2024北京四中高三（上）期中数 学（试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 已知全集R U =，集合{}240A x x =−<，{}1B x x =≥，则()UA B ⋂=（ ）A. ()1,2B. ()2,2−C. (),2∞−D. ()2,1−2. 不等式111x x >−的解集为（ ） A. (0,)+∞ B. (1,)+∞ C. (0,1)D. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3. 已知边长为2的正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点E ，则AE BC ⋅=（ ） A. 2B. 2−C. 1D. 1−4. 已知函数()23f x x x=−−，则当0x <时，()f x 有（ ）A. 最大值3+B. 最小值3+C. 最大值3−D. 最小值3−5. 设,a b R ∈，则“a b >”是“22a b >”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β的终边关于y 轴对称.若2cos23α=，则cos β=（ ）A.19B. 19−C.9 D. 9−7. 近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物的释放对大气臭氧层的破坏作用.科学研究表明，臭氧含量Q 与时间t （单位：年）的关系为0e t aQ Q−=，其中0Q 是臭氧的初始含量，a 为常数.经过测算，如果不对氟化物的使用和释放进行控制，经过280年将有一半的臭氧消失.如果继续不对氟化物的使用和释放进行控制，再．经过n 年，臭氧含量只剩下初始含量的20%，n 约为（ ） （参考数据：ln 20.7≈，ln10 2.3≈） A. 280B. 300C. 360D. 6408. 已知函数()1,2,x x x af x x a +≤⎧=⎨>⎩，若()f x 的值域为R ,则实数a 的取值范围是（ ）A. (,0]−∞B. [0,1]C. [0,)+∞D. (,1]−∞9. 已知0a >，记sin y x =在[],2a a 的最小值为a s ，在[]2,3a a 的最小值为a t ，则下列情况不可能的是（ ）A. 0a s >，0a t >B. 0a s <，0a t <C. 0a s >，0a t <D. 0a s <，0a t >10. 已知在数列{}n a 中，1a a =，命题:p 对任意的正整数n ，都有12nn n a a a +=−．若对于区间M 中的任一实数a ，命题p 为真命题，则区间M 可以是（ ） A. ()3,4 B. ()2,3 C. 3216,115⎛⎫⎪⎝⎭ D. 832,311⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知复数5i2iz =−，则z =______. 12. 已知函数()33log ,0,,0.x x f x x x >⎧=⎨<⎩若()()273f f a =，则a =______. 13. 已知幂函数y x α=的图像经过()0,0A ，()1,1B ，()1,1C −，()4,2D 中的三个点，写出满足条件的一个α的值为______. 14. 在ABC 中，1tan 4A =，3tan 5B =.（1）C ∠=_____； （2）若ABC，则最短边的长为______.15. 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M −.例如，当()31x x ϕ=，()2sin x x ϕ=时，()1x A ϕ∈，()2x B ϕ∈.给出下列命题：①“函数()f x A ∈”的充要条件是“t R ∀∈，关于x 的方程()f x t =都有实数解”； ②“函数()f x B ∈”的充要条件是“()f x 既有最大值，也有最小值”； ③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()()f x g x B ⋅∈，则()g x B ∈；④若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉.其中，正确命题的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.16. 已知函数()sin cos cos sin f x x x ωϕωϕ=+，其中0ω>，π2ϕ<.记()f x 的最小正周期为T ，()2f T =−. （1）求ϕ的值；（2）若()f x 与x 轴相邻交点间的距离为π2，求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17. 在ABC 中，2cos 2c A b a =−.（1）求C ∠的大小；（2）若c =，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求AC 边上中线的长.条件①：ABC 的面积为条件②：1b a −=； 条件③：1sin sin 2B A −=. 