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第19讲对数函数图像及性质【知识点梳理】1.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数，它是指数函数x y a =(0a >且1)a ≠的反函数．对数函数的图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于y x =的对称图形，即可获得．同样也分1a >与01a <<两种情况归纳：以2log y x =与12log y x =为例1a >01a <<图象性质定义域：(0)+∞，值域：R过定点(10)，，即1x =时，0y =在(0)+∞，上增函数在(0)+∞，上是减函数当01x <<时，0y <，当1x ≥时，0y ≥当01x <<时，0y >，当1x ≥时，0y≤(2)底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)图2-3-3【典型例题】题型一：对数函数的概念【例1】下列函数是对数函数的是（）A ．()log 2a yx =B ．lg10xy =C ．()2log a y x x =+D ．ln y x=【题型专练】1.已知函数①4x y =；②log 2x y =；③3log y x =-；④0.2log y =3log 1y x =+；⑥()2log 1y x =+.其中是对数函数的是（）A ．①②③B ．③④⑤C ．③④D ．②④⑥题型二：对数函数的定义域【例1】函数()ln 1f x -的定义域为（）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4【例2】函数y =）A ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦D ．[)1,+∞【例3】已知函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则函数2(log )y f x ＝的定义域为（）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．2⎤⎥⎣⎦D ．⎤⎦【例4】下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（）A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y【例5】已知函数()21f x +的定义域为[]1,2，则函数()()()lg 2f x g x x =-的定义域为（）A ．[]2,5B ．()(]2,33,5⋃C ．(]2,5D ．[)(]2,33,5⋃【题型专练】1.函数()()2ln 56f x x x =-+-的定义域是__________．2.已知函数(2)x y f =的定义域是[]1,1-，则函数3(log )f x 的定义域是（）A ．[]1,1-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3D ．3.函数()()1log 121-=x x f 的定义域为（）.A ．(),2-∞B ．()2,C ．()1,2D ．(]1,24.函数()21log (3)f x x =-的定义域为题型三：对数函数的定义域为R 和值域为R 的区别【例1】已知函数()()2lg 32f x ax x =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是___________.【例2】函数()()2lg 234f x mx x =-+的值域为R ，则实数m 的取值范围为______．【题型专练】1．（1）若函数()()22log 1f x ax ax =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是___________；（2）若函数()()22log 1f x ax ax =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是___________.2.若函数()12log 22++=x ax y 的定义域为R ，则a 的范围为__________。
对数函数的概念和运算对数函数是数学中常用的一种函数，它广泛应用于各个领域，包括物理、工程、经济学等。
