2019-2020年高考备考：2018年高考数学试题分类汇编----解析几何

《2018年高考文科数学分类汇编》2x —2・y 2 =2上，贝U △ ABP 面积的取值范围是和d 2，且d 1 d 2 =6，则双曲线的方程为2 2x■丄=14 122xD —9、选择题 1.【2018全国一卷 4】已知椭圆C :第九篇：解析几何X 2 V 2評廿1的一个焦点为(2 ,0)，则C 的离心率为1A.- 3 2.【2018全国二卷 6】1 B.- 22x 2双曲线 2-爲=1(a 0,b 0)的离心率为,3，则其渐近线方程为 a bA . y 二 2xB . y = 3xD . y 3x23.【2018全国 11】已知F , F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PR_ PF 2 ,且.乙PF 2F 1 =60，则C 的离心率为 A . J2B . 2-3 C. D . .3-14.【2018全国 三卷 8】直线x y *2=0分别与x 轴，y 轴交于A ,B 两点，点P 在圆A . 2,61B . 4,8〕D .5.【2018全国三卷10】已知双曲线 C :三卷 =1(a 0 , b 0)的离心率为 .2 ，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为B . 2C.2D . 2,22x 6.【2018天津卷7】已知双曲线 —a=1(a 0, b 0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于 A , B 两点. 设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 112 4=18.427. 【2018浙江卷2】双曲线「宀的焦点坐标是之和为（）D.4魂二、填空题 【2018全国一卷15】直线y =x • 1与圆x 2 y 22^^0交于A ，B 两点，则A • (- 2 , 0), ( .2 , 0)B • (-2, 0), (2, 0)C . (0, - . 2 ), (0 , ,2)D . (0, -2), (0, 2)8.【2018上海卷13】设P 是椭圆 呂+以=153上的动点，贝U P 到该椭圆的两个焦点的距离1.2. 【2018北京卷10】已知直线I 过点（1,0）且垂直于 轴，若I 被抛物线 y 2= 4ax 截得的线3. 段长为4,则抛物线的焦点坐标为2 2【2018北京卷12】若双曲线 笃-丿 1（a0）的离心率为a 4-1，则24.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中，经过三点（ 0，0）1），（ 2，0）的圆的方程为 5.2x 【2018江苏卷8】在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线2与=1(a 0,b 0)的右焦点b6. F （c,0）到一条渐近线的距离为乜212】在平面直角坐标系则其离心率的值是 【2018江苏卷xOy 中，A 为直线I: y = 2x 上在第一象限内的点,B(5,0)，以 AB 为直径的圆C 与直线 l 交于另一点D .若AB CD =0，则点A 的横坐标7. 【2018浙江卷17】已知点P （0，1），椭圆^+y 2=m （m>1）上两点A ，B 满足AP =2"P B ，则4当m= 时，点B 横坐标的绝对值最大.1 29.【2018 上海卷 12】已知实数 x?、x?、y?、y?满足：X2 y?2 = 1 , X2 y?2=1 ,X?? y?y 2 则1 x?十f —1 +1 x?+$—1的最大值为 ______________逅42三、解答题1. 【2018全国一卷20】设抛物线C ： y 2=2x ，点A 2 , 0，B -2, 0，过点A 的直线l 与C交于M , N 两点.(1) 当I 与x 轴垂直时，求直线 BM 的方程； (2) 证明：/ ABM =/ ABN .2. 【2018全国二卷20】设抛物线C : y 2 =4x 的焦点为F ,过F 且斜率为k(k ■ 0)的直线I 与 C 交于A , B 两点，| AB | =8 .(1) 求I 的方程；(2) 求过点A , B 且与C 的准线相切的圆的方程.2 23. 【2018全国三卷如已知斜率为k 的直线l 与椭圆i =1交于A ，段AB 的中点为 M (1,m)(m 0).1(1) 证明：k ：：：22 24.【2018北京卷20】已知椭圆M :牛=1(a b 0)的离心率为a b斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点 A , B.(I)求椭圆M 的方程；2设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且 FP ，FA FB 0 .证明：2 |F P | |F A||FB |B 两点•线丄6，焦距为2 2.3(n)若k =1，求|AB |的最大值;(川)设P(20)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个7 1交点为D若CD和点Q(-—,—)共线，求k.4 4x yA,上顶点为B.已知椭圆5. 【2018天津卷19】设椭圆一22 =1(a^0)的右顶点为a b的离心率为—,| AB |=J13 .3(I)求椭圆的方程；(II)设直线I : y二kx(k ::: 0)与椭圆交于P,Q两点，I与直线AB交于点M，且点P,M均在第四象限•若△ BPM的面积是△ BPQ面积的2倍，求k的值._ 16. 【2018江苏卷18】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点(• 3,)，焦点2斤(- .3,0), F2(-.3,0)，圆O 的直径为F1F2 •(1) 求椭圆C及圆0的方程；(2) 设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标;不同的两点A, B满足(I)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴;②直线I与椭圆C交于7.【2018浙江卷21】如图,PA PB的中点均在C上.2(n)若P是半椭圆x2+_L = 1(x<0)上的动点，求△ PAB面积的取值范围.48. 【2018上海卷20】(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2 小题满分6分，第3小题满分6分)设常数t>2，在平面直角坐标系xOy中，已知点F (2, 0)，直线I: x=t，曲线•：y2=8x(0三X W t,戶0) , I与x轴交于点A,与已交于点B, P、Q分别是曲线壬与线段AB上的动点.(1 )用t为表示点B到点F的距离；(2)设t=3, I FQ22，线段OQ的中点在直线FP上，求△ AQP的面积；(3)设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在•上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由参考答案一、选择题1.C2.A3.D4.A5.D6.C7.B8.Ci. 2、、2 2.(i,0) 3.4 2 24. x y - 2x = 05.26.37.5c i8. y x9.、2 .. 32三、解答题1.解：(i) 当 1 I与X轴垂直时，I的方程为x=2,可得M的坐标为(2, 2)或(2,-)所以直线iBM的方程为y=2ix i 或y x「i .二、填空题2 2(2)当I与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以/ ABM=Z ABN.当I与x轴不垂直时，设I的方程为y =k(x—2)(k = 0), M (yj, N (x2, y2),则X l>0, X2>0._|_y =k(x —2), 2 2由2得ky —yYk=0,可知y i+y2= , y i y2=V.y =2x k直线BM , BN的斜率之和为k BM ' k BNy2 X2y i +x"2 +2(yi + y?) ①X i 2 X2 2 一 (为2)(x2 2)y i将X t =匕亠2 , x2=上亠2及y计y2, y i y2的表达式代入①式分子，可得kk冷％7 2(力y2)'yiy24k(yiy2)，8所以k BM+k BN=0,可知BM, BN的倾斜角互补, 所以/ ABM+Z ABN.综上，/ ABM=Z ABN.2.解：(i)由题意得F( i, 0), I的方程为y=k (x-i)( k>0) 设 A (x i,y i), B (X2, y2).y =k(x -i) 2 2 2 ,、，2c由2得k x -(2k 4)x k 0.y =4x2. 2 丄4.丄2k +4• =i6k i6 =0 ,故X i X2 —.k2所以 AB |AF |—|BF =(x 1)(冷 1)=4k 424k +4由题设知 —=8，解得k=-（舍去），k因此I 的方程为y=x-1.y _2 - ~(x -3)，即 y - -x 5 .（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3, 2） ，所以AB 的垂直平分线方程为 k 2k=1.设所求圆的圆心坐标为（ x o , y o ），则 y 0 - -X 05,2(y° % 1)(X 01)解得 16. x .二 3 (X o =11,y0 1 -&因此所求圆的方程为2 2 2 2(x —3) (y -2) =16或(X -11) (y 6)=144 .3 .解：(1)设 A(X , 两式相减，并由 X 2 2 y 1 ), B(X 2 , y 2)，则丄4 g^=k 得 X 1 X 2 ■ y1X 1 - X 2 41论比 =1，丁 2 2 2上=1,竺 4=1.34 3 y 2 2k =0 . 3由题设知生一 2 3由题设得0 ：：： m ，故k ::: -一=m ,于是k =… .4m(2)由题意得 F (1 , 0).设 P(x 3 , y s )，则(X3_1, y 3) (X1_1,y 1) (x2- 1, y2)= (0 , 0).由(1)及题设得 x 3 = 3 -(x ■ %) = 1 , y 3 = -(比■ y 2) = -2m ：：: 0 . 又点3 3P 在C 上，所以m =—,从而P(1 ,--),4 2|FA|=J(X 1 —1)2 珂任一1)2+3(1—专)=2—?uir 同理|FB|=2 X 22uir uir 1所以 FA FB =4(X 1 X 2) =3.2 uir uir uir故 2|FP|=|FA|+|FB| .4.解：(I)由题意得 2c =2、. 2，所以C = 2，又 e，所以 a = .、. 3，所以 b?=a -c?=i ,a 32所以椭圆M 的标准方程为—y 2 =1 .3(n)设直线 AB 的方程为y =x ，m ,y 二 x m由 x 22 消去 y可得 4x 2 6mx 3m 3 - 3 = 0 ,y 2=13则.；.=36m 2 -4 4(3m 2 -3) =48 -12m 2 0 ,即卩 m 2 ：： 4 ,23m3m - - 3设 A(x i , y i ) , B(X 2,y 2)，则花 x ?,：2 4则 | AB 1= .1 k 2 | 捲「x 2 |= •、1 k 2 .(为 x 2)2-4x^2 二—64一m，2易得当m 2 = 0时，| AB |max = ■ 6，故丨AB |的最大值为… 6 • (川)设 代为，％) , B(x 2, y 2),, D^y),2 2X 2 ' 3y 2 3 ②，, y i —7 X i —12 又k ^Xi-2，代入①式可得X3二药〒，所以y32 2则 X i 3y i =3①,又P(-2,0)，所以可设y i k i =k pA 二一 -，直线 PA 的方程为 y = k i (x 2)， X 〔 2y 二 k i (x 2)由 X 22 消去y 132 2 2 2y 可得(i 3k i )x I2k i X • i2k i -3 =0，i2k i 2 12k i 2则x 「x 3 一氓，即沧一肯k 厂为，学科*网y i4x i 7，4.解：(I)由题意得 2c =2、. 2，所以C =2，7 X-| -12 y<| 7X 2 _ 12 所以C (石〒汐)，同理可得D( -------------------------------- y iy 2 4X 2 7 '4X 27)-2故 QC = (x 3, y3), QD = (x 4, y4),444 4 7 1 7 1 (X3)( y 4 )〜(X 4 )(y 3 )=0, 4 4 44[2x +3y =6,消去 丫，可得 x 2 二—6— y = kx, 3k 2'2 2£丄69 4 =1,消去y ，可得X 1= j 6. £9k 2+4y= kx,由X2 =5捲，可得-9k 24二5（3k 2），两边平方，整理得18k 2 25k 0，解得8 1k ，或 k =9 2 8 112 当k 时，x^ -9 0 ,不合题意，舍去；当 k 时，X 2 =12 , X 1，符9 25合题意.1 因为Q,C, D 三点共线，所以 将点C, D 的坐标代入化简可得y*i - y?12=1，即 k =1 .5.解：（I ）设椭圆的焦距为 2c ,C 5 2 2 2由已知得— ，又由a 二b c ,可得2a = 3b .a 9由 | AB \ = . a =、13，从而 a = 3,b = 2 .2 2所以，椭圆的方程为 —y 19 4（II ）设点P 的坐标为（捲，yj ，点M 的坐标为（x 2,y 2），由题意，X 2 X 1 0 , 点Q 的坐标为（，-％）.由△BPM 的面积是△ BPQ 面积的2倍，可得\PM\ = 2PQ, \从而 X 2 - X i = 2[x i - (- X i )]，即 X 2 =5X i . 易知直线AB 的方程为2X 3^6 ,由方程组由方程组所以，k的值为-丄.26•解:(1)因为椭圆C的焦点为F"— ..3,0),F2C.3,0),可设椭圆C的方程为2X2a212 =1(a b . o).又点C 3,-)在椭圆C上,3 1 1所以孑‘47 a2 -b2=3, 解得a2=4,b2=1,因此，椭圆C的方程为—y2 =1 .4因为圆0的直径为F1F2，所以其方程为x2y2=3 .,, _____________ 2 2(2)①设直线I与圆0相切于P(x o, y o)(x o o, y o o)，则x o y o =3,所以直线I的方程为y = -丸(x _x0)…y0，即y = -总x ■仝.y o y o y o '2X 2 .十—y 1,由4消去y,得(4冷2• y02)x2 - 24x0x - 36 - 4y02=0 .x o ,3y x ,y o y o (*)因为直线I与椭圆C有且只有一个公共点,所以厶=(-24x o)2 -4(4x o2 y o2)(36 -4y。

