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无穷小量与无穷大量之间关系的应用

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高等数学无穷小与无穷大

高等数学无穷小与无穷大
在高等数学中，无穷大是一个重要的概念。无穷大是指在某极限过程中，函数值无限地增大。与无穷大密切相关的是无穷小的概念，无穷小是极限为0的量。理解无穷大，首先需要理解无பைடு நூலகம்小。无穷小具有一些重要的性质，例如有限个无穷小的代数和仍为无穷小，有界变量与无穷小的乘积也是一个无穷小。这些性质有助于我们更深入地理解无穷大的本质。在某极限过程中，如果函数是无穷大量，那么它的倒数必为无穷小量，反之亦然。这表明无穷小和无穷大之间存在着一种类似于倒数的关系。利用这种关系，我们可以求解一些复杂的极限问题。例如，当函数在某点的极限为无穷大时，我们可以通过求其倒数的极限为0来证明。总的来说，理解无穷大的定义和性质，以及无穷大与无穷小的关系，对于掌握高等数学中的极限理论具有重要意义。

无穷小量和无穷大量(IV)

无穷小量和无穷大量(IV)

04
无穷小量和无穷大量的 应用
在数学分析中的应用
极限理论
无穷小量和无穷大量是极限理论 中的重要概念，用于描述函数在 某点或无穷远处的行为。
连续性和可微性
通过无穷小量和无穷大量，可以 研究函数的连续性和可微性，以 及函数的各种性质。
积分和级数
无穷小量和无穷大量在积分和级 数的理论中也有广泛应用，例如 在求解定积分和无穷级数的收敛 性分析中。
03
无穷小量和无穷大量的 关系
无穷小量是无穷大量的极限状态
01
无穷小量是指在某一变化过程中，绝对值无限趋近于0的变 量，表示为lim x→a 0/0型未定式。
02
无穷大量则是指在某一变化过程中，绝对值无限增大的变 量，表示为lim x→a +∞或lim x→-∞。
03
无穷小量是无穷大量的极限状态，即当一个变量在某一过程中 无限趋近于0时，这个过程可以看作是该变量相对于另一无穷
无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量
如果$f(x)$是有界量，$g(x)$是无穷小量，则$f(x) cdot g(x)$仍为无穷小量。
无穷小量与无穷大量的关系
无穷小量是趋于零的量，而无穷大量是趋于无穷大的量。两者在研究极限理论中具有重要 地位，它们之间的关系可以通过洛必达法则等工具进行探讨。
性质证明
大量变化的极限过程。
无穷小量和无穷大量的关系证明
利用极限的性质和运算规则，可以证 明无穷小量和无穷大量之间存在一定 的关系。例如，利用极限的运算法则， 可以证明无穷小量是无穷大量在一定 条件下的极限状态。
具体来说，对于任意给定的正数ε，存 在一个正数N，当x>N时，有|f(x)|>ε。 因此，当x趋于正无穷或负无穷时， f(x)可以看作是无穷大量。

《数学分析》无穷小量与无穷大量(最新整理)

《数学分析》无穷小量与无穷大量(最新整理)

§５　无穷小量与无穷大量教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的概念。

会利用它们求某些函数的极限。

教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。

引言在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：. 我们称之为无穷小数lim 0n n a →∞=列。

通过前面几节对函数极限的学习。

我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形。

例如：　0limsin 0,x x →=20lim 0,x x →=我们给这类函数一个名称——“无穷小量”。

既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量”有哪些性质呢？以上就是我们今天要给大家介绍的内容——无穷小量与无穷大量。

一、无穷小量1．定义１：设在某内有定义。

若，则称为当时的无穷小量。

记作：f 00()U x 0lim ()0x x f x →=f 0x x →.0()0(1)()f x x x =→（类似地可以定义当时的无穷小量）。

00,,,,x x x x x x x +-→→→+∞→-∞→∞例：都是当时的无穷小量；是当时的无穷小量；(1,2,),sin ,1cos kx k x x =- 0x →1x -→是时的无穷小量。

