2018-2019学度北师大5(1.1.2数列的函数特性)习题精选含解析.doc.doc

北师大版高中数学必修五习题课(1)课时目标 1.熟练掌握等差数列的概念、通项公式、前n 项和公式，并能综合运用这些知识解决一些问题.2.熟练掌握等差数列的性质、等差数列前n 项和的性质，并能综合运用这些性质解决相关问题．1．若S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，n ≥2.2．若数列{a n }为等差数列，则有： (1)通项公式：a n ＝__________；(2)前n 项和：S n ＝______________＝_________________________________________. 3．等差数列的常用性质(1)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q(m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则______________________． (2)若S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，则 S k ，S 2k －S k ，____________成等差数列．一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值为( ) A ．24 B ．22 C ．20 D ．－82．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7＋a 11＝6，则S 13等于( ) A ．24 B ．25 C ．26 D ．273．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( ) A ．0 B ．37 C ．100 D ．－374．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13等于( )A．120 B．105C．90 D．755．若{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1>0，d<0，S4＝S8，则S n>0成立的最大自然数n为( )A．11 B．12C．13 D．146．在等差数列{a n}中，a1＝－2 008，其前n项和为S n，若S2 0082 008－S2 0062 006＝2，则S2 012等于( )A．－2 012 B．2 012C．6 033 D．6 036二、填空题7．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋n＋1，则a6＋a7＋…＋a10的值为________．8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S p＝S q(p，q∈N＋且p≠q)，则S p＋q＝________. 9．等差数列{a n}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和S n取得最大值的自然数n是______．10．已知数列{a n}中，a1＝20，a n＋1＝a n＋2n－1，n∈N＋，则数列{a n}的通项公式a n＝________.三、解答题11．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？12．已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若数列{b n}是等差数列，且b n＝S nn＋c，求非零常数c.能力提升13．在等差数列{a n}中，a10<0，a11>0，且|a10|<a11，S n为{a n}的前n项的和，则下列结论正确的是( )A．S1，S2，…，S10都小于零，S11，S12，…都大于零B．S1，S2，…，S5都小于零，S6，S7，…都大于零C．S1，S2，…，S20都小于零，S21，S22，…都大于零D．S1，S2，…，S19都小于零，S20，S21，…都大于零14．把自然数1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵．12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15……………………………根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是______________．1．等差数列是最基本、最常见的数列，等差数列的定义是研究解决等差数列的判定和性质，推导通项公式、前n 项和公式的出发点．2．通项公式与前n 项和公式联系着五个基本量：a 1、d 、n 、a n 、S n .掌握好本部分知识的内在联系、结构，以便灵活运用．3．另外用函数观点和方法揭示等差数列的特征，在分析解决数列的综合题中有重要的意义．习题课(1) 答案知识梳理1．S 1 S n －S n －1 2.(1)a 1＋(n －1)d (2)na 1＋n(n －1)d 2 n(a 1＋a n )2 3.(1)a m ＋a n ＝a p＋a q (2)S 3k －S 2k 作业设计 1．A2．C [∵a 3＋a 7＋a 11＝6，∴a 7＝2，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝26.]3．C [设数列{a n }，{b n }的公差分别为d ，d ′，则a 2＋b 2＝(a 1＋d)＋(b 1＋d ′)＝(a 1＋b 1)＋(d ＋d ′)＝100. 又∵a 1＋b 1＝100，∴d ＋d ′＝0.∴a 37＋b 37＝(a 1＋36d)＋(b 1＋36d ′)＝(a 1＋b 1)＋36(d ＋d ′)＝100.] 4．B [∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，∴a 2＝5. ∵a 1＝5－d ，a 3＝5＋d ，d>0， ∴a 1a 2a 3＝(5－d)·5·(5＋d)＝80， ∴d ＝3，a 1＝2.∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 1＋11d)＝3a 1＋33d ＝3×2＋33×3＝105.] 5．A [S 4＝S 8⇒a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝0⇒a 6＋a 7＝0，又a 1>0，d<0，S 12＝(a 1＋a 12)·122＝0，n<12时，S n >0.]6．D [S n n ＝a 1＋(n －1)d2，∴S 2 0082 008－S 2 0062 006＝a 1＋2 008－12d －a 1－2 006－12d ＝d ＝2. ∴S 2 012＝2 012×(－2 008)＋2 012×2 0112×2＝2 012×3＝6 036.] 7．80解析 a 6＋a 7＋…＋a 10＝S 10－S 5＝111－31＝80. 8．0解析 设S n ＝an 2＋bn ，由S p ＝S q . 知ap 2＋bp ＝aq 2＋bq ，∴p ＋q ＝－b a.∴S p ＋q ＝a(p ＋q)2＋b(p ＋q)＝a(－b a )2＋b(－b a )＝b 2a －b2a＝0.9．5或6解析 d<0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3>0，a 9<0且a 3＋a 9＝0， ∴a 6＝0，∴a 1>a 2>…>a 5>0，a 6＝0,0>a 7>a 8>…. ∴当n ＝5或6时，S n 取到最大值． 10．n 2－2n ＋21解析 ∵a n ＋1－a n ＝2n －1， ∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，…， a n －a n －1＝2n －3，n ≥2.∴a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)． ∴a n ＝20＋(n －1)(2n －2)2＝n 2－2n ＋21.11．解 (1)设n 分钟后第1次相遇，依题意， 有2n ＋n(n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0. 解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)． 第1次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有 2n ＋n(n －1)2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0. 解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)． 第2次相遇是在开始运动后15分钟．12．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d>0. ∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3·a 4＝117， 又公差d>0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝4，∴a n ＝4n －3.(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n(n －1)2·4＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－nn ＋c .∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. ∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， ∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12 (c ＝0舍去)．13．D [∵S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10<0，S 20＝20(a 1＋a 20)2.而a 1＋a 20＝a 10＋a 11，∵a 10<0，a 11>0且|a 10|<a 11， ∴a 10＋a 11>0，∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)>0.又∵d ＝a 11－a 10>0. ∴S n >0 (n ≥20)．] 14.n 22－n 2＋3解析 该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第n －1 (n ≥3)行的最后一个数为(n －1)(1＋n －1)2＝n 22－n 2，则第n 行从左至右的第3个数为n 22－n2＋。

[学业水平训练]1．下列说法中不正确的是( )A ．数列a ，a ，a ，…是无穷数列B ．数列{f (n )}就是定义在正整数集N ＋上或它的有限子集{1，2，3，…，n }上的函数值C ．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列D ．已知数列{a n }，则{a n ＋1－a n }也是一个数列解析：选B.A ，D 显然正确；对于B ，因为数列{f (n )}是定义在正整数集N ＋上或它的有限子集{1，2，3，…，n }上的函数a n ＝f (n )，当自变量从小到大依次取值时，对应的是一列函数值，所以B 项不正确；对于C ，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．2．数列{a n }的通项公式a n ＝n 2－4n ，则数列{a n }各项中最小的项是( )A ．第1项B ．第2项C ．第3项D ．第4项解析：选B.∵a n ＝n 2－4n ＝(n －2)2－4，画出图像可知，当n ＝2时，a 2最小值为－4，故选B.3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n n ＋2，则a n 与a n ＋1间的大小关系是( ) A ．