2019-2020年⾼考备考：2018年⾼考数学试题分类汇编----解析⼏何见微知著，闻弦歌⽽知雅意2019-2020届备考青霄有路终须到，⾦榜⽆名誓不还！2019-2020年备考2018试题分类汇编---------解析⼏何⼀、填空题 (1)直线与圆1.（天津⽂12）在平⾯直⾓坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的⽅程为__________． 1.2220x y x +-=2.（全国卷I ⽂15）直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________． 2.223.（全国卷III 理6改）．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △⾯积的取值范围是__________．3.[]26，4.(天津理12)已知圆2220x y x +-=的圆⼼为C ，直线21,2232x t y t ?=-+=-(t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的⾯积为 . 4.125.（北京理7改）在平⾯直⾓坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最⼤值为__________． 5.36.（北京⽂7改）在平⾯坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中⼀段上，⾓α以OA 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是__________．6.EF7.（江苏12）在平⾯直⾓坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第⼀象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另⼀点D ．若0AB CD ?=，则点A 的横坐标为__________． 7.38.（上海12）已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满⾜：22111x y +=，22221x y +=，121212 x x y y +=，则11221122x y x y +-+-+的最⼤值为_________.8.32+（2）椭圆抛物线双曲线基本量 9.（浙江2改）双曲线221 3=x y -的焦点坐标是__________．9.(?2，0)，(2，0)10.（上海2）双曲线2214x y -=的渐近线⽅程为_________.10.12y x =±11.（上海13）设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为__________．11.2512.（北京⽂12）若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离⼼率为52，则a =_________.12．413.（北京⽂10）已知直线l 过点（1,0）且垂直于ε，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________. 13．(1,0) 14.(全国卷II 理5改)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离⼼率为3，则其渐近线⽅程为_________. 14．2y x =±（3）圆锥曲线离⼼率15.（全国卷I ⽂4)已知椭圆C ：22214x y a +=的⼀个焦点为(20)，，则C 的离⼼率为_________. 15.2216.（北京理14）已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n-=：．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为⼀个正六边形的顶点，则椭圆M 的离⼼率为__________；双曲N 的离⼼率为__________． 16．312-； 17.（江苏8）在平⾯直⾓坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到⼀条渐近线的距离为32c ，则其离⼼率的值是_________. 17．218.（全国卷II 理12改）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，12PF F △为等腰三⾓形，12120F F P ∠=?，则C 的离⼼率为__________．18．1419.（全国卷II ⽂11改）已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的⼀点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=?，则C 的离⼼率为__________． 19．31-20.（全国卷III 理11改）设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的⼀条渐近线的垂线，垂⾜为P ．若16PF OP=，则C 的离⼼率为__________． 20．3 （4）圆锥曲线综合21.(全国卷I 理8）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?=_________. 21．8 22.(全国卷I 理11改)已知双曲线C ：2213x y -=，O为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直⾓三⾓形，则。

全国高考数学专题汇编：解析几何一．选择题（共21小题）1．（2020•新课标Ⅰ）已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．42．（2020•新课标Ⅰ）设F1，F2是双曲线C：x2﹣＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为（）A．B．3C．D．23．（2020•新课标Ⅱ）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．4．（2020•新课标Ⅱ）设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．325．（2020•新课标Ⅲ）设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD ⊥OE，则C的焦点坐标为（）A．（，0）B．（，0）C．（1，0）D．（2，0）6．（2019•新课标Ⅰ）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（）A．2sin40°B．2cos40°C．D．7．（2019•新课标Ⅰ）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过点F2的直线与椭圆C交于A，B 两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝18．（2019•新课标Ⅱ）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆+＝1的一个焦点，则p＝（）A．2B．3C．4D．89．（2019•新课标Ⅱ）设F为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（）A．B．C．2D．10．（2019•新课标Ⅲ）已知F是双曲线C：﹣＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为（）A．B．C．D．11．（2018•新课标Ⅰ）已知椭圆C：+＝1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（2018•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为（）A．1﹣B．2﹣C．D．﹣113．（2018•新课标Ⅲ）直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3] 14．（2018•新课标Ⅲ）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（）A．B．2C．D．215．（2017•新课标Ⅰ）已知F是双曲线C：x2﹣＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A 的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．16．（2017•新课标Ⅰ）设A，B是椭圆C：+＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是（）A．（0，1]∪[9，+∞）B．（0，]∪[9，+∞）C．（0，1]∪[4，+∞）D．（0，]∪[4，+∞）17．（2017•新课标Ⅱ）若a＞1，则双曲线﹣y2＝1的离心率的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，2）C．（1，）D．（1，2）18．（2017•新课标Ⅱ）过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l 为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A．B．2C．2D．319．（2017•新课标Ⅲ）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．20．（2016•新课标Ⅰ）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．21．（2016•新课标Ⅲ）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题）22．（2019•新课标Ⅲ）设F1，F2为椭圆C：+＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为．23．（2018•新课标Ⅰ）直线y＝x+1与圆x2+y2+2y﹣3＝0交于A，B两点，则|AB|＝．24．（2017•新课标Ⅲ）双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y＝x，则a＝．25．（2016•新课标Ⅰ）设直线y＝x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为．三．解答题（共15小题）26．（2020•新课标Ⅰ）已知A，B分别为椭圆E：+y2＝1（a＞1）的左、右顶点，G为E的上顶点，•＝8．P为直线x＝6上的动点，P A与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点．27．（2020•新课标Ⅱ）已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|．（1）求C1的离心率；（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．28．（2020•新课标Ⅲ）已知椭圆C：+＝1（0＜m＜5）的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点．（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．29．（2019•新课标Ⅰ）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x+2＝0相切．（1）若A在直线x+y＝0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．30．（2019•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；（2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．31．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线C：y＝，D为直线y＝﹣上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点．（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．32．（2018•新课标Ⅰ）设抛物线C：y2＝2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N 两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：∠ABM＝∠ABN．33．（2018•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B 两点，|AB|＝8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．34．（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M （1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++＝，证明：2||＝||+||．35．（2017•新课标Ⅰ）设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．36．（2017•新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x＝﹣3上，且•＝1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．37．（2017•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．38．（2016•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px（p ＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．39．（2016•新课标Ⅱ）已知A是椭圆E：+＝1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（I）当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积（II）当2|AM|＝|AN|时，证明：＜k＜2．40．（2016•新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B 两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．参考答案一．选择题（共21小题）1．B；2．B；3．B；4．B；5．B；6．D；7．B；8．D；9．A；10．B；11．C；12．D；13．A；14．D；15．D；16．A；17．C；18．C；19．A；20．B；21．A；二．填空题（共4小题）22．（3，）；23．2；24．5；25．4π；三．解答题（共15小题）26．（2020•新课标Ⅰ）已知A，B分别为椭圆E：+y2＝1（a＞1）的左、右顶点，G为E的上顶点，•＝8．P为直线x＝6上的动点，P A与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点．【解答】解：（1）由题设得，A（﹣a，0），B（a，0），G（0，1），则，，由得a2﹣1＝8，即a＝3，所以E的方程为．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t），若t≠0，设直线CD的方程为x＝my+n，由题可知，﹣3＜n＜3，由于直线P A的方程为，所以，同理可得，于是有3y1（x2﹣3）＝y2（x1+3）①．由于，所以，将其代入①式，消去x2﹣3，可得27y1y2＝﹣（x1+3）（x2+3），即②，联立得，（m2+9）y2+2mny+n2﹣9＝0，所以，，代入②式得（27+m2）（n2﹣9）﹣2m（n+3）mn+（n+3）2（m2+9）＝0，解得n＝或﹣3（因为﹣3＜n＜3，所以舍﹣3），故直线CD的方程为，即直线CD过定点（，0）．若t＝0，则直线CD的方程为y＝0，也过点（，0）．