八年级下册数学--二次根式知识点整理讲解学习

一、二次根式的概念及性质：① 二次根式的概念：一般地，形如 √a （a≥0）的式子叫作二次根式，其中“ √ ” 称为二次根号，a称为被开方数。

例如，√2 ，√（x^2+1) ，√(x-1) (x≥1) 等都是二次根式 。

② 二次根式的性质：当 a ≥ 0 时，√a 表示 a 的算术平方根，所以√a 是非负数 ( √a ≥ 0)，即对于式子 √a 来说，不但 a ≥ 0，而且 √a ≥ 0，因此可以说 √a 具有双重非负性 。

③ 最简二次根式：1、被开方数中不含有分母 ；2、被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式 。

④ 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

⑤ 商的算术平方根的性质：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。

注：对于商的算术平方根，最后结果一定要进行分母有理化。

⑥ 分母有理化：化去分母中根号的变形叫作分母有理化，分母有理化的方法是根据分数的基本性质，将分子和分母分别乘分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式）化去分母中的根号。

⑦ 化成最简二次根式的一般方法：1、将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方；2、若被开方数含分母，先根据商的算术平方根的性质对二次根式进行变形，再根据分母有理化的方法化简二次根式；3、若分母中含二次根式，根据分母有理化的方法化简二次根式 。

判断一个二次根式是否为最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点：（1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）若被开方数是和（或差）的形式，则先把被开方数写成积的形式，再判断，若无法写成积（或一个数）的形式，则为最简二次根式 。

⑧ 二次根式的加减：（1）先把每个二次根式都化成最简二次根式；（2）把被开方数相同的二次根式合并，注意合并时只把“系数”相加减，根号部分不动，不是同类二次根式的不能合并，即二、知识点讲解：1、二次根式的概念及有意义的条件：例题1、下列式子中，是二次根式的有 （ B ）例题2、使式子 √(m-2) 有意义的最小整数 m 的值是 2 。

人教版八年级下册数学知识点汇总第十六章二次根式。

1. 二次根式的概念。

- 形如√(a)(a≥slant0)的式子叫做二次根式。

其中“√()”称为二次根号，a叫做被开方数。

- 注意：被开方数a必须是非负数，否则√(a)无意义。

例如√(-2)就不是二次根式。

2. 二次根式的性质。

- √(a)(a≥slant0)是一个非负数，即√(a)≥slant0。

- (√(a))^2=a(a≥slant0)。

例如(√(5))^2 = 5。

- √(a^2)=| a|=a(a≥sl ant0) -a(a<0)。

如√(3^2) = 3，√((-3)^2)=| - 3|=3。

3. 二次根式的乘除。

- 二次根式的乘法法则：√(a)·√(b)=√(ab)(a≥slant0,b≥slant0)。

例如√(2)×√(3)=√(2×3)=√(6)。

- 二次根式的除法法则：√(a)÷√(b)=√(frac{a){b}}(a≥slant0,b>0)。

如√(8)÷√(2)=√(frac{8){2}}=√(4) = 2。

4. 二次根式的加减。

- 最简二次根式：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。

例如√(8)不是最简二次根式，化简为2√(2)后是最简二次根式。

- 二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式（同类二次根式是指被开方数相同的二次根式）。

例如√(12)+√(27)=2√(3)+3√(3)=5√(3)。

第十七章勾股定理。

1. 勾股定理。

- 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2。

- 例如在直角三角形中，两直角边分别为3和4，则斜边c=√(3^2)+4^{2}=√(9 + 16)=√(25)=5。

2. 勾股定理的逆定理。

- 如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。

八年级下册数学二次根式八年级下册数学课程中，二次根式是一个重要的知识点。

在这里，我们将为大家详细介绍二次根式的相关内容，包括定义、性质、简化、运算和应用等方面。

一、定义二次根式是指形如$\sqrt{a}$的式子，其中$a$是一个非负实数。

其中$\sqrt{a}$是该非负实数的二次根，也就是说，$\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a$。

