二重极限与二次极限与一次极限的比较

高等数学第二册第七章空间解析几何与向量代数在这一章中，首先建立空间直角坐标系，引进自由向量，并以坐标和向量为基础，用代数的方法讨论空间的平面和直线，在此基础上，介绍一些常用的空间曲线与曲面。

通过这一章的学习，培养空间想象能力，娴熟的向量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力。

也为学习多元微积分做准备。

重点：曲面方程，曲线方程难点：较深刻地理解曲面（平面）、曲线（直线）方程，并能把握方程所表示的图形的特征。

（一）1．空间笛卡尔坐标系的构成：空间的一个定点O，连同三个两两互相垂直的有序向量组，称为笛卡尔坐标系。

当1e，2e，3e 的相互关系和右手拇指、食指、中指相同时，称为右手坐标系。

在通常的讨论中，常用右手笛卡尔坐标系。

关于一般的坐标系称为仿射坐标系，有兴趣的同学可参阅《空间解析几何》这类专业教材。

2．空间向量可以从两个途径来认识：①由定义：具有大小和方向的量称为向量，因此可由方向（可由方向角来确定）连同大小（模长）来确定（注意，这样定义的向量称为自由向量，简称向量，自由向量与起点和终点无关）。

书上往往用黑体字母表示，手写时用黑体并不方便，常在字母上面加一个箭头表示，例：AB ，a 等。

②可由向量的坐标来把握向量。

必须分清向量坐标与点坐标这两个概念，一般情况下，设{}z y x a ,,= 的始点的坐标分别为()321,,x x x ，()321,,y y y ，则{}121212,,z z y y x x a ---= ，即向量的坐标与向量的起点及终点的坐标间有下列关系：12x x x -=，12y y y -=，12z z z -=。

因此，若确定了向量的坐标，则这个向量就确定了。

当向量的起点与坐标系的原点重合时，向量的坐标与向量的终点的坐标在数值上相等。

3．在学习向量的代数运算时，利用几何或物理模型比较容易掌握。

如求向量的加法和减法可以平行四边形或以力的相加或相减为模型，求两向量的数量积可以求力在某段路程上所作的功为模型，求两向量的向量积可以求力关于某点的力矩为模型，并要熟练掌握每种运算的算律。

第五章 多元函数微分学知识点拔5.1 多元函数的概念一、二元函数的概念 1、二元函数的定义设在某一变化过程中，有三个变量y x ,和z ，如果对于变量y x ,在某一范围D 内任取一对数值，按照一定的对应法则，总有一个确定的值z 与它对应，则称变量z 是变量y x ,的二元函数，记作：),(y x f z =或),(y x z z =，其中y x ,称为自变量，z 称为因变量或称为y x ,的二元函数，变量y x ,取值范围D 称为该函数的定义域.2、二元函数的几何意义 二元函数),(y x f z =在几何上一般表示空间直角坐标系中的一个曲面.二、二元函数的极限 1、二元函数极限的定义设二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某去心邻域内有定义，如果动点),(y x P 在该邻域内以任何方式无限地趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 总是无限地趋于一个常数A ，则称A 是函数),(y x f z =在),(y x P 趋于),(000y x P 时的极限（也称二重极限），记作A y x f y y X x =→→),(lim 0或A y x f y x y x =→),(lim),(),(00，若记点),(y x P 与点),(000y x P 之间的距离为20200)()(||y y x x PP -+-==ρ，则有A y x f =→),(lim 0ρ .注释：（1）极限的几何意义：当),(y x P 在),(000y x P 附近的某个范围内变化时，函数值),(y x f 与常数A 的距离恒小于任意给定的正数ε；（2）二元函数极限存在是指：动点P 必须以任意方式趋于点0P 时，),(y x f 都无限趋于常数A ，则二元函数的二重极限存在，但即使动点P 沿过0P 的无穷多条路径趋于0P 时极限都等于A ，也不能说明0P P →时，A y x f →),( .（3）二元函数极限不存在的判定方法：如果当点),(y x P 以两种不同的方式趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 分别趋于不同的常数，则可以断定函数),(y x f 在点),(000y x P 处的极限不存在。