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18. 已知函数()()2121ln 22f x x x x x =+−−. （1）求()f x 的单调区间； （2）若关于x 的不等式()f x x a '<−+有解，求实数a 的取值范围.19. 已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点为A ，C 的长轴长为4，焦距为过定点(),0T t （2t ≠±）作与x 轴不重合的直线交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于点M ，N .（1）求C 的方程；（2）是否存在点T ，使得OM ON ⋅等于定值13？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由. 20. 已知函数()e xf x x ax =−，R a ∈.（1）当e a =时，求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程； （2）若函数()f x 是单调递增函数，求a 的取值范围；（3）当0a ≥时，是否存在三个实数123x x x <<且()()()123f x f x f x ==？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.21. 已知集合{}1,2,3,,A n =⋅⋅⋅，其中*N n ∈，1A ，2A ，…，m A 是A 的互不相同的子集.记i A 的元素个数为i M （1,2,,i m =⋅⋅⋅），ij A A 的元素个数为ij N （1i j m ≤<≤）.（1）若4n =，3m =，{}11,2A =，{}21,3A =，13231N N ==，写出所有满足条件的集合3A （结论不要求证明）；（2）若5n =，且对任意的1i j m ≤<≤，都有0ij N >，求m 的最大值；（3）若给定整数7n ≥，3i M ≤（1,2,,i m =⋅⋅⋅）且对任意1i j m ≤<≤，都有1ij N =，求m 的最大值.参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 【答案】D【分析】先求出集合A ，然后求出UB ，进而求得()U A B ⋂.【详解】由240x −<，得22x −<<，所以{}|22A x x =−<<, 因为{}|1B x x =≥，所以{}|1UB x x =<,所以(){}|21UA B x x ⋂=−<<.故选：D. 2. 【答案】C【分析】根据题意，由条件可得10(1)x x −>−，即可得到结果.【详解】111x x >−，则11101(1)x x x x −−=>−−，解得01x <<，故原不等式的解集为()0,1． 故选：C3. 【答案】A【分析】找基底分别表示,AE BC ，然后计算即可. 【详解】由题可知，111222AE AC AB AD ==+,BC AD =, 所以2111122222AE BC AB AD AD AB AD AD ⎛⎫⋅=+⋅=⋅+= ⎪⎝⎭故选：A 4. 【答案】B【分析】由基本不等式即可求解.【详解】由题意当0x <时，()()233f x x x ⎡⎤⎛⎫=+−+−≥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，等号成立当且仅当x = 故选：B. 5. 【答案】D【详解】若0,2a b ==−，则22a b <，故不充分；若2,0a b =−=，则22a b >，而a b <，故不必要，故选D.考点：本小题主要考查不等式的性质，熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键. 6. 【答案】A【分析】根据对称得2k βππα=+−，再结合二倍角的余弦公式和诱导公式即可. 【详解】由题意2,Z k k αβππ+=+∈，即2k βππα=+−，而2221cos 2cos 121239αα⎛⎫=−=⨯−=− ⎪⎝⎭，()1cos cos 2cos 9k βππαα=+−=−=． 故选：A ． 7. 【答案】C【分析】根据题意建立等式，然后化简求解即可. 【详解】由题可知，28028000000.5,0ee.2an aQ Q Q Q −−+== ，即280280ln 2,ln 5na a+==， 两式相比得280ln 5ln10ln 2280ln 2ln 2n +−== 解得360n ≈ 故选：C 8. 【答案】B【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数a 的取值进行分类讨论即可. 【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数1y x =+和()2x g x =的图象如下图所示：由图可知，当0x =或1x =时，两图象相交，若()f x 的值域是R ，以实数a 为分界点，可进行如下分类讨论： 当a<0时，显然两图象之间不连续，即值域不为R ； 同理当1a >,值域也不是R ；当01a ≤≤时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是R ； 综上可知，实数a 的取值范围是01a ≤≤. 