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·43·第8章 非线性控制系统的分析例题解析例8-1 设非线性系统具有典型结构，试用等效增益概念分析具有死区的三位置理想继电特性(见图8-1(a))对系统稳定性的影响。
图8-1 稳定性分析解：由等效增益定义x y K /=知，等效增益曲线如图8-1(b)所示，其中∆=/M K m 。
设系统不存在非线性时，临界稳定增益为K c ，于是① 若K c >K m ，如图8-1(b)所示，则因实际增益小于临界增益K c ，所以系统稳定 ② 若K c <K m ，如图8-1(c )所示，其中x 0=M./K c ，则当x<x 0时，因m K K >，系统不稳定，x 发散；当x 增加至使x >x 0时，此时m K K <，系统稳定，x 收敛；当x 减小至使x <x 0时，重复上述过程。
可见，在这种情况下，系统将出现以x 0为振幅的自激振荡。
③ 原系统加入具有死区的理想三位置继电特性后，改善了系统的稳定性。
不论原系统是否发散，现系统都不会发散，但可能产生一个以x 0为振幅的自激振荡。
例8-2 试求图8-2所示非线性环节的描述函数。
（a ） （b ）·44·图 8-2 非线性环节解：（1）对于图8-2（a ），因为t X x x y ωsin ,3==且单值奇对称，故A1＝03204320432043sin 4sin 1sin 11X t td X t d t X t td y B ====⎰⎰⎰πππωωπωωπωωπ21143)(X X A j X B X N =+=图 8-3（2）对于图8-2（b ），因为图示非线性可以分解为图8-3所示两个环节并联，所以 K XMX N X N X N +=+=π4)()()(21 例8-3 试将图8-4（a ），（b ）所示系统归化为一个非线性部分和一个线性部分串联的典型结构。
（a ） （b ）图 8-4解：（1）G 1与G 2是小回路的负反馈，则2111G G G G +=从而得典型结构，见图8-5。
第八章 非线性控制系统分析8-1 非线性控制系统概述1. 研究非线性控制理论的意义以上各章详细地讨论了线性定常控制系统的分析和设计问题。
但实际上，理想的线性系统并不存在，因为组成控制系统的各元件的动态和静态特性都存在着不同程度的非线性。
以随动系统为例，放大元件由于受电源电压或输出功率的限制，在输入电压超过放大器的线性工作范围时，输出呈饱和现象，如图8-l(a)所示；执行元件电动机，由于轴上存在着摩擦力矩和负载力矩，只有在电枢电压达到一定数值后，电机才会转动，存在着死区，而当电枢电压超过一定数值时，电机的转速将不再增加，出现饱和现象，其特性如图8-1(b)所示；又如传动机构，受加工和装配精度的限制，换向时存在着间隙特性，如图8-1(c)所示。
在图8-2所示的柱形液位系统中，设H 为液位高度，Q i为液体流入量，Q o 为液体流出量，C 为贮槽的截面积。
根据水力学原理0Q k H = (8-1)其中比例系数k 是取决于液体的粘度和阀阻。
液位系统的动态方程为0i i dH CQ Q Q k H dt =-=-显然，液位H 和液体输入量Q i 的数学关系式为非线性微分方程。
由此可见，实际系统中普遍存在非线性因素。
当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时，该系统称为非线性系统。
一般地，非线性系统的数学模型可以表示为：(,,...,,)(,,...,,)n m n m d y dy d r dr f t y g t r dt dt dt dt =(8-3)其中f(·)和g(·)为非线性函数。
当非线性程度不严重时，例如不灵敏区较小、输入信号幅值较小、传动机构间隙不大时，可以忽略非线性特性的影响，从而可将非线性环节视为线性环节；当系统方程解析且工作在某一数值附近的较小范围内时，可运用小偏差法将非线性模型线性化。
例如，设图8—2液位系统的液位H 在H 0附近变化，相应的液体输入量Q i 在Q i0，附近变化时，可取ΔH =H −H 0，ΔQ i =Q i −Q i0,对√H 作泰勒级数展开。
第八章非线性控制系统分析
教学目的 :
经过学习本章, 使学生掌握秒素函数法与相平面法分析非线性系统的理论基础与应用。
教学要求:
(1)认识非线性系统区别于线性系统的运动过程特点.
(2)掌握描述函数法和相平面法的特点及应用范围.
(3)明确函数的定义及相关概念,熟悉典型非线性的妙描述和负倒描述函数
特性,掌握用描述函数法分析非线性系统的稳定性和分析自振,计算自振参数的方法.
教学课时: 12学时
教学重点: (1) 非线性的相关概念.
(2) 典型系统的相平面表示.
(3) 典型非线性系统的描述函数形式.
教学难点:
非线性系统的描述函数求法;
利用负倒数法分析系统稳定性.