第11章 多元函数微分学1 本章概述1.1 本章主要教学内容本章知识主要为：多元函数概念及其重极限、连续性；多元函数的偏导数、微分的概念及计算；连续、偏导数存在及可微三者之间的关系；链式规则；偏导数的几何应用，切平面与法向量；方向导数、梯度；隐函数存在性、可微性定理；多元函数最值求法，条件极值与Lagrange 乘数法.本章的较多篇幅是讲述偏导数的计算法，尤其是抽象复合函数的一阶、二阶偏导数的计算法，以及由方程确定的隐函数的偏导数的计算法.1.2 本章知识逻辑结构在以下图表中揭示出本章知识的逻辑关系.箭头前的是必须先学习的知识.1.3 在学习本章之前的必修知识学习本章——多元函数微分学应该具备一元函数微分学基本知识，空间解析几何基础知识， 具有线性代数基础知识更好.一元函数微分学基本知识具体为： 一元函数概念性质、极限概念及其性质、连续； 闭区间上连续函数的性质； 导数定义, 导数意义；微分、导数的四则运算、复合运算、高阶导数；微分中值定理；泰勒公式； 极值与最值.空间解析几何基础知识具体为：空间直线方程、平面方程和常见的二次曲面等知识.线性代数基础知识具体为：线性方程组解法；行列式及其运算；二次型概念及正定与负定二次型的判别法.( 线性代数不是学习本章的必要条件).1.4 本章对后继章节的影响在学习重积分、曲线积分、曲面积分时都必须先学本章知识. 本章知识与全微分方程有一定的相关性.1.5 本章的重点本章的关键点是: 偏导数的计算法本章的重点是：多元函数的连续性、偏导数、微分的概念, 连续、偏导数存在及可微三者隐函数求导法则 多元函数 极限 连续 有界闭区域上连续函数的性质 偏导数全微分 全微分形式不变性 极值 泰勒公式 最值无条件极值区域 方向导数 梯度 多元复合 求导法则 偏导数几何应用条件极值Lagrange 乘数法之间的关系;多元复合函数求导方法；偏导数的几何应用；极值及最值的求法.1.6 本章的难点区域有关概念, 二元函数极限, 全微分概念以及一阶微分形式不变性, 含有抽象函数的复合函数的一阶、二阶偏导数运算, 方程（组）确定的隐函数的一阶、二阶偏导数运算, 方向导数与偏导数间的关系，梯度的意义，无条件极值的充分条件的证明.2 .教学内容提要及教学建议（评注）2.1 多元函数的基本概念以二元函数为例叙述，可以平行推广到n 元函数的内容不再叙述. 2.1.1平面点集有关概念平面点集概念中最常说到的是邻域、区域. 其他的概念在初学时可以不讲. 某点的邻域是一个以该点为圆心的开圆盘，即一个开圆盘称为圆心的邻域.类似于一元函数时的区间，讨论二元函数时常常用到区域. 形象地说，区域就是连成一块的一个平面图形. 不含边界的区域叫开区域，含有全部边界在内的区域叫闭区域. 开区域或闭区域、半开半闭区域我们统称为区域.区域的严格数学定义为：区域是连通的开集.所谓连通集，即该集中任意两点都可以用含在该集中的连续曲线连接起来. 所谓开集，即该集中的每一点都有一个邻域含在此集中.能被一个圆盘包含的区域称为有界区域，否则称为无界区域.平面区域相关概念如内点、界点、聚点等建议不要在讲解二元函数概念之前先介绍, 因为对于非数学专业学生来说，学习内点,界点,聚点等这些是很难理解的，容易让学生感到抽象.可以先讲解二元函数的概念,然后几何意义,接着介绍二元函数定义域的求法与表示法,让学生从具体的定义域中感性的认识区域的有关概念,然后接着严格或者通俗的介绍这些概念.2.1.2 二元函数概念我们把二元函数定义为是从平面点集到实数集的映射. 注意使学生熟悉函数的记号，如函数与自变量的记号无关，f (x , y )既表示函数也表示函数值，函数记为z = f (x ,y )时，函数值,可记作00(,)f x y 或00(,)|x y z 等等.二元函数与一元函数类似，也只与定义域和对应法则有关,而与自变量,因变量用什么字母表示无关.一元函数可以看成是特殊的二元函数，而把二元函数的一个自变量固定，就得到一元函数. 二元函数z = f (x ,y )，其图形为空间一张曲面，该曲面在oxy 平面上的投影区域就是该函数的定义域. 也可以说该区面的方程是z = f (x ,y ).如函数z z =.注：三元及更多元函数的图形不是直观的图形..2.2 二元函数的极限与连续 2.2.1二重极限定义 设函数()z f P =在区域D 上有定义,点000(,)P x y 是D 的点或边界点.若当动点(,)P x y 在D 内无限趋向000(,)P x y 时, ()f P 总是无限的趋向于同一个常数A ,则称A 为()f P 当00(,)(,)x y x y →时的极限,记作00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=, 或(,)f x y A → (00(,)(,)x y x y →).或 0lim ()P P f P A →=, 或()f P A → (0P P →).上面定义的极限叫二重极限. 二元函数还有一种极限叫二次极限，二者不同.二重极限仍有四则运算、无穷小乘有界量还是无穷小等性质，但没有洛比达法则.二重极限主要先从描述定义出发讲解,这样容易理解二元函数极限的本质,然后再向精确定义过度;要特别强调二元函数若当点(,)P x y 在D 内以任意方式任意方向趋向000(,)P x y 时,()f P 总是无限的趋向于同一个常数A ,则称A 为()f P 当00(,)(,)x y x y →时的极限,记作00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=或0lim ()P P f P A →=.其次介绍二元极限与一元函数极限的不同点,让学生理解二元函数极限比一元要复杂,主要是体现的动点趋于的方向与方式上的多样性上.这个其实也是导致多元函数微分学会产生与一元不同的结果的根源所在.一元与二元函数极限的区别最后介绍二元函数极限的一些常规的求法及其证明二元函数极限不存在的一些作法. 如证明0lim ()P P f P →不存在: 一般寻找两条趋于P 0的不同的路径(首先考虑直线，其次是其他特殊的曲线)C 1;C 2若1C f A −−−→沿;2Cf B −−−→沿;而A B ≠,或,A B 中有一个不存在,则0lim ()P P f P →不存在, 例如考虑在原点O(0，0)的极限时，选直线 y kx =，假如有(,)(0,0)lim (,)x y f x kx A →=.① 若A 中含有k ,或A 不存在,则lim ()P Of P →不存在.②若A 中不含有k ,则lim ()P Of P →存在与否不能判断,此时需要选择其它曲线去考虑.