垂径定理(2)

BADC弓弓弓 弓←→（2）垂直于弦的直径自学案

课型：新课 主备人：吴剑红 学生姓名： 家长签字：

【教学目标】

①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性

②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的计算与证明问题

③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段.

【教学重点】垂径定理及其应用

【教学难点】垂径定理的证明

【教学方法】探究发现法

【教学设计】

一、【情景创设】

1．实例：我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。

（图1）

2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，）为米。请问：桥拱的半径（即AB所在圆的半径）是多少

通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。

二、【自主探究】

活动一：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么由此你能得到什么结论

可以发现

活动二：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．

你能发现图中有那些相等的线段和弧为什么

线段 弧

理由：如图

月_ _日 星期_ _ 第 周

课 题 27.3（2） 垂径定理 课 型 新授 教 时 1

教 学

目 标 1.经历垂径定理推论的探究过程，体会分类讨论数学思想；

2.能初步运用垂径定理及其推论解决有关数学问题.

重 点 垂径定理及其推论的初步运用．

难 点 垂径定理推论的探究.

教具准备 多媒体课件

教 学 过 程

教师活动 学生活动

一、复习引入

已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，AB长5cm，AB长6cm，则AE＝＿＿＿cm，AD＝＿＿＿cm

设问：垂径定理的条件与结论分别是什么？

垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧.

条件是：①一条直径②垂直于弦.

结论是：这条直径③平分弦④平分弦所对的弧（优弧和劣弧）.

二、定理探究

问题1 如图1，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），CD与AB交于点E.

（1）如果AE=BE，那么CD与AB垂直吗？

（2）如果弧AD=弧BD，那么CD与AB垂直吗？

归纳得出结论：

（1）如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧.

（2）如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦.

符号语言：

（1）∵CD是⊙O的直径 ， AE＝BE.

∴CD⊥AB， AD＝BD， AC＝BC.

（2）∵CD是⊙O的直径， AD＝BD（或AC＝BC）.

∴CD⊥AB ，AE＝BE.

在圆中，圆心到弦的两个端点的距离都等于圆的半径.由线段垂直平分线定理的逆定理，可知圆心一定在弦的垂直平分线上.

完成填空

复习垂径定理的内容

思考问题，猜想结论并

口述证明过程

理解并熟记垂径定理的推论

口述定理的符号语言

于是得到：

O

E

1 •垂径定理及其推论

【考点速览】

考点1

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤.

推论1:

① 平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤.

② 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤.

③ 平分弦所对的一条孤的直径 ，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤.

推论2•圆的两条平行弦所夹的孤相等.

垂径定理及推论1中的三条可概括为：

① 经过圆心；②垂直于弦；③平分弦 （不是直径）：④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.

以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点

【典型例题】

例1如图AB CD是O O的弦，M N分别是AB CD的中点，且 ZAMN ZCNM •

求证：AB=CD A ” ------- 、,

例2已知，不过圆心的直线 l交O 0于C、D两点，AB是O O的直径，AE丄l于E, BF丄l于F。求证：CE=DF

例3如图所示，O O的直径AB = 15cm,有一条定长为 9cm的动弦CD在弧AmB上滑动（点C与点A，点D 与B不重合），且CE丄CD交AB于E, DF丄CD交AB于F。

（1）求证：AE = BF

（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形

若不是，请说明理由。

例4如图，在O O内，弦CD与直径AB交成45°角，若弦CD交直径AB于点P,且O O半径为1,试问：PC2 PD2 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由 .

【考点速练】

1. 已知O O的半径为2cm,弦AB长2 .. 3cm，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（ ）

A . 1cm B.2cm C. .2cm D. . 3cm cm 6cm AB CD为两弦，且AB丄CD垂足为点 E,若CE=3cm DE=7cm贝U AB的长为（

A . 10cm B.8cm C. D. 8.. 2cm CDEF的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值,

AOBCDE24.1.2 垂直于弦的直径

课题 垂直于弦的直径（第一课时） 备课时间 2009-8-4

课型 新授课 上课时间

教

学

目

标 知识与技能 1. 研究圆的对称性,掌握垂径定理及其推论.

2. 学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题。

过程与方法 经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法。

情感态度价值观 在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识。

教学重点 垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。

教学难点 垂径定理及其推论的运用。

教具 圆形纸张、圆规、直尺、多媒体课件

教

学

过

程 问题与情境 师生行为 备注与修改

创设情境导入新课 1. 将你手中的圆沿圆心对折，你会发现圆是一个什么图形？

2. 将手中的圆沿直径向上折，你会发现折痕是圆的一条弦，这条弦被直径怎样了？

3. 一个残缺的圆形物件，你能找到它的圆心吗？

4. 赵州桥是我国古代桥梁史的骄傲，我们能求出主桥拱的半径吗？ 前两个问题可以由学生动手操作，并观察结果，得到初步结论。

后两个问题作为问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生进一步的学习。

合作交流探究新知 1. 圆的对称性

（探究）圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？

2. 垂径定理

（思考）如图 ：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足E。

① 这个图形是对称图形吗

② 你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说明理由。

③ 你能用一句话概括这些结论吗？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 圆的对称性由学生发现并总结，教师进行板书。

教师循序渐进地将一个个的问题抛出，引导学生一步步地进行思考和总结，师生一起总结垂径定理并板书。

学生小组讨论，发现垂径定理的证明方法，并由学生代表发言。

学生尝试将文字转变为符号语言，用几何符号表达定理的逻辑关系。教师更正并