二次根式的性质
一、选择题
1.下列各式正确的是（ ）
A.(25=- 0.5=-
C.(225= 0.5=
）
C.1
D. -1
3.的值为3，那么x 的值是（ ）
A.3
B.9
C.-3
D.3或-3
4.()2x y =+，那么x-y 的值为（ ）
A. -1
B.1
C.2
D.3
12a -，则（ ） A.12
a < B.12a ≤ C.12a > D.12
a ≥
6.要使y =x 的取值范围在数轴上表示为（ ）
7.3x y --互为相反数，则x+y 的值为（）
A. 3
B. 9
C. 12
D. 27
二、填空题
8.已知2 9.已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简1a -的结果是 . 10.李东和赵梅在解答题目:“先化简，再求值:a +其中a=10”时得出不同的答案. 李东的解答过程如下： ()11a a a +-=. 赵梅的解答过程如下： ()121210119a a a a =+-=-=?-= (1) ___的解答是错误的； (2) 错误的原因是 . 三、解答题 11.计算： （1）2； （2）(2； （3 （4）（5 （6)13x ≤≤ 12.利用()20a a =≥，把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式； （1）16；（2）7；（3）1.5；（4） 34 13.若a ，b 是一等腰三角形的两边的长，且满足等式5b =-,求等腰三角形的周长. 14.在实数范围内分解因式： (1)44x -; (2)4244x x -+ 15. 在实数范围内有意义，则点P （m,n ）在平面直角坐标系中的哪个象 限? 16.先阅读，然后回答问题： 化简由于题中没有给出x 的取值范围，所以要先分类讨论. 32 x x ==-++ 令x-3=0，x+2=0,分别求出x=3,x=-2(称 3,-2 ，然后在数轴上标出表示3和 -2的点，如图所示，数轴被分成三段，即x<-2，-2≤x<3，x≥3. 当x<-2时，原式=-（x-3）-(x+2)=-x+3-x-2=-2x+1; 当-2≤x<3时，原式=-（x-3）+(x+2)=-x+3+x+2=5; 当x≥3时，原式=（x-3）+（x+2）=x-3+x+2=2x-1. （ 1 （2 参考答案 1.D 解析因为(20.5=,所以A,B,C 选项均错,选D. 2.A 0,. 3.D 解析根据题意得x 2＝9,解得x ＝±3. 4.C 解析由二次根式有意义的条件,得10,10,x x -??-? ≥≥ 解得1,1, x x ???≥≤∴x ＝1,∴(x ＋y)2＝0即x ＋y ＝0, ∴y ＝-1.∴x-y ＝1-(-1)＝2. 5.B 2112,a a -=- ∴1-2a≥0,即12 a ≤. 6.C 解析由3-x≥0得x≤3,由x ＋3≥0得x≥-3,故-3≤x≤3,在数轴上表示为C. 7.D 30x y --=. 290,1530,12.x y x x y y -+==??∴??--==?? ，解得 ∴x ＋y ＝27.故选D. 8.3解析当2＜x ＜5时,x-2＞0,x-5＜0. 25253x x x x =-+-=-+-=. 9.1解析由数轴可知0＜a ＜1,则11a a a -=-,故111a a a --+=. 10.(1)李东 (2)a ,其结果等于a 还是等于a 的相反数,要由a 的符号决定, 当a≥0时,结果等于a,当a ＜0时,结果等于a 的相反数,当a ＝10时,1-a ＜1a =-,故李东的解答是错误的. 11.解:(1)235=. (2)( 222416348=?=?=. 66- =. (4)1188=--=-. 22. (6)∴1≤x≤3,∴x-1≥0,x -3≤0. 1313 2.x x x x =-+-=-+-=12.解:(1)16 ＝42.(2)27= . (3)21.5= .(4)2 34=?? . 13.解:由题意,得240,20,a a -??-≥?≥解得a ＝2,则b ＝5. 由三角形的三边关系,可知腰长为5,底边长为2, ∴等腰三角形的周长为5＋5＋2＝ 12. 14.解 :(1) 24222224(2)(2)(2)(2)(x x x x x x x x ??-=+-=+-??? ?=+ +. (2) 224222 222244(2)(((x x x x x x x x ??-+=-=-??????=+=+?? . 15.分析:由横坐标和纵坐标的符号来判断P 点在哪个象限.由二次根式有意义的条件和分式的 分母不为0,得0,0, m mn -???≥＞ ∴00m n ??? ＜，＜，∴点P 在第三象限 16.思想建立：(1) ,就是令x ＋1＝0,x-2＝0,求出x 的值即 可. (2)就需要根据第(1)题找出的零点值,分类讨论,再根据二次根式的性质化简,, 解1x +2x =-, 令x ＋1＝0,得x ＝-1,令x-2＝0,得x ＝2, ,值为 2. 1 2.x x =++- 令x ＋1＝O,得x ＝-1,令x-2＝0,得x ＝2. 在数轴上标出表示-1和2的点,如图所示,数轴被分成三段,即x ＜-1,-1≤x＜2,x≥2. 当x ＜-1时,原式＝-(x ＋1)-(x-2)＝-x-1-x ＋2＝-2x ＋1; 当-1≤x＜2,原式＝(x ＋1)-(x-2)＝x ＋1-x ＋2＝3; 当x≥2,原式＝(x ＋1)＋(x-2)＝x ＋1＋x-2＝2x-1 《全国初中数学竞赛》二次函数历届考题 11（2008）、已知一次函数12y x =，二次函数221y x =+，是否存在二次函数c bx ax y ++=23，其图象经过点（－5,2） ，且对于任意实数x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值12,y y ，3y ，都有123y y y ≤≤成立？若存在，求出函数3y 的解析式；若不存在，请说明理由。 解：存在满足条件的二次函数。 因为222122(1)21(1)0y y x x x x x -=-+=-+-=--≤，所以，当自变量x 取任意实数时，12y y ≤均成立。 