因为这些是后面要讨论连续与可偏导,可偏导与可微分之间关系常用的方法.2.2.2二元连续函数二元函数连续性的定义与一元函数类似.定义 若()z f P =在区域D 上有定义且000(,)P x y D ∈,若有0lim ()()P P f P f P →= 或0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=则称函数()f P 在0P 处连续,或称点0P 是函数()f P 的连续点.否则称为0P 为函数的间断点.若()f P 在区域D 上每一点都连续,则称()f P 在D 上连续.或称()f P 为D 上的连续函数. 二元连续函数性的性质也与一元函数类似，如：二元连续函数的四则运算及复合运算后仍是连续函数. 二元初等函数在其定义区域内都是连续的.最值定理: 若()f P 在有界闭区域D 上连续,则存在12,P P D ∈,使得P D ∀∈,有12()()()f P f P f P ≤≤ 4.介值定理: 若()f P 在有界闭区域D 上连续,则()f P 必取介于最大值与最小值之间的任一值.注：更一般的介值定理是：区域上的连续函数的值域是区间.2.3 偏导数2.3.1 偏导数的定义偏导数本质上是一元函数的导数.定义 设函数 (,)z f x y =在点),(00y x 的某邻域内有定义,当y 固定在0y ,考虑一元函数0(,)z f x y =,若它在0x x =处的导数存在,即00000(,)(,)limx f x x y f x y x∆→+∆-∆存在则称此极限值为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数,记作00|x x y y z x ==∂∂,00|x x y y z x ==∂∂ ,00|x x x y y z =='或00(,)x f x y '. 类似地，如果极限00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆存在, 则称此极限值为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数, 记作0|x x y y z y==∂∂,00|x x y y z y==∂∂,00y y x x yz ==' 或00(,)y f x y '注1：00|x x y y z x ==∂∂=0),(0x x y x f dxd=. 或写0000(,)[(,)]|x x x f x y f x y =''= 用此式求一些分段函数在分段点处的偏导数很方便.注2： 000000(,)(,)|[(,)]x x x x x y y f x y f x y f x y =='''=≠注3：二元函数在某点的连续性与偏导数存在之间没有因果关系．如果函数),(y x f z =在区域D 内每一点),(y x 处对自变量x 或y 的偏导数(,)x f x y '、(,)y f x y ' 都存在,则这两个偏导数仍是y x 、的函数,称它们为函数),(y x f 对自变量x 或y 的偏导函数,简称偏导数,分别记作x z ',(,)x f x y ',x z ∂∂,xf ∂∂或y z ', (,)y f x y ', yz ∂∂,yf ∂∂．一元函数的变化率就是导数,对于二元函数由于自变量多,研究变化率就显得复杂,为了方便起见,我们仅限于讨论当点沿着平行于坐标轴方向变化时函数的变化率,即固定一个自变量,研究函数对另一个自变量的变化率即偏导数.其本质就是把二元函数当做一元函数去研究变化率. 即 0000(,)[(,)]|x x x f x y f x y =''=例 设(,)f x y =arctan22ln()y xex y ⋅+，求x f ')0,1(.解 如果先求出偏导函数x f '),(y x ，再求x f ')0,1(，可以发现求x f '运算比较繁杂.但若按偏导数定义即把y 固定在y =0,则有(,0)f x =2ln ||x 从而2(,0)x f x x'=，于是x f ')0,1(=2 .2.3.2 偏导数的计算方法由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的导数，故求偏导数并不需要什么新的方法.对于给出具体表达式的显函数来说，在求它对某一自变量的偏导数时,只需将其它自变量看成常数,按照一元函数的求导法则进行求导．2.3.3. 偏导数的几何意义),(00y x f x '就是曲线C x ：⎩⎨⎧==0),,(y y y x f z 在点)),(,,(00000y x f y x M 处切线x T M 0对x 轴的斜率, 即αtan ),('00=y x f x .同理，偏导数),(00y x f y '的几何意义是曲面S 与平面0x x =的交线C y 在点0M 处的切线y T M 0对y 轴的斜率,即),(00y x f y '= tan b .2.4 全微分可微、全微分紧接着偏导数之后讲的优点是：便于给出链式规则；便于给出求抽象函数、隐函数的偏导数的各种方法；便于讲述切平面.2.4.1全微分的概念(1)函数在一点处可微及全微分定义.定义 设函数(,)z f x y =在点0P 的某邻域0()U P 内有定义,若函数(,)f x y 在点000(,)P x y处的全增量0000(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示为(),z A x B y o ρ∆=∆+∆+其中,A B 是仅与点0P 有关,而与,x y ∆∆无关的常数,ρ则称函数(,)z f x y =在点0P 处可微分;并称线性函数A x B y ∆+∆为函数(,)z f x y =在点0P 处的全微分,记作00(,)|x y dz , 即(,)||x yx x y y dz df A x B y ====∆+∆. 对于二元函数，规定自变量的增量为自变量的微分:x dx ∆=,y dy ∆=.于是00(,)|x y dz Adx Bdy =+.注 微分d z 是自变量增量,x y ∆∆的线性函数, 容易计算；当||,||x y ∆∆很小时，有z dz ∆≈的误差较小，故d z 是函数增量z ∆的容易计算又精确的近似值.(2) 函数的微分定义 若),(y x f z =在区域D 内每一点都可微,则称),(y x f z =在D 内可微或称此函数是区域D 内的可微函数.此时全微分记作dz . 即(,)x dz f x y dx '=+(,)y f x y dy '．