2019年南开大学数学试点班自主招生考试题

2018-2019年最新南开大学附属中学自主招生考试数学模拟精品试卷（第一套）考试时间：90分钟总分：150分一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请你把正确选项前的字母填涂在答题卷中相应的格子内．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．1．下列事件中，必然事件是( )A．掷一枚硬币，正面朝上B．a是实数，|a|≥0C．某运动员跳高的最好成绩是20.1米D．从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品2、如图是奥迪汽车的标志，则标志图中所包含的图形变换没有的是（）A．平移变换 B．轴对称变换 C．旋转变换 D．相似变换3．如果□×3ab＝3a2b，则□内应填的代数式( )A．ab B．3ab C．a D．3a4．一元二次方程x(x－2)＝0根的情况是( )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根5、割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。

试用这个方法解决问题：如图，⊙的内接多边形周长为3 ，⊙的外切多边形O周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（）AB．10D6、今年5月，我校举行“庆五四”歌咏比赛，有17位同学参加选A拔赛，所得分数互不相同，按成绩取前8名进入决赛，若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道17位同学分数的（）A.中位数 B.众数 C.平均数 D.方差7．如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可能是( )A.Error!B. Error!C.Error!D.Error!8．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )A．有最小值0，有最大值3B．有最小值－1，有最大值0C．有最小值－1，有最大值3D．有最小值－1，无最大值9．如图，矩形OABC的边OA长为2 ，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )A．2.5 B．2 C. D.23510．广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )水平面主视方向A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米11、两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（ ）（A ）两个外离的圆 （B ）两个外切的圆（C ）两个相交的圆 （D ）两个内切的圆12．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b 2－4ac >0；②abc >0；③8a ＋c >0；④9a ＋3b ＋c <0.其中，正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本小题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案13．当x ______时，分式有意义． 13－x14．在实数范围内分解因式：2a 3－16a ＝________.15．在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘－131，其浓度为0.0000963贝克/立方米．数据“0.0000963”用科学记数法可表示为________．16．如图，C 岛在A 岛的北偏东60°方向，在B 岛的北偏西45°方向，则从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB ＝________.17．若一次函数y ＝(2m －1)x ＋3－2m 的图象经过 一、二、四象限，则m 的取值范围是________．18．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形有________个小圆. (用含 n 的代数式表示)三、解答题（本大题7个小题，共90分）19．（本题共2个小题，每题8分，共16分）（1）.计算：(－1)0＋sin45°－2－1 201118。

2019《名校自主招生》——高校自主招生考试数学真题专题试卷分类解析精心整理打包9套下载含详细答案目录2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之1、不等式2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之2、复数、平面向量2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之3、三角函数2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之4、创新与综合题2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之5、概率2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之6、数列与极限2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之7、解析几何2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之8、平面几何2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之9、排列、组合与二项式定理2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之专题之1、不等式一、选择题。

1．(2017年复旦大学)若实数x满足对任意实数a>0,均有x2<1+a,则x的取值范围是( ) A.(-1,1) B.[-1,1]C.(-错误!未找到引用源。

,错误!未找到引用源。

)D.不能确定2．(2018年复旦大学)已知点A(-2,0),B(1,0),C(0,1),如果直线y=kx将△ABC分割为两个部分,则当k= 时,这两个部分的面积之积最大. ( )A.-错误!未找到引用源。

B.-错误!未找到引用源。

C.-错误!未找到引用源。

D.-错误!未找到引用源。

3．(2018年复旦大学)将同时满足不等式x-ky-2≤0(k>0),2x+3y-6≥0,x+6y-10≤0的点(x,y)组成的集合D称为可行域,将函数z=错误!未找到引用源。

称为目标函数,所谓规划问题就是求解可行域内的点(x,y),使目标函数达到在可行域内的最小值.如果这个规划问题有无穷多个解,则( )A.k≥1B.k≤2C.k=2D.k=14．(2011年复旦大学)设n是一个正整数,则函数y=x+错误!未找到引用源。

2019年大学自主招生考试数学模拟试题1.对于数列{u n }，若存在常数M >0，对任意的n ∈N*，恒有|u n +1－u n |+|u n －u n －1|+…+|u 2－u 1|≤M ，则称数列{u n }为B —数列.(1)首项为1，公比为q (|q |<1)的等比数列是否为B —数列?请说明理由；(2)设S n 是数列{x n }的前n 项和，给出下列两组判断：A 组：①数列{x n }是B —数列，②数列{x n }不是B —数列；B 组：③数列{S n }是B —数列，④数列{S n }不是B —数列.请以其中一组中的论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题，判断所给出的命题的真假，并证明你的结论；(3)若数列{a n }、{b n }都是B —数列，证明：数列{a n b n }也是B —数列.【解析】(1)由题意，u n =q n －1，|u i +1－u i |=|q |i －1(1－q )， 于是：|u n +1－u n |+|u n －u n －1|+…+|u 2－u 1|=(1－q )·1－|q |n1－|q |≤1－|q |n≤1，由定义知，数列为B —数列.(2)命题1：数列{x n }是B —数列，数列{S n }是B —数列.此命题是假命题.取x n =1(n ∈N*)，则数列{x n }是B —数列；而S n =n ，|S n +1－S n |+|S n －S n －1|+…+|S 2－S 1|=n ，由于n 的任意性，显然{S n }不是B —数列.命题2：若数列{S n }是B —数列，则数列{x n }是B —数列.此命题是真命题.证明：|S n +1－S n |+|S n －S n －1|+…+|S 2－S 1|=|x n +1|+|x n |+…+|x 2|≤M ，又因为|x n +1－x n |+|x n －x n －1|+…+|x 2－x 1|≤|x n +1|+2|x n |+2|x n －1|+…+2|x 2|+|x 1|≤2M +|x 1|，所以：数列{x n }为B —数列.(3)若数列{a n }、{b n }均为B —数列，则存在正数M 1，M 2，对于任意的n ∈N*，有|a n +1－a n |+…+|a 2－a 1|≤M 1，|b n +1－b n |+…+|b 2－b 1|≤M 2，注意到：|a n |=|a n －a n －1+a n －1－a n －2+…+a 2－a 1+a 1|≤|a n +1－a n |+…+|a 2－a 1|+a 1≤M 1+a 1；同理：|b n |≤M 2+b 1；令k 1=M 1+a 1，k 2=M 2+b 1，则|a n +1b n +1－a n b n |=|a n +1b n +1－a n b n +1+a n b n +1－a n b n |≤|b n +1||a n +1－a n |+|a n ||b n +1－b n |≤k 2|a n +1－a n |+k 1|b n +1－b n |；从而：|a n +1b n +1－a n b n |+|a n b n －a n －1b n －1|+…+|a 2b 2－a 1b 1|≤k 2(|a n +1－a n |+|a n －a n －1|+…+|a 2－a 1|)+k 1(|b n +1－b n |+|b n －b n －1|+…+|b 2－b 1|)≤k 2M 1+k 1M 2.所以：数列{a n b n }是B —数列.2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，A 、B 分别是椭圆E 的左、右顶点，D (1，0)为线段OF 2的中点，且AF 2→+5BF 2→=0.(1)求椭圆E 的方程；(2)若M 为椭圆上的动点(异于点A 、B )，连接MF 1并延长交椭圆E 于点N ，连接MD 、ND 并分别延长交椭圆E 于点P 、Q ，连接PQ .设直线MN 、PQ 的斜率存在且分别为k 1、k 2，试问是否存在常数λ，使得k 1+λk 2=0恒成立?若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)易知c =2，因为AF 2→+5BF 2→，即a +c =5(a －c )，解得：a =3，所以：b 2=a 2－c 2=5.所以：椭圆E 的方程为x 29+y 25=1. (2)设直线MN 的方程为x =ty －2，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，所以：直线MP 的方程为y =y 1x 1－1(x －1)，联立椭圆方程和直线方程可得： ⎩⎪⎨⎪⎧x 29+y 25=1，y 1x －(x 1－1)y －y 1=0，消去y 得：(5－x 1)x 2－(9－x 21)x +9x 1－5x 21=0，由根与系数的关系可得：x P =9－5x 15－x 1， 于是P ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－5x 15－x 1，4y 15－x 1，同理可得：Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－5x 25－x 2，4y 25－x 2， 所以：k 2=－2825t =－2825k 1，即：k 1+2528k 2=0 所以：存在λ=2528满足题意. 3.已知函数f (x )=ln x －ax +a x，其中a 为常数. (1)若f (x )的图象在x =1处的切线经过点(3，4)，求a 的值；(2)若0<a <1，求证：f ⎝⎛⎭⎫a 22>0；(3)当函数f (x )存在三个不同的零点时，求a 的取值范围.【解析】(1)f ′(x )=1x －a －a x 2，所以f ′(1)=1－2a ， 因为切点坐标为(1，0)，所以k =2，所以：1－2a =2，解得：a =－12. (2)证明：原题即证2ln a －ln2－a 32+2a>0对任意的a ∈(0，1)成立. 令g (a )= 2ln a －ln2－a 32+2a ，所以：g ′(a )=2a －3a 22－2a 2=4a －3a 4－42a 2， 令h (a )=4a －3a 4－4，则h ′(a )=4－12a 3，则h (a )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，133单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫133，1上单调递减，而h (a )max =h ⎝ ⎛⎭⎪⎫133=39－4<0， 所以：g ′(a )<0，所以：g (a )在(0，1)上单调递减，所以：g (a )>g (1)=－ln2+32>0. (3)显然x =1是函数的一个零点，则只需a =x ln x x 2－1有两个不等的实数解即可. 令g (x )=x ln x x 2－1，x >0且x ≠1. 则g ′(x )=－(x 2+1)⎝⎛⎭⎫ln x －x 2－1x 2+1(x 2－1)2，令φ(x )=ln x －x 2－1x 2+1， 则φ′(x )=1x －4x (x 2+1)2=(x 2－1)2x (x 2+1)2>0， 于是φ(x )在(0，+∞)上单调递增，同时注意到φ(1)=0.所以g (x )在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)单调递减.因为lim x →1x ln x x 2－1=lim x →1ln x x －1x =lim x →11x 1+1x 2=lim x →1x x 2+1=12， 又因为limx →0x ln x x 2－1=lim x →0ln x x －1x =lim x →0x 1+x 2=0，lim x →+∞x ln x x 2－1=lim x →01x +1x =0， 所以：0<a <12. 4.设非负实数x 、y 、z 满足xy +yz +zx =1，求证：1x +y +1y +z +1z +x ≥52. 【解析】证明：由于对称性，不妨设x ≥y ≥z ，设y +z =a ，则ax =1－yz ≤1，所以：x ≤1a， 令1x +y +1y +z +1z +x =2x +a x 2+1+1a=f (x )， 所以：f ′(x )=－2(x 2+1)2(x 2+ax －1)=2(yz －x 2)(x 2+1)2<0，即f (x )为单调递减函数， 所以：f (x )≥f ⎝⎛⎭⎫1a =2a +a 31+a 2+1a ，因为2a +a 31+a 2+1a －52=(a －1)2(2a 2－a +2)2a (a 2+1)≥0， 当且仅当a =1时等号成立，此时x =1，则y +z +yz =1，且yz =0，所以等号成立的条件为x =1，y =1，z =0(或者其轮换).变式题：设非负实数x 、y 、z 满足xy +yz +zx =1，求证：1x +y +1y +z +1z +x ≥12+2. 5.设函数f (x )是定义在区间(1，+∞)上的函数，其导函数为f ′(x )，如果存在实数a 和函数h (x )，其中，h (x )对任意的x ∈(1，+∞)都有h (x )>0，使得f ′(x )=h (x )(x 2－ax ++1)，则称函数f (x )具有性质P (a ).(1)设函数f (x )=ln x +b +2x +1(x >1)，其中b 为常数； ①求证函数f (x )具有性质P (a )；②求函数f (x )的单调区间；(2)已知函数g (x )具有性质P (2)，给定x 1，x 2∈(1，+∞)，x 1<x 2，α=mx 1+(1－m )x 2，β=mx 2+(1－m )x 1，且α>1，β>1，若|g (α)－g (β)|<|g (x 1)－g (x 2)|，求m 的取值范围.【解析】(1)①因为f ′(x )=x 2－bx +1x (x +1)2，显然对x 2－bx +1=t (x )，存在b 使得对x ∈(1，+∞)，t (x )>0恒成立，h (x )=1x (x +1)2>0恒成立. ②由①知，f ′(x )=x 2－bx +1x (x +1)2，当b ≤2时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )在(0，+∞)单调递增，当b >2时，f ′(x )在(1，+∞)上有一个零点x 0=b +b 2－42， 函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，b +b 2－42上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫b +b 2－42，+∞单调递增.。