21sin ,x x xx →∞2．无穷小量的性质（１）先引进以下概念定义２（有界量）若函数在某内有界，则称为当时的有界量，记作：g 00()U x g 0x x →.0()(1)()g x O x x =→例如：是当时的有界量，即; 是当时的有界量，即sin x x →∞sin (1)()x O x =→∞1sinx0x →.1sin(1)(0)O x x=→注：任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若，则.0()0(1)()f x x x =→0()(1)()f x O x x =→区别：“有界量”与“有界函数”。

一般在谈到函数是有界函数或函数是有界的，意味着存在Ｍ>０，f f 在定义域内每一点，都有。

无穷小量无穷大量

无穷小量无穷大量

02
在进行无穷大量的运算时，需 要注意运算的合法性和结果的 准确性。
03
无穷大量与有界量进行运算时 ，结果通常仍然是无穷大量， 除非有界量趋于零的速度快于 无穷大量趋于无穷大的速度。
重要无穷大量举例
当x→0时，1/x是无穷大量，因 为当x越来越接近于0时，1/x的
绝对值无限增大。
当x→∞时，x是无穷大量，因为 当x越来越大时，x的绝对值无限
求$lim_{x to infty} frac{1}{x}$时， 由于$x$趋近于无穷大，因此 $frac{1}{x}$趋近于0，即无穷小 量。
求$lim_{x to 0^+} ln x$时，由 于$x$趋近于0但大于0，因此$ln x$趋近于负无穷大，即无穷大量 出现在极限中。
06 结论与展望
本文工作总结
02
如果两个无穷大量在自变量的同一变化过程中，它们的比值 趋于一个非零的常数，则称这两个无穷大量是同阶的。
03
如果两个无穷大量的比值趋于无穷大或零，则称它们是不同 阶的。其中，趋于无穷大的称为高阶无穷大，趋于零的称为 低阶无穷大。
无穷大量运算规则
01
无穷大量在四则运算中满足一 些基本的运算规则，如加法、 减法、乘法和除法等。
极限概念是微积分学的基础，对于理解导数、积分等概念具有关键作用。
无穷小量在极限过程中作用
01
02
03
无穷小量是极限过程中的一个重 要概念，表示一个趋近于0的量。
在求极限时，无穷小量可以帮助 我们简化计算，量的性质对于理解极限的 运算法则、连续性等概念也具有 重要意义。
无穷小量和无穷大量都是基于极限理论的概念，用于描述函数或数列在特定点的变化趋势。
相互转化关系

无穷小量与无穷大量

无穷小量与无穷大量

当
x
0
x 时，ln
x
是负无穷大，记作
lim
ln x 。
x ，1 就不是无穷大，而是无穷小x了0。 x
②无穷大是指绝对值可以无限变大的变量，绝不
能与任何一个绝对值很大的常数如101000 ，
10001000 等混为一谈。
问：两个无穷大量的和是否是无穷大量？
答：不一定。
例如： f (x) 2x 1 ， g(x) 2x ，
2x
lim f (x) ， lim g(x) ，它们都是无穷大量，
x
x
但 lim [ f (x) g(x)] lim 1 0 是无穷小量。
x
x 2x
又如： f (x) 2x cosx ， g(x) 2x ，
lim f (x) ， lim g(x) ，它们都是无穷大量，
x
x
但 lim [ f (x) g(x)] lim cosx 不存在。
例．求下列极限
（1） lim xsin 1 ； （2） lim arctanx 。
x0 x
x x
错！
错！
（1）错正解： li∵m lximsinx10 l，im而x sliimn 1sin11， 0 ； x0x0 x x0 x0x x ∴ lim xsin 1 0 。 x0 x
（2） 解： ∵ lim 1 0 ，而arctan x ，
无穷小量和无穷大量
1.无穷小量 定义 1 若lim X 0 ，则称 X 为该极限过程中的
无穷小量，简称无穷小。
例如：当x0 时，sin x 和tanx 是无穷小量； 当 x x时，xx 是无穷小量；
当x 时， ax (a 1) 是无穷小量；
当 x 时， 1 是无穷小量。 x2

