【课堂新坐标】高中数学人教版选修1-1练习：1.4全称量词与存在量词

1．4全称量词与存在量词1．4.1全称量词1．4.2存在量词1．4.3含有一个量词的命题的否定双基达标（限时20分钟）1．下列命题中，不是全称命题的是()．A．任何一个实数乘以0都等于0B．自然数都是正整数C．每一个向量都有大小D．一定存在没有最大值的二次函数解析D选项是特称命题．答案 D2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()．A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使1 x>2解析A中锐角三角形的内角都是锐角，所以是假命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为3＋(－3)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有1x<0，所以D是假命题．答案 B3．下列命题中的假命题是()．A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x0∈R，lg x0<1 D．∃x0∈R，tan x0＝2解析A中命题是全称命题，易知2x－1>0恒成立，故是真命题；B中命题是全称命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；C中命题是特称命题，当x＝1时，lg x＝0，故是真命题；D中命题是特称命题，依据正切函数定义，可知是真命题．答案 B4．命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋4<0的否定綈p：________．解析特称命题“∃x0∈M，p(x0)”的否定是全称命题“∀x∈M，綈p(x)”．故填∀x∈R，x2＋2x＋4≥0.答案∀x∈R，x2＋2x＋4≥05．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．解析对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.答案(－∞，3]6．判断下列命题的真假，并写出命题的否定：(1)有一个实数a，使不等式x2－(a＋1)x＋a>0恒成立；(2)对任意实数x，不等式|x＋2|≤0成立；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解．解(1)对于方程x2－(a＋1)x＋a＝0的判别式Δ＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≥0，则不存在实数a，使不等式x2－(a＋1)x＋a>0恒成立，所以命题为假命题．它的否定为：对任意实数a，使x2－(a＋1)x＋a>0不恒成立．(2)当x＝1时，|x＋2|>0，所以原命题是假命题，它的否定为：存在实数x，使|x＋2|>0.(3)真命题，它的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．综合提高（限时25分钟）7．下列命题的否定为假命题的是()．A．∀x∈R，－x2＋x－1<0B ．∀x ∈R ，|x |>xC ．∀x ，y ∈Z ，2x －5y ≠12D ．∃x 0∈R ，sin 2x 0＋sin x 0＋1＝0解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有选项A 中的命题为真命题，其余均为假命题，所以选A.答案 A8．若存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0，则实数a 的取值范围是( )．A ．a <1B ．a ≤1C ．－1<a <1D ．－1<a ≤1解析 当a ≤0时，显然存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0；当a >0时，必需Δ＝4－4a 2>0，解得－1<a <1，故0<a <1.综上所述，实数a 的取值范围是a <1.答案 A9．命题“零向量与任意向量共线”的否定为________．解析 命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题：“有的向量与零向量不共线”．答案 有的向量与零向量不共线10．若∀x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是单调减函数，则a 的取值范围是________．解析 依题意有：0<a 2－1<1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0a 2－1<1⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧a <－1或a >1－2<a <2⇔－2<a <－1或1<a < 2. 答案 (－2，－1)∪(1，2)11．已知命题“对于任意x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0”是假命题，求实数a 的取值范围．解因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x0∈R，x20＋ax0＋1<0”．由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式是真命题．由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象易知：Δ＝a2－4>0，解得a<－2或a>2.所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．12．(创新拓展)若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．解(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0，a∈[－1，1]．。