故选：B 9. 【答案】D【分析】先取特殊值，判断可能得选项，然后综合选项得到答案即可. 【详解】由题可知，0a >，区间[],2a a 与[]2,3a a 的区间长度相同；取π6a =，则[][]ππππ,2,,2,3,6332a a a a ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，此时0a s >，0a t >，故A 可能； 取7π6a =，则[][]7π7π7π7π,2,,2,3,6332a a a a ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，此时0a s <，0a t <，故B 可能； 取5π12a =，则[][]5π5π5π5π,2,,2,3,12664a a a a ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，此时0a s >，0a t <，故C 可能； 由三角函数性质可知，假设0a s <，0a t >成立，必然有πa >，所以区间[],2a a 与[]2,3a a 的区间长度大于π，根据sin y x =的函数图象可知， 当区间长度大于π，sin y x =在区间[],2a a 与[]2,3a a 上的取值必然有正有负， 此时0a s <，0a t <，故与假设矛盾，故D 不可能. 故选：D 10. 【答案】D【分析】根据递推关系分析式子要有意义，数列中的项不能取那些值即可求解. 【详解】p 为真命题，则2n a ≠， 由2n a ≠从后往前推，14n a −≠，283n a −≠, 3165n a −≠,43211n a −≠,,n k a −,而8(2,3)3∈，排除，16(3,4)5∈,排除， 由蛛网图可知3n k a −→,而63321,115∈⎛⎫⎪⎝⎭，n a 之前的项会趋向于3，所以C 项排除. 因为()24832,,311n n a a −−⎛⎫= ⎪⎝⎭，已经越过不能取的值，故正确.故选：D二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【分析】根据复数的除法和模的公式即可. 【详解】()()()5i 2i 5i 10i 512i 2i 2i 2i 5z +−====−+−−+，则z ==.. 12. 【答案】3【分析】首先求出()273f =，再对a 分类讨论即可. 【详解】()327log 273f ==， 则()33f a =，()1f a =，当0a >时，由3log 1a =，得3a =； 当0a <时，由31a =，得1a =.（舍去） 故答案为：3 13. 【答案】{}1N 21,Z 2k k αα⎧⎫∈=−∈⋃⎨⎬⎩⎭（取该集合中的任意一个元素均算正确）【分析】分类讨论过点D 和不过点D 的幂函数即可. 【详解】幂函数都经过点()1,1B ；若该幂函数经过点D ，可得1242αα=⇒=，该幂函数方程为y =()0,0A ， ()1,1B ，()4,2D ；若该幂函数不过点D ，则12α≠，此时过点()0,0A ，()1,1B ，()1,1C −， 显然{}N 21,Z k k ααα∈∈=−∈. 故答案为：{}1N 21,Z 2k k αα⎧⎫∈=−∈⋃⎨⎬⎩⎭（取该集合中的任意一个元素均算正确）14. 【答案】 ①.3π4②【分析】（1）利用三角形三内角和为π计算即可； （2）先确定最长边和最短边，然后利用正弦定理计算即可. 【详解】（1）由题可知()tan tan tan tan 11tan tan A BC A B A B+=−+=−=−−所以3π4C ∠=；（2）由题可知，最长边为边c =a ；易知sin ,sin 172A C ==由正弦定理可知，sin sin ca A C==故答案为：3π4； 15. 【答案】①③④【分析】①中，根据函数的定义域、值域的定义，转化成用简易逻辑语言表示出来；②中举反例保证函数的值域为集合[],M M −的子集，但值域是一个开区间，从而说明函数没有最值；③根据反证法可判断；④中根据函数的值域，可以发现()()f x g x +∈R ，从而发现命题正确； 【详解】对①，“()f x A ∈”即函数()f x 值域为R ，“t ∀∈R ，关于x 的方程()f x t =都有实数解”表示的是函数可以在R 中任意取值， 命题①是真命题；对②，若函数()f x B ∈，即存在一个正数M ，使得函数()f x 的值域包含于区间[],M M −． ()M f x M ∴−≤≤．例如：函数()f x 满足2()5f x −<<，则有5()5f x −≤≤，此时，()f x 无最大值，无最小值．