无穷小量与无穷大量之间关系的应用

在高等数学中，无穷大是一个重要的概念。无穷大是指在某极限过程中，函数值无限地增大。与无穷大密切相关的是无穷小的概念，无穷小是极限为0的量。理解无穷大，首先需要理解无பைடு நூலகம்小。无穷小具有一些重要的性质，例如有限个无穷小的代数和仍为无穷小，有界变量与无穷小的乘积也是一个无穷小。这些性质有助于我们更深入地理解无穷大的本质。在某极限过程中，如果函数是无穷大量，那么它的倒数必为无穷小量，反之亦然。这表明无穷小和无穷大之间存在着一种类似于倒数的关系。利用这种关系，我们可以求解一些复杂的极限问题。例如，当函数在某点的极限为无穷大时，我们可以通过求其倒数的极限为0来证明。总的来说，理解无穷大的定义和性质，以及无穷大与无穷小的关系，对于掌握高等数学中的极限理论具有重要意义。

04
无穷小量和无穷大量的 应用
在数学分析中的应用
极限理论
无穷小量和无穷大量是极限理论 中的重要概念，用于描述函数在 某点或无穷远处的行为。
连续性和可微性
通过无穷小量和无穷大量，可以 研究函数的连续性和可微性，以 及函数的各种性质。
积分和级数
无穷小量和无穷大量在积分和级 数的理论中也有广泛应用，例如 在求解定积分和无穷级数的收敛 性分析中。
03
无穷小量和无穷大量的 关系
无穷小量是无穷大量的极限状态
01
无穷小量是指在某一变化过程中，绝对值无限趋近于0的变 量，表示为lim x→a 0/0型未定式。
02
无穷大量则是指在某一变化过程中，绝对值无限增大的变 量，表示为lim x→a +∞或lim x→-∞。
03
无穷小量是无穷大量的极限状态，即当一个变量在某一过程中 无限趋近于0时，这个过程可以看作是该变量相对于另一无穷
无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量
如果$f(x)$是有界量，$g(x)$是无穷小量，则$f(x) cdot g(x)$仍为无穷小量。
无穷小量与无穷大量的关系
无穷小量是趋于零的量，而无穷大量是趋于无穷大的量。两者在研究极限理论中具有重要 地位，它们之间的关系可以通过洛必达法则等工具进行探讨。
性质证明
大量变化的极限过程。
无穷小量和无穷大量的关系证明
利用极限的性质和运算规则，可以证 明无穷小量和无穷大量之间存在一定 的关系。例如，利用极限的运算法则， 可以证明无穷小量是无穷大量在一定 条件下的极限状态。
具体来说，对于任意给定的正数ε，存 在一个正数N，当x>N时，有|f(x)|>ε。 因此，当x趋于正无穷或负无穷时， f(x)可以看作是无穷大量。

§５　无穷小量与无穷大量教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的概念。

会利用它们求某些函数的极限。

教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。

引言在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：. 我们称之为无穷小数lim 0n n a →∞=列。

通过前面几节对函数极限的学习。

我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形。

例如：　0limsin 0,x x →=20lim 0,x x →=我们给这类函数一个名称——“无穷小量”。

既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量”有哪些性质呢？以上就是我们今天要给大家介绍的内容——无穷小量与无穷大量。

一、无穷小量1．定义１：设在某内有定义。

若，则称为当时的无穷小量。

记作：f 00()U x 0lim ()0x x f x →=f 0x x →.0()0(1)()f x x x =→（类似地可以定义当时的无穷小量）。

00,,,,x x x x x x x +-→→→+∞→-∞→∞例：都是当时的无穷小量；是当时的无穷小量；(1,2,),sin ,1cos kx k x x =- 0x →1x -→是时的无穷小量。

21sin ,x x xx →∞2．无穷小量的性质（１）先引进以下概念定义２（有界量）若函数在某内有界，则称为当时的有界量，记作：g 00()U x g 0x x →.0()(1)()g x O x x =→例如：是当时的有界量，即; 是当时的有界量，即sin x x →∞sin (1)()x O x =→∞1sinx0x →.1sin(1)(0)O x x=→注：任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若，则.0()0(1)()f x x x =→0()(1)()f x O x x =→区别：“有界量”与“有界函数”。

