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解答题专项训练三1.[2017·常德模拟]已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)由已知条件可得S nn＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ∴S n ＝2n 2－n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，而4×1－3＝1，∴a n ＝4n －3.(2)由(1)可得b n ＝(－1)n a n ＝(－1)n(4n －3)，当n 为偶数时，T n ＝－1＋5－9＋13－17＋…＋(4n －3)＝4×n2＝2n ，当n 为奇数时，n＋1为偶数，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝2(n ＋1)－(4n ＋1)＝－2n ＋1.综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n n ＝2k ，k ∈N *，－2n ＋n ＝2k －1，k ∈N *2．[2017·太原模拟]已知等差数列{a n }的公差不为零，其前n 项和为S n ，a 22＝S 3，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)记T n ＝a 1＋a 5＋a 9＋…＋a 4n －3，求T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由a 22＝S 3，得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列，得S 22＝S 1S 4. 又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d . 故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，解得d ＝0，不符合题意．若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝2或d ＝0(不符合题意，舍去)． 因此数列{a n }的通项公式为a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －1. (2)由(1)知a 4n －3＝8n －7，故数列{a 4n －3}是首项为1，公差为8的等差数列． 从而T n ＝n 2(a 1＋a 4n －3)＝n2(8n －6)＝4n 2－3n .3．[2017·海口调研]设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意n ∈N *，都有2S n＝(n ＋1)a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫4a na n ＋的前n 项和为T n ，求证：12≤T n <1.解 (1)因为2S n ＝(n ＋1)a n ，当n ≥2时，2S n －1＝na n －1，两式相减，得2a n ＝(n ＋1)a n －na n －1， 即(n －1)a n ＝na n －1，所以当n ≥2时，a n n ＝a n －1n －1，a n n ＝a 11.因为a 1＝2，所以a n ＝2n .(2)证明：因为a n ＝2n ，令b n ＝4a na n ＋，n ∈N *，所以b n ＝42n n ＋＝1nn ＋＝1n －1n ＋1. 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1.因为1n ＋1>0，所以1－1n ＋1<1. 因为f (n )＝1n ＋1在N *上是递减函数， 所以1－1n ＋1在N *上是递增的， 当n ＝1时，T n 取最小值12，所以12≤T n <1.4．[2017·乌鲁木齐模拟]设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有S n ＝2a n＋n －3成立．(1)求证：数列{a n －1}为等比数列； (2)求数列{na n }的前n 项和T n .解 (1)证明：当n ＝1时，S 1＝2a 1＋1－3，得a 1＝2， 由S n ＝2a n ＋n －3，得S n ＋1＝2a n ＋1＋n ＋1－3， 两式相减得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n ＋1， 即a n ＋1＝2a n －1，a n ＋1－1a n －1＝2a n －2a n －1＝2，而a 1－1＝1， ∴数列{a n －1}是首项为1，公比为2的等比数列． (2)由(1)得a n －1＝1·2n －1＝2n －1，即a n ＝2n －1＋1，na n ＝n (2n －1＋1)＝n ·2n －1＋n ，∴T n ＝(1×20＋1)＋(2×21＋2)＋(3×22＋3)＋…＋(n ·2n －1＋n )＝(1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ·2n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )＝(1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ·2n －1)＋n n ＋2.令V n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ·2n －1，则2V n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n， 两式相减得－V n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝－2n1－2－n ·2n ＝2n －1－n ·2n，∴V n ＝n ·2n－2n＋1＝(n －1)2n＋1，∴T n ＝(n －1)2n＋n n ＋2＋1.5．[2017·辽宁模拟]设函数f (x )＝x2＋sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }．(1)求数列{x n }的通项公式；(2)令b n ＝x n 2π，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ·b n ＋1的前n 项和为S n ，求证S n <32. 解 (1)f (x )＝x 2＋sin x ，令f ′(x )＝12＋cos x ＝0，得x ＝2k π±2π3(k ∈Z )．由f ′(x )>0⇒2k π－2π3<x <2k π＋2π3(k ∈Z )，由f ′(x )<0⇒2k π＋2π3<x <2k π＋4π3(k ∈Z )，当x ＝2k π－2π3(k ∈Z )时，f (x )取得极小值，∴x n ＝2n π－2π3(n ∈N *)．(2)证明：∵b n ＝x n 2π＝n －13＝3n －13，∴1b n ·b n ＋1＝33n －1·33n ＋2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2， ∴S n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12－15＋15－18＋…＋13n －1－13n ＋2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13n ＋2＝32－33n ＋2， ∴S n <32.6．[2017·甘肃诊断]某乡镇引进一高科技企业，投入资金720万元建设基本设施，第一年各种运营费用120万元，以后每年增加40万元．每年企业销售收入500万元，设f (n )表示前n 年的纯收入(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)．(1)从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后，该企业为开发新产品，有两种处理方案： ①年平均利润最大时，以480万元出售该企业；②纯利润最大时，以160万元出售该企业．问哪种方案最合算？解 由题意知每年的运营费用(万元)是以120为首项，40为公差的等差数列． 则f (n )＝500n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤120n ＋n n －2×40－720＝－20n 2＋400n －720.(1)获取纯利润就是f (n )>0，故有－20n 2＋400n －720>0，解得2<n <18. 又n ∈N *，可知从第三年开始获取纯利润．(2)①年平均利润f n n ＝400－20⎝⎛⎭⎪⎫n ＋36n ≤160，当且仅当n ＝6时取等号．故此方案获利6×160＋480＝1440(万元)，此时n ＝6. ②f (n )＝－20n 2＋400n －720＝－20(n －10)2＋1280， 当n ＝10时，f (n )max ＝1280.故此方案共获利1280＋160＝1440(万元)．比较两种方案，在同等数额获利的基础上，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故选择第①种方案．7．[2017·合肥模拟]已知递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＝64，且a 4，a 5的等差中项为3a 3.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝na 2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 5＝64，a 1q 3＋a 1q 4＝6a 1q 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2或q ＝－舍，所以a n ＝2n. (2)因为b n ＝na 2n －1＝n22n －1，所以T n ＝12＋223＋325＋427＋…＋n22n －1，14T n ＝123＋225＋327＋…＋n －122n －1＋n22n ＋1， 所以34T n ＝12＋123＋125＋127＋…＋122n －1－n 22n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14－n 22n ＋1＝23－4＋3n 3×22n ＋1，故T n ＝89－16＋12n 9×22n ＋1＝89－4＋3n 9×22n －1.8．[2017·昆明检测]已知数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝n ＋1na n ＋2n ＋2. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)证明：1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n<1.证明 (1)由a n ＋1＝n ＋1n a n ＋2n ＋2，得a n ＋1n ＋1＝a nn＋2， 即a n ＋1n ＋1－a nn＝2， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为3，公差为2的等差数列．(2)由(1)知，a n n＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1， ∴a n ＝n (2n ＋1)， ∴1a n ＝1nn ＋<1nn ＋＝1n －1n ＋1， ∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n <⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝11－1n ＋1<1， ∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n<1.。
真题演练集训
．[·山东卷]某高校调查了名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]，样本数据分组为[)，[)，[)，[)，[]．根据直方图，这名学生中每周的自习时间不少
于小时的人数是( )
．．．．
答案：
解析：由频率分布直方图可知，这名学生每周的自习时间不少于
小时的频率为(＋＋)×＝，故这名学生中每周的自习时间不少于小时
