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无穷大量与无穷小量极限的运算法则

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无穷小与无穷大,极限运算法则

无穷小与无穷大,极限运算法则

例如, n 时, 1 是无穷小， n
但n个 1 之和为1不是无穷小. n
2019/10/13
13
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例如,当x 0时, x sin 1 , x2 arctan 1 都是无穷小
lim x 1 1 . x1 x 3 2
(消去零因子法)
2019/10/13
22
例4
求
lim
x
3x2 2x 1 x3 3x 5
(

型
)
无穷小因子分出法
解 x 时,分子,分母的极限均为无穷大.
方 法 先用 x 3去除分子分母, 分出无穷小,
再求极限.
lim
如果对于任意给定的正数m不论它多么大总存在正数使得对于满足不等式的一切x对应的函数值注意1无穷大是变量不能与很大的数混淆
第四节 无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
2019/10/13
1
一、无穷小
1. 定义 (无穷小): 如果函数 f (x)当 xx0 (或x ) 时的极限为零, 则称函数 f (x) 当 xx0 (或 x)时 为无穷小.
是由函数 y f (u) 与函数 u g( x) 复合而成, f [g( x)]
在点 x0 的某去心邻域内有定义,
若
lim
x x0
g(
x)

u0，
o
lim
uu0
f (u) A，且存在0 0,
当 x U ( x0 , 0 ) 时,

高数1-3无穷小无穷大与极限运算法则

高数1-3无穷小无穷大与极限运算法则

lim f ( x) A , lim g ( x) B,
且 f ( x) g ( x),
则
A B .
( P45 定理 5 ) 提示: 令 ( x) f ( x) g ( x)
1.lim(2 x 1)
x 1
x 1 2.lim 2 x 2 x 5 x 3
3
*. 设有分式函数
n n
(1) lim ( xn yn ) A B
n
(2) lim xn yn AB
n
xn A (3) 当 yn 0 且 B 0时, lim n y n B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 直接得出结论 .
定理 5 :若
3. 求 解法 1 原式 = lim
x x2 1 x
x
lim
x
1 1 1 1 2 1 2 x
1 则 t 0 令t , x 2 1 1 1 1 t 1 原式 = lim 2 1 lim t0 t t0 t t2 t 1 1 lim 2 2 t 0 1 t 1
定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设
0 ,
当 当
时,有 时,有
取 min 1 , 2 , 则当 0 x x0 时, 有
2 2
因此
这说明当
时,
为无穷小量 .
定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小。
备选题 设
求 解:
是多项式 , 且
利用前一极限式可令
f ( x) 2 x 3 2 x 2 a x b

四、五节 无穷小与无穷大极限运算法则

四、五节 无穷小与无穷大极限运算法则
1，定义：绝对值无限增大的变量称为无穷大 ，定义：绝对值无限增大的变量称为无穷大. 无穷大
特殊情形：正无穷大，负无穷大． 特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x → x0 ( x→∞ )
lim f ( x ) = +∞ (或 lim f ( x ) = −∞ )
x → x0 ( x→∞ )
注意 （1）无穷大是变量 不是一个很大的数，它能大于任 不是一个很大的数， ）无穷大是变量,不是一个很大的数 意大的数; 意大的数
0
x−3 例3 求 lim 2 x →3 x − 9
B、x -->∞ 时求函数极限 、
例4
2x − 3 求 lim 2 x →1 x − 5 x + 4
3x3 + 4 x2 + 2 例5 求 lim 3 x→∞ 7 x + 5 x2 − 3
3 x2 − 2 x − 1 例6 求 lim 3 2 x→∞ 2x − x + 5
极限的四则运算法则
定理
设 lim f ( x) = A, lim g( x) = B, 则 (1) lim f ( x) ± g( x)] = A± B; [ (2) lim f ( x) ⋅ g( x)] = A⋅ B; [ f ( x) A (3) lim B = , 其中 ≠ 0. g( x) B
第五节 极限的运算法则
本节讲述极限的四则运算法则。为此先介绍两个定理。 定理1：有限个无穷小的和还是无穷小。 有限个无穷小的和还是无穷小 定理 有限个无穷小的和还是无穷小 定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 定理 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小。 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小 （常数是有界的） 推论2：有限个无穷小的乘积是无穷小。 有限个无穷小的乘积是无穷小 推论 有限个无穷小的乘积是无穷小 （无穷小是有界的）