综上所述，直线CD过定点（，0）．27．（2020•新课标Ⅱ）已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|．（1）求C1的离心率；（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．【解答】解：（1）由题意设抛物线C2的方程为：y2＝4cx，焦点坐标F为（c，0），因为AB⊥x轴，将x ＝c代入抛物线的方程可得y2＝4c2，所以|y|＝2c，所以弦长|CD|＝4c，将x＝c代入椭圆C1的方程可得y2＝b2（1﹣）＝，所以|y|＝，所以弦长|AB|＝，再由|CD|＝|AB|，可得4c＝，即3ac＝2b2＝2（a2﹣c2），整理可得2c2+3ac﹣2a2＝0，即2e2+3e﹣2＝0，e∈（0，1），所以解得e＝，所以C1的离心率为；（2）由椭圆的方程可得4个顶点的坐标分别为：（±a，0），（0，±b），而抛物线的准线方程为：x＝﹣c，所以由题意可得2c+a+c+a﹣c＝12，即a+c＝6，而由（1）可得＝，所以解得：a＝4，c＝2，所以b2＝a2﹣c2＝16﹣4＝12，所以C1的标准方程为：+＝1，C2的标准方程为：y2＝8x．28．（2020•新课标Ⅲ）已知椭圆C：+＝1（0＜m＜5）的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点．（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．【解答】解：（1）由e＝得e2＝1﹣，即＝1﹣，∴m2＝，故C的方程是：+＝1；（2）代数方法：由（1）A（﹣5，0），设P（s，t），点Q（6，n），根据对称性，只需考虑n＞0的情况，此时﹣5＜s＜5，0＜t≤，∵|BP|＝|BQ|，∴有（s﹣5）2+t2＝n2+1①，又∵BP⊥BQ，∴s﹣5+nt＝0②，又+＝1③，联立①②③得或，当时，则P（3，1），Q（6，2），而A（﹣5，0），则（法一）＝（8，1），＝（11，2），∴S△APQ＝＝|8×2﹣11×1|＝，同理可得当时，S△APQ＝，综上，△APQ的面积是．法二：∵P（3，1），Q（6，2），∴直线PQ的方程为：x﹣3y＝0，∴点A到直线PQ：x﹣3y＝0的距离d＝，而|PQ|＝，∴S△APQ＝••＝．数形结合方法：如图示：①当P点在y轴左侧时，过P点作PM⊥AB，直线x＝6和x轴交于N（6，0）点，易知△PMB≌△BQN，∴NB＝PM＝1，故y＝1时，+＝1，解得：x＝±3，（x＝3舍），故P（﹣3，1），易得BM＝8，QN＝8，故S△APQ＝S△AQN﹣S△APB﹣S△PBQ﹣S△BQN＝（11×8﹣10×1﹣（1+65）﹣1×8）＝，②当P点在y轴右侧时，同理可得x＝3，即P（3，1），BM＝2，NQ＝2，故S△APQ＝，综上，△APQ的面积是．29．（2019•新课标Ⅰ）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x+2＝0相切．（1）若A在直线x+y＝0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．【解答】解：∵⊙M过点A，B且A在直线x+y＝0上，∴点M在线段AB的中垂线x﹣y＝0上，设⊙M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝R2（R＞0），则圆心M（a，a）到直线x+y＝0的距离d＝，又|AB|＝4，∴在Rt△OMB中，d2+（|AB|）2＝R2，即①又∵⊙M与x＝﹣2相切，∴|a+2|＝R②由①②解得或，∴⊙M的半径为2或6；（2）∵线段AB为⊙M的一条弦O是弦AB的中点，∴圆心M在线段AB的中垂线上，设点M的坐标为（x，y），则|OM|2+|OA|2＝|MA|2，∵⊙M与直线x+2＝0相切，∴|MA|＝|x+2|，∴|x+2|2＝|OM|2+|OA|2＝x2+y2+4，∴y2＝4x，∴M的轨迹是以F（1，0）为焦点x＝﹣1为准线的抛物线，∴|MA|﹣|MP|＝|x+2|﹣|MP|＝|x+1|﹣|MP|+1＝|MF|﹣|MP|+1，∴当|MA|﹣|MP|为定值时，则点P与点F重合，即P的坐标为（1，0），∴存在定点P（1，0）使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值．30．（2019•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；（2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．【解答】解：（1）连接PF1，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|+|PF2|＝（+1）c，故曲线C的离心率e＝＝﹣1．（2）由题意可知，满足条件的点P（x，y）存在当且仅当：|y|•2c＝16，•＝﹣1，+＝1，即c|y|＝16，①x2+y2＝c2，②+＝1，③由②③及a2＝b2+c2得y2＝，又由①知y2＝，故b＝4，由②③得x2＝（c2﹣b2），所以c2≥b2，从而a2＝b2+c2≥2b2＝32，故a≥4，当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P．所以b＝4，a的取值范围为[4，+∞）．31．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线C：y＝，D为直线y＝﹣上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点．（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．【解答】（1）证明：设D（t，﹣），A（x1，y1），则，由于y′＝x，∴切线DA的斜率为x1，故，整理得：2tx1﹣2y1+1＝0．设B（x2，y2），同理可得2tx2﹣2y2+1＝0．故直线AB的方程为2tx﹣2y+1＝0．∴直线AB过定点（0，）；（2）解：由（1）得直线AB的方程y＝tx+．由，可得x2﹣2tx﹣1＝0．于是．设M为线段AB的中点，则M（t，），由于，而，与向量（1，t）平行，∴t+（t2﹣2）t＝0，解得t＝0或t＝±1．当t＝0时，||＝2，所求圆的方程为；当t＝±1时，||＝，所求圆的方程为．32．（2018•新课标Ⅰ）设抛物线C：y2＝2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N 两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：∠ABM＝∠ABN．【解答】解：（1）当l与x轴垂直时，x＝2，代入抛物线解得y＝±2，所以M（2，2）或M（2，﹣2），直线BM的方程：y＝x+1，或：y＝﹣x﹣1．（2）证明：设直线l的方程为l：x＝ty+2，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线l与抛物线方程得，消x得y2﹣2ty﹣4＝0，即y1+y2＝2t，y1y2＝﹣4，则有k BN+k BM＝+＝＝＝0，所以直线BN与BM的倾斜角互补，∴∠ABM＝∠ABN．33．（2018•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B 两点，|AB|＝8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），设直线AB的方程为：y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0，则x1+x2＝，x1x2＝1，由|AB|＝x1+x2+p＝+2＝8，解得：k2＝1，则k＝1，∴直线l的方程y＝x﹣1；方法二：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|＝＝＝8，解得：sin2θ＝，∴θ＝，则直线的斜率k＝1，∴直线l的方程y＝x﹣1；（2）由（1）可得AB的中点坐标为D（3，2），则直线AB的垂直平分线方程为y﹣2＝﹣（x﹣3），即y ＝﹣x+5，设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则，解得：或，因此，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝16或（x﹣11）2+（y+6）2＝144．34．（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M （1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++＝，证明：2||＝||+||．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的中点为M（1，m），∴x1+x2＝2，y1+y2＝2m将A，B代入椭圆C：+＝1中，可得，两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）＝0，∴k＝＝﹣＝﹣点M（1，m）在椭圆内，即，解得0＜m∴k＝﹣．（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2＝2∵++＝，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1＝0，∴x3＝1由椭圆的焦半径公式得则|F A|＝a﹣ex1＝2﹣x1，|FB|＝2﹣x2，|FP|＝2﹣x3＝．则|F A|+|FB|＝4﹣，∴|F A|+|FB|＝2|FP|，35．（2017•新课标Ⅰ）设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．【解答】解：（1）设A（x1，），B（x2，）为曲线C：y＝上两点，则直线AB的斜率为k＝＝（x1+x2）＝×4＝1；（2）设直线AB的方程为y＝x+t，代入曲线C：y＝，可得x2﹣4x﹣4t＝0，即有x1+x2＝4，x1x2＝﹣4t，再由y＝的导数为y′＝x，设M（m，），可得M处切线的斜率为m，由C在M处的切线与直线AB平行，可得m＝1，解得m＝2，即M（2，1），由AM⊥BM可得，k AM•k BM＝﹣1，即为•＝﹣1，化为x1x2+2（x1+x2）+20＝0，即为﹣4t+8+20＝0，解得t＝7．则直线AB的方程为y＝x+7．36．（2017•新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x＝﹣3上，且•＝1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．【解答】解：（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），由点P满足＝．可得（x﹣x0，y）＝（0，y0），可得x﹣x0＝0，y＝y0，即有x0＝x，y0＝，代入椭圆方程+y2＝1，可得+＝1，即有点P的轨迹方程为圆x2+y2＝2；（2）证明：设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），•＝1，可得（cosα，sinα）•（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）＝1，即为﹣3cosα﹣2cos2α+m sinα﹣2sin2α＝1，当α＝0时，上式不成立，则0＜α＜2π，解得m＝，即有Q（﹣3，），椭圆+y2＝1的左焦点F（﹣1，0），由•＝（﹣1﹣cosα，﹣sinα）•（﹣3，）＝3+3cosα﹣3（1+cosα）＝0．可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．另解：设Q（﹣3，t），P（m，n），由•＝1，可得（m，n）•（﹣3﹣m，t﹣n）＝﹣3m﹣m2+nt﹣n2＝1，又P在圆x2+y2＝2上，可得m2+n2＝2，即有nt＝3+3m，又椭圆的左焦点F（﹣1，0），•＝（﹣1﹣m，﹣n）•（﹣3，t）＝3+3m﹣nt＝3+3m﹣3﹣3m＝0，则⊥，可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．37．（2017•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．【解答】解：（1）曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，可设A（x1，0），B（x2，0），由韦达定理可得x1x2＝﹣2，若AC⊥BC，则k AC•k BC＝﹣1，即有•＝﹣1，即为x1x2＝﹣1这与x1x2＝﹣2矛盾，故不出现AC⊥BC的情况；（2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），由题意可得y＝0时，x2+Dx+F＝0与x2+mx﹣2＝0等价，可得D＝m，F＝﹣2，圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2＝0，由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2＝0，可得E＝1，则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2＝0，另解：设过A、B、C三点的圆在y轴上的交点为H（0，d），则由相交弦定理可得|OA|•|OB|＝|OC|•|OH|，即有2＝|OH|，再令x＝0，可得y2+y﹣2＝0，解得y＝1或﹣2．即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2），则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．38．（2016•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px（p ＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．【解答】解：（Ⅰ）将直线l与抛物线方程联立，解得P（，t），∵M关于点P的对称点为N，∴＝，＝t，∴N（，t），∴ON的方程为y＝x，与抛物线方程联立，解得H（，2t）∴＝＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知k MH＝，∴直线MH的方程为y＝x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2＝0，∴△＝16t2﹣4×4t2＝0，∴直线MH与C除点H外没有其它公共点．39．（2016•新课标Ⅱ）已知A是椭圆E：+＝1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（I）当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积（II）当2|AM|＝|AN|时，证明：＜k＜2．【解答】解：（I）由椭圆E的方程：+＝1知，其左顶点A（﹣2，0），∵|AM|＝|AN|，且MA⊥NA，∴△AMN为等腰直角三角形，∴MN⊥x轴，设M的纵坐标为a，则M（a﹣2，a），∵点M在E上，∴3（a﹣2）2+4a2＝12，整理得：7a2﹣12a＝0，∴a＝或a＝0（舍），∴S△AMN＝a×2a＝a2＝；（II）设直线l AM的方程为：y＝k（x+2），直线l AN的方程为：y＝﹣（x+2），由消去y得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12＝0，∴x M﹣2＝﹣，∴x M＝2﹣＝，∴|AM|＝|x M﹣（﹣2）|＝•＝∵k＞0，∴|AN|＝＝，又∵2|AM|＝|AN|，∴＝，整理得：4k3﹣6k2+3k﹣8＝0，设f（k）＝4k3﹣6k2+3k﹣8，则f′（k）＝12k2﹣12k+3＝3（2k﹣1）2≥0，∴f（k）＝4k3﹣6k2+3k﹣8为（0，+∞）的增函数，又f（）＝4×3﹣6×3+3﹣8＝15﹣26＝﹣＜0，f（2）＝4×8﹣6×4+3×2﹣8＝6＞0，∴＜k＜2．40．（2016•新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B 两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP＝AF，BQ＝BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ＝90°，∴∠PFQ＝90°，∵R是PQ的中点，∴RF＝RP＝RQ，∴△P AR≌△F AR，∴∠P AR＝∠F AR，∠PRA＝∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ＝180°﹣∠QBF＝∠P AF＝2∠P AR，∴∠FQB＝∠P AR，∴∠PRA＝∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x＝﹣，S△PQF＝|PQ|＝|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S△ABF＝|FN||y1﹣y2|，∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|＝1，∴x N＝1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得＝2（x1﹣x2），又＝，∴＝，即y2＝x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2＝x﹣1．。