一般的，dx y x f y x df dz x ),(),('==dy y x f y ),('+注 函数的微分是一个形式符号，有时用它较为方便.2.4.2 可微与连续、偏导数存在之间的关系定理（可微的必要条件）若函数),(y x f z =在点00(,)x y 可微,则 ①函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续；②函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的偏导数00(,)x f x y ',00(,)y f x y '都存在,且有00(,)00|(,)x y x dz f x y x '=∆+00(,)y f x y y '∆．定理（可微的充分条件）若函数),(y x f z =在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内偏导数都存在,且(,)x f x y ',(,)y f x y '在点000(,)P x y 处连续,则函数(,)f x y 在点000(,)P x y 处可微． 这两个定理的逆命题都不成立.学习微分概念与可微分的必要条件后,建议结合定义补充如下与可微等价的结论.用此定理判定一个函数的可微性时较方便，初学者易于理解掌握. 有了这个结论后对于学习理解可微有积极的帮助.定理: 若),(y x f z =在点000(,)P x y 处的两个偏导数,x y f f ''都存在，在点0P 处满足000[()()]lim0x y z f P x f P y ρρ→''∆-∆+∆=则),(y x f z =在000(,)P x y 处可微. 且00(,)00|(,)x y x dz f x y x '=∆+00(,)y f x y y '∆．可微的充分条件可以弱化为:两个偏导数之一连续,函数就可微.定理（可微的充分条件）若函数),(y x f z =在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内偏导数都存在,且(,)x f x y '与(,)y f x y '二者中至少有一个在点000(,)P x y 处连续,则函数(,)f x y 在点000(,)P x y 处可微．证 我们只需证明函数的全增量z ∆满足可微的定义.证明思想就是通过插项方法把二元函数化为一元函数处理. ),(y x f z =在点000(,)P x y 的邻域0()U P 内改变量0000(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-0000[(,)(,)]f x x y y f x y y =+∆+∆-+∆0000[(,)(,)]f x y y f x y ++∆-因且(,)x f x y ',(,)y f x y '在0()U P 内存在,于是一元函数0(,)z f x y y =+∆关于x 在点0x 可导,即可微. 0000001(,)(,)(,)x f x x y y f x y y f x y y x x ε'+∆+∆-+∆=+∆∆+⋅∆ (1) 同理可得 0000002(,)(,)(,)y f x y y f x y f x y y y ε'+∆-=∆+⋅∆ (2)再由(,)x f x y '在000(,)P x y 点连续知 00003(,)(,)x x f x y y f x y y ε''+∆=+⋅∆ (3)(1)+(2)并将(3)带入,即得0000123(,)(,)x y z f x y x f x y y x y x y εεε''∆=∆+∆+⋅∆+⋅∆+∆∆而 123123||||||||x y x y εεεεεερρ⋅∆+⋅∆+∆∆≤++由于 123lim[||||||]0x y εεερ∆→∆→++=. 所以0000(,)(,)()x y z f x y x f x y y o ρ''∆=∆+∆+,故(,)f x y 在点000(,)P x y 处可微.此定理的逆命题也不成立.学习完偏导数,可微概念后,及时对它们之间的关系对照一元函数画出关系图,以便学生理解一元函数与二元函数微分学的不同点.二元函数几个概念间的关系下面常见的函数可以成为表述上述关系的重要的例子.可微例1函数22221()sin ,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y x y f x y x y ⎧+=⎪+=⎨⎪=⎩在(0,0)O 处可微, 但偏导数在(0,0)O 处不连续.例2函数,)(0,0),(,)0, (,)(0,0),x y f x y x y ≠==⎩在原点(0,0)连续, 可偏; 但不可微性. 例3 函数22,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+⎪=⎨⎪⎪=⎩在点(0,0)O 存在偏导数;但却不连续． 例4 函数),(y x f 22y x +=在点(0, 0)处连续但偏导数不存在．注 全微分在近似计算中的应用由全微分的定义可知,若函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微分,且00(,),x f x y '00(,)y f x y '不全为零, 当||,||x y ∆∆都很小时,有近似公式z ∆≈00(,)x f x y x '∆+00(,)y f x y y '∆ (*)或写为 0000(,)(,)f x x y y f x y +∆+∆≈+00(,)x f x y x '∆+00(,)y f x y y '∆. (**)这表示在点00(,)x y 邻域内,可以把(,)f x y 近似地线性化.右侧就是一次线性逼近,这种逼近可以用来解决复杂近似计算.学习完微分后,务必要讲解微分的近似计算,因为这才能让学生明白和理解,微分的真正意义是当自变量的改变量很小时,可以用微分近似逼近函数的改变量.2.5 多元复合函数的微分法 2.5.1.链式法则链式法则大体上有两种叙述，条件有所不同，结论也相应不同，但计算偏导数的公式是一样的.差别仅在于如果要求内函数是可微的，则复合函数也可微，如果要求内函数仅是可偏导的，则复合函数也仅是可偏导的.定理 1 设),(v u f z =,),(y x u φ=,),(y x v ψ=可以构成复合函数)],(),,([y x y x f z ψφ=.若),(y x u φ=及),(y x v ψ=在点),(y x 处对x 、y 的偏导数均存在,函数),(v u f z =在对应点),(v u 处可微,则复合函数)],(),,([y x y x f z ψφ=在点),(y x 处对,x y 的偏导数存在,且有z f u fv x u x v x z f u fv y u y vy ∂∂∂∂∂⎫=+⎪∂∂∂∂∂⎪⎬∂∂∂∂∂⎪=+∂∂∂∂∂⎪⎭定理 2 设),(v u f z =,),(y x u φ=,),(y x v ψ=可以构成复合函数)],(),,([y x y x f z ψφ=.