第四、五节 无穷大与无穷小 极限运算法则

第四、五节 无穷大与无穷小 极限运算法则
M0,0,使得 0x 当 x0时 恒f有 (x)1,
M
当xx0时, f(1x)为无穷 . 大 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
16
容易证明
∗ 两个正(负)无穷大之和仍为正(负)无穷大; ∗ 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大; ∗ 有非零极限的变量(或无穷大)与无穷大之
积仍为无穷大;
过程；
5
2.无穷小与函数极限的关系:
定理 1 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0
其中( x)是当 x x0时的无穷小.
证: lim f(x)A
xx0
0,0,当 0xx0 时,有
f(x)A
f(x)A
lim
0
xx0
注： 对自变量的其它变化过程类似可证 . 6
f(2n)0.
所以 x时,f (x)不是无穷大!
13
y
例 证明lim 1
x1 x1
解出 | x1|
y 1 x1
证
M0,
要使 1 x1
M,
O •1
x
只要 x1 1, M
取
1, M
1
铅直渐近线
当 0x1时 ,有 1 M. lim 1 .
x1
x1 x1
结 如x l 果 ix0m f(x) ,则直 xx0是 线函 yf(数 x) 论 的图形的铅直渐近线(vertical asymptote).
14
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
证 设lim f(x). x x0 0,0,使得 0x 当 x0时 恒f有 (x)1, 当xx0时, f(1x)为无穷 . 小 15

4-5 无穷大与无穷小 极限运算法则

4-5 无穷大与无穷小 极限运算法则

π
2
时,
当
f ( 2 nπ + ) = 2 nπ + 2 2 而取 x = xn = 2nπ时,
π
π
f ( 2 n π ) = 0.
不是无穷大 所以 x → ∞时 f (x)不是无穷大! 不是无穷大! ,
y
1 例 证明 lim =∞ x →1 x − 1 解出 | x − 1 |
y=
1 x −1
1 证 ∀ M > 0, 要使 • > M, 1 O x x −1 −1 1 1 只要 x − 1 < , 取δ = , M M 铅直渐近线 1 1 0 当 < x − 1 < δ时, 有 > M. ∴ lim = ∞. x →1 x − 1 x −1
x → x0
lim f ( x ) = 0 (或lim f ( x) = 0).
x→∞
“无穷小量”并不是表达量的大小 而是表 无穷小量” 无穷小量 并不是表达量的大小,而是表 注 达它的变化状态的. 无限制变小的量 达它的变化状态的 “无限制变小的量” 无限制变小的量” 1) 无穷小是变量 不能与很小很小的数混淆 无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆 不能与很小很小的数混淆; 2) 零是可以作为无穷小的唯一的数 零是可以作为无穷小的唯一的数 唯一的数. 3) 称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程； 称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 定理 在同一过程中 有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 仍是无穷小 证 设α及β 是当x → ∞时的两个无穷小 ,
∀ ε > 0, ∃N 1 > 0, N 2 > 0, 使得
ε ε 当 x > N 1时恒有 α < ; 当 x > N 2时恒有 β < ; 2 2

2.无穷小量、无穷大量、极限的四则运算

2.无穷小量、无穷大量、极限的四则运算

lim x
2
1
1
2 x2
1
例1-21
求
lim
x
2x3 7x3

3x2 4x2

5 1
.
解 x 时, 分子,分母的极限都是无穷大. ( 型 )
先用x 3去除分子分母 , 分出无穷小, 再求极限.

lim
x
2x3 7x3

3x2 4x2

5 1

lim
x
[ f (x) g(x)] (A B) (A )(B ) AB (A B) 0. (2)成立.
推论1 若lim f (x)存在,而c为常数,则
lim cf (x) c lim f (x)
即:常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 若lim f (x)存在,而n为正整数,则
1．无穷大量 2．无穷小量 ３．极限的四则运算
作业 P14-P15
➢ 1、 3(2，3，8，12，14) ➢ 2、 6
0
222
由夹逼法则
limsin x 0, limcos x 1
x0
x0
3．无穷小量的比较与阶
在自变量 x 的同一变化过程中，两个无穷小趋于零的
快慢可能会有所不同．
如：函数x和x2，当x 0时x2变化比x快.
两个无穷小趋于零的快慢，可根据两个无穷小的商是否 会有极限来判断．
例如 lim x 2 0 x0 x
即:若函数 f ( x)以为A极限,则函数 f ( x) A是无穷小; 反之,若 f ( x) A 是无穷小,则 f ( x)以A为极限. 因此,通常将
lim f ( x) A 表达为 f ( x) A (lim 0).

