最新湘教版九年级数学上册第3课时 相似三角形的判定定理2导学案课件

AC = = BC
BC
.
又∵∠C=∠C′=90°，
AC
因此△A′B′C′∽△ABC.（两边对应成比例且夹角相等 的两个三角形相似）
［点评］
（1）本题还可利用三边对应成比例的两个三角形进行 证明. （2）把 改为正数k，这两个直角三角形仍相似.由此
可得出：在两个直角三角形中，有两边对应成比例，则这两
个直角三角形相似.
1 2
1.相似三角形的判定方法
(1)平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的
三角形与原三角形相似； (2)如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角 形相似； (3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的
夹角相等，那么这两个三角形相似.
2.对本节课你有什么困惑?
第三章
图形的相似
3.4 相似三角形的判定与性质
3.4.1 相似三角形的判定
第3课时
相似三角形的判定定理2条件的识别及理解.
一、创设情境，导入新课
导语一 导语二 相似三角形已经学过哪些判定方法? 类比全等三角形条件SAS，如果两个三角形
的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两
⑤由上面的画图，你能发现△A′B′C′与△ABC有何关系？与
你周围的同学交流.
［归纳］三角形相似的判定定理2：两边对应成比例且夹角相 等的两个三角形相似. ［想一想］如果对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么 两个三角形是否相似呢?
DE ，∠A=∠A,但是△ADE与△ABC不一定相似. = AD BC AB
AC
.
AB AB
求证：△A′B′C′∽△ABC.
1 2
［提示］由条件知，∠C=∠C′=90°,而

对于△ABC和△A′B′C′, 如果
AB A'B'
=
AC ， A'C'
∠B=∠B′,这两个三角形一定相似吗?试着画画看.
典例剖析
1.证明图中△AEB和△FEC是否相似？
证明： ∵ AE = 54 =1.5 FE 36
B 45
BE＝ 45＝1.5
CE 30
E 36 F ∴ AE ＝ BE
A
54
30
FE CE
证明：∵△ACB是等腰直角 三角形， ∴∠A=∠B=45°． 又∵∠MCN=45°， ∠CNA=∠B+∠BCN=45°+∠BCN， ∠MCB=∠MCN+∠NCB=45°+∠BCN． ∴∠CNA=∠MCB， 在△BCM和△ANC中， ∠A=∠B ∠CNA=∠MCB， ∴△BCM∽△ANC．
5.如图，已知△ABC、△DEB均为等腰直角三角 形，∠ACB=∠EDB=90°，点E在边AC上，CB、 ED交于点F.证明：△ABE∽△CBD.
D E
又∵ AB AC ∴ A' B' A' C'
A'D=AB ∴ △ABC∽△A'B'C'
A'E=AC △ABC∽△A'DE
由此我们得到另一个判定三角形相似的定理
AB AC A' B' A' C'
∠A=∠A'
△ABC∽△A'B'C' 判定定理2： 两边成比例且夹角相等的两个三角
形相似.
？ 思考
3.如图，已知△ABD∽△ACE． 求证：△ABC∽△ADE.
证明：∵ △ABD∽△ACE

感悟新知
知识点 3 边角关系判定三角形相似定理
知3－讲
1. 相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的 两个三角形相似. 特别提醒 运用该定理证明相似时，一定要注意边角的关 系，相等的角一定是成比例的两组对应边的夹角. 类似于判定三角形全等的SAS的方法.
感悟新知
2. 数学表达式：如图3.4-7 所示， 在△ABC和△DEF 中， ∵DABE＝BEFC，且∠B＝∠E， ∴△ABC∽△DEF.
感悟新知
知2－练
解题秘方：紧扣“两角分别相等的两三角形相似” 证明. 由于∠BFA是公共角，因此只 需说明∠B＝∠4即可.
感悟新知
证明：∵ EF垂直平分AD，∴ AF＝DF. ∴∠FAD＝∠3. ∵ AD平分∠BAC，∴∠ 1 ＝∠ 2. ∵∠B＝∠3－∠1，∠4 ＝∠FAD －∠ 2， ∴∠B ＝∠ 4. ∵∠BFA＝∠AFC，∴△ABF∽△CAF.
感悟新知
知1－练
2-1. [ 模拟·株洲荷塘区 ] 如图，在 ▱ABCD中， 点 E
在 AD 上，且 BE 平分∠ ABC，交AC 于点 O，若
AB=3，BC=4，则
AOOC=
3 ___4___.
感悟新知
知识点 2 角的关系判定三角形相似定理
知2－讲
1. 相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形 相似.
和AC上的点，DE∥BC，若ABDD＝21，那么DBCE＝( )
A.
4 9

C.
1 3
B.
1 2
D.
2 3
感悟新知
知1－练
解题秘方：掌握平行线截三角形相似的定理和相似三角形 的对应边成比例是解题的关键.
解：∵ ABDD＝21，∴AADB＝23. ∵ DE∥BC，∴△ADE ∽△ABC，∴ DBCE＝AADB＝23. 答案：D