若),(y x u φ=及),(y x v ψ=都在点),(y x 处可微，函数),(v u f z =在对应点),(v u 处可微,则复合函数)],(),,([y x y x f z ψφ=在点),(y x 处可微,且有z f u fv x u x v x z f u fv y u y vy ∂∂∂∂∂⎫=+⎪∂∂∂∂∂⎪⎬∂∂∂∂∂⎪=+∂∂∂∂∂⎪⎭注① 定理中的条件并非必要条件.注② 特别地,当),(v u f z =,而)(x u φ=,)(x v ψ=时, 上述两个定理就是一样的，由于复合函数)](),([x x f z ψφ=为x 的一元函数，这时z 对x 的导数称为全导数，应写为dz f du f dv dx u dx v dx∂∂=⋅+⋅∂∂.链式法则对多层复合的函数依然成立，对多元函数也依然成立.以三个中间变量为例，定理1是：若(,)u x y ϕ=,),(y x v ψ=及),(y x w ω=都在),(y x 具有对x 及对y 的偏导数,函数),,(w v u f z =在对应点),,(w v u 处可微,则[(,),(,),(,)]z f x y x y x y φψω=在点),(y x 处的偏导数都存在,且有z f u f v f w x u x v x w x∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂ z f u f v f w yu yv yw y∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂求抽象复合函数的偏导数，是重点，也是难点，需多作讲解和练习.因为学习了偏导数后,学生会知道偏导数计算与一元函数求导本质上相同.似乎偏导数计算问题我们完满的解决了.其实对于复杂点的函数,或者含有抽象函数时复合函数我们还是很难计算或表达他们的偏导数.如:设空间曲线(),(),()x g t y h t z k t ===其上一点(,,)x y x 的温度为(,,)w f x y z =,对t 的每个值,在点(,,)x y x 处的温度是复合函数[(),(),()]w f g t h t k t =,现在我们想研究f 沿着路径随时间t 的变化率.即要求复合函数(,,)w f x y z =对t 的导数.若上述曲线,温度的表达式很复杂,或者干脆这些表达式都不能具体的表达出来,就是一个抽象的式子,那么如何求f 对t 的导数?这就需要学习的复合函数的链式法则.这个也就是为什么还要学习这个法则的原因.由于多元复合求导法则是微分学的基础,所以要加强这个地方的训练.要求学生要掌握该法则.记忆可以通过与一元复合求导法则对比,介绍记忆方法;即一般所谓的树形图形法. 然后通过习题介绍应该注意的事项.其次要提醒学生, 多元复合求导法则主要用在含有抽象函数求偏导时.可以用该法则把复合函数求导问题表示出来.当不含有抽象函数时,一般采用直接求偏导数就可以,若此时使用复合函数求导法则,有时反而复杂化.2.5.2 一阶全微分形式的不变性若(,)z f u v =可微，(,),(,)u x y v x y ϕψ==也可微，则函数(,)z f u v =与复合函数[(,),(,)]z f x y x y ϕψ=的微分相等，即不论,u v 作为(,)z f u v =的自变量; 还是作为复合函数[(,),(,)]z f x y x y ϕψ=的中间变量,均有dv v z du u z dz ∂∂+∂∂=．这一性质称为一阶全微分形式的不变性．利用一阶全微分形式不变性,可以证明不论,u v 是自变量,还是中间变量下列全微分的四则运算法则都成立.定理 设,u v 可微分,则,,(0)uu v uv v v±≠亦可微分,且有 (1) ();d u v du dv ±=± (2) ();d uv vdu udv =+ 特别有(),d ku kdu k =∈.(3) 2().u vdu udvd v v-=我们常常是在不知不觉中就用到了一阶全微分形式不变性.2.6 隐函数微分法2.6.1. 一个方程的情形 ( 1) 由方程(,)0F x y =所确定的一元隐函数的存在性、可微性定理 (隐函数存在定理)设函数),(y x F 在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有连续的偏导数,且0),(00=y x F ,0),(00≠'y x F y ，则存在点0x 某一邻域0()U x ，和唯一一个定义在0()U x 上的、有连续导数的函数)(x f y =,它满足)(00x f y =及在0()U x 的恒等式(,())0F x f x ≡,且有y x F F dx dy ''-=.常称函数)(x f y =为由方程0),(00=y x F 确定的隐函数.此定理本身不易理解. 定理条件中应强调0),(00≠'y x F y ，可结合定理结论中的导数公式yx F F dx dy''-=来理解、记忆此条件.(2) 由方程(,,)0F x y z =所确定的二元隐函数的的存在性、可微性定理 若函数(,,)F x y z 在点0000(,,)P x y z 的某一邻域0()U P 内具有连续偏导数,且0()0F P =,0()0z F P '≠,则存在点0x 某一邻域0()U x ，和唯一一个定义在0()U x 上的、有连续偏导数的二元隐函数),(y x f z =,它满足),(000y x f z =及在0()U x 的恒等式，(,,(,))0F x y f x y ≡且有 x z F z xF '∂=-'∂, y z F z yF '∂=-'∂.常称函数),(y x f z =为由方程(,,)0F x y z =确定的隐函数. 2.6.2. 