对数函数的图象和性质(一)

专题27 对数函数的图像和性质（一）题组1 对数函数的图像1.已知函数f (x )＝133,1log ,1x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩则函数y ＝f (1－x )的大致图象是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】先画出函数f (x )＝133,1log ,1x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩的草图，令函数f (x )的图象关于y 轴对称，得函数f (－x )的图象，再把所得的函数f (－x )的图象，向右平移1个单位，得到函数y ＝f (1－x )的图象，故选：D.2.函数f （x ）=10x 与函数g （x ）=lgx 的图象 A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于y=x 对称【答案】D【解析】因为f （x ）=10x 与函数g （x ）=lgx 是一对反函数，所以其图象关于y=x 对称. 故选D. 3.函数f （x ）=ln|11xx+-|的大致图象是（ ） A. B. C. D.【答案】D【解析】因为()()11lnln 11x xf x f x x x-+-==-=-+-，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，可排除,A C ；由()2ln30f =>,可排除B ，故选D.4.函数f （x ）=log 2（x+1）与g （x ）=2﹣x +1在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】定义域为，函数为增函数；定义域为，函数为减函数，所以结合指数函数对数函数的性质可知B 图像正确5.已知函数f(x)＝－x 2＋2，g(x)＝log 2|x |，则函数F(x)＝f(x)·g(x)的图象大致为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，函数()(),f x g x 为偶函数，∴函数()()()F x f x g x =为偶函数，其图象关于y 轴对称， 故只需考虑0x >时的情形即可.由函数()(),f x g x 的取值情况可得，当0x >时，函数()F x 的取值情况为先负、再正、再负， 所以结合各选项得B 满足题意.故选B. 6.设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C.11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.11,,33⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】因为函数()()21ln 11f x x x =+-+定义域为R ，关于原点对称， 且()()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x xx -=+--=+-=++-， 所以函数()f x 是偶函数， 又()f x 在()0,∞+是增函数， 所以()()21f x f x >-等价于()()21fx f x >-，所以2213410x x x x >--+<，， 解得113x <<，故选：A7.函数2()ln(1)x xe ef x x --=+在[3,3]-的图象大致为（ ）A. B. C . D.【答案】C【解析】函数2()ln(1)x xe ef x x --=+，则2()()ln(1)x xe ef x f x x ---==-+，所以()f x 为奇函数，排除B 选项； 当x →+∞时，2()ln(1)x xe ef x x --=→+∞+，所以排除A 选项； 当1x =时，11 2.720.37(1) 3.4ln(11)ln 20.69e e e ef -----==≈≈+， 排除D 选项；综上可知，C 为正确选项， 故选：C. 8.函数()1ln 1y x x=-+的图象大致为（ ） A. B. C. D.【答案】A【解析】0x >时，函数为减函数，排除B ，10x -<<时，函数也是减函数，排除D ，又1x =时，1ln 20y =->，排除C ，只有A 可满足.故选：A. 9.函数()()22ln 11x f x x +=+的大致图像为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为()()22ln 11x f x x +=+是由()22ln xg x x=向左平移一个单位得到的， 因为()22ln ()(0)()xg x g x x x --==≠-，所以函数()22ln xg x x=为偶函数，图像关于y 轴对称， 所以()f x 的图像关于1x =-对称，故可排除A ，D 选项； 又当2x <-或0x >时，2ln 10x +>，()210x +>， 所以()0f x >，故可排除C 选项 故选：B .10.在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ） A. B. C. D.【答案】D【解析】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.故选：D11.函数()24ln x f x x=的部分图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为()24ln x f x x =是偶函数，排除B ，当01x <<时，ln 0x <，()204ln x f x x=<，排除C ， 当x e =时()214ef e =>，排除D.故选：A.12.