的人数为×＝.故选.．[·湖北卷]我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收
粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，则这批米内
夹谷约为( )
．石．石
．石．石
答案：
解析：粒和石中夹谷的百分比含量是大致相同的，可据此估计．
设石米内夹谷石，则由题意知)＝，解得≈.故这批米内夹谷约为
石．．[·天津卷]某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年
级的本科生人数之比为∶∶∶，则应从一年级本科生中抽取名学生
．
答案：解析：设应从一年级本科生中抽取名学生，则＝，解得＝.．[·湖南卷]在一次马拉松比赛中，名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如
图所示．
若将运动员按成绩由好到差编为～号，再用系统抽样方法从中
抽取人，则其中成绩在区间[]上的运动员人数是．
答案：
解析：对数据进行分组，在区间[]上，有几组就有几个运动员．
÷＝，因此可将编号为～的个数据分成组，每组有个数据，在区间[]上共有个数据，分在个小组中，每组取一人，共取人．。
考点 坐标系与参数方程1.【2016高考新课标1文数】（本小题满分10分）：坐标系与参数方程 在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ． 1.【答案】（I ）圆,222sin 10a ρρθ-+-=（II ）1 【解析】试题分析：⑴先把cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩化为直角坐标方程,再化为极坐标方程； ⑵2C ：()2224x y -+=,3C ：2y x =,1C ,2C 方程相减得24210x y a -+-=,这就是为3C 的方程,对照可得1a =. 试题解析：⑴ cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 均为参数）,∴()2221x y a +-= ①∴1C 为以()01，为圆心,a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==，,∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程 ⑵ 24cos C ρθ=：,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，224x y x ∴+=,即()2224x y -+= ②3C ：化为普通方程为2y x =,由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ①—②得：24210x y a -+-=,即为3C ∴210a -=,∴1a =2.【2016高考新课标2文数】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||AB =，求l 的斜率．2.【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）. 【解析】试题分析：（I ）利用222x y ρ=+，cos x ρθ=可得C 的极坐标方程；（II ）先求直线l 的极坐标方程，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得到关于ρ的一元二次方程212cos 110.ρρα++=，再根据韦达定理，弦长公式求出cos α，进而求得tan α，即可求得直线l 的斜率．试题解析：（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++= （II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈ 由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=12||||AB ρρ=-==由||AB =得23cos,tan 83αα==±，所以l 的斜率为3或3-.3.[2016高考新课标Ⅲ文数] 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.3.【答案】（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（Ⅱ）31(,)22． 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线1C 的参数方程普通方程，利用公式cos x ρθ=与sin y ρθ=代入曲线2C 的极坐标方程即可；（Ⅱ）利用参数方程表示出点P 的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立||()PQ d α=的三角函数表达式，然后求出最值与相应的点P 坐标即可．试题解析：（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=. ……5分（Ⅱ）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C的距离()d α的最小值，()sin()2|3d παα==+-.当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22. 4.[2014·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝θsin 与ρ cos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________．4.(1，2) [解析] 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化以及曲线交点坐标的求解．曲线C 1的直角坐标方程是2x 2＝y ，曲线C 2的直角坐标是x ＝1.联立方程C 1与C 2得⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝y ，x ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，x ＝1，所以交点的直角坐标是(1，2)． 5.[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)的普通方程为________．5..x －y －1＝0 [解析] 依题意，消去参数可得x －2＝y －1，即x －y －1＝0.6.[2014·辽宁卷] 将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．6.解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，经变换为C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x －4y ＝－3，化为极坐标方程，得 2 ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.7．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．7．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t ，(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.8．[2014·全国新课标卷Ⅰ]已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．8．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到直线l 的距离d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|PA |＝d sin 30°＝2 55|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.9． [2014·陕西卷] C.(坐标系与参数方程)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________．9．1 [解析]易知点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6的直角坐标为(3，1)，直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的直角坐标方程为x －3y ＋2＝0.由点到直线距离公式，得d ＝|3－3＋2|12＋（－3）2＝1.10.（15年广东文科）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ． 10.【答案】()2,4-【解析】 试题分析：曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28y x =，由228x y y x+=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-．11.（15年新课标2文科）在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ== （I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值. 11.【答案】（I ）()30,0,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（II ）4. 【解析】试题分析：（I ）把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为2220x y y +-=,220x y +-=,联立解12.（15年陕西文科）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为132(x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=.(I)写出C 的直角坐标方程；(II)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标. 12.【答案】(I) (223x y +-=； (II) (3,0).试题分析：(I)由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22x y +=，所以(223x y +-=(II)设132P t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又(0,C，则PC ==0t =时，PC 取得最小值，此时P 点的坐标为(3,0).试题解析：(I)由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22x y +=所以(223x y +-=(II)设13,22P t ⎛⎫+⎪⎝⎭，又C ，则PC ==故当0t =时，PC 取得最小值， 此时P 点的坐标为(3,0).。