2019年高考理科数学试题解析几何
1．【2018年浙江卷】双曲线的焦点坐标是
A.(−，0)，(，0)
B.(−2，0)，(2，0)
C.(0，−)，(0，)
D.(0，−2)，(0，2)
【答案】B
拓展：由双曲线方程可得焦点坐标为，顶点坐标为，渐近线方程为.
2．【2018年理数天津卷】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后求解a的值即可确定双曲线方程.
详解：设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为：，据此可得：，。

2018年全国各地高考数学分类汇编word版含答案10-解析几何一、选择题（共12小题；共60分）1. 设P是椭圆x25+y23=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )A. 2√2B. 2√3C. 2√5D. 4√22. 已知椭圆C：x2a2+y24=1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为( )A. 13B. 12C. √22D. 2√233. 直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x−2)2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是( )A. [2,6]B. [4,8]C. [√2,3√2]D. [2√2,3√2]4. 在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x−my−2=0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60∘，则C的离心率为( )A. 1−√32B. 2−√3 C. √3−12D. √3−16. 双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√3，则其渐近线方程为( )A. y=±√2xB. y=±√3xC. y=±√22x D. y=±√32x7. 已知双曲线C：x23−y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则∣MN∣=( )A. 32B. 3C. 2√3D. 48. 设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点(−2,0)且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 5B. 6C. 7D. 89. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( )A. √2B. 2C. 3√22D. 2√210. 设F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若∣PF1∣=√6∣OP∣，则C的离心率为( )A. √5B. 2C. √3D. √211. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A ，B 两点．设 A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 d 1 和 d 2，且 d 1+d 2=6，则双曲线的方程为 ( ) A. x 24−y 212=1B. x 212−y 24=1C. x 23−y 29=1D. x 29−y 23=112. 已知 F 1，F 2 是椭圆 C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左，右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 √36 的直线上，△PF 1F 2 为等腰三角形，∠F 1F 2P =120∘，则 C 的离心率为 ( )A. 23B. 12 C. 13 D. 14二、填空题（共12小题；共60分） 13. 若双曲线x 2a2−y 24=1(a >0) 的离心率为 √52，则 a = ．14. 直线 y =x +1 与圆 x 2+y 2+2y −3=0 交于 A ，B 两点，则 ∣AB∣= ．15. 在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l:y =2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D ．若 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则点 A 的横坐标为 ． 16. 在平面直角坐标系中，经过三点 (0,0)，(1,1)，(2,0) 的圆的方程为 ．17. 已知点 M (−1,1) 和抛物线 C ：y 2=4x ，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A ，B 两点．若∠AMB =90∘，则 k = ．18. 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的右焦点 F (c,0) 到一条渐近线的距离为 √32c ，则其离心率的值为 ．19. 已知直线 l 过点 (1,0) 且垂直于 x 轴．若 l 被抛物线 y 2=4ax 截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为 ．20. 已知圆 x 2+y 2−2x =0 的圆心为 C ，直线 {x =−1+√22t,y =3−√22t（t 为参数）与该圆相交于 A ，B 两点，则 △ABC 的面积为 ．21. 在极坐标系中，直线 ρcosθ+ρsinθ=a (a >0) 与圆 ρ=2cosθ 相切，则 a = ．22. 已知实数 x 1，x 2，y 1，y 2 满足：x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=12，则11√2222的最大值为 ．23. 已知点 P (0,1)，椭圆 x 24+y 2=m (m >1) 上两点 A ，B 满足 AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则当 m = 时，点 B 横坐标的绝对值最大．24. 已知椭圆 M:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，双曲线 N:x 2m 2−y 2n 2=1．若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为 ；双曲线 N 的离心率为 ．三、解答题（共16小题；共208分）25. 设抛物线 C:y 2=4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k (k >0) 的直线 l 与 C 交于 A ，B 两点，∣AB ∣=8．（1）求 l 的方程； （2）求过点 A ，B 且与 C 的准线相切的圆的方程．26. 设抛物线 C:y 2=4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k (k >0) 的直线 l 与 C 交于 A ，B 两点，∣AB∣=8． （1）求 l 的方程； （2）求过点 A ，B 且与 C 的准线相切的圆的方程．27. 如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 C:y 2=4x 上存在不同的两点 A ，B 满足 PA ，PB 的中点均在 C 上．（1）设 AB 中点为 M ，证明：PM 垂直于 y 轴； （2）若 P 是半椭圆 x 2+y 24=1(x <0) 上的动点，求 △PAB 面积的取值范围．28. 在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的参数方程为 {x =cosθ,y =sinθ（θ 为参数），过点 (0,−√2) 且倾斜角为 α 的直线 l 与 ⊙O 交于 A ，B 两点． （1）求 α 的取值范围； （2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．29. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的方程为 y =k∣x∣+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ2+2ρcosθ−3=0． （1）求 C 2 的直角坐标方程；（2）若 C 1 与 C 2 有且仅有三个公共点，求 C 1 的方程．30. 在极坐标系中，直线 l 的方程为 ρsin (π6−θ)=2，曲线 C 的方程为 ρ=4cosθ，求直线 l 被曲线C 截得的弦长．31. 已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C:x 24+y 23=1 交于 A ，B 两点．线段 AB 的中点为 M (1,m )(m >0)．（1）证明：k <−12；（2）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且 FP⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ．证明：2∣FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣+∣FB⃗⃗⃗⃗⃗ ∣．32. 设椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的右顶点为 A ，上顶点为 B ．已知椭圆的离心率为 √53，∣AB ∣=√13．（1）求椭圆的方程；（2）设直线 l:y =kx (k <0) 与椭圆交于 P ，Q 两点，l 与直线 AB 交于点 M ，且点 P ，M 均在第四象限．若 △BPM 的面积是 △BPQ 面积的 2 倍，求 k 的值．33. 已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C ：x 24+y 23=1 交于 A ，B 两点，线段 AB 的中点为 M (1,m )(m >0)．（1）证明：k <−12；（2）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且 FP ⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ．证明：∣∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，∣∣FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，∣∣FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 成等差数列，并求该数列的公差．34. 设椭圆 x 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0) 的左焦点为 F ，上顶点为 B ．已知椭圆的离心率为 √53，点 A 的坐标为 (b,0)，且 ∣FB ∣⋅∣AB ∣=6√2． （1）求椭圆的方程；（2）设直线 l ：y =kx (k >0) 与椭圆在第一象限的交点为 P ，且 l 与直线 AB 交于点 Q ．若∣AQ∣∣PQ∣=5√24sin∠AOQ （O 为原点），求 k 的值．35. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点 (√3,12)，焦点为 F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)，圆 O 的直径为 F 1F 2．（1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；（2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P ． ①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；②直线 l 与椭圆 C 交于 A ，B 两点．若 △OAB 的面积为2√67，求直线 l 的方程．36. 设常数 t >2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F (2,0)，直线 l:x =t ，曲线 Γ:y 2=8x (0≤x ≤t,y ≥0)．l 与 x 轴交于点 A 、与 Γ 交于点 B ．P ，Q 分别是曲线 Γ 与线段 AB 上的动点．（1）用 t 表示点 B 到点 F 的距离；（2）设 t =3，∣FQ∣∣=2，线段 OQ 的中点在直线 FP 上，求 △AQP 的面积； （3）设 t =8，是否存在以 FP ，FQ 为邻边的矩形 FPEQ ，使得点 E 在 Γ 上?若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由．37. 设椭圆 C:x 22+y 2=1 的右焦点为 F ，过 F 的直线 l 与 C 交于 A ，B 两点，点 M 的坐标为 (2,0)．（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； （2）设 O 为坐标原点，证明：∠OMA =∠OMB ．38. 设抛物线 C:y 2=2x ，点 A (2,0)，B (−2,0)，过点 A 的直线 l 与 C 交于 M ，N 两点．