命题②是假命题；对③，若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()()f x g x B ⋅∈， 则()f x 值域为R ，即()(,)f x ∈−∞+∞，()()f x g x M ≤，若()g x B ∉，则对任意的正实数()1u u >，总存在1X ，当1x X >时，()g x u >， 而()f x A ∈，故存在2X ，当2x X >时，()f x u >， 故当{}12max ,x X X >时，有()()2f xg x u u >>，这与()()f x g x M ≤矛盾，故()g x B ∈,故命题③是真命题． 对④，若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()f x 值域为R ，即()(,)f x ∈−∞+∞，并且存在一个正数M ，使得()M g x M −≤≤，()()f x g x ∴+∈R ，则()()f x g x B +∉．命题④是真命题．故答案为：①③④ 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.三、解答题共6小题，共85分.16. 【答案】（1）π3ϕ=−（2）()f x 的最小值为()f x的最大值为1【分析】（1）首先利用和差公式进行化简，再结合正弦型函数的周期性以及()2f T =−即可求得ϕ的值；（2）首先根据题意得出()f x 的最小正周期，进而可得()πsin 23f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的图像与性质即可求得最值. 【小问1详解】由两角和与差的正弦公式可得()()sin cos cos sin sin f x x x x ωϕωϕωϕ=+=+, 由于0ω>，则()f x 的最小正周期为2πT ω=，()()2sin sin 2πsin 2f T πωϕϕϕω⎛⎫=+=+==−⎪⎝⎭, 因为π2ϕ<，所以π3ϕ=−；【小问2详解】因为()f x 与x 轴相邻的两交点间的距离为π2，所以()πsin 3f x x ω⎛⎫=− ⎪⎝⎭的最小正周期为π， 所以2π2πω==，即()πsin 23f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π2,333x ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数的图像与性质可得：当ππ233x −=−即x =0时，()f x 取最小值2−, 当ππ232x −=即5π12x =时，()f x 取最大值1. 17. 【答案】（1）π3（2）选①时三角形不存在；选②时AC 边上的中线的长为1；选③时AC 边上的中线的长为1. 【分析】（1）由正弦定理及sin sin cos cos sin B A C A C =+得到1cos 2C =，结合()0,πC ∈，得到π3C =； （2）选①，由三角形面积和余弦定理得到2211a b +=，由222a b ab +≥推出矛盾； 选②，先求得2ab =，则可得1,2a b ==，再利用余弦定理求解即可得中线长. 选③，根据三角恒等变换得到π6A =，ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，由正弦定理得到AC ，求出中线. 【小问1详解】 由正弦定理sin sin sin a b c A B C==及2cos 2c A b a =−， 得2sin cos 2sin sin C A B A =−.（i ）因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+.（ii ） 由（i ）（ii ）得2sin cos sin 0A C A −=.因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠. 所以1cos 2C =.因为()0,πC ∈，所以π3C =.【小问2详解】选①，ABC 的面积为1sin 2ab C =，即4ab =8ab =，因为c =，由余弦定理得222cos 2a b c C ab+−=，即2231162a b +−=，解得2211a b +=，由基本不等式得222a b ab +≥，但1128<⨯， 故此时三角形不存在，不能选①， 选条件②：1b a −=，两边平方得2221a b ab +−=，（iii ）由余弦定理得223122a b ab +−=，即223a b ab +−=，（iiii ） 联立（iii ）（iiii ）得2ab =，所以1,2a b ==， 设AC 边上的中线长为d ，由余弦定理得2222cos 42b ab d a C =+−⋅2242b ab a =+−1=. 所以AC 边上的中线的长为1. 选条件③：1sin sin 2B A −=. 由（1）知，π33ππ2B A A ∠=−−∠=−∠.所以2π1sin sin sin sin cos sin sin 322B A A A A A A ⎛⎫−=−−=+−⎪⎝⎭1cos sin 22A A =−π=sin 3A ⎛⎫− ⎪⎝⎭.所以π1sin 32A ⎛⎫−=⎪⎝⎭. 因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,333A ⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭. 