XXX2019年自主招生数学试卷XXX2019年高一自主招生考试数学试卷一、选择题（本大题共7个小题，每小题6分，共42分，每小题只有一个选项正确，把正确的选项序号填在答题栏中）1.当$x=4$时。

frac{x-2}{3x-4}-\frac{x+2}{3x+4}$$的值为（）。

A。

1 B。

3 C。

2 D。

32.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）。

3.设方程$(x-a)(x-b)-x=$的两根为$c,d$，则方程$(x-c)(x-d)+x=$的根为（）。

A。

$-a,-b$ B。

$a,b$ C。

$-c,-d$ D。

$c,d$4.若$x,y$均为自然数，则关于$x,y$的方程$[2.019x]+[5.13y]=24$的解$(x,y)$共有（）个。

x]$表示不超过实数$x$的最大整数）A。

1 B。

2 C。

3 D。

45.下图来自古希腊数学家XXX所研究的几何图形。

此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形$ABC$的斜边$BC$，直角边$AB,AC$。

$\triangle ABC$的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。

设Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别记为$S_1,S_2,S_3$，则（）。

A。

$S_1=S_2$B。

$S_1=S_3$C。

$S_2=S_3$D。

$S_1=S_2+S_3$6.如图，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x>0)$的图像过面积等于8的长方形$OABC$的对角线$OB$的中点，$P$为函数图像上任意一点。

则$OP$的最小值为（）。

A。

1 B。

2 C。

3 D。

27.已知$M,N$为等腰Rt$\triangle ABC$斜边$BC$上的两点，$AB=AC=6\sqrt{2}$，$BM=3$，$\angle MAN=45^\circ$。

则$NC$=（）。

A。

3 B。

$\frac{7}{2}$ C。

4 D。

$\frac{9}{2}$二、填空题（本大题共7个小题，每小题7分，共49分）8.关于$x$的方程$x-4=5$的实数解为$\underline{\hspace{2cm}}$。

自主招生数学试题及答案同学们都在忙碌地复习自己的功课，为了帮助大家能够在考前对自己多学的知识点有所巩固，下文整理了这篇数学试题及答案，希望可以帮助到大家!2019年清华等五校自主招生英语试题及答案1.以和为两根的有理系数多项式的次数最小是多少?A.2B.3C.5D.6解析：显然为满足要求的多项式，其次数为5.若存在次有理系数多项式以和为两根，则必含有因式，即最小次数为5.故选C.2.在的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車，每一行、每一列都只有一个車，共有多少种停放方法?A.720B.20C.518400D.14400解析：先排3个红色車，从6行中任取3行，有种取法;在选定的3行中第一行有6种停法，第一行选定后第二行有5种停法，第二行选定后第三行有4种停法;红車放定后，黑車只有6种停法.故停放方法共种.故选D.3.已知，求的值.解析：∵又由，有或当时，有当时，4.如图，△ABC中，AD为BC边上的中线，DM、DN分别为ADB、ADC的角平分线，试比较BM+CN与MN的大小关系，并说明理由.解析：延长ND至E，使ND=ED，连结BE、ME，则△BED≌△CND，△MED≌△MND，ME=MN，由BM+BEEM，得BM+CNMN.5.设数列满足，前项和为，求解析：∵由，有时，，于是特征方程有重根2，可设将代入上式，得于是6.模长为1的复数满足，求解析：取，便能得到=1.下面给出证明，=1.7.最多有多少个两两不等的正整数，满足其中任意三数之和都为素数.解析：设满足条件的正整数为个.考虑模3的同余类，共三类，记为则这个正整数需同时满足①不能三类都有;②同一类中不能有3个和超过3个.否则都会出现三数之和为3的倍数.故当时，取1，3，7，9，其任意三数之和为11，13，17，19均为素数，满足题意，所以满足要求的正整数最多有4个.8.已知为2019个实数，满足，且，求证解析：设若，则于是，进而若这2019个数去掉绝对值号后只能取和两值，又即这2019个数去掉绝对值号后取和两值的个数相同，这不可能.9.对于任意的，求的值.解析：各式相加，得10.已知有个实数，排列成阶数阵，记作使得数阵的每一行从左到右都是递增的，即对任意的，当时，有;现将的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的阶数阵，记作，即对任意的，当时，有，试判断中每一行的各数的大小关系，并加以证明.解析：数阵中的中每一行的各数仍是递增的.下面用反证法给出证明. 若在第行存在，令，其中，则当时，即在第列中至少有个数小于，也就是在数阵中的第列中至少排在第行，这与排在第行矛盾.所以数阵中的中每一行的各数仍是递增的.这篇数学试题及答案就为大家分享到这里了。

高考数学精品复习资料2019.5专题之6、数列与极限一、选择题。

1．(复旦大学)设数列{a n},{b n}满足b n=a n−a n−1,n=1,2,3,…,如果a0=0,a1=1,且{b n}是公比为2的等比数列,又设S n=a1+a2+…+a n,A.0B.C.1D.22．(复旦大学)已知x2−(tan θ+cot θ)x+1=0(0<θ<π),且满足x+x3+…+x2n−1+…3．(复旦大学)设实数a,b,c都不为0,则下列不等式一定成立的是4．(复旦大学)设有4个数的数列为a1,a2,a3,a4,前3个数构成一个等比数列,其和为k,后3个数构成一个等差数列,其和为9,且公差非零.对于任意固定的k,若满足条件的数列的个数大于1,则k应满足A.12k>27B.12k<27C.12k=27D.其他条件5．(复旦大学)设n为一个正整数,记则P(n)是n的一个多项式.下面结论中正确的是6．(复旦大学)A.0<a+b≤10B.0<a+b<10C.a+b>0D.a+b≥107．(复旦大学)A.数列{x n}是单调增数列B.数列{x n}是单调减数列C.数列{x n}或是单调增数列,或是单调减数列D.数列{x n}既非单调增数列,也非单调减数列8．(20xx复旦大学)二、填空题。

