高等数学-二重极限1

2018考研数学：二重极限
以下是中公考研数学研究院的老师为大家整理了2018考研数学:二重极限的题型讲解，供大家复习参考。

高等数学的研究对象是函数，而极限则是研究函数的最重要的工具，对于一元函数如此，对于多元函数亦是如此。

那么在学习多元微分学之前，首先来认识多重极限的概念，在此以二重极限为例进行说明。

2. 考试要求会计算二重极限，最直接的想法就是一元函数求极限的方法中哪些还可以继续使用，其中四则运算法则，等价无穷小替换和夹逼定理及其推论(无穷小量乘以有界量等于无穷小量)可以使用。

【注记】1. 取路径的方法只是用来验证函数的极限不存在，不能用于求极限。

并且路径一般取为直线，便于计算。

2.考试不会直接考查二重极限的计算，而是在研究函数的连续性、可导性和可微性的时候需要计算二重极限。

最后，中公考研祝全体考生考研成功!。

二重极限的计算方法小结内容摘要本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤。

及二重极限不存在的几种证明方法。

关键词：二重极限变量代换等不存在的证明目录序言 (1)一、利用特殊路径猜得极限值再加以验证 (1)(一)利用特殊路径猜得极限值再加以确定 (1)(二)由累次极限猜想极限值再加以验证 (2)(三)采用对数法求极限 (2)(四)利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限 (3)(五)等价无穷小代换 (3)(六)利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量 (4)(七)多元函数收敛判别方法 (4)(八)变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限 (5)(九)极坐标代换法 (6)(十)用多元函数收敛判别的方法 (7)二、证明二重极限不存在的几种方法 (7)总结 (10)参考文献 (11)序言二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。

对一元函数而言，自变量的变化只有左右两种方式，而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某店的方式，这是两者最大的区别。

虽然二元函数的极限较为复杂，但若能在理解好概念，掌握解题方法和技巧就不难解决。

对于二元函数的二重极限，重点是极限的存在性及其求解方法。

二重极限实质上是包含任意方向的逼近过程，是一个较为复杂的极限，只要有两个方向的极限不相等，就能确定二重极限不存在，但要确定二重极限存在则需要判定沿任意方向的极限都存在且相等。

由于二重极限较为复杂，判定极限的存在及其求解，往往因题而异，依据变量),(y x 的不同变化趋势和函数),(y x f 的不同类型，探索得出一些计算方法，采用恰当的求解方法后，对复杂的二重极限计算，就能简便，快捷地获得结果，本文将对二重极限的几种计算方法做一下小结。

一、二重极限的计算方法小结(一) 利用特殊路径猜得极限值再加以验证利用二元函数极限定义求极限：根据定义解题时只需找出δ来。

二重极限考研真题二重极限是高等数学中的一个重要概念，也是考研数学中的一道经典题型。

在考研数学中，二重极限题目常常涉及到多元函数的极限问题，需要我们熟练掌握相关的理论知识和解题方法。

首先，我们来回顾一下二重极限的定义。

对于二元函数f(x, y)，当自变量(x, y)的取值趋于某个点(x0, y0)时，如果对于任意给定的ε>0，都存在一个正数δ>0，使得当点(x, y)满足0<√((x-x0)^2+(y-y0)^2)<δ时，有|f(x, y)-A|<ε成立，那么我们就称A是函数f(x, y)在点(x0, y0)处的二重极限，记作lim_(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = A。

接下来，我们来看一道典型的二重极限考研真题。

已知函数f(x, y) = (x^2+y^2)/(x^2-y^2)，求lim_(x,y)→(1,-1) f(x, y)。

首先，我们可以直接代入(x0, y0) = (1, -1)得到f(1, -1) = (1^2+(-1)^2)/(1^2-(-1)^2) = 2/0，这个结果是无意义的，因为分母为0，所以我们不能直接代入求值。

接下来，我们可以尝试利用二重极限的定义来解题。

我们可以以(x0, y0) = (1, -1)为中心，以r为半径画一个圆，然后取圆上的任意一点(x, y)，计算f(x, y)与A的差值，然后通过极限的定义来求解。

我们可以将f(x, y) = (x^2+y^2)/(x^2-y^2)进行化简，得到f(x, y) =(1+(2y^2)/(x^2))/(1-(2y^2)/(x^2))。

