二次极限与二重极限的关系

二元函数极限证明设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。

此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。

我们必须注意有以下几种情形：’(1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在(2)两个二次极限存在而不相等(3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在2函数f(x)当x→x0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→x0)根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有|f(x)-a|<ε而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域u(x0;δ)又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1再取m=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有|f(x)|证毕3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。

1，y以y=x^2-x的路径趋于0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。

2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。

4f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x)显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在而当x->0,y->0时由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|)而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2所以|f|<=|x|+|y|所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了就我这个我就线了好久了5(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

第五章 多元函数微分学知识点拔5.1 多元函数的概念一、二元函数的概念 1、二元函数的定义设在某一变化过程中，有三个变量y x ,和z ，如果对于变量y x ,在某一范围D 内任取一对数值，按照一定的对应法则，总有一个确定的值z 与它对应，则称变量z 是变量y x ,的二元函数，记作：),(y x f z =或),(y x z z =，其中y x ,称为自变量，z 称为因变量或称为y x ,的二元函数，变量y x ,取值范围D 称为该函数的定义域.2、二元函数的几何意义 二元函数),(y x f z =在几何上一般表示空间直角坐标系中的一个曲面.二、二元函数的极限 1、二元函数极限的定义设二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某去心邻域内有定义，如果动点),(y x P 在该邻域内以任何方式无限地趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 总是无限地趋于一个常数A ，则称A 是函数),(y x f z =在),(y x P 趋于),(000y x P 时的极限（也称二重极限），记作A y x f y y X x =→→),(lim 0或A y x f y x y x =→),(lim),(),(00，若记点),(y x P 与点),(000y x P 之间的距离为20200)()(||y y x x PP -+-==ρ，则有A y x f =→),(lim 0ρ .注释：（1）极限的几何意义：当),(y x P 在),(000y x P 附近的某个范围内变化时，函数值),(y x f 与常数A 的距离恒小于任意给定的正数ε；（2）二元函数极限存在是指：动点P 必须以任意方式趋于点0P 时，),(y x f 都无限趋于常数A ，则二元函数的二重极限存在，但即使动点P 沿过0P 的无穷多条路径趋于0P 时极限都等于A ，也不能说明0P P →时，A y x f →),( .（3）二元函数极限不存在的判定方法：如果当点),(y x P 以两种不同的方式趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 分别趋于不同的常数，则可以断定函数),(y x f 在点),(000y x P 处的极限不存在。

