1
课题名称
24.2.2垂径分弦
课时安排 1 备课教师 时 间
教
学
目
标 1.探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质；
2.能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．
3.在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程。
4.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神．
教学重点 垂直于弦的直径所具有的性质以及证明
教学难点 利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．
教学方法
教学资源
教学过程设计
教学过程 教师活动 学生活动 修改意见
1．创设情境，导入新知
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 .4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为
7.2 m，求赵州桥主桥拱的半径（精确到 0.1 m）．
2.探究新知
1.在纸上任意画一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，你发现了什么？(圆是轴对称图形，对学生动手画图 2 称轴是任意一条过圆心的直线。)
强调： 1.圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴. 2.圆的对称轴有无数条.
2.你能叠出一条与直径互相垂直的弦吗？
3.获得新知
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
定理的几何语言(注意规范)
3
4.利用新知 问题回解
达标训练
1. 如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm。求圆心O到弦AB的距离。
2.如图，⊙O的半径为6cm，弦AB为6cm。求圆心O到弦AB的距离。
3. 如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为8cm。求圆心O到弦AB的距离。
变式训练
⊙O的半径为5cm，弦AB∥弦CD，AB=6cm，
CD=8cm。求AB与CD的距离。(分类讨论)
能力提升：如图,M为⊙O内的一点
24.2垂径定理（教案）-河北省定州市东南宋初级中学人教版数学九年级上册
一、教学内容
本节课选自人教版数学九年级上册第24章“圆”中的24.2节“垂径定理”。教学内容主要包括以下两点：
1. 垂径定理：通过直观演示和几何证明，使学生理解和掌握垂径定理的内容，即在圆中，由半径垂直于弦所得到的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
2. 垂径定理的应用：通过典型例题和练习题，使学生掌握垂径定理在解决与圆相关的问题中的应用，如求圆的半径、直径、弧长等。涉及的题型包括选择题、填空题和解答题。
本节课将结合实际例题，让学生在掌握垂径定理的基础上，提高解决问题的能力，为后续学习圆的相关知识打下坚实基础。
二、核心素养目标
1. 培养学生的几何直观能力：通过观察、操作、探究等教学活动，使学生掌握垂径定理的内涵及其在解决几何问题中的应用，提高学生对几何图形的认识和处理能力。
2. 提升学生的逻辑推理能力：在教学过程中，引导学生通过严密的几何证明来理解垂径定理，培养学生逻辑思维和推理能力，为学习更高层次的数学知识奠定基础。
3. 增强学生的问题解决能力：通过设计不同难度的例题和练习题，使学生能够运用垂径定理解决实际问题，培养他们分析问题、解决问题的能力。
4. 培养学生的数学抽象素养：让学生从具体的几何图形中抽象出垂径定理这一数学规律，培养学生从形象思维向抽象思维过渡的能力。
5. 培养学生的合作交流能力：在小组讨论和交流过程中，鼓励学生发表自己的观点，倾听他人的意见，提高学生的团队协作能力和沟通能力。
三、教学难点与重点
1. 教学重点
- 垂径定理的理解：本节课的核心是使学生深入理解垂径定理的内容，即半径垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。教师应通过直观演示、图示分析和几何证明等方式，让学生从多个角度把握这一重点内容。
- 垂径定理的应用：重点训练学生运用垂径定理解决实际问题的能力，包括但不限于求圆的半径、直径、弧长等。教师需通过典型例题，如圆中的角度问题、弧长计算等，强化学生对定理应用的掌握。
AOBCDE24.1.2 垂直于弦的直径
课题 垂直于弦的直径（第一课时） 备课时间 2009-8-4
课型 新授课 上课时间
教
学
目
标 知识与技能 1. 研究圆的对称性,掌握垂径定理及其推论.
2. 学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题。
过程与方法 经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法。
情感态度价值观 在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识。
教学重点 垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。
教学难点 垂径定理及其推论的运用。
教具 圆形纸张、圆规、直尺、多媒体课件
教
学
过
程 问题与情境 师生行为 备注与修改
创设情境导入新课 1. 将你手中的圆沿圆心对折，你会发现圆是一个什么图形？
2. 将手中的圆沿直径向上折，你会发现折痕是圆的一条弦，这条弦被直径怎样了？
3. 一个残缺的圆形物件，你能找到它的圆心吗？
4. 赵州桥是我国古代桥梁史的骄傲，我们能求出主桥拱的半径吗？ 前两个问题可以由学生动手操作，并观察结果，得到初步结论。
后两个问题作为问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生进一步的学习。
合作交流探究新知 1. 圆的对称性
（探究）圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？
2. 垂径定理
（思考）如图 ：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足E。
① 这个图形是对称图形吗
② 你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说明理由。
③ 你能用一句话概括这些结论吗？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 圆的对称性由学生发现并总结，教师进行板书。
教师循序渐进地将一个个的问题抛出，引导学生一步步地进行思考和总结，师生一起总结垂径定理并板书。
学生小组讨论，发现垂径定理的证明方法，并由学生代表发言。
学生尝试将文字转变为符号语言，用几何符号表达定理的逻辑关系。教师更正并
1 永宁中学九年级数学（上）导学案
备课组长： 教研组长： 教科室：
课题 垂径定理 第 1 课时 共3 课时 设计人 唐伟文
学习目标：1、探究垂径定理及推论； 2、会用符号语言描述垂径定理。
学习重点：
探究垂径定理及推论 、
学习过程：
一、知识点回顾（知识准备）：
圆的对称性：
二、探究新知：
如图：AB是圆形纸片的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。沿CD对折纸片，发现：
① 这个图形是对称图形吗
② 图中有哪些相等的线段和弧请说明理由。
③ 你能用一句话概括这些结论吗
垂直于弦的直径______________________________(垂径定理)
④ 你能用符号语言表达这个结论吗
符号语言：
∵CD为⊙O的直径，且CD⊥AB于E
∴_____________，__________________，________________
⑤ 由对折以上纸片我们还进一步发现：
平分弦（不是直径）的直径__________于弦，并_________弦所对的两条弧(垂径定理推论)
符号语言：
∵CD为⊙O的直径，且AE = BE
∴_____________，__________________，_______________ 三、教师引导：
垂径定理的题设和结论关系较复杂，从以上探究我们可进一步将其并归结为：一条直线（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。
垂径定理就是满足条件（1）、（2）而推出其他结论；推论是满足条件（1）、（3）而推出其他结论。