由已知，二次函数c bx ax y ++=23的图象经过点（－5,2），得 2552a b c -+= ① 当1x =时，有122y y ==，3y a b c =++ 由于对于自变量x 取任实数时，132y y y ≤≤均成立，所以有2≤a b c ++≤2， 故 2a b c ++= ② 由①，②，得4b a =，25c a =-，所以234(25).y ax ax a =++- ……5分 当13y y ≤时，有224(25)x ax ax a ≤++-，即2(42)(25)0ax a x a +-+-≥ 所以，二次函数2(42)(25)y ax a x a =+-+-对于一切实数x ，函数值大于或等于零，故 20 (42)4(25)0a a a a ??---≤? 即2 0,(31)0, a a ??-≤? 所以1 3a = 当23y y ≤时，有224(25)1ax ax a x ++-≤+，即2(1)4(51)0a x ax a --+-≥， 所以，二次函数2(1)4(51)y a x ax a =--+-对于一切实数x ，函数值大于或等于零，故 210,(4)4(1)(51)0,a a a a -??----≤?即2 1,(31)0,a a ??-≤?所以13a = 综上，141 ,4,25333 a b a c a ====-= 最新八年级下册数学--二次根式知识点整理 1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做 a的算术平方根. 2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变.如： -2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2.不等式组的解集是两个不等式解集的公共 部分.如｛3、 分母≠0 4、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0） 一、二次根式的概念 一般地，我们把形如，a （a≥0）的式子叫做二次根式，“，”称为二次根号. ★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点： （1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“，”，“，”的根指数为2，即“2，”，我们一般省略根指数2，写作“，”.如2，5 可以写作，5 . （2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子. （3）式子，a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，，a ≥0.其中a≥0是，a 有意义的前提条件. （4）在具体问题中，如果已知二次根式，a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件. （5）形如b，a （a≥0）的式子也是二次根式，b与，a 是相乘的关系.要注意当b 是分数时不能写成带分数，例如错误!错误!可写成错误!，但不能写成2 错误!错误!. 练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1），6 ；（2），-18 ；（3），x2+1 ；（4）3，-8 ；（5），x2+2x+1 ；（6）3，｜x｜；（7），1+2x （x＜- 错误!） 二、当x取什么实数时，下列各式有意义？（1），2-5x ；（2），4x2+4x+1 二、二次根式的性质： 初一数学联赛班七年级第 7 讲二次函数图像的翻折和对称 典型例题 一 . 抛物线的翻折 【例 1】将抛物线沿 y 2x 2 沿 x 轴翻折，求所得抛物线的解析式. 3x 4 【例 2】（ 1）将抛物线 y3x2 4 x 5 沿直线 y 2 翻折，求所得抛物线的解析式 . （ 2）将抛物线 y 2 2 x 1 沿直线 y 3 翻折，求所得抛物线的解析式 . 3x 【例 3】将抛物线2 c 沿x轴翻折以后与抛物线y 12 重合，求 a 和 c 的值 . y ax x4 2 【例 4】将抛物线沿y 2x23x 4 沿y轴翻折，求所得抛物线的解析式. 七年级初一数学联赛班 【例 5】（ 1）将抛物线 y3x2 2 x1沿y轴翻折，求所得抛物线的解析式. （ 2）将抛物线 y 2 4x 1 沿直线x 2 翻折，求所得抛物线的解析式. 2x （ 3）将抛物线 y 2 2 x1沿直线x 1 翻折，求所得抛物线的解析式. 3x 【例 6】抛物线 y ax2bx c 关于直线 x m 对称的曲线与x 轴的交点坐标是多少？ 二. 含绝对值的函数与方程 【例 7】画出函数y x25x 6 的图像. 初一数学联赛班七年级【例 8】讨论方程2x23x 1 m （m为实数）的解的个数与m 的关系 . 【例 9】（ 1）画出函数 y 2 23 x 1 的图像；x （ 2）为使方程 x223x11x b 有 4 个不同的实数根，求 b 的变化范围. 3 【例 10】画出函数y x2 5 x 6 的图像. 七年级初一数学联赛班 【例 11】讨论方程x2 6 x 10 m （m为实数）的解的个数与m 的关系 . 【例 12】已知函数y x2x 12的图像与x轴交于相异两点 A 、B ，另一抛物线 y ax2bx c 过点 A 、 B ，顶点为P ，且APB 是等腰直角三角形，求 a ，b， c . 【例 13】讨论函数y x2 3 x 7 的图像与函数y x23x x23x 6 的图像的交点的个数. 第10讲 二次函数极值问题 典型例题 一. 基本训练 【例1】 求函数243(05)y x x x =-+≤≤的最大值和最小值． 【例2】 已知关于x 的函数23y x ax =++，其中11x -≤≤，试分别求出下列条件下函数的最大值和 最小值． （1）02a ＜＜； （2）2a ＞． 【例3】 求函数22y x ax =-（01x ≤≤）的最大值、最小值． 【例4】 求函数2(1)2(1)y m x m x m =+-+-的最大值和最小值，其中m 为常数（1m ≠-）． 【例5】 求函数()2f x x x x x =--在312 x -≤≤的最小值． 【例6】 设a 为非零实数，求函数22()2(1)2f x ax a x =-++（01x ≤≤）的最大值与最小值． 二. 