§1.4和1.5极限运算法则

§1.4和1.5极限运算法则

多项式与分式函数代入法
1. 设 f ( x ) = a 0 x n + a1 x n −1 + L + a n , 则有 结论: 结论:
x → x0
lim f ( x ) = a 0 ( lim x ) n + a1 ( lim x ) n −1 + L + a n
+ a1 x 0 + L + a n = f ( x 0 ). P( x) 2. 设 f ( x ) = , 且Q( x 0 ) ≠ 0, 则有 Q( x ) lim P ( x ) P ( x ) x → x0 0 = f ( x 0 ). lim f ( x ) = = x → x0 lim Q( x ) Q( x 0 )
sin x lim x→ ∞ x
1 limxcos x→ 0 x
1 limx ar ctan x→ 0 x
2
§1.5 极限运算法则
一、无穷小的运算性质: 无穷小的运算性质 定理1: 在自变量的同一变化过程中, 定理1: 在自变量的同一变化过程中, 有限个无穷 小的代数和仍是无穷小. 小的代数和仍是无穷小. 注意:无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 注意:无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 1 1 但 是无穷小， 例如, n → ∞ 时, 是无穷小， n 个 之和的极限为 1 . n n 定理2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 定理2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小

无穷小量与无穷大量极限运算法则

无穷小量与无穷大量极限运算法则
9
性质3：有限个无穷小的乘积也是无穷小.
1 1 例如： lim 0. 2 x x (1 x ) 三、无穷大量
1.定义: 如果在自变量的同一变化过程中,变量(函 数)f(x)的绝对值无限增大,则称该变量是这个变化过 程中的无穷大量。记作limf(x)=。
1 1 例如： lim ， 是x 0时的无穷大. x 0 x x x lim e ， ∵ e x是x 时的正无穷大量.
把求一般的极限问题转化为求特殊极限(无穷小)的问题;
n2 2 2 n2 如： 1 , lim 0, lim 1. n n n n n n
3、无穷小的运算性质: 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 性质1： 注意：无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷小.
1 1 1 例如： lim ... 1 0 n lim f ( x) A.
x x
2
2.
x x0 时， f ( x ) 的极限.

注： x x0包含了x x0 和 x x0 两个极限过程.
定理： lim f ( x ) A f ( x0 0) f ( x0 0) A.
x
10
注意:
(1)记号limf(x)没有指明自变量的变化过程，指的
是任意一种变化过程。
(2)无穷大是函数(变量),不能与很大的常数混淆; (3)切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在.
x x0
(4)无穷大的概念是反映变量的变化趋势，因此 谈及无穷大,一定指明 自变量的变化趋势. 1 1 1 不是无穷大. . 而x 2 呢？ 例 lim x 1 x 1 x 1
4
注意 (1)无穷小是函数(变量),不是一个很小的常数;

无穷大与无穷小极限运算法则(2)

无穷大与无穷小极限运算法则(2)
2
本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变 量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂 的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。 首先来介绍无穷小。
在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。 对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理 论价值，值得我们单独给出定义。
3
一、无穷小
1. 定义
极限为零的变量称为 无穷小量,简称 无穷小.
( A B) 0.
(2)成立.
f ( x) A A A B A B A 0. g( x) B B B B(B )
又 0, B 0, 0, 当0 x x0 时,
B , B B B 1 B 1 B
2
22
22
B(B ) 1 B2 , 故 2
定理2 设有数列{ xn }和{ yn }, 如果
lim
n
xn
A,
lim
n
yn
B,
那末
(1)
lim(
n
xn
yn )
A
B;
(2)
lim
n
xn
yn
A
B;
(3) 当yn 0n 1,2,且B 0时,
lim xn A . n yn B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理可由
前面的定理直接得出结论 .
所以 x 时, f (x)不是无穷大!
注：无穷大量是变量，在变化过程中可以变得大于
任意给定的正数，反映了函数的一个变化趋势；二 无界量实质函数绝对值可以大于事先给定的正数M， 是一个数值概念，不反映函数的变化趋势。
16
y
例 证明lim 1
x1 x 1
解出| x 1 |
y 1 x1

