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工程设计中的优化方法教学课件PPT

工程设计中的优化方法教学课件PPT

（4）数学模型 建立数学模型是解决优化设计的关键 优化设计的数学模型是实际设计的数学抽象。
任何一个优化设计问题可归结为如下描述：
在给定的约束条件下，选择适当的设计变量X， 使其目标函数 f (X)达到最优值。
其数学表达式(数学模型)为
设计变量
X= (x1, x2, ···, xn)T X∈Rn
在满足约束方程
无约束优化方法的特点和适用范围
计算方法
消去 黄金分割法 法 Fibonacci
直 插值 二次插值法
接 搜
法
三次插值法
索 爬山 坐标轮换法
法
法非导
共轭方向法
数法 单纯形法
最速下降法
间 接 寻 优 法
爬山 法导数 法
共轭梯度法 牛顿法
变尺度法
特点及适用范围
黄金分割法计算过程简单，收敛较快，应用较广
二次插值法算法成熟，收敛较快，应用广。函数性态较好时， 其效果比消去法好
所用数据为：F1=120kN， F2=12kN，[σ]=140MPa
表5-1 箱形梁设计结果比铰
跨度 l(cm)
常规设计（mm）
x1
x2
x3
x4
1050 760 340 6 10 1350 880 390 6 10 1650 1010 440 6 10
优化设计(mm)
x1
x2
x3
x4
790 310 5
计算简单，占内存少，收敛慢，可靠性差，适用于维数n<10 收敛较快，可靠性较好，占用内存少，特别适用于n<10-20 的二次函数 计算简单,收敛快,效果好，适用于中小型设计问题 计算简单，占用内存少，对初始点的选择要求低。最初几步 迭代函数值下降很快，但越靠近极值点越慢。和他法混用 所用公式结构简单，收敛速度较快，要求内存量少。适用于 多维优化问题求解 算法复杂，计算是大，对初始点要求高。一定条件下收敛速 度很快。高维优化问题不宜采用 收敛速度快，稳定性好，是目前最有效的方法之一，适用于 求解多维优化问题8Βιβλιοθήκη 870 380 66

优化设计课件(一)

优化设计课件(一)

约束条件是关于设计变量的一组不等式和等式，代表设计所受到的各种要求和 限制。将不等式约束的不等号改为等号所成方程的图形称为约束边界，每一个 约束边界把设计空间一分为二，所有约束边界所界定的满足约束条件区域的交 集称为约束的可行域。 目标函数是设计变量的函数，它代表设计问题的某一项技术经济指标，也是评 价设计方案优劣的定量标准。既满足所有约束条件，又使目标函数取得极值的 解称为最优解，它所代表的方案就是设计问题的最优方案。令目标函数分别等 于一组确定的常数所形成的方程式的图形称为该目标函数的一族等值线(面)。 根据约束可行域和目标函数的等值线(面)之间的关系，可以确定某些简单的设计 问题是否有最优解以及最优解的位置，这种方法称为最优化问题的图解法。 一般的设计问题都是含有多个约束条件的非线性问题，对于这类问题的求解只 能采用数值迭代解法，也称下降迭代解法。下降迭代解法具有统一的迭代格式， 其关键问题在于如何确定搜索方向、最优步长和终止准则。常用的终止准则有3 种，分别是点距准则、值差准则和梯度准则。
二、 优化设计基本术语与数学模型 的建立
• 优化设计方法也是一种规格化的设计方法，它首 先要求将设计问题按优化设计所规定的格式建立 数学模型，选择合适的优化方法及计算机程序， 然后再通过计算机的计算，自动获得最优设计方 案。 工程设计问题的优化，可以表达为优选一组参数， 使其设计指标达到最佳值，且须满足一系列对参 数选择的限制条件。这样的问题在数学上可以表 述为；在以等式或不等式表示的约束条件下求多 变量函数的极小值或极大值问题，即求
一、 优化设计问题
优化设计（Optimal Design）字面上意思可 以让妇孺皆知：后来设计的产品或提出的方 案比前面的要优。然而它却是一个理论性， 分析性与实际产品相结合的一门复杂学科。 机械优化设计包括建立优化设计的数学模型 和选择恰当的优化方法与程序两方面内容， 其实对求解结果的工程分析也是很重要的。