已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）=x 2﹣2x ﹣3，求当x≤0时，不等式f （x ）≥0整数解的个数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A【解析】由函数为奇函数可知当x≤0时，不等式f （x ）≥0整数解的个数与0x ≥时()0f x ≤的个数相同，由奇函数可知()00f =，由2230x x --≤得()()320x x -+≤，所以整数解为1,2，3，所以满足题意要求的整数点有4个 13.若x 1，x 2是方程2x ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭+1-1x 的两个实数解，则x 1＋x 2＝________.【答案】-1 【解析】 ∵2x ＝1112x-+⎛⎫⎪⎝⎭，∴2x ＝112x -，∴x ＝1x－1，∴x 2＋x －1＝0. ∴x 1＋x 2＝－1. 故答案：－114.已知函数()lg f x x =.(1)画出函数()y f x =的草图,并根据草图求出满足()1f x >的x 的集合； (2)若0a b <<,且()()f a f b >,求证：1ab <. 【答案】(1)图见解析，(0，110)∪(10，＋∞).(2)证明见解析 【解析】(1)画出函数()y f x =的草图,如图所示：令()1f x =,则lg 1,lg 1x x ==±,可得10x =或110x =. 故满足()1f x >的x 的集合为1(0,)(10,)10⋃+∞. (2)证明：若0a b <<,且()()f a f b >,则lg lg a b >. 当01a b <<≤时, lg lg a b >显然成立且1ab <.当01a b <≤≤,因为lg lg a b >则lg lg lg +lg 0lg 01a b a b ab ab -><⇒<⇒<，成立 当1a b ≤<时, lg lg a b >不成立. 综上所述1ab <成立.15.已知函数2()4||3f x x x =-+，（1）试证明函数()f x 是偶函数；（2）画出()f x 的图象；（要求先用铅笔画出草图，再用黑色签字笔描摹，否则不给分） （3）请根据图象指出函数()f x 的单调递增区间与单调递减区间；（不必证明）（4）当实数k 取不同的值时，讨论关于x 的方程24||3x x k -+=的实根的个数；（不必求出方程的解） 【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）增区间()()+∞-,2,0,2减区间)2,0(),2,(--∞（4）①当1k <-时，方程无实数根；②当1k =-或3k >时，方程有两个实数根；③当3k =时，方程有三个实数根；④当13k -<<时，方程有四个实数根【解析】（1）()f x 的定义域为R ,且2()()4||3f x x x -=---+ 24||3()x x f x =-+=故()f x 为偶函数； （2）如图（3）递增区间有：()()+∞-,2,0,2 递减区间有：)2,0(),2,(--∞ （4）根据图象可知，①当1k <-时，方程无实数根；②当1k =-或3k >时，方程有两个实数根； ③当3k =时，方程有三个实数根； ④当13k -<<时，方程有四个实数根； 16.已知函数f (x )＝x ln x －x .（1）设g (x )＝f (x )＋|x －a |，a ∈R.e 为自然对数的底数.①当32a e=-时，判断函数g (x )零点的个数； ②1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数g (x )的最小值.（2）设0＜m ＜n ＜1，求证：()2201mf n m +<+ 【答案】（1）① g (x )有且仅有两个零点.②a －e.（2）证明见解析 【解析】（1）①当32a e =-时， g (x )＝x ln x －x ＋|x ＋32e |＝x ln x ＋32e， g′(x )＝1＋ln x ，当0＜x ＜1e 时，g′(x )＜0；当x ＞1e时，g′(x )＞0； 因此g (x )在(0，1e )上单调递减，在(1e，＋∞)上单调递增，又434412424g =0e e e e e -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，g (1e )＝－1e ＋23322e e e-=＜0，g (1)＝32e ＞0， 所以g (x )有且仅有两个零点. ②（i ）当a ≤1e时，g (x )＝x ln x －x ＋x －a ＝x ln x －a ， 因为x ∈[1e ，e ]，g′(x )＝1＋lnx ≥0恒成立， 所以g (x )在[1e ，e ]上单调递增，所以此时g (x )的最小值为g (1e )＝－1e－a .（ii ）当a ≥e 时，g (x )＝x ln x －x ＋a －x ＝x ln x －2x ＋a ，因为x ∈[1e ，e]，g′(x )＝ln x －1≤0恒成立， 所以g (x )在[1e ，e ]上单调递减，所以此时g (x )的最小值为g (e )＝a －e .