巩固提高 【例7】 已知26y x mx =+-，当13m ≤≤时，0y ＜恒成立．求m 的取值范围． 【例8】 二次函数228y x ax =-+在12x ≤≤时，函数的最小值为5，求a 的值． 【例9】 在ABC △中，2BC =，BC 边上的高1AD =，P 是BC 上任一点，PE AB ∥交AC 于点E ， PF AC ∥交AB 于点F ． （1）设BP x =，将PEF S △用x 表示． （2）P 在BC 的什么位置时，ABC S △最大． 【例10】 设二次函数2()y f x ax bx c ==++的图象的对称轴是230x -=，在x 轴的截距的倒数的和为2， 且经过点(33)-， ． （1）试求a b c 、、的值； （2）当x 在什么值时，1y ＞或3y -＜？ （3）当x 为何值时，y 有最大值？并求最大值． （4）作出此函数的图象． 【例11】 已知抛物线1C ：234y x x =--+和抛物线2C ：234y x x =--相交于A B 、两点．点P 在抛物 线1C 上，且位于点A 和点B 之间；点Q 在抛物线2C 上，也位于点A 和点B 之间． （1）求线段AB 的长； （2）当PQ y ∥轴，求PQ 长度的最大值． 二次根式知识点 一、二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 二、最简二次根式：必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 三、同类二次根式: 二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 四、二次根式性质： 五、二次根式运算: 二次根式练习 一、选择题 １.22 x x x x =--成立的x 的取值范围是( ) A ． 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x D ． 2x ≥ 2. 下列根式中,是最简二次根式的是( ) A ． 0.2b 1212a b -Ｃ22x y - 25ab 3.已知10182 22=++x x x x ,则ｘ等于（ ） Ａ.4 Ｂ．±２ C ．２ D.±4 4．下列说法正确的是( ). (A)被开方数相同的二次根式可以合并 （B)8与80可以合并 (C)只有根指数为2的根式才能合并?(D)2与50不能合并 5. 下列各组中的两个根式是同类二次根式的是( ) Ａ、x 25和x 3 Ｂ、2 375 b a 和a 12 C 、y x 2和2xy D 、a 和21 a 6. 已知ａ>b ＞0,a+b ＝6ab ，则 a b a b -+的值为（ ) A.22 Ｂ.2 C.2 D ．12 ７. 下列根式中,不能与 合并的是( ） ? ? ? A. B ． Ｃ. Ｄ. 8．下列运算正确的是( ) ? ?? ? A ． 5a ２+3a 2=8a ４? Ｂ. a 3?a 4＝a 1２ ?C ．(ａ＋2ｂ）２=a 2+4b ２ D.﹣ =﹣4 二、填空题 1. 在27,8,3 1 , 12,中，与3是同类二次根式的有 个。 ２. 已知三角形底边的边长是6cm,面积是12c ｍ2 , 则此边的高线长 。 3． 若()2 2340a b c -+-+-=，则=+-c b a 。 4. 若 =3﹣x ,则ｘ的取值范围是 ． 5． 1 1 m m -+有意义，则m 的取值范围是 6．已知411+=-+-y x x ,则x ｙ 的平方根为______。 7.已知ａ,b,c 为三角形的三边,则2 2 2 )()()(a c b a c b c b a -++--+-+= 。 ８.若菱形的两条对角线长分别为)2352(+和)2352(-则此菱形的面积为______. 《全国初中数学竞赛》二次函数历届考题 2 11 （2008）、已知一次函数 y 1 2x ，二次函数 y 2 x 1，是否存在二次函数 y ax 2 bx c ，其图象经过点（—5,2），且对于任意实数x 的同一个值，这三 个函数所对应的函数值y 1,y 2，y 3，都有％ y y 成立？若存在，求出函数y 的 任意实数时，y 1 y 均成立。 当 x 1 时，有 y 1 y 2 2， y 3 a b c 由于对于自变量x 取任实数时, y 1 y 3 y 均成立，所以有 2< a b c <2, 故 a b c 2 ② 由①, ②，得 b 4a , c 2 5a , 所以 2 y 3 ax 4 ax (2 5a). ?5分 当 y 1 / ” 2 y 3 时，有 2x ax 4ax (2 5a) ,即 ax 2 (4 a 2)x (2 5a) 0 所以, 二次函数y ax 2 （4a 2)x (2 5a ）对于 -切实数 x ，函数值大于或 ① 25a 5b c 2 解析式；若不存在，请说明理由。 解：存在满足条件的二次函 数。 x 2 因为y i y 2 2x (x 2 1) 2x 1 （x 1）2 0,所以，当自变量x 取 由已知，二次函数y 3 ax 2 bx c 的图象经过点（一5,2），得 等于零，故 af 0 (4 a 2)2 4a (2 5a) 0 af (3a 0, 1)2 0,所以a 3 当y 3 y 2时，有 2 ax 4ax (2 5a) 1，即(1 a) x 2 4 ax (5a 1) 0， 所以，二次函数y (1 a)x 4ax (5a 1）对于一切实数x , 函数值大于或 等于零，故 1 af 0, 2 (4a) 4(1 a)(5a 1) 0,即：3：11)2 0,所以a 1 综上，a 1,b 4a 3 4 ,c 2 5a 1 3 3 新人教版数学八年级下册《二次根式》基础专项练习 一、二次根式的意义 1．下列式子一定是二次根式的是（） A．B．C．D． 2．下列式子是二次根式的有（） ①；②（a≥0）；③（m，n同号且n≠0）；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．下列根式中，属于最简二次根式的是（） A． B．C．D． 二、二次根式有意义的条件 4．若代数式﹣在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x≠﹣2 B．x≤5 C．x≥5 D．x≤5且x≠﹣2 5．已知y=，则的值为（） A．B．﹣ C．D．﹣ 6．