平面向量的数量积的坐标表示

第六节 平面向量数量积的坐标学习目标：1．掌握两个向量数量积的坐标表示，能通过两个向量的坐标进行两个向量数量积的运算．2．能运用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用这一条件去判断两个向量的垂直关系．3．能运用两个向量的数量积的坐标表示去解决处理有关长度、角度、垂直等问题．重点、难点：重点：两个向量数量积的坐标表示，向量的长度公式，两个向量垂直的条件．难点：对向量的长度公式，两个向量垂直条件的灵活运用．学习过程：(一) 课前预习检查1.设单位向量j i ,分别与平面直角坐标系中的x 轴、y 轴方向相同，O 为坐标原点，若向量,23j i OA +=则向量OA 的坐标是 ，若向量)2,1(-=a ，则向量a 可用j i ,表示为 .2. 已知,1==j i ,j i ⊥,23j i a +=,j i b -==⋅b a .3. A 点坐标(x 1，y 1)，B 点坐标(x 2，y 2),_____,=AB ______,=BA ．.______=AB4. (1) ______;=⋅b a(2) _____;______;==⋅a a a(3) .______cos ______;=⇔⊥θb a 5. 向量的数量积满足哪些运算律？(二） 提出问题，揭示课题我们学过向量的加法、减法、数乘向量可以用它们相应的坐标来运算,那么怎样用b a 和的坐标来表示b a ⋅呢？ (三） 新课探究1. 平面向量数量积的坐标表示问题1：如图，i 是x 轴方向上的单位向量,j 是y 轴方向上的单位向量,请计算下列式子：(1) ____,=⋅i i (2) ____,=⋅j j(3) ____,=⋅j i (4) .____=⋅j j问题2：如何推导b a ⋅的坐标公式.已知非零向量),(),,(2211y x b y x a == ，设j i 和分别是x 轴和y 轴方向上的单位向量,则有,11j y i x a += j y i x b 22+=)()(2211j y i x j y i x b a +⋅+=⋅∴j j y y i j y x j i y x i i x x ⋅+⋅+⋅+⋅=211221210,1,122=⋅=⋅==i j j i j i2121y y x x b a +=⋅∴两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和.2. 向量的模和两点间的距离公式(1) 向量的模.,),,(22222y x a y x a y x a +=+== 或则设（2）两点间的距离公式.)()(),,(),(2212212211y y x x AB y x B y x A -+-=则、设3. 两向量垂直和平行的坐标表示（1）垂直 0=⋅⇔⊥b a b a0)(),(21212,21,1=+⇔⊥==y y x x b a y x b y x a 则设（2）平行 0//)(),(12212,21,1=-⇔==y x y x b a y x b y x a 则设4. 两向量夹角公式的坐标运算.c o s ,180000ba b a b a ⋅=≤≤θθθ则）（的夹角为和设 .c o s ,1800),(),,(222221212121002,211y x y x y y x x b a y x b y x a +⋅++=≤≤==θθθ则）（的夹角为和设.0,022222121≠+≠+y x y x 其中 (四）讲解例题 探究新知例1. 已知)1,1(),32,1(=+-=b a ，求.,,θ的夹角和b a b a b a ⋅⋅解： ,311)32(11+=⨯++⨯-=⋅b a322)32()1(22+=++-=a ， 21122=+=b)31(23242+=+=⋅∴b a,21)31(231c o s =++=θ001800≤≤θ 060=∴θ 例2. 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断ABC ∆的形状，并给出证明. 证明： )3,3()25,12(),1,1()23,12(-=---==--=AC AB031)3(1=⨯+-⨯=⋅∴AC ABAC AB ⊥∴是直角三角形A B C ∆∴变式：.),,1(),3,2(的值求实数中，在k k OB OA OAB Rt ==∆例3. 求以点C(a,b)为圆心,r 为半径的圆的方程.解: 设M(x,y)是圆C 上一点,则CM |=r,即 2r CMCM =⋅因为 (),,b y a x CM--= 所以()()222r b y a x =-+-,即为圆的标准方程.如果圆心在坐标原点上,这时a=0,b=0,那么圆的标准方程就是.222r y x =+由解析几何知给定斜率为k 的直线l ,则向量),1(k m = 与直线l 共线,我们把与直线l 共线的非零向量m 称为直线l 的方向向量.例4 已知直线01243:1=-+y x l 和0287:2=-+y x l ,求直线1l 和2l 的夹角.解: 任取直线1l 和2l 的方向向量)43,1(-=m 和)7,1(-=n . 设向量m 与n 的夹角为θ, 因为θcos n m n m =⋅,从而,22)7(1)43(1)7()43(11cos 2222=-+⨯-+-⨯-+⨯=θ 所以θ=45°,即直线1l 和2l 的夹角为45°.（五） 课堂练习1. 已知)1,1(),432,2(=-=b a ，求.,θ的夹角和b a b a ⋅2. 