9．(华中科技大学) .10．(清华大学等七校联考).三、解答题。

11．(华南理工大学)已知a2+a−1=0,b2+b−1=0,a<b,设a1=1,a2=b,a n+1+a n−a n−1=0(n≥2),b n=a n+1−a·a n.(1)证明数列{b n}是等比数列;(2)求数列{a n}的通项;(3)设c1=c2=1,c n+2=c n+1+c n,证明:当n≥3时,(−1)n(c n−2a+c n b)=b n−1.12．(华中科技大学)已知数列{a n}是公差为d(d≠0)的等差数列,在平面直角坐标系xOy中,直线x=a n与x轴和函数f(x)=2x的图象分别交于点A n(a n,0)和B n(a n,b n).(Ⅰ)记直角梯形A n A n+1B n+1B n的面积为S n,求证数列{S n}是等比数列;(Ⅱ)判断△B n B n+1B n+2的形状(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形),并予以证明;(Ⅲ)对于给定的正整数n,是否存在这样的实数d,使得以b n,b n+1,b n+2为边长能构成一个三角形?如果存在,求出d的取值范围;如果不存在,请说明理由.13．(中国科技大学)已知A={x|x=n!+n,n∈N*},B是A在N*上的补集.(1)求证:无法从B中取出无限个数组成等差数列;(2)能否从B中取出无限个数组成等比数列?试说明理由.15．(浙江大学)16．(同济大学等九校联考)设数列{a n}满足a1=a,a2=b,2a n+2=a n+1+a n.(1)设b n=a n+1−a n,证明:若a≠b,则{b n}是等比数列;(2)若(a1+a2+…+a n)=4,求a,b的值.17．(清华大学)证明:正整数数列a1,a2,…,a2n+1是常数列的充分必要条件是其满足性质P:对数列中任意2n项,存在一种方法将这2n项分为两类(每类n个数),使得两类之和相等.18．(清华大学)已知数列{a n},且S n=na+n(n−1).19．(清华大学)请写出所有三个数均为质数,且公差为8的等差数列,并证明你的结论.22．(北京大学)已知由整数组成的无穷等差数列中有三项:13,25,41.求证:2 009为其中一项.23．(北京大学等十三校联考)等差数列a1,a2,…满足a3=−13,a7=3.这个数列的前n项和为S n,数列S1,S2,…中哪一项最小?并求出这个最小值.24.1.D【解析】通过叠加的方法求出数列{a n}的通项,再求出其前n项和,根据极限的运算法则进行计算.根据b1=1,b n=2n−1,得a n−a n−1=2n−1,令n=1,2,…,n,得n个等式,叠加得a n=1+2+…+2n−1=2n−1,从而S n=2n+1−2−n..选D.4.A【解析】根据后3个数成等差数列,前3个数成等比数列设出这四个数,再根据前3个数的和为k,进行分析求解.因为后3个数成等差数列且和为9,故可依次设为:3−d,3,3+d,又因为前3个数成等比数列,则第1个数为:,即+3−d+3=k,化简得:d2−9d+27−3k=0,因为满足条件的数列的个数大于1,需要Δ>0,所以12k>27,选A.5.D【解析】首先要对式子P(n)=k4进行化简,得到一个有确定项数的表达式,再去分析各项的系数特点.6.B【解析】由于a,b是不相等的正数,且a,b的大小对数列的极限值有影响,所以可对a,b的大小9.−ln 2【解析】10.lg 3【解析】a n=lg=lg(n2+3n+2)−lg[n(n+3)]=[lg(n+1)−lg n]−[lg(n+3)−lg(n+2)],所以S n=a1+a2+…+a n=[lg(n+1)−lgn]+[lgn−lg(n−1)]+…+(lg2−lg1)−{[lg(n+3)−lg(n+2)]+[lg(n+2)−lg(n+1)]+…+( lg 4−lg 3)}=[lg(n+1)−lg 1]−[lg(n+3)−lg 3]=lg+lg 3,所以S n=lg 3+lg=lg 3.11.12.13.(1)若能从B中取出无限个数组成等差数列{a m},并设公差为d.则a m=a1+(m−1)d,而n>d时,n!+n,(n+1)!+(n+1),(n+2)!+(n+2),…被d除,其余数分别与n,n+1,n+2,…被d除的余数相同,而这些余数应该是逐一递增的,取得d−1后,又以周期性的形式出现,所以存在n0,使n0!+n0被d除与a m被d除的余数相同.这就说明:n0!+n0是等差数列{a m}中的项,而n0!+n0∈A,故n0!+n0∉B.于是,矛盾就产生了,故假设不成立,即要证明的结论成立.(2)能从B中取出无限个数组成等比数列.例如b m=5m(m∈N*).由于n!+n=n[(n−1)!+1],并且当n>5时,5不能整除(n−1)!+1,故5m∉A,因此,5m∈B.故数列{b m}是从B中取出无限个数组成的等比数列.14.(1)当n=1时,a1=1∈[1,2].假设当n=k(k∈N*) 时,1≤a k≤2成立.则当n=k+1时,a k+1=1+,而1≤a k≤2,故≤≤1.a k+1=1+∈[,2]⊆[1,2],即当n=k+1时,1≤a k+1≤2.综上,1≤a n≤2(n∈N*).(2)，而由a n=1+(n≥2)及1≤a n≤2(n∈N*)知,a n·a n−1=a n−1+1∈[2,3],故∈[,](n≥2,n∈N*),所以原式得证.15.如图所示,16.(1)由2a n+2=a n+1+a n得2(a n+2−a n+1)=−(a n+1−a n).b n=a n+1−a n,则b n+1=−b n,∴{b n}是首项为b−a,公比为−的等比数列.(2)由(1)知,b n=(−)n−1·b1,即a n+1−a n=(−)n−1(b−a),∴a2−a1=(−)1−1(b−a),a3−a2=(−)2−1(b−a),…a n+1−a n=(−)n−1(b−a),以上各式相加得:a n+1−a1=(b−a)·,a n+1=a+(b−a)[1−(−)n],即a n=a+(b−a)[1−(−)n−1],∴a1+a2+…+a n=na+(b−a)[n−]=na+(b−a)n−(b−a)+(b−a)(−)n.∵(a1+a2+…+a n)=4,∴,解得.17.这里必要性是显然的,下面证明充分性,即满足性质P的2n+1个正整数构成常数列.可用反证法证明:若a1,a2,…,a2n+1不全相等,并且它们从小到大的排列为:a'1≤a'2≤…≤a'2n≤a'2n+1,而且在a'i+1−a'i>0中,最小者为a−a.设S=a1+a2+…+a2n+1,若S为奇数,则由性质P知,每一个a i均为奇数;若S为偶数,则每一个a i 又均为偶数.①当a i均为奇数时,a1−1,a2−1,a3−1,…,a2n+1−1也具有性质P;②当a i均为偶数时,,,,…,也具有性质P.从而可知,a−a一定是偶数.当最小者a−a=2时,我们有:是n个奇偶性相同的正整数之和,也是n个奇偶性相同的正整数之和,所以它们的差:=是偶数,而另一方面,由于a−a=2,故=1,从而产生了矛盾.故正整数数列a1,a2,…,a2n+1为常数列.而当最小者a−a=2k(k>1,k∈N)时,我们对数列{a'i}应用①与②的变换,有限次后,就能得到数列{b'i}(b'i为正整数),而这个数列满足性质P,并且b−b=2.这样{b'i}为常数列,从而正整数数列a1,a2,…,a2n+1亦为常数列.18.19.三个质数组成的公差为8的等差数列只有一个,即:3,11,19.证明如下:当第一个质数为2时,则等差数列为2,10,18,不符合题意;当第一个质数大于或等于3时,设第一个质数分别为:m=3k, n=3k+1, p=3k+2,且k∈N*.则分别有:①3k,3k+8,3k+16;②3k+1,3k+9,3k+17;③3k+2,3k+10,3k+18.对于①,由于3k为质数,故k=1.此时,这三个数为3,11,19;对于②,由于3k+9=3(k+3)不是质数,此种情况不会出现;对于③,由于3k+18=3(k+6)不是质数,此种情况不会出现. 因此,所求的等差数列仅有:3,11,19.20.21.22.41−25=16,25−13=12,16和12的最大公因子是4,此等差数列的公差一定是4的因子,设公差为d,则nd=4,n为正整数,而2 009=41+1 968=41+4×492=41+492×nd,故2 009为其中一项. 23.24.。

2 2 2 S
(√
) √ 2 2 ,− ,0 ， 动点 P 在曲面 x2 +2y 2 +3z 2 = 1， 2 2
求方向导数
∂f |(P ) 的最大值. ∂l
∞ ∑ xn √ 五.(20 分) 求幂级数 的收敛区间. n n! n=1
六.(15 分) 证明广义积分
∫
0
+∞
sin x dx 2x + 3 sin x
பைடு நூலகம்
满分: 150 分
二.(15 分) 若 a > 0, 求 x2 + y 2 = a(z − 1)2 与平面 z = 0 所围成图形的立体体积. ∫∫ 三.(20 分) 求曲面积分 y 2 z dxdy + xz dy dz + x2 y dxdz ， 其中 S 是由曲面 z = x2 + y 2 与曲面 x2 + y 2 = 1 以及三坐标面在第一象限所围立体的外侧. 四.(20 分) 设函数 f (x, y, z ) = 2x +2xy +2y −3z ，l =
0 1
f (x) dx = 0，证明： ∫
0 1
∫
0
1
∫ |f (x)| dx ·
0
1
|f ′ (x)|dx < 2
f 2 (x)dx
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南开大学 2019 年数学分析试题真题
(考试时间：2018 年 12 月 23 日上午 8:30-11:30) (16 数学 − 胡八一) 微信公众号：数学的情怀 & 数专考研小 K 真题 考试形式: 闭卷
一.(15 分) 求极限
n→∞
考试时间: 180 分钟

高考数学精品复习资料2019.5专题之4、创新与综合题一、选择题。

1．(复旦大学)设正整数n可以等于4个不同的正整数的倒数之和,则这样的n的个数是A.1B.2C.3D.42．(同济大学等九校联考)设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为错误！未找到引用源。

的旋转,τ表示坐标平面关于y轴的镜面反射,用τσ表示变换的复合,先做τ,再做σ,用σk 表示连续做k次σ的变换,则στσ2τσ3τσ4是A.σ4B.σ5C.σ2τD.τσ2二、解答题。

3．(南京大学)求所有满足tan A+tan B+tan C≤[tan A]+[tan B]+[tan C]的非直角三角形.4．(浙江大学)如图,一条公路两边有六个村庄,要建一个车站,要求到六个村庄的距离之和最小,应该建在哪里最合适?如果再在边上增加一个村庄呢?5．(清华大学)A、B两人玩一个游戏,A选择n枚硬币,B根据自己的策略将这些硬币全部摆放在位点上,之后A选取一个至少有2枚硬币的位点,取走一枚硬币,再将另一枚硬币移动到相邻位点,A若在有限步内根据规则在指定点P处放上一个硬币则获胜.问在一条有5个位点的线段和7个位点的圆环上,A分别至少选择多少枚硬币时,无论点P的位置如何均可保证获胜?6．(清华大学)有64匹马,每匹马的速度保持不变且各不相同,现通过比赛来完成排名,若每场比赛最多只能有8匹马参赛,问理想状态下能否在50场比赛内完成排名?7．(清华大学)有100个集装箱,每个集装箱装有两件货物.在取出来的过程中货物的顺序被打乱了,现在按一定的规则将货物依次放入集装箱中.集装箱的体积都是1,且每个集装箱最多放两件货物,若装了一件货物后装不下第二件货物,那么就将这个集装箱密封,把第二件货物装到下一个集装箱中.问在最坏情况下需要多少个集装箱?8．(清华大学)请写出一个整系数多项式f(x),使得错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

是其一根.9．(清华大学)将长为n的棒锯开,要求锯成的每段长都是整数,且任意时刻,锯成的所有棒中最长的一根严格小于最短的一根的2倍,如6只能锯一次,6=3+3,而7能锯2次,7=4+3,4又能锯为2+2,问长为30的棒最多能锯成几段?若a,b,c中没有1,则a≥2,b≥2,c≥2,a+b+c=abc化为错误！未找到引用源。

1. (1) 用第一行减去下面的各行, 然后在最后一列展开, 答案为 1. (2) 注意到
cos(n + k) = cos n cos k − sin n sin k, cos(2n + k) = cos(2n) cos k − sin(2n) sin k,
用第一行的 cos n, cos(2n) 倍分别减去第二行,第三行; 这时第三行是第二行的 2 cos n 倍, 从而行列式为 0.
其中
z
=
e 2πi n
.
由
AU
= UD,
U¯
= U −1
得到
U¯ AU
= D,
U¯ ATU
= D¯ ,
因此
U¯ BU
=
1 2
(D
+
D¯ ),
B
的特征值为
1,
cos
2π n
,
.
.
.
,
cos
2π(n−1) n
,
除去
1
外,
这些特征值中的最大值为
cos
2π n
,
从而结论
得证. 如果能事先注意到 AT = An−1 = A−1 的话, 更容易推出 B 的特征值.
把题目改成 A = T B 是不对的, 比如取 B = 0, A = 0. 把题目改成 T A = T B 没有意义, 因为可 以取 T = 0.
2
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南开大学 2019 年高等代数考研试题参考解答
小花爱数学
7. 充分性. 只需要注意到
E −X 0E
A0 0A
EX
A AX − XA
AB
=
=
.
5. (15 分) 若 A, B 都是 n 阶正定矩阵. 求证 tr(AB) > 0.