高中数学人教A版选修1-1 第一章常用逻辑用语达1.4 全称量词与存在量词课堂练习（1）1.下列命题中，不是全称命题的是( )A.任何一个实数乘以0都等于0B.自然数都是正整数C.每一个向量都有大小D.一定存在没有最大值的二次函数【解析】选D.A，B，C中都含全称量词，D中含“存在”，为存在量词，所以不是全称命题.2.下列全称命题为真命题的是( )A.所有的质数是奇数B.∀x∈R，x2+1≥1C.对每一个无理数x，x2也是无理数D.所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5【解析】选B.2是质数，但2不是奇数，所以A是假命题；x2+1≥1⇔x2≥0，显然∀x∈R，x2≥0，故B为真命题，C，D均为假命题.3.下列语句是特称命题的是( )A.整数n是2和7的倍数B.存在整数n0，使n0能被11整除C.若4x-3=0，则x=D.∀x∈M，p(x)成立【解析】选B.B中含存在量词“存在”.4.已知命题：“存在x0∈，使+2x0+a≥0”为真命题，则a的取值范围是________.【解析】若存在x0∈，使+2x0+a≥0，则等价为存在x0∈，使+2x0≥-a，当存在x0∈时，设y=+2x0=(x0+1)2-1，则3≤y≤8，所以要使x2+2x≥-a，则8≥-a，即a≥-8.答案：[-8，+∞)5.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假：(1)∃x0，x0-2≤0.(2)三角形两边之和大于第三边.(3)有些整数是偶数.【解析】(1)特称命题.x0=1时，x0-2=-1≤0，故特称命题“∃x0，x0-2≤0”是真命题.(2)全称命题.三角形中，任意两边之和大于第三边.故全称命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题.(3)特称命题.2是整数，2也是偶数.故特称命题“有些整数是偶数”是真命题.课堂练习（2）1.若命题p：∃x0>0，-3x0+2>0，则命题p为( )A.∃x0>0，-3x0+2≤0B.∃x0≤0，-3x0+2≤0C.∀x>0，x2-3x+2≤0D.∀x≤0，x2-3x+2≤0【解析】选C.命题p是一个特称命题，p为：∀x>0，x2-3x+2≤0.2.已知集合A={x|x>0},则命题“任意x∈A,x2-|x|>0”的否定是( )A.任意x∈A,x2-|x|≤0B.任意x∉A,x2-|x|≤0C.存在x0∉A,-|x0|>0D.存在x0∈A,-|x0|≤0【解析】选D.因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题“任意x∈A,x2-|x|>0”的否定是存在x0∈A,-|x0|≤0.3.下列命题的否定为假命题的是( )A.∃x0∈R，+2x0+2≤0B.任意一个四边形的四个顶点共圆C.所有能被3整除的整数都是奇数D.∀x∈R，sin2x+cos2x=1【解析】选D.因为x2+2x+2=(x+1)2+1≥1，原命题为假，则其否定为真命题；根据圆内接四边形的定义，可得任意一个四边形的四个顶点共圆为假命题，其否定为真命题；所有能被3整除的整数都是奇数，如整数6，它是偶数，故原命题为假，其否定为真命题；∀x∈R，sin2x+cos2x=1正确，所以D的否定是假命题.4.若命题p“∃x0∈R，使得+mx0+2m-3<0”为假命题，则实数m的取值范围是______________. 【解析】因为命题p：“∃x0∈R，使得+mx0+2m-3<0”为假命题，所以p：“∀x∈R，x2+mx+2m-3≥0”为真命题，所以Δ≤0，即m2-4(2m-3)≤0，解得2≤m≤6.所以实数m的取值范围是.答案：5.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定.(1)p：对任意的x∈R，cosx≤1都成立.(2)q：∃x0∈R，+1>3x0.(3)r：所有的正方形都是矩形.(4)s：有些三角形是锐角三角形.【解析】命题(1)(3)为全称命题，命题(2)(4)为特称命题.(1)由于命题中含全称量词“任意”，所以为全称命题，因此其否定为特称命题，所以p：∃x0∈R，使cosx0>1成立.(2)由于“∃x0∈R”表示至少存在实数中的一个x0，即命题中含有存在量词“至少存在一个”，为特称命题，因此其否定为q：∀x∈R，x2+1≤3x.(3)为全称命题，把全称量词改为存在量词，并把结论否定，故r：至少存在一个正方形不是矩形.(4)为特称命题，把存在量词改为全称量词，并把结论否定，故s：所有的三角形都不是锐角三角形.。

第一章 1.4 1.4.1 1.4.2 1.4.3A级基础巩固一、选择题1．下列命题中，全称命题的个数为导学号 03624247( C )①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A．0 B．1C．2 D．3[解析] ①②是全称命题，③是特称命题．2．下列特称命题中真命题的个数是导学号 03624248( D )①∃x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③∃x ∈{x|x是整数}，x2是整数．A．0 B．1C．2 D．3[解析] ①②③都是真命题．3．以下量词“所有”“任何”“一切”“有的”“有些”“有一个”“至少”中是存在量词的有导学号 03624249( C )A．2个B．3个C．4个D．5个[解析] “有的”“有些”“有一个”“至少”都是存在量词．4．下列命题：①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x使得x2＋2x＋1＝0成立．其中是全称命题的有导学号 03624250( B )A．1个B．2个C．3个D．0个[解析] ②③含有全称量词，所以是全称命题．5．(2016²山东菏泽高二月考)下列命题中为特称命题的是导学号 03624251( C )A．所有的整数都是有理数B．三角形的内角和都是180°C．有些三角形是等腰三角形D．正方形都是菱形[解析] A、B、D为全称命题，C中含有存在量词“有些”，故为特称命题．6．(2016²山东济南高二月考)下列四个命题中，假命题为导学号 03624252( B )A．∀x∈R,2x>0 B．∀x∈R，x2＋3x＋1>0C．∃x∈R，lg x>0 D．∃x∈R，x 12＝2[解析] 当x＝－1时，x2＋3x＋1＝－1<0，故命题“∀x∈R，x2＋3x＋1>0”为假命题．二、填空题7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“∃”写成特称命题为__∃x0<0，(1＋x)(1－9x)2>0__.导学号 03624253[解析] 根据特称命题的定义改写．8．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∃x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为__0__.导学号 03624254[解析] x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4³2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题．当且仅当x＝±2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题，对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题，4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．三、解答题9．(2016²江苏南京高二检测)用符号表示下列全称命题：(1)对任意a>1，都有函数f(x)＝a x在R上是增函数；(2)对所有实数m，都有2－m2－1<0；(3)对每一个实数x，都有cos x<1.导学号 03624255 [解析] (1)∀a>1，函数f(x)＝a x在R上是增函数．(2)∀m∈R，2－m2－1<0.(3)∀x∈R，cos x<1.B级素养提升一、选择题1．下列命题为特称命题的是导学号 03624256( D )A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在大于等于3的实数[解析] 选项A，B，C是全称命题，选项D含有存在量词．故选D．2．下列命题是真命题的是导学号 03624257( D )A．∀x∈R，(x－2)2>0B．∀x∈Q，x2>0C．∃x0∈Z,3x＝812D．∃x0∈R,3x2－4＝6x[解析] A中当x＝2时不成立，B中由于0∈Q，故B不正确，C中满足3x＝812的x不是整数，故只有D正确．3．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是导学号 03624258( B ) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0。

