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二元函数极限证明设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。
此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。
我们必须注意有以下几种情形：’(1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在(2)两个二次极限存在而不相等(3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在2函数f(x)当x→x0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→x0)根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有|f(x)-a|<ε而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域u(x0;δ)又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1再取m=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有|f(x)|证毕3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。
1，y以y=x^2-x的路径趋于0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。
2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。
4f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x)显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在而当x->0,y->0时由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|)而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2所以|f|<=|x|+|y|所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了就我这个我就线了好久了5(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
累次极限和二重极限累次极限和二重极限是微积分中的重要概念，它们在求解多元函数的极限问题中起着重要的作用。
本文将从定义、性质和应用三个方面来介绍累次极限和二重极限。
一、累次极限的定义和性质1. 定义设函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某一邻域内有定义，如果对于任意给定的数列 $\{x_n\}$ 和 $\{y_n\}$，满足$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_0$，$\lim\limits_{n\to\infty}y_n=y_0$，则称 $f(x,y)$ 在点$(x_0,y_0)$ 处的累次极限存在，记为：$$\lim_{x\to x_0}\lim_{y\to y_0}f(x,y)=\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y) $$2. 性质（1）若 $\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)$ 存在，则$\lim\limits_{x\to x_0}\lim\limits_{y\to y_0}f(x,y)$ 和$\lim\limits_{y\to y_0}\lim\limits_{x\to x_0}f(x,y)$ 存在，且三者相等。
（2）若 $\lim\limits_{x\to x_0}\lim\limits_{y\to y_0}f(x,y)$ 和$\lim\limits_{y\to y_0}\lim\limits_{x\to x_0}f(x,y)$ 存在，则$\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)$ 存在，且三者相等。
二、二重极限的定义和性质1. 定义设函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某一邻域内有定义，如果对于任意给定的 $\epsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $(x,y)$ 满足$0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta$ 时，有 $|f(x,y)-A|<\epsilon$，则称 $A$ 是 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处的二重极限，记为：$$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A$$2. 性质（1）若 $\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)$ 存在，则 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处的二重极限存在，且二者相等。
