非线性控制系统分析样本

·43·第8章 非线性控制系统的分析例题解析例8-1 设非线性系统具有典型结构，试用等效增益概念分析具有死区的三位置理想继电特性(见图8-1(a))对系统稳定性的影响。

图8-1 稳定性分析解：由等效增益定义x y K /=知，等效增益曲线如图8-1(b)所示，其中∆=/M K m 。

设系统不存在非线性时，临界稳定增益为K c ，于是① 若K c >K m ，如图8-1(b)所示，则因实际增益小于临界增益K c ，所以系统稳定 ② 若K c <K m ，如图8-1(c )所示，其中x 0=M./K c ，则当x<x 0时，因m K K >，系统不稳定，x 发散；当x 增加至使x >x 0时，此时m K K <，系统稳定，x 收敛；当x 减小至使x <x 0时，重复上述过程。

可见，在这种情况下，系统将出现以x 0为振幅的自激振荡。

③ 原系统加入具有死区的理想三位置继电特性后，改善了系统的稳定性。

不论原系统是否发散，现系统都不会发散，但可能产生一个以x 0为振幅的自激振荡。

例8-2 试求图8-2所示非线性环节的描述函数。

（a ） （b ）·44·图 8-2 非线性环节解：（1）对于图8-2（a ），因为t X x x y ωsin ,3==且单值奇对称，故A1＝03204320432043sin 4sin 1sin 11X t td X t d t X t td y B ====⎰⎰⎰πππωωπωωπωωπ21143)(X X A j X B X N =+=图 8-3（2）对于图8-2（b ），因为图示非线性可以分解为图8-3所示两个环节并联，所以 K XMX N X N X N +=+=π4)()()(21 例8-3 试将图8-4（a ），（b ）所示系统归化为一个非线性部分和一个线性部分串联的典型结构。

（a ） （b ）图 8-4解：（1）G 1与G 2是小回路的负反馈，则2111G G G G +=从而得典型结构，见图8-5。

特点
非线性系统的行为复杂，难以用线性 系统的理论和方法进行分析和设计。
分类与比较
分类
根据非线性的性质，非线性控制系统可以分为连续时间非线性控制系统和离散时间非线性控制系统。
比较
连续时间非线性控制系统和离散时间非线性控制系统在分析和设计上有较大的差异。
常见非线性控制系统示例
描述：以下是一些常见的非线性控制系 统示例，包括电气系统、机械系统、化 工系统等。
非线性控制系统设
04
计
控制器设计
线性化设计方法
将非线性系统在平衡点附近线性 化，然后利用线性系统的设计方 法进行控制器设计。
反馈线性化设计方
法
通过引入适当的非线性反馈，将 非线性系统转化为线性系统，然 后进行控制器设计。
滑模控制设计方法
利用滑模面的设计，使得系统状 态在滑模面上滑动，并利用滑模 面的性质进行控制器设计。
相平面法
总结词
一种通过绘制相平面图来分析非线性系统动态特性的方法。
详细描述
相平面法通过将系统的状态变量绘制在二维平面上，直观地展示系统的动态行为，如极限环、分岔等。这种方法 适用于具有两个状态变量的系统。
平均法
总结词
一种通过将非线性系统的动态特性平均 化来简化分析的方法。
VS
详细描述
平均法通过在一定时间范围内对非线性系 统的动态特性进行平均，将非线性系统简 化为一个平均化的线性系统。这种方法适 用于具有周期性激励的非线性系统。
线性系统稳定性分析方法
通过求解特征方程或使用劳斯-赫尔维茨判 据等方法，可以判定线性系统的稳定性。
非线性系统稳定性分析
要点一
非线性系统的特性
非线性系统不具有叠加性和时不变性，其响应会受到初始 状态和输入信号的影响。