然后我们可以将分子和分母展开，得到f(x, y) = (1+2y^2/x^2)/(1-2y^2/x^2)。

接下来，我们可以将x和y进行适当的变换，使得计算更加方便。

我们可以令x = 1+u，y = -1+v，其中u和v是趋于0的无穷小量。

代入上式，得到f(1+u, -1+v) = (1+2(-1+v)^2/(1+u)^2)/(1-2(-1+v)^2/(1+u)^2)。

二重积分极限表达式二重积分是高等数学中的一个重要概念。

它在物理、工程、经济学和其他领域中都有着广泛的应用。

当我们谈论二重积分时，我们通常会把它看作是一个求取平面区域上某个量的积分的过程。

因此，掌握一些有关二重积分极限表达式的知识对于我们深入理解二重积分的概念至关重要。

以下是一些关于二重积分极限表达式的基本概念：一、二重积分的定义二重积分的定义是：设D为平面上有界区域，f(x,y)是定义在D上的函数，则在D上的二重积分可以表示为：∬Df(x,y)dσ其中dσ是表示平面微元的面积元素。

二、二重积分的性质二重积分有一系列的性质，这些性质能够帮助我们更好地理解二重积分的概念。

以下是几个重要的性质：1. 线性性质二重积分具有线性性质，即若f和g是D上的二重可积函数，c为常数，则有：∬D(cf+g)dσ = c∬Df(x,y)dσ + ∬Dg(x,y)dσ2. 积分区域的可加性若D可以分为两个互不相交的有界区域D1和D2，则有：∬Df(x,y)dσ = ∬D1f(x,y)dσ + ∬D2f(x,y)dσ3. 积分顺序的可交换性如果f(x,y)在D上连续，那么积分的顺序是可以交换的，即：∬Df(x,y)dσ = ∬a^b∬c^df(x,y)dydx = ∬c^d∬a^bf(x,y)dxdy三、二重积分极限表达式的基本概念在二重积分中，极限表达式是非常重要的一部分。

极限表达式可以帮助我们更好地理解二重积分的概念。

以下是一些基本的极限表达式：1. 上限为无穷大的积分如果D的上界是无穷大，那么二重积分的极限表达式可以表示为：limR→+∞∬Df(x,y)dσ这里R表示D的半径（即D中距离原点最远的点的距离）。

2. 重心与积分中平均值的关系对于D上的二重积分，假设M(x1,y1)是D的重心。

如果f(x,y)在D上可积，那么有：f(M) = (1/|D|)∬Df(x,y)dσ其中|D|表示D的面积。

3. 积分区域的划分对于任何一个平面区域D，我们都可以通过划分D的方法，将D划分为若干个小的平面区域。

239科技资讯 SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION学 术 论 坛DOI：10.16661/ki.1672-3791.2019.08.239二重极限的计算方法总结①张敏(郑州商学院 河南巩义 451200)摘 要：函数的极限求解是高等数学中比较重要的一个问题，由于自变量个数的增加和极限趋近路径的任意性，二重极限的求解相较于一元函数的极限问题更加复杂。

一般情况下，高等数学教材中关于二重极限的求解都比较简单，对初学者来说比较抽象。

该文从不同角度介绍了6种不同的求解二重极限的方法，并给出了相应的例题及解析，拓宽了初学者的求解思路，给予了初学二重极限者一定的启发。

关键词：二元函数 二重极限 连续中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2019)03(b)-0239-02①作者简介：张敏（1988—），女，汉族，河南郑州人，研究生，助教，研究方向：数学教育，计算数学。

1 预备知识1.1 二元函数的定义定义1 设D 是平面上的一个非空点集，如果对于D 内的任一点(,)x y ，按照某种法则f ，都有唯一确定的实数Z 与之对应，则称f 是D 上的二元函数，它在点(,)x y 处的函数值记为f (,)x y ，即Z =f (,)x y ，其中(,)x y 称为自变量，Z 称为因变量。

点集D 称为该函数的定义域，数集{|(,),(,)}z z f x y x y D =∈称为该函数的值域。

1.2 二重极限的定义定义2 设函数Z =f (,)x y 的定义域为D ,000(,)P x y 是xOy 平面内的定点。

若存在常数A ，0ε∀>，0δ∃>，当点0(,)(,)P x y D U P δ∈时，恒有|()||(,)|f P A f x y A ε−=−<，则称常数A为二元函数f (,)x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限（也称为二重极限），记作00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A→=或00(,)((,)(,))f x y A x y x y →→，也可记作0lim ()P P f P A →=或0()()f P A P P →→。