二、性质1. 二次根式的值为非负实数。

2. 二次根式与绝对值的运算具有相同的性质，即$|\sqrt{a}|=\sqrt{a}$。

3. 如果$a>b>0$，则$\sqrt{a}>\sqrt{b}$。

4. 如果$a>b\geq0$，则$\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$。

三、简化1. 若$a$为完全平方数，则$\sqrt{a}$可被化简为一个整数。

2. 若$a$为非完全平方数，则$\sqrt{a}$需保留在根号内。

3. 要注意化简后的二次根式是否符合原式。

四、运算1. 加减法：$\sqrt{a}\pm\sqrt{b}=\sqrt{a\pm2\sqrt{ab}+b}$。

2. 乘法：$\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$。

3. 除法：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（其中$b$不能为零）。

五、应用二次根式在各个领域中均有广泛应用，例如：1. 数学中的勾股定理、三角函数等概念均涉及二次根式。

2. 物理中常见的速度、加速度、力等量的平方根也是二次根式。

3. 工程领域中还涉及到诸如距离、面积、体积等二次根式的运用。

以上就是关于八年级下册数学二次根式的详细介绍。

希望本文能帮助大家更好地理解这一知识点，提高数学学习成绩。

二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。

如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。

不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。

如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。

如25 可以写作 5 。

（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。

（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。

其中a≥0是 a 有意义的前提条件。

（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。

（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。

要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。

练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。

二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。

（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。

二次根式是指形如√a的表示形式，其中a为一个非负实数。

在八年级数学中，二次根式是一个非常重要且常考的知识点。

下面是对八年级数学二次根式常考必考知识点的总结：1.二次根式的定义：√a表示一个非负实数x，使得x的平方等于a。

其中，a被称为被开方数，x被称为开方根。

2.二次根式的性质：-非负实数的二次根式是唯一确定的。

-如果a≥0，则√a≥0。

-如果a≥0，则(√a)²=a。

3.二次根式的化简：-如果被开方数是一个完全平方数，则可以直接得出其简化形式，如√4=2-如果被开方数可以分解为两个完全平方数的乘积，则可以使用分解法简化，如√12=√(4×3)=2√3-如果被开方数是一个分数，则可以使用有理化方法简化，如√(1/4)=1/√4=1/24.二次根式的运算：-二次根式可以进行加减运算，只要被开方数相同，可以直接相加或相减。

如√2+√2=2√2-二次根式可以进行乘法运算，使用分配律进行展开相乘，然后根据二次根式的性质进行简化。

如(√2+√3)(√2-√3)=2-3=-1-二次根式可以进行除法运算，使用有理化方法进行化简，然后根据二次根式的性质进行简化。

如(√5)/(√2)=(√5)/(√2)×(√2)/(√2)=(√10)/25.二次根式的混合运算：-二次根式可以与整数、分数和其他二次根式进行混合运算。

-混合运算的步骤是先进行内部运算（例如，括号中的运算），然后进行外部运算（例如，开方）。

-在混合运算中，注意运算顺序和运算法则的正确应用，避免出错。

6.二次根式的应用：-二次根式经常出现在几何问题中，如计算边长、面积和体积。

-二次根式也经常出现在实际生活中的计算中，如物体的质量和长度的计算。

以上是八年级数学中关于二次根式的常考必考知识点的总结。

掌握这些知识点，可以帮助学生正确理解和运用二次根式，提高解题能力和数学思维能力。

同时，通过反复练习相关题目，也能够加深对二次根式的理解和掌握。

八年级下册知识点归纳第十六章 二次根式1、二次根式： 形如)0(≥a a 的式子。

①二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。

②非负性考点：几个非负数相加为0，那么这几个数都为0.如：-+++=2310a b c 则：30,10,0a b c -=+==2、最简二次根式：满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。

3、化最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

（2）如果被开方数是小数就化成分数，带分数化成假分数，是多项式就先分解因式。

4.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式就是同类二次根式。

5、二次根式有关公式 （1）)0()(2≥=a a a （2）⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (aa a 2（3）乘法公式)0,0(≥≥∙=b a b a ab （4）除法公式(0,0)a aa b b b=≥> （5）完全平方公式222()2a b a ab b ±=++ 平方差公式：22()()a b a b a b -=+- （6）01(0)a a =≠ 1-=nn aa6、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

7、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。

二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.第十七章 勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。

①已知a ，b ，求c ，则c=22a b + ②已知a ，c ，求b,则b=22c a -③已知b ，c 求a ，则a=22c b - 没有指明直角边和斜边时要分类讨论2.勾股定理逆定理：如果一个三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c 2。