a n ＞a n ＋1B ．a n ＜a n ＋1C ．a n ＝a n ＋1D ．不能确定解析：选B.∵a n ＝2（n ＋2）－4n ＋2＝2－4n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝(2－4n ＋3)－(2－4n ＋2)＝4n ＋2－4n ＋3＝4（n ＋3）（n ＋2）＞0∴a n ＋1＞a n 故选B.4．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( )A ．109B ．10818C ．108D ．107 解析：选C.a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n 2－292n )＋3＝－2·(n －294)2＋3＋2928，当n ＝7时，a n 最大且等于108，故选C.5．已知数列{a n }满足a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，则数列{a n }为( ) A ．递增数列 B ．递减数列C ．常数列D ．以上都有可能解析：选D.若a 1>0，则a n ＜a n －1(n ≥2)，{a n }为递减数列；若a 1＝0，则a n ＝0(n ∈N ＋)，{a n }为常数列；若a 1＜0，则a n ＞a n －1(n ≥2)．{a n }为递增数列，故选D.6．在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55…中，x 的值是________．解析：可以看出该数列中，从第3项起，每一项都等于它的前两项的和，所以x ＝8＋13＝21.答案：217．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －102，那么数列从第________项开始值大于零．解析：令4n －102＞0，得n ＞2512，∴数列{a n }从第26项开始值大于零． 答案：268．已知数列{a n }为单调递增数列，通项公式为a n ＝n ＋λn ，则λ的取值范围是________． 解析：由于数列{a n }为单调递增数列，a n ＝n ＋λn ，所以a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)＋λn ＋1]－(n ＋λn )＝1－λn （n ＋1）＞0，即λ＜n (n ＋1)(n ∈N ＋)，所以λ＜2. 答案：(－∞，2)9．已知：函数f (x )＝x －x 2＋1，数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N ＋)，试判断数列{a n }的单调性．解：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－（n ＋1）2＋1－(n －n 2＋1)＝1－[（n ＋1）2＋1－n 2＋1]＝1－2n ＋1（n ＋1）2＋1＋n 2＋1＞1－2n ＋1（n ＋1）＋n ＝0，∴a n ＋1＞a n .∴数列{a n }是递增数列．10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n .数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a 2n ·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1≤c n .解：(1)a 1＝S 1＝4.对于n ≥2，有a n ＝S n －S n －1＝2n (n ＋1)－2(n －1)n ＝4n .综上，{a n }的通项公式a n ＝4n .将n ＝1代入T n ＝2－b n ，得b 1＝2－b 1，故T 1＝b 1＝1.(求b n 方法1)对于n ≥2，由T n －1＝2－b n －1，T n ＝2－b n 得b n ＝T n －T n －1＝－(b n －b n －1)，b n ＝12b n －1，b n ＝21－n . (求b n 方法2)对于n ≥2，由T n ＝2－b n 得T n ＝2－(T n －T n －1)，2T n ＝2＋T n －1，T n －2＝12(T n －1－2)， T n －2＝21－n (T 1－2)，T n ＝2－21－n ，b n ＝T n －T n －1＝(2－21－n )－(2－22－n )＝21－n .综上，{b n }的通项公式b n ＝21－n .(2)证明：法一：由c n ＝a 2n ·b n ＝n 225－n ，得 c n ＋1c n ＝12(1＋1n)2. 当且仅当n ≥3时，1＋1n ≤43<2，即c n ＋1<c n . 法二：由c n ＝a 2n ·b n ＝n 225－n ，得 c n ＋1－c n ＝24－n [(n ＋1)2－2n 2]＝24－n [－(n －1)2＋2]．当且仅当n ≥3时，c n ＋1－c n <0，即c n ＋1<c n .[高考水平训练]1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋2，若对于n ∈N ＋，都有a n ＋1＞a n 成立，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－3，＋∞)解析：选D.由a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋2＞n 2＋kn ＋2. 则k ＞－(2n ＋1)对于n ∈N ＋都成立，而－(2n ＋1)当n ＝1时取到最大值－3.所以k ＞－3，故选D.2．已知数列{a n }的通项a n ＝n －96n －98，n ∈N ＋，则数列{a n }的最大项为________，最小项为________．解析：将数列{a n }的通项公式变形为a n ＝1＋98－96n －98，考察函数f (x )＝1＋98－96x －98，画出图像如图所示，数列{a n }的图像即为曲线上横坐标为正整数的孤立的点，易知n ＝10时，a n取得最大值，为10－9610－98；n ＝9时，a n 取得最小值，为9－969－98. 