20 第二章 小波多尺度边缘检测
§1 多尺度边缘检测的基本原理
大多数多尺边缘检测器都是在不同的尺度平滑信号，然后由其一阶或二阶导数检测锐变点，所谓尺度实际上是计算信号变化的范围。
平滑函数)(x θ：其积分等于1，且当±∞→x 时速降至零，例如高斯函数，平滑函数)(x θ的一阶、二阶导数分别为
22)()(,)()(dx x d x dx x d x b a
θψθψ== (2·1) 显然，)(ˆ)(ˆωθωωψ
j a =,)(ˆ)()(ˆ2ωθωωψj b =，由于1)0(ˆ=θ故)0(ˆa ϕ和)0(ˆb ϕ均为零，从而)(ˆx a ψ
和)(ˆx b ψ都是满足允许条件的小波。 在本章以后的讨论中，)(x s ξ表示将)(x ξ按尺度s 伸缩的同时保持面积不变，即
)(1)(s
x s x s ξξ∆ (2·2)
将小波变换定义为信号)(x f 与)(x a s ψ和)(x b s ψ的卷积积分，即 ⎰∞
∞--=*=ττψτψd s x f s x f x f w a a s a s )()(1)()( (2·3) ⎰∞∞--=*=ττψτψd s
x f s x f x f w b b s b s )()(1)()( (2·4) 由此可以导出如下重要结论
)()()(s s a s f dx d s dx d s
f x f w θθ*=*= (2·5) )()()(222222s s b
s f dx
d s dx d s f x f w θθ*=*= (2·6) 由上列两式可以看到，边缘检测可以通过小波变换来实现，边缘实际上是一阶导数的极
值点,即二阶导数的过零点，也就是说，我们可以通过寻找)(x f w a s 的极值点或)(x f w b s 的过零点来确定边缘的位置，但是，下面我们将会看到，通过分析)(x f w a s 的极大值和尺
度s 的关系，进而确定边缘的性质，故寻找一阶导数的极值点较寻找二阶导数过零点的方法会获得更多关于边缘的信息。
为了定量地描述一个函数的奇异性，我们首先引入Lipschitz 指数的定义。
21 定义：令10≤≤α，当且仅当对任意的210),(),(b a x x ∈，总有在一个常数k ，使
α1010)()(x x k x f x f -≤- (2·7) 我们称)(x f 在区间),(b a 是一致Lipschitz α，α的上界值称为Lipschitz 指数。
不难理解，如)(x f 在0x 点可微，则其Lipschitz 指数至少为1。实际上，Lipschitz 指数越大，函数越光滑。如)(x f 在0x 点不连续但在0x 的邻域有界，则其Lipschitz 指数为0。我们也可以将Lipschitz 指数推广到为负数的情况：如)(x f 的原函数在0x 点的Lipschitz 指数为α，则它在该点的Lipschitz 指数为1-α，例如)(0x δ的原函数在0x 为一单位阶跃，其Lipschitz 指数为0，故)(0x δ的Lipschitz 指数为－1。
下面，我们要将Lipschitz 指数和小波变换联系起来。
定理：令10≤≤α，当且仅当对任意的),(b a x ∈，总存在一个常数0>k ，使
αks x f w s ≤)( (2·8) 则函数)(x f 在区间),(b a 是一致Lipschitz α
(2·8)式可以写为
s k x f w s l o g l o g )(l o g α+≤ (2·9) 前面我们已经指出，)(x f w s 的极大值点指明了边缘的位置，那么边缘的性质如何呢？由上式可以看到,小波变换模的极大值是随尺度s 而变化的,如按对数取值,)(log x f w s 与s log 具有线性关系，它们之间的比例系数(直线的斜率)即为Lipschitz 指数。 §2 二进小波变换
我们已经学习过小波级数,那时是将小波变换中的伸缩参数和平移参数都离散化,而二进小波变换只是将(2·3)和(2·4)式中的尺度参数离散化为2的整次幂,即Z j s j ∈=,2,类似于(2·2)式，)(x j ψ表示将)(x ψ作二进伸缩的同时保持其面积不变,即
Z j x x j j j ∈=,)2
(21)(ψψ (2·10) 类似于(2·3)和(2·4)式，尺度为j 2时的小波变换为
ττψτψd x f x f x f w j R j j j )2
()(21
)()(-=*=⎰ (2·11) 而二进小波变换是所有尺度时小波变换的总体，即
{}Z j x f w wf j ∈=,)( (2·12) 上式中w 为二进小波变换算子。
下面我们介绍如何从信号的二进小波变换重构信号，较深入的讨论将在框架理论
22 中，为了能从二进小波变换重构信号，或者说，信号的二进小波变换并未丢失信号的信息，则)(x ψ必须满足如下充分必要条件：存在两个正数，使得下列不等式成立
∑∞
-∞=∈∀≤≤j j R B A ωωψ,)2(ˆ2
(2·13) 由(2·11)式可以得到
)2()(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆωψωωψωωj j j f f f w
== (2·14) 也就是说，)(x f w j 相当于信号通过一个带通滤波器，所以二进小波变换相当于信号通过中心频率和带宽不同的带通滤波器组，而(2·13)将确保带通滤波器组覆盖整个频率轴，从而不丢失)(x f 的信息，利用Parseval 定理，从(2·13)和(2·14)可导出(2·13)的等价表达式
∑∞
-∞=≤≤
j j f B x f w f A 2
22)( (2·15) 上述不等式不仅确保二进小波变换是完备的(可以从二进小波变换重构信号)，而且是稳定的(重构公式将有很好的收敛性)，A B /越接近1，稳定性越好。
在小波级数中，由于)(x ψ经二进伸缩和整数平移后构成正交基，所以在进行分解和重构时都是使用同样的小波函数族，以后我们学习框架理论时将会看到，完全可以放松正交性的要求，但这时分解和重构时将使用不同的小波函数族，设二进小波变换的重构小波为)(x χ，其傅里叶变换必须满足如下条件
∑∞
-∞
==j j j 1)2(ˆ)2(ˆωχωψ (2·16) 重构小波)(ωχ经二进伸缩形成的函数族⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈=
Z j x x j j j ,)2(21)(χχ将按下式重构信号 ∑∞-∞=*=j j j x f w x f )()(χ (2·17)
上列重构公式很容易证明，将上式取傅里叶变换，并将(2·14)代入，同时引用重构小波条件式(2·16)，便可证明(2·17)的正确性，需要指出的是，满足(2·16)式的重构小波将会有无穷多个。和在MRA 的Mallat 算法一样，在数字应用中，输入信号是按有限分辨率测得，因而计算任意精细尺度的小波变换是没有意义的，同样的，我们也将输入信号和尺度2°对应起来，为此，我们引入一个实函数)(x φ，其傅里叶变换为
∑∞==1
2)2(ˆ)2(ˆ)(ˆj j
j ωχωψωφ (2·18)