（整理）《数学分析》第十六章多元函数的极限与连续.第十六章多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 )§1 平面点集与多元函数 ( 3 时 )一. 平面点集: 平面点集的表示: ),(|),{(y x y x E =满足的条件}.1. 常见平面点集:⑴ 全平面和半平面: }0|),{(≥x y x , }0|),{(>x y x , }|),{(a x y x >,}|),{(b ax y y x +≥等.⑵ 矩形域: ],[],[d c b a ?, 1|||| ),{(≤+y x y x }.⑶ 圆域: 开圆, 闭圆, 圆环. 圆的个部分. 极坐标表示, 特别是}cos 2|),{(θθa r r ≤和}sin 2|),{(θθa r r ≤.⑷ 角域: }|),{(βθαθ≤≤r .⑸ 简单域:-X 型域和-Y 型域.2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域, 空心方邻域与集}||0 , ||0|),{(00δδ<-<<-<="">二. 点集的基本概念:1. 内点、外点和界点：集合E 的全体内点集表示为E int , 边界表示为E ?.集合的内点E ∈, 外点E ?, 界点不定.2. 聚点和孤立点: 孤立点必为界点 .例1 确定集} 4)2()1(1|),( {22<++-≤=y x y x E 的内点、外点集、边界和聚点.3. 开集和闭集: E int E =时称E 为开集,E 的聚点集E ?时称E 为闭集.存在非开非闭集.2R 和空集φ为既开又闭集.4. 开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域 .5. 有界集与无界集:6. 点集的直径)(E d ：两点的距离) , (21P P ρ.7. 三角不等式：||21x x -（或||21y y -）|||| )()(2121221221y y x x y y x x -+-≤-+-≤.三. 点列的极限:设) , (n n n y x P =, ) , (000y x P =.定义0l i m P P n n =∞→的定义 ( 用邻域语言 ) . 例2 ) , (n n y x → ) , (00y x ?0x x n →, 0y y n →, ) (∞→n .例3 设0P 为点集E 的一个聚点. 则存在E 中的点列} {n P , 使0lim P P n n =∞→. 四. 2R 中的完备性定理:1. Cauchy 收敛准则:先证{) , (n n y x }为Cauchy 列?} {n x 和} {n y 均为Cauchy 列.2. 闭集套定理: [1]P 89.3. 聚点原理: Weierstrass 聚点原理，列紧性.4. 有限复盖定理:五. 二元函数:1. 二元函数的定义、记法、图象：2. 定义域：例4 求定义域：ⅰ> ),(y x f 192222-+--=y x y x ; ⅱ> ),(y x f )1ln(ln 2+-=x y y . 3. 有界函数:4. n 元函数:Ex [1]P 92—93 1—8 .§2 二元函数的极限 ( 3 时 )一. 二元函数的极限:1. 二重极限A P f D P P P =∈→)(lim 0的定义: 也可记为),(lim ),(),(00y x f y x y x →A =或A y x f y y x x =→→),(lim 00例1 用“δε-”定义验证极限7)(lim 22)1,2(),(=++→y xy x y x .[1]P 94 E1.例2 用“δε-”定义验证极限 0lim 2220=+→→y x xy y x . 例3 设??=≠+-=).0,0(),( , 0),0,0(),( ,),(2222y x y x y x y x xy y x f证明0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .(用极坐标变换 ) [1]P 94 E2.Th 1 A P f DP P P =∈→)(lim 0?对D 的每一个子集E ,只要点0P 是E 的聚点,就有A P f E P P P =∈→)(lim 0. 推论1 设D E ?1,0P 是1E 的聚点.若极限)(lim 10P f E P P P ∈→不存在, 则极限)(lim 0P f DP P P ∈→也不存在. 推论2 设D E E ?21,,0P 是1E 和2E 的聚点.若存在极限1)(lim 10A P f E P P P =∈→,2)(lim 20A P f E P P P =∈→, 但21A A ≠,则极限)(lim 0P f DP P P ∈→不存在. 推论3 极限)(lim 0P f DP P P ∈→存在?对D 内任一点列} {n P ,0P P n →但0P P n ≠,数列)}({n P f 收敛 .2 方向极限:方向极限A y x f =+++→)sin , cos (lim 000θρθρρ的定义. 