对数函数的概念和运算是数学学习的重要内容，下面将详细介绍对数函数的定义、性质以及常见的运算规则。
一、对数函数的概念对数函数是指以一个正数为底的指数函数。
通常用log表示，底数和真数之间用逗号隔开。
例如，以底数为a的对数函数可以表示为logₐx。
其含义是a的几次幂等于x。
对数函数的底数必须是正数且不等于1。
对数函数的定义可以用等式来表示：logₐx = y, 其中a>0，a≠1，x>0，y为任意实数。
对数函数的特点是能够将指数运算转化为对数运算，从而简化问题的求解过程。
它与指数函数是互为反函数的关系。
二、对数函数的性质1. 对数函数的定义域和值域：对数函数的定义域是正实数集(0, +∞)，值域是实数集(-∞, +∞)。
2. 对数函数的图像特点：当底数a>1时，对数函数为递增函数；当0<a<1时，对数函数为递减函数。
它的图像一般表现为在x轴右侧逐渐上升，而在y轴右侧逐渐下降。
3. 对数函数的性质：(1) logₐ1 = 0 (任何数的以自身为底的对数都等于1)(2) logₐa = 1 (a的对数底为自身的情况下，结果等于1)(3) logₐ(x·y) = logₐx + logₐy (对数函数的乘法规则)(4) logₐ(x/y) = logₐx - logₐy (对数函数的除法规则)(5) logₐ(x^k) = k·logₐx (对数函数的指数规则)三、对数运算的具体应用对数函数的运算在实际中有着广泛的应用。
以下是对数运算在几个常见领域的应用举例：1. 生物学领域中的pH计算：pH = -log[H⁺]，其中[H⁺]表示溶液中的氢离子浓度。
通过对数运算，可以将氢离子浓度的数量级转化为易于理解的pH值。
2. 经济学领域中的指数计算：经济增长率的计算通常采用对数运算。
《对数函数及其图像与性质》教学设计【课题】《对数函数及其图像与性质》【课时】1课时（45分钟）【上课班级】【上课地点】【设计理念】国家教育部副部长鲁昕对中等职业教育创新教育提出了要创新教学环境、创新教材应用、创新教学方式，构建网络学习平台，提高教育教学信息化水平，增强教学环境和过程的实操性.因此我利用学校网络资源库为学生搭建了一个良好的学习、交流、操作、探讨的平台.根据建构主义理论，让每个学生都通过动手操作作图软件，充分享受课堂探究学习的过程，让学生在做中学、学中做.整个教学以任务驱动下的探究式教学和分层教学相结合的形式，从课堂软件操作、平台讨论、课练游戏、在线测试、反思提升、分层作业、课外兴趣延伸,让学生借助这个平台完成难点的突破、重点巩固，实现教学目标，提升探究函数能力. 【设计亮点】本次教学以任务驱动下的探究式教学和分层教学相结合的形式，授课地点在网络教室.充分利用数学网络学习平台，让学生通过动手使用做图软件作图，自主探究、协作交流，以此避免学生以往只充当旁听者、不能有效参与教学的弊端，帮助学生理解图像，充分激发学生主观能动性，享受探究的乐趣.从网络题库中提取两套题目进行分层测试，学生不仅高效率检测自己知识掌握情况，而且充分激发学生好强心里，调动学习主动性.其中对错误题目的纠错、考生求助提示，可以起到较好的人机交互性.让学生学习不再受时间、空间限制，充分发挥网络优势.及时解决课后复习的困惑，也为有能力的学生提供很好的自学资料，符合国家提倡的终身学习的理念.并且两次在线统计数据更是以准确分析学生实际情况，为教师过程性测评提供很好的参考依据.【教材分析】本课选用的教材是高教版《数学》基础模块上册，《对数函数及其图像与性质》作为第四章第四节对数函数的起始课，不仅能让学生将以往所学的函数、指数、对数知识得以综合运用，还能进一步巩固和提升学生探究函数的方法与能力，为解决实际问题及后续函数学习奠定基础.该教材有与教学参考书相配套的教学光盘，其中，作图软件为学生自主探究学习提供了一种可能，结合课堂实践需求，我开发了信息化学习平台，将它有效地整合在其它信息化资源中.【学情分析】我所面对的授课对象是汽修专业的学生.就在一次实训观摩课中，让我重新认识了这群大男孩儿，他们为了更好地协助老师对受灾车辆进行维修，不断地在拆装过程中自主探究着工作原理，让我深深感受到了他们对专业的热爱和强烈的自主探究的愿望.他们专注而自信的眼神让我感到了数学教学的落差，在满分130分的中考中，平均分只有72分的他们不爱数学，86%的学生觉得函数难学、抽象、不易理解，究其原因是长期缺少主动探究的过程，虽然在指数函数学习后，他们具备了一定的指、对数计算能力，能建立简单指数函数关系式，初步体验了研究函数的一般方法，但是仍抹不去对函数那浓浓的排斥感. 【教学目标】知识与技能：理解对数函数概念；能观察出对数函数图像规律并归纳性质；掌握对数函数单调性；提升探究函数的能力.