第7章 非线性控制系统分析

第7章 非线性控制系统分析在构成控制系统的环节中，如果有一个或一个以上的环节具有非线性特性，则此控制系统就属于非线性控制系统。

本章涉及的非线性环节是指输入、输出间的静特性不满足线性关系的环节。

由于非线性问题概括了除线性以外的所有数学关系，包含的范围非常广泛，因此，对于非线性控制系统，目前还没有统一、通用的分析设计方法。

本章主要介绍工程上常用的相平面分析法和描述函数法。

7.1 非线性控制系统概述7.1.1 非线性现象的普遍性组成实际控制系统的元部件总存在一定程度的非线性。

例如，晶体管放大器有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；电动机输出轴上总是存在摩擦力矩和负载力矩，只有在输入超过启动电压后，电动机才会转动，存在不灵敏区，而当输入达到饱和电压时，由于电动机磁性材料的非线性，输出转矩会出现饱和，因而限制了电动机的最大转速；各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙；开关或继电器会导致信号的跳变；等等。

实际控制系统中，非线性因素广泛存在，线性系统模型只是在一定条件下忽略了非线性因素影响或进行了线性化处理后的理想模型。

当系统中包含有本质非线性元件，或者输入的信号过强，使某些元件超出了其线性工作范围时，再用线性分析方法来研究这些系统的性能，得出的结果往往与实际情况相差很远，甚至得出错误的结论。

由于非线性系统不满足叠加原理，前六章介绍的线性系统分析设计方法原则上不再适用，因此必须寻求研究非线性控制系统的方法。

7.1.2 控制系统中的典型非线性特性实际控制系统中的非线性特性种类很多。

下面列举几种常见的典型非线性特性。

1．饱和非线性特性只能在一定的输入范围内保持输出和输入之间的线性关系，当输入超出该范围时，其输出限定为一个常值，这种特性称为饱和非线性特性，如图7-1所示。

图中，x ，分别为非线性元件的输入、输出信号，其数学表达式为y()()()()()sgn ()()⎧≤⎪=⎨>⎪⎩Kx t x t a y t Ka x t x t a （7-1） 式中 —线性区宽度； a K —线性区的斜率。

x-2 -10 1/扼 1 2 x -6 0 0.385 0 -0.3850 6 x1121211当x(0)》1时，系统发散；x (0) < -1x ~ x 平面上任意分布。

第七章非线性控制系统分析习题与解答7-1 设一阶非线性系统的微分方程为x = -x X 3试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。

解令X = 0得 32-X x =x(x -1) = x(x-1)( X 1)=0 系统平衡状态x e =0, -1, 1其中：x e=0:稳定的平衡状态;xe=_[,+〔：不稳定平衡状态。

计算列表，画出相轨迹如图解 7-1所示。

可见：当x(0) <1时，系统最终收敛到稳定的平衡状态;时，x(t) T -°0； x (0)A [时，x(t)T8。

注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个7-2 试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。

(1) x" + x' + x =0x 1 = x 1 + x 2 x 2 =2x 1 +x 2解(1)系统方程为"I :久”+ x" + x = 0 （x 》0）J __ .]I : X + X _x = 0 （x < 0）令x” = x =0，得平衡点：桅=0。

系统特征方程及特征根：' 2 i 73 」I : s + s +1 = 0, s1 2= ———j —（稳正的焦点）2II： s +s—1=0, §,2=—1.618, 和.618 （鞍点）x = f （x, x） = _x — x , 坚艾=一父一乂dxdx |x| . -1x =E|xCt - 一一1 一. , x -dx x 1 +a' 1I ：0（= —1 -它（x》0）i 1!II： a =— -1 （x <0）用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2 ( a )所示。

第七章非线性控制系统分析练习题及答案7-1设一阶非线性系统的微分方程为xx3 x试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。