优化设计的数学模型

优化设计的数学模型

优化设计的应用
生产计划优化
生产计划优化
通过数学模型，对生产计划进行优化，以最小化成本、最大化利润为目标，制定最优的生产计划 。
生产调度优化
利用数学模型对生产调度进行优化，以提高生产效率、减少生产成本、缩短生产周期。
资源分配优化
通过数学模型对资源进行合理分配，以最大化资源利用率、最小化资源浪费为目标，实现资源的 最优配置。
总结词
生产计划优化是利用数学模型对生产过程中的资源、时间和成本进行合理配置， 以提高生产效率和降低成本。
详细描述
生产计划优化案例包括对生产流程、生产计划、生产调度等方面的优化。通过 建立数学模型，对生产计划进行优化，可以减少生产过程中的浪费，提高生产 效率，降低生产成本。
物流优化案例
总结词
物流优化是利用数学模型对物流运输过程中的路线、时间和 成本进行合理规划，以提高物流效率和降低物流成本。
线性规划
线性规划是数学优化技术中的一 种，它通过找到一组变量的最优 组合，使得一个线性目标函数达
到最大或最小值。
线性规划问题通常表示为在一组 线性不等式约束下最大化或最小
化一个线性目标函数。
线性规划问题可以通过使用单纯 形法、对偶理论等算法进行求解。
非线性规划
非线性规划是数学优化技术中的一种， 它通过找到一组变量的最优组合，使 得一个非线性目标函数达到最大或最 小值。
04
优化算法的进展
遗传算法
1
遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法， 通过选择、交叉和变异等操作，寻找问题的最优 解。
2
遗传算法适用于解决大规模、多变量和非线性优 化问题，尤其在组合优化、机器学习、数据挖掘 等领域有广泛应用。
3

优化设计的数学模型

优化设计的数学模型

—— —— —— —— —— —— ——
机械优化设计数学模型的一般形式： 机械优化设计数学模型的一般形式： 数学模型的一般形式 设 X =[x1,x2 ,…,xn]T ,x min. f(x) = f(x1, x2 ,…,xn ) ,x X∈Rn 不等式约束） （不等式约束） 1,2,…,m s.t. gu(x) ≤ 0 u = 1,2, ,m 等式约束） 1,2,…, hv(x) = 0 v = 1,2, , p< n （等式约束
* X 是极小点。 2) = (1,1,−
x1 =， 1
* 。
， x2 = 1
代入原函数，得函数的极小 x = −2
3
f (X ) = 0
例2-3 MATLAB 2-3 MATLAB实现，用M文件求函数的极值点： M
%例2-3 求函数的极值 syms x1 x2 x3 %定义函数f中的符号变量 f=2*x1^2+5*x2^2+x3^2+2*x2*x3+2*x1*x3-6*x2+3; %函数f的表达式 disp( '函数f的表达式：' ) pretty(simplify(f)); %按数学形式显示函数f latex(f); %符号表达式按LaTeX格式输 出 %计算函数的1阶偏导数
解：在MATLAB命令窗口输入主函数
syms t f=t^4-t^2-2*t+5; [x1,x2]=minJT(f,0,0.1)
第3章 一维搜索方法与MATLAB实现
各阶主子式的值为
a11 = 4 > 0
a11 a12
a12 4 0 = = 40 > 0 a22 0 10
a11 a12 a21 a22 a31 a32

现代设计理论与方法-优化设计.ppt

现代设计理论与方法-优化设计.ppt
变异运算用来模拟生物在自然的遗传环境 中由于各种偶然因素引起的基因突变，它以很 小的概率随机地改变遗传基因（表示染色体的 符号串的某一位）的值。在染色体以二进制编 码的系统中，它随机地将染色体的某一个基因 由1变为0，或由0变为1。
若只有选择和交叉，而没有变异，则无法在 初始基因组合以外的空间进行搜索，使进化过 程在早期就陷入局部解而进入终止过程，从而 影响解的质量。为了在尽可能大的空间中获得 质量较高的优化解，必须采用变异操作。
可见，这是一个三维非线形规划问题。为了
简化问题，可根据等式约束条件消去一个设计变
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量：
h = 3 /（ l ·w）
则该问题从原来的三维问题转化为二维问题。
4．建立数学模型的一般过程 1）分析设计问题，初步建立数学模型 即使是同一设计对象，如果设计目标和设计
条件不同，数学模型也会不同。因此，要首先弄 清问题的本质，明确要达到的目标和可能的条件， 选用或建立适当的数学、物理、力学模型来描述 问题
交叉体现了自然界中信息交换的思想。交叉 有单点交叉、多点交叉、还有一致交叉、顺序 交叉和周期交叉。单点交叉是最基本的方法， 应用较广。它是指染色体切断点有一处，例：
A:101100 1110 101100 0101
B : 001010 0101001010 1110
（3）变异 (Mutation Operator)
3．约束条件 1）概念 为产生一个可接受的设计，设计变量本身或
相互间应该遵循的限制条件，称为约束条件。
2）表示方法
约束条件一般可表示为设计变量的不等式约束函数 形式和等式约束函数形式，即
gi（χ）= gi（χ1，χ2，…，χn）≤0 或者 gi（χ）= gi（χ1，χ2，…，χn）≥0