2019年北京大学自主招生数学试题2019年清华大学自主招生数学试题2019年中国科学技术大学自主招生数学试题4．记3cos(),4cos()36x t y t =+-=++，则22x y +的最大值为__________。

5．设点0(1,0)P ，i OP (i =1,2,3…)绕原点按顺时针旋转θ得到向量i OQ ， i Q 关于y 轴对称点记为1 i P +，则2019P 的坐标为__________。

．，且．已知，且9．将△D 1D 2D 3的各中点连线，折成四面体ABCD ，已知12233112,10,8D D D D D D ===，求四面体ABCD 的体积。

10．求证：对于任意的在R 上有仅有一个解0x =11．已知(1)求证：存在多项式()p x ，满足cos (cos )n p θθ=；(2)将()p x 在R [x ]上完全分解。

2019年中国科学技术大学自主招生数学试题参考答案2.B红色曲线为y =sin 2x ,蓝色曲线为y =-cos 3x综上，知：00100110cos sin cos sin 01sin cos sin cos x x x y y y θθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么222(,)P x y 满足：200020002cos sin 10sin cos 01x x x x y y y y θθθθ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这也就说明了20,P P 重合。

故2019P 坐标为(cos ,sin )θθ--6.首先将递推公式两侧取倒数，则：112(1)11112(1)n n n n nn x n x x x x ++++=⇔-=+累加，即：21122(1)n n n k k x x n n =-=⇒=+∑裂项求和，则：2019112019*********k k x ==-=∑7.如图所示，我们定义a ~b 表示复数a 和b之间的边11z z -+是纯虚数，表明0~(z-1)与0~(z+1)垂直，进而说明|z~(z-1)|=|0~z|=|z~(z+1)|=1故||1z =，进一步，我们设cos sin z i θθ=+则222222222|3|(cos 2cos 3)(sin 2sin )cos 2cos 96cos 6cos 22cos cos 2sin 2sin 2sin 2sin 116cos 2812cos 8cos 53z z cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθ++=++++=++++++++=++=++≥等号成立条件为1cos 3θ=-8.9.简解：由题意，易知四面体ABCD为等腰四面体，将其嵌入长方体后割补法即可图示蓝色边框为等腰四面体，黑色为被嵌入的长方体答案：410.首先，我们定义()()n f x 代表函数()f x 的n 阶导数令0()!kn x k x f x e k ==-∑注意到()()1n x f x e =-在R 上单调递增，故其在R 上仅有一根x =0，从而(1)()1n x f x e x -=--在R 上有最小值，即(1)(1)()(0)0n n f x f --≥=进而2(2)()12n x x f x e x -=---在R 上单调递增以此类推，可知：(2)()n k f x -在R 上单调递增，仅有一根x =0(21)()n k f x --在R 先减后增，且恒为非负实数，且仅有一根x =0综上，不论n 取何值，0()!knx k x f x e k ==-∑在R 上仅有一根x =011.本题考察内容十分清晰，旨在考察Chebyshev 多项式（1）采取归纳法证明，若对于不同的n ，存在满足题设的多项式，则记其为()n p x 首先，当1n =时，存在多项式1()p x x=其次，当2n =时，存在多项式22()21p x x =-我们假定命题在2,1n n --的情形下成立，下面考察n 的情形cos cos[(1)]cos(1)cos sin(1)sin 1cos(1)cos [cos cos(2)]2n n n n n n n θθθθθθθθθθθ=-+=-⋅--⋅=-⋅+--进而有cos 2cos cos(1)cos(2)n n n θθθθ=---即12()2()()n n n p x xp x p x --=-因为12(),()n n p x p x --都是多项式，所以()n p x 也是多项式。