练习2.3-2.4无穷大与无穷小 极限的运算法则

练习2.3-2.4无穷大与无穷小 极限的运算法则

班级 姓名 学号练习2.3-2.4 无穷大量与无穷小量, 极限的运算法则一、 判断题(正确的结论打“√”，并给出简单证明；错误的结论打“×”，并举出反例)：1. 若存在，不存在，则)(lim 0x f x x →)(lim 0x g x x →)]()([lim 0x g x f x x +→不存在. [ ]2. 若，均不存在，则不存在. [ ])(lim 0x f x x →)(lim 0x g x x →)()(lim 0x g x f x x →3. 在某极限过程中，两个无穷大量之和一定是无穷大量. [ ]4. 若,又与均存在，则. [ ])()(x g x f >)(lim 0x f x x →)(lim 0x g x x →)(lim )(lim 00x g x f x x x x →→>5. 若0lim ()x x f x →与0lim ()()x x f x g x →均存在，则0lim ()x x g x →必存在. [ ] 二、填空题:1. 当∞→x 时，若5312)(22+++-=qx x px x f 为无穷大量，则p 为 ， q 为 ； 若为无穷小量，则)(x f p 为 ，q 为 ； 2. 已知22lim 222=--++→x x b ax x x ，则_____, =a =b _____. 三、选择题：1．无穷小量是[ ].() 以零为极限的变量； () 比任何数都小的一个量.2. 设(A ) 比零稍大一点的数； (B ) 一个越来越接近于零的变量； C D 6)31)(21)(1(lim 0=++++→xa x x x x ，则a 的值为[ ].3*. 设数列(A ) ； (B ) ； (C ) ； (D ) .1-123{}n x 与{}n y ，满足lim 0n n x x y →∞=，则下列断言正确的是[ ] () 若A {}n x 发散，则{}n y 必发散； () 若B {}n x 无界，则{}n y 必有界；(C ) 若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小； (D ) 若{1/}n x 为无穷小，则{}n y 必为无穷小.四、求下列极限: 1. 4586lim 224+-+-→x x x x x ； 2.)(lim 22x x x x x --++∞→； 3. 2221(lim n n n n -++⋯++∞→； ； 7.* x e e x xx 1arctan 11lim 110-+→ 4 湖南大学数学与计量经济学院编 4. 11lim 31--→x x x ； 5. n n n cos )211(lim -∞→； 6. ∑=∞→+⋯++N n N n 1211lim .。

1-4无穷小与无穷大;极限运算法则

1-4无穷小与无穷大;极限运算法则

二、无穷大
定义 2 如果对于任意给定的正数 M (不论它多么
小),总存在正数(或正数 X ),使得对于适合不等式
0 x x0 (或 x X )的一切 x,所对应的函数
值 f ( x)都满足不等式 f ( x) M ,
则称函数 f (x)当 x x0(或 x )时为无穷大,
f (2n ) 0.
所以 x 时, f (x)不是无穷大!
无穷小与无穷大&极限运算法则
y
例3. 证明lim 1
x1 x 1
解出| x 1 |
y 1 x1
证:
M

0,
要使
1 x1

M,
O 1
x
只要
x1

1 M
,
取

1 M
,
1
铅直渐近线
当0 x 1 时, 有 1 M . lim 1 .
如, 当x 0时, 函数sin x是无穷小;
当x 时,函 数 sin x 是无穷小; x
当x 2时,函数x 2是无穷小;
当x 1时,
皆非无穷小.
无穷小与无穷大&极限运算法则
定义1 0(不论它多么小), 0(或X 0),
使得当0 | x x0 | (或 | x | X ), 恒有 | f ( x) |
无穷小与无穷大&极限运算法则
第四节 无穷小与无穷大 第五节 极限运算法则
一.无穷小的定义 二.无穷大的定义 三.无穷小与无穷大的关系 四.极限运算法则 五.求极限方法列举 六.复合函数的极限运算法则 七.小结&作业
第一章 函数与极限

无穷大与无穷小极限运算法则.ppt

无穷大与无穷小极限运算法则.ppt

1 当x x0时, 为无穷大. f ( x)
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
容易证明
∗ 两个正(负)无穷大之和仍为正(负)无穷大;
∗ 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大; ∗ 有非零极限的变量(或无穷大)与无穷大之
积仍为无穷大;
∗ 用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷大.
lim ( x ) lim ( x ) a b.
由保号性定理, 有 lim f ( x ) 0, 即 a b 0, 故 a b.
若在U ( x0 , )内有f ( x ) 0,则必有A 0.