所以，数列{a n }中最大项为a 10＝10－9610－98，最小项为a 9＝9－969－98. 答案：10－9610－98 9－969－983．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 22n (n ∈N ＋)．问：是否存在正整数k ，使对任意正整数n 都有a n ≤a k 成立？说明理由．解：∵数列{a n }为正项数列，所以a n ＋1a n ＝（n ＋1）22n ＋1·2n n 2＝（n ＋1）22n 2＝12(1＋1n )2. ∴当n ≥3时，12(1＋1n)2＜1，即a n ＋1＜a n ，故当n ≥3时{a n }为递减数列． 又∵a 1＝12，a 2＝1，a 3＝98，∴a 1＜a 2＜a 3＞a 4＞a 5＞…，即a n ≤a 3＝98.∴存在正整数k ＝3，使a n ≤a k 成立．4．已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明数列{a n }是递减数列．解：(1)∵f (x )＝2x －2－x ，f (log 2a n )＝－2n ，∴2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ，即a n －1a n＝－2n . 整理得a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2＋1.∵a n ＞0，∴a n ＝n 2＋1－n .(2)证明：∵a n ＞0，且a n ＋1a n ＝（n ＋1）2＋1－（n ＋1）n 2＋1－n ＝n 2＋1＋n （n ＋1）2＋1＋（n ＋1）＜1， ∴a n ＋1＜a n .故数列{a n }是递减数列．。

,[学生用书单独成册])[A.基础达标]1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．不能确定解析：选A.因为a n ＋1－a n ＝3>0，故数列{a n }是递增数列． 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn ＋1，则这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析：选A.因为a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－n n ＋1＝（n ＋1）2－n （n ＋2）（n ＋1）（n ＋2）＝1（n ＋1）（n ＋2）>0.故选A.3．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( ) A ．109 B ．10818C ．108D ．107解析：选C.a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n 2－292n )＋3＝－2·(n －294)2＋3＋2928，当n ＝7时，a n最大且等于108，故选C.4．已知数列{a n }满足a n ＝n －1na n －1(n ≥2)，则数列{a n }为( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．以上都有可能解析：选D.若a 1>0，则a n ＜a n －1(n ≥2)，{a n }为递减数列；若a 1＝0，则a n ＝0(n ∈N ＋)，{a n }为常数列；若a 1＜0，则a n ＞a n －1(n ≥2)，{a n }为递增数列，故选D.5．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，则a n 与a n ＋1间的大小关系是( ) A ．a n >a n ＋1 B ．a n <a n ＋1 C ．a n ＝a n ＋1D ．不能确定解析：选B.因为a n ＋1－a n ＝nn ＋2－n －1n ＋1＝ n （n ＋1）－（n －1）（n ＋2）（n ＋2）（n ＋1）＝n 2＋n －（n 2＋n －2）（n ＋2）（n ＋1）＝2（n ＋2）（n ＋1）>0，所以a n <a n ＋1，选B.6．已知下列数列：①2 010，2 014，2 018，2 022； ②0，12，23，…，n －1n ，…；③1，12，14，…，12n －1，…；④1，－23，35，…，（－1）n －1·n 2n －1，…；⑤6，6，6，6，6，6.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是______，递减数列是______，常数列是________，摆动数列是______．(将符合条件的数列的序号填在横线上)解析：①是有穷递增数列； ②是无穷递增数列； ③是无穷递减数列；④是摆动数列，也是无穷数列； ⑤是常数列，也是有穷数列．答案：①⑤ ②③④ ①② ③ ⑤ ④7．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 2－4n －12(n ∈N ＋)，则这个数列从第________项起各项为正数．解析：令a n ＝n 2－4n －12>0，解得n >6或n <－2(舍去)．故从第7项起各项为正数． 答案：78．已知数列{a n }为单调递增数列，通项公式为a n ＝n ＋λn，则λ的取值范围是________．解析：由于数列{a n }为单调递增数列，a n ＝n ＋λn ，所以a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)＋λn ＋1]－(n ＋λn )＝1－λn （n ＋1）＞0，即λ＜n (n ＋1)(n ∈N ＋)，所以λ＜2.答案：(－∞，2)9．已知函数f (x )＝x －x 2＋1，数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N ＋)，试判断数列{a n }的增减性． 