2019年高中学校自主招生数学试卷一．选择题（共10小题）1．有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现把它们摆放成不同的位置（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是（）A．白B．红C．黄D．黑2．如图数轴的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．若|a﹣b|＝3，|b﹣c|＝5，且原点O与A、B的距离分别为4、1，则关于O的位置，下列叙述何者正确？（）A．在A的左边B．介于A、B之间C．介于B、C之间D．在C的右边3．已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）A．B．C．D．4．若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．2或205．对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n 以|A n B n|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|的值是（）A．B．C．D．6．如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于D，E，F．若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．3 B．C．D．27．半径为2.5的圆O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为（）A．B．C．D．8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．直线y＝px（p是不等于0的整数）与直线y＝x+10的交点恰好是整点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线有（）A．6条B．7条C．8条D．无数条10．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE＝DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG＝CG2；③若AF＝2DF，则BG＝6GF．其中正确的结论（）A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③二．填空题（共8小题）11．观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2019个单项式是．12、＝．13．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按照逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按照逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OP n（n为正整数），则点P8的坐标为．14．已知t1、t2是关于t的二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，且，那么y与x间的函数关系式为15．如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB＝60°，∠COB＝45°，则OC＝．16．如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是．17．直线l：y＝kx+5k+12（k≠0），当k变化时，原点到这条直线的距离的最大值为．18．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为．三．解答题（共6小题）19．先化简分式：（a﹣）÷•，再从﹣3、﹣3、2、﹣2中选一个你喜欢的数作为a的值代入求值．20．已知关于x的方程|x2+2px﹣3p2+5|﹣q＝0，其中p、q都是实数．（1）若q＝0时，方程有两个不同的实数根x1x2，且，求实数p的值．（2）若方程有三个不同的实数根x1、x2、x3，且，求实数p和q的值．21．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，D是AB上一点，AC＝BD，P是CD中点．求证：AP＝BC．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE×CA．（1）求证：BC＝CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．23．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0）、B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点点B、C重合），经过点O、P 折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（1）如图1，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（2）如图2，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（3）在（2）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时如图3，求点P的坐标（直接写出结果即可）．24．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1，1），（﹣2，﹣2），，…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．（1）若点P（2，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y＝3kx+s﹣1（k，s为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t＝b2﹣2b+，试求t的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现把它们摆放成不同的位置（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是（）A．白B．红C．黄D．黑【分析】先判断出共有6种颜色，再根据与白相邻的颜色有黑、绿、黄、红判断出白的对面是蓝，与绿相邻的有白、黑、蓝、红判断出绿的对面是黄，与红相邻的有绿、蓝、黄、白判断出红的对面是黑，从而得解．【解答】解：由图可知，共有黑、绿、白、红、蓝、黄六种颜色，与白相邻的颜色有黑、绿、黄、红，所以，白的对面是蓝，与绿相邻的有白、黑、蓝、红，所以，绿的对面是黄，与红相邻的有绿、蓝、黄、白，所以，红的对面是黑，综上所述，涂成绿色一面的对面的颜色是黄．故选：C．2．如图数轴的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．若|a﹣b|＝3，|b﹣c|＝5，且原点O与A、B的距离分别为4、1，则关于O的位置，下列叙述何者正确？（）A．在A的左边B．介于A、B之间C．介于B、C之间D．在C的右边【分析】由A、B、C三点表示的数之间的关系结合三点在数轴上的位置即可得出b＝a+3，c＝b+5，再根据原点O与A、B的距离分别为4、1，即可得出a＝±4、b＝±1，结合a、b、c间的关系即可求出a、b、c的值，由此即可得出结论．【解答】解：∵|a﹣b|＝3，|b﹣c|＝5，∴b＝a+3，c＝b+5，∵原点O与A、B的距离分别为4、1，∴a＝±4，b＝±1，∵b＝a+3，∴a＝﹣4，b＝﹣1，∵c＝b+5，∴c＝4．∴点O介于B、C点之间．故选：C．3．已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：因为关于x的不等式组有解，可得：，所以得出a＞5，因为a取≤9的整数，可得a的可能值为6，7，8，9，共4种可能性，所以使关于x的不等式组有解的概率为，故选：C．4．若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．2或20【分析】由于实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a，b 可看着方程x2﹣8x+5＝0的两根，根据根与系数的关系得a+b＝8，ab＝5，然后把通分后变形得到，再利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，∴a，b可看着方程x2﹣8x+5＝0的两根，∴a+b＝8，ab＝5，＝＝＝＝﹣20．故选：A．5．对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n 以|A n B n|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|的值是（）A．B．C．D．【分析】y＝x2﹣x+＝（x﹣）（x﹣），可求抛物线与x轴的两个交点坐标，所以|A n B n|＝﹣，代入即可求解；【解答】解：y＝x2﹣x+＝（x﹣）（x﹣），∴A n（，0），B n（，0），∴|A n B n|＝﹣，∴|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|＝+++…+＝1﹣＝，故选：C．6．如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于D，E，F．若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．3 B．C．D．2【分析】根据平行线间的距离处处相等得到：△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF和△BEC在底边BE上的高相等，所以由三角形的面积公式和图形间的面积的数量关系进行证明即可．【解答】证明：∵AD∥BE，AD∥FC，FC∥BE，∴△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF和△BEC在底边BE上的高相等，∴S△ADF＝S△ADC，S△BEF＝S△BEC，S△AEF＝S△BEF﹣S△ABE＝S△BEC﹣S△ABE＝S△ABC∴S△DEF＝S△ADE+S△ADF+S△AEF＝S△ABD+S△ADC+S△ABC＝2S△ABC．即S△DEF＝2S△ABC．∵S△ABC＝1，∴S△DEF＝2，故选：D．7．半径为2.5的圆O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由勾股定理可求BC，AC的值，通过证明△ACB∽△PCQ，可得，可得CQ＝，当PC是直径时，CQ的最大值＝×5＝．【解答】解：∵AB是直径，∴AB＝5，∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，且BC：CA＝4：3，∴BC＝4，AC＝3，∵∠A＝∠P，∠ACB＝∠PCQ＝90°，∴△ACB∽△PCQ，∴，∴CQ＝，∴当PC最大时，CQ有最大值，∴PC是直径时，CQ的最大值＝×5＝，故选：B．8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为x＝＜1，∴2a+b＜0，而抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，当x＝1时，a+b+c＝2．∵＞2，∴4ac﹣b2＜8a，∴b2+8a＞4ac，∵①a+b+c＝2，则2a+2b+2c＝4，②4a+2b+c＜0，③a﹣b+c＜0．由①，③得到2a+2c＜2，由①，②得到2a﹣c＜﹣4，4a﹣2c＜﹣8，上面两个相加得到6a＜﹣6，∴a＜﹣1．故选：D．9．直线y＝px（p是不等于0的整数）与直线y＝x+10的交点恰好是整点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线有（）A．6条B．7条C．8条D．无数条【分析】联立直线y＝px与直线y＝x+10，求出p的取值范围即可求得结果．【解答】解：联立直线y＝px与直线y＝x+10，，得px＝x+10，x＝，∵x为整数，p也为整数．∴P的取值范围为：﹣9≤P≤11，且P≠1，P≠0．而.10＝2×5＝1×10，0＜P≤11，有四条直线，P≠0，﹣9≤P＜0，只有三条直线，那么满足条件的直线有7条．10．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE＝DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG＝CG2；③若AF＝2DF，则BG＝6GF．其中正确的结论（）A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③【分析】①易证△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB；②证明∠BGE＝60°＝∠BCD，从而得点B、C、D、G四点共圆，因此∠BGC＝∠DGC＝60°．过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．证明△CBM≌△CDN，所以S＝S四边形CMGN，易求后者的面积．四边形BCDG③过点F作FP∥AE于P点．根据题意有FP：AE＝DF：DA＝1：3，则FP：BE＝1：6＝FG：BG，即BG＝6GF．【解答】解：①∵ABCD为菱形，∴AB＝AD．∵AB＝BD，∴△ABD为等边三角形．∴∠A＝∠BDF＝60°．又∵AE＝DF，AD＝BD，∴△AED≌△DFB；②∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°＝∠BCD，即∠BGD+∠BCD＝180°，∴点B、C、D、G四点共圆，∴∠BGC＝∠BDC＝60°，∠DGC＝∠DBC＝60°．∴∠BGC＝∠DGC＝60°．过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．∴CM＝CN，∵，∴△CBM≌△CDN，（HL）∴S四边形BCDG＝S四边形CMGN．S＝2S△CMG，四边形CMGN∵∠CGM＝60°，∴GM＝CG，CM＝CG，∴S四边形CMGN＝2S△CMG＝2××CG×CG＝CG2．③过点F作FP∥AE于P点．∵AF＝2FD，∴FP：AE＝DF：DA＝1：3，∵AE＝DF，AB＝AD，∴BE＝2AE，∴FP：BE＝1：6＝FG：BG，即BG＝6GF．故选：D．二．填空题（共8小题）11．观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2019个单项式是4037x2019．【分析】根据题目中的式子可以系数为连续的奇数，未知数x的次数从1次、2次依次递增，从而可以得到第2019个单项式，本题得以解决．【解答】解：∵x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…∴第n个式子是（2n﹣1）x n，当n＝2019时，对应的式子为4037x2019，故答案为：4037x2019．12．＝612.5 ．【分析】仔细观察，知原式还可以是．又+＝1，（+）+（+）＝2，+＝3，…依此类推可知，将原式倒过来后再与原式相加，问题就转化为．【解答】解：设s＝，①又s＝，②①+②，得2s＝1+2+3+4+…+49，③2s＝49+48+47+…+2+1，④③+④，得4s＝50×49＝2450，故s＝612.5；故答案为：612.5．13．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按照逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按照逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OP n（n为正整数），则点P8的坐标为（256，0）．【分析】先根据伸长的变化规律求出OP8的长度，再根据每8次变化为一个循环组，然后确定出所在的位置，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍解答即可．【解答】解：由题意可得，OP0＝1，OP1＝2×1＝2，OP＝2×2＝22，2OP＝2×22＝23，3OP＝2×23＝24，4…OP＝2×27＝28＝256，8∵每一次都旋转45°，360°÷45°＝8，∴每8次变化为一个循环组，∴P8在x4的正半轴上，P8（256，0），故答案为（256，0）．14．已知t1、t2是关于t的二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，且，那么y与x间的函数关系式为y＝（x＞0）【分析】由于t1、t2是二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，利用根与系数的关系可以得到t1+t2＝2，又x＝10t1，y＝10t2，利用同底数幂的乘法法则计算即可解决问题．【解答】解：∵t1、t2是二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，∴t1+t2＝2，而x＝10t1，y＝10t2，∴xy＝10t1×10t2＝10t1+t2＝102＝100，∴y＝（x＞0）．故答案为：y＝（x＞0）．15．如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB＝60°，∠COB＝45°，则OC＝1+．【分析】连接AB，由圆周角定理知AB必过圆心M，Rt△ABO中，易知∠BAO ＝∠OCB＝60°，已知了OA＝，即可求得OB的长；过B作BD⊥OC，通过解直角三角形即可求得OD、BD、CD的长，进而由OC＝OD+CD求出OC的长．【解答】解：连接AB，则AB为⊙M的直径．Rt△ABO中，∠BAO＝∠OCB＝60°，∴OB＝OA＝×＝．过B作BD⊥OC于D．Rt△OBD中，∠COB＝45°，则OD＝BD＝OB＝．Rt△BCD中，∠OCB＝60°，则CD＝BD＝1．∴OC＝CD+OD＝1+．故答案为：1+．16．如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是16+12．【分析】此题首先能够把问题转化到三角形中进行分析．根据锐角三角函数的概念可以证明三角形的面积等于相邻两边的乘积乘以夹角的正弦值，根据这一公式分析面积的最大值的情况．然后运用勾股定理以及直角三角形的斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边求得长方形的长和宽，进一步求得其周长．【解答】解：连接OA，OD，作OP⊥AB于P，OM⊥AD于M，ON⊥CD于N．根据矩形的面积以及三角形的面积公式发现：矩形的面积是三角形AOD的面积的4倍．因为OA，OD的长是定值，则∠AOD的正弦值最大时，三角形的面积最大，即∠AOD＝90°，则AD＝6，根据三角形的面积公式求得OM＝4，即AB＝8．则矩形ABCD的周长是16+12．17．直线l：y＝kx+5k+12（k≠0），当k变化时，原点到这条直线的距离的最大值为13 ．【分析】通过化简解析式能确定直线经过定点（﹣5，12），原点与定点的距离是原点到直线的最大距离；【解答】解：y＝kx+5k+12＝k（x+5）+12，∴直线经过定点（﹣5，12），∴原点与定点的距离是原点到直线的最大距离13；故答案为13；18．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为 6 ．【分析】先列出方程10x+9y+6z＝108，再根据x，y，z是正整数，进行计算即可得出结论．【解答】解：设装10个苹果的有x盒，装9个苹果的有y盒，装6个苹果的有z盒，∵每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，∴0＜x＜10，0＜y≤11，0＜z≤15，且x，y，z都是整数，则10x+9y+6z＝108，∴x＝＝，∵0＜x＜10，且为整数，∴36﹣3y﹣2z是10的倍数，即：36﹣3y﹣2z＝10或20或30，当36﹣3y﹣2z＝10时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴26﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，∴z＝（舍）或z＝10或z＝（舍）或z＝7或z＝（舍）或z＝4或z ＝（舍）或z＝1，当z＝10时，y＝2，x＝3，当z＝7时，y＝4，x＝3，当z＝4时，y＝8，x＝3当z＝1时，y＝8，x＝3，当36﹣3y﹣2z＝20时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴16﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，∴z＝（舍）或z＝5或z＝（舍）或z＝2或z＝（舍）当z＝5时，y＝2，x＝6，当z＝2时，y＝4，x＝6，当36﹣3y﹣2z＝30时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴6﹣2z＝3，∴z＝（舍）即：满足条件的不同的装法有6种，故答案为6．三．解答题（共6小题）19．先化简分式：（a﹣）÷•，再从﹣3、﹣3、2、﹣2中选一个你喜欢的数作为a的值代入求值．【分析】将括号里通分，除法化为乘法，约分，代值时，a的取值不能使原式的分母、除式为0．【解答】解：原式＝••＝a+3，当a＝﹣3时，原式＝﹣3+3＝．20．已知关于x的方程|x2+2px﹣3p2+5|﹣q＝0，其中p、q都是实数．（1）若q＝0时，方程有两个不同的实数根x1x2，且，求实数p的值．（2）若方程有三个不同的实数根x1、x2、x3，且，求实数p和q的值．【分析】（1）根据根与系数的关系可得△＝（2p）2﹣4（﹣3p2+5）＝16p2﹣20＞0，x1+x2＝﹣2p，，代入可得关于p的方程，解方程即可；（2）由方程有三个不同的实数根x1、x2、x3，可得x3＝﹣p，x1、x2是方程x2+2px ﹣3p2+5＝q的两根；由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2p，，x3＝﹣p．△＝（2p）2﹣4（﹣7p2+10）＝32p2﹣40＞0，进而得到关于p的方程，解出p即可求出q的值．【解答】解：（1）若q＝0，则方程为x2+2px﹣3p2+5＝0．因该方程有两个不同的实数x1、x2，可得△＝（2p）2﹣4（﹣3p2+5）＝16p2﹣20＞0，x1+x2＝﹣2p，解得p2＞；由，得，解得p＝5或．（注意5﹣3p2≠0）因为p2＞，所以p＝5．（2）显然q＞0．方程可写成x2+2px﹣3p2+5＝±q．因该方程有三个不同的实数根，即函数与y2＝±q的图象有三个不同的交点，∴可得：，即q＝4p2﹣5．x1、x2是方程x2+2px﹣3p2+5＝q的两根，即x2+2px﹣7p2+10＝0．则x1+x2＝﹣2p，，x3＝﹣p．△＝（2p）2﹣4（﹣7p2+10）＝32p2﹣40＞0，解得p2＞．由，得，解得p2＝2＞，所以，q＝4p2﹣5＝3．21．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，D是AB上一点，AC＝BD，P是CD中点．求证：AP＝BC．【分析】作辅助线，构建全等三角形和平行四边形，先证明四边形ACFD是平行四边形，得DF＝AC＝BD，DF∥AC，再证明△BDF是等边三角形，证明△ABC ≌△BAF（SAS），可得结论．【解答】证明：延长AP至点F，使得PF＝AP，连结BF，DF，CF，∵P是CD中点，∴CP＝DP，∴四边形ACFD是平行四边形，∴DF＝AC＝BD，DF∥AC，∴∠FDB＝∠BAC＝60°，∴△BDF是等边三角形，∴BF＝DF＝AC，∠ABF＝60°，∴∠ABF＝∠BAC，在△ABC和△BAF中，∵，∴△ABC≌△BAF（SAS），∴AF＝BC，∴AP＝AF＝BC．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE×CA．（1）求证：BC＝CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）由DC2＝CE•CA和∠ACD＝∠DCE，可判断△CAD∽△CDE，得到∠CAD＝∠CDE，再根据圆周角定理得∠CAD＝∠CBD，所以∠CDB＝∠CBD，于是利用等腰三角形的判定可得BC＝DC；（2）连结OC，如图，设⊙O的半径为r，先证明OC∥AD，利用平行线分线段成比例定理得到＝2，则PC＝2CD＝4，然后证明△PCB∽△PAD，利用相似比得到，再利用比例的性质可计算出r的值．【解答】（1）证明：∵DC2＝CE•CA，∴，而∠ACD＝∠DCE，∴△CAD∽△CDE，∴∠CAD＝∠CDE，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC；（2）解：连结OC，如图，设⊙O的半径为r，∵CD＝CB，∴＝，∴∠BOC＝∠BAD，∴OC∥AD，∴，∴PC＝2CD＝4，∵∠PCB＝∠PAD，∠CPB＝∠APD，∴△PCB∽△PAD，∴，即，∴r＝4，即⊙O的半径为4．23．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0）、B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点点B、C重合），经过点O、P 折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（1）如图1，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（2）如图2，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（3）在（2）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时如图3，求点P的坐标（直接写出结果即可）．【分析】（1）根据题意得，∠OBP＝90°，OB＝6，在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，得OP＝2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；（2）由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，可知△OB′P ≌△OBP，△QC′P≌△QCP，易证得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；（3）首先过点P作PE⊥OA于E，易证得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′A的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与m和t的关系，即可求得t的值，得出P点坐标．【解答】解：（1）根据题意，∠OBP＝90°，OB＝6，在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，得OP＝2t．∵OP2＝OB2+BP2，即（2t）2＝62+t2，解得：t1＝2，t2＝﹣2（舍去）．∴点P的坐标为（2，6）；（2）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，∴∠OPB′＝∠OPB，∠QPC′＝∠QPC，∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC＝180°，∴∠OPB+∠QPC＝90°，∵∠BOP+∠OPB＝90°，∴∠BOP＝∠CPQ，又∵∠OBP＝∠C＝90°，∴△OBP∽△PCQ，∴＝，由题意设BP＝t，AQ＝m，BC＝11，AC＝6，则PC＝11﹣t，CQ＝6﹣m．∴＝，∴m＝t2﹣t+6（0＜t＜11）；（3）过点P作PE⊥OA于E，如图3，∴∠PEA＝∠QAC′＝90°，∴∠PC′E+∠EPC′＝90°，∵∠PC′E+∠QC′A＝90°，∴∠EPC′＝∠QC′A，∴△PC′E∽△C′QA，∴＝，在△PC′E和△OC′B′中，，∴△PC′E≌△OC′B′（AAS），∴PC'＝OC'＝PC，∴BP＝AC'，∵AC′＝PB＝t，PE＝OB＝6，AQ＝m，EC′＝11﹣2t，∴＝，∵m＝t2﹣t+6，∴3t2﹣22t+36＝0，解得：t1＝，t2＝故点P的坐标为（，6）或（，6）．24．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1，1），（﹣2，﹣2），，…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．（1）若点P（2，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y＝3kx+s﹣1（k，s为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t＝b2﹣b+，试求t的取值范围．【分析】（1）根据“梦之点”的定义得出m的值，代入反比例函数的解析式求出n的值即可；（2）根据梦之点的横坐标与纵坐标相同，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案；（3）由得：ax2+（b﹣1）x+1＝0，则x2，x2为此方程的两个不等实根，由|x1﹣x2|＝2得到﹣2＜x1＜0时，根据0≤x1＜2得到﹣2≤x2＜4；由于抛物线y＝ax2+（b﹣1）x+1的对称轴为x＝，于是得到﹣3＜＜3，根据二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵点P（2，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，∴m＝2，∴P（2，2），∴n＝2×2＝4，∴这个反比例函数的解析式为y＝；（2）由y＝3kx+s﹣1得当y＝x时，（1﹣3k）x＝s﹣1，当k＝且s＝1时，x有无数个解，此时的“梦之点”存在，有无数个；当k＝且s≠1时，方程无解，此时的“梦之点”不存在；当k≠，方程的解为x＝，此时的“梦之点”存在，坐标为（，）；（3）由得：ax2+（b﹣1）x+1＝0，则x2，x2为此方程的两个不等实根，由|x1﹣x2|＝2，又﹣2＜x1＜2得：﹣2＜x1＜0时，﹣4＜x2＜2；0≤x1＜2时，﹣2≤x2＜4；∵抛物线y＝ax2+（b﹣1）x+1的对称轴为x＝，故﹣3＜＜3，由|x1﹣x2|＝2，得：（b﹣1）2＝4a2+4a，故a＞；t＝b2﹣b+＝（b﹣1）2+，y＝4a2+4a+＝4（a+）2+，当a＞﹣时，t随a的增大而增大，当a ＝时，t＝，∴a＞时，t＞．。