已知),9,6(),2,3(-==b a 求证.b a ⊥3. 若),6,5(),3,4(=-=b a 则.___432=⋅-b a a4. 若),3,(),1,3(-==x b a ，且b a ⊥，则实数.____=x5. 若),7,4(),3,2(-==b a ，则b a 在方向上的投影是 ；6. 若()2,4=a ，则与a 垂直的单位向量的坐标是 ；（六） 小结：平面向量数量积的坐标表示,向量的模,两向量的夹角,向量垂直的条件.（七） 布置作业 课后巩固1. 已知三点()()(),7,6,3,2,5,7-C B A ，求证：ABC ∆直角三角形.2. 已知),5,(),0,3(k b a == ，.1350的值，求的夹角是与且k b a3. 已知直线017618:1=-+y x l 和09105:2=-+y x l ,求直线1l 和2l 的夹角.。

平面向量数量积的坐标表示教学目标：掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.教学重点：平面向量数量积的坐标表示.教学难点：向量数量积的坐标表示的应用.教学过程：首先我们推导平面向量的数量积坐标表示：记a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，∴a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1j )(x 2i ＋y 2j )＝x 1x 2i 2＋(x 1y 2＋x 2y 1)i ·j ＋y 1y 1j 2＝x 1x 2＋y 1y 21.平面向量数量积的坐标表示：已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，∴a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 22.两向量垂直的坐标表示：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0［例1］已知a ＝(1， 3 )，b ＝( 3 ＋1， 3 －1)，则a 与b 的夹角是多少?分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝(1， 3 )，b ＝( 3 ＋1， 3 －1)有a ·b ＝ 3 ＋1＋ 3 ( 3 －1)＝4，｜a ｜＝2，｜b ｜＝2 2 .记a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b ｜a ｜｜b ｜＝22 又∵0≤θ≤π， ∴θ＝π4评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.［例2］已知a ＝(3，4)，b ＝(4，3)，求x ，y 的值使(x a ＋y b )⊥a ，且｜x a ＋y b ｜＝1. 分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.解：由a ＝(3，4)，b ＝(4，3)，有x a ＋y b ＝(3x ＋4y ，4x ＋3y )又(x a ＋y b )⊥a ⇔(x a ＋y b )·a ＝0⇔3(3x ＋4y )＋4(4x ＋3y )＝0即25x ＋24y ＝0 ① 又｜x a ＋y b ｜＝1⇔｜x a ＋y b ｜2＝1⇔(3x ＋4y )2＋(4x ＋3y )2＝1整理得：25x 2＋48xy ＋25y 2＝1即x (25x ＋24y )＋24xy ＋25y 2＝1 ② 由①②有24xy ＋25y 2＝1 ③将①变形代入③可得：y ＝±57再代入①得：x ＝2435∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==753524y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=753524y x［例3］在△ABC 中，AB →＝(1，1)，AC →＝(2，k )，若△ABC 中有一个角为直角，求实数k 的值.解：若A ＝90°，则AB →·AC →＝0，∴1×2＋1×k ＝0，即k ＝－2若B ＝90°，则AB →·BC →＝0，又BC →＝AC →－AB →＝(2，k )－(1，1)＝(1，k －1)即得：1＋(k －1)＝0，∴k ＝0若C ＝90°，则AC →·BC →＝0，即2＋k (k －1)＝0，而k 2－k ＋2＝0无实根，所以不存在实数k 使C ＝90°综上所述，k ＝－2或k ＝0时，△ABC 内有一内角是直角.评述：本题条件中无明确指出哪个角是直角，所以需分情况讨论.讨论要注意分类的全面性，同时要注意坐标运算的准确性.［例4］已知：O 为原点，A (a ，0)，B (0，a )，a 为正常数，点P 在线段AB 上，且AP →＝tAB → (0≤t ≤1)，则OA →·OP →的最大值是多少?解：设P (x ，y )，则AP →＝(x －a ，y )，AB →＝(－a ，a )，由AP →＝tAB →可有：⎩⎨⎧=-=-at y at a x ，解得⎩⎨⎧=-=at y at a x ∴OP →＝(a －at ，at )，又OA →＝(a ，0)，∴OA →·OP →＝a 2－a 2t∵a ＞0，可得－a 2＜0，又0≤t ≤1，∴当t ＝0时，OA ·OP →＝a 2－a 2t ，有最大值a 2.