专题38 圆与方程 备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板 Word版 含解析

高考数学复习考点题型专题讲解题型：圆【高考题型二】：圆的方程。

【题型1】：圆的方程。

『解题策略』：⑴标准方程：222()()x a y b r -+-=，圆心(),a b ，半径r 。

⑵一般方程：220,x y Dx Ey F ++++=圆心,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，2r =。

1.(高考题)圆心在y 轴上，半径为1，且过点()1,2的圆的方程为 ( ) A.22(2)1x y +-= B.22(2)1x y ++= C.22(1)(3)1x y -+-= D.22(3)1x y +-=【解析】：在y 轴上找一点到()1,2的距离为1，可知圆心为()0,2，选A 。

2.(2009年辽宁卷)已知圆C 与直线0=-y x 及04=--y x 都相切，圆心在直线0=+y x 上，则圆C 的方程为 ( )A.22(1)(1)2x y ++-=B.22(1)(1)2x y -++=C.22(1)(1)2x y -+-=D.22(1)(1)2x y +++= 【解析】：设圆心为()a a -,，利用圆心到两条直线距离相等，选B 。

3.(2015年新课标全国卷I14)一个圆经过椭圆141622=+y x 的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 。

【解析】：4252322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 。

4.(2016年新课标全国卷II4)圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则=aA.34- B.34- D.2【解析】：选A 。

5.(高考题)已知圆C 经过A ()1,5，B ()3,1两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为 。

【解析】：22(2)10x y -+=。

6.(高考题)已知R a ∈，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 。

【解析】：()4,2--，5。

7.(2018年天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点()()()0,21,10,0，，的圆的方程为 。

2018-高考数学常考知识点圆的方程-实用word文档
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高考数学常考知识点圆的方程
导语：学会学习的人，是非常幸福的人。

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高中数学知识点：圆的定义
平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

高中数学知识点：圆的方程
高中数学知识点：直线与圆的位置关系
如果在平面直角坐标系中还可以直接将
直线方程：l与圆的方程: 联立得出
若l>0 则该方程有两个根，即直线与圆有两个交点，相交;
若l=0 则该方程有一个根，即直线与圆有一个交点，相切;
若l<0 则该方程有零个根，即直线与圆有零个交点，相离。

高中数学知识点：圆的方程例题。

圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r>0)圆心(a，b）半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：D2＋E2－4F〉0圆心坐标：（－错误!，－错误!)半径r＝错误!错误!【知识拓展】1．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；（2)根据条件列出关于a，b,r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x－a）2＋(y－b)2＝r2,点M（x0，y0）(1）点在圆上:（x0－a)2＋(y0－b）2＝r2；（2)点在圆外：（x0－a)2＋(y0－b）2〉r2；(3）点在圆内：(x0－a）2＋（y0－b)2〈r2。

【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（1）确定圆的几何要素是圆心与半径．( √)（2)已知点A(x1，y1）,B（x2，y2），则以AB为直径的圆的方程是(x －x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0。

（√)(3）方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0,D2＋E2－4AF>0。

( √)（4）方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．（×)(5）若点M(x0,y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x错误!＋y错误!＋Dx0＋Ey0＋F＞0。

（√)1．(教材改编)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是（) A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0答案C解析圆心是(1,2），所以将圆心坐标代入检验选项C满足．2．已知圆C：(x－3）2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0），B（m，0)(m〉0)，若圆C上存在点P,使得∠APB＝90°，则m的最大值为( ）A．7 B．6 C．5 D．4答案B解析根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4）,半径r＝1，且|AB|＝2m.因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP｜＝错误!｜AB｜＝m。