XXX2019年外地生自主招生考试数学试题含答案解析XXX2019年外地生自主招生考试数学试题一、选择题（每小题5分，共60分）1.若$M=5x^2-12xy+10y^2-6x-4y+13$（$x,y$为实数），则$M$的值一定为（）。

A。

非负数 B。

负数 C。

正数 D。

零2.将一个棱长为$m(m>2$且$m$为正整数)的正方体木块的表面染上红色，然后切成$m$个棱长为1的小正方体，发现只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，则$m$等于（）。

A。

$16$ B。

$18$ C。

$26$ D。

$32$3.已知$a,b$满足$6a-100a+7=0,7b-100b+6=0$，且$ab\neq 1$，则$\dfrac{10a+3}{6a-1}\cdot\dfrac{10b+3}{7b-1}$的值为（）。

A。

$\dfrac{xxxxxxx}{7763}$ B。

$\dfrac{1}{2}$ C。

$\dfrac{1}{4}$ D。

$\dfrac{1}{6}+10\sqrt{3}$4.若$a=\dfrac{3a}{b},b=2+6\sqrt{3}$，则$\dfrac{a}{b^2+3b+5}$的值为（）。

A。

$\dfrac{1}{2}$ B。

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{6}$ C。

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ D。

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$5.满足$ab+a-b-1=0$的整数对$(a,b)$共有（）。

A。

4个 B。

5个 C。

6个 D。

7个6.在凸四边形$ABCD$中，$E$为$BC$边的中点，$BD$与$AE$相交于点$O$，且$BO=DO,AO=2EO$，则$\dfrac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle ABD}}$的值为（）。