［例5］已知｜a ｜＝3，｜b ｜＝2，a ，b 夹角为60°，m 为何值时两向量3a ＋5b 与m a －3b 互相垂直？解法：(3a ＋5b )·(m a －3b )＝3m ｜a ｜2－9a ·b ＋5m a ·b －15｜b ｜2＝27m ＋(5m －9)×3×2cos60°－15×4＝42m －87＝0∴m ＝8742 ＝2914时，(3a ＋5b )⊥(m a －3b ).1．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝__________.解析：∵a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，∴8a －b ＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a －b )·c ＝30，∴(6,3)·(3，x )＝18＋3x ＝30.∴x ＝4.答案：42．已知a ＝(－5,5)，b ＝(0，－3)，则a 与b 的夹角为________．解析：∵cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1552×3＝－22.∴θ＝3π4. 答案：3π43．已知向量a ＝(2,4)，b ＝(1,1)，若向量b ⊥(a ＋λb )，则实数λ的值是__________． 解析：b ·(a ＋λb )＝b ·a ＋λb ·b ＝2×1＋4×1＋2λ＝0⇒λ＝－3.答案：－34．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于__________． 解析：2a －b ＝(3，n )，由2a －b 与b 垂直可得(3，n )·(－1，n )＝－3＋n 2＝0，∴n 2＝3，|a |＝2.答案：2一、填空题1．已知向量a ＝(4，－3)，|b |＝1，且a ·b ＝5，则向量b ＝______.解析：设b ＝(m ，n )，则由a ·b ＝5得4m －3n ＝5， ①又因为|b |＝1，所以m 2＋n 2＝1， ②由①②可得(5n ＋3)2＝0，∴n ＝－35， ∴⎩⎨⎧m ＝45，n ＝－35. ∴b ＝⎝⎛⎭⎫45，－35. 答案：⎝⎛⎭⎫45，－35 2．已知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，a ＝i －2j ，b ＝i ＋m j ，给出下列命题：①若a 与b 的夹角为锐角，则m ＜12；②当且仅当m ＝12时，a 与b 互相垂直；③a 与b 不可能是方向相反的向量；④若|a |＝|b |，则m ＝－2.其中正确命题的序号为__________．(把所有正确命题的序号全填上)答案：②③3．设向量a ＝(1,2)，b ＝(x, 1)，当向量a ＋2b 与2a －b 平行时，a ·b 等于__________． 解析：a ＋2b ＝(1＋2x,4)，2a －b ＝(2－x,3)，∵a ＋2b 与2a －b 平行，∴(1＋2x )×3－4×(2－x )＝0，∴x ＝12，a ·b ＝(1,2)·⎝⎛⎭⎫12，1＝1×12＋2×1＝52. 答案：524．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角是__________．解析：设c ＝(x ，y )，则(a ＋b )·c ＝(－1，－2)·(x ，y )＝－x －2y ＝52，又|c |＝5，且a ·c ＝x ＋2y ＝|a ||c |·cos α，故cos α＝－12，α＝120°. 答案：120°5．若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b ＝__________. 解析：a 与b 共线且方向相反，∴b ＝λa (λ＜0)，设b ＝(x ，y )，则(x ，y )＝λ(1，－2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ，y ＝－2λ.由|b |＝35，得x 2＋y 2＝45，即λ2＋4λ2＝45，解得λ＝－3，∴b ＝(－3,6)． 答案：(－3,6)6．以原点O 及点A (5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB ，使∠A ＝90°，则AB →的坐标为__________．解析：设AB →＝(x ，y )，则有|OA →|＝|AB →|＝52＋22＝x 2＋y 2，①又由OA →⊥AB →，得5x ＋2y ＝0，②由①②联立方程组，解得x ＝2，y ＝－5或x ＝－2，y ＝5.答案：(－2,5)或(2，－5)7．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上有一点P 使AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标是__________．解析：设点P 的坐标为(x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1).AP →·BP →＝(x －2)(x－4)＋(－2)(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1，∴点P 的坐标为(3,0)．答案：(3,0)8．