一般在谈到函数是有界函数或函数是有界的，意味着存在Ｍ>０，f f 在定义域内每一点，都有。

02
在进行无穷大量的运算时，需 要注意运算的合法性和结果的 准确性。
03
无穷大量与有界量进行运算时 ，结果通常仍然是无穷大量， 除非有界量趋于零的速度快于 无穷大量趋于无穷大的速度。
重要无穷大量举例
当x→0时，1/x是无穷大量，因 为当x越来越接近于0时，1/x的
绝对值无限增大。
当x→∞时，x是无穷大量，因为 当x越来越大时，x的绝对值无限
求$lim_{x to infty} frac{1}{x}$时， 由于$x$趋近于无穷大，因此 $frac{1}{x}$趋近于0，即无穷小 量。
求$lim_{x to 0^+} ln x$时，由 于$x$趋近于0但大于0，因此$ln x$趋近于负无穷大，即无穷大量 出现在极限中。
06 结论与展望
本文工作总结
02
如果两个无穷大量在自变量的同一变化过程中，它们的比值 趋于一个非零的常数，则称这两个无穷大量是同阶的。
03
如果两个无穷大量的比值趋于无穷大或零，则称它们是不同 阶的。其中，趋于无穷大的称为高阶无穷大，趋于零的称为 低阶无穷大。
无穷大量运算规则
01
无穷大量在四则运算中满足一 些基本的运算规则，如加法、 减法、乘法和除法等。
极限概念是微积分学的基础，对于理解导数、积分等概念具有关键作用。
无穷小量在极限过程中作用
01
02
03
无穷小量是极限过程中的一个重 要概念，表示一个趋近于0的量。
在求极限时，无穷小量可以帮助 我们简化计算，量的性质对于理解极限的 运算法则、连续性等概念也具有 重要意义。
无穷小量和无穷大量都是基于极限理论的概念，用于描述函数或数列在特定点的变化趋势。
相互转化关系

当
x
0
x 时，ln
x
是负无穷大，记作
lim
ln x 。
x ，1 就不是无穷大，而是无穷小x了0。 x
②无穷大是指绝对值可以无限变大的变量，绝不
能与任何一个绝对值很大的常数如101000 ，
10001000 等混为一谈。
问：两个无穷大量的和是否是无穷大量？
答：不一定。
例如： f (x) 2x 1 ， g(x) 2x ，
2x
lim f (x) ， lim g(x) ，它们都是无穷大量，
x
x
但 lim [ f (x) g(x)] lim 1 0 是无穷小量。
x
x 2x
又如： f (x) 2x cosx ， g(x) 2x ，
lim f (x) ， lim g(x) ，它们都是无穷大量，
x
x
但 lim [ f (x) g(x)] lim cosx 不存在。
例．求下列极限
（1） lim xsin 1 ； （2） lim arctanx 。
x0 x
x x
错！
错！
（1）错正解： li∵m lximsinx10 l，im而x sliimn 1sin11， 0 ； x0x0 x x0 x0x x ∴ lim xsin 1 0 。 x0 x
（2） 解： ∵ lim 1 0 ，而arctan x ，
无穷小量和无穷大量
1.无穷小量 定义 1 若lim X 0 ，则称 X 为该极限过程中的
无穷小量，简称无穷小。
例如：当x0 时，sin x 和tanx 是无穷小量； 当 x x时，xx 是无穷小量；
当x 时， ax (a 1) 是无穷小量；
当 x 时， 1 是无穷小量。 x2