注意
应用四则运算法则时,要注意条件:
参加运算的是有限个函数,它们的极限 都存在, 商的极限要求分母的极限不为0.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
1 2 1 例如,当x 0时, x sin , x arctan 都是无穷小 x x
例1. 求
解:
sin x y x
1 lim 0 x x
利用定理 3 可知
x
如果 lim f ( x ) ,则直线 x x0是函数 y f ( x) 结 x x0 论 的图形的 铅直渐近线(vertical asymptote).
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证
设 lim f ( x ) .
前面的定理直接得出结论 .
lim[ f ( x ) g( x )] A B
定理3
如果 ( x ) ( x ), 而 lim ( x ) a ,

1.4无穷小、无穷大、极限运算法则

1.4无穷小、无穷大、极限运算法则
返回 返回
三、无穷小的比较
引例 . x →0时, 1 Y=x Y=x2 1 1 2 0.1 0.01
x, x2 都是无穷小, 但
3 0.01 4 0.001 …… –> 0 –>0
0.000 0.0001 …… 001
所以无穷小趋于零的速度不一样， 所以无穷小趋于零的速度不一样，因此引入阶的概念
返回 返回
例如： − 是很小的数， 穷小量。 例如： 1010000000000 是很小的数，但不是无 穷小量。
2.零是可以作为无穷小的唯一的数. 零是可以作为无穷小的唯一的数 零是可以作为无穷小的唯一的 3.分析 f (x) 是否为无穷小一定要考虑自变 分析 变化过程.如 量 x 的 变化过程 如 x → 2时 x − 2 是无穷 不是无穷小。 小，但 x → 3时，则 x − 2 不是无穷小。 返回 返回
定义: 定义:设α, β是同一过程中的两个无 , 且α ≠ 0. 穷小 β (1) 如果lim = 0, 就说β是比α高阶的无穷小 , α 记作β = o(α); β β α低阶的无穷小. (2)如果lim = ∞, 就说 是比 低阶的无穷小. α β (3) 如果lim = C(C ≠ 0),就说β与α是同阶的无穷小 ; α β ; 特殊地如果lim = 1, 则称β与α是等价的无穷小 α 记作α ~ β;
β β′ α′ = lim ⋅ lim ⋅ lim = lim β ′ . β′ α′ α α′
返回 返回
tan 2x . 例5 求lim x→0 1 − cos x
1 2 解 当x →0时, 1 − cos x ~ x , tan2x ~ 2x. 2 2 (2x) 原式= lim = 8. x→0 1 → 2 x 2

无穷小和无穷大的概念 极限的运算法则 答案详解

无穷小和无穷大的概念 极限的运算法则 答案详解

x 1
x 1时， x 2 3 ， x 1 0 ，则倒式 1 ，故 x 2 是无穷大
x 1
x 1
1
4. y 2x 1
解：
x
时，
1 x

1
0， 2x

20
1
1 ，则 2x
1
0 是无穷小
x
0 时，
1 x

1
， 2x

1
，则 2x
1
3 1 解：分析同 3 题类似，原式 lim x
2 x2
3
x
1
1 x4
5. lim x( x2 1 x) x
解：分子或分母有理化是求极限时常用的变形技巧
原式 lim x( x
x2 1 x)(
x2
1

x)
抓大头

lim
x2 1 x
x

1
1
lim
x
2x 715
210 35
215


3 2
5

5. limln[(sin 2x)3] （ 0 ）. x 4
解：复合函数的极限，从内层到外层逐层讨论
x 时， 2x ,sin 2x 1, (sin 2x)3 1, ln[(sin 2x)3] 0
1.3 无穷小和无穷大的概念 极限的运算法则
一、指出下列函数在什么情况下是无穷小量，什么情况下是无穷大量：
分析：极限趋于 0 的量为无穷小，趋于 的量为无穷大，故该类型题关键是求极限 1. y ex
解：
y

ex


1 x e

第三次课 无穷小与无穷大 极限运算法则

第三次课 无穷小与无穷大 极限运算法则
x 1
解：原式 lim3x 2 lim 2 x3
x 1 x 1
2 3 3 （lim x ） 2 （lim x ） x 1 x 1
如果f(x)连续，极限 值等于函数值。
3 12 2 13 1
14
x 1 例2.求 lim 2 x 1 2 x 3
解：原式
推论1 推论2
性质3
有限个无穷小的积是无穷小.
性质4 lim f ( x) A f ( x) A
4
1 例1.求 lim x sin x 0 x 1 又 lim x 0, 解： | sin | 1, x 0 x arctan x 例2.求 lim x x
解： | arctan x |
0
19
2x 1 例7. lim x 5 x 2
3
( 型)
1 2 3 3 2x 1 x 解： lim lim x 5 x 2 x 5 2 3 2 x x