方程组的情形定理 设(,,,)F x y u v ,(,,,)G x y u v 均在点00000(,,,)P x y u v 的某一邻域0()U P 内对各个变量具有连续偏导数,且0()0F P =,0()0G P =;且偏导数构成的行列式0(,)0(,)u v u v P PF F FG J G G u v ''∂==≠''∂,则方程组(,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v ==⎧⎨⎩在点0P 的某一邻域0()U P 内能唯一确定一组具有连续偏导数的函数(,),(,)u u x y v v x y ==,它们满足000000(,),(,)u u x y v v x y ==及恒等式[,,(,),(,)]0F x y u x y v x y ≡,[,,(,),(,)]0G x y u x y v x y ≡且有1(,)(,)u F G x J x v ∂∂=-∂∂, 1(,)(,)u F G y J y v ∂∂=-∂∂1(,)(,)v F G x J u x ∂∂=-∂∂, 1(,)(,)v F G y J x y ∂∂=-∂∂2.6.3 隐函数求导法方法1 利用隐函数导数公式 y x F F dx dy ''-=，或x z F z xF '∂=-'∂, y z F z yF '∂=-'∂.或1(,)(,)u F G x J x v ∂∂=-∂∂, 1(,)(,)u F G y J y v ∂∂=-∂∂1(,)(,)v F G x J u x ∂∂=-∂∂, 1(,)(,)v F G y J x y ∂∂=-∂∂方法2 方程(组)两边同时求(偏)导，再解出所求(偏)导数.方法3方程(组)两边同时求微分，解出隐函数的微分，再解出所求(偏)导数.隐函数求导其实是复合函数求导的应用,隐函数求导在关于微分学在几何方面有一些重要的应用. 如曲线Γ由一般方程(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩, 给出时,就可以方便的求出其切线与法平面.以及曲面的切平面与法线求法.对于隐函数求导法，要强调方法1（直接套用隐函数求(偏)导数公式）与另两种方法的区别，即作为隐函数的那个变量在求导时是自变量还是中间变量. 要特别注意它们的求导树形图的区别.例如三元方程(,,)0F x y z =所确定的二元隐函数),(y x f z =公式求导法（方法1）关系为 直接求导法（方法2）关系为即: 用公式法求偏导数时,(,,)F x y z 中的所有变量都是独立的自变量.而对于用直接法求偏导数时,即对方程(,,)0F x y z =两边求偏导时,(,,)0F x y z =中的,x y 是独立自变量,但z 须看成,x y 的函数.采用方法3（两边同时求微分）时，实际上用到了一阶全微分形式不变性，即使对于复合结构比较复杂的函数，以及出比较难以分清变量之间的关系时，是很有用的，出错的可能性较小一些. 对于方程组确定的隐函数情形，也是如此.对于涉及含有抽象复合函数与隐函数求导问题,建议用方程组模式处理,或者微分形式不变性的方法处理,这样可以避免出现计算错误, 避免学生难以区分自变量与中间变量问题.避免中间变量的关错综复杂的关联关系. 这两种方法是处理这种问题比较有效的方法.例如,四元方程组(,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v ==⎧⎨⎩满足以函数存在定理,可以确定(,),(,)u u x y v v x y == 一般采用直接对方程组两端分别对自变量x ;y 求偏导数,只需把其中的,u v 看作,x y的隐函数.最后解所得线性方程组.将方程组两边分别关于x 求偏导,由复合函数求导的链式法则有0,0.x u x v x xu x v x F F u F v G G u G v '''''+⋅+⋅≡⎧⎨'''''+⋅+⋅≡⎩ 解该方程组就可得到,x x u v ''.同理将方程组两边分别关于y 求偏导, 由复合函数求导的链式法则有0,0.y u y v y yu y v y F F u F v G G u G v '''''+⋅+⋅≡⎧⎪⎨'''''+⋅+⋅≡⎪⎩ xFyz公式法多元隐函数树形图yxFxyz解该方程组就可得到,y y u v ''的表达式.如上的这种求偏导数的方法也就方程组求导法.注: 使用方程组求导法求方程组确定隐函数的导数时,隐函数中自变量个数=方程组中所含变量个数-方程组中所含方程的个数.2.7 切平面、法线和切线、法平面 在曲面的一个点处求出切平面、法线，可以用切平面和法线构成该点处的一个直角坐标系，该点附近的小片曲面就可以近似看成切面上的一片. 切线、法平面同理.2.7.1 曲面的切平面与法线求法 设曲面S 的一般方程为 :(,,)0S F x y z =. 其中0000(,,)M x y z S ∈,函数(,,)F x y z 在该点可微，且偏导数不同时为零.定理 设曲面S 的方程为:(,,)0S F x y z =,0000(,,)M x y z S ∈.函数(,,)F x y z 在0M 处可微且偏导数不同时为零. 则曲面S 上任意一条通过0000(,,)M x y z 且在0000(,,)M x y z 处光滑曲线，其在0000(,,)M x y z 的切线都在下述平面上000000))()(()(()()0x y z F x F F M x M y y M z z '''++---= 此平面称为曲面S 在0000(,,)M x y z 出的切平面.过切点且与切平面垂直的直线称为法线，曲面S 在0000(,,)M x y z 处的法线方程为000000.()()()x y z x x y y z z F M F M M F ---=='''注 ①定理仅适用于曲面方程由一般方程给出情况.② 曲面S 由显函数(,)z f x y =方程给出时,在点00000(,,()),M x y f x S y ∈处的切平面为0000000))(,)((,)(x y x f z z f x y x x y y y '+'-=--法线方程为000000.()()1,,x y x x y y z z x f x f y y ---=='-'③ 对于(,)z f x y =而言,在点0M S ∈的切平面为0000000))(,)((,)(x y x f z z f x y x x y y y '+'-=--,即 000000000(,)))|(,)((,)(x y x y x f df z z f x y x x y y y '+='-=-- 由此给出微分的几何解释.2.7.2 空间曲线一般方程下其切线与法平面求法 若曲线Γ由一般方程表处(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩, 可以将其看作参数方程，比如以x 为参数，上述方程组确定两个隐函数)(),(x z z x y y ==，Γ的参数方程为：x x =，)(),(x z z x y y ==.