无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量是微积分中重要的概念之一。

它们在极限理论的研究中起着重要的作用，能够描述数列、函数等的趋势和极限。

本文将从无穷小量和无穷大量的定义、性质以及在微积分中的应用等方面进行介绍和探讨。

一、无穷小量的定义和性质无穷小量是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于零的量。

通常用符号"ε"或者"δ"表示。

具体而言，如果对于任意给定的正数ε，存在另一个正数δ，使得当自变量趋于某个值x时，函数值满足0<|f(x)|<ε，那么函数f(x)就是无穷小量。

无穷小量具有以下的性质：1. 无穷小量的高阶无穷小量比低阶无穷小量高阶，也就是说，当x趋于某个值时，x的幂次越高的无穷小量趋于零的速度越快。

2. 无穷小量可以进行四则运算，即两个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量。

3. 无穷小量与有界函数的乘积还是无穷小量。

4. 无穷小量与无穷小量的乘积还是无穷小量。

这些性质使得无穷小量在微积分的运算中具有重要的意义，可以方便地进行极限的计算和推导。

二、无穷大量的定义和性质无穷大量是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于无穷的量。

通常用符号"∞"表示。

具体而言，如果对于任意给定的正数M，存在另一个正数δ，使得当自变量趋于某个值x时，函数值满足f(x)>M，那么函数f(x)就是无穷大量。

无穷大量具有以下的性质：1. 无穷大量的相反数是无穷小量。

2. 无穷大量与有界函数的乘积可以是无穷大量或者无穷小量，具体取决于有界函数的性质。

3. 无穷大量与无穷大量的四则运算结果不确定，可能是无穷大量、无穷小量或者有限量，具体取决于无穷大量的相对大小关系。

无穷大量在极限的计算和研究中起着重要的作用，可以帮助我们判断函数的趋势和性质，解决一些特殊的极限问题。

三、无穷小量与极限的关系无穷小量是极限的重要概念，它与极限之间存在着密切的关系。

当我们讨论函数在某一点的极限时，实际上就是在讨论自变量趋于某一点时，函数值的趋势。

f (x) = 1 = o(1), (x → ∞). x
f (x) = ex = o(1), (x → −∞).
f (x) = arcsin x = o(1), (x → 0). f (x) = 0 = o(1), (x → X ).
2018/10/11
Edited by Lin Guojian
1
例: 证明设 lim f (x) = A ⇔ f (x) − A = o(1), (x → X ). x→X
例 : 设f (x) = 6x3, g(x) = 3x3,则当x → 0时, f (x) = o(1), g(x) = o(1)(x → 0), 则lim f (x) = 6x3 = 2,即f (x)与g(x)同阶无穷小. x→0 g(x) 3x3
例 : 设f (x) = sin x = o(1), g(x) = x = o(1)(x → 0),
f (x) 2
x→X
从而0 ≤ f (x)g(x) ≤ M f (x) , (x → X ).
由于f (x) = o(1), (x → X ),故 lim M f (x) = M lim f (x) = 0.
x→X
x→X
由夹逼定理知 : lim f (x)g(x) = 0. x→X
从而f (x)g(x) = o(1), (x → X ).
x→0
x
例: lim x2 sin x→0
1 x3
= 0,
lim x cos 1 = 0,
x→0
x
lim(ln x)⋅sin 1 = 0.
x→1
x −1
1
1
注 : lim sin 不存在,lim cos 不存在.
x→0

无穷大量与无穷小量极限的运算法则第五讲Ⅰ 授课题目：§2.4无穷大量与无穷小量；§2.5极限的运算法则。

Ⅱ 教学目的与要求：1、理解无穷大与无穷小的概念，弄清无穷大与无穷小的关系；2、掌握极限的运算法则。

Ⅲ 教学重点与难点：1、无穷大与无穷小的概念、相互关系；2、用极限的运算法则求极限。

Ⅳ 讲授内容：§2.4无穷大量与无穷小量一、无穷大的概念：引例：讨论函数 1 1)(-==x x f y ，当1→x 时的变化趋势。

当1→x 时，11-x 越来越大(任意大)，即：+∈?R E ，要 E x >-11?Ex 11<-，也即：+∈?R E ，01>?E ，当 Ex 11<-时，有：E x >-11。

定义2.9：+∈?R E ，变量y 在其变化过程中，总有一时刻，在那个时刻以后，E y >成立，则称变量y 是无穷大量，或称变量y 趋于无穷大，记：∞=y lim 。

如：∞=-→11lim1x x ，-∞=+→x x lg lim 0，+∞=-→tgx x 2lim π。

注 1. 若：∞=y lim ，则习惯地称此时)(x f y =的极限为无穷(大)；2.无穷大不能与很大的数混淆；3.无穷大与无界变量的区别；例如：xx f y sin 1)(== 当)2,1,0(,ΛΛ±±==k k x π时，∞→)(x f ，无界，但非无穷大，πk x ≠Θ时，)(x f 为有限数。