解令x0得3(21)(1)(1)0xxxxxxx系统平衡状态x e0,1,1其中：x0：稳定的平衡状态；ex1,1：不稳定平衡状态。

e计算列表，画出相轨迹如图解7-1所示。

x-2-11301312x-600.3850-0.38506x112010211图解7-1系统相轨迹可见：当x(0)1时，系统最终收敛到稳定的平衡状态；当x(0)1时，系统发散；x(0)1 时，x(t);x(0)1时，x(t)。

注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个x~x平面上任意分布。

7-2试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。

(1)xxx0(2) x1x2xx122xx12解（1）系统方程为1:xxx0(x0):xxx0(x0)令xx0，得平衡点：x e0。

系统特征方程及特征根：132:ss10,sj(稳定的焦点)1,2222:ss10,s1.618,0.618(鞍点)1,2xf(x,x)xx, d xdxxxxdx dx 1xx,1xxx11I:1(x0)1II:1(x0)计算列表-∞-3-1-1/301/313∞x0:11-1-2/302-∞-4-2-4/3-1x0:11-1-4/3-2-4∞20-2/3-1用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（a）所示。

2图解7-2（a）系统相平面图（2）xxx112①x22xx②12由式①：x2x1x1③式③代入②：(x1x1)2x1(x1x1)即x12x1x10④令x1x10得平衡点：x e0由式④得特征方程及特征根为2.4142ss2101,2（鞍点）0.414画相轨迹，由④式xx 11 d x1dxx12x1x1x 1 x1 2计算列表322.53∞11.52=1/(-2)∞210-1-2∞用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（b）所示。

第7章　非线性系统的分析1．试计算并绘制下列各微分方程的相平面图。

解：（1）求得运用积分法解得相轨迹方程为其相轨迹如图7-1所示。

（2）求得运用积分法解得相轨迹方程为其相轨迹如图7-2所示。

图7-1 系统的相轨迹 图7-2 系统的相轨迹（3）求得令切线斜率，则可得等倾线方程为，即可见等倾线为一簇水平线。

①当α＝0时，，则该等倾线亦为一条相轨迹，因相轨迹互不相交，故其他相轨迹均以此线为渐近线。

②当α→∞时，，表明相轨迹垂直穿过x轴。

③当α→－1/T时，，说明相平面上下无穷远处的相轨迹斜率为－1/T。

最后根据等倾线作图法可得其概略相轨迹如图7-3所示。

图7-3 系统的概略相轨迹（4）求得令切线斜率，则可得等倾线方程为，即可见等倾线为一簇水平线。

①当α＝0时，x＝M，则该等倾线亦为一条相轨迹，因相轨迹互不相交，故其他相轨迹均以此线为渐近线。

②当α→∞时，，表明相轨迹垂直穿过x轴。

③当α→－1/T时，，说明相平面上下无穷远处的相轨迹斜率为－1/T。

最后根据等倾线作图法可得其概略相轨迹，如图7-4所示。

图7-4 系统的概略相轨迹（5）求得运用积分法可解得相轨迹方程为为一抛物线，其概略相轨迹如图7-5所示。

图7-5 系统的概略相轨迹（6）运用积分法可解得相轨迹方程为其中c为一常数，其相轨迹如图7-6所示。

图7-6 系统的相轨迹２．非线性控制系统结构图如图7-7所示，M ＝1。

要使系统产生振幅A＝4，频率ω＝1的自振运动，试确定参数K ，τ的值。

图7-7 系统结构图解：画出和G （jω）曲线如图8．7所示，当K 改变时，只影响自振振幅A ，不改变自振频率ω；而当τ≠0时，会使自振频率降低，幅值增加。

因此可以调节K ，τ大小实现要求的自振运动。

由自振条件N （A ）G （jω）＝-1即将ω＝1代入上式可解得K ＝9.93，τ＝0.322图7-8 和G （jω）曲线3．设继电型控制系统结构如图7-9所示，输入r （t ）＝R·1（t ），c （0）＝0。