解：因为a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－（n ＋1）2＋1－(n －n 2＋1) ＝1－[（n ＋1）2＋1－n 2＋1] ＝1－2n ＋1（n ＋1）2＋1＋n 2＋1＞1－2n ＋1（n ＋1）＋n＝0，所以a n ＋1＞a n .所以数列{a n }是递增数列．10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4， (1)数列中有多少项为负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求此最小值． 解：(1)由n 2－5n ＋4<0得1<n <4，n ∈N ＋， 所以n ＝2或3.所以数列中有2项为负数．(2)因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，又因为n ∈N ＋，所以n ＝2或3时，a n 有最小值－2.[B.能力提升]1．一给定函数y ＝f (x )的图像在下列各图中，并且对任意a n ∈(0，1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1>a n (n ∈N ＋)，则该函数的图像是( )解析：选A.由a n ＋1＝f (a n )，a n ＋1>a n 知f (a n )>a n .可以知道x ∈(0，1)时f (x )>x ，即f (x )的图像在y ＝x 图像的上方，由选项中所给的图像可以看出，A 符合条件．2．已知数列{a n }的通项公式a n ＝anbn ＋1(a ，b 为正常数)，那么a n 与a n ＋1的关系是( ) A ．a n >a n ＋1 B ．a n <a n ＋1 C ．a n ＝a n ＋1D ．以上都不对解析：选B.考虑函数y ＝axbx ＋1＝a b （bx ＋1）－a b bx ＋1＝a b ＋－a bbx ＋1＝ab ＋－a b 2x ＋1b，其图像可由y ＝－ab 2x 先向左平移1b 个单位长度，再向上平移ab个单位长度得到，如图．由图像不难得知y ＝ax bx ＋1在[1，＋∞)上单调递增，所以a n ＝anbn ＋1的值随n 的变大而变大． 所以数列{a n }是递增数列，即a n <a n ＋1，故选B. 3．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n －96n －98，n ∈N ＋，则数列{a n }的最大项为________，最小项为________．解析：将数列{a n }的通项公式变形为a n ＝1＋98－96n －98，考察函数f (x )＝1＋98－96x －98，画出图像(图略)，数列{a n }的图像即为曲线上横坐标为正整数的孤立的点，易知n ＝10时，a n 取得最大值，为10－9610－98；n ＝9时，a n 取得最小值，为9－969－98.所以，数列{a n }中最大项为a 10＝10－9610－98，最小项为a 9＝9－969－98 .答案：10－9610－98 9－969－984．已知通项公式为a n ＝(m 2－2m )(n 3－2n )的数列是递减数列，则实数m 的取值范围为____________．解析：因为数列{a n }为递减数列，所以a n ＋1<a n .所以a n ＋1－a n ＝(m 2－2m )[(n ＋1)3－2(n ＋1)－n 3＋2n ]＝(m 2－2m )(3n 2＋3n －1)<0. 因为n ∈N ＋，所以3n 2＋3n －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122－74≥5>0.所以m 2－2m <0，解得0<m <2. 故m ∈(0，2)． 答案：(0，2)5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫910n，试问n 取何值时，a n 取最大值？试求出a n 的最大值．解：因为a n ＋1a n ＝（n ＋3）⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＝9（n ＋3）10（n ＋2）＝910＋910·1n ＋2，由a n ＋1a n ＝1，解得n ＝7，则当n＝7时，a 8a 7＝1，即a 7＝a 8.当n <7时，a n ＋1a n>1，即a n ＋1>a n . 当n ≥8时，a n ＋1a n<1，即a n ＋1<a n . 则当n ＝7或n ＝8时，a n 取最大值， 最大值为a 7＝a 8＝98107.6．设f (x )＝log 2x －log x 4(0<x <1)，又知数列{a n }的通项a n 满足f (2a n )＝2n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)试判断数列{a n }的增减性．解：(1)因为f (x )＝log 2x －log x 4(0<x <1)，f (2 an )＝2n ， 所以log 22an －log 2 an 4＝2n ，由换底公式，得log 22 an －log 24log 22a n＝2n ， 即a n －2a n＝2n ，所以a 2n －2na n －2＝0， 所以a n ＝n ±n 2＋2.① 由0<x <1，有0<2an <1， 所以a n <0.②由①②得a n ＝n －n 2＋2，此即为数列{a n }的通项公式．(2)a n ＋1a n ＝（n ＋1）－（n ＋1）2＋2n －n 2＋2 ＝n ＋n 2＋2（n ＋1）＋（n ＋1）2＋2<1， 因为a n <0，所以a n ＋1>a n ， 所以数列{a n }是递增数列．。