（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程； （2）证明：∠ABM =∠ABN ．39. 已知抛物线 C:y 2=2px 经过点 P (1,2)．过点 Q (0,1) 的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A ，B ，且直线 PA 交 y 轴于 M ，直线 PB 交 y 轴于 N ． （1）求直线 l 的斜率的取值范围；（2）设 O 为原点，QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：1λ+1μ为定值．40. 已知椭圆 M:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为 √63，焦距为 2√2，斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M有两个不同的交点 A ，B ． （1）求椭圆 M 的方程；（2）若 k =1，求 ∣AB∣ 的最大值；（3）设 P (−2,0)，直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C ，直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为D ．若 C ，D 和点 Q (−74,14) 共线，求 k ．答案第一部分 1. C 2. C 3. A 4. C 5. D 6. A 7. B 8. D 9. D 10. C 11. C 12. D第二部分13. 4 14. 2√2 15. 316. x 2+y 2−2x =0 17. 2 18. 2 19. (1,0) 20. 12 21. 1+√2 22. √3+√2 23. 5 24. √3−1，2 第三部分25. （1） 由题意得 F (1,0)，l 的方程为 y =k (x −1)(k >0)． 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由 {y =k (x −1),y 2=4x 得 k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0．Δ=16k 2+16>0，故 x 1+x 2=2k 2+4k 2．所以 ∣AB ∣=∣AF ∣+∣BF ∣=(x 1+1)+(x 2+1)=4k 2+4k 2．由题设知4k 2+4k 2=8，解得 k =−1（舍去），k =1．因此 l 的方程为 y =x −1．（2） 由（1）得 AB 的中点坐标为 (3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y −2=−(x −3)，即 y =−x +5．设所求圆的圆心坐标为 (x 0,y 0)，则{y 0=−x 0+5,(x 0+1)2=(y 0−x 0+1)22+16.解得 {x 0=3,y 0=2 或 {x 0=11,y 0=−6. 因此所求圆的方程为 (x −3)2+(y −2)2=16 或 (x −11)2+(y +6)2=144． 26. （1） 由题意得 F (1,0)，l 的方程为 y =k (x −1)(k >0)， 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由 {y =k (x −1),y 2=4x 得 k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0，Δ=16k 2+16=0，故 x 1+x 2=2k 2+4k 2，所以 ∣AB∣=∣AF∣+∣BF∣=(x 1+1)+(x 2+1)=4k 2+4k 2，由题设知4k 2+4k 2=8，解得 k =−1（舍去），k =1，因此 l 的方程为 y =x −1．（2） 由（1）得 AB 的中点坐标为 (3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y −2=−(x −3)，即 y =−x +5． 设所求圆的圆心坐标为 (x 0,y 0)，则 {y 0=−x 0+5,(x 0+1)2=(y 0−x 0+1)22+16. 解得 {x 0=3,y 0=2 或 {x 0=11,y 0=−6.因此所求圆的方程为 (x −3)2+(y −2)2=16 或 (x −11)2+(y +6)2=144．27. （1） 设 P (x 0,y 0)，A (14y 12,y 1)，B (14y 22,y 2)．因为 PA ，PB 的中点在抛物线上，所以 y 1，y 2 为方程 (y+y 02)2=4⋅14y 2+x 02即 y 2−2y 0y +8x 0−y 02=0的两个不同的实数根． 所以 y 1+y 2=2y 0．因此，PM 垂直于 y 轴．（2） 由（Ⅰ）可知 {y 1+y 2=2y 0,y 1y 2=8x 0−y 02,所以 ∣PM ∣=18(y 12+y 22)−x 0=34y 02−3x 0，∣y 1−y 2∣=2√2(y 02−4x 0)．因此，△PAB 的面积 S △PAB =12∣PM ∣⋅∣y 1−y 2∣=3√24(y 02−4x 0)32．因为 x 02+y 024=1(x 0<0)，所以 y 02−4x 0=−4x 02−4x 0+4∈[4,5]．因此，△PAB 面积的取值范围是 [6√2,15√104]．28. （1） ⊙O 的直角坐标方程为 x 2+y 2=1． 当 α=π2 时，l 与 ⊙O 交于两点．当 α≠π2 时，记 tanα=k ，则 l 的方程为 y =kx −√2．l 与 ⊙O 交于两点当且仅当 ∣∣∣√2√1+k 2∣∣∣<1，解得 k <−1 或 k >1， 即 α∈(π4,π2) 或 α∈(π2,3π4)．综上，α 的取值范围是 (π4,3π4)．（2） l 的参数方程为 {x =tcosα,y =−√2+tsinα（t 为参数，π4<α<3π4）．设 A ，B ，P 对应的参数分别为 t A ，t B ，t P ，则 t P =t A +t B 2，且 t A ，t B 满足 t 2−2√2tsinα+1=0．于是 t A +t B =2√2sinα，t P =√2sinα．又点 P 的坐标 (x,y ) 满足 {x =t P cosα,y =−√2+t P sinα,所以点 P 的轨迹的参数方程是 {x =√22sin2α,y =−√22−√22cos2α（α 为参数，π4<α<3π4）．29. （1） 由 x =ρcosθ，y =ρsinθ 得 C 2 的直角坐标方程为 (x +1)2+y 2=4． （2） 由（1）知 C 2 是圆心为 A (−1,0)，半径为 2 的圆． 由题设知，C 1 是过点 B (0,2) 且关于 y 轴对称的两条射线． 记 y 轴右边的射线为 l 1，y 轴左边的射线为 l 2．由于 B 在圆 C 2 的外面，故 C 1 与 C 2 有且仅有三个公共点等价于 l 1 与 C 2 只有一个公共点且 l 2 与 C 2 有两个公共点，或 l 2 与 C 2 只有一个公共点且 l 1 与 C 2 有两个公共点． 当 l 1 与 C 2 只有一个公共点时，A 到 l 1 所在直线的距离为 2，2=2，故 k =−43 或 k =0，经检验，当 k =0 时，l 1 与 C 2 没有公共点；当 k =−43 时，l 1 与 C 2 只有一个公共点，l 2 与 C 2 有两个公共点，当 l 2 与 C 2 只有一个公共点时，A 到 l 2 所在直线的距离为 2，√k 2+1=2，故 k =0 或 k =43．经检验，当 k =0 时，l 1 与 C 2 没有公共点；当 k =43时，l 2 与 C 2 没有公共点， 综上，所求 C 1 的方程为 y =−43∣x∣+2．30. 因为曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ， 所以曲线 C 是圆心为 (2,0)，直径为 4 的圆．因为直线 l 的极坐标方程为 ρsin (π6−θ)=2，则直线 l 过 A (4,0)，倾斜角为 π6， 所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点． 设另一个交点为 B ，则 ∠OAB =π6． 连接 OB ．因为 OA 为直径，从而 ∠OBA =π2，所以 AB =4cos π6=2√3．因此，直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 2√3． 31. （1） 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 x 124+y 123=1，x 224+y 223=1，两式相减，并由 y 1−y 2x 1−x 2=k 得x 1+x 24+y 1+y 23⋅k =0．由题设知x 1+x 22=1，y 1+y 22=m ，于是 k =−34m ．由题设得 0<m <32，故 k <−12．（2） 由题意得 F (1,0)．设 P (x 3,y 3)，则 (x 3−1,y 3)+(x 1−1,y 1)+(x 2−1,y 2)=(0,0)． 由（1）及题设得 x 3=3−(x 1+x 2)=1，y 3=−(y 1+y 2)=−2m <0．又点 P 在 C 上，所以 m =34，从而 P (1,−32)，∣FP⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=32． 于是 ∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=√(x 1−1)2+y 12=√(x 1−1)2+3(1−x 124)=2−x 12．同理 ∣FB⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=2−x 22． 所以 FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4−12(x 1+x 2)=3． 故 2∣FP⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣+∣FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣． 32. （1） 设椭圆的焦距为 2c ，由已知得 c 2a 2=59，又由 a 2=b 2+c 2，可得 2a =3b ，由 ∣AB ∣=√a 2+b 2=√13，从而 a =3，b =2， 所以椭圆的方程为x 29+y 24=1．（2） 设点 P 的坐标为 (x 1,y 1)，点 M 的坐标为 (x 2,y 2)， 由题意，x 2>x 1>0， 点 Q 的坐标为 (−x 1,−y 1)，由 △BPM 的面积是 △BPQ 面积的 2 倍，可得 ∣PM ∣=2∣PQ ∣， 从而 x 2−x 1=2[x 1−(−x 1)]，即 x 2=5x 1． 易知直线 AB 的方程为 2x +3y =6，由方程组 {2x +3y =6,y =kx消去 y ，可得 x 2=63k+2．由方程组 {x 29+y 24=1,y =kx消去 y ，可得 x 1=2．由 x 2=5x 1，可得 √9k 2+4=5(3k +2)，两边平方，整理得 18k 2+25k +8=0，解得 k =−89 或 k =−12．当 k =−89 时，x 2=−9<0，不合题意，舍去； 当 k =−12 时，x 2=12，x 1=125，符合题意．所以 k 的值为 −12．33. （1） 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 x 124+y 123=1，x 224+y 223=1．两式相减，并由 y 1−y2x 1−x 2=k 得x 1+x 24+y 1+y 23⋅k =0．由题设知x 1+x 22=1，y 1+y 22=m ，于是 k =−34m . ⋯⋯①由题设得 0<m <32，故 k <−12．（2） 由题意得 F (1,0)，设 P (x 3,y 3)，则 (x 3−1,y 3)+(x 1−1,y 1)+(x 2−1,y 2)=(0,0)． 由（1）及题设得 x 3=3−(x 1+x 2)=1，y 3=−(y 1+y 2)=−2m <0，又点 P 在 C 上，所以 m =34，从而 P (1,−32)，∣∣FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=32． 于是 ∣∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√(x 1−1)2+y 12=√(x 1−1)2+3(1−x 124)=2−x 12．同理 ∣∣FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2−x 22．所以 ∣∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4−12(x 1+x 2)=3．故 2∣∣FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，即 ∣∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，∣∣FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，∣∣FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 成等差数列．设该数列的公差为 d ，则 2∣d ∣=∣∣∣∣∣FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣−∣∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣∣=12∣x 1−x 2∣=12√(x 1+x 2)2−4x 1x 2. ⋯⋯② 将 m =34 代入 ① 得 k =−1．所以 l 的方程为 y =−x +74，代入 C 的方程，并整理得 7x 2−14x +14=0．故 x 1+x 2=2，x 1x 2=128，代入 ② 解得 ∣d ∣=3√2128． 所以该数列的公差为3√2128或 −3√2128． 34. （1） 设椭圆的焦距为 2c ，由已知知 c 2a 2=59，又由 a 2=b 2+c 2，可得 2a =3b ．由已知可得，∣FB ∣=a ，∣AB ∣=√2b ，由 ∣FB ∣⋅∣AB ∣=6√2，可得 ab =6，从而 a =3，b =2． 所以，椭圆的方程为 x 29+y 24=1．（2） 设点 P 的坐标为 (x 1,y 1)，点 Q 的坐标为 (x 2,y 2)． 由已知有 y 1>y 2>0，故 ∣PQ ∣sin∠AOQ =y 1−y 2． 又因为 ∣AQ ∣=y 2sin∠OAB，而 ∠OAB =π4，故 ∣AQ ∣=√2y 2．由∣AQ∣∣PQ∣=5√24sin∠AOQ ，可得 5y 1=9y 2．由方程组 {y =kx,x 29+y 24=1消去 x ，可得 y 1=√9k 2+4．易知直线 AB 的方程为 x +y–2=0，由方程组 {y =kx,x +y −2=0消去 x ，可得 y 2=2k k+1． 由 5y 1=9y 2，可得 5(k +1)=3√9k 2+4，两边平方，整理得 56k 2−50k +11=0，解得 k =12 或 k =1128．所以，k 的值为 12 或 1128．35. （1） 因为椭圆 C 的焦点为 F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)，可设椭圆 C 的方程为 x 2a +y 2b =1(a >b >0)．又点 (√3,12) 在椭圆 C 上，所以 {3a 2+14b 2=1,a 2−b 2=3,解得 {a 2=4,b 2=1. 