（iii ）当1e ＜a ＜e 时，若1e≤x ≤a ，则g (x )＝x ln x －x ＋a －x ＝x ln x －2x ＋a ， 若a ≤x ≤e ，则g (x )＝x ln x －x ＋x －a ＝x ln x －a ， 由（i ），（ii ）知g (x )在[1e，a ]上单调递减，在[a ，e ]上单调递增， 所以此时g (x )的最小值为g (a )＝a ln a －a ， 综上有：当a ≤1e 时，g (x )的最小值为－1e－a ；当1e＜a ＜e 时，g (x )的最小值为a ln a －a ； 当a ≥e 时，g (x )的最小值为a －e . （2）设h (x )＝221xx +， 则当x ∈(0，1)时，h′(x )＝()()222211x x -+＞0，于是h (x )在(0，1)单调递增，又0＜m ＜n ＜1，所以h (m )＜h (n )， 从而有()()()2222ln 111m f n f n h n n n m n ⎛⎫+<+=-+ ⎪++⎝⎭设φ(x )＝22ln 11n n -++，x ＞0 则φ′(x )＝()()()222222114011x xx x x x --=≥++因此φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，因为0＜n ＜1，所以φ(n )＜φ(1)＝0，即ln n －1＋221n +＜0， 因此()2222ln 1011m f n n n m n ⎛⎫+<-+< ⎪++⎝⎭ 即原不等式得证.17.已知函数f (x )＝xln x ，g (x )＝－x 2＋ax －2(e 为自然对数的底数，a ∈R ). （1）判断曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与曲线y ＝g (x )的公共点个数； （2）当1[,]x e e∈时，若函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）3＜a ≤e ＋2e＋1. 【解析】（1）()1f x lnx '=+， 所以切线的斜率()11k f ='=， 又()10f =，所以曲线在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，由221y x ax y x ⎧=-+-⎨=-⎩，得2(1)10x a x +-+=，由△22(1)423(1)(3)a a a a a =--=--=+-可得，当△0>时，即1a <-或3a >时，有两个公共点，当△0=时，即1a =-或3a =时，有一个公共点，当△0<时，即13a -<>时，没有公共点，（2）2()()2y f x g x x ax xlnx =-=-++，由0y =，得2a x lnx x =++， 令2()h x x lnx x =++，则2(1)(2)()x x h x x -+'=，当1[x e ∈，]e 时，由()0h x '=，得1x =，所以()h x 在1[e ，]e 上单调递减，在[1，]e 上单调递增，因此()()13min h x h ==，由11()21h e e e =+-，()21h e e e =++，比较可知()1h h e e ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以，结合函数图象可得，当231a e e <++时，函数()()y f x g x =-有两个零点.18.根据函数f(x)＝log 2x 的图像和性质解决以下问题：(1)若f(a)>f(2)，求a 的取值范围；(2)求y ＝log 2(2x －1)在[2,14]上的最值.【答案】(1) (2，＋∞) (2) 最小值为log 23，最大值为log 227【解析】（1）由函数2()log f x x =的单调性及()(2)f a f >，即可求出a 的取值范围；（2）根据定义域为[2,14]，表示出21x -的取值范围，结合对数函数的性质，即可求得最值.试题解析：函数f (x )＝log 2x 的图象如图：(1)因为f (x )＝log 2x 是增函数，故f (a )>f (2)，即log 2a >log 22，则a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞).(2)∵2≤x ≤14，∴3≤2x －1≤27，∴log 23≤log 2(2x －1)≤log 227.∴函数y ＝log 2(2x －1)在[2,14]上的最小值为log 23，最大值为log 227. 题组2 对数函数的性质 19.已知定义在R 上的函数()y f x =满足()()()111f x f x f x -=+=-，当[]12x ∈，时，2()log f x x =，若方程()0f x ax -=在()0+∞，上恰好有两个实数根，则正实数a 的值为（ ）A.2log ee B.1ln 2e C.12 D.2【答案】C【解析】由()()()111f x f x f x -=+=-，可知()f x 为偶函数，且一条对称轴为1x =，再由()()11f x f x +=-，可得()2()f x f x +=，即函数()f x 的周期为2.根据[]12x ∈，时，2()log f x x =作出函数()f x 的草图，如图所示：方程()0f x ax -=在()0+∞，上恰好有两个实数根，∴函数y ax =与()y f x =的图象在y 轴右侧有两个交点，设y ax =与2log y x =相切时，切点坐标为()020log x x ，，由1ln2y x '=，得2000log 1ln2x x x =，解得02x e =>.∴由图象可知，当直线y ax =过点()21，时，方程()0f x ax -=在()0+∞，上恰好有两个实数根，12a ∴=.故选：C .20.已知函数2|1|,0()log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3122341x x x x x ++的取值范围是（ ）. A.(1,)-+∞B.[1,1)-C.(,1)-∞D.(]1,1- 【答案】D 【解析】函数()21,0|log ,0x x f x x x ⎧+⎪=⎨>⎪⎩，的图象如下：根据图象可得：若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则11x a +=-，21x a +=，23log x a =-，24log x a =.