Γ上与参数0x x =相对应的点处的切线方程是00000.1()()x x y y z z y x z x ---=='' 法平面方程为00000:()()()()0x x y x y y z x z z π''-+-+-=还有另一个求法：求出曲面0),,(:1=z y x F S 和曲面0),,(:2=z y x G S 在某点的切平面， 这两个切平面的交线就是该点处的切线.2.8 高阶偏导数定义 如果),(y x f z =在区域D 内的偏导数(,)x f x y '与(,)y f x y '仍可求偏导,则称它们的偏导数为函数(,)f x y 的二阶偏导数,按照对变量求偏导次序的不同,二阶偏导数共有以下四个：),()(22y x f z x z x z x xx xx ''=''=∂∂=∂∂∂∂, ),()(2y x f z yx z x z y xy xy ''=''=∂∂∂=∂∂∂∂, ),()(2y x f z x y z y z x yx yx''=''=∂∂∂=∂∂∂∂, ),()(22y x f z yz y z y yy yy ''=''=∂∂=∂∂∂∂， 其中偏导数yx xy z z '''',通常称为二阶混合偏导数.类似地可以定义更高阶的偏导数,例如混合偏导数(,)xyf x y '',再对y 求偏导数是 232()(,)xyyxyy z zz f x y y x y x y∂∂∂''''''===∂∂∂∂∂ 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.定理 (求高阶偏导数与次序无关定理)若函数),(y x f z =的二阶混合偏导数xy z ''和yx z ''在区域D 内连续,,则在该区域D 内必有xy yx z z ''''= .即连续的二阶混合偏导数与其求导次序无关．对于含有抽象函数求高阶偏导数,学生容易对复合结构产生一些偏差,再此要特别强调含有抽象函数计算高阶偏导数时与计算一阶偏导数时函数的复合结构关系（树形图）是完全一致的，或者多元函数求偏导后其复合结构不变.即若设),(v u f z =,),(y x u φ=,),(y x v ψ=u vx y 12f ''x yuv x x yy uv x x yy f '在对一阶偏导数求二、三阶偏导数时,112()()u uv f f f f ''''''==、仍是以,u v 为中间变量,,x y 为自变量的复合函数,即复合关系或复合树形图不变.2.9方向导数与梯度2.9.1.方向导数方向导数的定义有两种，有微小差别.定义1 设(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内有定义,l 为一个向量,其单位向量为0{cos ,cos }l αβ=.在以0P 为始点沿着l 方向的射线上任取一点00(cos ,cos )P x h y h αβ++ (h 足够小使0()P U P ∈)，若极限00000000()()(cos ,cos )(,)lim lim ||h h f P f P f x h y h f x y P P hαβ+→→-++-= 存在,则称此极限为函数(,)f x y 在点0P 处沿着方向l 的方向导数,记作|P f l∂∂或0()l D f P ,即|P f l∂∂=0()l D f P 00000(cos ,cos )(,)lim h f x h y h f x y hαβ+→++-=.定义2设(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内有定义,l 为一个向量,其单位向量为0{cos ,cos }l αβ=.过0P 作与l 平行的直线(有向直线)l 00(cos ,cos )P x h y h αβ++()h ∈且0()P U P ∈.若极限00000(cos ,cos )(,)limh f x h y h f x y hαβ→++-存在,则称此极限为函数(,)f x y 在点0P 处沿着方向l 的方向导数,记作|P f l∂∂或0()l D f P ,即|P fl ∂∂=0()l D f P 00000(cos ,cos )(,)limh f x h y h f x y hαβ→++-=.方向导数与偏导数的关系为：按定义1，函数在某点沿指定方向的方向导数本质是函数在该点沿着指定方向的单侧变化率，而偏导数是函数沿着平行于坐标轴正向的变化率,即双侧变化率.故在某点M 沿平行于坐标轴的方向导数都存在也不能推断出偏导数存在;但反之，偏导数存在时，在点M 沿坐标轴正负向的方向导数都存在，且满足()f f l l∂∂=-∂-∂=-l f∂∂(M )，其中l 表示坐标轴正向，即P 0lP 0P 0ll 是x 或y .总之，按定义1，函数在点M 处偏导数存在,则在点M 沿坐标轴正向的方向导数存在，且二者相等，反之不真.即有（按定义1）：只有在()f fl l∂∂=-∂-∂时,偏导数才存在.按定义2，函数在点M 处偏导数存在等价于在点M 沿坐标轴正向的方向导数存在，且二者相等. 即这时可以认为偏导数是方向导数的特殊情况，或者方向导数是偏导数的推广. 这时总有0|()|P P f l fl∂∂-∂=-∂. 两个定义的比较：有相同的计算公式（见下）；但方向导数存在的范围前者大于后者；前者是沿射线的变化率，后者是沿直线的变化率；前者与偏导数不一致，后者不一致；前者适应实际情况，便于应用，后者以偏导数为特例，可以将偏导数和方向导数统一解释为沿直线的变化率，有利于初学者的理解学习.方向导数的计算定理1 若函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处可微分,则函数(,)f x y 在该点沿着任一方向l 的方向导数都存在,且有000|()cos ()cos P x y f fP f Plαβ'=∂'+∂ 其中0{cos ,cos }l αβ=是方向l 的单位向量.注 三元函数(,,)u f x y z =的方向导数可类似定义和计算.如类似于定义1，(,,)u f x y z =在空间一点0000(,,)P x y z 处沿着方向0{cos ,cos ,cos }l αβγ=的方向导数为0000000(cos ,cos ,cos )(,,)|lim P h f x h y h z h f x y z f hlαβγ+→+++-∂=∂.2.9.2 梯度(1)定义 若函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处可微分,则称向量00{(),()}x y f P f P ''为(,)f x y 在点0P 处的梯度向量,简称为梯度,记作0()gradf P 或0()f P ∇,即0000()(){(),()}x y gradf P f P f P f P ''=∇=.偏导数存在.。

