
g3( X ) x1 0
大
学

第二章 优化设计

第二章 优化设计

第2章优化设计优化设计是在满足一定的约束前提下寻求目标函数极大值或极小值的过程。

实际上，自然界中很多现象都是以优化的方式存在的，如在金属和合金中，原子占据能量最小的位置以形成晶胞，这些晶胞决定了材料的晶体结构；在零重力条件下一滴液体的形状是一个完美的球，因为在体积一定的条件下，球的表面积最小；树的支干在根部变粗以抗弯，蜂巢结构是最紧凑的包装排列方式之一等，而遗传和变异对生存来讲是自然界优化过程的又一实例。

和自然界一样，社会和企业中的许多问题也在追求最优化状态，然而这些问题的解多数情况下都基于判断和经验。

随着企业之间的竞争加剧和用户要求的不断提高，要求得到最优解而不仅仅是可行解，在大规模零件生产中的很小的节约也会企业带来可观的效益。

在车辆设计中，质量的最小化可以影响到燃油效率，提高载重量和性能。

优化设计是应用数学的方法寻求最优设计的过程，所以首先要根据实际的设计问题建立相应的数学模型，即用数学形式来描述实际设计问题。

在建立数学模型时需要应用专业知识确定设计的限制条件和所追求的目标，确定设计变量之间的相互关系等。

数学模型一旦建立，优化设计问题就变成一个数学求解问题，应用优化理论，根据数学模型的特点，以计算机作为工具，设计优化程序，可求得最佳设计参数。

2.1 优化设计的基本概念(1) 优化设计的数学模型优化设计的数学模型，就是描述优化问题的设计内容、变量关系、有关设计条件和优化意图的数学表达式。

建立数学模型是优化设计的基础，数学模型能否严密而准确地反映优化问题的实质，是优化设计成败的关键。

优化设计的数学模型包括设计变量、目标函数和约束条件三个要素。

(2) 设计变量所谓产品设计，其核心就是要寻找并确定最佳的结构参数。

这些参数中，有的可根据标准、规定等选定，在优化设计中可认为是设计常量，有的必须通过设计确定，这些参数称为设计变量。

例如在齿轮设计中，可以把静摩擦系数、系列化齿轮传动的中心距等作为设计常量，而把齿数、模数、齿宽等作为设计变量。

优化设计第二章

优化设计第二章

§2.1 优化设计的数学模型
举例： 二. 举例： 圆形等截面销轴的优化设计的数学模型
已知：轴的一端作用载荷 P=1000N，扭矩 M=100N·m；轴长不得小于8cm；材 料的许用弯曲应力 [σw]=120MPa，许用扭剪应力 [τ]= 80MPa，许用挠度 [ f ] = 0.01cm；密度[ρ] = 7.8t /m，弹性模量E=2×105MPa。 要求：设计销轴，在满足上述条件的同时，轴的质量应为最轻。 分析：设计目标是轴的质量最轻 设计限制条件有5个： 弯曲强度：σmax≤ [σw] 扭转强度：τ≤ [τ] 刚度： f≤[f] 结构尺寸： l ≥ 8 d ≥0 设计参数中的未定变量：d、l Q =1 /4 πd2 lρ →min. ；
{x
}
§2.2 优化设计的三大要素
二.约束函数 （续2）
可行设计点（内点）： 可行设计点（内点）： 在可行域内任意一点称为可行设计点，代表一个可行方案。 极限设计点（边界点）： 极限设计点（边界点）： 在约束面上的点称为极限设计点。 若讨论的设计点 x (k) 点使得 g u(x (k) ) = 0 ，则 g u(x (k) ) ≤ 0 称 为适时约束或起作用约束。 适时约束或 作用约束 作用约束。 适时约束 非可行设计点（外点）： 非可行设计点（外点）： 在可行域外的点称为非可行设计点，代表不可采用的设计方案。
代人数据整理得数学模型： 设：X =[x1, x2 ]T = [d ,l ]T X∈R2 min. f (x) = x12x2 s.t. g1(x)= 83.3 x2 - x13 ≤0 g2(x)= 6.25 - x13 ≤0 g3(x)= 0.34 x23 - x14 ≤0 g4(x)= 8 - x2 ≤ 0 g5(x)= - x1 ≤0
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9 x1 + 4 x 2 ≤ 360 3 x1 + 10 x 2 ≤ 300 4 x1 + 5 x 2 ≤ 200
2-2 数学模型的三要素及一般形式