9．3 圆的方程1．圆的定义在平面内，到 的距离等于 的点的 叫圆．确定一个圆最基本的要素是 和 ．2．圆的标准方程与一般方程(1)圆的标准方程：方程(x -a )2＋(y -b )2＝r 2(r >0)叫做以点____________为圆心，____________为半径长的圆的标准方程．(2)圆的一般方程：方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(____________)叫做圆的一般方程．注：将上述一般方程配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2-4F4，此为该一般方程对应的标准方程，表示的是以____________为圆心，____________为半径长的圆．3．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种：圆的标准方程(x -a )2＋(y -b )2＝r 2(r >0)，点M (x 0，y 0)，(1)点M 在圆上：______________________； (2)点M 在圆外：______________________； (3)点M 在圆内：______________________. 4．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组；(3)解出a ，b ，r 或D ，E ，F ，代入标准方程或一般方程．自查自纠1．定点 定长 集合 圆心 半径长 2．(1)(a ，b ) r(2)D 2＋E 2-4F >0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-D 2，-E 2 12D 2＋E 2-4F3．(1)(x 0-a )2＋(y 0-b )2＝r 2(2)(x 0-a )2＋(y 0-b )2>r 2(3)(x 0-a )2＋(y 0-b )2<r 2方程x 2＋y 2＋4mx -2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件的是( )A.14<m <1 B ．m <14或m >1C ．m <14D ．m >1解：由(4m )2＋4-4×5m >0，得m <14或m >1.故选B .(2015·浙江嘉兴测试)若P (2，-1)为圆M ：(x -1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y -3＝0B ．x -y -3＝0C ．x ＋y -1＝0D ．2x -y -5＝0解：依题意知圆心M (1，0)，MP ⊥AB ，而k MP ＝-11＝-1，所以k AB ＝1，因为直线AB 过点P (2，-1)，所以直线AB 的方程为y -(-1)＝x -2，即x -y -3＝0.故选B .(2015·浙江湖州德清高级中学月考)已知点M 是直线3x ＋4y -2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95B ．1C.45D.135解：圆心(-1，-1)到点M 的距离的最小值为点(-1，-1)到直线3x ＋4y -2＝0的距离，根据点到直线的距离公式得d ＝|-3-4-2|5＝95 ，故点N 到点M 的距离的最小值为d -1＝45.故选C .(2014·陕西)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为____________．解：因为点(1，0)关于直线y ＝x 的对称点为(0，1)，所以圆心为(0，1)．所以圆C 的标准方程为x 2＋(y -1)2＝1.故填x 2＋(y -1)2＝1.(2015·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx -y -2m -1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____________．解法一：圆心到直线的距离d ＝|-m -1|m 2＋1＝（m ＋1）2m 2＋1≤2（m 2＋1）m 2＋1＝2，当且仅当m ＝1时取等号．故m ＝1时，圆的半径最大为2，因此所求圆的标准方程为(x -1)2＋y 2＝2.解法二：因为直线mx -y -2m -1＝0恒过定点(2，-1)，所以当点(2，-1)为切点时，半径最大，此时半径为 2.故所求圆的标准方程为(x -1)2＋y 2＝2.故填(x -1)2＋y 2＝2.类型一 求圆的方程已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，并且判断点M (6，9)，N (3，3)，Q (5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外．解法一(待定系数法)：根据已知条件，圆心C (a ，b )是P 1P 2的中点，那么它的坐标为a ＝4＋62＝5，b ＝9＋32＝6. 再根据两点的距离公式，得圆的半径长是r ＝|CP 1|＝（4-5）2＋（9-6）2＝10.因此所求圆的方程是(x -5)2＋(y -6)2＝10. 解法二(轨迹法)：因为P 1P 2为直径，所以圆上任意一点与P 1，P 2的连线互相垂直．设P (x ，y )为所求圆上任意一点，因为PP 1⊥PP 2， 所以kPP 1·kPP 2＝-1，即y -9x -4·y -3x -6＝-1， 得x 2＋y 2-10x -12y ＋51＝0，其标准形式(x -5)2＋(y -6)2＝10即为所求方程． 分别计算点M (6，9)，N (3，3)，Q (5，3)与圆心C (5，6)的距离，得|CM |＝10，|CN |＝13＞10，|CQ |＝3＜10.因此，点M 在圆上，点N 在圆外，点Q 在圆内．【点拨】(1)求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来讲，关键在于求出圆心坐标和半径长；从圆的一般方程来讲，若知道圆上的三个点则可求出圆的方程．因此，待定系数法是求圆的方程的常用方法．(2)用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”等．(3)常见圆的方程的设法：根据下列条件，求圆的方程．(1)经过P (-2，4)，Q (3，-1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6；(2)圆心在直线y ＝-4x 上，且与直线l ：x ＋y -1＝0相切于点P (3，-2)．解：(1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将P ，Q 两点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧2D -4E -F ＝20，①3D -E ＋F ＝-10.② 又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③设x 1，x 2是方程③的两根，则x 1＋x 2＝-D ，x 1x 2＝F .由|x 1-x 2|＝6有D 2-4F ＝36，④由①②④解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝-2，E ＝-4，F ＝-8，或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝-6，E ＝-8，F ＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2-2x -4y -8＝0，或x 2＋y 2-6x -8y ＝0.(2)设圆心M (x 0，-4x 0)，则k MP ＝-1k l ＝1，即4x 0-23-x 0＝1，解得x 0＝1，即圆心坐标为(1，-4)，半径r ＝22，故圆的方程为(x -1)2＋(y ＋4)2＝8.类型二 三角形的内切圆与外接圆 已知三角形的三边所在直线方程分别为x ＋2y ＝5，2x -y ＝5，2x ＋y ＝5，则三角形的内切圆方程为____________．解：设内切圆圆心为I (a ，b )，半径长为r . 由点到直线的距离知r ＝||2a -b -55＝||2a ＋b -55＝||a ＋2b -55，又因为三角形的内心总在这三角形的内部， 所以根据线性规划的知识得r ＝2a -b -5-5＝2a ＋b -55＝a ＋2b -5-5. 