19
8.2 描 述 函 数 法 8.2.1 描述函数的基本概念
设非线性环节的输入为 x(t)＝A sinωt
一般情况下，非线性环节的稳态输出y(t)是非正弦周期信号。 将y(t)用傅氏级数表示为
y t A0 An cos nt+Bn sin nt =A0 Yn sin nt+n
n =1
n =1
kx，
x ≤a
y Msignx， x ＞a
2
图8-1 饱和非线性特性
3
2． 死区特性
死区又称不灵敏区，如图8-2所示。其输入与输出之间关
系的表达式为
0，
x ≤Δ
y k x Δsignx， x ＞Δ
式中，Δ为死区范围； k为线性段的斜率。
当输入信号小于Δ时，对系统来说，虽然有输入但无输
出，只有当|x|＞Δ时才有输出，这时，输出与输入之间为
第八章 非线性控制系统分析
8.1 非线性系统的基本概念 8.2 描述函数法 8.3 相平面法 8.4 Matlab应用实例
1
8.1 非线性系统的基本概念 8.1.1 典型非线性特性
控制系统中含有本质非线性环节，如果这些本质非线性特 性能用简单的折线来描述，则称为典型非线性特性。
1. 饱和特性 饱和特性是一种常见的非线性特性，如图8-1所示。其数 学表达式为
最后指出，这种方法只适用于单个的非线性元件，如果有 两个以上的非线性元件，则必须把它们合并为一个模块，否则 第二个元件的输入就不会是正弦波。
22
8.2.2 典型非线性特性的描述函数 1． 死区特性 在具有死区的元件中，当输入在死区的幅值范围内时
就没有输出。图8-6所示为死区非线性特性及其输入、输出波 形。

第八章 非线性控制系统分析8-1 非线性控制系统概述1. 研究非线性控制理论的意义以上各章详细地讨论了线性定常控制系统的分析和设计问题。

但实际上，理想的线性系统并不存在，因为组成控制系统的各元件的动态和静态特性都存在着不同程度的非线性。

以随动系统为例，放大元件由于受电源电压或输出功率的限制，在输入电压超过放大器的线性工作范围时，输出呈饱和现象，如图8-l(a)所示；执行元件电动机，由于轴上存在着摩擦力矩和负载力矩，只有在电枢电压达到一定数值后，电机才会转动，存在着死区，而当电枢电压超过一定数值时，电机的转速将不再增加，出现饱和现象，其特性如图8-1(b)所示；又如传动机构，受加工和装配精度的限制，换向时存在着间隙特性，如图8-1(c)所示。

在图8-2所示的柱形液位系统中，设H 为液位高度，Q i为液体流入量，Q o 为液体流出量，C 为贮槽的截面积。

根据水力学原理0Q k H = (8-1)其中比例系数k 是取决于液体的粘度和阀阻。

液位系统的动态方程为0i i dH CQ Q Q k H dt =-=-显然，液位H 和液体输入量Q i 的数学关系式为非线性微分方程。

由此可见，实际系统中普遍存在非线性因素。

当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时，该系统称为非线性系统。

一般地，非线性系统的数学模型可以表示为：(,,...,,)(,,...,,)n m n m d y dy d r dr f t y g t r dt dt dt dt =(8-3)其中f(·)和g(·)为非线性函数。

当非线性程度不严重时，例如不灵敏区较小、输入信号幅值较小、传动机构间隙不大时，可以忽略非线性特性的影响，从而可将非线性环节视为线性环节；当系统方程解析且工作在某一数值附近的较小范围内时，可运用小偏差法将非线性模型线性化。

例如，设图8—2液位系统的液位H 在H 0附近变化，相应的液体输入量Q i 在Q i0，附近变化时，可取ΔH =H −H 0，ΔQ i =Q i −Q i0,对√H 作泰勒级数展开。