(01)a <≤122x x +=-，32a x -=，42a x =∴则31222344()22221222a a a a a x x x x x ---++=-⋅+=-⋅. 令2a t ，(1t ∈，2]，而函数2y t t=-在(1，2]单调递增. 所以211t t -<-≤，则21212a a ∴-<-. 故选：D.21.函数()log 1xa f x a x =-有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.()1,10B.()1,+∞C.0,1D.()10,+∞【答案】B【解析】函数()f x 有两个零点等价于1x y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭与log a y x =的图象有两个交点，当01a <<时同一坐标系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当1a >时同一坐标系中做出两函数图象如图（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B.22.已知函数()2,11,12x a x f x x a x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，其中a R ∈.如果函数()f x 恰有两个零点，则a 的取值范围为（）A.1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ B.[)2,-+∞ C.12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D.12,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】当1x ≤时，(]2,2x y a a a =+∈+，当1x >时，11,22y x a a ⎛⎫=+∈++∞ ⎪⎝⎭，两段均为增函数，函数()f x 恰有两个零点，可得102200a a a ⎧+<⎪⎪⎨+≥⎪⎪<⎩，解得12,2a ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭.故选：D23.给出下列四个结论：(1)若集合A ={x,y }，B ={0，2x },且A=B ,则x =1,y =0;(2)若函数f (x )的定义域为（-1,1），则函数f (2x +1)的定义域为（-1，0);(3)函数1()f x x =的单调减区间是{}0x x ≠；(4)若()()()f x y f x f y +=⋅，且(1)2f =，则(2)(4)(2014)(2016)(2018)2018(1)(3)(2013)(2015)(2017)f f ff f f f f f f +++++=其中不正确的有______.【答案】（3）【解析】（1）因为A=B ，所以20,0,1x y x x x ≠==∴=，故（1）正确；（2）因为函数f (x )的定义域为（-1,1），所以121110x x -<+<∴-<<，故（2）正确； （3）函数1()f x x =的单调减区间是(,0)-∞和(0,)+∞，故（3）错误；（4）因为()()()f x y f x f y +=⋅，所以(1)()(1)2()f x f x f f x +=⋅=，因此(2)(4)(2014)(2016)(2018)210092018(1)(3)(2013)(2015)(2017)f f f f f f f f f f +++++=⨯=，故（4）正确； 故答案为：（3）题组3 对数值大小比较24.已知1275a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1357b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，25log 7c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）.A.b a c <<B.c b a <<C.c a b <<D.b c a <<【答案】C 【解析】12125757a -⎛⎫=⎛⎫= ⎝⎭⎪⎭⎪⎝<135()7b =，225log log 107c =<=因此c a b <<故选：C.25.函数()log (2)a f x ax =-（0a >且1a ≠）在[]0,3上为增函数，则实数a 的取值范围是（）A.2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.(0,1) C.20,3⎛⎫⎪⎝⎭ D.[)3,+∞【答案】C【解析】因为0a >且1a ≠，令2t ax =-，所以函数2t ax =-在[]0,3上为减函数， 所以函数log a y t =应是减函数，()f x 才可能是增函数，∴01a <<，因为函数()f x 在[]0,3上为增函数，由对数函数性质知230a ->，即23<a ， 综上023a <<. 故选：C .26.设3log 7a =， 1.12b =， 3.10.8c =，则（ ）A.b a c <<B.a c b <<C.c b a <<D.c a b << 【答案】D【解析】因为333log 7(log 3,log 9)a =∈，所以(1,2)a ∈； 1.122b =>； 3.100.80.81c =<=； 所以c a b <<，故选D.27.三个数0.76，60.7，0.7log 6的大小顺序是（ ）A.60.70.7log 60.76<<B.60.70.70.76log 6<<C.0.760.7log 660.7<<D.60.70.70.7log 66<< 【答案】A 【解析】因为0.70661>=，6000.70.71<<=，0.70.7log 6log 10<=；所以60.70.7log 60.76<<.故选：A.28.已知0.42x =，2lg 5y =，0.425z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A.x y z <<B.y z x <<C.z y x <<D.z x y <<【答案】B【解析】0.40221x =>=，2lg lg105y =<=，0.4021525z ⎛⎫<= ⎪⎝⎫⎭⎭⎛=⎪⎝，又0z >，即01z <<.因此，y z x <<.故选：B.。