由2a -b -5＝a ＋2b -5，得a ＝3b ，① 由2a -b -5＝-(2a ＋b -5)，得a ＝52.将a ＝52代入①式，得b ＝56.所以r ＝5＋56-55＝56.故所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x -522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y -562＝536.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫x -522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y -562＝536.【点拨】设出圆的圆心坐标后，利用三角形内切圆的性质和点到直线的距离公式得到关于圆心坐标的方程组，解此方程组得圆心坐标后再求圆的半径长．求解过程中需要注意：内切圆的圆心总在三角形的内部，因此需要应用线性规划的有关知识判断绝对值中代数式的符号，否则会求出多解(其他的解是三个旁切圆的圆心)．△ABC 的三个顶点分别为A (-1，5)，B (-2，-2)，C (5，5)，则其外接圆的方程为____________．解法一：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则由题意有⎩⎪⎨⎪⎧-D ＋5E ＋F ＋26＝0，-2D -2E ＋F ＋8＝0，5D ＋5E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝-4，E ＝-2，F ＝-20. 故所求圆的方程为x 2＋y 2-4x -2y -20＝0. 解法二：由题意可求得线段AC 的中垂线方程为x ＝2，线段BC 的中垂线方程为x ＋y -3＝0，所以圆心是两中垂线的交点(2，1)，半径r ＝（2＋1）2＋（1-5）2＝5.故所求圆的方程为()x -22＋()y -12＝25.故填()x -22＋()y -12＝25.类型三 与圆有关的综合问题(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2-12x -14y ＋60＝0及其上一点A (2，4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程；(3)设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．解：圆M 的标准方程为(x -6)2＋(y -7)2＝25，所以圆心M (6，7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，于是圆N 的半径为y 0，从而7-y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x -6)2＋(y -1)2＝1.(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4-02-0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x -y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6-7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22， 所以25＝（m ＋5）25＋5，解得m ＝5或m ＝-15.故直线l 的方程为2x -y ＋5＝0或2x -y -15＝0. (3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2，4)，T (t ，0)，TA →＋TP →＝TQ →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2-t ，y 2＝y 1＋4.①因为点Q 在圆M 上，所以(x 2-6)2＋(y 2-7)2＝25.②将①代入②得(x 1-t -4)2＋(y 1-3)2＝25. 于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆2＋(y -3)2＝25上，从而圆(x -6)2＋(y -7)2＝25与圆2＋(y -3)2＝25有公共点，所以5-5≤[（t ＋4）-6]2＋（3-7）2≤5＋5， 解得2-221≤t ≤2＋221. 因此，实数t 的取值范围是．【点拨】直线与圆中三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线的距离公式及弦长公式，其核心都是将问题转化到与圆心、半径的关系上，这是解决与圆有关的综合问题的根本思路．对于多元问题，也可先确定主元，如本题以P 为主元，揭示P 在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系．(2015·广东)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2-6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程； (3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x -4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)C 1：(x -3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3，0)． (2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x -322＋y 2＝94.故线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x -322＋y2＝94在圆C 1：(x -3)2＋y 2＝4内部的部分，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x -322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x ≤3.(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，⎝ ⎛⎭⎪⎫x -322＋y 2＝94，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝±253.不妨设其交点为P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫53，-253，设直线L ：y ＝k (x -4)所过定点为P (4，0)， 则k PP 1＝-257，k PP 2＝257. 当直线L 与圆C 相切时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪32k -4k k 2＋1＝32，解得k ＝±34. 故当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫-34∪⎝ ⎛⎭⎪⎫-257，257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34时，直线L 与曲线C 只有一个交点．1．注意应用圆的几何性质解题圆的图形优美，定理、性质丰富，在学此节时，重温圆的几何性质很有必要，因为使用几何性质，能简化代数运算的过程，拓展解题思路．2．圆的方程的确定由圆的标准方程和圆的一般方程，可以看出方程中都含有三个参数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆，求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心和半径，则可用直接法写出圆的标准方程，否则可用待定系数法．3．求圆的方程的方法(1)几何法：即通过研究圆的性质，以及点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系，求得圆的基本量(圆心坐标和半径长)，进而求得圆的方程．确定圆心的位置的方法一般有：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；③圆心在圆的任意两条不平行的弦的中垂线的交点上；④两圆相切时，切点与两圆圆心共线． 