解：1. 死去继电特性的描述函数
4M N(X)
1 ( )2
X
X
2. 绘制描述函数的负倒数特性
1
X
N(X ) 4M 1 ( )2
X
3. 绘制线性部分的极坐标图
4. 判断稳定性，分析两曲线相交点的性质
1 N(X)
X
-1.56 300 400 B -1 -0.5
X 130 A 140
120 G(j)
趋于奇点 远离奇点 包围奇点
例：二阶线性定常系统
••
•
x 2n x n2 x 0
试分析其奇点运动性质。
dx/dt x
稳定节点
••
•
x 2n x n2 x 0
dx/dt x
1
稳定节点
相轨迹趋于原点，该奇点称为 稳定节点
••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
1
不稳定节点
相轨迹远离原点，该奇点为 不稳定节点
者是自持振荡的
自持振荡点 a 振荡幅值=Xa
振荡频率=a
Im Re
X a
0
1 G(j) N ( X )
例：已知死区继电非线性系统如图
R(s)
+M
460
C(s)
+-
- -M
( j)(0.01 j 1)(0.005 j 1)
继电参数： M 1.7 死区参数：Δ 0.7 应用描述函数法作系统分析。
•
x
-1 -5/4
-3/2
-5/3
=
-2
-3/7
-3
-5 - x
3
1 1/3
0 -3/4 -1/2 -1/3

在奈氏曲线和-1/N(A)曲线的交点处， 若-1/N(A)曲线沿着振幅A增加的方向由 不稳定区域进入稳定区域时，该交点对 应的周期运动是稳定的。
反之，若-1/N(A)曲线沿着振幅A增 加的方向由稳定区域进入不稳定区域时， 该交点对应的周期运动是不稳定的。
欲利用非线性系统产生不受扰动 影响的自激振荡，应选图8－21（a） 所示的系统。
jw)N ( A)]

0
由上两式可解得交点处得频率ω 和幅值A。
交点处，系统响应为等幅振荡，即系 统处于周期运动。此时，非线性环节 的输入近似为等幅振荡。
每个交点对应一个周期运动。 如果该周期运动能够维持，即在外界
小扰动作用下使系统偏离该周期运动， 而当该扰动消失后，系统的运动仍能 恢复原周期运动，则称为稳定的周期 运动。
置。
非线性系统稳定性分析的描述函数法
条件（1）具有典型结构形式（2）满足描 述函数法应用条件。
描述函数可作为一个具有复变增益的比例 环节，非线性系统变成一个等效的线性系 统。可以应用线性系统理论中的频率域稳 定判据分析非线性系统的稳定性。
变增益线性系统的稳定性分析
图8－17（a）线性系统，其中K为比例环节 增益。
非线性系统的稳定性判据
若奈氏曲线不包围-1/N(A)曲线， 则非线性系统稳定；若奈氏曲线包 围-1/N(A)曲线，则非线性不系统 稳定。
例8－3 系统不稳定
若奈氏曲线与-1/N(A)曲线有交点，表明特 征方程有ω 的正实数解，则系统存在着无 外作用下的周期运动，其稳定性和周期运 动的稳定性需另行分析。
生等幅振荡。
若设K在一定范围内可变，即有
K1 K K2
则(-1/K,j0)为复平面实轴上的一段 直线。 若奈氏曲线不包围该直线，则系统 闭环稳定，反之，系统闭环不稳定。

x x
整理后得： x
2
x (x x )
2 2 0 2 0
相轨迹
2.等倾线法 --不解微分方程，直接在相平面上绘制相轨迹。 等倾线： 相平面上相轨迹斜率相等的诸点的连线。 等倾线法基本思想： 先确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨迹的切线 方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相
四、继电特性
y M 0 x
M y M
x 0 x 0
-M
对系统的影响：
1可能会产生自激振荡，使系统不稳定或稳态误差增大；
2.如选得合适可能提高系统的响应速度。
其他继电特性
y
M -h 0 h -M x M -△ 0
y
-△
△
y M 0 △ -M x
-M
死区 + 继电
x
滞环 + 继电
x ，从x, x 中消
(2)直接积分法
dx dx dx dx x x dt dx dt dx
dx x f ( x, x ) dx
g ( x)dx h( x)dx

x
x0
g ( x)dx h( x)dx
x1,2 0.25 1.39 j
系统在奇点(0,0)处有一对具有负实部的共轭复根， 故奇点(0,0)为稳定的焦点。
f ( x, x ) 奇点(-2,0)处 x
x 2 x 0
2
f ( x, x ) x