1.2 数列的函数特性双基达标限时20分钟1．已知a n ＝3n －2，则数列{a n }的图像是( )．A ．一条直线B ．一条抛物线C ．一个圆D ．一群孤立的点解析 ∵a n ＝3n －2，n ∈N ＋，∴数列{a n }的图像是一群孤立的点． 答案 D2．在数列{a n }中，a n ＝n ，则{a n }是 ( )．A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．以上都不是解析 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－n ＝1>0，∴数列{a n }是递增数列．答案 A 3．在递减数列{a n }中，a n ＝kn(k 为常数)，则实数k 的取值范围是( )．A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0]解析 ∵{a n }是递减数列，∴a n ＋1－a n ＝k(n ＋1)－kn ＝k<0.答案 C4．若数列{a n }为递减数列，则{a n }的通项公式可能为________(填写序号)． ①a n ＝－2n ＋1； ②a n ＝－n 2＋3n ＋1；③a n ＝12n ； ④a n ＝(－1)n . 解析 可以通过画函数的图像一一判断．②有增有减，④是摆动数列． 答案 ①③5．数列{－2n 2＋9n ＋3}的最大项是第________项，最大项为________．解析 由已知a n ＝－2n 2＋9n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n －942＋1058.∵n ∈N ＋，故当n ＝2时，a n 取到最大 值13.答案 2 136．已知数列{a n }是递减数列，且a n ＝(m 2－2m)(n 3－2n)，求实数m 的取值范围． 解 ∵数列为递减数列，∴a n ＋1<a n ，∴a n ＋1－a n ＝(m 2－2m)[(n ＋1)3－2(n ＋1)－n 3＋2n]＝(m 2－2m)(3n 2＋3n －1)<0.∵n ∈N ＋，∴3n 2＋3n －1＝3⎝⎛⎭⎫n ＋122－74≥5>0， ∴m 2－2m<0，解得0<m<2.故实数m 的取值范围为0<m<2.综合提高(限时25分钟)7．已知a n ＝32n －11(n ∈N ＋)，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则使S n >0的n 的最小值为 ( )．A ．10B ．11C ．12D ．13 解析 ∵－a 1＝a 10，－a 2＝a 9，－a 3＝a 8，－a 4＝a 7，－a 5＝a 6，∴S 11>0，则当n≥11时， S n >0，故n 最小为11.答案 B8．函数f(x)定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f(x n )，则x 2 011＝( ).A.1 解析 ∵x 0＝5，x 1＝f(x 0)＝f(5)＝2，x 2＝f(x 1)＝f(2)＝1，x 3＝f(x 2)＝f(1)＝5，x 4＝f(x 3)＝f(5)＝2，…，∴x n 的值周期出现，且周期T ＝3，则x 2 011＝x 670×3＋1＝x 1＝2. 答案 B9．已知数列{a n }满足a 1>0，a n ＋1a n ＝12(n ∈N ＋)，则数列{a n }是________数列(填“递增”或“递减”)． 解析 由已知a 1>0，a n ＋1＝12a n (n ∈N ＋)，得a n >0(n ∈N ＋)．又a n ＋1－a n ＝12a n －a n ＝－12a n <0， 所以{a n }是递减数列． 答案 递减10．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝an bn ＋1，其中a ，b 均为正常数，那么a n ＋1与a n 的大小关系是________．解析 ∵a n ＋1－a n ＝＋＋＋1－an bn ＋1＝ a＋＋＋>0.∴a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n . 答案 a n ＋1>a n11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． 解 (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n<4. 因为n ∈N ＋，故n ＝2,3，所以该数列中有两项是负数．(2)因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，可知对称轴方程为n ＝52＝2.5.又n ∈N ＋，故n ＝2或3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.12．(创新拓展)已知函数f(x)＝2x －2－x ，数列{a n }满足f(log 2a n )＝－2n. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明数列{a n }是递减数列．(1)解 ∵f(x)＝2x －2－x ，f(log 2a n )＝－2n ， ∴2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ，a n －1a n＝－2n ， ∴a n 2＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n±n 2＋1. ∵a n >0，∴a n ＝n 2＋1－n ，n ∈N ＋.(2)证明 a n ＋1a n ＝＋2＋1－＋n 2＋1－n ＝n 2＋1＋n＋2＋1＋＋<1. ∵a n >0，∴a n ＋1<a n ，∴数列{a n }是递减数列．。