确定圆的半径的主要方法是构造直角三角形(即以弦长的一半，弦心距，半径组成的三角形)，并解此直角三角形．(2)代数法：即设出圆的方程，用“待定系数法”求解．1．圆x 2＋y 2-2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x -y ＝1的距离为( )A ．2B ．22C ．1 D. 2解：已知圆的圆心是(1，-2)，则圆心到直线x -y ＝1的距离是|1＋2-1|12＋（-1）2＝22＝ 2.故选D .2．(2016·山西模拟)若圆x 2＋y 2-2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：圆x 2＋y 2-2ax ＋3by ＝0的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，-32b ，则a <0，b >0.直线y ＝-1a x -b a ，则k ＝-1a >0，-ba>0，所以直线不经过第四象限．故选D .3．(2016·浙江模拟)以点(2，-1)为圆心且与直线3x -4y ＋5＝0相切的圆的方程为( )A ．(x -2)2＋(y ＋1)2＝3 B ．(x ＋2)2＋(y -1)2＝3 C ．(x -2)2＋(y ＋1)2＝9 D ．(x ＋2)2＋(y -1)2＝9解：因为圆心(2，-1)到直线3x -4y ＋5＝0的距离d ＝|6＋4＋5|5＝3，所以圆的半径为3，即圆的方程为(x -2)2＋(y ＋1)2＝9.故选C .4．(2015·北京西城期末)若坐标原点在圆(x -m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是( )A ．(-1，1)B ．(-3，3)C ．(-2，2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫-22，22 解：因为(0，0)在(x -m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，所以(0-m )2＋(0＋m )2<4，解得-2<m < 2.故选C .5．(2016·深圳五校联考)已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x -6y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为( )A ．2B ．-2C ．1D ．-1解：因为曲线x 2＋y 2＋2x -6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2＋(y -3)2＝9，依题意知直线l ：x ＋my ＋4＝0必过圆心(-1，3)，所以-1＋3m ＋4＝0，解得m ＝-1.故选D .6．已知圆x 2＋y 2-2x ＋my -4＝0上两点M ，N 关于直线2x ＋y ＝0对称，则圆的半径为( )A ．9B ．3C ．2 3D ．2解：因为圆x 2＋y 2-2x ＋my -4＝0上两点M ，N 关于直线2x ＋y ＝0对称，所以圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫1，-m 2在直线2x ＋y＝0上，代入得m ＝4.所以圆的标准方程为(x -1)2＋(y ＋2)2＝9，半径r ＝3.故选B .7．(2016·柳州模拟)若方程x 2＋y 2-2x ＋2my ＋2m 2-6m ＋9＝0表示圆，则m 的取值范围是____________；当半径最大时，圆的标准方程为____________．解：原方程可化为(x -1)2＋(y ＋m )2＝-m 2＋6m -8， 则r 2＝-m 2＋6m -8＝-(m -2)(m -4)>0，所以2<m <4. 当m ＝3时，r 最大为1，此时圆的方程为(x -1)2＋(y ＋3)2＝1.故填(2，4)；(x -1)2＋(y ＋3)2＝1.8．(2015·全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为__________．解：依题意，可知该圆过椭圆的三个顶点(0，-2)，(0，2)，(4，0)．设圆心为(a ，0)，其中a >0，由4-a ＝a 2＋4，解得a ＝32，所以该圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x -322＋y2＝254.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫x -322＋y 2＝254. 9．已知圆经过A (2，-3)和B (-2，-5)两点，若圆心在直线x -2y -3＝0上，求圆的方程．解法一：线段AB 中垂线的方程为2x ＋y ＋4＝0，它与直线x -2y -3＝0的交点(-1，-2)为圆心，由两点间的距离公式得r 2＝10，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.解法二：设方程(两种形式均可以)，由待定系数法求解．10．已知圆C 和直线x -6y -10＝0相切于点(4，-1)，且经过点(9，6)，求圆C 的方程．解：因为圆C 和直线x -6y -10＝0相切于点(4，-1)， 所以过点(4，-1)的直径所在直线的斜率为-116＝-6，其方程为y ＋1＝-6(x -4)，即y ＝-6x ＋23. 又因为圆心在以(4，-1)，(9，6)两点为端点的线段的中垂线y -52＝-57⎝ ⎛⎭⎪⎫x -132上，即5x ＋7y -50＝0上，所以由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝-6x ＋23，5x ＋7y -50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，即圆心为(3，5)，从而半径为（9-3）2＋（6-5）2＝37， 故所求圆的方程为(x -3)2＋(y -5)2＝37. 11．已知定点A (4，0)，P 点是圆x 2＋y 2＝4上一动点，Q 点是AP 的中点，求Q 点的轨迹方程．解：设Q 点坐标为(x ，y )，P 点坐标为(x P ，y P )，则x ＝4＋x P 2且y ＝0＋y P2，即x P ＝2x -4，y P ＝2y ，又点P在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 2P ＋y 2P ＝4，将x P ＝2x -4，y P ＝2y 代入得(2x -4)2＋(2y )2＝4，即(x -2)2＋y 2＝1.故所求轨迹方程为(x -2)2＋y 2＝1.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数f (x )＝x2＋2x ＋b (x ∈R )与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C .(1)求实数b 的取值范围； (2)求圆C 的方程；(3)圆C 是否经过定点(与b 的取值无关)？证明你的结论．解：(1)令x ＝0，得抛物线与y 轴的交点是(0，b )． 令f (x )＝0，得x 2＋2x ＋b ＝0，由题知b ≠0，且Δ>0，解得b <1且b ≠0.(2)设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，这与x 2＋2x ＋b ＝0是同一个方程，故D ＝2，F ＝b .令x ＝0，得y 2＋Ey ＋b ＝0，此方程有一个根为b ，代入得E ＝-b -1.所以圆C 的轨迹方程是x 2＋y 2＋2x -(b ＋1)y ＋b ＝0.(3)圆C 过定点，证明如下：假设圆C 过定点(x 0，y 0)(x 0，y 0不依赖于b )，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为x 20＋y 20＋2x 0-y 0＋b (1-y 0)＝0.(*)为使(*)式对所有满足b <1且b ≠0的b 都成立，必须有1-y 0＝0，结合(*)式得x 20＋2x 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝-2，y 0＝1.经检验知，点(0，1)，(-2，1)均在圆C上．因此，圆C 过定点．。