二重极限的计算方法总结作者：张敏来源：《科技资讯》2019年第08期摘; 要：函数的极限求解是高等数学中比较重要的一个问题，由于自变量个数的增加和极限趋近路径的任意性，二重极限的求解相较于一元函数的极限问题更加复杂。

一般情况下，高等数学教材中关于二重极限的求解都比较简单，对初学者来说比较抽象。

该文从不同角度介绍了6种不同的求解二重极限的方法，并给出了相应的例题及解析，拓宽了初学者的求解思路，给予了初学二重极限者一定的启发。

关键词：二元函数; 二重极限; 连续中图分类号：O172; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;文献标识码：A; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;文章编号：1672-3791（2019）03（b）-0239-021; 预备知识1.1 二元函数的定义定义1; 设D是平面上的一个非空点集，如果对于D内的任一点，按照某种法则f，都有唯一确定的实数Z与之对应，则称f是D上的二元函数，它在点处的函数值记为f，即Z=f，其中称为自变量，Z称为因变量。

点集D称为该函数的定义域，数集称为该函数的值域。

1.2 二重极限的定义定义2; 设函数Z=f的定义域为D，是平面内的定点。

若存在常数A，，，当点时，恒有，则称常数A为二元函数f当时的极限（也称为二重极限），记作或，也可记作或。

注意：（1）在该定义中，函数只需在点的某一去心邻域内有定义即可，极限值A与函数在该点是否有定义无关。

（2）二重极限的存在性与自变量趋近的路径无关。

由于二重极限定义中的动点P趋向于点的方式是任意的，因此在一个平面上的点趋向于P0点的方式就有无穷多种，这比一元函数当时的极限只有左右两侧的情形要复杂得多。

（3）如果动点P沿着两条不同的路径趋向于时，函数值趋向于不同的常数，那么二重极限不存在。

2; 二重极限的求法2.1 利用二重极限的定义验证二元函數的极限2.2 利用二元函数的连续性求二重极限2.4 利用一元函数极限中的特殊极限求二重极限2.6 利用一元函数极限的性质求二重极限3; 结语二重极限与一元函数的极限既有区别又有联系，只有掌握了最基本的求解方法，才能对症下药，解决具体问题。

二重极限与累次极限及其应用作者：左双勇来源：《求知导刊》2015年第11期摘要：极限是研究函数的重要工具之一，二重极限是定义二元以上函数极限的基础，这里主要介绍了二重极限和累次极限的概念。

举例说明了二重极限与累次极限在存在性上相互独立的关系，最后给出了二重极限与累次极限的某些应用。

关键词：极限;二重极限;累次极限1.二重极限与累次极限的概念二元函数的极限有两种概念，它们分别是二重极限与累次极限，其定义分别如下：定义1：设函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）某邻域（P0可除外）有定义，若存在常数A，对∨ε>0，总;δ>0，只要点P（x，y）与P0（x0，y0）的距离ρ=√（x-x0）2-（y-y0）2< δ，恒有|f（x，y）-A|limf（x，y）=A或 limf（P）=A上面定义的二元函数的极限也称为二重极限。

[1]定义2：设函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）某邻域（P0可除外）有定义，若limf （x，y）=φ（y）存在，且limφ（y）=A存在，则称A为函数z=f（x，y）的先x→x0后y→y0次序的累次极限，记作：lim limf（x，y）=A。

同样的方法可以定义相反次序的累次极限lim limf（x，y）=A。

[2]2.二重极限与累次极限的关系举例二重极限与累次极限是分别独立定义的两个概念，下面举例说明它们在存在性上是相互独立的，没有必然的联系。

（1）二重极限存在，两种不同次序的累次极限也存在，且相等。

例如，—，x2+y2≠0f（x，y）=0， ; ; ; ; x2+y2=0二重极限lim—=0存在。

这是因为对∨ε>0，取δ=ε，只要ρ=√x2+y2两种不同次序的累次极限lim lim—=0，lim lim—=0存在且相等。

（2）二重极限存在，两种不同次序的累次极限都不存在。

例如，xsin—+ysin—，x≠0，y≠0f（x，y）=0， ; ; ; ; ; ; ; ; ;x=0，y=0二重极限lim（xsin—+ysin—）=0存在。