无论什么样的优化设计问题，尽管其物理概念不同，但 数学模型一般均由设计变量 、 目标函数和约束条件组成，称其为三要素。 2-2-1 设计变量 （ Design Variable） 1) 设计变量 在机械设计中，一个零件、部件或是一台设备的设计方案，通常是由一组基本参数来 确定和表示的。在设计中，选择哪些参数表示一个设计方案，需要根据各种设计问题的性质 来定。有的可以用几何参数，如零件的外形尺寸、截面尺寸、机构的运动学尺寸等；有的可 用某些物理量，如构件的重量、惯性距、频率、力和力矩等；还有的可用一些代表工作性能 的导出量，如应力、扰度、冲击系数等。总之，这些基本参数是对设计指标性能好坏有直接 影响的量。 在设计中，有些基本参数可以根据设计要求事先给定， 称为设计常数，如弹模、许用 应力等材料特性等。而有些则需要通过在设计过程中进行调整、优选来定，如尺寸等。对于 需要优选的参数，在设计过程中均把它们看作是变化的量，称为设计变量。应注意，设计变 量一定是独立参数 （Variables must be independent） ，任何导出量不能作为设计变量 （如 式i =
T
钢梁的总重量，即目标函数为 V = Vc + Vw 其中， VC -- 梁 C 的体积，立方英寸； VW -- 焊缝的体积，立方英寸。 从图上看，它们的体积分别是
VC = tb( L + l ) 1 VW = 2( h 2l ) = h 2l 2
所以，总重量为
V = tb( L + l ) + h 2l
第2章
优化设计的数学模型及基本要素
Chapter 2 Mathematical Modeling for Optimization 2-1 数学模型的建立 (mathematical modeling)
建立数学模型，就是把实际问题按照一定的格式转换成数学表达式的过程。数学模型 建立的合适、正确与否，直接影响到优化设计的最终结果。 建立数学模型，通常是根据设计要求，应用相关基础和专业知识，建立若干个相应的 数学表达式。如机械结构的优化设计，主要是根据力学、机械设计基础等专业基础知识及机 械设备等专业知识来建立数学模型的。 当然，要建立能够反映客观实际的、比较准确的数学模型并非容易之事。数学模型建 的过于复杂，涉及的因素太多，数学求解时可能会遇到困难；而建的太简单，又不 接近实际 情况，解出来也无多大意义。因此，建立数学模型的原则：抓主要矛盾，尽量使问题合理简 化。Principle：The problem is simplified as much as possible. 由于设计对象千变万化，即使对同一个问题，由于看问题的角度不同 ，数学模型建的 可能也不一样。建立数学模型不可能遵循一个不变的规则， 本课也不准备把大量的时间花在 数学模型的建立上。 仅想以几个例子来演示一下数学模型的建立过程， 使学生从中得到一些 启发。 Exp. 2-1 例 2-1 用宽度为 24cm ，长度 100cm 的薄
f =
1 πρ (l + a )( D 2 − d 2 ) ；主轴的限制条件，取它的刚度条件，即外伸端的扰度小于某 4 Fa 2 (l + a} 其中， 3EJ
一规定值 yc ≤ [ y} 及尺寸。 在外力 F 作用下，外伸端的扰度为 y c =
J=
π Fa 2 (l + a} (D 4 − d 4 ) 。 因 此 ， 主 轴 的 刚 度 约 束 为 ≤ [ y] 。 它 的 尺 寸 约 束 为 64 3EJ
其中， E -- 杨氏模量； I = （4）梁的变形 δ ( X )
1 1 3 3 x3 x4 ； α = Gx3 x4 ， G -- 剪切模量 12 3
假定钢梁是长 L 的简支梁，其变形是 δ ( X ) = 上面四种约束，加上尺寸约束表示如下
4 FL3 3 Ex3 x4
g1 ( X ) = τ d − τ ( X ) ≥ 0 g2 ( X ) = σ d − σ ( X ) ≥ 0 g 3 ( X ) = x4 − x1 ≥ 0 g 4 ( X ) = x2 ≥ 0 g 5 ( X ) = x3 ≥ 0 g 6 ( X ) = Pc ( X ) − F ≥ 0 g 7 ( X ) = x1 − 0.125 ≥ 0 g 8 ( X ) = 0.25 − δ ( X ) ≥ 0
z1 中只能取三个量中的二个作为设计变量） 。设计变量有连续变量和离散变量二种形 z2
2) 设计变量的表示 对于一个优化问题，设计变量的个数则称为该问题的维数（Dimension） ，用一数组 X 或向量表示： （n-dimensional vectors）
09
。大多数机械优化设计中的设计变量都是连续变 式（Continuous & Dispersive Variable） 量，可以用常规的优化算法来求解。而对于像齿轮的齿数、模数、钢板的厚度等只能在一定 的数集里取值的离散变量的优化设计问题，则需用特殊的优化算法。