第3讲 圆的方程最新考纲 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.知 识 梳 理1.圆的定义和圆的方程平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2之间存在着下列关系： (1)d ＞r ⇔M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2⇔M 在圆外； (2)d ＝r ⇔M 在圆上，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔M 在圆上； (3)d ＜r ⇔M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2⇔M 在圆内.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( ) (2)方程x 2＋y 2＝a 2表示半径为a 的圆.( ) (3)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆.( )(4)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( )解析 (2)当a ＝0时，x 2＋y 2＝a 2表示点(0，0)；当a ＜0时，表示半径为|a |的圆. (3)当(4m )2＋(－2)2－4×5m ＞0，即m ＜14或m ＞1时才表示圆. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√2.(2015·北京卷)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( )A.(x－1)2＋(y－1)2＝1B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D.(x－1)2＋(y－1)2＝2解析由题意得圆的半径为2，故该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选D. 答案 D3.若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()A.(－1，1)B.(0，1)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.a＝±1解析因为点(1，1)在圆的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1.答案 A4.(2016·浙江卷)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________.解析由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.答案(－2，－4) 55.(必修2P124A4改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为________.解析设圆心坐标为C(a，0)，∵点A(－1，1)和B(1，3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|，即（a＋1）2＋1＝（a－1）2＋9，解得a＝2，所以圆心为C(2，0)，半径|CA|＝（2＋1）2＋1＝10，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.答案(x－2)2＋y2＝106.(2017·湖州调研)若圆C与圆x2＋y2＋2x＝0关于直线x＋y－1＝0对称，则圆心C 的坐标为________；圆C 的一般方程是________.解析 已知圆x 2＋y 2＋2x ＝0的圆心坐标是(－1，0)、半径是1，设圆C 的圆心(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ba ＋1＝1，a －12＋b 2－1＝0，由此解得a ＝1，b ＝2，即圆心C 的坐标为(1，2)，因此圆C 的方程是(x －1)2＋(y －2)2＝1，即x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0. 答案 (1，2) x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝考点一 圆的方程【例1】 (1)(2017·金华调研)过点A (4，1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为________.(2)已知圆C 经过P (－2，4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为________.解析 (1)法一 由已知k AB ＝0，所以AB 的中垂线方程为x ＝3.①过B 点且垂直于直线x －y －1＝0的直线方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0，②联立①②，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0，所以圆心坐标为(3，0)，半径r ＝（4－3）2＋（1－0）2＝2，所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2.法二 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，∵点A (4，1)，B (2，1)在圆上，故⎩⎨⎧（4－a ）2＋（1－b ）2＝r 2，（2－a ）2＋（1－b ）2＝r 2， 又∵b －1a －2＝－1，解得a ＝3，b ＝0，r ＝2， 故所求圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2.(2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)， 将P ，Q 两点的坐标分别代入得 ⎩⎨⎧2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.①②又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④由①，②，④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.答案(1)(x－3)2＋y2＝2(2)x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0规律方法求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.【训练1】(1)(2016·天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为455，则圆C的方程为________.(2)(2017·武汉模拟)以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为________.解析(1)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝2a5＝455，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝4＋5＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.(2)抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，准线为x＝－1，故所求圆的圆心为(1，0)，半径为2，所以该圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.答案(1)(x－2)2＋y2＝9(2)(x－1)2＋y2＝4考点二与圆有关的最值问题【例2】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值.解 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆. (1)yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx ＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k＝±3(如图1).所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6(如图2). 所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3). 又圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 规律方法 把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化极为常见： (1)形如m ＝y －bx －a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.【训练2】 (1)(2017·义乌市诊断)圆心在曲线y ＝2x (x ＞0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( )A.(x －2)2＋(y －1)2＝25B.(x －2)2＋(y －1)2＝5C.(x －1)2＋(y －2)2＝25D.(x －1)2＋(y －2)2＝5(2)(2014·全国Ⅱ卷)设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________.解析 (1)设圆心坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a (a ＞0)，则半径r ＝2a ＋2a ＋15≥22a ×2a ＋15＝5，当且仅当2a ＝2a ，即a ＝1时取等号.所以当a ＝1时圆的半径最小，此时r ＝5，C (1，2)，所以面积最小的圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.(2)如图所示，过点O 作OP ⊥MN 交MN 于点P .在Rt △OMP 中，|OP |＝|OM |·sin 45°， 又|OP |≤1，得|OM |≤1sin 45°＝ 2.∴|OM |＝1＋x 20≤2，∴x 20≤1.因此－1≤x 0≤1. 答案 (1)D (2)[－1，1] 考点三 与圆有关的轨迹问题【例3】 设定点M (－3，4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹.解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎨⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上时的情况).规律方法 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等. 【训练3】 (2014·全国Ⅰ卷)已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. (1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积.解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4. 设M (x ，y )，则CM→＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y ).由题设知CM→·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆.由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13， 故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，所以|PM |＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165， 故△POM 的面积为165.[思想方法]1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算. [易错防范]1.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.2.求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.已知点A (1，－1)，B (－1，1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A.x 2＋y 2＝2 B.x 2＋y 2＝ 2 C.x 2＋y 2＝1D.x 2＋y 2＝4解析 AB 的中点坐标为(0，0)，|AB |＝[1－（－1）]2＋（－1－1）2＝22， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝2. 答案 A2.(2017·嘉兴七校联考)圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( )A.