专题1.2 求同存异解决集合的交、并、补运算问题考纲要求:1、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.3、能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算.基础知识回顾:1、集合的基本运算2、集合的运算性质①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B；②A∩A＝A，A∩∅＝∅；③A∪A＝A，A∪∅＝A；④A∩∁U A＝∅，A∪∁U A＝U，∁U(∁U A)＝A，∁U（A∪B）=∁U A∩∁U B,∁U（A∩B）=∁U A∪∁U B应用举例:类型一：已知集合中的元素，求其交集、并集或补集例1.【四川省成都市第七中学2018届高三下学期三诊】已知集合，，则为（）A. B. C. D.【答案】C2例2.【延安市2018届高三高考模拟】全集{}2,1,0,1,2U =--， {}2,2A =-， 2{|10}B x x =-=，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. {}1,0,1-B. {}1,0-C. {}1,1-D. {}0 【答案】D【解析】试题分析：根据韦恩图得到表示的是()U C A B ⋃，根据题意求得集合B ，再求集合A 并B ，再求补集即可.详解： {}{}2|1011B x x =-==-，，阴影部分表示的集合为()U C A B ⋃， {}2,1,1,2A B ⋃=--，(){}0U C A B ⋃=故答案为：D.点睛：这个题目考查了韦恩图的应用，一般先读懂韦恩图所代表的集合的含义，再将区域用集合的交并补形式表示出来，最终求解即可.例3．【郑州外国语学校2018届高三第十五次调研】已知全集，集合，，则中元素的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】D【解析】分析：先解分式不等式得集合U ，解绝对值不等式得集合A ，解二次不等式得集合B ，最后根据并集以及补集定义得结果.3详解：因为，所以, 因为，所以,因为，所以,因此，元素的个数是3,选D,点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 类型二：已知集合交集、并集或补集中的元素，求其集合中的元素 例4．【山东省威海市2018届高三下学期第二次模拟考试】设全集，，，则集合（ ） A.B.C.D.【答案】B【例5】【2017浙江省温州市高三月考试题】设全集{}()1,2,3,4,5,U U C A B =={}(){}1,A 3U C B =，则集合B =（ ）A ．{}1,2,4,5B ．{}2,4,5C ．{}2,3,4D ．{}3,4,5【答案】B【解析】如图，{2,4,5}B =．故选B ．413U ：1，2，3，4，5BA类型三：已知集合关系求参数的值或范围例6．【北京市中国人民大学附属中学2018届高三5月考前热身】已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B.C.D.【答案】B例7．【内蒙古呼和浩特市2018届高三年级质量普查调研考试】已知集合，集合，集合，若A B C ⋃⊆，则实数m 的取值范围是______________.【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由题意， {|12}A B x x ⋃=-＜＜ ， ∵集合{|10}C x mx A B C =+⋃⊆＞， ， ①111102022m x m m m m -∴-≥∴≥-∴-≤＜，＜，，，＜；②m 0= 时，成立；③1101101m x m m m m -∴-≤-∴≤∴≤＞，＞，，，＜，综上所述， 112m -≤≤，故答案为112m -≤≤．5例8．【河北省衡水中学2018届高三上学期一轮复习周测】已知函数()41log ,,416f x x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的值域是集合A ，关于x 的不等式()3122x ax a R +⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭的解集为B ，集合5|01x C x x -⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}()|1210D x m x m m =+≤<->.（1）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围； （2）若D C ⊆，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(),4-∞-；（2）(]0,3.解：（1）因为41>，所以()f x 在区间1416⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()()44min max 1log 2,log 4116f x f x ==-==，所以[]2,1A =-.由()3122x ax a R +⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭，可得()322x a x -+>，即3x a x -->，所以4a x <-，所以,4a B ⎛⎫=-∞- ⎪⎝⎭.又因为A B B ⋃=，所以A B ⊆． 所以14a->，解得4a <-， 所以实数a 的取值范围为(),4-∞-．6方法、规律归纳:1、一个性质：要注意应用A ⊆B 、A ∩B ＝A 、A ∪B ＝B 、∁U A ⊇∁U B 、A ∩(∁U B )＝∅这五个关系式的等价性． 两种方法2、两种方法：韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心． 实战演练:1．【河北省武邑中学2018届高三上学期第五次调研】已知集合{21,M xN y y x ⎧⎫=<==⎨⎬⎩⎭，则()R C M N ⋂=A. (]0,2B. []0,2C. ∅D. []1,2 【答案】B7【解析】因为(){[)212,,0,M xN y y x ∞⎧⎫=<+===+∞⎨⎬⎩⎭＝，则(]R ,2C M =-∞， ()[]0,2R C M N ⋂=.故选B.2．【安徽省江南十校2018届高三冲刺联考（二模）】已知全集为，集合，，则（ ） A.B.C.D.【答案】C3．【湖南省岳阳市第一中学2018届高三第一次模拟考试】已知集合，，则（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：集合为函数的值域，集合为函数的定义域，分别求出它们后可求出交集及其补集. 详解：，，故，所以，故选C.点睛：本题为集合和函数性质的综合题，一般地，表示函数的值域，表示函数的定义域，解题中注意集合中代表元的含义.4．【河南省郑州外国语学校2018届高三第十五次调研考试】设集合，，则的真子集的个数为（ ）8A. 3B. 4C. 7D. 8 【答案】C5．【江西省抚州市临川区第一中学2018届高三上学期期中考试】设集合1|,36k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭， 2|,63k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ）A. M N =B. M N ⊂≠C. NM ⊂≠D. M N ⋂=∅【答案】B 【解析】 因为()()112121,2,366636k k x k x k k Z =+=+=+=+∈，所以M N ⊂≠，故选B.6．【浙江省教育绿色评价联盟2018届高三5月适应性考试】已知集合，，若，则A. B. C. D.【答案】B 【解析】分析：由可得是方程的两根，再根据韦达定理列方程求解即可.详解：，由，可得是方程得两根，9由韦达定理可得，即，故选B.点睛：集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提； （2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决； （3）注意划归思想的应用，常常转化为方程问题以及不等式问题求解． 7．【河南省八市学评2018届高三下学期第一次测评】集合,,若只有一个元素，则实数的值为（ ）A. 1B. -1C. 2D. -2 【答案】B 【解析】因为只有一个元素，而， 所以或 ，选B.8．【天津市河东区2018届高三高考二模】集合，，，则的取值范围是_______． 【答案】9．【河北省邯郸市2018届高三第一次模拟考试】已知集合1{|}2M x x =≥-， 32{|310}A x M x x a =∈-+-=，{|20}B x M x a =∈--=，若集合A B ⋃的子集的个数为8，则a 的取值范围为__________．【答案】51,11,28⎡⎫⎛⎫--⋃-⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【解析】作函数()()321131,,2,22h x x x x g x x x ⎛⎫⎛⎫=-+≥-=-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图像，因为集合A B ⋃的子集的个数为108，所以集合A B ⋃的子集的元素为3，因此()5111112228g a h a f ⎛⎫⎛⎫-=-≤<-=≠=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且，即a 的取值范围为51,11,28⎡⎫⎛⎫--⋃-⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．10．【福建省2016届高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷】函数()()2lg f x x ax b =++的定义域为集合A ,函数()g x =B ,若(∁R A )∩B =B , (∁R A )∪B ={x |－2≤x ≤3}.求实数,a b 的值及实数k 的取值范围.【答案】1,6a b =-=-, 24,3k ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.11。
第5讲 指数与指数函数, )1．根式 (1)根式的概念①若x n＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n ＞1时，xn 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，n ＞1)．②n a n＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mna >0，m ，n ∈N *，且n >1)； ②负分数指数幂：a －mn ＝1a mn＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质1．辨明三个易误点(1)指数幂的运算容易出现的问题是误用指数幂的运算法则，或在运算变换中方法不当，不注意运算的先后顺序等．(2)指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象和性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.(3)在解形如a 2x＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x＋c ≥0(≤0)的指数方程或不等式时，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．2．指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a .1.教材习题改编 化简12－(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9B2.教材习题改编 设x ＋x －1＝3，则x 2＋x －2的值为( ) A ．9 B ．7 C ．5D ．3B 因为x ＋x －1＝3.所以(x ＋x －1)2＝9，即x 2＋x －2＋2＝9， 所以x 2＋x －2＝7. 3．函数f (x )＝ax －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( )A ．y ＝1－xB ．y ＝|x －2|C ．y ＝2x－1 D ．y ＝log 2(2x )A 由f (x )＝ax －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(1，1)，又0＝1－1，知(1，1)不在y ＝1－x 的图象上．4.教材习题改编 若a >1且a3x ＋1>a－2x，则x 的取值范围为________．因为a >1，所以y ＝a x为增函数， 又a3x ＋1>a－2x，所以3x ＋1>－2x ，即x >－15.⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，＋∞ 5．若指数函数y ＝(a 2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2， 得－2<a <－1或1<a < 2. (－2，－1)∪(1，2)指数幂的运算化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a －12b －1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312. 