因此，椭圆 C 的方程为 x 24+y 2=1．因为圆 O 的直径为 F 1F 2，所以其方程为 x 2+y 2=3．（2） ①设直线 l 与圆 O 相切于 P (x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)，则 x 02+y 02=3， 所以直线 l 的方程为 y =−x 0y 0(x −x 0)+y 0，即 y =−x 0y 0x +3y 0． 由 {x 24+y 2=1,y =−x 0y 0x +3y 0, 消去 y ，得 (4x 02+y 02)x 2−24x 0x +36−4y 02=0.(∗)因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，所以 Δ=(−24x 0)2−4(4x 02+y 02)(36−4y 02)=48y 02(x 02−2)=0．因为 x 0,y 0>0，所以 x 0=√2，y 0=1．因此，点 P 的坐标为 (√2,1)．②因为三角形 OAB 的面积为2√67， 所以 12AB ⋅OP =2√67，从而 AB =4√27． 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由 (∗) 得 x 1,2=24x 0±√48y 02(x 02−2)2(4x 02+y 02)， 所以AB 2=(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=(1+x 02y 02)⋅48y 02(x 02−2)(4x 02+y 02)2.因为 x 02+y 02=3，所以 AB 2=16(x 02−2)(x 02+1)2=3249，即 2x 04−45x 02+100=0，解得 x 02=52（x 02=20 舍去），则 y 02=12， 因此 P 的坐标为 (√102,√22)． 综上，直线 l 的方程为 y =−√5x +3√2．36. （1） 由题意 B(t,√8t)，∣BF∣=√(t −2)2+8t =t +2．（2） 由 ∣FA∣=1，∣FQ∣∣=2，可得 ∣AQ∣∣=√3， 所以 Q(3,√3)，设线段 OQ 的中点为 M ，则 M (32,√32)， 由题意有 k MF =k PF ，设 P (y 028,y 0)，则 √32−12=y0y 028−2， 解得 y 0=4√33，于是 P (23,4√33)， 所以 S △AQP =12⋅∣AQ∣∣⋅(3−23)=76√3． （3） 设有在 P (y 028,y 0)，Q (8,a )，使得以 FQ ，FP 为邻边的矩形 FPEQ ，中的点 E 在 Γ 上， 则 FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(y 028−2,y 0)⋅(6,a )=0， 得 34y 02−12+ay 0=0, ⋯⋯① 由 FP ⃗⃗⃗⃗⃗ +FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得 E (y 028+6,a +y 0)，代入 y 2=8x 得 a 2+2ay 0=48, ⋯⋯② 结合 ①② 得 5y 04+224y 02−768=0，解得 y 02=165，因为 y 0≥0，所以 y 0=4√55，求得 x 0=25， 所以 P (25,4√55)． 37. （1） 由已知得 F (1,0)，l 的方程为 x =1．由已知可得，点 A 的坐标为 (1,√22) 或 (1,−√22)． 所以 AM 的方程为 y =−√22x +√2 或 y =√22x −√2．（2） 当 l 与 x 轴重合时，∠OMA =∠OMB =0∘，当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，所以 ∠OMA =∠OMB ．当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 y =k (x −1)(k ≠0)，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 则 x 1<√2，x 2<√2，直线 MA ，MB 的斜率之和为 k MA +k MB =y 1x1−2+y 2x 2−2， 由 y 1=kx 1−k ，y 2=kx 2−k 得 k MA +k MB =2kx 1x 2−3k (x 1+x 2)+4k (x 1−2)(x 2−2)． 将 y =k (x −1) 代入x 22+y 2=1 得 (2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−2=0， 所以，x 1+x 2=4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1，则 2kx 1x 2−3k (x 1+x 2)+4k =4k 3−4k−12k 3+8k 3+4k 2k 2+1=0． 从而 k MA +k MB =0，故 MA ，MB 的倾斜角互补，所以 ∠OMA =∠OMB ．综上，∠OMA =∠OMB ． 38. （1） 当 l 与 x 轴垂直时，l 的方程为 x =2，可得 M 的坐标为 (2,2) 或 (2,−2)． 所以直线 BM 的方程为 y =12x +1 或 y =−12x −1． （2） 当 l 与 x 轴垂直时，AB 为 MN 的垂直平分线，所以 ∠ABM =∠ABN ．当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y =k (x −2)(k ≠0)，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，则 x 1>0，x 2>0．由 {y =k (x −2),y 2=2x,得 ky 2−2y −4k =0， 可知 y 1+y 2=2k ，y 1y 2=−4．直线 BM ，BN 的斜率之和为k BM +k BN =y 1x 1+2+y 2x 2+2=x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)(x 1+2)(x 2+2). ⋯⋯① 将 x 1=y 1k +2，x 2=y 2k +2 及 y 1+y 2，y 1y 2 的表达式代入 ① 式分子， 可得x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)=2y 1y 2+4k (y 1+y 2)k =−8+8k =0.所以 k BM +k BN =0，可知 BM ，BN 的倾斜角互补，所以 ∠ABM +∠ABN ．综上，∠ABM =∠ABN ．39. （1） 把点 P (1,2) 代入 y 2=2px ，得 p =2，所以 y 2=4x ，设 l:y =kx +1，显然 k ≠0，联立 {y =kx +1,y 2=4x,ky 2−4y +4=0，由题意有 Δ>0，即 16−4k ⋅4>0，解得 k <1，所以 k 的取值范围是 k <1 且 k ≠0．（2） 设 M (x M ,y M )，N (x N ,y N )， 由 QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有 (x M ,y M −1)=λ(0,−1)， 所以 λ=1−y M ，同理 μ=1−y N ，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由（1）有 {y 1+y 2=4k ,y 1y 2=4k ,直线 PA 的方程为y −2=y 1−2x 1−1(x −1)=y 1−2y 124−1(x −1)=4y 1+2(x −1),令 x =0，得 y M =2y 1y 1+2， 同理有 y N =2y 2y2+2，1λ+1μ=11−y M +11−y N =2+y 12−y 1+2+y 22−y 2=8−2y 1y 24−2(y 1+y 2)+y 1y 2=8−8k 4−8k +4k =2,所以 1λ+1μ为定值 2． 40. （1） 由 {c a =√63,2c =2√2,a 2−b 2=c 2 解得 {a =√3,b =1,c =√2. 则椭圆 M 的方程为 x 23+y 2=1．（2） k =1 时，设 l 方程为 y =x +n ，联立 {y =x +n,x 23+y 2=1 消 y 得 4x 2+6nx +3n 2−3=0，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 {x 1+x 2=−3n 2,x 1x 2=3n 2−34.由 Δ>0 得 −2<n <2，∣AB∣=√1+k 2∣x 1−x 2∣=√62⋅√4−n 2. 当 n =0 时，∣AB∣ 最大值为 √6．（3） PA 直线的斜率 k PA =y 1x1+2，PA 直线的方程 y =y 1x 1+2(x +2)，联立 {y =y 1x 1+2(x +2),x 23+y 2=1, 消 y 得 (x 12+4x 1+4+3y 12)x 2+12y 12x +(12y 12−3x 12−12x 1−12)=0， 又 x 123+y 12=1 代入上式得 (4x 1+7)x 2+(12−4x 12)x −(7x 12+12x 1)=0， 设 C (x C ,y C )，由 x 1⋅x C =−(7x 12+12x 1)4x 1+7 得 x C =−(7x 1+12)4x 1+7，y C =y 1x 1+2(x C +2)=y 14x 1+7， 则 C (−(7x 1+12)4x 1+7,y14x 1+7)， 同理 D (−(7x 2+12)4x 2+7,y 24x 2+7)，又 Q (−74,14)，QC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(14(4x 1+7),4y 1−4x 1−74(4x 1+7))，QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(14(4x 2+7),4y 2−4x 2−74(4x 2+7))， 由 C ，D ，Q 三点共线，知 QC⃗⃗⃗⃗⃗ 与 QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， 于是 14(4x 2+7)×4y 1−4x 1−74(4x 1+7)=14(4x 1+7)×4y 2−4x 2−74(4x 2+7)， 整理得 x 1−x 2=y 1−y 2，则 k =y 2−y 1x 2−x 1=1．。

2018年高考文科数学分类汇编：专题九解析几何-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN《2018年高考文科数学分类汇编》第九篇：解析几何一、选择题1.【2018全国一卷4】已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12CD2.【2018全国二卷6】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>方程为A ．y =B ．y =C ．y =D ．y = 3.【2018全国二11】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1B ．2CD 14.【2018全国三卷8】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是 A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣ 5.【2018全国三卷10】已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的离心率为，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为AB ．2C ．2D ．6.【2018天津卷7】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A 221412x y -=B 221124x y -= C 22139x y -=D 22193x y -= 7.【2018浙江卷2】双曲线221 3=x y -的焦点坐标是A ．(−2，0)，(2，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，−2)，(0，2)D ．(0，−2)，(0，2)8.【2018上海卷13】设P 是椭圆 ²5x + ²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）A.2B.2C.2D.4二、填空题1.【2018全国一卷15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．2.【2018北京卷10】已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.3.【2018北京卷12】若双曲线2221(0)4x y a a -=>5a =_________.4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．5.【2018江苏卷8】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c ，则其离心率的值是 ． 6.【2018江苏卷12】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ．7.【2018浙江卷17】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．8.【2018上海卷2】2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为 .9.【2018上海卷12】已知实数x ₁、x ₂、y ₁、y ₂满足：²²1x y +=₁₁，²²1x y +=₂₂，212x x y y +=₁₂₁的最大值为__________三、解答题1.【2018全国一卷20】设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．2.【2018全国二卷20】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．3.【2018全国三卷20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：2||||||FP FA FB =+．4.【2018北京卷20】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为3，焦距为.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)44Q -共线，求k .5.【2018天津卷19】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为3，||AB = （I ）求椭圆的方程；（II ）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．6.【2018江苏卷18】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为26，求直线l 的方程．7.【2018浙江卷21】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围． PMBAOyx8.