无穷小量与无穷大量

无穷小量与无穷大量

无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量是微积分中重要的概念之一。

它们在极限理论的研究中起着重要的作用，能够描述数列、函数等的趋势和极限。

本文将从无穷小量和无穷大量的定义、性质以及在微积分中的应用等方面进行介绍和探讨。

一、无穷小量的定义和性质无穷小量是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于零的量。

通常用符号"ε"或者"δ"表示。

具体而言，如果对于任意给定的正数ε，存在另一个正数δ，使得当自变量趋于某个值x时，函数值满足0<|f(x)|<ε，那么函数f(x)就是无穷小量。

无穷小量具有以下的性质：1. 无穷小量的高阶无穷小量比低阶无穷小量高阶，也就是说，当x趋于某个值时，x的幂次越高的无穷小量趋于零的速度越快。

2. 无穷小量可以进行四则运算，即两个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量。

3. 无穷小量与有界函数的乘积还是无穷小量。

4. 无穷小量与无穷小量的乘积还是无穷小量。

这些性质使得无穷小量在微积分的运算中具有重要的意义，可以方便地进行极限的计算和推导。

二、无穷大量的定义和性质无穷大量是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于无穷的量。

通常用符号"∞"表示。

具体而言，如果对于任意给定的正数M，存在另一个正数δ，使得当自变量趋于某个值x时，函数值满足f(x)>M，那么函数f(x)就是无穷大量。

无穷大量具有以下的性质：1. 无穷大量的相反数是无穷小量。

2. 无穷大量与有界函数的乘积可以是无穷大量或者无穷小量，具体取决于有界函数的性质。

3. 无穷大量与无穷大量的四则运算结果不确定，可能是无穷大量、无穷小量或者有限量，具体取决于无穷大量的相对大小关系。

无穷大量在极限的计算和研究中起着重要的作用，可以帮助我们判断函数的趋势和性质，解决一些特殊的极限问题。

三、无穷小量与极限的关系无穷小量是极限的重要概念，它与极限之间存在着密切的关系。

当我们讨论函数在某一点的极限时，实际上就是在讨论自变量趋于某一点时，函数值的趋势。

无穷大量与无穷小量


f (x) = 1 = o(1), (x → ∞). x
f (x) = ex = o(1), (x → −∞).
f (x) = arcsin x = o(1), (x → 0). f (x) = 0 = o(1), (x → X ).
2018/10/11
Edited by Lin Guojian
1
例: 证明设 lim f (x) = A ⇔ f (x) − A = o(1), (x → X ). x→X
例 : 设f (x) = 6x3, g(x) = 3x3,则当x → 0时, f (x) = o(1), g(x) = o(1)(x → 0), 则lim f (x) = 6x3 = 2,即f (x)与g(x)同阶无穷小. x→0 g(x) 3x3
例 : 设f (x) = sin x = o(1), g(x) = x = o(1)(x → 0),
f (x) 2
x→X
从而0 ≤ f (x)g(x) ≤ M f (x) , (x → X ).
由于f (x) = o(1), (x → X ),故 lim M f (x) = M lim f (x) = 0.
x→X
x→X
由夹逼定理知 : lim f (x)g(x) = 0. x→X
从而f (x)g(x) = o(1), (x → X ).
x→0
x
例: lim x2 sin x→0
1 x3
= 0,
lim x cos 1 = 0,
x→0
x
lim(ln x)⋅sin 1 = 0.
x→1
x −1
1
1
注 : lim sin 不存在,lim cos 不存在.
x→0