【解】 (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝－52a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312 ＝－54a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13b －32＝－54a －12·b －32＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．化简下列各式：(1)(0.027)23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27125－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12.(1)原式＝0.32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252713－ 259＝9100＋53－53＝9100. (2)原式＝2（4ab －1）3210a 32b －32＝16a 32b－3210a 32b －32＝85.指数函数的图象及应用(1)函数f (x )＝ax －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0(2)若方程|3x－1|＝k 有一解，则k 的取值范围为________． 【解析】 (1)由f (x )＝a x －b的图象可以观察出函数f (x )＝ax －b在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝ax －b的图象是在f (x )＝a x的基础上向左平移得到的，所以b <0.(2)函数y ＝|3x－1|的图象是由函数y ＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象有唯一的交点， 所以方程有一解．【答案】 (1)D (2){0}∪上单调递减，则k 的取值范围如何？由本例(2)作出的函数y ＝|3x－1|的图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k ∈(－∞，0]．指数函数的图象及应用(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．(2)一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )A 将函数解析式与图象对比分析，因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．2．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是________．方程|a x－1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根转化为函数y ＝|a x－1|与y ＝2a 有两个交点．(1)当0＜a ＜1时，如图①，所以0＜2a ＜1，即 0＜a ＜12；(2)当a ＞1时，如图②，而y ＝2a ＞1不符合要求．所以0＜a ＜12.⎝⎛⎭⎪⎫0，12指数函数的性质及应用(高频考点)指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现．高考对指数函数的性质的考查主要有以下四个命题角度： (1)比较指数幂的大小； (2)解简单的指数方程或不等式； (3)研究指数型函数的性质；(4)求解指数型函数中参数的取值范围．(1)(2016·高考全国卷丙)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b(2)(2017·福州模拟)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x，x ≥0，2a －x ，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．(3)若偶函数f (x )满足f (x )＝2x－4(x ≥0)，则不等式f (x －2)＞0的解集为________． 【解析】 (1)因为a ＝243＝1613，b ＝425＝1615，c ＝2513，且幂函数y ＝x 13在R 上单调递增，指数函数y ＝16x在R 上单调递增，所以b ＜a ＜c .(2)当a ＜1时，41－a＝21，所以a ＝12；当a ＞1时，代入不成立． (3)f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝f (－x )＝2－x－4.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－4，x ≥0，2－x －4，x ＜0，当f (x －2)＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，2x －2－4＞0 或⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜0，2－x ＋2－4＞0， 解得x ＞4或x ＜0.所以不等式的解集为{x |x ＞4或x ＜0}． 【答案】 (1)A (2)12(3){x |x ＞4或x ＜0}有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题，常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)求解简单的指数不等式问题，应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．角度一 比较指数幂的大小1．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜aC 因为指数函数y ＝0.6x在(－∞，＋∞)上为减函数， 所以0.60.6＞0.61.5，即a ＞b ，又0＜0.60.6＜1，1.50.6＞1，所以a ＜c ，故选C.角度二 解简单的指数方程或不等式 2．(2015·高考江苏卷)不等式2x 2－x<4的解集为________．因为2x 2－x<4，所以2x 2－x<22，所以x 2－x <2，即x 2－x －2<0，所以－1<x <2. {x |－1<x <2}(或(－1，2))角度三 研究指数型函数的性质3．(2017·太原模拟)函数y ＝2x －2－x是( ) A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减A 令f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，排除C 、D.又函数y ＝－2－x，y ＝2x 均是R 上的增函数，故y ＝2x －2－x在R 上为增函数．角度四 求解指数型函数中参数的取值范围4．已知函数f (x )＝a x＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是，则a ＋b ＝________．当a ＞1时，函数f (x )＝a x＋b 在上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0＜a＜1时，函数f (x )＝a x＋b 在上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b＝－32.－32, )——利用换元法求解指数型函数的值域问题函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在x ∈上的值域是________． 【解析】 因为x ∈，若令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8.y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.所以函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57(1)此题利用了换元法，把函数f (x )转化为y ＝t 2－t ＋1，其中t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，将问题转化为求二次函数在闭区间上的最值(值域)问题，从而减少了运算量．(2)对于同时含有a x 与a 2x (log a x 与log 2a x )(a >0且a ≠1)的函数、方程、不等式问题，通常令t ＝a x(t ＝log a x )进行换元巧解，但一定要注意新元的范围．已知函数f (x )＝2a ·4x－2x－1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈上的值域； (2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围． (1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x－2x－1＝2(2x )2－2x－1， 令t ＝2x，x ∈，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1. 故y ＝2t 2－t －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－98，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1，故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－98，0. (2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解．记g (m )＝2am 2－m －1， 当a ＝0时，解为m ＝－1<0，不成立． 当a <0时，开口向下，对称轴m ＝14a <0，过点(0，－1)，不成立，当a ＞0时，开口向上， 对称轴m ＝14a ＞0，过点(0，－1)必有一个根为正， 所以a >0.综上所述，a 的取值范围是(0，＋∞)．, )1．化简（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2bD ．1aD 解析] 原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a－13－12－16·b 12＋13－56＝1a. 2．已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为( )A ．B ．C ．D ． 由f (x )过定点(2，1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x －2在上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9，可知C 正确．3．函数y ＝a x－1a(a >0，a ≠1)的图象可能是()D 当a >1时函数单调递增，且函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1a ，因为0<1－1a<1，故A ，B均不正确；当0<a <1时，函数单调递减，且函数图象恒过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1a ，因为1－1a<0，所以选D.4．(2017·德州模拟)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <aD 因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x为减函数，所以b <c ，又因为y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，所以a >c ， 所以b <c <a ，故选D.5．设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3，1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C 当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a <1， 所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3，1)． 6．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．