(x －2)2＋(y －1)2＝1B.(x ＋1)2＋(y －2)2＝1C.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D.(x －1)2＋(y ＋2)2＝1解析 已知圆的圆心C (1，2)关于直线y ＝x 对称的点为C ′(2，1)，∴圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选A. 答案 A3.方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C.(－2，0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23解析 方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝1－a －3a 24表示圆，则1－a －3a 24＞0，解得－2＜a ＜23. 答案 D4.(2017·绍兴一中检测)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A.(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B.(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C.(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y 02，解得⎩⎨⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 答案 A5.(2015·全国Ⅱ卷)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213 C.253D.43解析 由点B (0，3)，C (2，3)，得线段BC 的垂直平分线方程为x ＝1，① 由点A (1，0)，B (0，3)，得线段AB 的垂直平分线方程为 y －32＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，②联立①②，解得△ABC 外接圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233， 其到原点的距离为 12＋⎝⎛⎭⎪⎫2332＝213.故选B. 答案 B二、填空题6.若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________. 解析 设圆心C 坐标为(2，b )(b <0)，则|b |＋1＝4＋b 2.解得b ＝－32，半径r ＝|b |＋1＝52，故圆C 的方程为：(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.答案 (x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝2547.(2017·广州模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________.解析 圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1.所以，当k ＝0时圆C 的面积最大. 答案 (0，－1)8.(2017·丽水调研)已知点M (1，0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________；最长弦所在直线的方程为________. 解析 过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2，1)，∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0.由于直线过圆心C (2，1)时弦最长，此弦与最短弦垂直，故其斜率为1，此弦所在的直线方程为y －0＝x －1，即为x －y －1＝0. 答案 x ＋y －1＝0 x －y －1＝0 三、解答题9.已知三条直线l 1：x －2y ＝0，l 2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程.解 l 2平行于x 轴，l 1与l 3互相垂直.三交点A ，B ，C 连线构成直角三角形，经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆.解方程组⎩⎨⎧x －2y ＝0，y ＋1＝0得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－1.所以点A 的坐标是(－2，－1). 解方程组⎩⎨⎧2x ＋y －1＝0，y ＋1＝0得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.所以点B 的坐标是(1，－1). 线段AB 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1，又|AB |＝（－2－1）2＋（－1＋1）2＝3. 故所求圆的标准方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝94.10.在△ABC 中，已知|BC |＝2，且|AB ||AC |＝m ，求点A 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.解 如图，以直线BC 为x 轴、线段BC 的中点为原点，建立直角坐标系.则有B (－1，0)，C (1，0)，设点A 的坐标为(x ，y ).由|AB ||AC |＝m ，得（x ＋1）2＋y 2＝m （x －1）2＋y 2.整理得(m 2－1)x 2＋(m 2－1)y 2－2(m 2＋1)x ＋(m 2－1)＝0.①当m 2＝1时，m ＝1，方程是x ＝0，轨迹是y 轴.当m 2≠1时，对①式配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 2＋1m 2－12＋y 2＝4m 2（m 2－1）2.所以，点A 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2－1，0为圆心，2m|m 2－1|为半径的圆(除去圆与BC 的交点).能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b 的最小值为( ) A.1 B.5 C.4 2D.3＋2 2解析 由题意知圆心C (2，1)在直线ax ＋2by －2＝0上，∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ×2ab ＝3＋22，当且仅当b a ＝2ab ，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立. ∴1a ＋2b 的最小值为3＋2 2. 答案 D12.已知圆心(a ，b )(a ＜0，b ＜0)在直线y ＝2x ＋1上的圆，其圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径，在y 轴上截得的弦长为25，则圆的方程为( ) A.(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9 B.(x ＋3)2＋(y ＋5)2＝25 C.(x ＋6)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋732＝499D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋732＝499 解析 由圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径知，所求圆与x 轴相切，由题意得圆的半径为|b |，则圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由圆心在直线y ＝2x ＋1上， 得b ＝2a ＋1 ①，由此圆在y 轴上截得的弦长为25， 得b 2－a 2＝5 ②，由①②得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝73(舍去).所以所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9.故选A. 答案 A13.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点.记d ＝|PB |2＋|P A |2，其中A (0，1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________.解析 设P (x 0，y 0)，d ＝|PB |2＋|P A |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74.答案 7414.在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C . (1)求实数b 的取值范围； (2)求圆C 的方程；(3)问圆C 是否经过定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论.解 (1)显然b ≠0，否则，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与两个坐标轴只有两个交点(0，0)，(－2，0)，这与题设不符.由b ≠0知，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与y 轴有一个非原点的交点(0，b )，故它与x 轴必有两个交点，从而方程x 2＋2x ＋b ＝0有两个不相等的实数根，因此方程的判别式4－4b >0，即b <1. 所以b 的取值范围是(－∞，0)∪(0，1).(2)由方程x 2＋2x ＋b ＝0，得x ＝－1±1－b .于是，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与两个坐标轴的交点是(－1－1－b ，0)，(－1＋1－b ，0)，(0，b ). 设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆C 过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧（－1－1－b ）2＋D （－1－1－b ）＋F ＝0，（－1＋1－b ）2＋D （－1＋1－b ）＋F ＝0，b 2＋Eb ＋F ＝0.又b ≠0，解上述方程组，得⎩⎨⎧D ＝2，E ＝－（b ＋1），F ＝b .所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0. (3)圆C 过定点，证明如下：假设圆C 过定点(x 0，y 0)(x 0，y 0不依赖于b )，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为x 20＋y 20＋2x 0－y 0＋b (1－y 0)＝0(*).为使(*)式对所有满足b <1(b ≠0)的b 都成立，必须有1－y 0＝0，结合(*)式得x 20＋y 20＋2x 0－y 0＝0.解得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝1或⎩⎨⎧x 0＝－2，y 0＝1.经检验知，点(0，1)，(－2，1)均在圆C 上.因此，圆C过定点.15.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4). (1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程；(3)设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围.解 (1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6，7)，半径r ＝5，由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b ＞0)， 且（6－6）2＋（b －7）2＝b ＋5.解得b ＝1，∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)∵k OA ＝2，∴可设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0. 又|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，由题意，圆M 的圆心M (6，7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC |22＝25－5＝25， 即|2×6－7＋m |22＋（－1）2＝25，解得m ＝5或m ＝－15. ∴直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0. (3)由TA→＋TP →＝TQ →，则四边形AQPT 为平行四边形，又∵P ，Q 为圆M 上的两点，∴|PQ |≤2r ＝10. ∴|TA |＝|PQ |≤10，即（t －2）2＋42≤10， 解得2－221≤t ≤2＋221.故所求t 的范围为[2－221，2＋221].。