c
c
c
c
(6)≤-1 s1s2 --两个正实根
四、奇点和奇线
1.奇点 --同时满足 x 0 和 f ( x, x) 0 的点。

法求解有困难时，可用图解法绘制。
▪ 对于式（9.2-1）xf(x,x)，令 x1x、 x2x ，
▪
有 x 2f(x1、 x2)，所以 可得 dx2 f (x1、x2)
d d x t2d dx x1 2d d x t1x2d dx x1 2f(x1、 x2)
（9.2-5）
▪
dx1
x2
式（9.2-5）是关于
y
-b 0
k
x
b
a.
b.
图9.1-4 齿轮传动及其间隙特性
y(x)k[xs g x)n b](|y/kx|b y (x)0、 y(x)C |y/kx|b
▪ 系统中若有间隙特性元件，不仅会使系统的输出产生相位滞后，导致 系统稳定裕量的减小，使动态性能恶化，容易产生自振；而且间隙区 会降低定位精度、增大非系线统性控静制差系统。的分析课件
▪ 由于相平面只能表示 x(t ) 和 x(t ) 两个独立变量，所以相 平面法只能用来研究一、二阶线性或非线性系统。
▪ 2）相轨迹的绘制方法
▪ （1）二阶线性系统的相轨迹 ▪ （2）相轨迹的绘制
非线性控制系统的分析课件
j
[s]
2 1
0
a.
j 1 [s]
0
2
d.
x2
j
x2
1
[s]
x1
0
0
0
稳定 节点
x
(
t
)
和 x (t ) 的一阶微分方程，即二阶非线性
系统的相轨迹方程。
▪
由式（9.2-5），令
dx2 f (x1,x2)
dx1
x2
，即有
▪
f (x1, x2 )
（9.2-6）

总结词
详细描述
智能控制
要点一
总结词
智能控制是一种基于人工智能的控制方法，通过模拟人类 的决策和推理过程来实现对系统的优化和控制。
要点二
详细描述
智能控制采用人工智能技术，如专家系统、神经网络、模 糊逻辑等，实现对系统的优化和控制。智能控制具有自学 习、自适应和自组织能力，能够处理复杂的非线性系统和 不确定性问题。
03
状态观测是非线性控制 系统的重要技术，用于 估计系统状态变量的值。
04
通过观测系统的输出信 号，可以估计系统状态 变量的值，用于控制和 观测目的。
CHAPTER
非线性控制系统的分析与设 计
描述函数法
总结词
详细描述
相平面法
总结词 详细描述
反馈线性化方法
总结词 详细描述
滑模控制方法
总结词
一种用于处理非线性控制系统不确定性 的方法
VS
详细描述
滑模控制方法是一种通过设计滑模面和滑 模控制器，使得系统状态在滑模面上滑动 并达到期望目标的方法。它利用滑模面的 设计，使得系统对不确定性具有鲁棒性， 能够有效地处理非线性系统中的不确定性 和干扰。
CHAPTER
非线性控制系统的应用实例
无人机控制系 统
机器人控制系 统
机器人控制系统是另一个重要的非线 性控制系统应用，它涉及到机器人的 运动学、动力学和轨迹规划等方面。
汽车控制系统需要处理各种非线性特性和耦合效应，如发动机的燃烧过 程、底盘的悬挂系统和转向系统等，以确保汽车的安全性、稳定性和舒
适性。
汽车控制系统的设计需要运用非线性控制理论和方法，如状态反馈控制、 鲁棒控制等，以提高汽车的动态性能和燃油经济性。
航天器控制系 统

一般非线性
描述函数不仅适合于分段线性系统，也适合于一般
非线性系统，只要能求出非线性环节的描述函数。我们 举一个例子:
1 1 3 y x x 2 4
因为它是单值、奇对称的，A1
0, 1 0 ，先求出 y (t ) ：
1 1 3 3 y (t ) A sin t A sin t 2 4
n 1