若式子﹣+1有意义，则x的取值范围是（） A．x≥B．x≤C．x= D．以上都不对 三、二次根式的性质与化简 7．下列运算正确的是（） A．B． C．D． 8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简﹣+b的结果是（）A．1 B．b+1 C．2a D．1﹣2a 9．若1＜x＜2，则的值为（） A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2 四、最简二次根式 10．下列二次根式是最简二次根式的是（） A． B．C． D． 11．在根式①②③④中，最简二次根式是（）A．①②B．③④C．①③D．①④ 12．下列根式中是最简二次根式的是（） A．B．C．（a＞0）D． 五、二次根式的乘除法 13．计算2×÷的结果是（） A．B．C．D．2 14．下列运算正确的是（） A．a+a=a2B．a2?2a3=2a6C．÷=3 D．（﹣ab3）2=a2b6 15．下列计算正确的是（） ①=?=6；②=?=6 ③=?=3；④=?=1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 六、分母有理化 16．﹣1的倒数为（） A．﹣1 B．1﹣C．+1 D．﹣﹣1 17．a=，b=，则a+b﹣ab的值是（） A．3 B．4 C．5 D． 七、同类二次根式 18．下列根式中，与为同类二次根式的是（） A．B．C．D． 19．下列二次根式中，能与合并的是（） A． B． C．D． 20．在根式、、、、中与是同类二次根式的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 一、选择题 1．下列式子中二次根式的个数有 （ ） ⑴ 3 1；⑵ 3 -；⑶ 1 2+-x ；⑷ 3 8 ；⑸ 2 3 1)(-； ⑹ )(11>-x x ；⑺322++x x . A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2．当2 2 -+a a 有意义时，a 的取值范围是 （ ） A ．a≥2 B．a ＞2 C ．a≠2 D ．a≠－2 3、已知 2 33x x +＝－x 3+x ，则………………（ ） （A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－ 3 （D ）－3≤x ≤0 4．对于二次根式9 2+x ，以下说法不正确的是 （ ） A ．它是一个正数 B ．是一个无理数 C ．是最简二次根式 D ．它的最小值 是3 5．把 ab a 123分母有理化后得 （ ） A ．b 4 B ．b 2 C ． b 2 1 D ． b b 2 6．若b a 是二次根式，则a ， b 应满足的条件是 （ ） A ．a ，b 均为非负数 B ．a ，b 同号 C ．a ≥0，b>0 D ．0 ≥b a 7．下列二次根式中，最简二次根式是 （ ） A ．2 3a B ．3 1 C ．153 D ．143 8． 计 算 ： ab ab b a 1?÷等于 （ ） A ．ab ab 2 1 B ．ab ab 1 C ．ab b 1 D ．ab b 9、若x ＜y ＜0，则2 22y xy x +-＋ 2 22y xy x ++＝………………………（ ） （A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y 10、若0＜x ＜1，则 4 )1 (2+-x x － 4 )1 (2-+x x 等 于………………………（ ） （A ）x 2 （B ）－ x 2 （C ）－2x （D ）2x 11． 化 简 a a 3-( a ＜0 ) 得 ……………………………………………………………… （ ） （A ）a - （B ）－ a （C ）－a - （D ） a 12．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ） （A ）2 )(b a + （B ）－ 2 )(b a - （C ） 2)(b a -+- （D ）2 )(b a --- 二、填空题 11．当x___________时，x 43-在实数范围内有意 义． 12．比较大小：23-______32 -． 13、把y x x 823 化为最简二次根式得______________。 14、若 2 a =－a,则实数a_________ 15、已知最简二次根式2 -+b a 和b a -2能够合并， 则a-b= 全国初中数学竞赛》二次函数历届考题 2 11(2008)、已知一次函数y1 2x ，二次函数y2 x2 1 ，是否存在二次函数y3 ax2bx c ，其图象经过点(－5,2)，且对于任意实数x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1, y2，y3 ，都有y1 y2 y3成立？若存在，求出函数y3的解析式；若不存 在，请说明理由。 解：存在满足条件的二次函数。 因为y1 y2 2x (x2 1) x2 2x 1 (x 1)2 0 ，所以，当自变量x 取任意实数时，y1 y2 均成立。 由已知，二次函数y3 ax2bx c 的图象经过点(－5,2)，得 25 a 5b c 2 ① 当x 1 时，有y1 y2 2 ，y3 a b c 由于对于自变量x取任实数时，y1 y3 y2均成立，所以有2≤ a b c ≤2， 故 a b c 2 ② 由①，②，得 b 4a ，c 2 5a，所以y3 ax2 4ax (2 5a). ??5 分 当y1 y3 时，有2x ax2 4ax (2 5a) ，即ax2 (4 a 2) x (2 5a) 0 所以，二次函数y ax2 (4a 2) x (2 5a)对于一切实数x，函数值大于或 等于零，故 a0 即(3a 1)20, 所以a 3 2 (4a 2)24a(2 5a) 0 当y3 y2时，有ax2 4ax (2 5a) x2 1，即(1 a)x2 4ax (5a 1) 0， 所以，二次函数y (1 a) x2 4ax (5a 1)对于一切实数x，函数值大于或 等于零，故 1( 4a a)20,4(1 a)(5a 1) 0, 即a 1,2 所以a1 (3a 1)20, 3 八年级数学下册二次根式定义练习题 一、选择题 1．