通常为证明极限)(lim 0P f P P →不存在,可证明沿某个方向的极限不存在,或证明沿某两个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关; 或沿两条特殊的路径的极限存在而不相等.但应注意, 沿任何方向的极限存在且相等?/ 二重极限存在( 以下例5 ).例4 设??=≠+=. )0,0(),( , 0),0,0(),( , ),(22y x y x y x xy y x f 证明极限),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在. (考虑沿直线kx y =的方向极限). [1]P 95 E3.例5 设+∞<<-∞<<=.,0,0,1),(2其余部分时，当x x y y x f 证明极限),(lim )0,0(),(y x f yx →不存在. [1]P 95 E4.二重极限具有与一元函数极限类似的运算性质.例6 求下列极限:ⅰ> )0,0(),(lim →y x 222yx y x +; ⅱ> )0,3(),(lim →y x y xy sin ; ⅲ> )0,0(),(lim →y x xy xy 11-+; ⅳ> )0,0(),(lim →y x 2222)1ln(yx y x +++. 3．极限),(lim),(),(00y x f y x y x →+∞=的定义: 其他类型的非正常极限，→),(y x 无穷远点的情况.例7 验证)0,0(),(lim →y x +∞=+22321yx . Ex [1]P 99—100 1⑴—⑹，4，5.二. 累次极限:1. 累次极限的定义: 定义.例8 设22),(yx xy y x f +=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限 . [1]P 97 E6. 例9 设2222),(yx y x y x f +-=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限 . 例10 设xy y x y x f 1sin 1sin ),(+=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限与二重极限. 2. 二重极限与累次极限的关系:⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等. ( 例9 )⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在.例如函数yx y x f 1sin ),(=在点) 0 , 0 (的情况 .⑶ 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在. (例10)⑷ 两个累次极限存在(甚至相等) ?/二重极限存在. ( 参阅例4和例8 ).综上, 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系.Th 2 若全面极限),(lim ),(),(00y x f y x y x →和累次极限),(lim lim0y x f y y x x →→(或另一次序)都存在,则必相等. ( 证 ) [1]P 98. 推论1 二重极限和两个累次极限三者都存在时, 三者相等.注: 推论1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.推论2 两个累次极限存在但不相等时, 全面极限不存在.注: 两个累次极限中一个存在,另一个不存在?/全面极限不存在. 参阅⑵的例.Ex [1]P 99 2§3 二元函数的连续性 (2 时 )一．二元函数的连续概念：由一元函数连续概念引入.1.2.连续的定义:定义用邻域语言定义连续.注: 函数),(y x f 有定义的孤立点必为连续点 .例1 设=++≠++=. 0 , 1, 0 , ),(2222222y x m m y x y x xy y x f证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (沿方向mx y =连续 .例1 设+∞<<∞-<<=., 0, ,0 , 1),(2其他x x y y x f ( [1]P 101)证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (不全面连续但在点) 0 , 0 (f 对x 和y 分别连续.2. 函数的增量: 全增量、偏增量.用增量定义连续性.3. 函数在区域上的连续性.4. 连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性. (仅证复合函数连续性[1]P102).二.一致连续性: 定义.三.四.有界闭区域上连续函数的性质:1.有界性与最值性. ( 证)2.3.一致连续性. ( 证)4.介值性与零点定理. ( 证)Ex [1]P104—105 1 ⑴—⑸，2，4，5.。