第九章二重积分【本章逻辑框架】【本章学习目标】⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。

⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。

熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。

⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。

9.1 二重积分的概念与性质【学习方法导引】1．二重积分定义为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。

从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。

在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ∆∆∆的分法要任意，二是在每个小区域i σ∆上的点(,)i i i ξησ∈∆的取法也要任意。

有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。

2．明确二重积分的几何意义。

(1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d Df x y σ⎰⎰表示以区域D 为底，以(,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。

特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d Df x y σ⎰⎰表示平面区域D 的面积。

(2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积(3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d Df x y σ⎰⎰表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积).3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。

浅谈二重极限的若干计算方法二重极限是多元函数理论基础，在高等数学和数学分析中都做了介绍，对于二重极限重点是它的计算方法，虽然许多学者对此做了归纳，但由于二重极限的复杂性，他们的归纳都不是很全面，因此，本论文在已有的基础上对二重极限的计算方法做了较为全面阐述，使得二重极限的计算更为简便、快捷．1 二重极限定义设函数(,)f x y 在区域D 内有定义，000(,)p x y 是D 的内点，如果对于任意的正数ε，总存在正数σ，使得对于D 内适合不等式00p p σ<=<的一切点(,)p x y 都有(,)f x y A ε-<成立，则称常数A 为函数(,)f x y 当00,x x y y →→时的二 重极限，记作00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=．2 二重极限的求法2.1 定义验证法先求出一个累次极限，再用定义验证该累次极限是否为二重极限，或先猜出二重极限的值，再用定义验证．例1 设22331(,)()sinf x y x y x y=++，33(0)x y +≠，求(,)(0,0)lim (,)x y f x y →． 解 00limlim (,)0x y f x y →→=，事实上对任意(,)(0,0)x y ≠222222331(,)0()sinf x y x y x y x y x y-=+≤+≤++0,ε∀>取σ=,x y σσ<<时，有22331()sin0x y x y ε+-<+即(,)(0,0)lim (,)x y f x y →=0．例[1](278280)2P - 求(,)(0,)sin limx y c xyx → (0)c ≠．解sin sin sin sin 11xy xy cx cx xy xy cx cx-=-+-其中sin sin sin sin sin sin xy cx c xy c cx c cx y cxxy cx cxy-+--= sin sin sin sin c xy c cx c cx y cxcxy cxy --=+(第一个分式用微分中值定理)cos sin ()c cx c y xy cx cxy cx yζ-=-+⋅（ζ介于,x y 间） 进而有sin sin sin (cos )xy cx c y cx xy cx y cxζ--≤+ 由于0sin lim1x xyxy→=，所以只要x 足够小就可使得sin 2cx cx ≤． 又因为lim1y ccy→=，故对任意0,0εσ>∃>，当0,0x y σσ<<<<时，恒有sin 1,126cx c cx y εε-<-<， 从而sin sin sin sin sin sin sin 111(12)62xy xy cx cx xy cx cx xy xy cx cx xy cx cx εεε-=-+-≤-+-<++= 即(,)(0,)sin limx y c xyc x →=．由上两例可知定义验证法求二重极限要求所给函数的某个累次极限等于二重极限或者能够观察出已知函数的二重极限，因此该方法局限性较强，只适用于一些简单的二重极限的计算．2.2 利用连续函数的定义 二元函数(,)f x y 的定义域为,D 000(,)P x y D ∈且为D 的聚点，若00)00(,)(,lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 处连续．所以，可用定义计算连续函数的二重极限．例3 求 2234lim(7)x y x xy y →→-++．解由22(,)(7)f x y x xy y =-++为连续函数且(3,4)20f =得2234lim(7)20x y x xy y →→-++=．只要所给函数为连续函数就可以用连续函数的定义求二重极限，但一般情况下所给函数都比较复杂，因此在解题时很少用到该方法．2.3 利用四则运算法则如果当00(,)(,)x y x y →时有(,)f x y A →，(,)g x y B →，则(,)(,)f x y g x y A B ±→±；(,)(,)f x y g x y A B ⋅→⋅；(,)(0)(,)f x y AB g x y B→≠．例4 求22123lim ()x y xy x y x y →→++．解 22123lim ()x y xy x y x y →→++221212lim(3)10lim()3x y x y xy x y x y →→→→+==+． 如果已知函数可以化成两个或多个易求极限的函数的加、减、乘、除的形式，那么就可以用四则运算法则求出已知函数的极限．2.4 利用两个重要极限 （1） 0sin lim 1x x x →=；（2）1lim(1)xx e x→∞+=． 例[2](133)5P 求2sin 0lim(1)xyx x y a xy →→+．解 2sin 0lim(1)xyxx y axy →→+=222sin 11sin 00lim[(1)]lim[(1)]xy t y y a xy xy t tx t y ay axy t e ⋅⋅→→→→+=+=．这种方法主要是根据已知函数的特点将它转化成一元函数（或部分转化为一元函数），然后利用两个重要极限再求值，计算过程比较简单，这里不再过多解释．