【2018上海卷20】（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设常数t >2，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （2，0），直线l ：x=t ，曲线τ：²8y x =00x t y （≦≦，≧），l 与x 轴交于点A ，与τ交于点B ，P 、Q 分别是曲线τ与线段AB 上的动点.（1）用t 为表示点B 到点F 的距离；（2）设t =3，2FQ =∣∣，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积； （3）设t =8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在τ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由.参考答案 一、选择题1.C2.A3.D4.A5.D6.C7.B8.C二、填空题1. 222.)0,1(3.44.0222=-+x y x 5.2 6.3 7.58.x y 21±= 9.32+三、解答题1.解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--．（2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ． 当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0．由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4．直线BM ，BN 的斜率之和为1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222yx k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k++-++++===．所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM +∠ABN ． 综上，∠ABM =∠ABN ．2.解：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=．216160k ∆=+=，故212224k x x k++=． 所以212244(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=．由题设知22448k k +=，解得k =–1（舍去），k =1．因此l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．3.解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=．两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y yk +++⋅=．由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-． 由题设得302m <<，故12k <-．（2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，．由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<． 又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，23=．于是11||(22xFA x ==-．同理2||=22x FB -． 所以1214()32FA FB x x +=-+=． 故2||=||+||FP FA FB ．4.解：（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =又c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||2AB x x =-==，易得当20m =时，max ||AB =，故||AB． （Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②， 又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+，学科*网 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+，所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-，4471(,)44QD x y =+-，因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =．5. 解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由||AB ==,从而3,2a b ==．所以，椭圆的方程为22194x y +=． （II ）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =． 易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y，可得1x = 由215x x =5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-．当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意．所以，k 的值为12-．6.解：（1）因为椭圆C 的焦点为12() 3,0,(3,0)F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1(3,)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*） 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以002,1x y ==． 因此，点P 的坐标为(2,1)． ②因为三角形OAB 的面积为26， 所以21 26AB OP ⋅=，从而42AB =．设1122,,()(),A x y B x y ， 由（*）得001,2x ，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+． 因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为． 综上，直线l的方程为y =+．7.解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -=因此，PAB △的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△． 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈．因此，PAB △面积的取值范围是． 8.解：（1）由抛物线的性质可知，抛物线x y 82=的准线为2-=x ，抛物线上的点B 到焦点)0,2(F 的距离等于点B 到准线2-=x 的距离， 由题意知，点B 的横坐标为t ，则2+=t BF 。

2018年全国各地高考数学分类汇编word版含答案10-解析几何一、选择题（共12小题；共60分）1. 设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为A. B. C. D.2. 已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为A. B. C. D.3. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A. B. C. D.4. 在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离．当，变化时，的最大值为A. B. C. D.5. 已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A. B. C. D.6. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A. B. C. D.7. 已知双曲线：，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则A. B. C. D.8. 设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则A. B. C. D.9. 已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为A. B. C. D.10. 设，是双曲线：的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为A. B. C. D.11. 已知双曲线的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点．设，到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为A. B. C. D.12. 已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A. B. C. D.二、填空题（共12小题；共60分）13. 若双曲线的离心率为，则．14. 直线与圆交于，两点，则．15. 在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为．16. 在平面直角坐标系中，经过三点，，的圆的方程为．17. 已知点和抛物线：，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则．18. 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值为．19. 已知直线过点且垂直于轴．若被抛物线截得的线段长为，则抛物线的焦点坐标为．20. 已知圆的圆心为，直线（为参数）与该圆相交于，两点，则的面积为．21. 在极坐标系中，直线与圆相切，则．22. 已知实数，，，满足：，，，则的最大值为．23. 已知点，椭圆上两点，满足，则当时，点横坐标的绝对值最大．24. 已知椭圆，双曲线．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为；双曲线的离心率为．三、解答题（共16小题；共208分）25. 设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．26. 设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．27. 如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点，满足，的中点均在上．（1）设中点为，证明：垂直于轴；（2）若是半椭圆上的动点，求面积的取值范围．28. 在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于，两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．29. 在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．30. 在极坐标系中，直线的方程为，曲线的方程为，求直线被曲线截得的弦长．31. 已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：．32. 设椭圆的右顶点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为，．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，且点，均在第四象限．若的面积是面积的倍，求的值．33. 已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．34. 设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为，点的坐标为，且．（1）求椭圆的方程；（2）设直线：与椭圆在第一象限的交点为，且与直线交于点．若（为原点），求的值．35. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，焦点为，，圆的直径为．（1）求椭圆及圆的方程；（2）设直线与圆相切于第一象限内的点．①若直线与椭圆有且只有一个公共点，求点的坐标；②直线与椭圆交于，两点．若的面积为，求直线的方程．36. 设常数．在平面直角坐标系中，已知点，直线，曲线．与轴交于点、与交于点．，分别是曲线与线段上的动点．（1）用表示点到点的距离；（2）设，，线段的中点在直线上，求的面积；（3）设，是否存在以，为邻边的矩形，使得点在上?若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．37. 设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：．38. 设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）证明：．39. 已知抛物线经过点．过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于．（1）求直线的斜率的取值范围；（2）设为原点，，，求证：为定值．40. 已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，．（1）求椭圆的方程；（2）若，求的最大值；（3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为．若，和点共线，求．答案第一部分1. C2. C3. A4. C5. D6. A7. B8. D9. D10. C11. C12. D第二部分13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24. ，第三部分25. （1）由题意得，的方程为．设，，由得．，故．所以．由题设知，解得（舍去），．因此的方程为．（2）由（）得的中点坐标为，所以的垂直平分线方程为，即．设所求圆的圆心坐标为，则解得或因此所求圆的方程为或．26. （1）由题意得，的方程为，设，，由得，，故，所以，由题设知，解得（舍去），，因此的方程为．（2）由（）得的中点坐标为，所以的垂直平分线方程为，即．设所求圆的圆心坐标为，则解得或因此所求圆的方程为或．27. （1）设，，．因为，的中点在抛物线上，所以，为方程即的两个不同的实数根．所以．因此，垂直于轴．（2）由（Ⅰ）可知所以，．因此，的面积．因为，所以．因此，面积的取值范围是．28. （1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点．当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．综上，的取值范围是．（2）的参数方程为（为参数，）．设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是（为参数，）．29. （1）由，得的直角坐标方程为．（2）由（）知是圆心为，半径为的圆．由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，，故或，经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点，当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点，综上，所求的方程为．