要使式子x -1有意义，则x 的取值范围是（ ） A.x≤1 B.x≥1 C.x ＞0 D.x ＞﹣1 2、下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A.2 x B.8 C.2x D.12+x 4x 的取值范围是（ ） A ．0x > B ．2x ≥- C ．2x ≥ D ．2x ≤ 5、若式子34x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A.43x ≥ B. 43x> C. 34x ≥ D. 34 x> 6. 如果代数式有意义，那么x 的取值范围是（ ） A ．x≥0 B ．x≠1 C ．x ＞0 D ．x≥0且x≠1 7 =成立的x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x > D. 2x ≥ 8、在函数y=中，自变量x 的取值范围是（ ） A.x ≥﹣2且x ≠0 B.x ≤2且x ≠0 C.x ≠0 D.x ≤﹣2 9、求使下列各式有意义的x 的取值范围？ （1）2+x －x 23- （2）x -－ 11+x (3) 1y x = - （4）2||12--x x 一、选择题 1．下列式子成立的是（ ） A ．33 1= B ．2332=- C ．332=-）（ D.（3）2=6 2．化简8的结果是（ ） A ．2 B ．4 C ．22 D ．±22 3．化简27 23-的结果是（ ） A ．32- B ．32- C ．36- D ．2- 412a =-，则（ ） A ．a ＜12 B. a ≤12 C. a ＞12 D. a ≥12 5、已知y 3，则2xy 的值为（ ） A ．15- B ．15 C ．152- D ． 152 6＜0)得（ ） A B C D 7、设实数a ，b 在数轴上对应的位置如图所示，化简 2a +|a +b |的结果是（ ） A.-2a +b B.2a +b C.-b D. b 8、若+|2a ﹣b+1|=0，则(b ﹣a)2015=（ ） A.﹣1 B.1 C.5 2015 D.﹣520159 中国教育学会中学数学教学专业委员会 2012年全国初中数学竞赛试题 题 号 一 二 三 总 分 1～5 6～10 11 12 13 14 得 分 评卷人 复查人 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1（甲）．如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，22||()||a a b c a b c -++-+可以化简为（ ）． A ．2c a - B ．22a b - C ．a - D ．a 1（乙）．如果22a =-+11123a ++ +的值为（ ）． A ．2- B 2 C ．2 D ．222（甲）．如果正比例函数()0y ax a =≠与反比例函数()0b y b x =≠的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为()32--，，那么另一个交点的坐标为（ ）． A ．()23， B ．()32-， C ．()23-， D ．()32， 2（乙）．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式2222x y x y ++≤的整数点坐标()x y ，的个数为（ ）． A ．10 B ．9 C ．7 D ．5 3（甲）．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． A ．1 B ． 214a - C ．12 D ．1 4 3（乙）．如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，ABC △是等边三角形．30ADC ∠=°，3AD =，5BD =，则CD 的长为（ ）． A ．32 B ．4 C ．5 D ．4.5 4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二次根式 1、 算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，那么这个正数x 叫做 a 的算术平方根。 2、 解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。 如：-2x ＞4，不等式两边同除以-2得x ＜-2。不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。如 3、 分母≠0 4、 绝对值：｜a ｜=a （a ≥0）；｜a ｜= - a （a ＜0） 一、 二次根式的概念 一般地，我们把形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。 ★ 正确理解二次根式的概念，要把握以下五点： （1） 二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“ ”，“ ”的根指数 为2，即“2 ”，我们一般省略根指数2，写作“ ”。如2 5 可以写作 5 。 （2） 二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。 （3） 式子 a 表示非负数a 的算术平方根，因此a ≥0， a ≥0。其中a ≥0是 a 有意 义的前提条件。 （4） 在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a ≥0这一隐含条件。 （5） 形如b a （a ≥0）的式子也是二次根式，b 与 a 是相乘的关系。要注意当b 是分 数时不能写成带分数，例如83 2 可写成8 2 3 ，但不能写成2 2 3 2 。 练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ； （2）-18 ； （3）x 2+1 ； （4）3 -8 ； （5）x 2 +2x+1 ； （6）3｜x ｜ ； （7）1+2x （x ＜- 1 2 ） 二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？ （1）2-5x ； （2）4x 2+4x+1 二、二次根式的性质： 练习：计算（1）（3 5 ）2 (2) （4 3 ）2 (3) （-62) （4）- （- 18 ）2 （6）x 2-2x+1 + x 2-6x+9 （1≤x ≤3） ★（ a ）2（a ≥0）与a 2 的区别与联系： 人教版初中数学八年级下册二次根式 二次根式(A 卷) 一、选择题（每题3分，共18分） 1．下列各式中，是二次根式的为（ ） A ．π B ．12 C D 2．下列判断正确的是（ ） A ．带根号的式子一定是二次根式; B 一定是二次根式 C ; D ．二次根式的值必定是无理数 3 ） A ．x 是非负数 B ．x 是实数 C ．x 是正实数 D ．x 是不等于零的实数 4．当x=5时，在实数范围内没有意义的式子是（ ） A B 52=a-1成立的条件是（ ） A ．a<1 B ．a ≠1 C ．a ≥1 D ．a ≤1 6有意义的实数x 的值有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个 二、填空题（每题3分，共12分） 7．________． 8．当______时，代数式 2x -有意义． 9．计算：（）2=______，（）2=________． 10．把919 写成一个正数的平方形式是________． 三、计算题（8分） 11．（）2）2-）0． 四、解答题（每题11分，共22分） 12．若0 13．已知，求（xy-64）2的算术平方根． 参考答案 一、 1．C 2．B 3．C 4．C 5．C 6．B 二、7．a≤3 2 8．x≥1且x≠2 9．175；4x 10．2 三、11．解：原式=32）2+8-1=9×2-9+8-1=16． 四、12．解：原式=│x│+（1-x）-│x-1│-1， 13．解：依题意，得 70, 70. x x -≥ ? ? -≥ ? 解得7≤x≤7， 所以x=7．代入解得x=9． ． 初中数学竞赛专题讲解一元二次方程的求解 方程是一种重要的数学模型，也是重要的数学思想之一。有关方程的解的讨论问题一直是初中数学竞赛试题的热点与难点。解决有关方程的解的讨论问题往往涉及到分类讨论、数形结合等数学思想。 1.形如方程的解的讨论： ⑴若=0，①当=0时，方程有无数个解； ②当≠0时，方程无解； ⑵若≠0，方程的解为= 。 2.关于一元二次方程()0a ≠根的讨论，一般需应用到根的判别式、根与系数 的关系等相关知识。 ⑴若，则它有一个实数根1x =；若 ，则它有一个实数根1x =-。 ⑵运用数形结合思想将方程()0a ≠根的讨论与二次函数 ()0a ≠的图象结合起来考虑是常用方法。 几个基本模型 （1）设()()2 0f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满足12,m x x n <<的充要条件是202b m n a b af a ?<-???>?? （2）一般地设m n p <<，设()()20f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满 足12,m x n x p <<>的充要条件是()()()000af m af n af p >??? （3）一般地设m n p q <≤<设()()20f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ， 满足12m x n p x q <<≤<<的充要条件是()()() ()0000af m af n af p af q >??? （4）一般地设m n ≤设()()2 0f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满足12x m n x ≤≤≤的充要条件是()()00af m af n ≤???≤?? 二次根式的概念及性质 用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： （1）面积为3的正方形的边长为__________，面积为S 的正方形的边长为___________。 （2）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130平方米，则它的宽为___________。 （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t （单位：s ）与开始落下时离地面的高度h （单位：m ）满足关系：h=52 t 。如果用含有h 的式子表示t ，那么t 为____________。 【知识梳理1】二次根式的概念 形如_____（a≥0）的式子叫做二次根式， 叫做 。 注：（1）二次根式的定义是从形式上界定的，即必须含有二次根号“ ”，如：2、 3 2 等都是二次根式。尽管9的结果为3，但由于9满足二次根式的特征，所以9是二次根式； （2）二次根式的被开方数可以是一个数字，也可以是一个代数式，但必须满足被开方数大于等于0，如 21x ﹣－，由于被开方数小于0，所以它不是二次根式； （3）根指数是2，这里的2可以省略不写，如37不是二次根式，因为它的根指数不是2； 形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，它表示b 与a 的乘积，当b 是带分数或小数时，要写成假分数的形式，如352不能写成1 152 的形式。 【例题精讲】二次根式的定义 例1. 在式子()12,02,1,42 2 2 3+-<--+x x x x a y x ，，4，x 中，是二次根式的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 【试一试】 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、12+a 2. 在、、、、中是二次根式的个数有______个。 【知识梳理2】二次根式有意义的条件 要使二次根式a 有意义，则 ≥0。 