二重极限有关的常见问题及适用求解策略王成强【期刊名称】《《高师理科学刊》》【年(卷),期】2019(039)009【总页数】6页(P69-74)【关键词】大学数学; 重极限; 变式教学【作者】王成强【作者单位】成都师范学院数学学院四川成都 611130【正文语种】中文【中图分类】O171; G642.0二重极限理论是极限理论的重要组成部分，是大学数学多元函数理论的基础．在数学分析或者高等数学课程有关的教材[1-2]中，相比于数列极限与一元函数的极限（单重极限），多重极限的讲解相对粗浅许多．但需要指出的是，二重极限对大学数学的学习不仅重要，而且，对大部分本科学生来说，其学习也极其困难．一方面，学生容易受思维定式的影响．学生受到各类教材中大量的数列极限与单重极限例题与习题的“熏陶”，容易将处理数列极限与单重极限问题的思想、方法和技术等生搬硬套到二重极限问题上，从而得出关于二重极限错误的结论．另一方面，多维区域相较于一维区间有更为复杂的几何特性，这意味着二重极限本身就不是单重极限的简单推广，二重极限的学习及有关问题有其本质的困难．对二重极限的有关问题进行分门别类地系统讲解是非常有价值的．与二重极限有关的常见问题有“证否二重极限的存在性，用定义验证二重极限，计算二重极限，验证二元函数的连续性与可微性”，完全理解这４类问题可以加深学生对二重极限的理解．本文系统阐述二重极限的常见问题及求解策略，一般的重极限问题有完全对应的理论．解答“证否二重极限的问题”能很好地检验出学生对二重极限知识点的掌握情况．证否二重极限的存在性的适用策略主要包括基于定义证否命题的证否策略，基于归结原则的证否策略，基于二次极限的证否策略和基于特殊子集族的证否策略．例1（基于定义）讨论二重极限的存在性．解因为当，时，，故当时，函数不可能以（或）为极限．对于任意给定实数，验证当时，函数不可能以为极限．取,对于任意，只需取，（）或（）．可以验证，尽管，，但还是有．因此，当时，函数不可能以为极限．综上可知，二重极限不存在．例2（基于归结原则）讨论二重极限的存在性．解考虑两点列，．经计算，，，于是，由归结原则可知，不存在．例3（基于二次极限）讨论二重极限的存在性．解因，，故二重极限不存在．例4（基于特殊子集族）讨论二重极限的存在性．解因极限依赖于参数β，故二重极限不存在．注１例3和例4很好地反映出二重极限相比于单重极限更复杂的性质，与它们类似的问题得到了大量研究[3-4]．整理二重极限（，都是有理数，，；，是实数，，）的结论，主要结果为：当存在正有理数，，使得，时，若，则，若，则不存在；当不存在正有理数，，使得，成立时，不存在．基于定义验证二重极限的相关习题训练能帮助提升学生的数学基本功，加深对二重极限的理解，它的解答需要较好的逻辑思维能力与不等式放缩技术．例5（基于语言的验证）用定义验证．证法１对于任意，取．当，时，有．由二重极限的定义可知，．注２相比教材[1]而言，这里提供的解答策略的思路更加清晰：先是将表示成与的函数，然后将所得表达式的绝对值放缩成的线性分式，最后通过解方程“新得的线性分式”来找到．本策略在其它类型极限的语言验证问题中同样适用．证法１的证明过程中用到的是方形邻域，事实上也可以用圆形邻域．证法2 对于任意，取．当时，有．由二重极限的定义可知，．注3 除了某些特殊情形而言，二重极限的语言验证过程中，使用方形邻域比圆形邻域更便捷．例6（基于语言的验证）用定义验证．证明对于任意，取．当，时，有．由二重极限的定义可知，．3 二重极限的计算因平面点集具有更复杂的几何性质，二重极限的计算难度非常高，故包括研究生入学考试在内的各类考试常以二重极限的计算作为测量的载体，完成其甄别人才的目的．例7（先猜再证）计算二重极限．解先猜想出，然后用语言验证该结论．对于任意，取．当，时，有．由二重极限的定义可知，．注4 利用函数的连续性计算二重极限也是十分有效的解决问题的策略．利用连续函数观点计算二重极限不仅能提高解题效率，而且有益于揭示极限中的数学本质．例5中的函数连续，因此，自然有．对应于一元函数的初等函数，多元函数也可以有“初等函数”的概念：基本初等函数经过有限次四则运算、复合运算即是“初等函数”．与一元函数中的初等函数类似，多元函数中的“初等函数”在其定义域内连续，在除去“定义域边界”之外的定义域内是可微的．如二元函数是上的“初等函数”，的边界为空集，故在上连续且可微．在借助于连续性计算二重极限过程中，有时需要对所关注的问题进行适当的预处理．如在考虑二重极限过程中，首先应该注意到的是因式分解与，然后在分式中约去零因子得到“初等函数”，最后利用“初等函数”的连续性便可得．“约去零因子借助于连续性”这种策略在计算一元函数的极限时已经有广泛应用，在多重极限的计算领域也有巨大的应用价值．文献[5]以为例，阐释了“如果不是的连续点，则可先通过分子、分母有理化等方法使之变连续后再代值”．