一定需三个角吗？
思考：如果三角形两个内角对应相等，请验证这 两个三角形是相似的. A
已知：在△ABC 和△ A'B'C' 中, 求证:ΔABC∽ △ A'B'C' 分析:要证两个三角形相似， 目前只有两个途径: B C B' C' A'
一个是三角形相似的定义（显然条件不具备）； 二是利用平行线来判定三角形相似的定理.
例4：在Rt△ABC与Rt△DEF中， 若 求EF的长.
△DEF∽△ ABC
A
D
C
BF
E
如图,方格纸上两个三角形， 使△ABC与△ A' B' C'满足
A´
B´ C´
AB BC ， ∠B=∠ B ' A' B' B' C'
△ABC与△A' B' C'相似吗？ B
A
C
量一量∠C与∠C'的大小，看看你有什么发现.
AD AE ， ∴ △ADE∽△ABC， AB AC
AB AC ， ∵ AD AB, AB AC AD AE AC ， AE AC ', AB AC AC
D
E
B
C
思考：如果三角形两边对应成比例，且夹角相等请验证这两个 A' 三角形是相似的. AB AC ， 已知:在△ABC 和△ A'B'C' 中, AB AC ∠A=∠A' 求证:ΔABC∽ △ A'B'C'
相 似
观察你与老师的直角三角尺 (30 与60 ),
O O
会相似吗？这两个三角形的三个内角的

F
C
等的两个三角形相似）
例 3 ： 如 图 ， 在 Rt△ABC 与 Rt△DEF 中 ， ∠ C=90° ， ∠F=90°.若∠A=∠D，AB=5,BC=4,DE=3,求EF的长．
证明：∵∠C=90°，∠F=90°∠A=∠D，
∴ △ABC∽△DEF.
∴ AB BC
A
DE EF
又AB=5,BC=4,DE=3，
12
A. 4
B. 5AΒιβλιοθήκη 2017B
C
C. 3
D. 4
D
E
3. 如图，点 D 在 AB上，当∠ACD ＝∠ B (或 ∠ ACB=∠ ADB )时， △ACD∽△ABC；
A D
B
C
4. 如图，△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°， ∠E=80 °，∠F=60 ° ．求证：△ABC ∽△DEF.
D
E
B
F
C
例2：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE．
证明：
∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC，
∠DAE= ∠3+ ∠DAC，∠1=∠3，
∴ ∠BAC=∠DAE.
A
∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ， ∠E=180°－∠3－∠AOE，
13
E
O
∠DOC =∠AOE（对顶角相等）， B ∴ ∠C= ∠E.
BF FD
证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F，
∴ ∠FEA=∠FDB=90°，
∠AFE =∠BFD (对顶角相等).
∴ △FEA ∽ △ FDB，
∴ AF EF .
BF FD
B
A FE
DC

且 AD = CD ，求证 ∠ACB=90°．
C
CD BD
证明： ∵ CD 是边 AB 上的高，
∴ ∠ADC =∠CDB =90°.
∵
AD CD， CD BD
AD
B
∴△ADC ∽△CDB，∴ ∠ACD =∠B，
∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.
的最小边长为12 cm，那么△ A′B′C′的最大边长是_____.
24cm
第十六页，共十九页。
当堂小练
3. 如图 △AEB 和 △FEC
相似(填 “相似” 或 “不相似”) .
B
45
1 E 36 F
A
54
2
30
C
第十七页，共十九页。
拓展与延伸
6. 如图，∠DAB =∠CAE，且 AB ·AD = AE·AC，求证 △ABC ∽△AED.
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D，使 A′D = AB． D
过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.
B'
∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.
∴ A' D A' E .
A' B' A' C'
B
第五页，共十九页。
A'
E
C′D=AB， AB AC ， A' B' A' C'
新湘教版九年级上册初中数学 课时3 相似三角形的判定定理2 教学课件
科 目：数学 适用版本：新湘教版 适用范围：【教师教学】

在△A′B′C′的边A′B′上截取点D，
使 A′D=AB. 过 点 D 作 DE∥B′C ′ ，
交A′C′于点E.
新知讲解
∵ DE∥B′C′，
∴ △A′DE∽△A′B′C′，
又 A′D=AB，



=
=
.
′′ ′′ ′′
∴ A′E=AC，DE=BC.
∴ △A′DE≌△ABC.
∴ △ABC∽△A′B′C′.
A
A′
C
B
C′
B′
例题教学
证明 ∵

设
′′
=
由勾股定理，得

=k，则AB=kA′B′，AC=kA′C′，
′′
例题教学
∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′(三边成比例的两个三角形是否相似，并说明理由.
C
3
A
2.4
3.5
4
B
D
1.8
E
2.1
F
图3-26
思路 本题已知两个三角形的三条边的长，则只需证明它
们的三边对应成比例，即可证△ABC∽△DEF.
例题教学
证明
在△ABC中，AB＞BC＞CA，在△DEF中，DE＞
EF＞FD.
∴ △DEF∽△ABC.
课堂练习
1. 下列说法中，正确的有（ D ）
①两个角相等的两个三角形相似；②平行于三角形一边的
新知讲解
由此得到相似三角形的判定定理3：
三边成比例的两个三角形相似.
例题教学
例 7 如 图 ， 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中 ， ∠C=90° ，
∠C′=90°，且