无穷大量与无穷小量极限的运算法则

无穷大量与无穷小量极限的运算法则第五讲Ⅰ 授课题目：§2.4无穷大量与无穷小量；§2.5极限的运算法则。

Ⅱ 教学目的与要求：1、理解无穷大与无穷小的概念，弄清无穷大与无穷小的关系；2、掌握极限的运算法则。

Ⅲ 教学重点与难点：1、无穷大与无穷小的概念、相互关系；2、用极限的运算法则求极限。

Ⅳ 讲授内容：§2.4无穷大量与无穷小量一、无穷大的概念：引例：讨论函数 1 1)(-==x x f y ，当1→x 时的变化趋势。

当1→x 时，11-x 越来越大(任意大)，即：+∈?R E ，要 E x >-11?Ex 11<-，也即：+∈?R E ，01>?E ，当 Ex 11<-时，有：E x >-11。

定义2.9：+∈?R E ，变量y 在其变化过程中，总有一时刻，在那个时刻以后，E y >成立，则称变量y 是无穷大量，或称变量y 趋于无穷大，记：∞=y lim 。

如：∞=-→11lim1x x ，-∞=+→x x lg lim 0，+∞=-→tgx x 2lim π。

注 1. 若：∞=y lim ，则习惯地称此时)(x f y =的极限为无穷(大)；2.无穷大不能与很大的数混淆；3.无穷大与无界变量的区别；例如：xx f y sin 1)(== 当)2,1,0(,ΛΛ±±==k k x π时，∞→)(x f ，无界，但非无穷大，πk x ≠Θ时，)(x f 为有限数。

例1 函数 ?),(cos 内是否有界在+∞-∞=x x y 又当+∞→x 时，此函数是否为无穷大？为什么？解用反证法若：当+∞→x 时，x x y cos =非无穷大，)1(,cos ,,0,0M x x X x X M >>>?>?有时当则，取22ππ+=n x n ，当n 充分大时必有X x n >，而 0cos =n n x x 与(1)式矛盾。

无穷小量和无穷大量

x
常用等价无穷小:
当 x 0时，
sinx ~ tan x ~ arcsinx ~ arctanx ~ ln( x ) ~ x， 1
1 2 e 1 ~ x , 1 cos x ~ x , (1 x )a 1 ~ ax (a 0) 2
x
五、等价无穷小量在求极限问题中的作用
任何无穷小量都是有界量。
类似可定义x→x0+, x→x0-,x→+∞, x→–∞以及x→∞时的无穷小量与有界量。
例1 (1) lim sin x 0， x 0
sinx是当x 0时的无穷小， sin x o(1) ( x 0 )； 即
lim sin x 1 0， sin x o(1) ( x
三、无穷小量的性质
性质1 有限个相同类型的无穷小量的和、差、积仍是 无穷小量. 性质2 （同一过程中的）有界量与无穷小量的乘积是 无穷小，即 O(1)· o(1)=o(1).
证法1： 用迫敛性可以证明。
性质2 （同一过程中的） O(1)· o(1)=o(1). 证法2 仅对 x x0 这种自变量的变化过程 来证。
定理 3 设函数f,g,h在U°(x0)内有定义，且有 f(x)~g(x) (x→x0). （1）若 lim f ( x )h( x ) A, 则 lim g( x )h( x ) A,
x x0 x x0
h( x ) h( x ) （2）若 lim B, 则 lim B x x0 f ( x ) x x0 g ( x ) h( x ) h( x ) f ( x ) h( x ) f ( x) lim lim lim 证（2） lim x x0 g ( x ) x x0 f ( x ) g ( x ) x x0 f ( x ) x x0 g ( x )