根据具体的情况可分类讨论如下： a 2a b 1x +2 1x +3 二次根式的乘除法习题课 教学目标：1、通过练习巩固二次根式的乘、除法法则. 2、能根据式子的特点，灵活运用乘积、商的算术平方根的性质和分 母有理化等手段进行二次根式的乘、除法运算. 3、进一步培养学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力. 教学重点：二次根式乘除法法则及运算. 教学难点：能正确运用性质、法则灵活进行有关二次根式乘除法的计算. 教学过程： 一、 复习 1、 填空： （1）二次根式的乘法法则用式子表示为 . （2）二次根式的除法法则用式子表示为 . （3）把分母中的 化去，叫做分母有理化. 将式子 22a 分母有理化后等于 . （4）44162+?-=-x x x 成立的条件是 . （5）x x -=-2)2(2成立的条件是 . （6）2121+-=+-x x x x 成立的条件是 . （7）化简： =24 . =?1259 . =-222129 . =c b a 324 . =499 . =9 44 . =224c b a . （8）计算： =?1510 . =? x xy 1312 . =÷6 5321 . 2、 判断题：下列运算是否正确. （ ）（1）ππ-=-14.3)14.3(2 （ ）（2）767372=? （ ）（3）636)9()4(94==-?-=-- （ ）（4）5 125432516925169=?=?= （ ）（5）5.045.16= （ ）（6）73434342222=+=+= + （ ）（7）22 8= （ ）（8）32 123= 3、你能用几种方法将式子 m m （ m ＞0 ）化简? 二、讲解新课： 1、运用乘法分配律进行简单的根式运算. 例1 计算 （1）)2732(3+ （2）24)654(- 解: (1)原式=273323?+? =273332?+? =2 2932+ =6+9 =15 (2)原式=2462454?-? 第三讲二次函数 二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富内涵。在中学数学数材中，对二次函数和二次方程，二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质，都有深入和反复的讨论与练习。它对近代数学，乃至现代数学，影响深远，为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，历久不衰，以它为核心内容的重点试题，也年年有所变化，不仅如此，在全国及各地的高中数学竞赛中，有关二次函数的内容也是非常重要的命题对象。因此，必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质。 学习二次函数的关键是抓住顶点（-b/2a，(4ac-b2)/4a），顶点的由来体现了配方法（y=ax2+bx+c=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a）；图象的平移归结为顶点的平移（y=ax2→y=a(x-h)2+k）；函数的对称性（对称轴x=-b/2a，f (-b/2a+x)=f (-b/2a-x)，x∈R），单调区间（-∞，-b/2a），[-b/2a,+∞]、极值（(4ac-b2)/4a），判别式（Δb2-4ac）与X轴的位置关系（相交、相切、相离）等，全都与顶点有关。 一、“四个二次型”概述 在河南教育出版社出版的《漫谈ax2+bx+c》一书中（作者翟连林等），有如下一个“框图”： →a=0 → ↑↑ ↑↑ （一元）二次三项式 →a=0 → ax2+bx+c(a≠0) ↓↓↓↓ ↓↓↓↓ →a=0 →↓ ↓↓ 一元二次不等式 →a=0 → ax2+bx+c>0或 ax2+bx+c<0(a≠0) 观察这个框图，就会发现：在a≠0的条件下，从二次三项式出发，就可派生出一元二次函数，一元二次方程和一元二次不等式来。故将它们合称为“四个二次型”。其中二次三项式ax2+bx+c(a≠0)像一颗心脏一样，支配着整个 二次根式 1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做 a的算术平方根。 2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。 如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。不等式组的解集是两个不等式解集的 公共部分。如 3、分母≠0 4、绝对值：｜a｜（a≥0）；｜a｜= - a （a＜0） 一、二次根式的概念 一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“) ”称为二次根号。 ★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点： （1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“) ”，“) ”的根指数为2， 即“) ”，我们一般省略根指数2，写作“) ”。如) 可以写作) 。 （2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。 （3）式子表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0。其中a≥0是有意义的前提条件。 （4）在具体问题中，如果已知二次根式，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。 （5）形如b（a≥0）的式子也是二次根式，b与是相乘的关系。要注意当b是分数时不 能写成带分数，例如可写成,3) ，但不能写成2 。 练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）3；（7）（x＜- ） 二、当x取什么实数时，下列各式有意义？ （1）；（2） 二、二次根式的性质： 练习：计算（1）（) ）2 (2) （4）2 (3) （4）- ）2) （6）+ （1≤x≤3） ★（）2（a≥0）与的区别与联系： 三、代数式 用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式。