1.4 全称量词与存在量词1、命题“存在实数 x ,使1x >”的否定是( )A.对任意实数 x ,都有1x >B.不存在实数 x ,使1x ≤C.对任意实数 x ,都有1x ≤D.存在实数 x ,使1x ≤2、下列4个命题111:(0,),()()23x xp x ∃∈+∞< 21123:(0,1),log log p x x x ∃∈>3121p :(0,),()log 2x x x ∀∈+∞> 41311:(0,),()log 32x p x x ∀∈<真命题是（ ）A.13,p pB.14,p pC.23,p pD.24,p p3、下列命题是全称命题,且为真命题的是( )A.对任意2,330x R x x ∈+-≠B.对任意整数x ,其平方的个位数不是8C.存在两条相交直线垂直于同一平面D.任何一个正数的倒数都比原数小4、下列命题中的假命题是( )A.R,30x x ∀∈>B.2R,(1)0x x ∀∈->C.3R,1x x ∃∈>D.1R,sin 2x x ∃∈=5、下列命题中是假命题的是( ) A. π(0,),sin 2x x x ∀∈> B. 00R,lg 0x x ∃∈=C. ,30x x R ∀∈>D. 000R,sin cos 2x x x ∃∈+=6、已知集合{}2|2A y y x ==+,集合{|B x y ==,则下列命题中真命题的个数是( )①,m A m B ∃∈∉②,m B m A ∃∈∉③,m A m B ∀∈∈④,m B m A ∀∈∈A.4B.3C.2D.17、下列命题中的假命题是( )A. ,lg 0x R x ∃∈=B. ,tan 1x R x ∃∈=C. 2",0"x R x ∀∈>D. ,30x x R ∀∈>8、设x Z ∈,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ∀∈∈,则()A. :,2p x A x B ⌝∃∈∈B. :,2p x A x B ⌝∃∉∈C. :,2p x A x B ⌝∃∈∉D. :,2p x A x B ⌝∀∉∉9、命题“对任意R x ∈,都有20x ≥”,的否定为( )A.对任意R x ∈,都有20x <B.不存在R x ∈,使得20x <C.存在0R x ∈,使得200x ≥D.存在0R x ∈,使得 200x <10、命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是( )A.()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞≠-B.()0000,,ln 1x x x ∃∉+∞=-C.()0,,ln 1x x x ∀∉+∞=-D.()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-11、下列命题中，正确的命题序号是__________．（请填上所有正确的序号）①已知R a ∈，两直线12:1,:2l ax y l x ay a +=+=，则“1a =-”是“12//l l ”的充分条件；②“22,0x x x >≥∀”的否定是“20002,0x x x ≤<∃”； ③“1sin 2α=”是“π2π,Z 6k k α=+∈”的必要条件； ④已知0,0a b >>，则“1ab >”的充要条件是“1a b >” 12、命题“2R,0x x ∀∈≥”的否定是___________13、已知以下四个命题①．“2m =”是“1:2(1)40l x m y +++=与2:320l mx y +-=平行”的充分条件 ②.“方程221Ax By +=表示椭圆”的充要条件是“A B ≠”③．命题“R x ∀∈，20x ≥”的否定是“0R x ∃∈，200x <” ④．命题“a b 、都是偶数，则a b +是偶数”的逆否命题为“a b +不是偶数，则a b 、都是奇数”正确的序号是________.14、命题:“(0,)x ∃∈+∞,210x x ++>”的否定是___________15、已知()22000p :x R,2x m x 1,q :x R,x 2x m 10,∀∈>+∃∈+--=且p q ∧为真,求实数m 的取值范围.答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：特称命题的否定是全称命题,“存在”对应“任意”,同时否定结论.2答案及解析：答案：B解析：3答案及解析：答案：B解析：4答案及解析：答案：B解析：5答案及解析：答案：D解析：6答案及解析：答案：C解析：7答案及解析：答案：C解析：对四个选项,逐一举例子进行真假性的判断,由此得到正确选项.【详解】对于选项A,当1?x =时, lg10=故A 选项为真命题.对于B 选项,当4x π=时, tan 14π=,故选项B 为真命题.当0?x =时, 20x =,故C 选项为真命题. 根据指数函数的性质知D 选项为真命题.故选C.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题真假性的判断,考查指数函数、对数函数和正切函数有关的性质.属于基础题.8答案及解析：答案：C解析：9答案及解析：答案：D解析：全称命题的否定是特称命题“对任意R x ∈,都有20x ≥”的否定为“存在0R x ∈,都有200x <”,故选D.10答案及解析：答案：D解析：11答案及解析：答案：①③④解析：12答案及解析：答案：R x ∃∈,使20x <解析：13答案及解析：答案：①③解析：14答案及解析：答案：2(0,),10x x x ∀∈+∞++≤解析：15答案及解析：答案：()22x m x 1>+可化为2mx 2x m 0-+<. 若()2p :x R,2x m x 1∀∈>+为真,则2mx 2x m 0-+<对任意的x R ∈恒成立.当0m =时,不等式可化为2x 0-<,显然不恒成立; 当0m ≠时,有∴1m <-.若q :x0R,x 2x0m 10∃∈+--=为真, 则方程2x 2x m 10+--=有实根.∴()44m 10++≥,∴2m ≥-.又∵p q ∧为真,故,p q 均为真命题.∴m 1m 2<-⎧⎨≥-⎩∴21m -≤<-.解析：由Ruize收集整理。