例1 函数 ?),(cos 内是否有界在+∞-∞=x x y 又当+∞→x 时，此函数是否为无穷大？为什么？解用反证法若：当+∞→x 时，x x y cos =非无穷大，)1(,cos ,,0,0M x x X x X M >>>?>?有时当则，取22ππ+=n x n ，当n 充分大时必有X x n >，而 0cos =n n x x 与(1)式矛盾。

x
常用等价无穷小:
当 x 0时，
sinx ~ tan x ~ arcsinx ~ arctanx ~ ln( x ) ~ x， 1
1 2 e 1 ~ x , 1 cos x ~ x , (1 x )a 1 ~ ax (a 0) 2
x
五、等价无穷小量在求极限问题中的作用
任何无穷小量都是有界量。
类似可定义x→x0+, x→x0-,x→+∞, x→–∞以及x→∞时的无穷小量与有界量。
例1 (1) lim sin x 0， x 0
sinx是当x 0时的无穷小， sin x o(1) ( x 0 )； 即
lim sin x 1 0， sin x o(1) ( x
三、无穷小量的性质
性质1 有限个相同类型的无穷小量的和、差、积仍是 无穷小量. 性质2 （同一过程中的）有界量与无穷小量的乘积是 无穷小，即 O(1)· o(1)=o(1).
证法1： 用迫敛性可以证明。
性质2 （同一过程中的） O(1)· o(1)=o(1). 证法2 仅对 x x0 这种自变量的变化过程 来证。
定理 3 设函数f,g,h在U°(x0)内有定义，且有 f(x)~g(x) (x→x0). （1）若 lim f ( x )h( x ) A, 则 lim g( x )h( x ) A,
x x0 x x0
h( x ) h( x ) （2）若 lim B, 则 lim B x x0 f ( x ) x x0 g ( x ) h( x ) h( x ) f ( x ) h( x ) f ( x) lim lim lim 证（2） lim x x0 g ( x ) x x0 f ( x ) g ( x ) x x0 f ( x ) x x0 g ( x )

n+2 n
无限接近于 1.那么他们的差：
n+2 2 −1= n n 就是一个无穷小量。 如果这个变量极限为 1，那么这个量减去 1 就是一个无穷小量。这个 事实对函数也是成立的。比如：
x →0
lim(x 2 + 3) = 3；则x 2 + 3 − 3 = x 2 → 0
一般来说，如果： lim f(x) = a；则 lim(f x − a) = 0 反之也成立。 定 理 ： 在 某 一 极 限 过 程 中 lim f x = A <=> ������ x = A + α(x) 其 中 α x 在这一极限过程中是无穷小量。 为什么要研究无穷小量？ f x = A + α(x) 函数以 A 为极限等价于 f(x)-A 为一个无穷小量；两者是等价的。这就
x →0
1 x → 0 时，x 本身是无穷小量， sin 没有极限。 x 但是sin 是一个有界函数。绝对值不会超过 1.因此x → 0时，一个无
x 1
穷小量乘以一个有界量，因此极限仍然为零。 F(x)=0 恒等于零的函数，常函数是一个无穷小量。
三、无穷大量的概念。 x → ∞；x 2 ；3x ； ln x 1 x → 0； ； ln x x 如果当x → x0 (x → ± ∞)时，|f(x)|无限增大，那么我们说 f(x)是无 穷大量。记为： lim f x = ∞ 注意：第一、无穷大量也好，无穷小量也好，它们并不是一个非常大 或者非常小的数，而是在某一极限过程中的一种变化趋势。第二、 lim f x = ∞ 并不能认为它的极限存在。 无穷大量与无穷小量的关系： 如果在某一极限过程中，f(x)是无穷大量，那么 1 f(x) 是无穷小量。比如： lim 2x = +∞；则 lim 1 =0 x →+∞ 2x