八年级下册数学二次根式知识点总结
一、二次根式的定义。

形如√(a)(a≥ 0)的式子叫做二次根式。

其中，a叫做被开方数。

二、二次根式有意义的条件。

被开方数a≥ 0时，二次根式√(a)有意义。

三、二次根式的性质。

1. √(a^2) = a
当a≥ 0时，√(a^2) = a；当a < 0时，√(a^2) = -a
2. (√(a))^2 = a (a≥ 0)
3. √(ab) = √(a)·√(b) (a≥ 0, b≥ 0)
4. √((a/b)) = (√(a))/(√(b)) (a≥ 0, b > 0)
四、二次根式的运算。

1. 二次根式的乘法：√(a)·√(b) = √(ab) (a≥ 0, b≥ 0)
2. 二次根式的除法：(√(a))/(√(b)) = √((a/b)) (a≥ 0, b > 0)
3. 二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，然后将被开方数相同的二次根式进行合并。

五、最简二次根式。

满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
1. 被开方数不含分母；
2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

六、同类二次根式。

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

在进行二次根式的运算时，要注意运算顺序和运算法则，同时要熟练掌握化简二次根式的方法，以提高解题的准确性和效率。

最新人教版八年级数学下册二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a\geq 0$）的式子叫做二次根式。

2.二次根式的双重非负性：$\sqrt{a}\geq 0$，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。

3.二次根式的同底同指数相加减：$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$，$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a-b}$。

4.积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$。

5.商的算术平方根的性质：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$b\neq 0$）。

6.若$a\geq 0$，则$\sqrt{a^2}=|a|$。

知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。

2) 注意每一步运算的算理。

3) 乘法公式的推广：$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2=a+b\pm2\sqrt{ab}$。

2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。

3.二次根式的混合运算1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。

2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。

例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。

A。

$-3$；B。

$x$；C。

$x^2+1$；D。

$x-1$2.$x$取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

1）$\sqrt{-15+x}$；（2）$\frac{1}{\sqrt{x+4}}$3）$\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1}$；（4）$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$5）$3-\sqrt{x+1}$；（6）$\frac{2x}{\sqrt{x+1}}$7）若$x(x-1)=\frac{1}{4}$，则$x$的取值范围是（）。

第一节：概述1.1 介绍数学第一章的主题 - 二次根式 1.2 定义二次根式第二节：二次根式的运算2.1 开方2.2 含有根号的算术式的加减乘除2.3 对一元二次方程进行求根第三节：二次根式的化简3.1 提取因数3.2 合并同类项3.3 求解含有二次根式的方程第四节：一元二次方程的复根4.1 i的引入4.2 复数解的运算第五节：二次根式在几何中的应用5.1 定理的引入5.2 二次根式的计算第六节：二次根式的实际应用6.1 实际问题6.2 解题方法6.3 实际应用案例第七节：总结7.1 本章知识点总结7.2 学习方法和技巧的总结第八节：拓展8.1 相关知识的拓展8.2 学科交叉知识的拓展第一节：概述1.1 介绍数学第一章的主题 - 二次根式数学是一门关于数量、结构、空间和变化等概念的研究。

而二次根式作为数学课程中的一个重要内容，是数学在现实生活中的一种具体应用。

八年级下册的数学教材中，第一章就是关于二次根式的学习。

在这一章节中，我们将会学习到如何对含有二次根式的算式进行运算、如何对二次根式进行化简、以及二次根式在几何和实际生活中的应用等知识。

1.2 定义二次根式在数学中，二次根式指的是形如a√b的数学表达式，其中a和b都是实数，b为大于等于0的数，且a不等于0。

其中√b表示对b开平方的结果。

2√3和-5√8都是二次根式。

在这一章节中，我们将深入学习二次根式的运算规则，化简方法以及实际应用，全面掌握二次根式的相关知识。

第二节：二次根式的运算2.1 开方在学习二次根式的运算过程中，我们首先需要了解开方的概念。

开方是指找出一个数的平方根。

对于一个非负数a，如果存在另一个非负数b，使得b的平方等于a，则称b为a的平方根，记作√a。

在实际应用中，开方是一种常见的运算方法，我们将学习如何对含有根号的算式进行加减乘除等运算。

2.2 含有根号的算术式的加减乘除含有根号的算术式在运算过程中与普通的算术式有些许不同。

八年级数学（下册）知识点总结第十六章 二次根式1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

2.二次根式有意义的条件： 大于或等于0。

3.二次根式的双重非负性：a ：①0≥a ，②0≥a 附：具有非负性的式子：①0≥a ；②0≥a ；③02≥a4.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