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高中数学圆的方程经典例题与解析例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P 与圆的位置关系,只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径,则点在圆内．解法一：（待定系数法)设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra ra解之得：1-=a ,202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(,故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C∴半径204)11(22=++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系,若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢?例2 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．解：∵点()42，P 不在圆O 上,∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d = ∴ 21422=++-k k解得43=k 所以()4243+-=x y 即 01043=+-y x 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明:上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决(也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解． 例3、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距3=d ，故弦长2222=-=d r AB ，从而△OAB 是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为3π=∠AOB .例4 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？分析:借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．如图,在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又123=-=-d r ．∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个．解法二:符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ,且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为043=++m y x ，则1431122=++=m d ，∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ,也即06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：．设圆9)3()3(221=-+-y x O ：的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34363433221=+-⨯+⨯=d ,143163433222=+-⨯+⨯=d ．∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于本题,若不留心，则易发生以下误解： 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ,则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断． 例5：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有 条。

第三节 圆的方程圆的方程(1)掌握确定圆的几何要素． (2)掌握圆的标准方程与一般方程．知识点一 圆的方程定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫作圆 方程标准(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)圆心C (a ，b ) 半径为r一般,x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝充要条件：D 2＋E 2－4F >0 圆心坐标：⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2 半径r ＝12D 2＋E 2－4F易误提醒 (1)标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)中易忽视右端为半径r 的平方，而不是半径．(2)对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F >0这一成立条件． 必备方法 求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．[自测练习]1．圆x 2＋y 2－4x ＋8y －5＝0的圆心与半径分别为( ) A ．(－2,4)，5 B ．(2，－4)，5 C ．(－2,4)，15D ．(2，－4)，15解析：圆心坐标为(2，－4)， 半径r ＝12(－4)2＋82－4×(－5)＝5.答案：B2．圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为________． 解析：法一：设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a )．又该圆经过A ，B 两点，所以|CA |＝|CB |，即(2a ＋3－2)2＋(a ＋3)2＝(2a ＋3＋2)2＋(a ＋5)2，解得a ＝－2， 所以圆心C 的坐标为(－1，－2)，半径r ＝10. 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法二：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 答案：(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10 知识点二 点与圆的位置关系1．确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系． 2．三种关系：圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)． (1)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点在圆上． (2)(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔点在圆外． (3)(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔点在圆内．易误提醒 若圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，点M (x 0，y 0)．注意点M 与圆的位置关系满足条件．[自测练习]3．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <1 C ．a >1或a <－1D ．a ＝±1解析：因为点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a )2＋(1＋a )2<4，∴－1<a <1. 答案：A考点一 圆的方程|1．(2015·高考北京卷)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r ＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.答案：D2．(2015·高考全国卷Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．26B ．8C ．4 6D ．10解析：设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0，，解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，令x ＝0，得y 2＋4y －20＝0，设M (0，y 1)，N (0，y 2)，则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－20，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝4 6.故选C.答案：C3．(2015·广州测试)圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1解析：∵圆心(1,2)关于直线y ＝x 对称的点为(2,1)，∴圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.答案：A待定系数法求圆的方程的三个步骤(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. (2)根据已知条件，建立关于a ，b ，r 的方程组．(3)解方程组，并把它们代入所设的方程中，整理后，就得到所求结果．考点二 与圆有关的最值范围问题|与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．归纳起来常见的命题角度有：1．斜率型最值问题． 2．截距型最值问题． 3．距离型最值问题． 4．距离和(差)的最值问题． 5．利用目标函数求最值． 探究一 斜率型最值问题1．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求yx 的最大值和最小值．解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx＝k ，即y ＝kx .如图所示，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3. 所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.探究二 截距型最值问题2．在[探究一]条件下求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. 探究三 距离型最值问题3．在[探究一]条件下求x 2＋y 2的最大值和最小值．解析：如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为 (2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.探究四 距离和(差)最值问题4．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2D.17解析：圆心C 1(2,3)，C 2(3,4)，作C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，连接C ′2C 2与x 轴交于点P ，此时|PM |＋|PN |取得最小值，为|C ′2C 2|－1－3＝52－4.答案：A探究五 利用目标函数求最值5．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(bc >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2解析：将x 2＋y 2－2y －5＝0化为x 2＋(y －1)2＝6，圆心(0,1)，代入ax ＋by ＋c －1＝0得b ＋c ＝1.∴4b ＋1c ＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝5＋4c b ＋bc≥5＋24c b ·bc＝9. 答案：A求解与圆有关的最值问题的两大规律(1)借助几何性质求最值处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．考点三 与圆有关的轨迹问题|已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．[解] (1)设AP 的中点为M (x 0，y 0)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x 0－2,2y 0)． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x 0－2)2＋(2y 0)2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ′，y ′)． 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x ′2＋y ′2＋(x ′－1)2＋(y ′－1)2＝4. 故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法(1)直接法：根据题设条件直接列出方程． (2)定义法：根据圆的定义写出方程． (3)几何法：利用圆的性质列方程．(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．(2016·唐山一中调研)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4.化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.答案：A25.方程思想在圆中的应用【典例】 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．[思维点拨] 曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴有3个交点，可设圆的一般式方程或标准式方程，通过列方程或方程组可求．[解] 法一：曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，(3＋22)2＋D ×(3＋22)＋F ＝0，(3－22)2＋D ×(3－22)＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.法二：曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，故可设圆C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1，则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.[方法点评] (1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算．显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题．[跟踪练习] 已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 的方程为________．解析：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43.答案：x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43A 组 考点能力演练1．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8D ．(x －1)2＋(y －1)2＝8解析：直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. 答案：B2．(2016·北京西城期末)若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－3，3)C ．(－2，2)D.⎝⎛⎭⎫－22，22 解析：∵(0,0)在(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则有(0－m )2＋(0＋m )2<4，解得－2<m <2，选C.答案：C3．(2016·开封模拟)已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上的点到直线l 的距离的最小值为( )A. 2B. 3 C ．1D ．3解析：由题意知，圆C 上的点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去圆的半径，即|1－1＋4|12＋(－1)2－2＝ 2.答案：A4．(2016·洛阳期末)在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，|－a |>2|2a |>2⇒a <－2，故选A.答案：A5．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A ．30B ．18C ．6 2D ．5 2解析：由圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为32，则圆上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离为|2＋2－14|2＋32＝82，最小距离为|2＋2－14|2－32＝22，故最大距离与最小距离的差为6 2.答案：C6．(2016·绍兴模拟)点P (1,2)和圆C ：x 2＋y 2＋2kx ＋2y ＋k 2＝0上的点的距离的最小值是________．解析：圆的方程化为标准式为(x ＋k )2＋(y ＋1)2＝1. ∴圆心C (－k ，－1)，半径r ＝1. 易知点P (1,2)在圆外． ∴点P 到圆心C 的距离为： |PC |＝(k ＋1)2＋32＝(k ＋1)2＋9≥3. ∴|PC |min ＝3.∴点P 和圆C 上点的最小距离d min ＝|PC |min －r ＝3－1＝2. 答案：27．若圆C ：x 2－2mx ＋y 2－2my ＋2＝0与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________． 解析：圆C 的标准方程为(x －m )2＋(y －m )2＝m 2＋m －2，依题意有⎩⎨⎧m 2＋m －2>0，m ≤m 2＋m －2，得m ≥ 2.m ≥0.答案：[2，＋∞)8．圆C 通过不同的三点P (k,0)，Q (2,0)，R (0,1)，已知圆C 在点P 处的切线斜率为1，则圆C 的方程为________．解析：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则k,2为x 2＋Dx ＋F ＝0的两根， ∴k ＋2＝－D,2k ＝F ，即D ＝－(k ＋2)，F ＝2k ， 又圆过R (0,1)，故1＋E ＋F ＝0. ∴E ＝－2k －1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0， 圆心坐标为⎝⎛⎭⎫k ＋22，2k ＋12.∵圆C 在点P 处的切线斜率为1， ∴k CP ＝－1＝2k ＋12－k ，∴k ＝－3.∴D ＝1，E ＝5，F ＝－6.∴所求圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0. 答案：x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0.9．(2016·洛阳统考)已知圆S 经过点A (7,8)和点B (8,7)，圆心S 在直线2x －y －4＝0上． (1)求圆S 的方程；(2)若直线x ＋y －m ＝0与圆S 相交于C ，D 两点，若∠COD 为钝角(O 为坐标原点)，求实数m 的取值范围．解：(1)线段AB 的中垂线方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －4＝0，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，所以圆S 的圆心为S (4,4)， 圆S 的半径为|SA |＝5，故圆S 的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝25.(2)由x ＋y －m ＝0变形得y ＝－x ＋m ，代入圆S 的方程，消去y 并整理得2x 2－2mx ＋m 2－8m ＋7＝0.令Δ＝(－2m )2－8(m 2－8m ＋7)>0，得8－52<m <8＋5 2.设C ，D 的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－8m ＋72.依题意，得OC →·OD →<O ，则x 1x 2＋(－x 1＋m )(－x 2＋m )<0，即m 2－8m ＋7<0，解得1<m <7.故实数m 的取值范围是{m |8－52<m <8＋52}∩{m |1<m <7}＝{m |1<m <7}． 10．(2016·唐山一模)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点A (3，0)，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，记点B 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)直线AB 交圆O 于C ，D 两点，当B 为CD 的中点时，求直线AB 的方程．解：(1)设AB 的中点为M ，切点为N ，连接OM ，MN (图略)，则|OM |＋|MN |＝|ON |＝2，取A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B ，故|A ′B |＋|AB |＝2(|OM |＋|MN |)＝4.所以点B 的轨迹是以A ′，A 为焦点，长轴长为4的椭圆． 其中，a ＝2，c ＝3，b ＝1，则 曲线Γ的方程为x 24＋y 2＝1.(2)因为B 为CD 的中点，所以OB ⊥CD ， 则OB →⊥AB →.设B (x 0，y 0)，则x 0(x 0－3)＋y 20＝0. 又x 204＋y 20＝1，解得x 0＝23，y 0＝±23.则k OB＝±2 2，kAB＝∓2，则直线AB的方程为y＝±2(x－3)，即2x－y－6＝0或2x＋y－6＝0.B组高考题型专练1．(2014·高考北京卷)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()A．7 B．6C．5 D．4解析：根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m.因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝12|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝32＋42＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.答案：B2．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.53 B.213C.253 D.43解析：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∴⎩⎨⎧1＋D＋F＝0，3＋3E＋F＝0，7＋2D＋3E＋F＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D＝－2，E＝－433，F＝1，∴△ABC外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎫1，233，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝⎛⎭⎫2332＝213.答案：B3．(2014·高考陕西卷)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．解析：根据题意得点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点(0,1)为圆心，又半径r ＝1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝14．(2015·高考全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知，圆过椭圆的三个顶点(4,0)，(0,2)，(0，－2)，设圆心为(a,0)，其中a >0，由4－a ＝a 2＋4，解得a ＝32，所以该圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 答案：⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254。