B 由f (1)＝19得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在上递增，在，则实数a ＝________． 当a >1时，f (x )＝a x－1在上为增函数，则a 2－1＝2，所以a ＝±3，又因为a >1，所以a ＝ 3. 当0<a <1时，f (x )＝a x－1在上为减函数， 又因为f (0)＝0≠2，所以0<a <1不成立． 综上可知，a ＝ 3.38．已知函数f (x )＝e x－e －xe x ＋e －x ，若f (a )＝－12，则f (－a )＝________．因为f (x )＝e x －e －xe x ＋e －x ，f (a )＝－12，所以e a －e －ae a ＋e －a ＝－12.所以f (－a )＝e －a －e a e －a ＋e a ＝－e a －e －ae a ＋e －a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12.129．(2017·济宁月考)已知函数f (x )＝(a －2)a x(a >0，且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则a 的取值范围是________．当0<a <1时，a －2<0，y ＝a x单调递减，所以f (x )单调递增；当1<a <2时，a －2<0，y ＝a x单调递增，所以f (x )单调递减；当a ＝2时，f (x )＝0；当a >2时，a －2>0，y ＝a x单调递增，所以f (x )单调递增．又由题意知f (x )单调递增，故a 的取值范围是(0，1)∪(2，＋∞)．(0，1)∪(2，＋∞)10．(2017·安徽江淮十校第一次联考)已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．由于f (x )＝max{e |x |，e|x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e 2－x ，x <1. 当x ≥1时，f (x )≥e ，且当x ＝1时，取得最小值e ； 当x <1时，f (x )>e. 故f (x )的最小值为f (1)＝e. e11．已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1，6)，B (3，24)．若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．把A (1，6)，B (3，24)代入f (x )＝b ·a x，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab ，24＝b ·a 3， 结合a >0，且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.所以f (x )＝3·2x.要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥m 在x ∈(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上为减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x有最小值56. 所以只需m ≤56即可．即m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56.12．已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，下列五个关系式： ①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个B 函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象如图所示．由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b得，a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a ＝b ＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立． 13．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g （x ），由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1. 14．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x－12|x |，(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈恒成立，求实数m 的取值范围． (1)当x <0时，f (x )＝0，无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x－2＝0，将上式看成关于2x的一元二次方程， 解得2x ＝2或2x ＝－12，因为2x>0，所以x ＝1.(2)当t ∈时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t－1)≥－(24t－1)，因为22t－1＞0， 所以m ≥－(22t＋1)， 因为t ∈，所以－(22t＋1)∈， 故实数m 的取值范围是[－5，＋∞)．。
专题.1 函数及其表示真题回放1. 【2017高考天津理第1题】设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域B ，则A B =（ ）（A ）()1,2 （B ）(]1,2 （C ）()2,1- （D ）[)2,1- 【答案】D【解析】：由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故AB ={}|21x x -≤≤，选D【考点解读】1.集合的运算 2.函数定义域 3.简单不等式的解法，集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再运算，常常借助数轴或韦恩图来处理2. 【2015高考湖北文第6题】函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为（ ）（A ）()2,3 （B ）(]2,4 （C ）()(]2,33,4 （D ）()(]1,33,6-【答案】C【考点解读】本题考察函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容 3. 【2015高考福建理第14题】若函数64,2()(01)3log ,2a x x f x a a x x -+≥≥⎧=>≠⎨+<⎩且的值域是[)4+∞，，则实数的取值范围是______ 【答案】(]12，【解析】：当2x ≤，故64x -+≥，要使得函数()f x 的值域为[)4+∞，，只需()1()3l o g2a f x x x =+>的值域包含于[)4+∞，，故1a >，所以1()3log 2a f x >+，所以3log 24a +≥，解得12a <≤，所以实数的取值范围是(]12，【考点解读】本题考查分段函数的值域问题，分段函数是一个函数，其值域是各段函数值取值范围的并集，将分段函数的值域问题转化为集合之间的包含关系，是本题的两点，要注意分类讨论思想的运用 考点分析1.函数及其表示了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域 了解映射的概念在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数 2.了解简单的分段函数并能简单的应用3.函数的概念、解析式、图像、分段函数的应用为高考主要考点，重点考查数形结合、分类讨论思想及逻辑推理能力，2018年复习时应予以高度关注. 融会贯通题型一 映射与函数的概念【例1】给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②()f x =③函数2(N)y x x ∈＝的图象是一条直线；④2()x f x x=与()g x x ＝是同一个函数．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】A知识链接1.符号:f A B →表示集合A 到集合B 的一个映射，它有以下特点： (1)对应法则有方向性, :f A B →与:f B A →不同;(2)集合A 中任何一个元素,在f 下在集合B 中都有唯一的元素与对应; (3)象不一定有原象,象集C 与B 间关系是C B ⊆.2.函数是特殊的映射,它特殊在要求集合A 和B 都是非空数集.函数三要素是指定义域、值域、对应法则.同一函数必须满足:定义域相同、对应法则相同.3.要注意()f a 与()f x 的区别与联系，()f a 表示x a =时，函数()f x 的值，它是一个常数，而()f x 是自变量的函数，对于非常数函数，它是一个变量，()f a 是()f x 的一个特殊值.4.区间是某些数集的一种重要表示形式，具有简单直观的优点.应注意理解其含义并准确使用.5.函数的表示方法有三种：解析法、图象法、列表法. 【变式训练】1.下列四组函数中，表示为同一函数的是（ ）A ．(),()f x x g x ==B ．x x f -=2)(与2)(-=x x gC ．21(),()11x f x g x x x -==+- D ．()()f x g x ==【答案】A2.已知函数()23,f x x x A =-∈的值域为{1,1,3}-，则定义域A 为 . 【答案】{1,2,3}【解析】由函数定义，令()f x 分别等于1,1,3-，求对应自变量的值，即得定义域为{1,2,3}. 解题技巧与方法总结1.判断一个对应是否为映射，关键看是否满足“集合A 中元素的任意性，集合B 中元素的唯一性”．2. 判断一个对应f ：A →B 是否为函数，一看是否为映射；二看A ，B 是否为非空数集．若是函数，则A 是定义域，而值域是B 的子集．3. 函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同． 题型二 函数的定义域问题典例1. (2017·南师大考前模拟)函数()f x =的定义域为 ▲ ．【答案】3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】由题意得123log (23)0023122x x x -≥⇒<-≤⇒<≤，即定义域是3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦【变式训练】(2017届河南南阳一中高三文月考)函数()lg(1)f x x =+的定义域为（ ）（A ）(1,0)(0,1]- （B ）(1,1]- （C ）(4,1]-- （D ）(4,0)(0,1]-【答案】A【解析】要使函数有意义，应有⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+≥+--11,01,0432x x x x 解得01<<-x 或10≤<x ，故选A.解题技巧与方法总结已知解析式求函数定义域问题列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等角度出发，而解则与一元二次不等式、指对数不等式、三角不等式等联系在一起 典例2. (2016·福建福州五校联考理)已知函数(2)y f x =-定义域是[]0,4，则(1)1f x y x +=-的定义域是_________ 【答案】[)3,1-【变式训练1】已知函数()f x 的定义域为[]1,2-，求函数2(1)(1)y f x f x =+--的定义域【答案】由题意2112112x x -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，1x ≤ 【解析】求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 、B ，再求A B I ，即为所求函数的定义域【变式训练2】(2016~2017学年广西陆川县中学月考)已知函数12(log )y f x =的定义域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数(2)x y f =的定义域为（ ）A ．[]1,0-B ．[]0,2C ．[]1,2-D ．