在极限的计算中，二元函数，有着独特的地位，函数在其定义域内连续．因此，当与同时存在时，由函数的连续性可知，当且，且，或且时，就是所谓的“”，“”或“”型未定式，取值需要借由来确定．需要说明的是，这里用到了指数函数的连续性．例8（基于迫敛性）计算二重极限．解对于任意，有，进而．由于，故由迫敛性可知，．例9 计算二重极限．解当时，有，由于，故由迫敛性可知，．例10 计算二重极限．解当时，有，由于，故由迫敛性可知，．例11 计算极限．解当，时，有，由于，故由迫敛性可知，．例12（基于等价无穷小量替换技术）计算二重极限．解由于，（），故．注5 与一元函数相似，可以定义多元函数意义的无穷小量．等价无穷小量在单重极限的计算过程中起着巨大的作用，事实上，它在多重极限的计算也非常重要．二重极限常用到的等价无穷小关系可表述为：设一元函数及在0的某去心邻域有定义，在定义域内，有，，并设（）．若定义在某去心邻域的二元函数满足条件“在其定义域内有，且”，则．注6 等价无穷小量替换技术在证否二重极限的存在性过程中也有重要应用．如因极限不存在，借助于（），可证明极限不存在．例13 计算．解因当时，与为无穷小量，与为有界量，故与都是无穷小量，故其和也为无穷小量，即．注7 二重极限的计算还有很多其它类型策略，如极坐标法．但因这些方法的可替换性太强，它们的详细阐述在这里从略．4 验证二元函数的连续性和可微性例14 讨论函数在点处的可微性．解因，故在点处连续，可验证．考虑到，故函数在点处可微．5 结束语本文所选例题都来自于大学数学各类教材、教学类学术论文[6-10]以及研究生入学考试试题，它们都非常经典，而且在二重极限领域极具代表性．教学过程中，适时地向学生介绍这些例题，必定能让课堂教学的质量得到显著提高．Common problems and the usefull solving strategies concerning double limitsWANG Cheng-qiang（School of Mathematics，Chengdu Normal University，Chengdu 611130，China）Abstract：Explains systematically four common problems for double limit，these problems includes the disproof of the existence of the double limit，the proof of the double limit based on definition，the calculation of the double limit and the justification of the continuity and differentiability of binary functions．Designs correspondingly problem-solving strategies for each type of problem，with a desire to bring in more thinking in the direction of teaching and learning double limit．Key words：college mathematics；double limit；variant problem teaching 中图分类号：O171∶G642.0文献标识码：Ａdoi：10.3969/j.issn.1007-9831.2019.09.018文章编号：1007-9831（2019）09-0069-06收稿日期：2019-03-20基金项目：国家自然科学基金项目（11701050，11571244）；四川省教育厅项目（18ZB0098）；成都师范学院校级培育项目（CS18ZD07）；成都师范学院校级教改项目（2017JG13）作者简介：王成强（1985-），四川武胜人，副教授，博士，从事数学控制论与数学教育研究．E-mail：******************注3 除了某些特殊情形而言，二重极限的语言验证过程中，使用方形邻域比圆形邻域更便捷．例6（基于语言的验证）用定义验证．证明对于任意，取．当，时，有．由二重极限的定义可知，．3 二重极限的计算因平面点集具有更复杂的几何性质，二重极限的计算难度非常高，故包括研究生入学考试在内的各类考试常以二重极限的计算作为测量的载体，完成其甄别人才的目的．例7（先猜再证）计算二重极限．解先猜想出，然后用语言验证该结论．对于任意，取．当，时，有．由二重极限的定义可知，．注4 利用函数的连续性计算二重极限也是十分有效的解决问题的策略．利用连续函数观点计算二重极限不仅能提高解题效率，而且有益于揭示极限中的数学本质．