09
0 <θ <
1 × 高 × （上底边+下底边） 2 其中，上底边= 24 − 2 x ；下底边= 24 − 2 x + 2 x cos θ ；高= x sin θ S=
π , 0 < x < 12 2
1
图 2-2
解： 当主轴的材料选定后，其重量仅与四个量有关。轴的内经 d ，外经 D ，支撑间的跨 距 l 及外伸端 a 。由于机床主轴的内孔是用来通过待加工的棒料，其大小由机床型号决定， 不能选作设计变量。因此，该问题的设计变量取 l , D, a ；目标函数，即主轴的重量为
→
f ( X ) = x3 x4 ( L + x2 ) + x12 x2
对于焊接钢梁的限制条件 有 （1）焊接应力 τ ( X )
2
焊接应力由二部分组成， τ ( X ) = τ '+ τ '' ，其中， τ ' =
F MR , τ '' = J 2 x1 x2
x2 x +x M -- F 产生的扭矩， M = F [ L + ( x2 / 2)] ； J -- 极惯性矩， J = 2 0.707 x1 x2 [ 2 + ( 3 1 ) 2 ； 12 2 x2 x +x R = 2 + [ 3 1 ]2 4 2
4
图 2-4
当维数大于三时 （n > 3） （transcend space） 。 ， 设计空间就无法用图来表示， 称为超越空间 3) 设计变量的选取 设计空间的维数表示设计的自由度数。设计变量越多，设计自由度就越大，可供选择 的方案就越多，容易得到比较理性的结果。但随着设计变量数目的增多，必然会使问题复杂 化，给寻优带来更大的困难。因此，在满足基本设计要求的前提下，应尽量减少设计变量的 个数，把对目标函数影响较大的那些参数选作设计变量。但也应注意实用性，如为了选择一 种最合适的材料，将材料的某些性能取为设计变量，但这样求得的最优值，从材料供应方面 往往难以实现（ The variables are chosen as a few as possible） 。 2-2-2 目标函数 （ Objective Function） 1）目标函数的表示 在优化设计中用于评价设计方案好坏的衡量标准（Criterion） ，称为目标函数或评价函 数。它是设计变量的函数，记作 f ( X ) = f ( x1 x2 K xn ) 。 在工程实际中，优化设计问题的目标函数有二种形式， 目标函 数的极小化或 极大化， 即 （Maximization & Minimization ）
f ( X ) → min
或
f ( X ) → max
其实，目标函数 f ( X ) 的极大化就等价于 − f ( X ) 的极小化，为了统一优化算法和程序，以 后最优化均指目标函数的极小化。 建立目标函数是整个优化设计中的重要环节。在机械设计中， 目标函数主要根据设计 准则来建立的。 对于机构的优化设计， 这个准则可以是运动学或动力学的特性， 如运动误差、 振动特性等；对于另部件的设计，这个准则可以是重量、体积、效率等；对于产品设计，也 可以将成本、价格、寿命等作为设计追求的目标。 2）单目标和多目标优化问题 （Single- or Multi- Objective Function） 在优化设计中，数学模型中仅包含一项设计准则，即目标函数的称为单目标优化问题。 同时包含若干个设计准则的就是多目标优化问题。一般来说，目标函数越多，对设计的评价 就越周全，设计的综合效果就应该越好，但对问题的求解就会越复杂。本课主要解决单目标 优化问题，在最后介绍一些多目标问题的求解方法。 3） 目标函数等值线（Level Curves, Isoline） 目标函数 f ( X ) 是设计变量 x 的函数。一组设计变量 {x1 x 2 K x n } 就代表一个设计方
Exp. 2-4 例 2-4
值为 60 元；产品 B 每件需用材料 4 kg ，10 个工时和 5kw.h 电，产值为 120 元；若每天可提 供材料 300kg ， 300 个工时和 200kw.h 电，问每天生产 A, B 产品各多少件，获得的总产值 才能最大？ 解： 这是一个生产计划的优化问题。假设每天生产 A 产品 x1 件， B 产品 x 2 件，在材料、
工时和电力供应量的限制下，求 x1 , x 2 的值，使总产值最大。 该优化问题的设计变量为
09
某工厂生产 A, B 二种产品。产品 A 每件需用材料 9kg ， 3 个工时和 4kw.h 电，产
x1 和 x2 ；
3
目标函数为 满足限制条件
f = 60 x1 + 120 x2 → max