过程与方法：利用信息化平台，借助作图软件，自主探究、协作交流、构建新知.情感、态度、价值观：在专业情境中，加强自主探究的意识，增强数学学习兴趣，提高职业素养.教学重点：探究对数函数图像归纳性质．教学难点：对数函数性质的自主归纳、单调性的应用.课前准备：教师提前网上公布任务，同时发下一张导学案，要求学生完成.《课前导学案》内容1.指数函数定义2.研究指数函数的方法3.指数函数图像与性质，完成表格环节教师活动预测任务驱动探究性质任务一：类比分析，确定方案教师让学生回顾探究指数函数图像性质的一般方法.任务二：动手实践、特例分析1.作出下列函数的图像（1）12logy x=（2）2logy x=要求：作图过程中观察两个对数函数值域、单调性.2.利用Flash软件进行讲解、校对.思考为何两个函数都经过（1,0）点？教师幻灯片展示，提出仅凭这两个例子得出对数函数性质，能说服你吗？还需要很多特例来验证我们的结论，可以借助信息化手段来帮助我们完成.任务三：自主探究、归纳交流提供作图软件，让学生自主使用作图软件作图进行探究.学生得出通过作图探究对数函数图像性质，很自然的想到了情境创设中的12logy x=，相对于a>1的范围就选取了2logy x=通过两个特例来进行分类讨论.回顾描点法作图一般步骤，通过列表、描点、连线来进行画图，并观察其性质.1.值域都为R2.12logy x=在(0,)+∞上为减函数.2logy x=在(0,)+∞上为增函数.观察演示过程，会发现两个图像都经过（1,0）点，且函数图像变化趋势不同，直观感受函数图像及性质.学生将这两个函数的性质推广到一般.学生展开讨论学生使用作图软件自己代入数据进行探究、验证，寻找图像规律.在理解定义的基础上，让学生类比研究指数函数学习方法，展开对数函数图像、性质的探究.学生通过动手作图，进一步巩固作图的一般方法，更利于在作图过程中观察图像、数形结合、分析性质.两个特例的设置初步感受底数a在不同范围时，函数图像有何共同之处及变化趋势有何不同.利用Flash软件展示作图过程，锻炼学生收集信息、处理信息的能力.观察函数值随自变量的变化趋势，初步了解对数函数单调性.通过争辩，让学生明确要用大量对数函数实例分析，采用特殊到一般的方法，从而得出结论.学生自主使用作图软件作图、代入数据，大胆尝试，大大激发了学生学习主动性，环节教师活动预测寓学于乐巩固新知汽车总动员：给下列函数选择增函数座驾或减函数座驾lny x=12logy x=-17logy x=lgy x=0.9logy x=logy xπ=-增函数座驾：lny x=12logy x=-lgy x=减函数座驾：17logy x=0.9logy x=logy xπ=-“汽车总动员”让学生在寓学于乐中完成知识的掌握，增加学习数学的兴趣.在线测试学伴互助借助网络资源库，抽取基础测试题一，试题成梯度设计，并让第10题与情境相呼应.通过后台操作，结合统计数据及时反馈，让学生在小伙伴的帮助下纠正错题.对于满分的学生提交测试题二学生登录平台，进行自我在线测试.提交后查看成绩，对于错题可进行在线求助或学伴互助讨论解决.测试题一完全理解的学生踊跃完成测试题二通过测试，巩固探究所得新知识，检测学生对本节课知识的掌握情况，其中第10题的正确解答，让学生感受成功的喜悦.利用信息化，解决了以往测试时间长、批改效率低的不足，该测试系统较好体现了人机交互，为学生学习搭建更广阔平台.实现分层教学，让不同层次的学生都学有所获.自我反思拓展延伸教师提问，今天你收获了什么？必做作业：1.上网完成提高一测试题（10道选择题）2.书本练习4.4.1选做作业：这辆铜车马被誉为我国古代的“青铜之冠”，是时代最学生从对数函数知识、探究过程、单调性应用、在线测试等进行自我总结交流.学生从知识理解、学习方法、学习能力、情感等方面进行自我反思、评价.培养学生分析、归纳、总结的能力，养成良好的学习习惯，便于教师过程性考核.帮助学生进一步巩固新知，加深对数函数性质的理解与应用.【教学反思】本课采用任务驱动法，在信息化教学环境的创设下，通过“软件作图探性质，生生互动建新知”，让学生在动手、动脑的知行合一中实现对数函数的图像探究与性质归纳，提升探究函数的能力.通过信息化网络平台，利用在线测试、网上论坛、分层作业，实现了分层教学及有效对话，让学生在个性化学习中体验到了数学学习的成功喜悦，探究乐趣溢于言表.专业情境的创设，拉近了我和学生的心理距离，也拉近了数学与专业的距离，不但增强了法规意识，更是在自主探究、协作交流中，潜移默化地提高了学生自我学习、信息处理及解决问题的能力，这正是我们职业素养中的核心所在.。