基础巩固已知数列{}是递增数列，则当∈＋时，有( )．＋≥．＋≤．＋＞．＋＜已知数列{}的图像是上升的，则{}是( )．递增数列．递减数列．常数列．以上均有可能＝－＋(为常数)，数列{}是递减数列，则有 ( )．＞．＜．≠．∈＝－，则数列{}的图像是( )．一条直线．一条抛物线．一个圆．一群孤立的点求数列{－＋＋}中的最大项．是否是数列{－＋＋}中的一项？综合过关若数列{}的通项公式为＝－＋(∈＋)，画出它在轴上方的图像，并根据图像求出的最大值，并在同一坐标系中画出函数()＝－＋的图像，根据图像求出()的最大值．若用函数来求＝－＋的最大值，应如何处理．已知数列{}的通项公式是＝(∈＋)，求数列{}中的最大项．能力提升一辆邮车每天从地往地运送邮件，沿途(包括、)共有站，从地出发时，装上发往后面站的邮件各一个，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的一个邮件，同时装上该站发往下面各站的邮件各一个，试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列，画出该数列的图像，并判断该数列的增减性．参考答案答案：答案：答案：答案：分析：由通项公式可以看出：是的二次函数，求二次函数的最值可采用配方法，此时要注意其中自变量为正整数．解：由已知＝－＋＋＝－(－)＋，由于为正整数，故当取时，取到最大值为.∴数列{－＋＋}的最大项为＝.解：令－＋＋＝，解得＝或＝.由于∈＋，则方程－＋＋＝无正整数解，所以不是数列{－＋＋}中的一项．分析：由＝()可知，的图像应该为函数＝()图像上横坐标为正整数的点．求{}的最大值既可用图像来解决，也可用函数的相关知识解决．解：由－＋＞，可得＜＜.又因为∈＋，所以＝、、、、、，分别代入通项公式，可得＝，＝，＝，＝，＝，＝，图像如图所示，为个点．最大值为.函数()＝－＋的图像如图所示(图中曲线)．()＝－＋＝－(－)＋，当＝时，()＝.因为＜＜，且离较近，所以最大值＝.解：令()＝(∈＋)．设＜＜≤，∈＋，∈＋，则()－()＝－＝＝.又＜＜≤，∈＋，∈＋，则－＜，－＞，(＋)(＋)＞.所以＜.所以()＜()．所以当≤时，()是增函数．同理可证，当＞时，()是减函数，所以当＝时，()取最大值()＝，即{}中的最大项为＝.解：将、之间所有站按序编号，通过计算，上面各站剩余邮件数依次排成数列：。

[A 基础达标]1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定解析：选A.因为a n ＋1－a n ＝3>0，故数列{a n }是递增数列．2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2n －1，按项的变化趋势，该数列是( ) A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列 解析：选B.因为a n ＋1－a n ＝n ＋12n ＋1－n 2n －1＝－1（2n ＋1）（2n －1）<0，所以a n ＋1<a n .故该数列是递减数列．3．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( )A ．109B ．10818C ．108D ．107 解析：选C.a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n 2－292n ＋3＝－2·⎝⎛⎭⎫n －2942＋3＋2928，当n ＝7时，a n 最大且等于108，故选C. 4．在递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值范围是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0] 解析：选C.因为{a n }是递减数列，所以a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k <0.5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝411－2n，则满足a n ＋1<a n 的n 的取值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.由a n ＋1<a n ，得a n ＋1－a n ＝49－2n －411－2n＝8（9－2n ）（11－2n ）<0，解得92<n <112，又n ∈N ＋， 所以n ＝5.6．已知下列数列：①2 010，2 014，2 018，2 022；②0，12，23，…，n －1n，…； ③1，12，14，…，12n －1，…； ④1，－23，35，…，（－1）n －1·n 2n －1，…； ⑤6，6，6，6，6，6.其中，有穷数列是______，无穷数列是______，递增数列是______，递减数列是______，常数列是______，摆动数列是________．(将符合条件的数列的序号填在横线上)解析：①是有穷递增数列；②是无穷递增数列；③是无穷递减数列；④是摆动数列，也是无穷数列；⑤是常数列，也是有穷数列．答案：①⑤ ②③④ ①② ③ ⑤ ④7．已知数列{a n }中，a n ＝n ·⎝⎛⎭⎫79n ＋1，当a n 最大时，n ＝________． 解析：a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫79n ＋1·7－2n 9，故当n ＝1，2，3时，a n ＋1>a n ；当n ≥4时，a n ＋1<a n .所以此数列的最大项为a 4.答案：4 8．已知数列{a n }为单调递增数列，通项公式为a n ＝n ＋λn，则λ的取值范围是________． 解析：由于数列{a n }为单调递增数列，a n ＝n ＋λn ，所以a n ＋1－a n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n ＋1）＋λn ＋1－⎝⎛⎭⎫n ＋λn ＝1－λn （n ＋1）＞0，即λ＜n (n ＋1)(n ∈N ＋)，所以λ＜2. 答案：(－∞，2)9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4，(1)数列中有多少项为负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求此最小值．解：(1)由n 2－5n ＋4<0得1<n <4，n ∈N ＋，所以n ＝2或3.所以数列中有2项为负数．(2)因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，又因为n ∈N ＋，所以n ＝2或3时，a n 有最小值－2.10．已知函数f (x )＝1－2x x ＋1(x ≥1)，构造数列a n ＝f (n )(n ∈N ＋)． (1)求证：a n >－2；(2)数列{a n }是递增数列还是递减数列？