第一章第四节 基础训练题一、选择题（每小题５分，共20分） １．下列说法中，正确的个数是（ ）①存在一个实数，使2240x x -+-=； ②所有的质数都是奇数； ③斜率相等的两条直线都平行；④至少存在一个正整数，能被５和７整除。

Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４２．下列命题中，是正确的全称命题的是（ ）Ａ．对任意的,a b R ∈，都有222220a b a b +--+<； Ｂ．菱形的两条对角线相等；Ｃ．x x ∃=；Ｄ．对数函数在定义域上是单调函数。

３．下列命题的否定不正确的是（ ）Ａ．存在偶数2n 是７的倍数；Ｂ．在平面内存在一个三角形的内角和大于180； Ｃ．所有一元二次方程在区间［－1，1］内都有近似解； Ｄ．存在两个向量的和的模小于这两个向量的模。

4．命题22:0(,)p a b a b R +<∈；命题22:0(,)q a b a b R +≥∈，下列结论正确地为（ ）Ａ．p q ∨为真 Ｂ．p q ∧为真 Ｃ．p ⌝为假 Ｄ． q ⌝为真 二、填空题（每小题4分，共16分）5．写出命题“每个函数都有奇偶性”的否定 。

6．全称命题,()x M p x ∀∈的否定是 。

7．命题“存在实数,x y ，使得1x y +>”，用符号表示为 ；此命题的否定是 （用符号表示），是 命题（添“真”或“假”）。

8．给出下列4个命题：①0a b a b ⊥⇔=； ②矩形都不是梯形； ③22,,1x y R x y ∃∈+≤；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1。

其中全称命题是 。

三、解答题：（26分）9．（10分）已知二次函数22()2(2)2f x x a x a a =----，若在区间[0，1]内至少存在一个实数b ，使()0f b >，则实数a 的取值范围是 。

10．（16分）判断下列命题的真假，并说明理由：（1）x R ∀∈，都有2112x x -+>； （2）,αβ∃，使cos()cos cos αβαβ-=-； （3）,x y N ∀∈，都有x y N -∈；（4）,x y Z ∃∈3y +=。