对数函数的图像与性质（一）考向一 对数函数的概念1、下列函数是对数函数的是( ) A ．3log (1)y x =+B ．log (2)(0a y x a =>，且1)a ≠C ．y lnx =D ．2(0,1)a y log x a a =>≠且【分析】根据对数函数的定义即可得出．【解答】解：根据对数函数的定义可得：只有y lnx =为对数函数． 故选：C ．2、若函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，则a ＝________. 【解析】因为函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，a 2－5a ＋4＝0，解得a ＝4.3、对数函数f(x)的图象经过点(14，2)，则f(x)= ． 【答案】log 12x【解析】设数函数f(x)=log a x ，(a >0且a ≠1) ∵图象经过点(14，2)， 得a =12∴f(x)=log 12x故答案为：log 12x4、已知 f(x 6)=log 2x ，那么 f(8)等于 ( ) A ． 43B ． 8C ． 18D ． 12【答案】D【解析】由题可知，x >0，令x 6=8，得x =816=212，所以f(8)=log 2⁡212=12．考向二 对数函数的图像1、（1）如图是对数函数log a y x =的图象，已知a 值取3，43，35，110，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的a 值依次是（ ）． A ．3，43，35，110B ．3，43，110，35 C ．43，3，35，110D ．43，3，110，35 （2）当1a >时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象是（ ）（3）若函数()0,1xy a a a =>≠的值域为{}1y y ≥，则函数log a y x =的图象大致是( )【答案】⑴A ⑵D ⑶B2、同一直角坐标系中，当时，函数与的图象是A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，函数，，所以图象过点，在其定义域上是增函数；函数的图象过点，在其定义域上是减函数.故选C.3、当0<a<1时,在同一坐标系中,函数y=a x 与y=log a x 的图象是( )【答案】D【解析】因为函数y=a x 与y=log a x 互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x 对称, 且当0<a<1时,函数y=a x 与y=log a x 都是减函数,观察图象知,D 正确.故选D. 4、若点(,)a b 在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是A ．1(,)b aB ．(10,1)a b -C ．10(,1)b a+ D ．2(,2)a b D 【解析】当2x a =时，2lg 2lg 2y a a b ===，所以点2(,2)a b 在函数lg y x =图象上．5、已知函数2log ()y x a b =++的图象不经过第四象限，则实数a 、b 满足( )A ．1a ，0bB ．0a >，1bC ．210b og a +D ．20b a +【分析】因为函数2log ()y x a b =++的图象不经过第四象限，所以当0x =时，0y ，所以2log 0a b +．【解答】解：函数2log ()y x a b =++的图象不经过第四象限， ∴当0x =时，0y ，2log 0a b ∴+，故选：C ．【点评】本题主要考查了指数函数的图象和性质，是基础题．6、如图，若1C ，2C 分别为函数log a y x =和log b y x =的图象，则( )A ．01a b <<<B ．01b a <<<C ．1a b >>D ．b a l >>【分析】由题意利用对数函数的单调性和特殊点，得出结论．【解答】解：根据1C ，2C 分别为函数log a y x =和log b y x =的图象，可得01b <<，01a <<，且b a <， 故选：B ．7、对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴及对数函数的增减性，逐个检验即可得出答案． 【解答】解：由对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--可知，①当01a <<时，此时10a -<，对数函数log a y x =为减函数，②当1a >时，此时10a ->，对数函数log a y x =为增函数，题意． 故选：A ．8、已知点(,)m n 在函数2log y x =的图象上，则下列各点也在该函数图象上的是( )A ．2(m ，2)nB ．(2,2)m nC ．(2,1)m n ++D ．(,1)2mn -数图象上．【解答】解：点(,)m n 在函数2log y x =的图象上，2log y m n ∴==，故选：D ．考向三 对数函数的性质1、函数()()322(01)a f x log x a a +>≠＝－，恒过定点________． 【答案】(1,2)【解析】当1x =时，()()13222a f log +=＝－.