′′
=

A．8
B．10
C．16
16
D．
3
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图， ∥

，、相交于点E，

=
2

，则
3

=
2
3
．
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.如图，在中，//， = 9， = 3， = 2，则的长
为（ C ）
A．6
B．7
C．8
3.4.1相似三角形的判定（1）
按定义判定：
利用平行线：
习题讲解书写部分
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.如图， ∥ , ∥
2
A．
3
B．5
C．6
D．15

,

=
2
,
3
= 9，则 的长为（ C ）
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2.如图，点O是矩形 的对角线AC的中点， ∥ 交 于点M，
结论还成立吗？
解：∵ ∠A = ∠A,∠ADE=∠B，∠AED=∠C,
AD AE DE
= =
AB AC BC
. A
∴△ADE∽△ABC.
D
E
只要 DE∥ BC， 那么△ADE与△ABC是相似
的．
B
F
C
新知讲解
平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 截得的三角形
与原三角形相似.
A
几何语言：
D
∵DE∥ BC
形．
按定义判定：
A
∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，
A'
AB BC CA

两个三角形叫做相似三角形。 表示法：∽，读作“相似于”
相似比：相似三角形对应边的比k叫做相似比或 相似系数(求相似三角形的相似比要注意顺序性) 如右图所示:△ABC相似于△DEF就可表示为 △ABC∽△DEF 对应顶点一定要写在对应位置，这样可以准 确地找出相似三角形的对应角和对应边。
B
A
C
D
F
E
1、如图所示如果△ADE∽△ABC，那么哪些角是对应 想一 角？哪些边是对应边？对应角有什么关系？对应边 想 呢？
AC 10 1 A ' C ' 30 3 AB AC BC A' B ' A 'C ' B 'C '
∴△ABC∽△A ' B ' C '
(三边对应成比例的两个三角形相似)
练习1: 已知△ABC和 △DEF,根据下列 条件判断它们是否相似.
(1) AB=3， BC=4， AC＝6 否 DE＝6， EF＝8， DF＝9 (2) AB=4， BC=8， AC＝10 是 DE＝20， EF＝16， DF＝8 (3) AB=12， BC=15， AC＝24 否 DE＝16， EF＝20， DF＝30
【1】两个全等三角形一定相似 【2】两个等腰直角三角形一定相似 【3】两个等边三角形一定相似
【4】两个直角三角形和两个等腰 三角形不一定相似
二、请同学们细心判一判
1、如果两个三角形全等，则它们必相似。 √ 2、若两个三角形相似，且相似比为1，则它 √ 们必全等。 3、如果两个三角形均与第三个三角 形相似，则这两个三角形必相似。
【1】两个全等三角形一定相似吗？为什么？它与相似三角 A 形有什么关系？
C B 两个全等三角形的对应边相等，对应角相等，由对应边相等可知对应 E F 边一定成比例，且相似比为1，因此满足相似三角形的两个条件，所以 两个全等三角形一定相似。全等三角形是相似三角形的特殊形式！

图3-21
练习
1. 如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD,使 △ABC ∽ △DBA的条件是 A. AC:BC=AD:BD （ D）
A
B. AC:BC=AB:AD
C. AB2=CD· BC D. AB2=BD· BC
B
D
C
练习
2.已知在Rt△ABC与Rt△ ABC 中，∠A =∠A′= 90°，
从上述例子你能得出什么结论？
AB = 2 ，AC = 2 ， 有两边对应成比例. DE DF 图中∠B=∠E，而∠A≠∠D，故这两个三角形不相似.
在两个三角形中，有两边对应成比例，如不是这两 边的夹角相等，则这两个三角形不相似.
AB = 2 ，AC = 2 ， DE 在两个三角形中，有 DF 图中 ∠B=∠E，而 两边对应成比例，如不是 有两边对应成比例 . ∠A≠∠D，故 这两个三角形不相似 . 这两边的夹角相等，则这 两个三角形不相似.
A
A
如果
C
AB = A'B'
AC A'C'
∠A=∠A'，
B
C B
那么 ΔABC ∽ ΔA'B'C'
动脑筋
想一想：如果对应相等的角不是两 条对应边的夹角，那么两个三角形 是否相似呢？
C A D F
B E
例1
已知在Rt△ABC与Rt△ABC 中， ∠C =∠C′= 90°，AC=3cm，BC=2cm， AC = 4.2cm， BC = 2.8cm. 求证：△ ABC ∽△ABC.
3.4.1 相似三角形的判定
第3课时 相似三角形的判定定理2
探究 如果有点E在边AC上，点D在边AB上,那