例5中的函数连续，因此，自然有．对应于一元函数的初等函数，多元函数也可以有“初等函数”的概念：基本初等函数经过有限次四则运算、复合运算即是“初等函数”．与一元函数中的初等函数类似，多元函数中的“初等函数”在其定义域内连续，在除去“定义域边界”之外的定义域内是可微的．如二元函数是上的“初等函数”，的边界为空集，故在上连续且可微．在借助于连续性计算二重极限过程中，有时需要对所关注的问题进行适当的预处理．如在考虑二重极限过程中，首先应该注意到的是因式分解与，然后在分式中约去零因子得到“初等函数”，最后利用“初等函数”的连续性便可得．“约去零因子借助于连续性”这种策略在计算一元函数的极限时已经有广泛应用，在多重极限的计算领域也有巨大的应用价值．文献[5]以为例，阐释了“如果不是的连续点，则可先通过分子、分母有理化等方法使之变连续后再代值”．在极限的计算中，二元函数，有着独特的地位，函数在其定义域内连续．因此，当与同时存在时，由函数的连续性可知，当且，且，或且时，就是所谓的“”，“”或“”型未定式，取值需要借由来确定．需要说明的是，这里用到了指数函数的连续性．例8（基于迫敛性）计算二重极限．解对于任意，有，进而．由于，故由迫敛性可知，．例9 计算二重极限．解当时，有，由于，故由迫敛性可知，．例10 计算二重极限．解当时，有，由于，故由迫敛性可知，．例11 计算极限．解当，时，有，由于，故由迫敛性可知，．例12（基于等价无穷小量替换技术）计算二重极限．解由于，（），故．注5 与一元函数相似，可以定义多元函数意义的无穷小量．等价无穷小量在单重极限的计算过程中起着巨大的作用，事实上，它在多重极限的计算也非常重要．二重极限常用到的等价无穷小关系可表述为：设一元函数及在0的某去心邻域有定义，在定义域内，有，，并设（）．若定义在某去心邻域的二元函数满足条件“在其定义域内有，且”，则．注6 等价无穷小量替换技术在证否二重极限的存在性过程中也有重要应用．如因极限不存在，借助于（），可证明极限不存在．例13 计算．解因当时，与为无穷小量，与为有界量，故与都是无穷小量，故其和也为无穷小量，即．注7 二重极限的计算还有很多其它类型策略，如极坐标法．但因这些方法的可替换性太强，它们的详细阐述在这里从略．4 验证二元函数的连续性和可微性例14 讨论函数在点处的可微性．解因，故在点处连续，可验证．考虑到，故函数在点处可微．5 结束语本文所选例题都来自于大学数学各类教材、教学类学术论文[6-10]以及研究生入学考试试题，它们都非常经典，而且在二重极限领域极具代表性．教学过程中，适时地向学生介绍这些例题，必定能让课堂教学的质量得到显著提高．Common problems and the usefull solving strategies concerning double limitsWANG Cheng-qiang（School of Mathematics，Chengdu Normal University，Chengdu 611130，China）Abstract：Explains systematically four common problems for double limit，these problems includes the disproof of the existence of the double limit，the proof of the double limit based on definition，the calculation of the double limit and the justification of the continuity and differentiability of binary functions．Designs correspondingly problem-solving strategies for each type of problem，with a desire to bring in more thinking in the direction of teaching and learning double limit．Key words：college mathematics；double limit；variant problem teaching 中图分类号：O171∶G642.0文献标识码：Ａdoi：10.3969/j.issn.1007-9831.2019.09.018文章编号：1007-9831（2019）09-0069-06收稿日期：2019-03-20基金项目：国家自然科学基金项目（11701050，11571244）；四川省教育厅项目（18ZB0098）；成都师范学院校级培育项目（CS18ZD07）；成都师范学院校级教改项目（2017JG13）作者简介：王成强（1985-），四川武胜人，副教授，博士，从事数学控制论与数学教育研究．