所以函数()()322(01)a f x log x a a +>≠＝－，恒过定点(1,2).2、已知函数f (x )=log a (x+1)+1(a>0,且a ≠1)的图象恒过定点P ,则点P 的坐标是 . 令x+1=1,得x=0,则f (0)=log a 1+1=1,即定点P 的坐标为(0,1).3、已知函数f (x )=log a (x-m )+n 的图象恒过点(3,5),则lg m+lg n 等于( ) A .10 B .lg12C .1D .110解析:(1)由已知可得{3-m =1,n =5,∴{m =2,n =5,∴lg⁡m+lg n=lg 2+lg 5=lg 10=1.4、已知函数1()log 1(0x b f x a x a -=+->且1a ≠，0b >且1)b ≠，则()f x 的图象过定点( ) A ．(0,1)B ．(1,1)C ．(1,0)D ．(0,0)【分析】当1x =时，()f x f =（1）0log 111010b a =+-=+-=，即可求出结果．【解答】解：当1x =时，()f x f =（1）0log 111010b a =+-=+-=， ()f x ∴的图象过定点(1,0)，故选：C ．5、函数2()log f x x =是( ) A ．(0,)+∞上的增函数 B ．(0,)+∞上的减函数 C ．R 上的增函数D ．R 上的减函数【分析】对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠，定义域为(0,)+∞；当1a >时在(0,)+∞上为增函数；当01a <<时，在(0,)+∞上为减函数．【解答】解：log (0a y x a =>且1)a ≠，定义域为(0,)+∞； 当1a >时，在(0,)+∞上为增函数， 当01a <<时，在(0,)+∞上为减函数．本题21a =>，故2log y x =在(0,)+∞上为增函数． 故选：A ． 6、函数23log 2(01ax y a x +=+>+且1)a ≠的图象经过的定点坐标为 ． 【分析】令真数等于1，求得x 、y 的值，可得函数的图象经过定点的坐标．故函数23log (01ax y a x +=>+且1)a ≠的图象经过的定点坐标为(2,2)-， 故答案为：(2,2)-．考向四 对数函数的性质应用1、比较下列各组值的大小：(1)log 534与log 543；(2)log 132与log 152；(3)log 23与log 54.【解析】 (1)法一(单调性法)：对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.法二(中间值法)：因为log 534<0，log 543>0，所以log 534<log 543.(2)法一(单调性法)：由于log 132＝1log 213，log 152＝1log 215，又因对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， 且13>15，所以0>log 213>log 215， 所以1log 213<1log 215，所以log 132<log 152.法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y ＝log 13x 及y(3)取中间值1，因为log 23>log 22＝1＝log 55>log 54， 所以log 23>log 54.2、（1）比较大小（填“>”，“<”或“=”）．①0.5log 2011____0.5log 2012；② 1.5log 2011____ 1.5log 2012；③0.5log 3____0.6log 3；④0.5log 0.8____0.6log 0.8； ⑤ 1.5log 3____2log 3； ⑥ 1.5log 0.8____2log 0.8．（2）若3log 4a =，7log 6b =，2log 0.8c =，则（ ）. A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>（3）若20.3a =，2log 0.3b =，3log 4c =，则（ ）. A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>（4）若101a b c >><<，，则（ ）A. c c a b <B.c c ab ba <C.log log b a a c b c< D.log log a b c c<【答案】⑴①>；②<；③>；④<；⑤>；⑥<．⑵A ； ⑶C ； 4C ； 3、若log m 8.1<log n 8.1<0,那么m,n 满足的条件是( ) (A)m>n>1 (B)n>m>1(C)0<n<m<1 (D)0<m<n<1【答案】C【解析】由题意知m,n 一定都是大于0且小于1的数,根据函数图象(图略)知,当x>1时,底数越大,函数值越小,故选C.4、若函数()log (0a f x x a =>且1)a ≠在区间[a ，22]a 上的最大值比最小值多2，则(a = )A ．2B ．3或13C ．4或12D ．2或12的单调性即可解题．①当1a > 时，2(2)2a a log a log a -=，得2a =，故选：A ．5、设,a b 都是不等于1的正数，则“333ab>>”是“log 3log 3a b <”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 B 【解析】由指数函数的性质知，若333a b ，则1a b ，由对数函数的性质，3log 3b ；反之，取12，13b ，显然有3log 3b ，此时01b a ，于是333ab ，所以“333a b”是log 3log 3a b <的充分不必要条件，选B ．