第2章优化设计ppt课件

第2章优化设计ppt课件

2.1 概述
2.1.1 优化设计根本概念
优化设计〔Optimal Design〕是20世纪60年代开展起来的一种 现代设计方法。它是将最优化原理和计算机技术运用于设计领域， 为工程设计提供一种重要的科学设计方法。
利用这一设计方法，设计者就可从众多的设计方案中寻觅出最 正确设计方案，从而大大提高设计效率和质量，因此优化设计是现 代设计实际和方法的一个重要领域，它已广泛运用于各个工业设计 领域和各种产品设计中。
所谓优化设计，就是在规定的设计限制条件下，运用最优化原 理和方法将实践工程设计问题转化为最优化问题，然后以计算机为 工具进展寻优计算，在全部可行设计方案中，寻求满足预定设计目 的的最正确设计方案。
进展最优化设计时：
首先必需将实践问题加以数学描画，构成一组由数学表达式组成 的数学模型；
然后选择一种最优化数值计算方法和计算机程序，在计算机上进 展寻优运算求解，得到一组最正确的设计参数。这组设计参数就是设 计的最优解。
由等式约束条件可知，三个设计变量中只需两个是独立变量，即
x3
5 x1 x 2
。所以，该问题的优化数学模型应写为：
设计变量：
X [x1 x2]T
目的函数的极小化： m inf(X ) x 1 x 2 2 (x 1 x 3 x 2 x 3 ) x 1 x 2 1 0 (x 1 2 x 1 1 )
约束条件：
与传统设计方法不同，优化设计过程普通分为如下四步：
● 设计课题分析
● 建ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数学模型
● 选择优化设计方法
● 上机电算求解
获得最优解
〔１〕设计课题分析： 经过对设计课题的分析，提出设计目的，它可以是单项设计目的，也可以是多项设计目的的组合。 从技术经济的观念出发，对机械设计而言，机器的运动学和动力学性能、体积、分量、效率、本钱、可靠性等 都可以作为设计追求的目的。 然后分析设计应满足的要求，主要的有：某些参数的取值范围；某种设计性能或目的按设计规范推导出的技术 性能；还有工艺条件对设计参数的限制等。

《最优化设计》PPT课件

《最优化设计》PPT课件
经过十次迭代，得到最优解：
x* = [0 0]T f(x* ) =0
---
(3)
5
§4-2 最速下降法
(4)
图4-3表示例4-1的搜索路径，目标函数等值线为椭圆。 若进行代换
y1 = x1 y2 = 5x2
则 f(x1, x2) 变为(y1, y2)，等值线为一族同心圆。因为圆上
任一点的负梯度方向都指向圆心，因此沿负梯度方向经过 一次一维搜索即可找到最优点。
无约束优化方法可分为两大类：1)不求导数的直接法， 主要有随机方法和直接搜索方法；2)求导数的间接法，按 所求导数的最高阶数又可分为一阶方法和二阶方法。二阶 方法很少采用。
图4-1为无约束极小化算法的粗框图。在§1-4 中已给 出了优化算法的一般搜索迭代公式
xk+1= xk+xk (1－15)
xk+1= xk+kdk (1－16)
2 0
f x 0
1
2T
2
0
0 1
4
100T
50
2T
1 2
4 0100
0
4
1 50
T
100
0T
对照梯度法和牛顿法迭代公式，可以看出只相差一项 海赛矩阵的逆矩阵。因此，牛顿法是对梯度法的进一步修 正。事实上，梯度法是对目标函数f(x)在点xk的一阶(线性) 近似，而牛顿法是对f(x)在点xk 的二阶(二次)近似。
---
9
§4-4 共轭方向及共轭方向法
(1)
共轭方向的概念
二次正定函数的一般形式为：
fx1xTG xbTxc
2
式中，G为 nn 阶对称正定矩阵，b=[b1, b2, ,bn]T 为常矢