所以π3π6A −=，即π6A =. 所以ABC 是以AC 为斜边的直角三角形.因为c =，所以2sin sin 3AB AC C ===. 所以AC 边上的中线的长为112AC =. 18. 【答案】（1）()f x 的单调递增区间为(0,1)，()f x 的单调递减区间(1,)+∞ （2）22ln 2a >−【分析】（1）求出函数的定义域，1()2ln f x x x x '=+−，设1()2ln h x x x x=+−，2'2(1)()0−=−≤x h x x恒成立，由(1)0h =，利用导数与函数单调性的关系即可求解. （2）令1()2ln g x x a x=+−，利用导数求出()g x 的最小值，使()min 0g x <，解不等式即可求解. 【小问1详解】 定义域为{|0}x x >，1()2ln f x x x x'=+−， 设1()2ln h x x x x=+− 2'2(1)()0−=−≤x h x x恒成立 所以()h x 在()0,+∞上是减函数，且(1)0h = 则当(0,1)x ∈时，()0h x >，即()0f x '>， 则当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，即()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为(0,1)，()f x 的单调递减区间(1,)+∞ 【小问2详解】由（1）知1()2ln f x x x x'=+−，所以1()2ln '+−=+−f x x a x a x ，令1()2ln g x x a x=+−， 222121()x g x x x x−'=−=， 当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，当1,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0g x '>， 所以()g x 在()0,+∞上的最小值为112ln 222ln 222g a a ⎛⎫=+−=−−⎪⎝⎭， 所以若关于x 的不等式()0g x <有解，则22ln 20a −−<， 即22ln 2a >−19. 【答案】（1）2214x y +=（2）存在，1t =或4t =【分析】（1）由题可知，24,2a c ==，然后利用,,a b c 的关系求解即可.（2）先设直线PQ 的方程为x my t =+，()()1122,,,P x y Q x y ，然后直线方程与椭圆方程联立，计算得到212122224,44mt t y y y y m m −−+==++，然后求出1120,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，2220,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，再计算OM ON 的值，化简最后求出t 即可. 【小问1详解】由题可知，24,2a c ==得2,1a c b ====所以椭圆C 的方程为2214x y +=【小问2详解】由题可知，直线PQ 不能水平，A (−2,0)设直线PQ 的方程为x my t =+，()()1122,,,P x y Q x y联立()22222142404x y m y mty t x my t ⎧+=⎪⇒+++−=⎨⎪=+⎩所以Δ=(2mt )2−4(m 2+4)(t 2−4)=16(m 2−t 2+4)>0212122224,44mt t y y y y m m −−+==++ 直线AP 方程为y =y 1x 1+2(x +2)所以1120,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭，同理2220,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭所以()()121212122242222y y y y OM ON x x my t my t =⨯=++++++ ()()()()()221222222121222444442222244t y y m t mt m y y m t y y t m m t t m m −+==−−+++++++++++()()()()22242222224t t t m t m t t m −−==+−−+++ 若13OM ON ⋅=，得4t =或1t =当4t =时，Δ=16(m 2−12)>0，得m >m <− 当1t =时，Δ=16(m 2+3)>0恒成立， 所以存在点T ，使得OM ON ⋅等于定值13，1t =或4t =. 20. 【答案】（1）e e y x =− （2）21e a ≤−（3）不存在，理由见解析.【分析】（1）按照求具体函数在某点处的切线方程的方法求解即可；（2）先求导，然后利用导函数大于等于零恒成立，参变分离，求参数的范围即可； （3）先判断函数()e xf x x ax =−的单调性的情况，然后再判断不存在即可.【小问1详解】 由题得()e e xf x x x =−所以()()10,e e e xxf f x x ==+−'所以()1e f '=所以在点(1,f (1))处的切线方程为e e y x =−. 