直角坐标平面内有三点A (1,2)、B (3，－2)、C (9,7)，若E 、F 为线段BC 的三等分点，则AE →·AF →＝__________.解析：∵BC →＝(6,9)，∴BE →＝13BC →＝(2,3)，BF →＝23BC →＝(4,6)． 又AB →＝(2，－4)，∴AE →＝AB →＋BE →＝(4，－1)，AF →＝AB →＋BF →＝(6,2)，∴AE →·AF →＝4×6＋(－1)×2＝22.答案：22二、解答题9．平面内三个点A ，B ，C 在一条直线上，且OA →＝(－2，m )，OB →＝(n,1)，OC →＝(5，－1)，且OA →⊥OB →，求实数m ，n 的值．解：∵A ，B ，C 三点在同一直线上，∴AC →∥AB →.∵OA →＝(－2，m )，OB →＝(n,1)，OC →＝(5，－1)，∴AC →＝OC →－OA →＝(7，－1－m )，AB →＝OB →－OA →＝(n ＋2,1－m )，∴7(1－m )－(n ＋2)·(－1－m )＝0，即mn －5m ＋n ＋9＝0.①∵OA →⊥OB →，∴(－2)×n ＋m ×1＝0，即m －2n ＝0.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝6n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3，n ＝32.10．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时：(1)k a ＋b 与a －3b 垂直？(2)k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们同向还是反向？解：(1)k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．当(k a ＋b )·(a －3b )＝0时，这两个向量垂直．由(k －3)×10＋(2k ＋2)×(－4)＝0.解得k ＝19，即当k ＝19时，k a ＋b 与a －3b 垂直．(2)当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在惟一的实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)，得：⎩⎪⎨⎪⎧ k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得⎩⎨⎧k ＝－13，λ＝－13. 所以当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行， 因为λ＜0，所以－13a ＋b 与a －3b 反向． 11．已知c ＝m a ＋n b ＝(－23，2)，a 与c 垂直，b 与c 的夹角为120°，且b ·c ＝－4，|a |＝22，求实数m ，n 的值及a 与b 的夹角θ.解：∵a 与c 垂直，∴a ·c ＝0.又∵c ＝m a ＋n b ，∴c ·c ＝m a ·c ＋n b ·c ，∴12＋4＝－4n ，∴n ＝－4.∵b ·c ＝|b ||c |cos120°，∴－4＝|b |×4×⎝⎛⎭⎫－12，∴|b |＝2. ∴a ·c ＝m a 2－4a ·b ，|a |＝22，∴a ·b ＝2m .又b ·c ＝m (a ·b )－4b 2，∴－4＝2m 2－16，∴m 2＝6，∴m ＝±6.当m ＝6时，a ·b ＝2 6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝2622×2＝32，∴θ＝π6. 当m ＝－6时，a ·b ＝－2 6.∴cos θ＝－32，∴θ＝5π6. 因此m ＝6，n ＝－4时，θ＝π6； m ＝－6，n ＝－4时，θ＝5π6.平面向量数量积的坐标表示1．在已知a ＝(x ，y ），b ＝(－y ，x )，则a ，b 之间的关系为2．已知a ＝（－4，3），b ＝(5，6），则3|a |2－4a ·b 为 （ ）3．若a ＝（－3，4），b ＝(2，－1），若（a －x b )⊥（a －b )，则x 等于 （ ）4．若a ＝（λ，2），b ＝(－3，5），a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围为 （ ）5．已知a ＝（－2，1），b ＝（－2，－3），则a 在b 方向上的投影为 （ ）6．已知向量c 与向量a ＝（ 3 ，－1）和b ＝（1， 3 ）的夹角相等，c 的模为 2 ，则 c ＝ .7．若a ＝（3，4），b ＝(1，2）且a ·b ＝10，则b 在a 上的投影为 .8．设a ＝（x 1，y 1)，b ＝(x `2，y `2)有以下命题：①|a |＝x 12＋y 12 ②b 2＝x 22＋y 22 ③a ·b ＝x 1x `2＋y 1y `2 ④a ⊥b x 1x `2＋y 1y `2＝0，其中假命题的序号为 .9．已知A （2，1），B （3，2），D （－1，4），（1）求证：AB →⊥AD → ；（2）若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标.10．已知a ＝（3，－2），b ＝(k ，k ）（k ∈R)，t ＝|a －b |，当k 取何值时，t 有最小值？最小值为多少？11．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |的值.。