为什么？解：(1)证明：因为f (x )＝1－2x x ＋1＝3－2（x ＋1）x ＋1＝－2＋3x ＋1， 所以a n ＝－2＋3n ＋1. 因为n ∈N ＋，所以a n >－2.(2)数列{a n }为递减数列．因为a n ＝－2＋3n ＋1，所以a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3n ＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3n ＋1＝3n ＋2－3n ＋1＝－3（n ＋2）（n ＋1）<0， 即a n ＋1<a n ，所以数列{a n }为递减数列．[B 能力提升]11．一给定函数y ＝f (x )的图像在下列各图中，并且对任意a n ∈(0，1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1>a n (n ∈N ＋)，则该函数的图像是( )解析：选A.由a n ＋1＝f (a n )，a n ＋1>a n 知f (a n )>a n .可以知道x ∈(0，1)时f (x )>x ，即f (x )的图像在y＝x 图像的上方，由选项中所给的图像可以看出，A 符合条件．12．已知通项公式为a n ＝(m 2－2m )(n 3－2n )的数列是递减数列，则实数m 的取值范围为____________．解析：因为数列{a n }为递减数列，所以a n ＋1<a n .所以a n ＋1－a n ＝(m 2－2m )[(n ＋1)3－2(n ＋1)－n 3＋2n ]＝(m 2－2m )(3n 2＋3n －1)<0.因为n ∈N ＋，所以3n 2＋3n －1＝3⎝⎛⎭⎫n ＋122－74≥5>0. 所以m 2－2m <0，解得0<m <2.故m ∈(0，2)．答案：(0，2)13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫910n，试问n 取何值时，a n 取最大值？试求出a n的最大值． 解：因为a n ＋1a n ＝（n ＋3）⎝⎛⎭⎫910n ＋1（n ＋2）⎝⎛⎭⎫910n ＝9（n ＋3）10（n ＋2）＝910＋910·1n ＋2，由a n ＋1a n ＝1，解得n ＝7， 则当n ＝7时，a 8a 7＝1，即a 7＝a 8. 当n <7时，a n ＋1a n>1，即a n ＋1>a n . 当n ≥8时，a n ＋1a n<1，即a n ＋1<a n . 则当n ＝7或n ＝8时，a n 取最大值，最大值为a 7＝a 8＝98107. 14．(选做题)设f (x )＝log 2x －log x 4(0<x <1)，又知数列{a n }的通项a n 满足f (2a n )＝2n .求数列{a n }的通项公式．解：因为f (x )＝log 2x －log x 4(0<x <1)，f (2an )＝2n ，所以log 22an －log 2an 4＝2n ，由换底公式，得log 22an －log 24log 22a n ＝2n ，即a n －2a n ＝2n ，所以a 2n －2na n －2＝0，所以a n ＝n ±n 2＋2.①由0<x <1，有0<2an <1，所以a n <0.②由①②得a n＝n－n2＋2，此即为数列{a n}的通项公式．。

数学ⅴ北师大版1.1.2数列的函数特性课堂练习课堂巩固训练【一】选择题1.数列｛a n ｝,a 1=1,a n -a n -1＝n -1(n ≥2)，那么a 6=〔〕A.7B.11C.16D.17［答案］C［解析］∵a 1=1,a n -a n -1=n -1(n ≥2)，∴a 2-a 1=1,∴a 2=a 1+1=2,∴a 3-a 2=2,∴a 3=a 2+2=4,∴a 4-a 3=3,∴a 4=a 3+3=7,∴a 5-a 4=4,∴a 5=a 4+4=11,∴a 6-a 5=5,∴a 6=a 5+5=16.2.(2018·济南高二检测)数列{a n }中，a n =-n 2+11n ,那么此数列最大项的值是〔〕 A.4121B.30C.31D.32［答案］B［解析］a n =-n 2+11n =-〔n -211〕2+4121,∵n ∈N +,∴当n =5或6时，a n 取最大值30，应选B.3.一给定函数y =f (x )的图像在以下图中，同时对任意a 1∈(0,1),由关系式a n +1=f (a n )得到数列{a n }满足a n +1>a n (n ∈N +)，那么该函数的图像是〔〕［答案］A［解析］由关系式a n +1=f (a n )得到数列{a n }满足a n+1>a n ,可得f (a n )>a n ,即f (x )>x .故要使该函数y =f (x )图像上任一点〔x ,y 〕都满足y >x ,图像必在直线y =x 的上方，因此A 正确. 说明：借用函数的图像与性质来研究数列时，要注意函数的一般性及数列的特别性之间的关系，不可不加区分，混为一谈，表达时要清晰明白，数列问题有时用图像来处理，往往能够使问题巧妙、简捷地获得解决.【二】填空题4.f (1)=2,f (n +1)=21)( n f (n ∈N +),那么f (4)=.［答案］89［解析］∵f (1)=2,f (n +1)=21)(+n f (n ∈N ＋),∴f (2)=21)1(+f =23,f (3)=21)2(+f =225=45,f (4)=21)3(+f =2145+=89.5.数列{a n }中，a n =a n +m (a <0,n ∈N ＋)满足a 1=2,a 2=4,那么a 3=. ［答案］22=a+ma =2a =-1［解析］∵a 1=2,a 2=4,∴,∴〔舍去〕或, 4=a 2+mm =0m =3∴a 3=(-1)3+3=2.【三】解答题6.证明数列｛)1(1+n n ｝是递减数列.［证明］令a n =)1(1+n n ，∴a n +1-a n =)2)(1(1++n n -)1(1+n n=n n n n ⋅++)2)(1(-)2()1(2+⋅++n n n n =-)2)(1(2++n n n <0, ∴a n +1<a n .因此数列｛)1(1+n n ｝是递减数列.。