6、若2log 13a <，则a 的取值范围是（ ） A. ()20,1, 3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B. 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C. 2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C7、函数f(x)是奇函数，且在区间[0,4]上是减函数，则比较大小()f π-_______21(log )8f ． 【答案】>8、已知log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)，求x 的取值范围．【解析】因为函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数，所以由log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x >0，x －1>0，2x >x －1，解得x >1.即x 的取值范围是(1，＋∞)．9、已知f(x)=log 3x ，则的大小是 A. B.C.D.【答案】B 【解析】由函数y=log 3x 的图象可知，图象呈上升趋势，即随着x 的增大，函数值y 也在增大，故．10、函数12log y x =，x ∈(0,8]的值域是( )A.[－3，＋∞)B.[3，＋∞)C.(－∞，－3]D.(－∞，3]【答案】A11、设a =log 123，b =(13)0.2，c =213则 （ ）A.b <a <cB.c <b <aC.c <a <bD.a <b <c 【答案】D 【解析】由题得a =log 123<log 121=0,b >0,c >0.b =(13)0.2<(13)0=1, c =213>20=1,所以a <b <c .故选：D考向五 指数函数与对数函数的关系（反函数）1、下列说法正确的是( ) A ．函数x y a =与1()x y a =图象关于x 轴对称B ．函数log a y x =与1log ay x =图象关于y 轴对称C ．函数x y a =与log a y x =图象关于直线y x =对称D ．函数x y a =与log a y x =图象关于y 轴对称【分析】根据图象关于原点对称、图象关于x 轴对称、图象关于y 轴对称、图象关于y x =对称，分别画出出各个函数图象，再对照选项即可得出正确答案．【解答】解：令2a =，分别作出对应的图象，由图象可知 ，函数，函数对于选项C ，D 函数x y a =与log a y x =图象关于直线y x =对称，故C 正确，D 不正确．故选：C ．2、（1）若()x f x a =,()log b g x x =-,且lg lg 0a b +=，1a ≠，1b ≠．则()y f x =与()y g x =的图象（ ）A ．关于直线0x y +=对称B ．关于直线0x y -=对称C ．关于y 轴对称D ．关于原点对称（2）若函数()x f x a =（0a >，且1a ≠）的反函数的图象过点(21)-，，则a =______．（3）若()3log f x x =的反函数是()y g x =，则()1g -值为（ ）A ．3B ．3-C ．13D ．13-3、已知函数2()log f x x =，若函数()g x 是()f x 的反函数，则()()2f g =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】由函数2y f x log x ==（） ，得2y x =，把x 与y 互换，可得2x y =，即2x g x （）=，∴2224g ==（） ，则()22442f g f log ===（）（）．故选：B4、若函数()y f x =与函数2log y x =互为反函数，则(1(f += )A ．9B ．11C ．16D ．18【分析】首先求出反函数的关系式，进一步利用对数的运算的应用求出结果．【解答】解：因为函数()y f x =与函数2log y x =互为反函数，所以()2x f x =，故选：D ． 【点评】本题考查的知识要点：反函数，对数的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．5、设函数()(0x b f x a a +=>且1)a ≠的图象过点(1,8)，其反函数的图象过(16,2)，则(a b += )A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】根据反函数的图象过(16,2)，可知()f x 图象过点(2,16)，和(1,8)，代入联立解得． 【解答】解：()(0x b f x a a +=>且1)a ≠的图象过点(1,8)，∴代入得18b a +=①，其反函数的图象过(16,2)，()(0x b f x a a +∴=>且1)a ≠的图象过点(2,16)，∴代入得216b a +=②，联立①②，解之得2a =，2b =，故选：B ．【点评】本题考查反函数，以及指数函数，属于基础题．【点评】本题主要考查函数的图象的对称性的应用，考查了命题的真假判断与应用，属于基础题．6、已知函数()x f x a =，()log (0,1)a g x x a a =>≠，若f （3）g （3）0>，则()f x 与()g x 的图象为( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据指数函数的性质，由f （3）g （3）0>得到g （3）0>从而得到a 的取值范围，然后根据指数函数和对数函数的性质即可得到结论． 【解答】解：()x f x a =，()log (0,1)a g x x a a =>≠，若f （3）g （3）0>，f ∴（3）0>，g （3）0>，1a ∴>，即()f x ，()g x 都为增函数，故选：B ．。