【小问2详解】由题得()()1e xf x x a =+−'要使函数()f x 是单调递增函数， 则()()1e 0xf x x a '=+−≥恒成立，即()1e xa x ≤+恒成立，令()()1e xg x x =+得()min a g x ⎡⎤≤⎣⎦，()()2e xg x x ='+令()()2e 0xg x x =+='，得2x =−显然，当2x <−时，()0g x '<，所以函数()()1e xg x x =+单调递减；当2x >−时，()0g x '>，所以函数()()1e xg x x =+单调递增；故()()2min12e g x g ⎡⎤=−=−⎣⎦所以21e a ≤−【小问3详解】 不存在，理由如下， 由题得()()1e xf x x a =+−'因为0a ≥，显然当1x ≤−时，()()1e 0xf x x a '=+−≤，f ′(a )=(1+a )e a −a >0由（2）可知，()()f x g x a '=−在()2,∞−+单调递增， 所以()()1e xf x x a =+−'在R 上由唯一的零点[)01,x a ∈−当0x x <时，f ′(x )<0，所以()f x 单调递减； 当0x x >时，f ′(x )>0，所以()f x 单调递增；所以当0a ≥时，不存在三个实数123x x x <<且()()()123f x f x f x ==. 21. 【答案】（1）3{1}A =或3{1,4}A =或3{2,3}A =或3{2,3,4}A = （2）max 16=m （3）max m n =【分析】（1）根据新定义对交集情况分类讨论即可；（2）将集合{1,2,3,4,5}A =的子集进行两两配对得到16组，写出选择A 的16个含有元素1的子集即可得到max m ；（3）分1~m A A 中有一元集合和没有一元集合但有二元集合，以及1~m A A 均为三元集合讨论即可. 【小问1详解】因为13231N N ==，则13A A ⋂和23A A 的元素个数均为1，又因为{}{}124,1,2,1,3n A A ===，则{}1,2,3,4A =， 若{}131A A ⋂=，{}231A A ⋂=，则3{1}A =或3{1,4}A =； 若{}132A A ⋂=，{}233A A ⋂=，则3{2,3}A =或3{2,3,4}A =； 综上3{1}A =或3{1,4}A =或3{2,3}A =或3{2,3,4}A =. 【小问2详解】集合{1,2,3,4,5}A =共有32个不同的子集， 将其两两配对成16组,(1,2,,16)i i B C i =，使得,i i i i B C B C A ⋂=∅⋃=，则,i i B C 不能同时被选中为子集(1,2,,)j A j m =，故16m ≤.选择A 的16个含有元素1的子集:12316{1},{1,2},{1,3},A A A A A ===⋯⋯=，符合题意. 综上，max 16=m . 【小问3详解】 结论:max m n =，令123{1},{1,2},{1,3},,{1,}n A A A A n ====，集合1~n A A 符合题意.证明如下：①若1~m A A 中有一元集合，不妨设1{1}A =，则其它子集中都有元素1，且元素2~n 都至多属于1个子集， 所以除1A 外的子集至多有1n −个，故m n ≤.②若1~m A A 中没有一元集合，但有二元集合，不妨设1{1,2}A =.其它子集分两类:{}1,j j B b =或{}1,,(1,2,,)j j b b j s '=，和{}2,j j C c =或{}2,,(1,2,,)j j c c j t '=，其中,,j j s t b b '≥互不相同，,j j c c '互不相同且均不为1，2.若0t =，则2s n ≤−，有11m s t n n =++≤−<若1t ≥，则由11j B C ⋂=得每个集合j B 中都恰包含1C 中的1个元素（不是2)， 且互不相同，因为1C 中除2外至多还有2个元素，所以2s ≤. 所以1122m s t n =++≤++<.③若1~m A A 均为三元集合，不妨设1{1,2,3}A =.将其它子集分为三类：{}{}{}1,,(1,2,,),2,,(1,2,,),3,,(1,2,,)j j j j j j j j j B b b j s C c c j t D d d j r '''======，其中s t r ≥≥. 若0t r ==，则32n s −≤(除1，2，3外，其它元素两个一组与1构成集合1~s B B )， 所以3112n m s n −=+≤+<. 若1t ≥，不妨设1{2,4,5}C =，则由11j B C ⋂=得每个集合j B 中都或者有4、或者有5， 又12,,,s B B B 中除1外无其它公共元素，所以2s ≤.所以112227m s t r n =+++≤+++=≤. 综上，max m n =.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分理解集合新定义，然后对1~m A A 中集合元素个数进行分类讨论；当1~mA A均为三元集合时，不妨设1{1,2,3}A=，再将其它子集分为三类讨论.。