第三章函数极限5 无穷小量与无穷大量一、无穷小量定义1：设f在U0(x0)内有定义，若limx→x0f(x)=0，则称f为当x→x0时的无穷小量. 记作f(x)=o(1) (x→x0).若函数g在U0(x0)内有界，则称g为当x→x0时的有界量. 记作f(x)=O(1) (x→x0).性质：1、两个(相同类型的)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量.2、无穷小量与有界量的乘积为无穷小量.例：当x→0时，x2是无穷小量，sin1x 为有界量，所以limx→0x2sin1x=0.结论：limx→x0f x=A limx→x0(f x−A)=0.二、无穷小量阶的比较设x→x0时，f与g均为无穷小量.1、若limx→x0f(x)g(x)=0，则称当x→x0时，f为g的高阶无穷小量，或称g为f的低阶无穷小量. 记作f(x)=o(g(x)) (x→x0).2、若存在正数K和L，使得在某U0(x0)上有：K≤f(x)g(x)≤L或limx→x0f(x)g(x)=c≠0，则称f与g为当x→x0时的同阶无穷小量.例：(1)当x→0时，1-cos x与x2皆为无穷小量. 又limx→01−cos xx2=12. 所以1-cos x与x2为当x→0时的同阶无穷小量.(2)当x→0时，x与x2+sin1x 皆为无穷小量. 又1≤2+sin1x≤3. 所以x与x2+sin1x为当x→0时的同阶无穷小量.若无穷小量f与g满足关系式f(x)g(x)≤L，x∈U0(x0). 则记作f(x)=O(g(x)) (x→x0). 当f(x)=o(g(x)) (x→x0)时，也有f(x)=O(g(x)) (x→x0).o(g(x))=f|limx→x0f xg x=0；f(x)=o(g(x))，即f(x)∈f|limx→x0f xg x=0.3、若limx→x0f(x)g(x)=1，称f与g为当x→x0时的等阶无穷小量. 记作f(x)~g(x) (x→x0).注：不是任何两个无穷小量阶都可以进行比较，如：当x→0时，x sin1x和x2都是无穷小量，但它们的比1x sin1x或xsin1x当x→0时，都不是有界量，所以不能进行阶的比较。

无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量是微积分中的重要概念，在研究极限和无穷时经常出现。

本文将介绍无穷小量和无穷大量的定义、性质以及它们在计算极限过程中的应用。

一、无穷小量的定义与性质无穷小量通常用符号“Δx”或者“dx”表示，表示趋于零的一个量。

严格的定义是：如果函数f(x)在某一点a处的极限为零，那么称Δx为函数f(x)在点a处的一个无穷小量。

无穷小量的性质如下：1. 有限个无穷小量的和仍然是无穷小量。

2. 有限个无穷小量的积仍然是无穷小量。

3. 无穷小量与有限数的和为无穷小量。

4. 无穷小量与有限数的积为无穷小量。

二、无穷大量的定义与性质无穷大量通常用符号“∞”表示，表示趋于无穷大的一个量。

严格的定义是：如果对于任意的正数M，总存在正数N，使得当x>N时，有|f(x)|>M，那么称f(x)为一个无穷大量。

无穷大量的性质如下：1. 有限数与无穷大量的和为无穷大量。

2. 有限数与无穷大量的差为无穷大量。

3. 有限数乘以无穷大量为无穷大量。

4. 无穷大量与零的积为无穷小量。

三、无穷小量与无穷大量的关系在极限计算中，无穷小量和无穷大量是密切相关的。

当x趋于某一特定值时，如果Δx是一个无穷小量，那么f(x)就是一个无穷大量。

根据无穷小量和无穷大量的性质，可以得到一些重要的极限计算法则。

1. 极限的四则运算法则：如果函数f(x)和g(x)在点a处的极限都存在，那么它们的和、差、积和商的极限也都存在，并且满足相应的运算规则。

2. 极限的夹逼定理：如果对于x处于某一邻域内的所有值，有f(x)≤g(x)≤h(x)，且lim(f(x))=lim(h(x))=L，那么lim(g(x))也等于L。