[]0,1 【答案】D解题技巧与方法总结（1）已知原函数()[](),f x a b f a x b << ()f x 的定义域为(),a b ，求复合函数[]()f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域；（2）已知复合函数[]()f g x 的定义域为(),a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域；（3）求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 、B ，再求A B I ，即为所求函数的定义域典例3.已知函数()f x =R ，则实数的取值范围是（ ）（A ）120a -<≤ （B ）120a -<< （C ）13a > （D ）13a ≤ 【答案】A【解析】函数()f x =R ，只需分母不为即为，所以0a =或24(3)0a a a ≠⎧⎨∆=-⨯-<⎩，可得120a -<≤ 【变式训练】已知函数4()12f x x =-+的定义域是[],a b （,a b 为整数），值域是[]0,1，则所有满足条件的整数数对(),a b 所组成的集合为_____________ 【答案】()()()()(){}2,0,2,1,2,2,1,2,0,2----题型三 函数的值域问题 命题点1 求函数的值域 典例1.函数()=x f 25243x x -+的值域是 . 【答案】 (0，5]【解析】因为2x 2-4x+3=2(x-1)2+1≥1，所以0<212-43x x +≤1，所以0<y ≤5，所以值域为(0，5].典例2 求函数253)(-+=x x x f 的值域. 【答案】{}|3y y ≠【变式训练1】(2016·江苏省扬州市期末统考)函数221xx y =+()0x ≥的值域为 ． 【答案】1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】函数221111212121x x x x x y +-===-+++110,21,212,0212x x x x ≥∴≥∴+≥∴<≤+Q 1111221x ∴≤-<+【变式训练2】(2016-2017学年黑龙江哈师大附中)函数()f x 的值域为 ． 【答案】[)1,1-解题技巧与方法总结分离常数法求值域步骤：第一步 观察函数()f x 类型，型如()ax bf x cx d +=+； 第二步 对函数()f x 变形成()a ef x c cx d=++形式；第三步 求出函数ey cx d=+在()f x 定义域范围内的值域，进而求函数()f x 的值域.典例3 求函数y x =+. 【答案】(,1]-∞【解析】令210,2t t x -=≥=，原函数化为()211022y t t t =-++≥，其开口向下，并且对称轴是1t =，故当1t =时取得最大值为，没有最小值，故值域为(,1]-∞. 解题技巧与方法总结换元法求值域：第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域. 典例4 (2016人教A 版双基双测)函数21xy x =+的值域为__________ 【答案】11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】法一：当0x =时，0y =当0x >时，21112,x x y x x +==+≥=当且仅当1x x =即1x =时取“=”，所以102y <≤当0x <时，211112,x x x y x x x +⎛⎫⎫==+=----=- ⎪⎪⎝⎭⎭当且仅当1x x -=-即1x =-时取“=”，所以102y -≤<综上1122y -≤≤法二：21x y x =+，所以20yx x y -+=有解当0y =时方程有解；当0y ≠时，由0≥V 可得2140y -≥，∴1122y -≤≤且0y ≠综上可知1122y -≤≤ 【变式训练1】已知52x ≥，求函数245()24x x f x x -+=- 的最小值.【答案】最小值为1【变式训练2】 若函数()y f x =的值域为1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()()()1F x f x f x =+的值域是（ ）A ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【变式训练3】(2016届浙江省杭州市学军中学高三5月模拟，理16)已知实数,a b R ∈,若223a ab b -+=, 则()22211ab a b +++的值域为 ．【答案】160,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：222233233a ab b a b ab ab ab -+=⇒+=+≥⇒-≤≤()()2222211(3)9614ab ab t t a b ab t t++-===+-+++，其中4[1,7]t ab =+∈，所以9660t t +-≥=，当且仅当3t =时取等号，又当7t =时96t t +-取最大值167， 故值域为160,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦考点：函数值域典例5求函数3274222++-+=x x x x y 的值域.【答案】9,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】 2223(1)20x x x ++=++>Q ，所以函数的定义域为R原函数可以化为2223247x y xy y x x ++=+-，整理得：()222(2)370y x y x y -+-++=当2y ≠时，上式可以看成关于的二次方程，该方程的范围应该满足解题技巧与方法总结判别式法求函数值域：观察函数解析式的形式，型如22dx ex fy ax bx c++=++的函数，将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y 的取值范围，即得函数的值域. 【精要点评】配方法、分离常数法和换元法是求常见函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制.换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解；二次分式型函数求值域，多采用分离出整式利用基本不等式法求解. 命题点2 已知函数定义域(值域)求参数的取值范围典例1 (2016-2017学年河北卓越联盟高一上学期月考三数学试卷)若函数244y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为[]8,4--，则m 的取值范围是（ ）A ．()2,4B ．[)2,4 C ．(]2,4 D ．[]2,4【答案】D【解析】二次函数对称轴为2x =，当2x =时取得最小值8-，当0x =时函数值为4-，由对称性可知4x =时函数值为4-，所以m 的取值范围是[]2,4【变式训练】(2014届陕西省考前保温训练)函数2()46f x x x =--的定义域为[0]m ，，值域为[10,6]﹣﹣，则m 的取值范围是（ ）A ．0，4]B ．2，4]C ．2，6]D ．4，6]【答案】B典例2(江苏省南京师范大学附属中学2015-2016学年期中)已知函数()f x =的定义域是一切实数，则m 的取值范围是__________． 【答案】[]04，【解析】当0m =时，显然函数有意义，当0m ≠，则210mx mx ++≥对一切实数恒成立，所以0{m >∆≤，得04m <≤，综合得04m ≤≤点睛：本题在解题时尤其要注意对0m =时的这种情况的检验，然后根据二次函数大于等于零恒成立，只需开口向上0∆≤即可.【变式训练】(2015-2016浙江湖州中学高二期中，理14)已知函数2()lg(1)f x mx mx =++，若此函数的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ；若此函数的值域为R ，则实数m 的取值范围是 ．【答案】04m ≤< 4m ≥考点：对数函数定义域、值域.典例3 (2015-2016学年广西南宁八中高一上期末)若函数21242y x x =-+的定义域、值域都是闭区间[2]2b ，，则的取值为 ． 【答案】2；【解析】联系二次函数图象特点，注意函数在闭区间[2]2b ，是单调增函数． 解：函数21242y x x =-+的图象是开口向上的抛物线，对称轴是2x =，∴函数在闭区间[2]2b ，上是单调增函数， 函数的定义域、值域都是闭区间[2]2b ， ∴2x b =时，函数有最大值2b ， ∴21422422b b b ⨯⨯+=﹣，∴1b =（舍去） 或2b =， ∴的取值为 2．考点：函数的值域；函数的定义域及其求法．【变式训练】(2017届江苏如东高级中学等四校高三12月联考)已知函数()224f x x x =-+定义域为[],a b ，其中a b <，值域[]3,3a b ，则满足条件的数组(),a b 为__________． 【答案】()1,4题型四 求函数的解析式典例1 (江西新余四中2016~2017月考)已知2(1)2f x x x +=-，求函数()f x 的解析式 【答案】2()43f x x x =-+【解析】令1x t +=，则1x t =-，求得()f t 的表达式，从而求得()f x 的解析式 考点：换元法求函数解析式【变式训练】(天津南大附中高一同步练习)已知，则的表达式是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】令1x t -=，得1x t =+ 因为2(1)45f x x x -=+-所以22()(1)4(1)56f t t t t t =+++-=+ 由此可得2()6f x x x =+典例2 (辽宁省阜新市2016~2017第一次月考)已知2(1)27f x x x -=-+，求()f x 的解析式【答案】2()6f x x =+【解析】由题意得2227(1)6x x x -+=-+，所以2(1)(1)6f x x -=-+，即2()6f t t =+ 【变式训练】(甘肃省武威第六中学2016~2017第一次月考)若函数()f x 满足(32)9+8f x x +=，则()f x 的解析式是（ ）（A ）()9+8f x x = （B ）()3+2f x x = （C ）()34f x x =-- （D ）()3234f x x x =+--或【答案】B【解析】由题意得(32)983(32)2f x x x +=+=++，所以()32f t t =+，即()32f x x =+ 考点：配凑法求函数解析式典例 3 (河南南阳一中2016级第一次月考)已知函数()y f x =满足1()2()3f x f x x=+，则()f x 的解析式为___________【答案】2()(0)f x x x x=--≠考点：解方程组法求函数解析式【变式训练】定义在(-1,1)内的函数()f x 满足()(-)()21f x f x lg x -＝＋，求函数()f x 的解析式． 【答案】21()lg(1)+lg(1-),(-11)33f x x x x =+∈, 【解析】当(-11)x ∈,时，有()(-)()21f x f x lg x -＝＋①以x -代，得2(-)()lg(1)f x f x x -=-+②由①②消去f (－x )，得21()lg(1)+lg(1-),(-11)33f x x x x =+∈,典例4 (山东蒙阴一中2016级高一开学考)已知函数()f x 是一次函数，若(())48f f x x =+，求()f x 的解析式【答案】8()2()283f x x f x x =+=--或【分析】设一次函数()(0)f x ax b a =+≠，利用(())48f f x x =+，得出关于,a b 的关系式，即可求解,a b 的值，得出函数的解析式考点：待定系数法求函数解析式 【变式训练】已知[]{}()2713ff f x x =+，且()f x 是一次式，求()f x 的解析式【答案】()31f x x =+【分析】由题意可得，设()(0)f x kx b k =+≠ []2()()f f x k kx b b k x kb b ∴=++=++[]{}232()()2713ff f x k kx kb b b k x k b kb b x ∴=+++=+++=+32273113k k b k b kb b ⎧==⎧⎪∴⎨⎨=++=⎪⎩⎩ ∴()31f x x =+ 解题技巧与方法总结1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．3.已知()f x 求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求()f x ，用代入法、换元法或配凑法．