20
m m 1 a x a x 小结: lim 0 n 1 n1 am x b x b x bn 0 1
( 型)
a0 b , 当n m , 0 0, 当n m , , 当n m .
(a0 0, b0 0, m, n为非负整数)
21
x 2 例8. 求 lim x 4 x 4
0 ( 型) 0
( x 2)( x 2) 解 : 原式= lim x 4 ( x 4)( x 2)
2.5 极限的运算
12
一、极限的四则运算法则
设在同一极限过程中，lim f ( x ) A, lim g ( x ) B

极限的运算法则无穷小与无穷大两个重要极限

极限的运算法则无穷小与无穷大两个重要极限

定 理 在 自 变 量 的 同 一 变 化 过 程 中 , 如 果 f( x )为 无 穷 大 , 则
1为 无 穷 小 ; 反 之 , 若 f(x )为 ( 非 零 ) 无 穷 小 , 则 1为 无 穷 大 .
f(x )
f(x )
如 lim x 0 lim 1
x0
x 0 x
8
二、函数的极限运算法则
1、定理 设 lim u A ,lim v B ,则 ( 1 )li u m v ) li u ( m li v m A B ; ( 2 )liu m ) l v i u ( l m i v m A B ; u lim u A (3) lim (B0) v lim v B
9
说明：
例如, 当 x 0 时 ,3 x ,x 2 ,s in x ,都 是 无 穷 小 .
观
x2
lim 0, x0 3 x
下节证
x2比3x要快得;多
察
sin x
各 lim
1,
极 x0 x
sinx与x大致相;同
限
lim
x0
x x2
，
x比x2要 慢 得 多.
比值极限不同, 反映了两者趋向于零的
“快慢”程度不同.
limsinx0. x x
4
例2 limarctanx x x
解 Q lim 1 0 x x
arctan x
2
limarctanx 0 x x
5
2、无穷大(量)
定义 如果变量u在其变化过程中|u|无限增大，则 称u为无穷大(量)，记作
u 或 liu m
注: 1. 无穷大量是一个变量，不可与很大很大的数 混为一谈；
记作 a~;

2.3-2.4无穷小与无穷大、极限运算法则

2.3-2.4无穷小与无穷大、极限运算法则

第三节无穷小与无穷大一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系基本要求： 1. 理解无穷小与无穷大的定义。

2. 掌握无穷小与无穷大的相关关系。

一、无穷小 1. 定义 定义1 定义 如果函数 f ( x) 当 x → x0 (或 x → ∞ )时的 极限为零，那么 称函数 f ( x ) 为当 x → x0 (或 x → ∞ ) 时的无穷小。

1 x = 0 lim cos x = 0, = 0 limsin 例：lim x →0 π x →∞ x x→ 2 1 故 , sin x, cos x是相应过程的无穷小量 x注1：无穷小与极限过程分不开, 不能脱离极限 过程谈无穷小。

如：f (x)=sinx 当x →∵ lim sin == 1≠ ∵ lim sinx x 00 πx→ →0 x 2当x→0时，f (x)=sinx为无穷小π2时，f (x)=sinx不是无穷小.注2：0是任何极限过程的无穷小. 即 lim 0 = 0 注3： 由于limC = C(常数), 所以, 除0外的任何 常数不是无穷小量. 注4： 不能将无穷小与很小的数混淆; 如： 数10-10 ≈0，但不是无穷小。

定理lim f ( x ) = A ⇔ f ( x ) = A + α ( x ). 其中α ( x )是该极限过程中的无穷小量. A为常数. (省去x→xo , x→∞的极限符号“lim” 表示任一极限过程).2.无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下的性质： 性质： 1 有限个无穷小的和是无穷小 注1：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.。

1 例. 求 lim x sin x →0 x解: 因为 x → 0 时， x为无穷小, sin 1 ≤ 1 x 1 sin 为有界函数, x 1 。

由定理1.4 2 , 得到 lim x sin = 0 x →0 x2.无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下的性质： 性质： 1 有限个无穷小的和是无穷小 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

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第五讲Ⅰ 授课题目：§2.4无穷大量与无穷小量；§2.5极限的运算法则。