►基础梳理1．全称量词与全称命题．短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．通常，将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中的任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．2．存在量词和特称命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”．3．全称命题的否定．一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．全称命题的否定是特称命题．4．特称命题的否定．一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．特称命题的否定是全称命题．,►自测自评1．命题“有理数的平方仍是有理数”，用符号“∀”写成全称命题为∀x∈{有理数}，x2∈{有理数}．2．给出下列命题：①所有的偶数都不是素数；②∀x>5且x∈R，都有x>3；③有的奇数不是素数；④存在x∈R，x既能被5整数也能被3整除．其中是全称命题的命题序号是①②．1．下列命题是特称命题的是(D)A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在无理数大于等于32．有下列命题：(1)所有的素数是奇数；(2)∀x∈R，(x－1)2＋1≥1；(3)有的无理数的平方是无理数；(4)∃x 0∈R ，使2x 20＋x 0＋1＝0；(5)存在两条相交直线垂直于同一个平面；(6)∃x 0∈R ，x 20≤0.其中是真命题的为________________(填序号)．答案：(2)(3)(6)3．给下列四个结论：①“∀x ∈R ，2x ＞0”的否定是“∃x ∈R ，2x ＞0”；②“∀x ∈N ，(x －1)2＞0”的否定是“∃x ∈N ，(x －1)2≠0”；③“∃x ∈R ，lg x ＜1”的否定是“∀x ∈R ，lg x ≥1”；④“∃x ∈R ，tan x ＝2”的否定是“∀x ∈R ，tan x ＞2或tan x ＜2”．其中正确结论的序号是______．答案：③④4．判断下列命题的真假．(1)有的正方形不是矩形；(2)有理数是实数；(3)存在一个数，它的相反数是它本身；(4)∀x ∈N ，x 2＞0；(5)∀a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥（a ＋b ）22； (6)∃x ∈R ，x 2＋1＜0.解析：(1)是假命题，所有的正方形都是矩形；(2)是真命题，所有的有理数都是实数；(3)是真命题，0的相反数就是它本身；(4)是假命题，自然数0的平方不大于0；(5)是真命题，因为对于任意实数a ，b ，都有a 2＋b 2≥2ab ，从而有a 2＋b 2≥（a ＋b ）22恒成立；(6)是假命题，任何一个实数x 都不满足x 2＋1＜0.5．命题p ：∀x ∈[－1，2]，4x －2x ＋1＋2－a ＜0，若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围．解析：依题意，∀x ∈[－1，2]，4x －2x ＋1＋2－a ＜0恒成立．令t ＝2x ，由x ∈[－1，2]，得t ∈⎣⎡⎦⎤12，4，则4x －2x ＋1＋2－a ＜0，可化为a ＞t 2－2t ＋2，即a ＞(t －1)2＋1，∴命题p 等价于∀t ∈⎣⎡⎦⎤12，4.a ＞(t －1)2＋1恒成立，令y ＝(t －1)2＋1.当t ∈⎣⎡⎦⎤12，4时，y max ＝(4－1)2＋1＝10，所以只须a ＞10，即可得p 为真命题，故所求实数a 的取值范围是(10，＋∞)．1．下列是全称命题且是真命题的是(B)A ．∀x ∈R ，x 2＞0B ．∀x ∈Q ，x 2∈QC ．∃x ∈Z ，x 20＞1D ．∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2＞02．下列命题中，真命题是(A)A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数解析：∵当m ＝0时，f (x )＝x 2(x ∈R )，∴f (x )是偶函数．又∵当m ＝1时，f (x )＝x 2＋x (x ∈R )，∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数．∴A 对，B 、C 、D 错．故选A.3．(·广州二模)命题“∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋5≤0”的否定是(C )A ．∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋5＞0B ．∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋5≤0 C ．∀x ∈R ，x 2＋4x ＋5＞0D ．∀x ∈R ，x 2＋4x ＋5≤04．命题“原函数与反函数的图象关于直线y ＝x 对称”的否定是(C )A ．原函数与反函数的图象关于直线y ＝－x 对称B ．原函数不与反函数的图象关于直线y ＝x 对称C ．存在一个原函数与反函数的图象不关于直线y ＝x 对称D ．存在原函数与反函数的图象关于直线y ＝x 对称5．下列命题中的真命题是(D )A ．∃x 0∈R 使得sin x 0＋cos x 0＝1.5B ．∀x ∈(0，π)，sin x ＞cos xC ．∃x 0∈R 使得x 20＋x 0＝－1D ．∀x ∈(0，＋∞)，e x ＞x ＋16．已知a ＞0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(C)A ．∃x 0∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x 0∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)7．命题∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0的否定是________________________________________________________________________．答案：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14＜0. 8．有以下三个命题：①∀α∈R ，在[α，α＋π]上函数y ＝sin x 都能取到最大值1；②若∃a ∈R ，且a ≠0，f (x＋a )＝－f (x )时∀x ∈R 成立，则f (x )为周期函数；③∃x ∈⎝⎛⎭⎫－74π，－34π，使sin x ＜cos x . 其中正确命题为______(填序号)．解析：①为假，如α＝π，ɑ∈[π，2π]时y ＝sin x 最大值为0；②为真，f (x ＋2a )－f (x ＋a )＝f (x )，x ∈R 恒成立，T ＝2a ；③为假，sin x ＞cos x .答案：②9．已知命题：“存在x ∈[1，2]，使x 2＋2x ＋a ≥0”为真命题，则a 的取值范围________． 答案：[－8，＋∞)10．(·揭阳二模)已知函数f (x )＝4|a |x －2a ＋1.若命题：“∃x 0∈(0，1)，使f (x 0)＝0”是真命题，则实数a 的取值范围为________．答案：⎝⎛⎭⎫12，＋∞11．指出下列命题是特称命题还是全称命题，并写出其否命题，判断否命题的真假：(1)直线与x 轴都有交点；(2)正方形都是菱形；(3)梯形的对角线相等；(4)存在一个三角形，它的内角和大于180°.答案：(1)全称命题，否命题为：有些直线与x 轴没有交点．真命题．(2)全称命题，否命题为：有些正方形不是菱形，假命题．(3)全称命题，否命题为：有些梯形对角线不相等．真命题．(4)特称命题，否命题为：所有三角形内角和小于或等于180°.真命题．12．已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．解析：命题p ：x 2－a ≥0，即a ≤x 2，∵x ∈[1，2]时，上式恒成立，而x 2∈[1，4]，∴a ≤1. 命题q ：Δ＝(2a )2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2.∵p 且q 为真命题，∴p ，q 均为真命题，∴a ＝1或a ≤－2.即实数a 的取值范围是{a |a ＝1或a ≤－2}．►体验高考1．(·湖北卷)命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是(D )A ．∀x 0∉R ，x 20≠x 0B ．∀x 0∈R ，x 20＝x 0C ．∃x ∉R ，x 20≠x 0D ．∃x 0∈R ，x 20＝x 02．(·天津卷)已知命题p ：∀x ＞0，总有(x ＋1)e x ＞1，则綈p 为(B )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0＞0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x ＞0，总有(x ＋1)e x 0≤1D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x 0≤1解析：已知命题中含有“∀”，所以该命题是一个全称命题，由全称命题的否定形式可知，其否定是一个特称命题，把全称量词改为存在量词，然后把“(x ＋1)e x ＞1”改为“(x 0＋1)e x ≤1”即可得到该命题的否定为：“∃x 0＞0，使得(x 0＋1)e x 0≤1”，故选B.3．(·重庆卷)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为(A )A ．存在x 0∈R ，使得x 20＜0B ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0D ．不存在x ∈R ，使得x 20＜04．(·四川卷)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A ，2x ∈B ，则(C )A ．綈p ：∃x ∈A ，2x ∈BB ．綈p ：∃x ∉A ，2x ∈BC ．綈p ：∃x ∈A ，2x ∉BD ．綈p ：∀x ∉A ，2x ∉B5．(·新课标全国卷Ⅰ)已知命题綈p ：∀x ∈R ，2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是(B )A ．p ∧qB ．綈p ∧qC ．p ∧綈qD ．綈p ∧綈q解析：对于命题p ，由于x ＝－1时，2－1＝12＞13＝3－1，所以是假命题，故綈p 是真命题；对于命题q ，设f (x )＝x 3＋x 2－1，由于f (0)＝－1＜0，f (1)＝1＞0，所以f (x )＝0在区间(0，1)上有解，即存在x ∈R ，x 3＝1－x 2，故命题q 是真命题．综上，綈p ∧q 是真命题，故选B.。