2.5 利用等价无穷小代换当0,x y a →→时，有~sin ~ln(1),xy xy xy +tan ~,xy xy 211cos ~()2xy xy - arcsin ~,xy xy 1~xy e xy -．例6 求33(,)(0,)lim (1cos )ln(1)x y a x y xy xy →-+．解 33(,)(0,)lim (1cos )ln(1)x y a x y xy xy →-+=22(,)(0,)lim 1cos ln(1)x y a x y xyxy xy →⋅-+=22(,)(0,)2lim21()2x y a x y xyxy xy →⋅=． 例7 求20sin(3)lim 1xy x y ax y e →→-． 解 当0,x y a →→时， 22sin(3)~3,1~xyx y x y e xy -故 20sin(3)lim 1xy x y a x y e →→-2003lim lim30x x y a y ax y x xy →→→→===． 该方法主要是把已知函数的某部分用它的等价无穷小代替，使原函数化成容易计算的较简单的函数，但由于相互等价的函数很多，因此在选择用哪种形式的无穷小代替时，要具体问题具体分析．2.6 利用夹逼定理(,)f x y 与(,)g x y 在00(,)x y 连续且有相同的极限A ，若(,)h x y 在00(,)x y 的某邻域有(,)(,)(,)f x y h x y g x y ≤≤成立，则00(,)(,)lim (,)x y x y h x y A →=．例[3](27)8P 求22limx y x yx xy y →+∞→+∞+-+．解 由不等式222x y xy +≥得2222110x y x y x yx xy y x y xy xy x y+++≤≤≤≤+-++- 而11lim ()0x y x y →+∞→+∞+=，故有22lim x y x y x xy y →+∞→+∞+-+0=．利用夹逼定理求二重极限是计算二重极限常用的方法，解题时常常需要通过分子放大、分母缩小或分子缩小、分母放大即放缩原函数得到易求极限的函数．但由于该方法要求放缩后的函数与原函数的极限相同，这就使得放缩时有一定的约束性，因此用这种方法时要重点注意放缩过程．2.7 利用恒等变形如果二元函数(,)f x y 含有分式，可以让分子、分母同乘以不为零的函数，如果(,)f x y 是指数形式，可以先求它对数的极限，然后再求原函数的极限．例9求22(,)limx y →解22(,)limx y →(,)limx y →=(,)(0,0)lim x y →=(,)(0,0)lim 2)x y →=4=．例[4](1)10P 求2222(,)(0,0)lim ()xyx y x y →+．解 令2222()x y u x y =+，则222222222222ln ln()()ln()x y u x y x y x y x y x y=+=+++ 而2222(,)(0,0)(,)(0,0)221lim lim 011x y x y x y x y x y →→==++ ，令22x y t +=则 2222(,)(0,0)lim ()ln()lim ln 0x y t x y x y t t →→++==所以2222(,)(0,0)limln()0x y x y x y →+=故2222(,)(0,0)lim ()xyx y x y →+01e ==．这种方法要求已知函数是含有根式的二元函数或者极限是01,0∞等的未定型函数，所以很容易判断是否用该方法计算二重极限．2.8 利用变量代换利用变量代换是把二重极限转化为一元函数的极限或化为易于计算的二重极限，如利用极坐标变换令cos ,sin x r y r θθ==，利用倒数11,x y u v==，利用两个变量,x y 的和x y t +=、平方和22x y t +=及乘积xy t =等变换．例11 求2222()22(,)(0,0)lim 2sin()x y x y x y e e x y +-+→-+．解 22u x y =+ 则(,)(0,0)lim 0x y u →=2222()22(,)(0,0)lim2sin()x y x y x y e e x y +-+→-+00lim lim 12sin 2cos u u u u u u e e e e u u --→→-+===． 例[4](1)12P 求22222(,)(0,0)limln()x y x y x y →+．解 cos ,sin x r y r θθ==，由(,)(0,0)x y →得0r →22222424(,)(0,0)010limln()lim sin 2ln 4x y r x y x y r r θ→→≤+=⋅⋅而211sin 244θ≤，34444430000484ln lim ln lim lim lim()014r r r r r r r r r r r r r →→→→⋅===-=-所以4401lim ln sin 204r r r θ→⋅⋅= 从而22222(,)(0,0)limln()x y x y x y →+0=.例13 求21lim(1)x x yx y axy-→∞→+其中0a ≠．解 2()11(1)(1)x xxy x yx y yxyxy⋅--+=+，当,x y a →∞→时，令,xy t =相应有t →∞， 则11lim(1)lim(1)xy t x t y ae xy t→∞→∞→+=+=21lim(1)x x yx y a xy -→∞→+ 1[ln(1)]()()1lim[(1)]lim xyx xxy x y yxy x y yx x y a y ae xy +--→∞→∞→→=+=1lim [ln(1)]lim11()1xy x x y ay ax xy x y yaaeee →∞→∞→→+-⋅===.例14 求222()lim ()x y x y x y e-+→+∞→+∞+．解 222222()2()2()22()()2x y x y x y x y x y x y x y x y ee e e e-++++++==-⋅ 当,x y →+∞→+∞时，令x y t +=，相应有t →+∞则222()2()lim lim 0x y t x t y x y t e e +→+∞→+∞→+∞+==，2222lim 22lim lim 0x y x y x x x y y y x y x ye e e e →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞⋅=⋅= 所以222()lim ()x y x y x y e -+→+∞→+∞+ 0=．例[5](3)15P 求22limx y yx y →∞→∞+．解 11,x y u v==，当,x y →∞→∞时，有0,0u v →→ 22lim x y yx y →∞→∞+12121222(,)(0,0)(,)(0,0)lim lim ()()u v u v v u v u v u v ---→→==++` 令 cos ,sin u r v r θθ==，当0,0u v →→时，0r →+，2322222(,)(0,0)00cos sin lim lim lim cos sin 0u v r r u v r r u v rθθθθ++→→→===+ 即 22lim0x y yx y →∞→∞=+．变量代换法也是计算二重极限常用的方法，从例题的计算过程可以看出采用恰当的变量代换可以使得二重极限的计算更为简便．综上所述，二重极限的计算与一元函数极限的求法有很多类似之处，但由于一元函数的极限至多是左、右两种方式的逼近，而二重极限是任意方向的逼近．因此，二重极限的计算比一元函数极限的计算复杂得多，在遇到求二重极限的问题时，要具体问题具体分析，找出解决问题的最恰当的方法．。