Ⅱ 教学目的与要求：1、理解无穷大与无穷小的概念，弄清无穷大与无穷小的关系；2、掌握极限的运算法则。

Ⅲ 教学重点与难点：1、无穷大与无穷小的概念、相互关系；2、用极限的运算法则求极限。

Ⅳ 讲授内容：§2.4无穷大量与无穷小量 一、无穷大的概念： 引例：讨论函数 11)(-==x x f y ，当 1→x 时的变化趋势。

当 1→x 时，11-x 越来越大(任意大)，即：+∈∀R E ，要 E x >-11⇒Ex 11<-， 也即：+∈∀R E ，01>∃E ，当 Ex 11<-时，有：E x >-11。

定义2.9：+∈∀R E ，变量y 在其变化过程中，总有一时刻，在那个时刻以后，E y >成立，则称变量y 是无穷大量，或称变量y 趋于无穷大，记：∞=y lim 。

如：∞=-→11lim1x x ，-∞=+→x x lg lim 0，+∞=-→tgx x 2lim π。

注 1. 若：∞=y lim ，则习惯地称此时)(x f y =的极限为无穷(大)；2.无穷大不能与很大的数混淆；3.无穷大与无界变量的区别；例如：xx f y sin 1)(== 当)2,1,0(,ΛΛ±±==k k x π时，∞→)(x f ，无界，但非无穷大，πk x ≠Θ时，)(x f 为有限数。

例1 函数 ?),(cos 内是否有界在+∞-∞=x x y 又当 +∞→x 时，此函数是否为无穷大？为什么？ 解 用反证法若：当+∞→x 时，x x y cos =非无穷大，)1(,cos ,,0,0M x x X x X M >>>∃>∀有时当则，取22ππ+=n x n ，当n 充分大时必有X x n >，而 0cos =n n x x 与(1)式矛盾。

∴ +∞→x 时，x x y cos =，非无穷大。

4.无穷大运算的结论：(1)有界变量与无穷大量之和是无穷大量； (2)两个无穷大量之积是无穷大量； (3)有限个无穷大量之积是无穷大量。

二、无穷小量： 1.概念：定义2.10 以零为极限的变量称为无穷小量。

例如：021lim=∞→n n ，则称 ∞→n 时，变量 nny 21=是无穷小量。

注 无穷小量非很小的数，但零是可作为无穷小量的唯一的数。

2.两个重要结论： 结论1定理2.9 A y =lim ，⇔α+=A y ，0lim =α。

例如： ?56lim=+∞→x x x ，Θx x x 5656+=+，而：05lim =∞→x x ，∴656lim =+∞→xx x 。

结论2定理2.10 若：0lim =α，且：0,>≤M M y ，⇒0lim =y α 推论 若：C 为常数，0lim =α⇒0lim =αC 。

例如：?1sinlim 0=→xx x0lim 0=→x x Θ，11sin ≤x ，∴01sin lim 0=→xx x 。

三、无穷大量与无穷小量的关系： 定理2.11 若：∞=y lim ，⇒ 01lim =y ；若：)0(,0lim ≠=αα⇒∞=α1lim 。

例如：∞=+∞→x x e lim ，⇒ 01lim=+∞→xx e 。

注 无穷大、无穷小与极限过程有关。

四、无穷小的阶(无穷小的比较)： 1.概念：定义2.11 设βα,是关于同一过程的无穷小，αβlim 也是关于同一过程的极限， 若：0lim=αβ，则称β是比α较高阶的无穷小，记：)(αβο=；若：∞=αβlim ，则称β是比α低阶的无穷小； 若：)0(lim ≠=c c αβ，则称β是与α同阶的无穷小；特别地：1=c 时，称α与β是等价的无穷小，记：α~β。

例如：212lim0=→x x x Θ，∴ 0→x 时，x 与x 2是同阶无穷小。

注 1.同一过程的无穷小方能比较；2.αβlim存在，方能比较。

2.重要结论：定理2.12 若：α~'α，β~'β，且：∃''lim αβ ，则 αβlim =''lim αβ。

常用的等价无穷小：0→x 时，x x sin ~~tgx ~1~)1ln(~~arcsin -+x e x arctgx x ，……。

例2 设：0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比n x x sin 高阶的无穷小，而n x x sin 是比12-x e高阶的无穷小，则 ?=n解 Θ 021lim 2lim sin )1ln()cos 1(lim 3022020===+--→→→n x n x n x x xxxx x x x x ，∴ 03>-n ⇒ ⇒3<n ；又：0lim lim 1sin lim 102002===--→→→n x nx x n x x xxx e x x ，∴01>-n ⇒ 1>n ， 即：31<<n ，故：2=n 。