最新人教版数学精品教学资料第一章 1.4 1.4.3A 级 基础巩固一、选择题1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是导学号 03624281( B ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数[解析] 量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B ．2．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是导学号 03624282( C ) A ．∀x ∈R ，|x |>0 B ．∃x 0∈R ，|x 0|>0 C ．∀x ∈R ，|x |≤0D ．∃x 0∈R ，|x 0|≤0[解析] 由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C ．3．(2016·江西抚州高二检测)已知命题p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，则¬p 是导学号 03624283( C )A ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2<0 B ．∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2<0 C ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0 D ．∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0[解析] ∵全称命题的否定是特称命题，∴选项C 正确． 4．已知命题p ：∃x ∈(0，π2)，sin x ＝12，则¬p 为导学号 03624284( B ) A ．∀x ∈(0，π2)，sin x ＝12B ．∀x ∈(0，π2)，sin x ≠12C ．∃x ∈(0，π2)，sin x ≠12D ．∃x ∈(0，π2)，sin x >12[解析] ¬p 表示命题p 的否定，即否定命题p 的结论，由“∃x ∈M ，p (x )”的否定为“∀x ∈M ，¬p (x )”知选B ．5. 下列说法正确的是导学号 03624285( A )A ．“a >1”是“f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数”的充要条件B ．命题“∃x ∈R 使得x 2＋2x ＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0” C ．“x ＝－1”是“x 2＋2x ＋3＝0”的必要不充分条件 D ．命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”，则¬p 是真命题[解析] a >1时，f (x )＝log a x 为增函数，f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)为增函数时，a >1，∴A 正确；“<”的否定为“≥”，故B 错误；x ＝－1时，x 2＋2x ＋3≠0，x 2＋2x ＋3＝0时，x 无解，故C 错误；∵sin x ＋cos x ＝2sin (x ＋π4)≤2恒成立，∴p 为真命题，从而¬p为假命题，∴D 错误．6．命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是导学号 03624286( C )A ．存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 B ．不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 C ．对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 D ．至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根[解析] ¬p ：对任意实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根，故选C ． 二、填空题7．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是 任意x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5≠0 .导学号 03624287[解析] 特称命题的否定是全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”． 8．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为__过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内__.导学号 03624288[解析] 原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词． 三、解答题9．写出下列命题的否定并判断真假：导学号 03624289 (1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)某些梯形的对角线互相平分； (4)被8整除的数能被4整除．[解析] (1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0都有实数根”，其否定是¬p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m <0，即m <－14时，一元二次方程没有实根，因此¬p 是真命题．(2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题． (3)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题． (4)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．B 级 素养提升一、选择题1．(2015·浙江理)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是导学号 03624290( D )A ．∀n ∈N *,f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *,f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *,f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *,f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0[解析] 命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ” 其否定为：“∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0”．2．命题“∀x ∈R ，e x >x 2”的否定是导学号 03624291( C ) A ．不存在x ∈R ，使e x >x 2B ．∃x ∈R ，使e x <x 2C ．∃x ∈R ，使e x ≤x 2D ．∀x ∈R ，使e x≤x 2[解析] 原命题为全称命题，故其否定为存在性命题，“>”的否定为“≤”，故选C ． 3．已知命题“∀a 、b ∈R ，如果ab >0，则a >0”，则它的否命题是导学号 03624292( B )A ．∀a 、b ∈R ，如果ab <0，则a <0B ．∀a 、b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0C ．∃a 、b ∈R ，如果ab <0，则a <0D ．∃a 、b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0 [解析] 条件ab >0的否定为ab ≤0；结论a >0的否定为a ≤0，故选B ．4．(2016·江西抚州高二检测)已知命题“∃x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是导学号 03624293( B )A ．(－∞，1)B ．(－1,3)C ．(3，＋∞)D ．(－3,1)[解析] 由题意知，∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0，恒成立，∴Δ＝(a －1)2－4＝a 2－2a －3<0，∴－1<a <3.5．已知命题p ：∀x ∈R,2x 2＋2x ＋12<0；命题q ：∃x ∈R .sin x －cos x ＝ 2.则下列判断正确的是导学号 03624294( D )A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．¬p 是假命题D ．¬q 是假命题[解析] p 中：∵Δ＝4－4＝0，∴p 是假命题，q 中，当x ＝34π时，cos x ＝22，cos x＝－22时，是真命题，故¬q 是假命题． 二、填空题6．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14<0，命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2，则p ∨q ，p ∧q ，¬p ，¬q 中是真命题的有__p ∨q __¬p __.导学号 03624295[解析] ∵x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0，故p 是假命题，而存在x 0＝π4，使sin x 0＋cos x 0＝2，故q 是真命题，因此p ∨q 是真命题，¬p 是真命题．7．已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，则m 的取值范围是__m ≤－2或－1<m <2__.导学号 03624296[解析] p ：m ≤－1，q ：－2<m <2，∵p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2，当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值范围是m ≤－2或－1<m <2.8．命题“∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0”为真命题，则实数a 的取值范围是__a >2或a <－2__.导学号 03624297[解析] 由于∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0，又二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋1开口向上，故Δ＝a 2－4>0，所以a >2或a <－2.C 级 能力提高1．(2016·山东临沂高二检测)已知命题p ：∀a ∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin (x a ＋π3)的周期不大于4π.导学号 03624298(1)写出¬p ；(2)当¬p 是假命题时，求实数b 的最大值． [解析] (1)¬p ：∃a 0∈(0，b ](b ∈R ，且b >0)， 函数f (x )＝ 3 sin(x a 0＋π3)的周期大于4π. (2)∵¬p 是假命题，∴p 是真命题， ∴∀a ∈(0，b ]，2π1a≤4恒成立，∴a ≤2，∴b ≤2. 故实数b 的最大值是2.2．(2016·安徽安庆高二检测)已知命题p ：∃x 0∈[－1,2]，4x 0>m .导学号 03624299 (1)写出¬p ；(2)当¬p 是真命题时，求实数m 的取值范围． [解析] (1)¬p ：∀x ∈[－1,2]，4x≤m .(2)¬p 是真命题，即当－1≤x ≤2时，m ≥(4x)max ， ∴m ≥42＝16，∴实数m 的取值范围是[16，＋∞)．。