累次极限和二重极限1. 引言在数学分析课程中，我们经常会遇到极限的概念。

极限是数学中的一个重要概念，广泛应用于微积分、数值计算和实际问题的求解中。

累次极限和二重极限是极限的两个重要扩展概念。

累次极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数值的极限；而二重极限是指当自变量同时趋于某个特定的点时，函数值的极限。

在本文中，我们将详细介绍累次极限和二重极限的概念、性质和应用。

2. 累次极限2.1 定义设有二元函数f(x,y)，其中x和y是自变量，z是因变量。

当(x,y)从不同的方向趋于点(a,b)时，如果不论怎样趋近，函数值z总是趋于同一个有限值L，则称L为函数f(x,y)在点(a,b)处的累次极限，记作：lim x→a limy→bf(x,y)=L2.2 性质累次极限具有以下性质：•累次极限与极限的存在性并不相同。

在函数f(x,y)存在累次极限的情况下，函数f(x,y)并不一定存在极限。

•累次极限的结合律成立，即：lim x→a limy→bf(x,y)=limy→blimx→af(x,y)2.3 应用累次极限在数学分析和实际应用中有着广泛的应用。

例如，在微积分中，累次极限常用于求解二元函数的导数和偏导数。

此外，在物理学和工程学等领域中，累次极限也经常用于描述多个变量之间的关系。

3. 二重极限3.1 定义设有二元函数f(x,y)，其中x和y是自变量，z是因变量。

当(x,y)同时趋于点(a,b)时，如果不论怎样趋近，函数值z总是趋于同一个有限值L，则称L为函数f(x,y)在点(a,b)处的二重极限，记作：lim(x,y)→(a,b)f(x,y)=L3.2 性质二重极限具有以下性质：•二重极限存在的充分条件是累次极限存在且相等。

即存在数字L，使得：lim x→a limy→bf(x,y)=Llim y→b limx→af(x,y)=L•二重极限存在与否与函数在点(a,b)的取值无关。

即函数f(x,y)在点(a,b)的取值不影响二重极限的存在性。

. >1.二元函数极限概念分析定义1设函数f 在2D R ⊂上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在*正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<,则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0lim ()P P P Df P A →∈=.上述极限又称为二重极限.2．二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题假设函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=.例1求2(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以例2 求极限()()221,1,21limy x y x +→．解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即()()221,1,21limy x y x +→=31．2.2 利用恒等变形法将二元函数进展恒等变形，例如分母或分子有理化等.. >例3 求00x y →→解：00x y →→例4()()22220,0,321)31)(21(limy x y x y x +-++→．解： 原式()()())()(),0,02211lim231x y xy →=+11022=+=． 2.3 利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数.在二元函数中常见的等价无穷小((,)0)u x y →，有 sin (,)(,)u x y u x y ； 2(,)1cos (,)2u x y u x y -；[]ln 1(,)(,)u x y u x y +；tan (,)(,)u x y u x y ；arcsin (,)(,)u x y u x y ；arctan (,)(,)u x y u x y (,)1u x y n；(,)1(,)u x y eu x y -；同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例5 求 00x y →→解： 当0x →，0y →时，有0x y +→11()2x y +，所以. >这个例子也可以用恒等变形法计算，如：0000001.2x y x y x y →→→→→→===2.4 利用两个重要极限(,)0sin (,)lim 1(,)u x y u x y u x y →=，[]1(,)(,)0lim 1(,)u x y u x y u x y e →+= 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广.例6求极限 21lim(1)x x yx y axy+→∞→+.解：先把极限化为22()11lim(1)lim (1)x x xy x y xy x yx x y ay a xy xy ++→∞→∞→→⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，而 211limlim ,()(1)x x y a y a x y xy x y ay x→∞→∞→→==++ 当 ,x y a →∞→时1,0xy xy →∞→，所以 1lim(1).xy x y ae xy →∞→+=故原式=2()11lim (1).x xy x y xy xy a axy e +→∞→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=例7 求 0sin()limx y axy x →→极限.. >解： 因为sin()sin().xy xy y x xy=，当0,x y a →→时，0xy →，所以 sin()1xy xy→，再利用极限四则运算可得： 000sin()sin()sin()limlim .lim .lim .x x y a xy y a y axy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1=a .这个例子也可以用等价无穷小代换计算，如： 当 0x →，y a →时，0xy → ，sin()xy xy .所以， 00sin()limlim lim .x x y a y a y axy xyy a x x →→→→→===2.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论例8求0011)sin cos x y y x y →→解:因为00)0x y y →→= 是无穷小量， 11sin cos 1x y ≤ 是有界量 ，故可知，0011)sin cos 0.x y y x y →→=例9 求 22232(3)(2)lim (3)(2)x y x y x y →→---+-解 原式=2232(3)(2)lim(3)(3)(2)x y x y x x y →→--⋅--+-因为 222222(3)(2)(3)(2)1(3)(2)22(3)(2)x y x y x y x y ---+-≤=-+-⎡⎤-+-⎣⎦是有界量，又. >32lim(3)0x y x →→-= 是无穷小量，所以 ， 22232(3)(2)lim 0(3)(2)x y x y x y →→--=-+- .虽然这个方法计算实际问题上不则多用，但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .2.6利用变量替换法通过变量替换可以将*些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算，从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。