第五章-优化设计方法课件

第五章-优化设计方法课件
第五章-优化设计方法
一、目标与过程
•目 标：
•方案的价值系数：
v F ——功能 C ——成本
方案优化法：
➢以功能分析为基础 ➢运用创造技巧
总体优化的过程：
➢确定优化对象
➢最大程度降低成本 ➢努力提高功能
➢ 优化方案的建立
➢寻求最大价值系数
➢ 优化方案的评选
第五章-优化设计方法
二、优化对象的确定
产品返修率高 次品率、废品率高 产品赔偿率，退换率高
效果显著 具备各种改善条件 有改善潜力 情报资料齐全 无需大量人力物力 牵涉面不广
•具体方法
•1 .从技术角度选择优化对象 •（1）经验分析法 •（2）综合分析法
确定评价指标 计入权重 专家评分 按加权总评分决策
第五章-优化设计方法
案例：某产品有A、B、C、D4个组成部分。经过企业有关人 士的分析,决定以可靠性、操作性、维修性、工艺性、生产 效率和安全性等6项指标来评价每一部分的技术水平，并根 据6项指标对产品的不同工艺重要性赋予不同的权重
• 2）针对难以处理性态不好的问题、难以求得全局最 优解等弱点，发展了一批新的方法，如：模拟退火法、 遗传算法、人工神经网络法、模糊算法、小波变换法、 分形几何法等。
• 3）在数学模型描述能力上，由仅能处理连续变量、 离散变量，发展到能处理随机变量、模糊变量、非数 值变量等，在建模方面，开展了柔性建模和智能建模 的研究。
• 2）建模难度大，技术性高，数学模型描述 能力低，数学模型误差大。
• 3）方法程序的求解能力有限，难以处理复 杂问题和性态不好的问题，难以求得全局最 优解。
第五章-优化设计方法
现 为了提高最优化方法的综合求解能力，人们探索： 状
• 1）引入了人工智能、专家系统技术，增加了最优化 方法中处理方案设计、决策等优化问题的能力，在优 化方法中的参数选择时借助专家系统，减少了参数选 择的盲目性，提高了程序求解能力。
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2020/2/28
13
1-1 优化设计实例
例 1-3 一种承受扭转的空心传动轴，已知传递的扭矩为T ，
试确定此传动轴的内、外径，以使其用料最少。
空心传动轴的截面积：
s (D2 d2)
4
扭转强度条件：
max


16DT (D4 d4)