30. 因为曲线的极坐标方程为，所以曲线是圆心为，直径为的圆．因为直线的极坐标方程为，则直线过，倾斜角为，所以为直线与圆的一个交点．设另一个交点为，则．连接．因为为直径，从而，所以．因此，直线被曲线截得的弦长为．31. （1）设，，则，，两式相减，并由得．由题设知，，于是．由题设得，故．（2）由题意得．设，则．由（）及题设得，．又点在上，所以，从而，．于是．同理．所以．故．32. （1）设椭圆的焦距为，由已知得，又由，可得，由，从而，，所以椭圆的方程为．（2）设点的坐标为，点的坐标为，由题意，，点的坐标为，由的面积是面积的倍，可得，从而，即．易知直线的方程为，由方程组消去，可得．由方程组消去，可得．由，可得，两边平方，整理得，解得或．当时，，不合题意，舍去；当时，，，符合题意．所以的值为．33. （1）设，，则，．两式相减，并由得．由题设知，，于是由题设得，故．（2）由题意得，设，则．由（）及题设得，，又点在上，所以，从而，．于是．同理．所以．故，即，，成等差数列．设该数列的公差为，则将代入得．所以的方程为，代入的方程，并整理得．故，，代入解得．所以该数列的公差为或．34. （1）设椭圆的焦距为，由已知知，又由，可得．由已知可得，，，由，可得，从而，．所以，椭圆的方程为．（2）设点的坐标为，点的坐标为．由已知有，故．又因为，而，故．由，可得．由方程组消去，可得．易知直线的方程为 –，由方程组消去，可得．由，可得，两边平方，整理得，解得或．所以，的值为或．35. （1）因为椭圆的焦点为，，可设椭圆的方程为．又点在椭圆上，所以解得因此，椭圆的方程为．因为圆的直径为，所以其方程为．（2）①设直线与圆相切于，则，所以直线的方程为，即．由消去，得因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以．因为，所以，．因此，点的坐标为．②因为三角形的面积为，所以，从而．设，，由得，所以因为，所以，即，解得（舍去），则，因此的坐标为．综上，直线的方程为．36. （1）由题意，．（2）由，，可得，所以，设线段的中点为，则，由题意有，设，则，解得，于是，所以．（3）设有在，，使得以，为邻边的矩形，中的点在上，则，得由，可得，代入得结合得，解得，因为，所以，求得，所以．37. （1）由已知得，的方程为．由已知可得，点的坐标为或．所以的方程为或．（2）当与轴重合时，，当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以．当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，，则，，直线，的斜率之和为，由，得．将代入得，所以，，，则．从而，故，的倾斜角互补，所以．综上，．38. （1）当与轴垂直时，的方程为，可得的坐标为或．所以直线的方程为或．（2）当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以．当与轴不垂直时，设的方程为，，，则，．由得，可知，．直线，的斜率之和为将，及，的表达式代入式分子，可得所以，可知，的倾斜角互补，所以．综上，．39. （1）把点代入，得，所以，设，显然，联立，由题意有，即，解得，所以的取值范围是且．（2）设，，由有，所以，同理，设，，由（）有直线的方程为令，得，同理有，所以为定值．40. （1）由解得则椭圆的方程为．（2）时，设方程为，联立消得，设，，则由得，当时，最大值为（3）直线的斜率，直线的方程，联立消得，又代入上式得，设，由得，，则，同理，又，，，由，，三点共线，知与共线，于是，整理得，则．。

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2017年高考试题分类汇编之解析几何(理）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（2017课标I 理)已知F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过F 作两条互相垂直的直线21,l l ,直线1l 与C 交于B A ,两点,直线2l 与C 交于E D ,两点，则DE AB +的最小值为（ ) 16.A14.B 12.C 10.D2。

(2017课标II 理)若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为( ）2.A3.B 2.C 332.D3。

（2017浙江）椭圆22194x y +=的离心率是( ).A .B .C 23.D 594.（2017课标III 理）已知椭圆:C 22221x y a b+=)0(>>b a ，的左、右顶点分别为21,A A 且以线段21A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为( ).A .B .C 3.D 135.（2017天津理）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F .若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为（ ).A 22144x y -= .B 22188x y -= .C 22148x y -= .D 22184x y -=6。

2018年高考试题分类汇编（解析几何）考点1 直线与圆的方程1.（2018·全国卷Ⅰ·文科·15题）直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A ,B 两点，则AB = .2.（2018·全国卷Ⅲ·理科·6题·文科·8题）直线20x y ++=分别与x 轴y 轴 交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．[2,6]B ．[4,8]C ．D ．3.（2018·北京卷·理科·7题）在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到 直线20x my --=的距离，当θ,m 变化时，d 的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.44．（2018·江苏卷·12题）在平面直角坐标系xoy 中，A 为直线l ：2y x =上在第 一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0A B C D ⋅=，则点A 的横坐标为 ． 考点2 双曲线的方程与性质1．（2018·浙江卷·2题）双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(，B ．(2,0)-，(2,0)C ．(0,，D ．(0,2)-，(0,2)2.（2018·北京卷·文科·12题）若双曲线22214x y a -=（0a >则a =______.3.（2018·全国卷Ⅱ·理科·5题文科·6题）双曲线22221x y a b-=（0a >,0b >）的A ．y =B ．y =C ．2y x =±D ．2y x =±4.（2018·全国卷Ⅲ·理科·10题）双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的离(4,0)到C 的渐近线的距离为AB ．2C ．2D ．5.（2018·全国卷Ⅰ·理科·11题）已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N .若OMN ∆为直角 三角形，则MN =A.32B. 3C.D. 4 6.（2018·全国卷Ⅲ·理科·11题）设12,F F 为双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >) 的左、右焦点，O 为坐标原点,过2F 作一条渐近线的垂线，垂足为P ,若1PF =，则C 的离心率AB ．2CD 7.（2018·北京卷·理科·14题）已知椭圆M :22221x y a b +=（0a b >>），双曲线N ：22221x y m n-=．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率 为_______．8.（2018·天津卷·理科·7题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为A. 221412x y -=B. 221124x y -= C. 22139x y -= D. 22193x y -=9．（2018·江苏卷·8题）在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为2，则其离心率的值是 ． 考点3 抛物线1.（2018·全国卷Ⅰ·理科·8题）设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点，则FM FN ⋅=A.5B.6C.7D. 82.（2018·全国卷Ⅲ·理科·16题）已知点(1,1)M -和抛物线C ：24y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若90AMB ∠=，则k = .3.（2018·北京卷·文科·10题）已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛 物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_____.4.（2018·全国卷Ⅰ·文科·20题）设抛物线C ：22y x =，点(2,0)A ，(2,0)B -. 过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点. （Ⅰ）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （Ⅱ）证明：ABM ABN ∠=∠.5.（2018·全国卷Ⅱ·理科·19题·文科·20题）设抛物线C ：24y x =的焦 点为F ，过F 且斜率为k （0k >）的直线l 与C 交于,A B 两点，8AB =. （Ⅰ）求点l 的方程；（Ⅱ）求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程.6.（2018·北京卷·理科·19题）已知抛物线C ：22y px =经过点(1,2)P ．过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．考点4 椭圆1.（2018·全国卷Ⅰ·文科·4题）已知椭圆椭圆C :22214x y a +=的一个焦点为 (2,0),则C 的离心率为A.13B. 12C. 2D. 32.（2018·全国卷Ⅱ·文科·11题）已知12,F F 是椭圆C 的两个焦点，点P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，2160PF F ∠=则C 的离心率为A ．1．21 3.（2018·全国卷Ⅱ·理科·12题）已知12,F F 是椭圆C :12222=+by a x （0a b >>）的左右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 12PF F ∆为等腰三角形，12120F F P ∠=，则C 的离心率为A ．23B ．12C ．13D ．144.（2018·浙江卷·17题）已知点(0,1)P ，椭圆22(1)4x y m m +=>上两点,A B 满足2AP PB =，则当m = 时，点B 横坐标的绝对值最大．5.（2018·全国卷Ⅰ·理科·19题）设椭圆C ：2212x y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 坐标为(2,0). （Ⅰ）当直线l 与x 垂直时，求直线AM 的方程； （Ⅱ）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.6.（2018·全国卷Ⅲ·理科·20题）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C :22143x y +=交 于,A B 两点，线段AB 的中点为(1,)M m （0m >）.（Ⅰ）证明：12k <-；（Ⅱ）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=，证明：FA ,FP ,FB 成等差数列，并求该数列的公差.7.（2018·全国卷Ⅲ·文科·20题）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C :22143x y +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为(1,)M m （0m >）. （Ⅰ）证明：12k <-；（Ⅱ）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=，证明： 2FP =FAFB +.8.（2018·北京卷·文科·20题）已知椭圆M :22221x y a b+=（0a b >>）的离心率斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点,A B . （Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）若1k =，求AB 的最大值；（Ⅲ）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ，D 和点71(,)42Q -共线，求k .9.（2018·天津卷·理科·19题）设椭圆22221x x a b+=(0a b >>)的左焦点为F ，上顶点为B . A 的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅=（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l ：y kx =（0k >）与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q . 若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求k 的值.10.（2018·天津卷·文科·19题）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为3，||AB （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若BPM ∆的面积是BPQ ∆面积的2倍，求k 的值.11．（2018·天津卷·21题）如图，已知点P 是y(不含y 轴)一点，抛物线C ：24y x =上存在不同的 两点,A B 满足PA ，PB 的中点均在C 上． （Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆2214y x += (0x <)上的动点，求PAB ∆面积的取值范围． 12．（2018·江苏卷·18题）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 过点1)2，焦点1(F ,2F ，圆O 的直径为12F F ． （Ⅰ）求椭圆C 及圆O 的方程；（Ⅱ）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ． ①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB ∆的面积为7，求直线l 的方程．。