E-mail：******************因平面点集具有更复杂的几何性质，二重极限的计算难度非常高，故包括研究生入学考试在内的各类考试常以二重极限的计算作为测量的载体，完成其甄别人才的目的．例7（先猜再证）计算二重极限．解先猜想出，然后用语言验证该结论．对于任意，取．当，时，有．由二重极限的定义可知，．注4 利用函数的连续性计算二重极限也是十分有效的解决问题的策略．利用连续函数观点计算二重极限不仅能提高解题效率，而且有益于揭示极限中的数学本质．例5中的函数连续，因此，自然有．对应于一元函数的初等函数，多元函数也可以有“初等函数”的概念：基本初等函数经过有限次四则运算、复合运算即是“初等函数”．与一元函数中的初等函数类似，多元函数中的“初等函数”在其定义域内连续，在除去“定义域边界”之外的定义域内是可微的．如二元函数是上的“初等函数”，的边界为空集，故在上连续且可微．在借助于连续性计算二重极限过程中，有时需要对所关注的问题进行适当的预处理．如在考虑二重极限过程中，首先应该注意到的是因式分解与，然后在分式中约去零因子得到“初等函数”，最后利用“初等函数”的连续性便可得．“约去零因子借助于连续性”这种策略在计算一元函数的极限时已经有广泛应用，在多重极限的计算领域也有巨大的应用价值．文献[5]以为例，阐释了“如果不是的连续点，则可先通过分子、分母有理化等方法使之变连续后再代值”．在极限的计算中，二元函数，有着独特的地位，函数在其定义域内连续．因此，当与同时存在时，由函数的连续性可知，当且，且，或且时，就是所谓的“”，“”或“”型未定式，取值需要借由来确定．需要说明的是，这里用到了指数函数的连续性．例8（基于迫敛性）计算二重极限．解对于任意，有，进而．由于，故由迫敛性可知，．在极限的计算中，二元函数，有着独特的地位，函数在其定义域内连续．因此，当与同时存在时，由函数的连续性可知，当且，且，或且时，就是所谓的“”，“”或“”型未定式，取值需要借由来确定．需要说明的是，这里用到了指数函数的连续性．例8（基于迫敛性）计算二重极限．解对于任意，有，进而例9 计算二重极限．解当时，有，由于，故由迫敛性可知，．例10 计算二重极限．解当时，有，由于，故由迫敛性可知，．例11 计算极限．解当，时，有，由于，故由迫敛性可知，．例12（基于等价无穷小量替换技术）计算二重极限．解由于，（），故．注5 与一元函数相似，可以定义多元函数意义的无穷小量．等价无穷小量在单重极限的计算过程中起着巨大的作用，事实上，它在多重极限的计算也非常重要．二重极限常用到的等价无穷小关系可表述为：设一元函数及在0的某去心邻域有定义，在定义域内，有，，并设（）．若定义在某去心邻域的二元函数满足条件“在其定义域内有，且”，则．注6 等价无穷小量替换技术在证否二重极限的存在性过程中也有重要应用．如因极限不存在，借助于（），可证明极限不存在．例13 计算．解因当时，与为无穷小量，与为有界量，故与都是无穷小量，故其和也为无穷小量，即．注7 二重极限的计算还有很多其它类型策略，如极坐标法．但因这些方法的可替换性太强，它们的详细阐述在这里从略．例14 讨论函数在点处的可微性．解因，故在点处连续，可验证．考虑到，故函数在点处可微．本文所选例题都来自于大学数学各类教材、教学类学术论文[6-10]以及研究生入学考试试题，它们都非常经典，而且在二重极限领域极具代表性．教学过程中，适时地向学生介绍这些例题，必定能让课堂教学的质量得到显著提高．【相关文献】[1] 华东师范大学数学系．数学分析（下册）[M]．4版．北京：高等教育出版社，2010[2] 同济大学数学系．高等数学[M]．6版．北京：高等教育出版社，2007[3] 马文雅，王亚伟，禹仁贵．一类有理函数式的二重极限探析[J]．高等数学研究，2018，21（2）：56-58[4] 刘颖，陈逸藻．一类二重极限的存在性探讨[J]．高等数学研究，2017，20（1）：19-22[5] 熊允发，管涛．浅析求二元函数极限的几种方法[J]．中国人民公安大学学报：自然科学版，2018（1）：98-100[6] 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]．北京：高等教育出版社，2006[7] 冯英杰，李丽霞．二元函数极限的求法[J]．高等数学研究，2003，6（1）：32-33[8] 景慧丽．极限求解方法研究[J]．哈尔滨师范大学自然科学学报，2015，3 1（5）：16-22[9] 张雅平．二重极限的几种求法[J]．雁北师范学院学报，2005（2）：65-67[10] 祝清顺，刘媛．二元函数极限不存在的三种判断方法[J]．河南教育学院学报：自然科学版，2013，22（1）：20-22。