关于二重极限与累次极限的研究作者：房明磊，许峰来源：《吉林省教育学院学报·上旬刊》 2015年第2期房明磊，许峰（安徽理工大学理学院，安徽淮南232001）摘要：二重极限是高等数学中的重点内容，本文着重说明了累次极限与二重极限的关系以及如何利用累次极限求解二重极限和判断二重极限的存在性。

关键词：二重极限；累次极限；多元函数；求解DOI：10.16083/ki.-1296/G4.2015.02.067中图分类号：O172文献标识码：A文章编号：1671—1580（2015）02—0153—02资助项目：安徽省教育厅提升计划项目“数学建模团队建设”和“基于网络教学平台的公共数学课发展性评价机制的研究”联合资助。

收稿日期：2014—09—28作者简介：房明磊（1978—），男，吉林大安人。

安徽理工大学理学院，讲师，硕士，研究方向：公共数学课教学。

许峰（1963—），男，安徽淮南人。

安徽理工大学理学院，教授，研究方向：公共数学课教学。

二重极限在多元函数微积分学中占有突出地位，对它的正确理解和求解是研究多元函数微积分有关概念和方法的基础。

本文主要从二重极限与累次极限的关系及如何用累次极限求二重极限和证明二重极限的存在性等方面进行讨论。

一、二重极限与累次极限的定义二、二重极限与累次极限的关系二重极限与累次极限之间没有必然的关系，［4］因为：（一）两个累次极限都存在，且相等时，二重极限还可能不存在。