2019年南开学校高考数学选择题专项训练（一模）抽选各地名校试卷，经典试题，有针对性的应对高考数学考点中的难点、重点和常规考点进行强化训练。

第 1 题：来源：山西省山西大学附中2018_2019学年高二数学下学期2月模块诊断试题理双曲线的虚轴长为（）A． B． C． D．【答案】A第 2 题：来源：湖北省荆州市沙市区2017_2018学年高一数学上学期第一次双周考试题试卷及答案函数的定义域为 ( )A．(－∞，4) B．[4，＋∞) C．(－∞，4] D．(－∞，1)∪(1,4]【答案】D【解析】要使解析式有意义需满足：，即且所以函数的定义域为(－∞，1)∪(1,4]故选：D点睛：,第 3 题：来源： 2017-2018学年吉林省通化市辉南高一（上）期末数学试卷（含答案解析） (1) 已知cosα+cosβ=，则cos（α﹣β）=（）A． B．﹣ C． D．1【答案】B解：已知两等式平方得：（cosα+cosβ）2=cos2α+cos2β+2cosαcosβ=，（sinα+sin β）2=sin2α+sin2β+2sinαsinβ=，∴2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=，即cosαcosβ+sinαsinβ=﹣，则cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣．第 4 题：来源：江西省上饶市第二中学2018_2019学年高一数学下学期期中试题要得到函数的图象，只需将函数的图象( )A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】C第 5 题：来源：山东省泰安市2019届高三数学一轮复习质量检测试卷理（含解析）某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲，乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，已知甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则的值为A. 2B.C.3 D.【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x、y的值．【详解】解：根据茎叶图中的数据，得；甲班5名同学成绩的平均数为，解得；又乙班5名同学的中位数为73，则；．故选：D．【点睛】本题考查了平均数与中位数的概念与应用问题，是基础题．第 6 题：来源：黑龙江省齐齐哈尔市2017_2018学年高二数学9月月考试题试卷及答案如果n个数x1，x2，x3，…，xn的平均数为1, 则2x1＋1,2x2＋1,2x3＋1，…，2xn＋1的平均数为( ).3 .4 .5 .6【答案】 A第 7 题：来源：广东省天河区普通高中2017_2018学年高一数学10月月考试题试卷及答案08 翰林汇若定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f()<f(b)，则一定可得A．<b B．>bC．||<|b| D．0≤<b或>b≥0【答案】C第 8 题：来源：山东省潍坊市临朐县2017届高三数学上学期阶段性质量检测（12月月考）试题理下列说法正确的个数是(1)若为假命题，则均为假命题(2)已知直线，平面，且，，则“”是“”的必要不充分条件(3)命题“若，则”的逆否命题为“若，则”(4)命题“，使”的否定是“”A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B第 9 题：来源：重点班2017届高三数学一轮复习阶段检测试题四理试卷及答案关于空间几何体的结构特征,下列说法不正确的是( )(A)棱柱的侧棱长都相等(B)棱锥的侧棱长都相等(C)三棱台的上、下底面是相似三角形(D)有的棱台的侧棱长都相等【答案】B解析:根据棱锥的结构特征知,棱锥的侧棱长不一定都相等.第 10 题：来源： 2017届河北省武邑高考一模考试数学试题（理）含答案如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入分别为17,14，则输出的=( )A． 4 B．3 C. 2 D．1【答案】D第 11 题：来源：江西省九江市2017_2018学年高二数学上学期第二次月考试题理已知为奇函数，，若对恒成立，则的取值范围（）A. B. C. D.【答案】B第 12 题：来源：江西省新干县第二中学等四校2018届高三数学第一次联考试题文（含解析）函数f(x)＝lnx－1的零点所在的区间是( )A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)【答案】B【解析】∵，在递增，而，∴函数的零点所在的区间是，第 13 题：来源： 2017年福建省四地六校高二数学下第二次联考5月试题（理）及答案设函数的图像在点处切线的斜率为，则函数的部分图像为（）【答案】B第 14 题：来源：湖南省双峰县2017_2018学年高二数学上学期第一次月考试题扇形中，，其中是的中点，是弧上的动点（含端点），若实数满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D第 15 题：来源：安徽省定远重点中学2017_2018学年高一数学上学期第三次月考试题下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A．y＝ B．y＝e－xC．y＝－x2＋1 D．y＝lg|x|【答案】 C【解析】A项，y＝是奇函数，故不正确；B项，y＝e－x为非奇非偶函数，故不正确；C，D两项中的两个函数都是偶函数，且y＝－x2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y＝lg|x|在(0，＋∞)上是增函数，故选C.第 16 题：来源： 2019高考数学一轮复习第7章不等式第3讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划分层演练文若x，y满足且z＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为( )A． B．C．1 D．2【答案】D.由选项得m>0，作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分．因为z＝3x－y，所以y＝3x－z，当直线y＝3x－z经过点A时，直线在y轴上的截距－z最小，即目标函数取得最大值2.由得A(2，4)，代入直线mx－y＝0得2m－4＝0，所以m＝2.第 17 题：来源： 2019高考数学一轮复习第9章平面解析几何章末总结分层演练文如图，AB是椭圆C长轴上的两个顶点，M是C上一点，∠MBA＝45°，tan∠MAB＝，则椭圆的离心率为( )A． B．C．D．【答案】D．第 18 题：来源：湖北省孝感市七校教学联盟2016_2017学年高一数学下学期期末考试试题理已知等比数列的前n项和，则数列的前10项和等于（）A．1023 B．55 C．45 D．35【答案】C第 19 题：来源：高中数学第三章导数及其应用3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表自我小测新人教B版选修1_120171101239观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x．由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)【答案】D第 20 题：来源：云南省玉溪市峨山彝族自治县第一中学2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题试卷及答案理等差数列满足，则其公差d= ( )A、2B、-2C、3D、-3【答案】 B第 21 题：来源： 2017届杭州市高三4月教学质量（二模）数学试题含答案设是等差数列，为其前项和.若正整数，，，满足，则（）A． B． C.D．【答案】A第 22 题：来源： 2017_2018学年高中数学第三章直线与方程章末综合测评2试卷及答案新人教A 版必修在直角坐标系中，直线x－y－3＝0的倾斜角是( )A．30° B．60°C．120° D．150°【答案】B第 23 题：来源： 2016-2017学年四川省成都外国语学校高二数学上学期期末考试试题理如图12，F1,F2分别是双曲线C：（）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B 与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，若|MF2|=|F1F2|,则双曲线C的渐近线方程是( )A. B. C. D.【答案】D第 24 题：来源：江西省上高县2017届高三数学下学期开学考试（第七次）试题试卷及答案理已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A第 25 题：来源：江西省上饶市玉山县第一中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题理（10_19班）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围是（）A．B． C．D．【答案】B第 26 题：来源：广东省广州市荔湾区2016_2017学年高二数学下学期期末考试试题试卷及答案文若椭圆和圆为椭圆的半焦距),有四个不同的交点,则椭圆的离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】C第 27 题：来源： 2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理（北京卷，含解析）若x，y满足则x + 2y的最大值为（A）1 （B）3（C）5 （D）9【答案】D【解析】试题分析：如图，画出可行域，表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.【考点】线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如.求这类目标函数的最值常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如；（3）斜率型：形如，而本题属于截距形式.第 28 题：来源：黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2017_2018学年高二数学下学期期中试题理已知双曲线:的右焦点为，设，为双曲线上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，若原点在以线段为直径的圆上，直线的斜率为，则双曲线的离心率为A. 4B.2 C. D.【答案】 B第 29 题：来源：江西省崇仁县2017_2018学年高一数学上学期第二次月考试题试卷及答案函数的零点所在的大致区间是（）A． B． C． D．【答案】A第 30 题：来源： 2016_2017学年河北省唐山市古冶区高二数学下学期期末考试试题试卷及答案理函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，若将f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A．y=sin（4x+） B．y=sin（4x+）C．y=sin（x+） D．y=sin（x+）【答案】A第 31 题：来源：黑龙江省伊春市2018届高三数学上学期第一次月考试题理函数的部分图象如图所示，则（）A．B．C． D．【答案】A第 32 题：来源：甘肃省嘉峪关市酒钢三中2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题试卷及答案理已知椭圆的左、右焦点分别为.离心率为，过的直线交椭圆于两点，若的周长为.则的方程为（）A．B．C．D．【答案】A第 33 题：来源：广东省东莞市2016_2017学年高一数学下学期期末教学质量检查试题已知角终边上一点的坐标为（），则的值是（）A．2 B．-2 C. D．【答案】D第 34 题：来源：湖北省襄阳市优质高中2017届高三数学1月联考试题试卷及答案理已知成等差数列，成等比数列，则的值为A. B. C. D.【答案】A第 35 题：来源：福建省莆田市莆田第六中学2018届高三数学下学期第三次模拟考试试卷文（含解析）在等比数列中，，则“，是方程的两根”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而充分不条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先根据韦达定理得，再根据等比数列性质求，最后确定充要关系.【详解】因为，是方程的两根，所以，因此,因为<0，所以从而“，是方程的两根”是“”充分而不必要条件，选A.第 36 题：来源：安徽省滁州市定远县育才学校2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题（普通班）理已知函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，命题：总存在，有；命题：若函数在区间上有，则是的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要【答案】C第 37 题：来源： 2018届高考文科复习课时跟踪检测(17)同角三角函数的基本关系试卷及答案已知tan(α－π)＝，且α∈＝( )A．B．－C．D．－【答案】B第 38 题：来源：湖南省常德市2019届高三数学上学期检测考试试题理（含解析）已知集合，则（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，解不等式求得集合，然后求两个集合的交集.【详解】由，解得；由，解得，故.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.第 39 题：来源：山西省忻州市2017_2018学年高一数学上学期摸底考试试题a，b，c为常数，且（a-c）2>a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有一根为0【答案】A第 40 题：来源：河北省邯郸市2016_2017学年高二数学上学期期中试题试卷及答案在中，内角的对边分别是，若，，则为（）A． B． C． D．【答案】A 【解析】因为,所以由正弦定理可得:，又利用余弦定理可得:由于,解得:,故选A.考点：1、正弦定理及余弦定理；2、同角三角函数之间的关系.。

2019年南开大学附属中学高考数学选择题专项训练（一模）抽选各地名校试卷，经典试题，有针对性的应对高考数学考点中的难点、重点和常规考点进行强化训练。

第 1 题：来源：广西桂林市2017_2018学年高一数学上学期期中试题 (1试卷及答案函数的定义域为（）A． B． C．D．【答案】C【解析】由函数可得，解之得，进而可得函数的定义域为，第 2 题：来源：江西省新余市2016_2017学年高一数学下学期期末试卷文（含解析）在△ABC中，∠ABC=120°，BA=2，BC=3，D，E是线段AC的三等分点，则•的值为（）A． B． C． D．﹣【答案】B【考点】9R：平面向量数量积的运算；9V：向量在几何中的应用．【分析】根据向量加法、减法的几何意义，可用，分别表示，，从而进行数量积的运算即可．【解答】解：如图，根据已知条件：=+=+=+（﹣）=（2+）；同理=（+2）；∴•=（22+5•+22）=（8﹣15+18）=．故选：B．第 3 题：来源：湖北省宜城市第二中学2016-2017学年高二数学下学期开学考试试题试卷及答案理设A为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点B与A连接，则弦长AB超过半径的倍的概率是A． B． C．D．【答案】 B第 4 题：来源： 2017年高中数学模块综合测评1（含解析）新人教A版选修2_3如图，用4种不同颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有( )124 53A.72 B．96 C．108 D．120【答案】B第 5 题：来源：江西省樟树市2017_2018学年高二数学上学期第三次月考试题文向面积为S的平行四边形ABCD中任投一点M，则△MCD的面积小于的概率为（）A． B． C．D．【答案】D第 6 题：来源：重庆市2017届高三数学下学期第一次段考试卷及答案理（含解析）甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为（）A．1 B． C． D．【答案】B【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】使用捆绑法分别计算甲乙相邻，和甲同时与乙，丙相邻的排队顺序个数，利用古典概型的概率公式得出概率．【解答】解：甲乙相邻的排队顺序共有2A=48种，其中甲乙相邻，甲丙相邻的排队顺序共有2A=12种，∴甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为．第 7 题：来源：辽宁省六校协作体2019届高三数学上学期初考试试题理某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C第 8 题：来源：高中数学第三章数系的扩充与复数的引入章末测试试卷及答案A 新人教A版选修2-2设a是实数，且是实数，则a等于( )A． B．1 C． D．2【答案】B第 9 题：来源：广东省中山市普通高中2017_2018学年高一数学11月月考试题试卷及答案03已知关于的不等式的解集为P，若，则实数的取值范围为--（）A. B. C. D.【答案】B第 10 题：来源：江西省南昌市第二中学2018_2019学年高一数学上学期第一次月考试题对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3，[﹣1.08]=﹣2，定义函数f（x）=x﹣[x]，则下列命题中正确的是①函数f（x）的最大值为1；②函数f（x）的最小值为0；③方程有无数个根；④函数f（x）是增函数．A. ②③B.①②③C.②D.③④【答案】A第 11 题：来源：河南省洛阳市2017届高考第二次统一考试（3月）数学（文）含答案设，则的大小关系是A. B.C. D.【答案】D第 12 题：来源：安徽省滁州市定远县育才学校2018_2019学年高二数学上学期期中试题（普通班）理如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD ⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A．平面ADC⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ABD⊥平面ABC 【答案】 A第 13 题：来源：河南省安阳市2017_2018学年高二数学9月月考试题试卷及答案具有线性相关关系的变量x，y，满足一组数据，如下表所示．若y与x的回归直线方程为＝3x－，则m的值是( )x 0 1 2 3y －1 1 m 8A.4B. C．5 D． 6【答案】A第 14 题：来源：甘肃省天水市2016_2017学年高一数学下学期第二次月考试题试卷及答案若函数同时具有下列三个性质：(1)最小正周期为；(2)在时取得最大值1；(3)在区间上是增函数。