第六章多元函数微积分（上）本章将复习多元函数微积分学中数学一、二、三、四共同要求的内容，有利于大家的复习和把握。

同时分散了数学一的难点，复习条理更加清晰。

第一节多元函数微分学多元函数微分学是一元函数微分学的推广与发展。

复习这部分内容时，要对二者加以比较，既要注意一元函数与多元函数在基本概念、理论和方法上的共同点，更要注意它们之间的区别。

【大纲内容】多元函数的概念；二元函数的几何意义；二元函数的极限和连续的概念；有界闭区域上多元连续函数的性质；多元函数偏导数和全微分；全微分存在的必要条件和充分条件；多元复合函数、隐函数的求导法；二阶偏导数；多元函数极值和条件的概念；多元函数极值的必要条件；二元函数极值的充分条件；极值的求法；拉格朗日乘数法；多元函数的最大值、最小值及其简单应用。

数学一要求了解二元函数的二阶泰勒公式，而数学二、三、四不要求。

【大纲要求】要理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义；了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质；理解偏导数和全微分的概念。

在方法上，要掌握复合函数偏导数的求法；会求全微分；会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；了解二元函数的二阶泰勒公式（数学二、三、四不要求）。

在应用方面，理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，解决一些简单的最大最小值应用问题。

【考点分析】应用链锁规则求多元复合函数的偏导数问题，是考试的一个重点。

另一个考试重点是求多元函数的条件极值和无条件极值。

一、多元函数微分学的基本概念及其关系定义1 设二元函数的某心邻域内有定义，如果动点f（x,y）以任何方式无限趋于点总是无限趋于一个常数A，则称当时，。

定义2 如果连续。

如果f（x,y）在区域D上每一点都连续，则称f（x,y）在区域D上连续。

定理1 最大值和最小值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。

《数学分析》(三)――参考答案及评分标准一。

计算题(共8题,每题9分,共７２分)。

1.求函数11(,)f x y y x =在点(0,0）处的二次极限与二重极限。

解：11(,)f x y y x =+=,因此二重极限为。

……（4分）因为011x y x →+与011y y x→+均不存在，故二次极限均不存在。

……(9分)2. 设(),()y y x z z x =⎧⎨=⎩ 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+⎧⎨=⎩所确定的隐函数，其中和分别具有连续的导数和偏导数，求dzdx．解: 对两方程分别关于求偏导：, ……（4分）。

解此方程组并整理得()()()()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '⋅+++-='++。

……（9分）3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程222z z zz x x y x ∂∂∂++=∂∂∂∂。

设,,22y x y x y w ze μν+-=== (假设出现的导数皆连续)。

解：看成是,x y 的复合函数如下:,(,),,22y w x y x yz w w e μνμν+-====。

……（４分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν.整理得:2222w ww μμν∂∂+=∂∂∂. ……（９分)4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省？ 解: 设圆桶底面半径为,高为，则原问题即为:求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数: 222S rh r ππ=+表,()()(1)0x yz dzdy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ⎧'=++++⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩约束条件： 21r h π=。

……（３分）构造Ｌa ｇra ｎge 函数:22(,,)22(1)F r h rh r r h λππλπ=++-。