三、利用累次极限求解二重极限求二重极限的方法大致可归纳为如下几种：（一）利用二重极限的“ε-δ”定义。

（二）利用有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小量及等价无穷小的代换。

（三）利用两边夹定理。

（四）利用变量替换，将二重极限转化为已知极限或一元函数极限。

（五）利用初等函数的连续性及四则运算法则。

本文仅分析如何利用累次极限求二重极限。

四、利用累次极限证明二重极限的存在性二重极限不存在的证明主要有以下几种情形：（一）当P（x，y）沿着D中某一连续曲线趋近于点P0（x0，y0）时，二元函数f（x，y）的极限不存在。

二重极限与累次极限的关系在我院所用的《工科高等数学》教材中，有这样一道思考题：若f（x，y）存在，则f（x，y）=［f（x，y）］对吗？反之，是否成立?参看教材，我们发现，教材只对二元函数的极限（即二重极限）做了简单，对累次极限并未涉及，所以学生无法解答此题。

由于教学内容及课时的安排，教师也不可能对累次极限及二重极限和累次极限的关系作详细。

下面，我从二者的定义谈起，力求在定义和定理的正确灵活运用方面，对读者有所帮助。

一、二重极限与累次极限的概念1.二重极限定义1：设f为定义在D?奂R上的二元函数，P为D的一个聚点，A是一个确定的实数。

若对任给的正数ε，总存在某正数δ，使得当P∈U（P;δ）∩D时，都有｜f（P）-A｜<ε，则称f在d上当p→p 时，以a为极限，记作f（p）=a。

在对于p∈d不致产生误解时，也可简单写作f（p）=a。

当p，p分别用坐标（x，y），（x，y）表示时，上式也常写作f（x，y）=a。

></ε，则称f在d上当p→p时，以a为极限，记作f（p）=a。

在对于p∈d不致产生误解时，也可简单写作f（p）=a。

当p，p分别用坐标（x，y），（x，y）表示时，上式也常写作f（x，y）=a。

>在研究的极限f（x，y）中，两个自变量x、y同时以任何方式趋于x、y，这种极限也称为重极限。

如果x与y依一定的先后顺序相继趋于x与y时f的极限，这种极限称为累次极限。

2.累次极限定义2：设E，E?奂R，x是E的聚点，y是E的聚点，二元函数f在集合D=E×E上有定义。

若对每一个y∈E，y≠y存在极限f（x，y），由于此极限一般与y有关，因此记作φ（y）=f（x，y），而且进一步存在极限L=φ（y），则称此极限为二元函数f先对x（→x）后对y（→y）的累次极限，并记作L=f（x，y）或记作L=f（x，y）。

二、二重极限与累次极限间的关系1.二者间没有必然关系累次极限与重极限是两个不同的概念，它们的存在没有必然的蕴含关系。

二重极限转化为一重极限的方法及存在判定法
二重极限由于其变量趋近某一点时方式（即轨迹）的任意性，给二重极限的计算和极限存在的判定造成了很大的困难。

我曾经看到过几篇关于用二次累极限来研究二重极限的文章，都觉得不尽理想。

下面介绍我的方法，虽然高等数学教材（同济六版）和考研都没有对此作出要求，但也是很容易掌握的。

先来重温一下二重极限的定义。

设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 某个邻域内有定义，若对于任意的0>ε，都存在常数0>δ使得当
()()δ<-+-<20200y y x x 时，有()ε<-A y x f ,成立，那么A y x f y y x x =→→),(lim 0
0。

注意到()()δ<-+-<20200y y x x 是半径为δ、去掉圆心和边界的圆面，因此我们可以用过圆心的一族直线将它铺满，且根据定义，自变量趋近于这个点的方式是任意的，因此我们就可以限制自变量沿着这一族直线的任意一条趋近于该点。

易得过点),(00y x 的直线族为
⎩⎨⎧+∞-∞∈-=-).
,(),(00k x x k y y 这时有
⎩⎨⎧-=-=)
(),,(00x x k y y y x f z ， 消去y （消去变量y 也类似），得二元函数),(k x z ϕ=，计算得到一元
函数),(lim )(0
k x k x x ϕμ→=（这是一个一重极限），则原二重极限存在的充分必要条件是函数)(k μ是常函数，此时这个函数就等于原二重极限。

这就是二重极限转化为一重极限的计算方法和二重极限存在的判定方法。