四、无穷小量和无穷大量的应用1. 在微分学中，无穷小量被用来定义导数。

导数表示函数变化率的大小，而无穷小量则表示极小的自变量变化量，二者的关系可以通过极限的定义来推导。

2. 在积分学中，无穷小量被用来定义微积分的基本概念。

(1)设f在U0(x0)内有定义且不等于0. 当x→x0时 若f为的无穷小量，则1/f为无穷大量. (2)若当x→x0时，g为无穷大量，则1/g为无穷小量. (2)若g为x→x0时的无穷大量，则∀G>0，∃δ>0，使 一切x∈U0(x0,δ)⊂U0(x0)，有|g(x)|>G，则|1/g(x)|<1/G. 记ε=1/G，则ε也具有任意性， 则对δ，当x∈U0(x0,δ)，有|1/g(x)|<ε. ∴1/g为x→x0时的无穷小量. 原命题(2)得证。
无穷大量与无穷小量的关系老黄学高数第112讲
老黄学高数
第112讲 无穷大量与
无穷小量的关系
(1)设f在U0(x0)内有定义且不等于0. 当x→x0时 若f为无穷小量，则1/f为无穷大量. (2)若当x→x0时，g为无穷大量，则1/g为无穷小量. 证：(1)若f为x→x0时的无穷小量，则∀ε>0，∃δ>0， 使一切x∈U0(x0,δ)⊂U0(x0)，有|f(x)|<ε，则|1/f(x)|>1/ε. 记G=1/ε，则G也具有任意性， 则对δ，当x∈U0(x0,δ)，有|1/f(x)|>G. ∴1/f为x→x0时的无穷大量. 原命题(1)得证。
K≤
≤L或
=c≠0，则称f与g为
当x→x0时的同阶无穷大量.
3、类似地，可以对无穷大量阶进行比较. 设x→x0时，f与g均为无穷大量，
(3)若
=1，则
称f与g为当x→x0时的等阶无穷大量. 记作f(x)~g(x) (x→x0).
注：等阶无穷大量也适用等阶替换定理.
1、试确定a的值，使下列函数与xa . 当x→∞时为同阶无穷大量或等阶无穷大量.
3、类似地，可以对无穷大量阶进行比较. 设x→x0时，f与g均为无穷大量，

记作 ~ .
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 说明：
1.称一个变量为高阶或同阶无穷小量，是没有意义
的，只有在同一个变化过程中的两个无穷小量比较时，
才能说它们阶的高低或是否同阶.
2.在同一极限过程中的两个无穷小量，并不是总能
比较阶的高低的.
3. 如果 lim x0
xk
C(C
0, k
0), 则称是x的k阶
无穷小量.
4. 利用等价无穷小量，可简化某些极限的求解过程.
M
即证得 lim f (x)g(x) 0 . x x0 3
例1 求 lim sin x . x x
解 当x 时, 1 为无穷小, x
而sin x是有界函数.
y sin x x
lim sin x 0. x x
错误解法: lim x sin 1 lim x limsin 1 0 .
3. lim f (x) A _______ f (x) A , x x0 ( 其中 lim 0 ) . x x0
4.在同一过程中,若 f (x) 是无穷大,
则 ______是无穷小.
17
二、根据定义证明:当 x 0 时,函数 y 1 2x x
是无穷大,问 x 应满足什么条件,能使 y 104 . 三、证明函数 y 1 sin 1 在区间 ( 0 , 1 ] 上无界 ,但当
13
五、小结 思考题
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1. 主要内容: 三个定义;一个定理;三个性质. 2. 几点注意: （1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大） 的数混淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是 无穷小； （3） 无界变量未必是无穷大.
14

o
f (x) 为无穷大量 无穷大量，记为 无穷大量
x→ xo →x
lim f ( x) = ∞ ，或 f (x) → ∞ ( x → xo ) 。
若将上述定义中的不等式 f ( x) > G 改为 f ( x) > G 或 f ( x) < −G ，则称当 x → xo 时， f (x) 为正无穷大量 正无穷大量 负无穷大量，记作 或负无穷大量 负无穷大量
x
注意
① 无穷小量是以0为极限的变量； ② 无穷小量不一定是零，零作为函数来讲是
无穷小量； ③ 讲一个函数是无穷小量，必须指出自变量 的变化趋向； ④ 任何非零常数，不论其绝对值如何小，都 不是无穷小量。因为非零常数的极限是其本身， 并不是零。
无穷小量的性质: 无穷小量的性质:
性质 1：若 X , Y 都是无穷小量，则 X ±Y , X ⋅Y 也是无穷小量；
2
无穷小量阶的比较: 无穷小量阶的比较
定义 3：设 lim X = 0 ， limY = 0 ，且 Y ≠ 0 ， X （1）若 lim = 0 ，则称 X 是 Y 的高阶无穷小量 高阶无穷小量， 高阶无穷小量 Y 记为 X = o(Y ) ；而称 Y 是 X 的低阶无穷小量 低阶无穷小量。 低阶无穷小量 X （2）若 lim = k ≠ 0 ，则称 X 与 Y 是同阶无穷小量 同阶无穷小量， 同阶无穷小量 Y 记为 X = O (Y ) ； X （3）若 lim =1 ，则称 X 与 Y 是等价无穷小量 等价无穷小量， 等价无穷小量 Y 记为 X ～ Y ； X （4）若 lim k = L ( L ≠ 0, k > 0) ，则称 x → 0 时， x 阶无穷小量。 X 是 x 的 k 阶无穷小量
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无穷小与无穷大的概念及其应用在数学中，无穷小与无穷大是极限理论中重要的概念，它们可以帮助人们更好地理解一些数学问题。