第一章 常用逻辑用语1.4 全称量词与存在量词A 级 基础巩固一、选择题1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x＞2 解析：A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中x ＝0时，x 2＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝0，所以C 是假命题；D 中对于任一个负数x ，都有1x＜0，所以D 是假命题． 答案：B2．命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是( )A ．∀x ∉R ，x 2≠xB ．∀x ∈R ，x 2＝xC ．∃x ∉R ，x 2≠xD ．∃x ∈R ，x 2＝x解析：全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是“∃x ∈R ，x2＝x ”．答案：D3．下列特称命题中假命题的个数是( )①有一条直线与两个平行平面垂直；②有一条直线与两个相交平面平行；③存在两条相交直线与同一个平面垂直．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①②都是真命题，③是假命题．答案：B4．设函数f (x )＝x 2＋mx (m ∈R)，则下列命题中的真命题是( )A ．任意m ∈R，使y ＝f (x )都是奇函数B ．存在m ∈R，使y ＝f (x )是奇函数C ．任意m ∈R，使x ＝f (x )都是偶函数D ．存在m ∈R，使y ＝f (x )是偶函数解析：当m ＝0时，f (x )＝x 2为偶函数，故选D.答案：D5．若⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2ax ＜33x ＋a 2恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．0＜a ＜1B ．a ＞34C ．0＜a ＜34D ．a ＜34 解析：由题意，得－x 2＋2ax ＜3x ＋a 2，即x 2＋(3－2a )x ＋a 2＞0恒成立，所以Δ＝(3－2a )2－4a 2＜0，解得a ＞34. 答案：B二、填空题6．命题“∃x 0，y 0∈Z ，3x 0－2y 0＝10”的否定是______________．解析：特称命题的否定是全称命题，则否定为∀x ，y ∈Z ，3x －2y ≠10.答案：∀x ，y ∈Z ，3x －2y ≠107．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．答案：①②③ ④8．下面四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2＞0恒成立；②∃x 0∈Q ，x 20＝2；③∃x 0∈R ，x 20＋1＝0；④∀x ∈R ，4x 2＞2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．解析：x 2－3x ＋2＞0，Δ＝(－3)2－4×2＞0，所以当x ＞2或x ＜1时，x 2－3x ＋2＞0才成立，所以①为假命题．当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，所以不存在x ∈Q，使得x 2＝2，所以②为假命题．对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，所以③为假命题.4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立，所以④为假命题．所以①②③④均为假命题．答案：0三、解答题9．判断下列各命题的真假，并写出命题的否定．(1)有一个实数a ，使不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＞0恒成立；(2)对任意实数x ，不等式|x ＋2|≤0恒成立；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解．解：(1)方程x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0的判别式Δ＝(a ＋1)2－4a ＝(a －1)2≥0，则不存在实数a ，使不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＞0恒成立，所以原命题为假命题． 它的否定：对任意实数a ，不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＞0不恒成立．(2)当x ＝1时，|x ＋2|＞0，所以原命题是假命题．它的否定：存在实数x ，使不等式|x ＋2|＞0成立．(3)由一元二次方程解的情况，知该命题为真命题．它的否定：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．10．对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x ＞m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：令y ＝sin x ＋cos x ，则y ＝sin x ＋cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin x ＋22cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. 因为－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－ 2. 因为∀x ∈R ，sin x ＋cos x ＞m 恒成立，所以只要m ＜－2即可．故实数m 的取值范围是(－∞，－2)．B 级 能力提升1．若命题p ：∀x ∈R ，log 2x >0，命题q ：∃x 0∈R ，2x 0<0，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧qD ．p ∨(綈q )解析：命题p ：∀x ∈R ，log 2x >0为假命题，命题q ：∃x 0∈R ，2x 0<0为假命题，所以p ∨(綈q )为真命题，故选D.答案：D2．已知命题“∃x 0∈R ，2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意可得“对∀x ∈R ，2x 2＋(a －1)x ＋12＞0恒成立”是真命题，令Δ＝(a －1)2－4＜0，得－1＜a ＜3.答案：(－1，3)3．已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋a ＋2＝0”，若命题“p 或q ”是真命题，求实数a 的取值范围．解：p⇔a≤(x2)min＝1.q⇔Δ＝4a2－4(a＋2)≥0⇔a≤－1或a≥2.因为“p或q”为真命题，所以p、q中至少有一个真命题．所以a≤1或a≤－1或a≥2，所以a≤1或a≥2.所以“p或q”是真命题时，实数a的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．。