5.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

6.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 27.二次根式的运算：（1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （2）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．a ≥0，b ≥0）；=（b ≥0，a>0）． （3）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；【典型例题】1、概念与性质 例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）x x --+315； （2）22)-(x例3、 在根式1) 222;2);3);4)275xa b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例4、已知：的值。

求代数式22,211881-+-+++-+-=x yy x xy y x x x y例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b 2、二次根式的化简与计算 例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( ) A.； B. －； C. －； D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()ba b b a a b ++++，其中a=512，b=512．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 222()a b a b -4、比较数值（1）、根式变形法当0,0a b >>时，①如果a b >a b >a b <a b < 例1、比较35与53的大小。

八年级下册数学二次根式概念总结
一、二次根式的定义。

形如√(a)(a≥0)的式子叫做二次根式。

其中“√()”称为二次根号，a叫做被开方数。

1. 被开方数的取值范围。

- 被开方数必须是非负数。

这是因为在实数范围内，负数没有平方根。

例如，√(-2)在实数范围内是无意义的，而√(2)是有意义的二次根式。

2. 二次根式的双重非负性。

- 二次根式√(a)中，√(a)≥0（算术平方根的非负性），a≥0（被开方数的非负性）。

例如，若√(x - 3)有意义，则x - 3≥0，即x≥3；同时√(x - 3)≥0。

二、二次根式的简单性质。

1. (√(a))^2=a(a≥0)
- 这个性质表明，一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。

例如，
(√(5))^2 = 5。

- 注意：当a<0时，√(a)无意义，所以这个性质中a的取值范围是a≥0。

2. √(a^2)=| a|=a(a≥0) -a(a < 0)
- 例如，当a = 3时，√(3^2)=√(9)=3；当a=-3时，√((-3)^2)=√(9)=3=-(-3)。

- 这个性质在化简二次根式时经常用到，例如化简√(4x^2)，因为x^2≥0，所以√(4x^2)=2| x|=2x(x≥0) -2x(x < 0)。

八年级下册数学二次根式知识点
八年级下册数学二次根式知识点包括以下几个方面：
1. 二次根式的定义：形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。

当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数。

2. 二次根式的性质：二次根式的被开方数可以是数、单项式、多项式、分式等代数式。

3. 最简二次根式的定义：若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

4. 二次根式的加减法：同类二次根式可以进行合并，把几个同类二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式；二次根式相加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。

5. 二次根式的乘除法：二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变，再把结果化为最简二次根式。

以上是八年级下册数学二次根式知识点，对于初学者来说，理解和掌握这些知识点是非常重要的。

八年级二次根式知识点免费八年级二次根式知识点二次根式是数学中的一种基础的代数表达式，八年级学生也需要学会一些相关的知识点以应对学习和考试。

以下是八年级二次根式知识点的详细介绍：一、二次根式的定义二次根式是指根号内含有变量的代数表达式。

通常形式为：√a（a≥0）或者√(a+b)（a≥0，b≥0）其中，a、b为非负实数，并且“√”表示开方符号，即求平方根的运算。

二、二次根式的约简与分数化二次根式可以通过约简和分数化来简化表达式。

如果二次根式中含有完全平方数，可以进行相应的化简，例如：√4x²=2x√(9y²x)=3yx另外，二次根式也可以进行分数化，例如：√a/b=√a /√b√(a+b)/c=√a/c +√b/c三、二次根式的加减运算二次根式的加减法可以通过化简或者利用公式来计算，例如：√a ± √b=√a±b（仅当a≥0，b≥0时成立）√(a+b) ± √(c+d)=√a/c +√b/d±2√(ab/cd)四、二次根式的乘法运算二次根式的乘法可以通过简单规则和分式法则来计算，例如：√a × √b=√ab√a/√b=√a ÷ √b五、二次根式的除法运算二次根式的除法可以通过分式法则和有理数的乘法逆元来计算，例如：√a/√b=√a÷b√a÷√b=√a/√b六、二次根式的平方与立方运算二次根式的平方和立方运算可以通过简单的公式计算，例如：（√a）²=a（√a）³=a√a七、二次根式与三角函数的关系二次根式和三角函数之间存在一定的关系，例如：sin²x+cos²x=1（其中，sin²x和cos²x可以表示为√2/2等形式）tanx=√3是一个三角函数的典型例子，可以用于求三角形中的各种角度和边长此外，二次根式还有很多应用，例如在图形的面积、体积和物理学上都有应用。