4.若()f x 与1()f x或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解． 5.应用题求解析式可用待定系数法求解．6.求函数解析式一定要注意函数的定义域，否则极易出错． 题型三 分段函数典例1.【河北枣强中学2016~2017第一次月考】已知21,1()23,1x x f x x x ⎧+<=⎨-+≥⎩，则((2))f f =（ ） (A) -7 (B) 2 (C) -1 (D) 5 【答案】B【解析】由题意得2((2))(1)(1)12f f f =-=-+= 考点：函数值的求解【变式训练】(山东鄄城一中2016~2017调研)设[]3,10()(5),10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则(6)f 的值为_______ 【答案】7【分析】[](6)(65)((11))(8)f f f f f f =+==由(8)((85))(133)=(10)7f f f f f =+=-=典例2．(2015高考数学（理）一轮配套特训：2-1函数的概念、定义域和值域)设函数()f x ＝246,06,0x x x x x ⎧-+≥⎨+<⎩，则不等式()()1f x f >的解集是( ) A ．(),1,)3(3-∞U ＋ B ．()3,1,()2∞U －＋ C ．()1,1,()3∞U －＋ D ．(),3()1,3∞U －－ 【答案】A典例3.【2014上海,理18】⎪⎩⎪⎨⎧>++≤-=,0,1,0,)()(2x a x x x a x x f 若)0(f 是)(x f 的最小值，则的取值范围为（ ）.(A)-1,2] (B)-1，0] (C)1，2] (D) [0,2] 【答案】D【考点】分段函数的单调性与最值问题．典例4.【2014高考重庆理第16题】若不等式2212122++≥++-a a x x 对任意实数恒成立，则实数的取值范围是____________. 【答案】11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】令()()312121|2|3221312x x f x x x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪⎛⎫=-++=--<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+>⎪ ⎪⎝⎭⎩，其图象如下所示（图中的实线部分）考点：1、分段函数；2、等价转换的思想；3、数形结合的思想. 典例 5.(安徽省六安市2016~2017第一中学)设函数31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则满足()(())2f a f f a =的的取值范围是_________【答案】23a ≥解题技巧与方法总结1.因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．2.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则． 知识交汇1.（北京第四中学2016~2017期中）已知函数()log ()xa f x a ka =-，其中01,a k R <<∈（1） 若1k =，求函数()f x 的定义域 （2） 若12a =，且()f x 在[)1,+∞内总有意义，求的取值范围 【答案】（1）{}|1x x >（2）1k <【交汇技巧】将定义域问题与对数函数的性质进行结合，需要注意对数函数的单调性及真数大于0；本题求参数取值范围采用参数分离，参数分离法求取值范围的原则为分离后不等式另一边函数的单调性、最值、值域等易求2. (江苏连云港房山中学月考)已知函数2()25(1)f x x ax a =-+> （1） 若函数()f x 的定义域和值域均是[]1,a ，求实数的值（2） 若对任意的[]12,1,1x x a ∈+，总有12()()4f x f x -≤，求实数的取值范围 【答案】（1）=2 （2）13a <≤【解析】（1）Q 22()()5(1)f x x a a a =-+->∴()f x 在[]1,a 上是减函数，又定义域和值域均为[]1,a ∴(1),()1f a f a == 解得=2（2）若2a ≥，又[]1,1x a a =∈+，且(1)1a a a +-≤-∴2max min (1)62,()5f f a f f a a ==-==-∴对任意的[]12,1,1x x a ∈+，总有12()()4f x f x -≤∴max min 4f f -≤即2(62)(5)4a a ---≤，解得13a -≤≤∴23a ≤≤若12a <<，22max min (1)6,()5f f a a f f a a =+=-==-max min 4f f -≤显然成立综上13a <≤练习检测1.下列对应法则f 为A 上的函数的个数是( )①2Z N A B f x y x →＋＝，＝，：＝；②Z A B Z f x y →＝，＝，：； ③{}[11]00A B f x y →＝－，，＝，：＝ A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B2.集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）．【答案】B【解析】选项A 中定义域为[]2,0-，选项C 的图像不是函数图像，选项D 中的值域不对，选B.3. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≥02－x，x ＜0(a ∈R )，若ff (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2 【答案】A【解析】因为－1＜0，所以f (－1)＝2－(－1)＝2，又2＞0，所以ff (－1)]＝f (2)＝a ·22＝1，解得a ＝14。
第节空间直角坐标系
【选题明细表】
基础对点练(时间分钟)
.下列叙述中,正确的个数是( )
①在空间直角坐标系中,在轴上的点的坐标一定是();
②在空间直角坐标系中,在平面上点的坐标一定可写成();
③在空间直角坐标系中,在轴上的点的坐标可记为();
④在空间直角坐标系中,在平面上点的坐标可写成().
() () () ()
解析:①在轴上的点坐标一定是(),故错误,②③④正确.
.(合肥一中月考)已知空间一点(),则点关于原点对称的点的坐标为( )
()() ()()
()() ()()
解析:关于原点对称的点的坐标的特点是横、纵、竖坐标全部变为原来的相反数.
.点是()在坐标平面内的射影,则等于( )
() () () ()
解析:由已知得(),
所以.
.已知△的三个顶点为()()(),则边上的中线长为( )
() () () ()
解析的中点(,,),
即().
所以边上的中线长为
.
.点()关于平面的对称点为,点()关于平面的对称点为,则等于( ) () () ()()
解析:因点与点都是点关于同一平面的对称点,所以
.
.在空间直角坐标系中,定点到三个坐标轴的距离都是,则该点到原点的距离为( )
()()()()
解析:设(),则由题意得
①②③得(),即,
所以.
.已知()()(),则△的形状为( )
()等边三角形()直角三角形
()等腰直角三角形()等腰三角形。
选修4－4错误!坐标系与参数方程第一节坐 标 系突破点（一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换基础联通 抓主干知识的“源"与“流”设点P （x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：{ x ′＝λ·x (λ＞0)，，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P （x ，y ）对应到点P ′(x ′，y ′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”平面直角坐标系下图形的伸缩变换[典例］ 求椭圆错误!＋y 2＝1，经过伸缩变换错误!后的曲线方程．［解] 由错误!得到错误!①将①代入x 24＋y 2＝1,得错误!＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1。
因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1. [方法技巧］应用伸缩变换公式时的两个注意点（1）曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P 的坐标（x ，y ）与变换后的点P ′的坐标(X ，Y )，再利用伸缩变换公式错误!建立联系． (2)已知变换后的曲线方程f （x ，y ）＝0，一般都要改写为方程f （X ，Y ）＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：错误!求点A 错误!经过φ变换所得的点A ′的坐标．解:设A ′（x ′，y ′），由伸缩变换φ：错误!得到错误!由于点A 的坐标为错误!，于是x ′＝3×错误!＝1,y ′＝错误!×（－2）＝－1， 本节主要包括2个知识点：1。
平面直角坐标系下图形的伸缩变换；2。
极坐标系。
所以A′(1，－1）为所求．2．求直线l:y＝6x经过φ:错误!变换后所得到的直线l′的方程．解：设直线l′上任意一点P′（x′，y′)，由题意，将错误!代入y＝6x得2y′＝6×错误!，所以y′＝x′,即直线l′的方程为y＝x.3．求双曲线C：x2－错误!＝1经过φ：错误!变换后所得曲线C′的焦点坐标．解：设曲线C′上任意一点P′（x′，y′),由题意,将错误!代入x2－错误!＝1得错误!－错误!＝1，化简得错误!－错误!＝1,即错误!－错误!＝1为曲线C′的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线，则所求焦点坐标为F1（－5，0）,F2(5,0）．4．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆错误!＋错误!＝1的一个伸缩变换公式为φ：错误!求a，b的值．解：由错误!知错误!代入x2＋y2＝1中得错误!＋错误!＝1，所以a2＝9，b2＝4,即a＝3，b＝2.突破点(二)极坐标系基础联通抓主干知识的“源”与“流"1．极坐标系的概念（1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O,点O叫做极点，自极点O引一条射线Ox,Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度）及其正方向(通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标一般地,没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．（3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ）与(ρ，θ＋2kπ）（k∈Z）表示同一个点，特别地，极点O的坐标为（0，θ）(θ∈R）,和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（ρ，θ) 表示;同时，极坐标(ρ，θ）表示的点也是唯一确定的．2．极坐标与直角坐标的互化点M 直角坐标(x，y）极坐标（ρ，θ）互化公式错误!错误!考点贯通抓高考命题的“形”与“神"极坐标与直角坐标的互化1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤第一步判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化第二步通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，一定要注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增解或漏解第三步根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式错误!及ρ2＝x2＋y2将极坐标方程转化为直角坐标方程2．直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐标化为极坐标（1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单,只需将直角坐标方程中的x，y分别用ρcos θ，ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程．（2)求直角坐标系中的点（x，y）对应的极坐标的一般步骤：第一步，根据直角坐标系中两点间的距离公式计算该点与坐标原点的距离，即计算ρ；第二步,根据角θ的正切值tan θ＝错误!(x≠0）求出角θ（若正切值不存在，则该点在y轴上），问题即解．[例1]在极坐标系下，已知圆O:ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin错误!＝错误!。