在本文中，我们将详细介绍无穷小与无穷大的概念及其应用。

一、无穷小的概念在数学中，无穷小是指当自变量趋近于某个值时，其函数值趋近于零。

例如，当x趋近于零时，函数f(x)的极限为零，则f(x)是x趋于零时的无穷小。

无穷小也可以写成dx，dy等形式，用来表示变化量非常小的量。

例如，在微积分中，dx表示自变量x的无穷小变化量。

在求导数、积分等一些数学问题中，无穷小是一个非常重要的概念，它可以帮助我们更清楚地理解数学中的一些问题。

二、无穷大的概念与无穷小相反，无穷大是指当自变量趋近于某个值时，其函数值趋近于无穷大。

例如，在x趋近于零时，函数f(x)的极限为无穷大，则f(x)是x趋于零时的无穷大。

同样地，无穷大也可以写成+∞，-∞等形式，用来表示函数值非常大或非常小的量。

在求函数的渐近线、解方程等问题中，无穷大也是一个非常重要的概念。

三、无穷小与无穷大的应用在实际生活中，无穷小与无穷大的应用非常广泛。

下面我们来介绍一些常见的应用场景。

1. 极限问题无穷小与无穷大在求极限问题中非常重要。

例如，在求这个函数的极限时：lim(x→0) ( sinx )/x我们使用无穷小的概念，将sinx写成其无穷小形式，即：sinx = x + o(x), (x→0)代入原式中，可以得到：lim(x→0) ( sinx )/x = lim(x→0) (x+o(x))/x=lim(x→0) 1+o(1) = 1其中，o(1)表示x趋于0时的无穷小。

这个例子中，我们利用无穷小的概念，将不易求解的极限问题简化为易于求解的简单问题。

2. 渐近线在函数的渐近线问题中，无穷大是一个非常重要的概念。

例如，在下面这个函数中：f(x) = 1/(x-1)当x趋近于1时，函数的值趋近于无穷大，因此x=1是这个函数的一个垂直渐近线。

3. 解方程在解方程问题中，无穷大也是一个非常重要的概念。

无穷大量为无界变量, 但无界变量不一定为无 穷大量.
无界变量而非无穷大量的例
例 如, 当x 0时, y 1 sin 1 是一个
xx 无 界 变 量, 但 不 是 无 穷 大 量.
x 1 k
k
无穷小量与无穷大量的关系
定理: 在同一过程中,无穷大量的倒数为无穷
小量;恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量.
lim 1 0, x x
函数 1 是当x 时的无穷小量. x
lim (1)n 0, 数列{(1)n }是当n 时的无穷小量.
n n
n
关于无穷小量之注
不要把无穷小量与任何一个很小的数混为一谈. 无穷小量为变量,任何一个很小的数为常量.
无穷小量是对于某个变化过程而言的,同一个 变量在一个变化过程中为无穷小量,在另一变 化过程中不一定为无穷小量.
证明提示：取 1
M
意义: 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷 小的讨论.
问题
两个无穷大量的相加或相减后是否仍是 无穷大量？
提示：n 2, 2n, n 2在n 时都是无穷大量 但：n 2 2n, n 2 n 2, 2n 2n有不同的结果
y M, 则 称 在 过 程p中，变 量y为 无 穷 大 量，记 作
lim y . p
无穷大量的例子
因为lim 1 ,故当x 0时， y 1 是无穷大量.
x0 x
x
因为lim ln x ,故当x 0时，y ln x是无穷大量. x0
因为lim e x ,故当x 时，y e x是无穷大量. x
2-3 无穷小与无穷大
无穷小量 无穷大量
1.无穷小量的概念
定义: 极限为零的变量称为无穷小量.
如果函数f (x)当x x（0 或x ）时的极限为零， 那么称函数f (x)为当x x（0 或x ）时的无穷小。