A 0 Yn sin(n t n )
n 1
y (t ) A0 ( An cos n t Bn sin n t )
n 1

A 0 Yn sin(n t n )
n 1
1 2 式中：A0 y (t )d t 0 2 1 2 An y (t ) cos n td t
2 1 2 1
这意味着一个非线性元件在正弦输入下，其输出也是
一个同频率的正弦量，只是振幅和相位发生了变化。
这与线性元件在正弦信号作用下的输出具有形式上的 相似性，故称上述近似处理为谐波线性化。
描述函数法的定义：输入为正弦函数时，输出的基波分量 与输入正弦量的复数比。其数学表达式为
Y sin( t 1 ) Y1 N ( A) 1 1 A sin t A A12 B12 A arctan 1 A B1
y
B
C
0
C
x
B
(a)
死区特性 一般的测量元件、执行机构都具有不灵敏区特性。只有在输 入信号大到一定程度以后才会有输出。一般的机械系统、 电机等, 都不同程度地存在死区。这种只有当输入量超过 一定值后才有输出的特性称为死区特 性，如图b所示。
y
k
C
0
C
x
k

7-5 非线性控制系统的相平面分析一、线性控制系统的相平面分析1、阶跃响应 设线性二阶控制系统如图7-38所示。

若系统开始处于平衡状态。

试求系统在阶跃函数)(1)(0t R t r ⋅=　作用下，在ee -平面上的相轨迹。

建立系统微分方程式，由图示系统可得Ke c cT =+ 因为c r e -=，代入上式得r r T Ke e eT +=++ （7-31） 对于->⋅=0),(1)(0t t R t r 时，0)()(==t r t r因此上式可写成0=++Ke e e T （7-32）方程（7-32）与（7-22）式相仿。

因为假设系统开始处于平衡状态，所以误差信号的初始条件是0)0(R e =和0)0(=e。

e e -平面上的相轨迹起始于)0,(0R 点，而收敛于原点(系统的奇点)。

当系统特征方程的根是共轭复数根，并且位于左半平面时，其相轨迹如图7-39(a)所示。

根据ee -平面上的相轨迹就可方便的求得c c -平面上系统输出的相轨迹，如图7-39(b)所示。

由图7-39可见，欠阻尼情况下系统的最大超调量P σ及系统在稳态时的误差为零。

因为e e -平面相轨迹最终到原点，即奇点；所以在cc -平面上相轨迹最终到达0R c =的稳态值，则奇点坐标为)0,(0R 。

2、斜坡响应 对于斜坡输入t V t r 0)(=；当0>t 时，)(t r 的导数0)(V t r= 及0)(=t r 。

因此，方程（7-31）可以写成0V Ke e eT =++ 或 0)(0=-++KV e K e e T 令v e K V e =-0，代入上式，则有0V Ke ee T =++ννν （7-33） 在v v ee -平面上，方程（7-33）给出了相平面图与在e e -平面上方程（7-32）给出的相平面图是相同的。