专题36 圆的方程2018年高考数学（理)热点题型和提分秘籍1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想。

热点题型一求圆的方程例1、（1)若圆心在x轴上、半径为错误!的圆O′位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O′的方程是（)A．（x－5）2＋y2＝5或（x＋5）2＋y2＝5B．(x＋错误!)2＋y2＝5C．（x－5）2＋y2＝5D．(x＋5）2＋y2＝5(2）如果一个三角形的三边所在的直线方程分别为x＋2y－5＝0，y －2＝0,x＋y－4＝0，则该三角形的外接圆方程为________。

解析：（1）设圆心坐标为(a，0)（a<0),因为圆与直线x＋2y＝0相切,所以错误!＝错误!,解得a＝－5，因此圆的方程为(x＋5）2＋y2＝5。

（2)因为三角形的三边所在的直线方程分别为x＋2y－5＝0，y－2＝0，x＋y－4＝0，解方程组可得三个顶点的坐标,分别设为A（1,2），B（2,2），C(3,1）.因为AB的垂直平分线方程为x＝错误!，BC的垂直平分线方程为：x －y－1＝0，解方程组错误!得错误!即圆心坐标为错误!，半径r＝错误!＝错误!,因此，所求圆的方程为错误!2＋错误!2＝错误!。

即x2＋y2－3x－y＝0.【提分秘籍】1．求圆的方程的两种方法(1）直接法:根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程。

（2）待定系数法：①若已知条件与圆心（a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a,b,r的值;②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值。

2．确定圆心位置的方法（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上.（2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上。

(3)两圆相切时,切点与两圆圆心共线。

提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质。