第7章 非线性控制系统分析

1 ω t

2
B1
4 π
1
2
[
kA sin t sin ω td (ω t ) ka sin ω td (ω t ) ]
0
1
1

4 kA π
sin
0
2
d
4 ka π
2
1
sin d

4 kA 1 1 4 ka ( sin 2 1 ) cos 1 2 4
非线性系统与线性系统的区别（5）
在线性系统中，一般可采用传递函数、频率特性、脉 冲响应函数等概念。 工程实际中对于存在线性工作区域的非线性系统，或 者非线性不严重(光滑、连续）的准线性系统，常常采 用线性化的方法进行处理，然后在线性分析的基础上 加以修正。 对于包括像继电特性那样根本不存在线性区的本质非 线性特性，工程上常用相平面方法和描述函数方法进 行研究。
1 N ( A )G ( j ) 0
G ( j ) 1 N ( A)
例
分析非线性系统自激振荡的情况
15
-
s ( 0 . 1 s 1)( 0 . 2 s 1)
例
分析非线性系统自激振荡的情况
7.5 MATLAB在非线性系统分析中的应用
键入“Simulink”，会弹出一个Untitled窗口。 复制模块。 模块之间的连接。 选择与删除对象。
N ( A , j )
非线性元件的描述函数或等效幅相频率特性与输 入的正弦振荡的振幅A有关，这是非线性特性本质 的反映。它与线性环节的情况正好相反，线性环 节的幅相特性（频率特性）与正弦输入的幅值无 关。
描述函数的求取 1）绘制输入—输出波形图，写出输入为 e ( t ) A sin ω t 时非线性输出表达式
2k a A ) a A 1 ( a A
2


A [arcsin(
) ]
N ( A)
B1 A

2k

[sin
1
(
a A
)
a A
1 (
a A
) ]
2
负倒特性
N ( A)
1
B1 A

2k

2k
[sin
1
(
a A
)
1
பைடு நூலகம்
a A
1 (
a A
) ]
2

N ( A)

[sin
1
(
2
A1
1 π
1 π

0
2
x ( t ) cos ω td (ω t )
X1
A1 B 1
2
2
B1
x ( t ) sin ω td (ω t )
0
N ( A , j )
x1 e

X 1e Ae
j 1 j0

X1 A
e
j 1

B1 A
j
A1 A
非线性环节的描述函数总是输入信号幅值A的函数， 一般也是频率的函数，因此，描述函数一般记为
本章主要讲什么内容?
首先介绍非线性系统的特性，然后介绍描述函数法，着重分 析自激振荡。最后介绍适合于二阶非线性系统的相平面法。
第7章 非线性控制系统分析
7.1 典型非线性特性 7.2 描述函数法 7.3 典型非线性特性的描述函数
7.4 用描述函数法分析非线性系统的自激振荡
7.5 MATLAB在非线性系统分析中的应用
x (t )
Ai
A0 2
2

(A
i 1

i
cos i ω t B i sin i ω t )
1 π
x ( t ) cos i ω td (ω t )
0
2
Bi
1 π
x ( t ) sin i ω td (ω t )
0
x 1 ( t ) A1 cos t B 1 sin t X 1 sin( t 1 )
0 ωt

2

2
ω t 1
1 ω t
k ( A sin ω t a ) x (t ) k ( A a) k ( A sin ω t a )
0 ωt

2

2
ω t 1
1 ω t
非线性系统与线性系统的区别（3）
线性系统在没有外作用时，周期运动只发生在临界情况， 而这一周期运动在物理上不可能实现的。
非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有可能发生 一定频率和振幅的稳定的周期运动，这个周期运动在物 理上是可以实现的，通常把它称为自激振荡。
非线性系统与线性系统的区别（4）
线性系统中，当输入量是正弦信号时，输出稳态分 量也是同频率的正弦函数，可以引入频率特性的概 念并用它来表示系统固有的动态特性。 非线性系统在正弦作用下的输出比较复杂。
1
B1

2

2

[

x ( t ) sin ω td (ω t )

2

4 ka
0

(





k ( A sin ω t a ) sin ω td (ω t )
0

k ( A a ) sin ω td (ω t )
1
1
kA k ( A sin ω t a ) sin ω td (ω t ) ] [ sin 2 B1 A1
7.1.1
饱和特性
7.1.2
死区特性
7.1.3
间隙特性
7.1.4
继电器特性
7.2 描述函数法
7.2.1 基本思想
7.2.2 基本条件 7.2.3 描述函数的定义
7.2.1 描述函数法的基本思想
描述函数法的基本思想是用非线性元件的输出信号中的基 波分量，代替非线性元件在正弦输入作用下的实际输出。 所以这种方法又称为一次谐波法。
国 家 精 品 课 程
Principles of Automatic Control
（非自动化专业）
主讲人：
自动控制原理
王 万 良
wwl@
《自动控制原理》国家精品课程网站
http://210.32.200.206/zdkz/index.asp
第7章 非线性控制系统分析
导 读


2
1
k ( A sin ω t a ) sin ω td (ω t )
2 kA [ sin 2
1
(
a A
)
a A
1 (
a A
) ]
2
N ( A)
2k a a [ arcsin( ) π 2 A A
1 (
a A
) ]
2
3.间隙特性的描述函数
k ( A sin ω t a ) x (t ) k ( A a) k ( A sin ω t a )
a A
)
a A
1 (
a A
) ]
2
2.死区特性的描述函数 单值奇函数，具有半周期的对称性
0, x (t ) k ( A sin ω t a ), 0 ωt α α
1

ωt

1
2
B1
B1
4 π
2
x ( t ) sin ω td (ω t )
0

4
Step Pulse

3
4 s 3s 2 s
2
Generator
Sum
Saturation
Transfer Fcn
Scope
点击Simulation菜单中Start，就开始仿真。双击Scope 模块就打开示波器，示波器上就显示出系统响应曲线。
问题 ？
本章小结
• 1. 典型非线性特性
为什么要介绍本章?
被控对象的种类越来越多，线性模型已不能满足要求。例如 控制系统中常出现稳定的自激振荡， 这是线性模型中不存在 的。又如控制系统中大量采用继电控制，但线性系统理论不能 分析这类系统。要建立一个能解决非线性系统全部问题的方法 是不可能的。目前许多方法是以线性化方法为基础，加以修补 使之适应解决非线性问题的需要，例如描述函数法。
7.1
典型非线性特性
弱非线性系统（光滑、连续的非线性系统） （泰勒级数展开法，非线性系统的线性化） 强非线性系统(本质非线性) （描述函数法，相平面法，计算机仿真）
非线性系统与线性系统的区别（1）
线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，或 者只取决于系统特征方程根的分布，而和初始条件、 外加作用没有关系。
N ( A) j A A
1
2
(1
2a A
) (1
2a A
) 1 (1
2a A
) ]
2
k [ sin 2
(1
2a A
) (1
2a A
) 1 (1
2a A
) ] j
2
4k a

(
a A
1)
A
4.继电器特性的描述函数
7.4 用描述函数法分析非线性系统的自激振荡
对于非线性系统，不存在系统是否稳定的笼统概念。 必须具体讨论某一运动的稳定性问题。 非线性系统运动的稳定性，除了和系统的结构形式及 参数大小有关以外，还和初始条件有密切的关系。
非线性系统与线性系统的区别（2）
线性系统自由运动的形式与系统的初始偏移无关。 非线性系统自由运动的时间响应曲线可以随着初始 偏移不同而有多种不同的形式。