[
]
扭转刚度条件：


32T
G(D4
g1(x1, x2 ) 9x1 4x2 360 g2 (x1, x2 ) 3x1 10x2 300 g3 (x1, x2 ) 4x1 5x2 200 g4 (x1, x2 ) x1 0 g5 (x1, x2 ) x2 0
这就是该问题的数学模型。
2020/2/28
第一章 优化设计的数学模型
2020/2/28
1
第一章 优化设计的数学模型
对任何一位设计者来说，总愿意作出最优设计方案，使 所设计的产品或工程设施有最好的使用性能和最低的材料消 耗与制造成本，以便获得最佳的经济效益和社会效益。
为此，自古以来，慎重的工程设计人员常常提供几种候 选设计方案，再从中择其“最优”者。
实践证明，最优化设计是保证产品具有优良的性能，减轻自 重或体积，降低工程造价的一种有效设计方法。同时也可使设计 者从大量繁琐和重复的计算工作中解脱出来，使之有更多的精力 从事创造性的设计，并大大提高设计效率。
2020/2/28
ห้องสมุดไป่ตู้
4
优化设计的发展
50年代以前，用于解决最优化问题的数学方法仅限于古典的 微分法和变分法。50年代末数学规划方法被首次用于结构最优化， 并成为优化设计中求优方法的理论基础。数学规划方法是在第二 次世界大战期间发展起来的一个新的数学分支，线性规划与非线 性规划是其主要内容。此外，还有动态规划、几何规划和随机规 划等。在数学规划方法的基础上发展起来的最优化设计，是60年 代初电子计算机引入结构设计领域后逐步形成的一种有效的设计 方法。利用这种方法，不仅使设计周期大大缩短，计算精度显著 提高，而且可以解决传统设计方法所不能解决的比较复杂的最优 化设计问题。大型电子计算机的出现，使最优化方法及其理论蓬 勃发展，成为应用数学中的一个重要分支，并在许多科学技术领 域中得到应用。
7
机械最优化设计
就是在给定的载荷或环境条件下，在对机械产品的性态、 几何尺寸关系或其它因素的限制(约束)范围内，选取设计变 量，建立目标函数并使其获得最优值的一种新的设计方法。 设计变量、目标函数和约束条件这三者在设计空间(以设计变 量为坐标轴组成的实空间)的几何表示中构成设计问题。
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1-1 优化设计实例
其中： f (x1, x2 ) 代表设计目标，称为目标函数 gi (x1, x2 ) 代表5个已知的生产指标，称为约束函数 5个不等式代表5个生产条件，称为约束条件
由于目标函数和所有的约束函数均是设计变量的线性函数，故此 问题属线性约束优化问题，显然这样的问题无法直接使用极值条 件求解。
甲
9
3
4
乙
4
10
5
供应量 360
300
200
利润/元 60 120
2020/2/28
10
1-1 优化设计实例
设每天生产甲产品件 x1 ，乙产品件 x2
每天可获得的利润可用函数 f (x1, x2 ) 60x1 120x2
每天消耗的材料可用函数
g1(x1, x2 ) 9x1 4x2
每天消耗的工时可用函数
g2 (x1, x2 ) 3x1 10x2
每天消耗的电力可用函数
g3 (x1, x2 ) 4x1 5x2
表示 表示， 表示， 表示，
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1-1 优化设计实例
上述生产计划问题可归结为：
求变量 使函数 满足条件
x1, x2
f (x1, x2 ) 60x1 120x2 最大化
优化设计的特点
“最优化设计”是在现代计算机广泛应用的基础上发展起来 的一项新技术。是根据最优化原理和方法综合各方面的因素，以 人机配合方式或“自动探索”方式，在计算机上进行的半自动或 自动设计,可以选出在现有工程条件下的最佳设计方案的一种现代 设计方法。其设计原则是最优设计；设计手段是电子计算机及计 算程序；设计方法是采用最优化数学方法。
f (x) x(6 2x)2极大化
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1-1 优化设计实例
例 1-2 某工厂生产甲乙两种产品，生产每种产品所需的材 料、工时、电力和可获得的利润，以及能够提供的材料、工时 和电力见表1-1，试确定两种产品每天的产量，以使每天可能 获得的利润最大。
产品
表1-1 生产条件与供给数据 材料/kg 工时/h 电力/（kW*h）
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5
优化设计的应用领域
近十几年来，最优化设计方法已陆续用到建筑结构、化工、 冶金、铁路、航天航空、造船、机床、汽车、自动控制系统、电 力系统以及电机、电器等工程设计领域，并取得了显著效果。其 中在机械设计方面的应用虽尚处于早期阶段，但也已经取得了丰 硕的成果。
2020/2/28
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最优化设计工作包括以下两部分内容：
(1)将设计问题的物理模型转变为数学模型。 建立数学模型时要选取设计变量，列出目标函数，给出 约束条件。目标函数是设计问题所要求的最优指标与设计变 量之间的函数关系式。 (2)采用适当的最优化方法，求解数学模型。 可归结为在给定的条件(例如约束条件)下求目标函数的 极值或最优值问题。
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1-1 优化设计实例
例 1-1 一块边长为6m的正方形铝板，四角各裁去一个小的 方块，做成一个无盖的盒子。试确定裁去的四个小方块的边长， 以使做成的盒子具有最大的容积。
设裁去的四个小方块的边长为; 则盒子的容积可表示成的函数： 上述问题可描述为：
x
f (x) x(6 2x)2
求变量
x
使函数
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2
常规设计与优化设计的区别
常规设计的特点
由于设计时间和经费的限制，使所设计的候选方案的数目受 到很大限制。因此用常规的设计方法进行工程设计，特别是当影 响设计的因素很多时，只能得到有限候选方案中的最好方案、不 可能得到一切可能方案的“最优设计方案”。
2020/2/28
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常规设计与优化设计的区别