应当指出，特征方程式的根确定了奇点的性质，在v v ee -平面上的奇点的位置是坐标原点，而在e e -平面上奇点坐标为)0,(0K V 点。

第八章非线性控制系统分析l、基本内容和要求（l）非线性系统的基本概念非线性系统的定义。

本质非线性和非本质非线性。

典型非线性特性。

非线性系统的特点。

两种分析非线性系统的方法——描述函数法和相平面法。

（2）谐波线性化与描述函数描述函数法是在一定条件下用频率特性分析非线性系统的一种近似方法。

谐波线性化的概念。

描述函数定义和求取方法。

描述函数法的适用条件。

（3）典型非线性特性的描述函数（4）用描述函数分析非线性系统非线性系统的一般结构。

借用奈氏判据的概念建立在奈氏图上判别非线性反馈系统稳定性的方法，非线性稳定的概念，稳定判据。

（5）相平面法的基本概念非线性系统的数学模型。

相平面法的概念和内容。

相轨迹的定义。

（6）绘制相轨迹的方法解析法求取相轨迹；作图法求取相轨迹。

（7）从相轨迹求取系统暂态响应相轨迹与暂态响应的关系，相轨迹上各点相应的时间求取方法。

（8）非线性系统的相平面分析以二阶系统为例说明相轨迹与系统性能间的关系，奇点和极限环的定义，它们与系统稳定性及响应的关系。

用相平面法分析非线性系统，非线性系统相轨迹的组成。

改变非线性特性的参量及线性部分的参量对系统稳定性的影响。

2、重点（l）非线性系统的特点（2）用描述函数和相轨迹分析非线性的性能，特别注重于非线性特性或线性部分对系统性能的影响。

8-1非线性控制系统分析1研究非线性控制理论的意义实际系统都具有程度不同的非线性特性，绝大多数系统在工作点附近，小范围工作时，都能作线性化处理。

应用线性系统控制理论，能够方便地分析和设计线性控制系统。

如果工作范围较大，或在工作点处不能线性化，系统为非线性系统。

线性系统控制理论不能很好地分析非线性系统。

因非线性特性千差万别，无统一普遍使用的处理方法。

非线性元件(环节)：元件的输入输出不满足(比例+叠加)线性关系，而且在工作范围内不能作线性化处理(本质非线性)。

非线性系统：含有非线性环节的系统。

非线性系统的组成：本章讨论的非线性系统是，在控制回路中能够分为线性部分和非线性部分两部分串联的系统。

2x(t)sinntd(t)
0
直流分量 n次谐波
Xn (An2Bn2)1/2
narctan(An/Bn)
描述函数的定义
e(t)Asint
x(t)X1sin(t1)
N中(在A基正) =波弦N输分(入A量)下和e，j∠输非N(入A线) 信=性XA号环1 e的节j1复的数B稳1比态Aj输A称1出 为非线性环节的描述函数
N (A )2 M A 1 (m A )2 h1 (A h)2 j2 M A 2(m h 1 )
上节重点内容回顾
描述函数的定义
e(t)Asint
x(t)X1sin(t1)
N中(在A基正) =波弦N输分(入A量)下和e，j∠输非N(入A线) 信=性XA号环1 e的节j1复的数B稳1比态Aj输A称1出 为非线性环节的描述函数
x(t)=Asinωt
死区非线性环节的描述函数
19
典型非线性特性的描述函数
2. 饱和特性的描述函数
x(t)
x(t)
0
π
2π
Kk
a
e(t) 0 ψ
ωt
0
A e x( t )
ψ
π 2π ωt
e(t)Asint
kAsint 0t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x(t) ka
t,Aa,Asina
kAsint t
N(A )2 k arcsina Aa A1(a A)2 ,Aa
x(t)A 1co stB 1sint X1sin(t1)
A11X021x=(t)cAos12+tdB( 12t) B 11 a1rc0t2gABx(11t)sintd(t)
负倒 描述函数
r e N(A) x G(s)

第8章 非线性控制系统的分析重点与难点一、基本概念1. 线性与非线性系统的联系与区别控制系统在不同程度上都存在着非线性。

有些系统可以在工作点附近把它线性化，然后按线性系统来处理（如三级管放大器电路），但当系统含有本征非线性特性（如死区特性、继电器特性等）时，就不能用线性化的方法处理。

死区特性将使系统出现较大的稳态误差。

饱和特性将降低系统的超调量，有时还会引起稳定振荡。

间隙特性可使系统的振荡加剧，静差也会增大，有时会使系统不稳定。

继电器特性会出现低速爬行、蠕动及响应不平滑等现象。

与线性系统相比，非线性系统与线性系统的本质差别可以概括为以下三点： （1）线性系统可以使用叠加原理，而非线性系统不能使用叠加原理；（2）线性系统的稳定性与初值、输入无关，而非线性系统的稳定性与初值、输入有关； （3）线性系统可以写出通解形式，而非线性系统无法写出通解形式。