§2.5 极限的运算法则定理2.13 若：A x =lim ，B y =lim ⇒=±)lim(y x B A y x ±=±lim lim 。

推论1 i i A x =lim ，n i ,,2,1Λ=，⇒ ∑∑∑=====n i ni iin i Ax x 111lim lim。

推论2 0lim lim ==βα，⇒ 0)lim(=±βα 注 可推广到有限个。

定理2.14 若：A x =lim ，B y =lim ⇒ AB y x xy ==lim lim )lim( 推论1 i i A x =lim ，n i ,,2,1Λ=，⇒ ∏∏∏=====n i ni iin i iA x x 111lim lim推论2 0lim lim ==βα，⇒ 0lim =αβ 注 可推广到有限个。

推论3 0)(lim ≠=A x f ，0lim =α，⇒ 0)(lim=x f α推论4 A x =lim ，c 为常数 ⇒ cA x c cx ==lim lim推论5 A x =lim ⇒nnnA x x ==)(lim lim ，nnnA x x 111)(lim lim == (0>A )，+∈Z n 。

定理2.15 若：A x =lim ，0lim ≠=B y ⇒BA y x y x ==lim lim lim 。

例1 求：)123(lim 21+-→x x x 。

解 2112131lim 2lim 3)123(lim 212121=+⨯-⨯=+-=+-→→→x x x x x x x注 若：)(x f 是一多项式，则：)()(lim 00x f x f x x =→。

例2 求：若：)(x f 是1352lim 22+-+→x x x x 。

解 75)13(lim )52(lim 1352lim 22222=+-+=+-+→→→x x x x x x x x x注 若：0)(,)()()(0≠=x p x p x q x f )(),(x q x p 是多项式，则：==→→)()(lim )(lim 00x p x q x f x x x x=)()()(lim )(lim 0000x p x q x p x q x x x x =→→。

例3 研究：45lim22-→x xx解 Θ 054lim 22=-→x x x ，∴ ∞=-→45lim 22x xx 。

例4 求：93lim 23--→x x x 。

解 )3)(3(3lim 93lim 323+--=--→→x x x x x x x 31lim 3+=→x x 61=例5 求：42lim 4--→x x x 。

(41)解 42lim4--→x x x )2)(2(2lim 4+--=→x x x x 4121lim 4=+=→x x 例6 求：xx x 11lim 0-+→。

解x x x 11lim-+→)11()11)(11(lim0++++-+=→x x x x x )11(lim 0++=→x x x x 21111lim 0=++=→x x例7 求：22321lim 4---+→x x x 。

解 22321lim4---+→x x x )321)(4()22)(82(lim 4++-+--=→x x x x x 322)321()22(2lim 4=+++-=→x x x 例8 求：13124lim 423+-+∞→x x x x 。

解 13124lim423+-+∞→x x x x 03013124lim 442==+-+=∞→xx x x x 例9 求：xx x x 7812lim 22++∞→。

解 x x x x 7812lim 22++∞→417812lim 2=++=∞→xx x 注⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>∞<==++++++++----∞→mn m n m n b a b x b x b x b a x a x a x a m m m m n n n n x ,,0,lim 011101110ΛΛ(j i b a b a ,,0,000≠≠是常数，且： n i ,,2,1,0Λ=，m j ,,2,1,0Λ=)。

例10 已知：⎪⎩⎪⎨⎧≥+-+<-==0,1130,1)(32x x x x x x x f y ，研究：)(lim 0x f x →，)(lim x f x +∞→，)(lim x f x -∞→。

解 Θ 1)1(lim )(lim 00-=-=→→-x x f x x ，1113lim )(lim 3200-=+-+=→→+x x x x f x x ，∴1)(lim 0-=→x f x ；又：=+∞→)(lim x f x 0113lim32=+-+∞→x x x x ；=-∞→)(lim x f x -∞=--∞→)1(lim x x 。

例11 求：)1(lim 2x x x x -++∞→解 211lim)1(lim 22=++=-++∞→+∞→xx x x x x x x 。

例12 求：)11(lim 22--+∞→x x x解 )11(lim 22--+∞→x x x =11)1(1lim2222-++--+∞→x x x x x =112lim22-++=∞→x x x ==011112lim22=-++∞→x x x x 。

Ⅴ 小结与提问:1. 无穷小与无穷大是相对于过程而言的主要内容：两个定义，三个定理，一个推论； 几点注意：五点注意。

2.无穷小的阶意义：同一过程的无穷小的比较，比较趋于零的快慢； 应用：等价无穷小在求极限中有非常巧妙的应用。