名校初中自主招生测试数学试题〔本卷总分值120分 测试时间90分钟〕、选择题〔本大题共8小题,每题5分,总分值40分〕邙心近目2 . John 于早上6点x 分钟从A 地出发,在当天 第1题早上6点y分钟抵达B 地.他发现,在这段行程的起点和终点时刻, 时针和分针所成的夹角都是 110◎那么John从A 地至B 地耗时〔 〕 A. 35分钟B. 38分钟C. 40分钟3 .假设 2007 —m + Jm —2021 = m,那么 m —20072 =〔…______ ________________________ 2A. 7 B . 2021 C . 20214 .如图,一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等 沿等边三角形的三边做无滑动旋转 ,直至回到原出发位置时,那么这个圆共转了 〔〕A. 4 圈 B .3 圈 C .5 圈 D .3.5 圈3 一5 .如图,点A 〔p,q 〕 〔0 < p <q 〕在反比仞^函数y=—的图像上,且 OA=5 ,过A 作AC ,y 轴,垂足 x 为C,线段OA 的垂直平分线交 一 2 26 .二次函数y = -x +6x -7,当x 取值为t Ex <t 十2时有最大值y = -〔t -3〕 +2 ,那么t 的取值 范围为〔 〕〔A 〕 tW0〔B 〕 0WtW3〔C 〕 t>3〔D 〕以上都不对.7.图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由 A 地到B 地的路线图〔箭头表示行进的方向〕.图 2中E 为AB 的中点,图3中AJ>JB .判断三人行进路线长度的大小关系为〔〕1 .在如下图的 A. 4个 C. 5个12个图形中,轴对称图形有 B . 3个 D. 6个rnxo 七盘zffi 〔〕个 用#坨曲D. 44分钟 D. - 20212,当这个圆按箭头方向从某一位置OC 于点B,连结AB ,那么^ ABC 的周长为〔I14 .如图,正方形 ABCD 的边长为1, M,N 为BD 所在直线上白两点,且 AM =石,/MAN =135°,那么四边形AMCN 的面积为115 .方程x 2+2x-1 = 0的解可视为函数 y=x+2的图象与函数y =-的图象交点的横坐标,那么方程kx 2+x x -4=0的两个解其实就是直线 ▲ 与双曲线 ▲ 图象交点的横坐标,假设这两个交点 均在直线y=x 的同侧,那么实数k 的取值范围是 ^三、解做题(本大题共 5小题,第16-19题各10分,第20题12分,共52分)a b16 . (1)非零头数 a, b 满足ab =a-b ,试求一+——ab 的值.b a(2)实数 a,b,c 满足 a —7b+8c =4,8a+4b —c=7 ,试求 a 2—b 2+c 2 的值.17 .如图,在等腰三角形 ABC 中,AB=1 /A=90\ 腰AC 中点,点F 在底边BC 上,且FE± BE,求ACEF 积.A 、甲=乙=丙C 、乙 ＜丙＜ 甲 B 、甲 ＜乙＜丙D 、丙 ＜乙＜8 . P 是4ABC 内一点,AD 、BE 、CF 过点P 并且交边BC 、CA 、 ,AP BP CPmd —————-———= .E 、F ,那么BE CF ---------A 1B 2C 3D 4二、填空题(本大题共7小题,每题4分,共28分)9 .假设 2x+5y-5=0加 4、X32y =10 .记 x = (1 +2 X 1 +22 X 1 + 24 X 1 +28 ) - (1 +2256 ),贝Ux + 1是AB 于 D 、与CE 相 11.圆内接四边形四条边长顺次为 5、10、11、14;那么这个四边形的面积为2cm13假设ax 2+(a+2)x+9a=0有两个不同实根,X I ,X 2,且X I ＜2＜X 2,那么a 的取值范围为数.例如,假设用 f(x)来表示二次函数 y=x 2+2x+1,那么f (x)=x 2+2x+1 ;而f^)表示自变量 x 取值为5时的函数值,即f (x o ) =x .2+2x 0+1 .另外,我们把形如 P(x) =a n x n• a n 」x n」川a 1x - a 0(其中a o ,a 1,|||,a n 为系数,x 为变量)的函数称为关于 x 的一元n 次多项式.关于x 的实系数多项式 P(x),Q(x)满足：对任意实数 x,y,以下两式恒成立.(1)2P(x) —Q(x)=P(y) —y ;(ii)P(x) Q(x) >x +1 .试解答如下两个问题：(1)证实：函数 P(x)是一次函数；(2)求函数P(x)与Q(x)的表达式.19.设抛物线y = ax 2 +bx -2与x 轴交于两个不同的点 C.且/ACB= 90° .(1)求m 的值和抛物线的解析式；(2)点D (1, n )在抛物线上,过点 A 的直线y = x+1交抛物线于另一点 E.假设点P 在x 轴上,以点P 、B 、D 为顶点的三角形与△ AEB 相似,求点P 的坐标.(3)在(2)的条件下,△ BDP 的外接圆半径等于20.在A ABC 中,AB=AC , BC=6, sinB=-,点P 从点B 出发沿射线BA 移动,同时 5 点Q 从点C 出发沿线段AC 的延长线移动,点P 、Q 移动的速度相同,PQ 与直线 BC 相交于点D.(1)如图(1),当点P 为AB 的中点时,求CD 的长；⑵如图(2),过点P 作直线BC 的垂线,垂足为点E,当点P 、Q 在移动的过程中,线段BE 、DE 、CD 中是否存在长度保持不变的线段 ？青说明理由； (3)如图(3),当PQ 经过A ABC 的重心G 时,求BP 的长.18.在代数学中,为了表述的简洁,常用记号f(x),g(x),P(x),Q(x),… 来表示以x 为自变量的函A (― 1, 0)、B (m, 0),与 y 轴交于点2021年自主招生测试数学做题卷〔本卷总分值120分 测试时间90分钟〕 姓名 学号4分,共28分〕二、填空题〔本大题共9. ______________ 11. ____________ 13 . ___________15 . _____________三、解做题〔本大题共 5小题,第16、17、18、19题各10分,第20题12分,共52分〕 a b 16 . 〔1〕非零头数 a, b 满足ab =a —b ,试求一+——ab 的值.b a〔2〕实数 a,b,c 满足 a —7b+8c =4,8a+4b —c=7 ,试求 a 2 —b 2+c 2 的值.17 .如图,在等腰三角形 ABC 中,AB=1, /A=90\点E 为腰AC 中点,点F 在底边BC 上,且FE± BE,求4CEF 的面积.A18 .在代数学中,为了表述的简洁,常用记号f(x),g(x),P(x),Q(x),… 来表示以x 为自变量的函数.例如,假设用 f(x)来表示二次函数 y=x 2+2x+1,那么f (x)=x 2+2x+1 ;而f(x 0)表示自变量x 取值为5时的函数值,即f (x o ) =x .2+2x 0 +1 .另外,我们把形如 P(x);a nx n• a n .x n」•川a 1x - a 0(其中a o ,a 1,|||,a n 为系数,x 为变量)的函数称为关于 x 的一元n 次多项式.关于x 的实系数多项式 P(x),Q(x)满足：对任意实数 x,y,以下两式恒成立.10 12 14(1) 2P(x) —Q(x)=P(y) —y ; (ii) P(x) Q(x) >x+1 .试解答如下两个问题：(1)证实：函数P(x)是一次函数；(2)求函数P(x)与Q(x)的表达式.19 .设抛物线y =ax2+bx—2与x轴交于两个不同的点A(—1, 0)、B (m, 0),与y轴交于点C.且/ACE^ 90° .(1)求m的值和抛物线的解析式；(2)点D (1, n )在抛物线上,过点A的直线y = x+1交抛物线于另一点E.假设点P在x轴上,以点P、B、D为顶点的三角形与△ AEB相似,求点P的坐标.(3)在(2)的条件下,△ BDP的外接圆半径等于.20 .(此题总分值12分)在A ABC中,AB=AC , BC=6, sinB=4,点P从点B出发沿5射线BA移动,同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,点P、Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.(1)如图(1),当点P为AB的中点时,求CD的长；⑵如图(2),过点P作直线BC的垂线,垂足为点E,当点P、Q在移动的过程中,线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？青说明理由；数学参考答案〔本卷总分值120分 测试时间90分钟〕9.32 10 . 2512 11. 9012. 40,一 ,一5 13. -4/15 小于 a 小于 014.- 241 . _ . 1. 315.y=kx+1 y =— ———<k<0 或一 <k < 一--------- x 16 2 2三、解做题〔本大题共 5小题,第16、17、18、19题各10分,第20题12分,共52分〕 16.解：a〔1〕由 ab=a_b 得,b=——,..................... 2分1 aa将b 消去可得,a +b -ab =—a — +上匕-a —b a aa 1 a1 a1 a 2八= 1+a+ --------- - ......... ........................................ 4分1 a 1 a=山=2 ..................... 5分1 a a -8c =4 " 7b〔2〕依题意得『8C 4 7b.......... 7分8a y = 7 -4b对等式两端分别平方可得a 2 64c 2 16ac =49b 2 56b 16 2 2 264a 2 c 2 -16ac =16b 2 -56b 49将两式的左右对应相加可得65(a 2+c 2) =65(b 2+1) ........................... 9 分17 .解法1:如图,过 C 作CD! CE 与EF 的延长线交于 D.由于/ AB 曰/ AEB=90 ,/CEDF / AEB=90 ,所以 / ABE4 CED 于是 RtAABE^ RtACEtD 所以即知2 2 2a -bc =110分_ f CE V 1 CE AB写31司五=悲又/ ECF4 DCF=45 ,所以CF 是/ DCE 的平分线,点F 到CE 和CD 的距离相等,所以S d CEF CE =«~== 一 ——=2 SaCDF CD .................... 8 分(解法2: 如图3- 278,彳FHL CE 于H)18 .解：(1)设2P(0) —Q(0) =c (c 为常数),那么在(i )式中令x=0可得,P(y)=y+c.................. 4分以x 代y,即知P(x)=x+c.所以函数P(x)是一次函数. .......................... 5分(2)由(i)式知, Q(x)=2P(x)—(P(y) —y)=2(x+c)—c=2x + c ……6 分 代入(ii)式得到,(x+c)(2x+c) Ax+1 ,即2x 2 (3c -1)x (c 2 -1) .0对任意实数恒成立............ 8分因此,△ =(3c —1)2 -8(c 2 -1)<0 ；但同时注意到 A=(3c —1)2 —8(c 2 —1)=(c —3)2 之0,所以 c=3, P(x) = x + 3,Q(x) =2x+3 ,经 检验符合题意............ 10分19 .解答:21、(1) .M=4 , y=1/2x2-3/2x-2 ............................. 2 分(2)p 1(13/7,0) p 2(-22/5,0) ........................ 6 分 (3) 3 Ti06/14 或 3^53/5 ........................... 10 分20 .⑴过点P 作PF// AC 交BC 于F, 丁 P 为AB 的中点,F 为BC 的中点,FC=3, 可证 A PFD0 A QCD 得 DC=FD= 3 ——2 分.2(2)当点P 、Q 在移动的过程中,线段DE 的长度保持不变.----3分①如果点P 在线段AB 上时,过点P 作PF// AC 交BC 于F,由AB=AC ,可证PB=PF,. PE ,BC, • . BE=FE,再证 APFD0 AQCD 得 DC=FD, A ED=- BC=3-----5 分.2②如果点P 在线段BA 的延长线上时,同理可得 ED=3-----6分. ・•・当点P 、Q 在移动的过程中,线段DE 的长度保持不变 ——7分.(3)作PE± BC 于点E,连结 AG 并延长交BC 于点H, = AB=AC , G 为AABCs .2S^ACEF 3 0|X1 2410分的重心,」. AH XBC,BH=CH=3 ,由sinB=4 , 5得AH=4, GH=,---9 分3设BP=x,…—4WJ PE=-x5,BE= 3 _ _ _ _一3x, v BH= ED=3, A HD=BE=—x —10 分5由ADGH s ADPE 得GH _PE 一4 3也,即3, DE 4 3一x55、. 3-' - 3 'BP=5il .312分。