本章学时: 12学时
主要内容:
8.1 非线性系统的概述
8.2 描述函数法
8.3 相平面法分析线性控制系统
8.4 利用非线性特性改进系统的控制性能
8.1非线性系统的概述
8.1.1 非线性模型
㈠组成
---------x-------非线性环节---------线性环节------------
组成: 非线性环节+线性环节
㈡. 分类
①从输入输出关系上分: 单值非线性
非单值非线性
1，从形状特性上分: 饱和
死区
回环
继电器
㈢特点
稳定性与结构, 初始条件有关 ; 响应
㈣分析方法
注意: 不能用叠加原理
1. 非线性常微分方程没有同意的求解方法, 只有同意求近似解的方法:
a. 稳定性( 时域, 频域) : 由李亚普洛夫第二法和波波夫法判断
b. 时域响应: 相平面法( 实际限于二阶非线性系统) 较精确, 因高阶作用
太复杂
描述函数法: 近似性, 高阶系统也很方便
研究非线性系统并不需求得其时域响应的精确解, 而重要关心其时域响应的性质, 如: 稳定性, 自激震荡等问题, 决定它的稳定性范围, 自激震荡的条件, 震荡幅度与频率等。
2，死区继电器: f(e)
+m
-△e
3
4.滞环特性( 间隙)
-m
8.2 描述性函数
X0(S)
一描述性函数的定义
非线形元件的输入为正弦波时, 将起输出的非正弦波的一次谐波( 基波) 与输入正弦波的复数比, 定义为给非线形环节的描述性函数。
输入:
输出: ) y=f(Asinwt)
=y0+∑x(t)=Asinwt (Bksinkwt+Ckcoskwt)
假设输出为对称奇函数, y0=0;只取基波分量( 假设具有低通滤波特性, 高次谐波忽略) , 则y(t)=B1sinwt+C1coswt=y(sinwt+¢)
二典型非线形特性的描述函数
1，计算方法设非线形特性为: y=f(x)
令X=Asinwt,则y(t)由富式级数展开为: Y(t)=Ao+∑(Ancosnwt+Bnsinnwt)
=Ao+∑Ynsin(nwt+¢)
式中: An=
Ao=0,谐波线性略去高次谐波, 只取基波, 具有低如果非线性特性是中心对称的, 则y(t)具有奇次对称性,
通滤波特性。
Y1=A1coswt+B1sinwt=Y1sin(wt+¢1)
N(A)=Y1/A×exp(j¢1)=Y1/Acos¢1+jY1/Asin¢1
=B1/A+jA1/A=b(A)+ja(A)
与频率材料比较, 方式形式类似, 相当于用一个等效线性元件代替原来非线性元件, 而等效线性元件幅相特性N(a)是输入信号A的函数。
2.举例求饱和限幅特性的描述函数( 固有非线性)
Y y
X ωt
A1=1/π∫y(t)coswtd(wt)=0
B1=1/π∫y(t)sinwtd(wt)=2/π∫y(t)sinwtd(wt)
= 2/π(∫y(t)sinwtd(wt)+∫y(t)sinwtd(wt)+∫y(t)sinwtd(wt))
若A>0,y(t)=Kasinwt 0<=wt<a
kc=B a<=wt<=
Kasinwt
比较线性系统特征方程 G(jω)=–1
线性系统, ( –1, j0) 点是判断稳定的关键点。
非线性系统, 判断稳定性不是点( –1, j0) ,而是一条线–1∕N。
( A∕d) 。
由线形部分与描述函数负侧特性之间相对位置能够判断非线性系统的稳定及自激振荡, 即可利用奈奎斯稳定判据进行分析。
3.判据内容:
在开环幅相平面上, G(jω)条件, 最小位相, 无右极点。
1) 若K。
G(jω)轨迹不包围时线性负侧特性–1∕N。
( A∕d) ,则此非线性系统稳定。
2) 若K。
G(jω)轨迹包围–1∕N。
( A∕d) , 则非线性系统不稳定。
3) 若K。
G(jω)与–1∕N。
( A∕d) 相交, 则在交点处, 系统处于临界稳定, 可能产生周期持续震荡, 这种持续震荡能够用正弦振荡来近似, 其振荡的振幅和频率能够分别用交点处
–1∕N。
( A∕d) 轨迹上的A 值K。
G(jω)曲线上对应的ω值来表征。
工程设计中, 一般在线性部分加入校正, 改变K。
G(jω)与–1∕N。
( A∕d) 的相对位置, 以消除持续振荡, 提高系统稳定性。
例2.判定自振点并求自振参数。
解: 理想继电器的描述函数
N(A)=4B ∕лA (B=π∕2) N(A)=2∕A
–1∕N 。
( A ∕d) =–A ∕2 K 。
— 非线性环节的传递函数( K 。
=1)
K G(jw) K 。
G(j ω)与–1∕N 。
( A ∕d) 两曲线交于M 点, 稳定自振点。
交点坐标由K 。
G(j ω)=–1∕N 。
( A ∕d) 亦可求出。
10 ∕j ω( j ω+1) ( j ω+3) =10∕–ωω+ j ω( 3-ωω) = -A ∕2 虚部=0 j ω( 3-ωω) =0 因此ω=0 ( 舍去) ω=1.732
实部≠0 ω=1.732 代入原式 -10∕4ωω=-A ∕2 A=1.7
故自振点ω=1.732∕s A=5∕3
稳定运行区为初始值大于5∕3 →∞
大初始值能稳定 小初始值不能稳定
例 Y /2。