一、选择题1．下列命题中，是真命题且是全称命题的是()A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0B．菱形的两条对角线相等C．∃x∈R，x2＝xD．对数函数在定义域上是单调函数【解析】C是特称命题，A、B都是全称命题，但为假命题，只有D既为全称命题又是真命题．【答案】 D2．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是()A．存在一个α，使tan(90°－α)＝tan αB．存在实数x0，使sin x0＝π2C．对一切α，sin(180°－α)＝sin αD．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β【解析】C、D是全称命题，A、B是特称命题，由于|sin x|≤1，故sin x0＝π2＞1不成立，B为假命题，对于A，当α＝45°时，tan(90°－α)＝tan α成立．【答案】 A3．(2013·合肥高二检测)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是() A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【解析】原命题为全称命题，其否定应为特称命题，且结论否定．【答案】 D4．(2013·洋浦高二检测)下列命题中真命题为( )A ．若sin A ＝sinB ，则∠A ＝∠BB ．∀x ∈R ，都有x 2＋1＞0C ．若lg x 2＝0，则x ＝1D ．∃x ∈Z ，使1＜4x ＜3【解析】 若sin A ＝sin B ，不一定有∠A ＝∠B ，A 不正确，B 正确；若lg x 2＝0，则x 2＝1，x ＝±1，C 不正确，D 不正确．【答案】 B5．(2012·福建高考)下列命题中，真命题是( )A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b ＝－1D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件【解析】 对于∀x ∈R ，都有e x >0，故选项A 是假命题；当x ＝2时，2x ＝x 2，故选项B 是假命题；当a b ＝－1时，有a ＋b ＝0，但当a ＋b ＝0时，如a ＝0，b ＝0时，a b 无意义，故选项C 是假命题；当a >1，b >1时，必有ab >1，但当ab >1时，未必有a >1，b >1，如当a ＝－1，b ＝－2时，ab >1，但a 不大于1，b 不大于1，故a >1，b >1是ab >1的充分条件，选项D 是真命题．【答案】 D二、填空题6．给出下列四个命题：①a ⊥b ⇔a ·b ＝0；②矩形都不是梯形；③∃x ，y ∈R ，x 2＋y 2≤1；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是_____．【解析】 在②、④中含有全称量词“都”“任意”，为全称命题．③为特称命题．又①中的实质是：对任意a ，b 有a ·b ＝0⇔a ⊥b ，故①②④为全称命题．【答案】①②④7．已知四个命题分别为：①∀x∈R,2x－1＞0；②∀x∈N*，(x－1)2＞0；③∃x∈R，lg x＜1；④∃x∈R，tan x＝2.其中是假命题的是________．【解析】由函数的性质，显然①③④是真命题．对于②，当x＝1时，(x－1)2＝0.∴②是假命题．【答案】②8．(2013·青岛高二检测)已知命题：“∃x0∈[1,2]，使x20＋2x0＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是________．【解析】当1≤x≤2时，x2＋2x＝(x＋1)2－1是增函数．∴3≤x2＋2x≤8，如果“∃x∈[1,2]，使x20＋2x0＋a≥0”为真命题．∴a＋8≥0，则a≥－8.故实数a的取值范围是[－8，＋∞)．【答案】[－8，＋∞)三、解答题9．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．【解】(1)是全称命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.(2)是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)是特称命题且为真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．10．试判断下列命题的真假：p 1：∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12；p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p 3：∀x ∈[0，π], 1－cos 2x 2＝sin x ； p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2.【解】 因为sin 2x 2＋cos 2x 2＝1，故p 1是假命题；当x ＝y 时，p 2成立，故p 2是真命题；1－cos 2x 2＝1－(1－2sin 2x )2＝|sin x |，因为x ∈[0，π]，所以|sin x |＝sin x ，p 3是真命题；当x ＝π4，y ＝9π4时，有sin x ＝cos y ，但x ＋y ＞π2，故p 4是假命题，p 2，p 3是真命题，p 1，p 4是假命题．11．已知f (x )＝3ax 2＋6x －1(a ∈R )．(1)当a ＝－3时，求证对任意x ∈R ，都有f (x )≤0；(2)如果对任意x ∈R ，不等式f (x )≤4x 恒成立，求实数a 的取值范围．【解】 (1)证明：当a ＝－3时，f (x )＝－9x 2＋6x －1，令－9x 2＋6x －1＝0，则Δ＝36－36＝0，∴对任意x ∈R ，都有f (x )≤0.(2)解：∵对任意x ∈R ，有f (x )≤4x ，∴3ax 2＋2x －1≤0.∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＜0，Δ＝4＋12a ≤0.∴a ≤－13，即a 的取值范围是(－∞，－13].。