2. 相平面分析法以x ，x为坐标的平面就叫相平面，系统的某一状态对应于相平面上的一点。

相平面上的点随时间变化的轨迹叫相轨迹。

对应于二阶线性定常系统的相轨迹，可以对非线性系统进行分析，这种分析方法称为相平面分析法。

二阶线性定常系统的相轨迹如表8-1所示。

3. 极限环非线性系统存在着稳定的振荡状态，在相平面图上可表示为一个孤立的封闭相轨迹。

所有附近的相轨迹都渐近地趋向这个封闭的相轨迹，或离开该封闭的相轨迹，该相轨迹称为极限环。

极限环分为稳定和不稳定等四种形式，如表8-2所示。

非线性系统可能没有极限环，也可能存在多个极限环。

在相平面图形上，一个稳定的极限环就对应于一个自振状态。

4. 相平面做图法I —等倾线法令dx xd a / =，即),(x x f a =。

对于a 的不同取值，由),(x x f a =可得到x 与x 的不同关系式，而且在曲线),(xx f a =上，均具有相同的斜率a 。

给出一组a ，就可近似描绘出相平面图形。

表8-1 二阶线性系统022的相轨迹表8-2 极限环基本形式5. 相平面做图法II —δ方法给),(x x f x=两边同加x 2ω，得令 x x x f x x22),(ωω+=+ 22),(),(ωωδx x xf xx +=得 22),(ωδωx x x x=+ 因此 21212)(d x x=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛δω式中 21122121111)( ),(δωδδ-+==x x d xx 利用上式就可得点],[11xx 邻域内的相平面图形。

自动控制原理
16
8.3.1相平面的基本概念
考虑二阶线性系统 (8-2) 式中 与 n 是阻尼比和无阻尼自然振荡频率。 设系统仅由初始条件激励。这一系统的状态可以用两 个变量， x 和 x 来描述。若令，则方程(8-2)可化为 x1 x, x2 x (8-3) 2 (8-4) x2 n x1 2n x2 (0) ，由这两 x2 (0)或 x(0)、x 只要给定初始条件 x1 (0) 、 个一阶联立微分方程便可唯一地确定系统的状态。如 此定义的变量和称为相变量(或状态变量)。图8.9(a) 绘出了初始条件为 x(0) x0 , x(0) 0，在不同阻尼下的 时间响应曲线。
自动控制原理
3
8.1.1典型非线性特性
y
1. 饱和特性 2. 死区特性 3.间隙特性
y
M 近似饱和特性 -b 0 -M b
实际饱和特性 x
图8.1 饱和非线性特性
y
K
- 0 K
-b
x

0
b
x
图8.2 死区非线性特性
图8.3 间隙非线性特性
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4. 继电器特性
y M 0 -M (a) y M - y M y M
自动控制原理
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1.相平面法: 一种图解分析方法，适用于具有严重非线性 特性的一阶、二阶系统，该方法通过在相平面绘 制相轨迹曲线，确定非线性微分方程在不同初始 条件下解的运动形式。 2.描述函数法: 一种等效线性化的图解分析方法，该方法对 于满足结构要求的非线性系统，通过谐波线性化， 将非线性特性近似为复变增益环节，然后推广应 用频率法，分析非线性系统的稳定性或自激振荡。
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4 x 2 m jα N ( A) = e πA 1 a α = sin A 1 π A jα ∴ = e N ( A) 4 x2 m
A>a
3.用描述函数法研究非线性控制系统 解:(续) πA = (cosα + j sin α ) 4 x2 m
π = 4 x2 m π = 4 x2 m
πa A a j 4 x2 m
第九章 非线性控制系统
第一节 非线性系统概述 第二节 描述函数法 第三节 相平面法
第一节 非线性系统概述
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1. 何谓线性系统? –静态特性:输入和输出成比例 –动态特性:可应用叠加原理 –y=f1(x1)+f2(x2)+f3(x3) –y=f(kx)=kf(x) 2. 何谓非线性系统? –静态特性:输入和输出不成比例 –动态特性:不可应用叠加原理
描述函数定义式:
X 2 ( A, ω ) C1 j N ( A, ω ) = = e X 1 ( A, ω ) A
描述函数定义陈述:
1
非线性系统的描述函数为输出基波分量 与输入信号之比
由于假设非线性系统是非储能元件,所以可只考虑 A, 不顾ω, 于是 N(A,ω)=N(A)
2. 典型非线性元件的描述函数
&& + a 1 ( x , x ) x + a 0 ( x , x ) x = 0 & & & x & dx & & & = && = a 1 ( x , x ) x a 0 ( x , x ) x x dt dx & = x dt & && dx x x & & = = a1 ( x , x ) a 0 ( x , x ) & & dx x x