BADC弓弓弓 弓←→（2）垂直于弦的直径自学案
课型：新课 主备人：吴剑红 学生姓名： 家长签字：
【教学目标】
①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性
②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的计算与证明问题
③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段.
【教学重点】垂径定理及其应用
【教学难点】垂径定理的证明
【教学方法】探究发现法
【教学设计】
一、【情景创设】
1．实例：我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。
（图1）
2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，）为米。请问：桥拱的半径（即AB所在圆的半径）是多少
通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。
二、【自主探究】
活动一：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么由此你能得到什么结论
可以发现
活动二：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
你能发现图中有那些相等的线段和弧为什么
线段 弧
理由：如图
DCEOBA垂径定理(第2课时)
课题 垂径定理(第2课时) 备课时间 第9周1课时
课型 习题提高课 执教时间
教
学
目
标 知识与技能 1. 进一步探索和掌握垂径定理的推论,明确理解“知二得三”的意义.
2. 利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题
过程与方法 1. 经历观察、思考、推理和论证等过程，探索垂径定理的推论。
2. 在利用垂径定理解决数学问题的过程中，注意运用迁移和数形结合等数学思想与方法。
情感态度价值观 学生在探索的过程中，体会学习的快乐，进一步体会数学的应用性，培养学生的创新意识。
教学重点 垂径定理的推论
教学难点 垂径定理及推论的应用
教具
教
学
过
程 问题与情境 师生行为 备注与修改
示标导学 1. 一节课学习的垂径定理及推论的内容是什么？你能结合图形利用符号语言来说明吗？
2. 在垂径定理及其推论中，条件有几个，结论有几个？你知道知二得三的含义吗？
3. 如图，若AB是⊙O中的一条弦，而另一条弦CD是它的垂直平分线，则CD过圆心，即是否是这个圆的直径？如何说明。 问题1复习上节课所学，主要由教师提出问题，学生回顾后进行回答。
问题2由学生思考后进行总结和体会。
问题3由教师提出，学生思考，教师并不急于得到答案，只是作为问题情境，引出本节课的内容。
自学解疑 1. 垂径定理的其它推论
（1） 如上图，若弦CD垂直平分另一条弦AB，则是否可以根据圆的对称性得到，BC是圆的直径？且CD是否平分弦所对优弧和劣弧？
（2） 如果条件为CD平分AB所对的优弧和劣弧，则CD是直径吗？CD平分且垂直于弦AB吗？
（3） 根据“知二得三”规律，你还能变化出结合刚才得出的问题，教师引导学生利用圆的对称性来解决问题1。
可以继续利用对称性来解释问题2。
教师循序渐进提出问题3，引导学生进行思考。
教学反思：
“垂直于弦的直径”是圆的重要性质之一，也是全章的基础之一，在整章中占有举足轻重的地位是今后研究圆与其他图形位置关系和数量关系的基础，这些知识在日常生活和生产中有广泛的应用，由于垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，因此，它是整节书的重点，由于垂径定理的题设和结论都较复杂，因此，理解和证明定理是本节课的难点，在教学中也是一节较难把握的课。
月_ _日 星期_ _ 第 周
课 题 27.3（2） 垂径定理 课 型 新授 教 时 1
教 学
目 标 1.经历垂径定理推论的探究过程，体会分类讨论数学思想；
2.能初步运用垂径定理及其推论解决有关数学问题.
重 点 垂径定理及其推论的初步运用．
难 点 垂径定理推论的探究.
教具准备 多媒体课件
教 学 过 程
教师活动 学生活动
一、复习引入
已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，AB长5cm，AB长6cm，则AE＝＿＿＿cm，AD＝＿＿＿cm
设问：垂径定理的条件与结论分别是什么？
垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧.
条件是：①一条直径②垂直于弦.
结论是：这条直径③平分弦④平分弦所对的弧（优弧和劣弧）.
二、定理探究
问题1 如图1，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），CD与AB交于点E.
（1）如果AE=BE，那么CD与AB垂直吗？
（2）如果弧AD=弧BD，那么CD与AB垂直吗？
归纳得出结论：
（1）如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧.
（2）如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦.
符号语言：
（1）∵CD是⊙O的直径 ， AE＝BE.
∴CD⊥AB， AD＝BD， AC＝BC.
（2）∵CD是⊙O的直径， AD＝BD（或AC＝BC）.
∴CD⊥AB ，AE＝BE.
在圆中，圆心到弦的两个端点的距离都等于圆的半径.由线段垂直平分线定理的逆定理，可知圆心一定在弦的垂直平分线上.
完成填空
复习垂径定理的内容
思考问题，猜想结论并
口述证明过程
理解并熟记垂径定理的推论
口述定理的符号语言
于是得到：
O
E
AOBCDE24.1.2 垂直于弦的直径
课题 垂直于弦的直径（第一课时） 备课时间 2009-8-4
课型 新授课 上课时间
教
学
目
标 知识与技能 1. 研究圆的对称性,掌握垂径定理及其推论.
2. 学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题。
过程与方法 经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法。
情感态度价值观 在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识。
教学重点 垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。
教学难点 垂径定理及其推论的运用。
教具 圆形纸张、圆规、直尺、多媒体课件
教
学
过
程 问题与情境 师生行为 备注与修改
创设情境导入新课 1. 将你手中的圆沿圆心对折，你会发现圆是一个什么图形？
2. 将手中的圆沿直径向上折，你会发现折痕是圆的一条弦，这条弦被直径怎样了？
3. 一个残缺的圆形物件，你能找到它的圆心吗？
4. 赵州桥是我国古代桥梁史的骄傲，我们能求出主桥拱的半径吗？ 前两个问题可以由学生动手操作，并观察结果，得到初步结论。
后两个问题作为问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生进一步的学习。
合作交流探究新知 1. 圆的对称性
（探究）圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？
2. 垂径定理
（思考）如图 ：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足E。
① 这个图形是对称图形吗
② 你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说明理由。
③ 你能用一句话概括这些结论吗？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 圆的对称性由学生发现并总结，教师进行板书。
教师循序渐进地将一个个的问题抛出，引导学生一步步地进行思考和总结，师生一起总结垂径定理并板书。
学生小组讨论，发现垂径定理的证明方法，并由学生代表发言。
学生尝试将文字转变为符号语言，用几何符号表达定理的逻辑关系。教师更正并
