AOBCDE24.1.2 垂直于弦的直径
课题 垂直于弦的直径（第一课时） 备课时间 2009-8-4
课型 新授课 上课时间
教
学
目
标 知识与技能 1. 研究圆的对称性,掌握垂径定理及其推论.
2. 学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题。
过程与方法 经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法。
情感态度价值观 在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识。
教学重点 垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。
教学难点 垂径定理及其推论的运用。
教具 圆形纸张、圆规、直尺、多媒体课件
教
学
过
程 问题与情境 师生行为 备注与修改
创设情境导入新课 1. 将你手中的圆沿圆心对折，你会发现圆是一个什么图形？
2. 将手中的圆沿直径向上折，你会发现折痕是圆的一条弦，这条弦被直径怎样了？
3. 一个残缺的圆形物件，你能找到它的圆心吗？
4. 赵州桥是我国古代桥梁史的骄傲，我们能求出主桥拱的半径吗？ 前两个问题可以由学生动手操作，并观察结果，得到初步结论。
后两个问题作为问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生进一步的学习。
合作交流探究新知 1. 圆的对称性
（探究）圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？
2. 垂径定理
（思考）如图 ：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足E。
① 这个图形是对称图形吗
② 你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说明理由。
③ 你能用一句话概括这些结论吗？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 圆的对称性由学生发现并总结，教师进行板书。
教师循序渐进地将一个个的问题抛出，引导学生一步步地进行思考和总结，师生一起总结垂径定理并板书。
学生小组讨论，发现垂径定理的证明方法，并由学生代表发言。
学生尝试将文字转变为符号语言，用几何符号表达定理的逻辑关系。教师更正并
1 永宁中学九年级数学（上）导学案
备课组长： 教研组长： 教科室：
课题 垂径定理 第 1 课时 共3 课时 设计人 唐伟文
学习目标：1、探究垂径定理及推论； 2、会用符号语言描述垂径定理。
学习重点：
探究垂径定理及推论 、
学习过程：
一、知识点回顾（知识准备）：
圆的对称性：
二、探究新知：
如图：AB是圆形纸片的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。沿CD对折纸片，发现：
① 这个图形是对称图形吗
② 图中有哪些相等的线段和弧请说明理由。
③ 你能用一句话概括这些结论吗
垂直于弦的直径______________________________(垂径定理)
④ 你能用符号语言表达这个结论吗
符号语言：
∵CD为⊙O的直径，且CD⊥AB于E
∴_____________，__________________，________________
⑤ 由对折以上纸片我们还进一步发现：
平分弦（不是直径）的直径__________于弦，并_________弦所对的两条弧(垂径定理推论)
符号语言：
∵CD为⊙O的直径，且AE = BE
∴_____________，__________________，_______________ 三、教师引导：
垂径定理的题设和结论关系较复杂，从以上探究我们可进一步将其并归结为：一条直线（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。
垂径定理就是满足条件（1）、（2）而推出其他结论；推论是满足条件（1）、（3）而推出其他结论。
24.1.2垂径定理练习题
一、选择题
1、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（ ）
A、CM=DM B、∠ACB=∠ADB C、AD=2BD D、∠BCD=∠BDC
2、下面四个判断中正确的是（ ）
A、过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有最长的弦，没有最短的弦
B、过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有最短的弦，没有最长的弦 1题图
C、过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有且只有一条最长的弦，也有且只有一条最短的弦
D、过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，既没有最长的弦，也没有最短的弦
3、下列语句中正确的个数是（ ）
①矩形的四边中点在同一个圆上； ②菱形的四边中点在同一个圆上；
③等腰梯形的四边中点在同一个圆上； ④平行四边形的四边中点在同一个圆上．
A、 1个 B、 2个 C、 3、个 D、 4个
4、下列命题中，正确的命题是（ ）
A、平分一条弧的直径，垂直平分这条弧所对的弦
B、平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧
C、在⊙O中，AB、CD是弦，若AB=CD ，则AB∥CD
D、圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径
5、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（ ） 5题图
A、∠COE=∠DOE B、CE=DE C、OE=BE D、弧AC=弧AD
二、填空题
1、已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10cm，AP:PB＝1:5，则⊙O的半径为_______。
2、已知⊙O的半径为4，则垂直平分这条半径的弦长是
3、在⊙O中，C为弦AB上一点，AC=2，BC=6，⊙O的半径为5，则OC=
4、下列四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形中，其中四个顶点一定能在同一个圆上的有 个
24.1.2垂径定理 学案
学习目标：1、通过实验操作感受圆的轴对称性； 2、理解并能运用垂径定理及变式命题；
3、通过垂径定理的运用，解决实际问题
【知识梳理】————相信自己，你最棒！
知识点1：圆的对称性
1．用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？
2．由此你能得到什么论？
发现结论：圆是
对称图形，它的对称轴是
知识点2：垂径定理探究
1． 如图1：AB是⊙0的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB,垂足为E.
回答问题（1）图1是轴对称图形码？如果是，它的对称轴是什么？
你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
相等的线段：
相等的弧：
归纳：直径CD
图1
2．垂径定理：
表示为：（用几何语言表示）
3．推论：
表示为：（用几何语言表示）
4. 其实我们对垂径定理的题设和结论可分为五个事项
① CD 过圆心 ② CD垂直于弦AB ③ CD平分AB ④弧AC=弧BC ⑤弧AD=弧BD
若其中的 个事项成立，则其余 个事项也成立（由圆的轴对称性可证）习惯上说为“知二推三”：
【能力提升】
知识点3 垂径定理的运用
1．运用垂径定理解题的一个常见公式．
2、如图，在⊙O中，弦AB=8㎝，圆心O到AB得距离为3㎝，求⊙O的半径
规律总结：在利用垂径定理计算有关线段的题型中，主要是解由半径、弦的一半和弦心距构成的直角三角形。
3、常用辅助线：① 作弦心距 即过圆心作弦的垂线段 ② 连半径 构造成直角三角形
如图：已知在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点。求证AC=BD