课外拓展阅读由递推公式求通项的常用方法和技巧递推数列是高考考查的热点，由递推公式求通项时，一般需要先对递推公式进行变形，然后利用转化与化归的思想解决递推数列问题．下面给出几种常见的递推数列，并讨论其通项公式的求法．类型1 a n＋1＝a n＋f(n)把原递推公式转化为a n＋1－a n＝f(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解．已知数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝a n＋n＋1，求数列{a n}的通项公式．因为a1＝2，a n＋1－a n＝n＋1，所以a n－a n－1＝(n－1)＋1，an－1－a n－2＝(n－2)＋1，a n－2－a n－3＝(n－3)＋1，…a2－a1＝1＋1，由已知，a1＝2＝1＋1，将以上各式相加，得an＝＋n＋1＝n－n－＋1]2＋n＋1＝n n－2＋n＋1＝n n＋2＋1.类型2 a n＋1＝f(n)a n把原递推公式转化为an＋1an＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解．已知数列{a n}满足a1＝23，a n＋1＝nn＋1·a n，求数列{a n}的通项公式．由a n＋1＝nn＋1·a n，得an＋1an＝nn＋1.当n≥2，n∈N*时，a n＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1＝n－1n·n－2n－1·…·12·23＝23n，即a n＝23n .又当n＝1时，23×1＝23＝a1，故a n＝23n.类型3 a n＋1＝pa n＋q先用待定系数法把原递推公式转化为a n＋1－t＝p(a n－t)，其中t＝q1－p，再利用换元法转化为等比数列求解．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n＋3，求数列{a n}的通项公式．设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )， 即a n ＋1＝2a n －t ，解得t ＝－3. 故a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2. 所以{b n }是以4为首项，以2为公比的等比数列． 所以b n ＝4×2n －1＝2n ＋1, 即a n ＝2n ＋1－3. 类型4 a n ＋1＝pa n ＋q n(1)一般地，要先在递推公式两边同除以q n ＋1，得a n ＋1q n ＋1＝p q ·a n q n ＋1q，引入辅助数列{b n }⎝⎛⎭⎪⎫其中b n ＝a n q n ，得b n ＋1＝p q ·b n ＋1q ，再用待定系数法解决；(2)也可在原递推公式两边同除以pn ＋1，得a n ＋1p n ＋1＝a n p n ＋1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫q p n，引入辅助数列{b n }⎝⎛⎭⎪⎫其中b n ＝a n p n ，得b n ＋1－b n ＝1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫q p n ，再利用累加法(逐差相加法)求解．已知数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，求数列{a n }的通项公式．解法一：将a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1两边分别乘以2n ＋1，得2n ＋1a n ＋1＝23(2n a n )＋1.令b n ＝2na n ，则b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23b n ＋1，根据待定系数法，得b n ＋1－3＝23(b n －3)．所以数列{b n －3}是首项为b 1－3＝2×56－3＝－43，公比为23的等比数列．所以b n －3＝－43·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，即b n ＝3－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.于是，a n ＝b n 2n ＝32n －23n .解法二：将a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1两边分别乘以3n ＋1，得3n ＋1a n ＋1＝3na n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1.令b n ＝3n a n ，则b n ＋1＝b n ＋32n ＋1， 所以b n －b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，b n －1－b n －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，…，b 2－b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322.将以上各式叠加，得b n －b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ， 又b 1＝3a 1＝3×56＝52＝1＋32，所以b n ＝1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＝1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋11－32＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1－2，即b n ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1－2.故a n ＝b n 3n ＝32n －23n .类型5 a n ＋1＝pa n ＋an ＋b (p ≠1，p ≠0，a ≠0)这种类型的题目一般是利用待定系数法构造等比数列，即令a n ＋1＋x (n ＋1)＋y ＝p (a n ＋xn ＋y )，然后与已知递推式比较，解出x ，y ，从而得到{a n ＋xn ＋y }是公比为p 的等比数列．设数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝3a n －1＋2n －1(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式．a n ＝3a n －1＋2n －1→利用待定系数法得到一个等比数列→ 利用等比数列的知识可解 设递推公式可以转化为a n ＋An ＋B ＝3，化简后与原递推式比较，得 ⎩⎨⎧2A ＝2，2B －3A ＝－1，解得⎩⎨⎧A ＝1，B ＝1.则a n ＋n ＋1＝3． 令b n ＝a n ＋n ＋1，(*) 则b n ＝3b n －1，又b 1＝6，故b n ＝6·3n －1＝2·3n ， 代入(*)，得a n ＝2·3n －n －1. 类型6 a n ＋1＝pa r n (p >0，a n >0)这种类型的题目一般是将等式两边取对数后转化为a n ＋1＝pa n ＋q 型，再利用待定系数法求解．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1m·a 2n (m >0)，求数列{a n }的通项公式．对a n ＋1＝1m·a 2n 两边取对数，得lg a n ＋1＝2lg a n ＋lg 1m.令b n ＝lg a n ，则b n ＋1＝2b n ＋lg 1m.因此得b n ＋1＋lg 1m ＝2⎝⎛⎭⎪⎫b n ＋lg 1m ，记c n ＝b n ＋lg 1m，则c n ＋1＝2c n .所以数列{c n }是首项c 1＝b 1＋lg 1m ＝lg 1m，公比为2的等比数列．所以c n ＝2n －1·lg 1m.所以b n ＝c n －lg 1m ＝2n －1·lg 1m －lg 1m ＝lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2n －1，即lg a n ＝lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2n －1，所以a n ＝m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2n －1.类型7 a n ＋1＝pa nqa n ＋r(p ，q ，r ≠0且a n ≠0，qa n ＋r ≠0) 这种类型的题目一般是将等式两边取倒数后，再进一步处理．若p ＝r ，则有1a n ＋1＝r ＋qa n pa n ＝1a n ＋qp ，此时⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 为等差数列．若p ≠r ，则有1a n ＋1＝r p ·1a n ＋qp，此时可转化为类型3来处理．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．因为a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1， 所以a n ≠0， 所以1a n ＋1＝1a n ＋12， 即1a n ＋1－1a n ＝12. 又a 1＝1，则1a 1＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是以1为首项，以12为公差的等差数列．所以1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n ＋12，所以a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． 类型8 a n ＋1＋a n ＝f (n )将原递推关系改写成a n ＋2＋a n ＋1＝f (n ＋1)，两式相减即得a n ＋2－a n ＝f (n ＋1)－f (n )，然后将n 按奇数、偶数分类讨论即可．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＋a n ＝2n ，求数列{a n }的通项公式．因为a n ＋1＋a n ＝2n ，所以a n ＋2＋a n ＋1＝2n ＋2，故a n ＋2－a n ＝2，即数列{a n }是奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列． 当n 为偶数时，a 2＝1， 故a n ＝a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－1＝n －1.当n 为奇数时，因为a n ＋1＋a n ＝2n ，a n ＋1＝n (n ＋1为偶数)，故a n ＝n . 综上知，a n ＝⎩⎨⎧n ，n 为奇数，n －1，n 为偶数，n ≥1，n ∈N *.类型9 a n ＋1·a n ＝f (n )将原递推关系改写成a n ＋2·a n ＋1＝f (n ＋1)，两式作商可得a n ＋2a n ＝f n ＋f n，然后将n 按奇数、偶数分类讨论即可．已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1·a n ＝2n ，求数列{a n }的通项公式．因为a n ＋1·a n ＝2n ， 所以a n ＋2·a n ＋1＝2n ＋1，故a n ＋2a n＝2， 即数列{a n }是奇数项与偶数项都是公比为2的等比数列．当n 为偶数时，a 2＝23，故a n ＝a 2·2n2－1＝23·2n2－1 ，即a n ＝13·2n2；当n 为奇数时，n ＋1为偶数，故a n ＋1＝13·2n2+1 ，代入a n ＋1·a n ＝2n，得a n ＝3·2n2－1 .综上知，a n＝⎩⎪⎨⎪⎧3·2n2－1 ，n 为奇数，13·2 n2 ，n 为偶数.。