2.3无穷小量和无穷大量

n+2 n
无限接近于 1.那么他们的差：
n+2 2 −1= n n 就是一个无穷小量。 如果这个变量极限为 1，那么这个量减去 1 就是一个无穷小量。这个 事实对函数也是成立的。比如：
x →0
lim(x 2 + 3) = 3；则x 2 + 3 − 3 = x 2 → 0
一般来说，如果： lim f(x) = a；则 lim(f x − a) = 0 反之也成立。 定 理 ： 在 某 一 极 限 过 程 中 lim f x = A <=> ������ x = A + α(x) 其 中 α x 在这一极限过程中是无穷小量。 为什么要研究无穷小量？ f x = A + α(x) 函数以 A 为极限等价于 f(x)-A 为一个无穷小量；两者是等价的。这就
x →0
1 x → 0 时，x 本身是无穷小量， sin 没有极限。 x 但是sin 是一个有界函数。绝对值不会超过 1.因此x → 0时，一个无
x 1
穷小量乘以一个有界量，因此极限仍然为零。 F(x)=0 恒等于零的函数，常函数是一个无穷小量。
三、无穷大量的概念。 x → ∞；x 2 ；3x ； ln x 1 x → 0； ； ln x x 如果当x → x0 (x → ± ∞)时，|f(x)|无限增大，那么我们说 f(x)是无 穷大量。记为： lim f x = ∞ 注意：第一、无穷大量也好，无穷小量也好，它们并不是一个非常大 或者非常小的数，而是在某一极限过程中的一种变化趋势。第二、 lim f x = ∞ 并不能认为它的极限存在。 无穷大量与无穷小量的关系： 如果在某一极限过程中，f(x)是无穷大量，那么 1 f(x) 是无穷小量。比如： lim 2x = +∞；则 lim 1 =0 x →+∞ 2x
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无穷小量与无穷大量之间关系的应用
【摘要】结合教学中的体会，从无穷小量与无穷大量之间的相互关系入手，进一步认识无穷小量与无穷大量.学会利用二者之间的关系，解决一些实际问题，达到提高教学质量的目的.
【关键词】无穷大量；无穷小量
【基金项目】中国矿业大学2012年青年教师校级教学改革资助项目（2001245）.
一、前言
不论是在《高等数学》还是在《数学分析》中，都把无穷小量与无穷大量当作重点内容介绍，这是因为此部分内容为后续课程的学习提供了基础，例如用等价无穷小替换求极限、判定级数的收敛性等.从教材的编排上看，《高等数学》和《数学分析》中都是先讲无穷小量，后讲无穷大量.但是对无穷的概念的认识过程看，人类是先认识无穷大，后认识无穷小.所以在文献[1]中，作者按照人们认识无穷的进程，提出了自己的观点，认为先认识清楚无穷大，再认识无穷小.教材中这样安排，主要都是考虑教学的目的.
相对于无穷小与无穷大的比较，一般的教材中都讲无穷小的比较，在求极限时可以用等价无穷小代替等.在文献[2]
中，作者给出了无穷大的比较.在求极限的过程中，同样可以用等价无穷大相互之间替换求函数的极限.在文献[3]中，作者阐述了无穷小的哲学问题，指出了人们对无穷小认识的一些错误，提出了正确的观点，证明了认识无穷小的过程是符合实践――认识――再实践――再认识的自然辩证法.
从教科书和一些文献中，我们能很清楚地认识无穷大量和无穷小量及其性质，也能解决一些实际问题.但我们不能把二者割裂开来独立地去认识.现有的教材中只轻描淡写地说无穷大量和无穷小量符合倒数关系，先讲无穷小量，无穷大量的所有结论利用二者之间的倒数关系可以得到.这就使得学生产生一种误解，认为认识了无穷小量，就等于认识了无穷大量，而不会利用二者之间的关系灵活解决实际问题.本论文正是从解决上述问题出发，利用无穷大量和无穷小量之间的关系进一步认识二者，从而能更好地解决在实际应用中的一些问题.目的是改正教学过程中出现的错误和打消学生的疑惑，提高教学质量，这也符合人们认识自然的实践、认识、再实践、再认识的自然辩证法.。