例：3，x，，（x≥0），，（t≠0，x3都是代数式 注（1）单独一个数或字母也是代数式；（2）代数式中不能含有关系符号（＞，＜，=等）（1）将两个代数式用关系符号（＞，＜，=等）连接起来的式子叫关系式，方程和不等式都是关系式。如23＞35是关系式。 练习：下列式子：①0；②π2③24；④＞1；⑤23b；⑥(x≤2)，其中是代数式的有（）列代数式的常用方法： （1）直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式。 （2）公式法：根据公式列出代数式。 （3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。 练习：列代数式 （1）把a本书平均分给若干名学生，若每人分5本，还余3本，则学生人数为（）（2）若圆A的半径r是圆B的半径的5倍，则这两个圆的周长之和为（） 典型例题剖析 题型一：二次根式有意义的条件 当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）；（2）)；（3） 题型二：利用二次根式的非负性化简求值 第8讲 二次函数与不等式 典型例题 一. 一元二次不等式 【例1】 解不等式： （1）24210x x +-≥； （2）2310 【例4】 若一元二次不等式20>ax bx c ++的解时13< 【例9】 若不等式2(2)2(2)40x x a a x a ?-+-??+??的整数解恰好有两个，求a 的取值范围. @ 二. 高次不等式和分式不等式 【例13】 解不等式：22(45)(2)0 【例16】— 【例17】解不等式： 3 2 > x x - - . 【例18】解不等式： 2 2 32 23 < x x x x -+ -- . · 【例19】解不等式： 2 2 911 7 21 x x x x -+ -+ ≥. … 二次根式的知识点汇总 知识点一：二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式， 所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。 知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方 根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若 ，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即； 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而 中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运 算的结果是有差别的，，而 2、相同点：当被开方数都是非负数， 即时，=；时，无意义， 而. 知识点七：同类二次根式 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 知识点八:二次根式的运算： （1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （2）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． （a≥0，b≥0）； a>0）． （3）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 二次根式的加减乘除混合运算练习题 一、单选题 1.计算()0221+-的结果是( ). A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 2.若一个数的平方根与它的立方根完全相同，这个数是( ) A.1 B.1- C.0 D.1,0± 3.16的平方根是( ) A.4 B.4- C.4± 4.有下列说法： ①负数没有立方根； ②一个数的立方根不是正数就是负数； ③一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0； ④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1或0. 其中错误的是( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ ( ) A.2± B.4± C.4 D.2 6.下列各组数中互为相反数的是( ) A.2- B.2- C.2与2( D.| 7.2(的平方根是x ，64的立方根是y ，则x y +的值为( ) A.3 B.7 C.3或7 D.1或7 8.下列等式正确的是( ) 712± B.32- 3=- 4= 9.如图，用正方形制作的“七巧板”拼成了一只小猫，若小猫头部（图中涂色部分）的面积是2100cm ，则原正方形的边长为( ) A.10cm B.15cm C.20cm D.25cm 10.一个正数的两个平方根分别是21a -与2a -+，则a 的值为( ) A.1- B.1 C.2- D.2 二、计算题 11.计算: (1) 12.求下列各数的立方根. 1.27- 2.0.008 3.12527 13.计算下列各式的值. 1.35(5)()7 -÷- - - 14.一个正数x 的平方根是35a -与3a -，求a 和x 的值. 15.已知21a -的算术平方根是3，34a b ++的立方根是2，求4a b +的平方根. 16.化简: 17.化简: 18.计算: 19.计算: 22- 三、填空题 20.已知m ,n 为两个连续的整数,且m n <<,则m n +=__________. 21.827 -的立方根为______. 22.小红做了棱长为5cm 的一个正方体盒子，小明说：“我做的盒子的体积比你的大3218cm . ”则小明的盒子的棱长为__________cm . 23.一个正数x 的平方根是23a -与5a -，则x =________. 1的整数部分是____________《全国初中数学竞赛》二次函数历届考题
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